Zadatak 001 (Anela, ekonomska škola) Riješi sustav jednadžbi: 5 z = 0 + + z = 14 4 + + z = 16 Rješenje 001 Sustav rješavamo Gaussovom metodom eliminacije (isključivanja). Gaussova metoda provodi se pomoću sljedećih operacija: zamjene mjesta dviju jednadžbi sustava množenja (dijeljenja) neke jednadžbe sustava brojem različitim od nule dodavanjem jedne jednadžbe sustava drugoj jednadžbi sustava. 5 z = 0 ( I ) + + z = 14 ( II) 4 + + z = 16 ( III ) 1.korak:.korak:.korak: prvoj i drugoj jednadžbi zamijenimo mjesta, (I) < > (II), + + z = 14 ( I) 5 z = 0 ( II) 4 + + z = 16 ( III ) prvu jednadžbu pomnožimo brojem 5 i pribrojimo drugoj jednadžbi, (I) ( 5) + (II), + + z = 14 ( I) 11 16z = 70 ( II ) 4 + + z = 16 ( III ) prvu jednadžbu pomnožimo brojem 4 i pribrojimo trećoj jednadžbi, (I) ( 4) + (III), + + z = 14 ( I) 11 16z = 70 ( II) 5 10z = 40 ( III ) 4.korak: treću jednadžbu podijelimo brojem 5, (III) : ( 5), + + z = 14 ( I) 11 16z = 70 ( II ) + z = 8 ( III ) 5.korak: 6.korak: drugoj i trećoj jednadžbi zamijenimo mjesta, (II) < > (III), + + z = 14 ( I) + z = 8 ( II ) 11 16z = 70 ( III) drugu jednadžbu pomnožimo brojem 11 i pribrojimo trećoj jednadžbi, (II) 11 + (III), + + z = 14 ( I) + z = 8 ( II) 6z = 18 ( III ) 7.korak: treću jednadžbu podijelimo brojem 6 i dobijemo z: 6z = 18 / : 6 => z =. 8.korak: vrijednost z = uvrstimo u drugu jednadžbu i dobijemo : + z = 8 => + = 8 => + 6 = 8 => = 8 6 => =. 9.korak: vrijednosti z = i = uvrstimo u prvu jednadžbu i dobijemo : 1
+ + z = 14 => + + = 14 => + 4 + 9 = 14 => + 1 = 14 => = 1. Rješenje sustava je: (,, z) = (1,, ). Vježba 001 Riješi sustav jednadžbi: Rezultat: (,, z) = (1, 1, 1). Zadatak 00 (Jelena, ekonomska škola) Riješi sustav linearnih jednadžbi: 4 + + 4z = 9 + 5 + z = 10 + + z = 6. + = 19 + = 8. Rješenje 00 1.inačica (metoda supstitucije) U nekoj jednadžbi izračunat ćemo jednu nepoznanicu. Uvijek nastojimo naći nepoznanicu uz koju stoji najmanji koeficijent po apsolutnoj vrijednosti. Vrijednost za nađenu nepoznanicu uvrštavamo u drugu jednadžbu. U našem slučaju izračunat ćemo, na primjer, iz druge jednadžbe: + = 19 + = 8 = 8 ( 8 ) + = 19 + 4 = 19 = 19 4 = 5. Množimo cijelu jednadžbu brojem 1 i dobijemo = 5. Tu vrijednost za uvrstimo u = 8. Rezultat je (, ) = (5, ). = 8 5 =..inačica (metoda komparacije) Iz obje jednadžbe izračunamo istu nepoznanicu pa njihove vrijednosti kompariramo, usporedimo, tj. između nađenih vrijednosti za istu nepoznanicu stavimo znak jednakosti. 19 + = 19 = 19 / : =. + = 8 = 8 = 8 Izjednačimo vrijednosti za nepoznanicu : 19 = 8 / 19 = 16 + = 16 19 = / ( 1) =. Tada se dobije, na primjer iz = 8 = 8 = 5. Rezultat je (, ) = (5, )..inačica (metoda suprotnih koeficijenata) U obje jednadžbe uz istu nepoznanicu nastojimo dobiti suprotne koeficijente. To su dva broja čiji je zbroj jednak 0. Da bismo dobili suprotne koeficijente moramo ili jednu ili obje jednadžbe pomnožiti odgovarajućim brojevima. + = 19 + = 8 / ( ) Drugu jednadžbu pomnožili smo brojem. Zbrojimo jednadžbe + = 19 = 16. + = 19 16. =.
