z1 1 Izračunajte z 1 + z, z 1 z, z z 1, z 1 z, z, z z, z z1 1, z, z 1 + z, z 1 z, z 1 z, z z z 1 ako je zadano: 1 i a) z 1 = 1 + i, z = i b) z 1 = 1 i, z = i c) z 1 = i, z = 1 + i d) z 1 = i, z = 1 i e) z 1 = i, z = + i f) z 1 = 5 1 i, z = + 8 i g) z 1 = 1 1 3 i, z = 1 1 3 + i h) z 1 = 4 3 + 5 i, z = 5 3 4 i i) z 1 = j) z 1 = 3 1 i, z = 1 3 + i 3 1 i, z = 1 3 + i k) z 1 = 1 3 + 3 i, z = 1 i 3 3 l) z 1 = 5 4 5 5 i, z = m) z 1 = 3 7 + i, z = 5 5 + 5 i 7 i n) z 1 = 1 + i i, z = i i + 1 (1 i) (1 + i) o) z 1 =, z = 1+ i i 1 p) z 1 = (3 4 i), z = ( 4 + 3 i) q) z 1 = (1 i) 3 +13, z = ( + 3 i) + 58 r) z 1 = ( + i) 3 + (1 i) 3 i, z = ( i) 3 (1 + i) 3 1 s) z 1 = ( 1 + i) 3 (1 i) 1, z = ( 1 i) 3 (1 + i) i t) z 1 = ( + i) (3 i) 5, z = ( i) (3 + i) + i mrsc Bojan Kovačić, predavač 1
u) z 1 = (4 5 i)(3 i) (5i), z = (5 + 4 i)( + 3 i) + (5i) v) z 1 = (6 + 5 i)(7 + 8 i) + (9i), z = (5 6 i)(8 7 i) (9i) w) z 1 = (1 i) ( + i) (3 i), z = ( 1 + i) ( i) ( 3 + i) x) z 1 = y) z 1 = z) z 1 = (1 3 i) 8 i 3, z = (1 + 3 i) 8 (1 ) ( i + 1), z = ( i ) ( i + ) 6 6 3 3 3 ( + i) ( 4 1 i) + i 3, z = 3 3 3 ( i) ( 4 1+ i) i Odredite točke kompleksne ravnine pridružene kompleksnim brojevima z i z, pa ih prikažite grafički u pravokutnom koordinatnom sustavu u toj ravnini ako je zadano: a) z = i b) z = i c) z = 1 d) z = 1 e) z = + 3 i f) z = 3 + i g) z = 3 i h) z = 3 i i) z = 5 + i j) z = 1 3 i k) z = i l) z = ( ) ( ) i m) n) o) 1 z = + i 1 1 z = ( 4) + i 4 1 1 z = ( 5) i 10 5 1 z = 1 i p) ( ) mrsc Bojan Kovačić, predavač
1 q) z = ( 3 + i) 1 r) z = 8 i s) z = (5 i) ( 5 i) (5 i) t) z = (7 + 8 i) (8 + 7 i) + (4 7 i) 3 i 3 + i u) z = + + i i 1 i i v) z = 4 3 + i + i 1+ i + i 3 i w) z = 10 + 6 3 + i i x) y) z) 9 + i 3 + i z = + i 4 i i (5 + 3 i) (4 7 i) z = 5 4 (8 9 i) 3 + 4 i 3 15 1 i 1 i + z = + 8 1+ i 1 i 3 Odredite realne brojeve x, y R tako da kompleksni brojevi z 1 i z budu jednaki ako je zadano: a) z 1 = x + i, z = 1 + y i b) z 1 = x i, z = 4 + y 3 i c) z 1 = x i, z = y i d) z 1 = x 5 x + 6 + (y + 3 y + 1) i, z = 3 i e) z 1 = x, z = y i f) z 1 = x i, z = 3 010 y g) z 1 = x + y i, z = i h) z 1 = x y i, z = 5 + i i) z 1 = x 5 i, z = 4 + 5 y i j) z 1 = x + y + (x y) i, z = 4 i k) z 1 = x + y (x y) i, z = + 4 i mrsc Bojan Kovačić, predavač 3
l) z 1 = x y + (x + y) i, z = 1 3 i m) z 1 = x y (x + y) i, z = 5 + 7 i n) z 1 = 6 x + y (x 3 y) i, z = (5 + i) (7 + i) o) z 1 = x y (3 y 4 x) i, z = (7 i) ( 5 i) 9 i p) z 1 = x + 10 y (x 11 y) i, z = 5 + 16 3 + 4 i 4 3 i q) z 1 = x y + (x y) i, z = + 1 6 + 8 i r) z 1 = (x y) + (x y ) i, z = 0 s) z 1 = (x y ) + (x + y) i, z = 6 i t) z 1 = (x y ) (x y) i, z = 3 1 i u) z 1 = (x 3 y 3 ) (x y) i, z = 1+ i 010 v) z 1 = (x 3 + y 3 1+ i ) + (x + y) i, z = + 1 1 i w) z 1 = (x + y i) (1 i), z = 5 + 13 i 1 x) z 1 = (x y i) ( + i), z = 5 7 i + 1 x + y i y) z1 = 5, z = x (1 i) y 3 + i z) x y i 1 i z1 = ( 34) + 7 x 11 y i, z = 4 + i 1+ i 4 U kompleksnoj ravnini skicirajte sljedeće podskupove skupa C: a) S = {z C: Re(z) > 0} b) S = {z C: Im(z) < 0} c) S = {z C: Re(z) 0} d) S = {z C: ( ) Im(z) 0} e) S = {z C: Re[( ) z] 0} f) S = {z C: Im( z) 0} g) S = {z C: Im( z ) < 0} h) S = {z C: ( z) Re ( ) > 4} 010 mrsc Bojan Kovačić, predavač 4
i) S = {z C: Re(z) Im(z) > 0} j) S = {z C: Re(z) < Im(z)} k) S = {z C: Re( z) < Im( z )} l) S = {z C: Re( z ) > Im( z)} m) S = {z C: 1 1 Re z + Im z < 0 } n) S = {z C: Re( z) + Im( z) > } o) S = {z C: Re( z) Im( z) < 1} p) S = {z C: z = z } q) S = {z C: z = 4 z } r) S = {z C: z = ( ) z } s) S = {z C: z z Im ( z) t) S = {z C: z z Re( z) + = } = } u) S = {z C: Re( z 3 z) Im ( 3 z z) v) S = {z C: Re( z ) 0 } w) S = {z C: Re( z ) > 0 } x) S = {z C: ( ) = + } z z 3 Im z 0} y) S = {z C: ( ) Re z z z 0 } 010 1 010010 010 010 Re z Im z z z 0 } z) S = {z C: ( ) ( ) 5 U kompleksnoj ravnini skicirajte sljedeće podskupove skupa C: a) S = {z C: z = } b) S = { z C : z = } c) S = { z : z z = 9} C mrsc Bojan Kovačić, predavač 5
d) S = {z C: z + i = } e) S = {z C: z i = 3} f) S = {z C: z 1 + i = } g) S = {z C: z + 1 i = 3} h) S = {z C: z 1 i = 1} i) S = {z C: z + 1 i < 3} j) S = {z C: z 1 + i 1} k) S = {z C: z i < } l) S = {z C: z + i 1} m) S = {z C: z + + 3 i > 1} n) S = {z C: z + 3 i } o) S = {z C: z 3 i > 3} p) S = {z C: z 3 + i 3} q) S = {z C: Re(z) Im(z) 1} r) S = {z C: Re(z) Im(z) < 1} s) S = {z C: Re(z) Im(z) > } t) S = {z C: Re(z) Im(z) 3} u) S = {z C: Re( z) Im ( z) v) S = {z C: Re( z) Im ( 3 z) < 4} < 6} 1 w) S = {z C: Re Im ( 3) z z > 3} x) S = {z C: Re(z ) = 1} y) S = {z C: [Im(z )] < 8 [Re(z)] 3 } z) S = z : Im( z ) > 4 Re( z) C 3 mrsc Bojan Kovačić, predavač 6
6 a) Neka je f : C C funkcija definirana s f(x) = a x + b, gdje su a, b R realne konstante Pokažite da za svaki kompleksan broj z vrijedi jednakost f ( z) = f ( z) b) Neka je f : C C funkcija definirana s f(x) = a x + b x + c, gdje su a, b, c R realne konstante Pokažite da za svaki kompleksan broj z vrijedi jednakost f ( z) = f ( z) c) Vrijede li jednakosti iz prethodnih dvaju podzadataka ako pretpostavimo da su a, b, c C kompleksne konstante? Obrazložite svoj odgovor mrsc Bojan Kovačić, predavač 7