Nepoznanicu nađemo tako da = uvrstimo u drugu jednadžbu Rezultat je (, ) = (5, ). + = 8 => + = 8 => = 8 = 5. 4.inačica (metoda neodređenih koeficijenata) Pomnožimo, na primjer, prvu jednadžbu neodređenim koeficijentom A, A 0: Dobivene jednadžbe zbrojimo: Izlučimo i pa je: A + A = 19A + = 8. A + A + + = 19A + 8. (A + 1) + (A + 1) = 19A + 8. Ako izraz uz, na primjer, nepoznanicu izjednačimo s nulom, dobit ćemo: 1 A + 1 = 0 => A = 1 => A =. Budući da smo stavili A + 1 = 0, sada jednadžba glasi: 1 U nju uvrstimo A = : (A + 1) = 19A + 8. 1 1 19 1 1 19 8 1 8. + = + + = + = / = Nepoznanica može se dobiti na dva načina: uvrštavanjem = u bilo koju polaznu jednadžbu; izjednačavanjem s nulom izraza uz nepoznanicu, A + 1= 0, i analognim računanjem kao u navedenom sličaju. Rezultat je (, ) = (5, ). 5.inačica (pomoću Cramerovih formula) Najprije objasnimo pojam determinante drugog reda. Binom a d b c naziva se determinantom drugog reda i označava Znači da je a b c d Ako je zadan sustav: = a d b c. Na primjer, 5 1 onda determinantom sustava zovemo determinantu a b c d. = 5 1 ( ) = 60 + 6 = 66. a + b = c 1 1 1 +, = a b c Označimo još D = c1 b1 c b, D = a1 c1 a c. D = a1 b1 a b.
D se dobije da u determinanti sustava D prvi stupac zamijenimo slobodnim članovima c 1 i c. D se dobije da u determinanti sustava D drugi stupac zamijenimo slobodnim članovima c 1 i c. Rješenje sustava je D D =, =. D D Sustav jednadžbi ima jedinstveno rješenje ako je D 0. Za naš sustav jednadžbi bit će: + = 19 D = = 1 1 = = 1 + = 8 1 1 19 19 D = = 19 1 8 = 19 4 = 5, D = = 8 1 19 = 16 19 =. 8 1 1 8 Rješenje je : D 5 D = = = 5, = = =. D 1 D 1 6.inačica (metoda pretpostavke) Pretpostavimo da su u našem sustavu jednadžbi rješenja jednaka, tj. =. Iz druge jednadžbe + = 8, slijedi: + = 8 => = 8 / : => = 4. Znači da su = 4 i = 4. Dobivene rezultate uvrstimo u prvu jednadžbu + = 19 => 4 + 4 = 19 => 8 + 1 = 19 => 0 19. Vidimo da je lijeva strana prve jednadžbe veća od 19. Zato za nepoznanicu uzimamo broj koji je manji od 4. Vrijednost od promijenimo za neki iznos p: Uvrstimo to u drugu jednadžbu + = 8: = 4 p. 4 p + = 8 => = 8 4 + p => = 4 + p. Nove vrijednosti za i opet uvrstimo u prvu jednadžbu: (4 p) + (4 + p) = 19 => 8 p + 1 + p = 19 => p + p = 19 8 1 => p = 1. Sada je: = 4 p = 4 ( 1) = 4 + 1 = 5, = 4 + p = 4 + ( 1) = 4 1 =. 7.inačica (metoda ''snađi se'') Na prijamnim ispitima uz zadani sustav uvijek ponude 4 ili 5 rezultata od kojih je samo jedan točan. Na primjer, + = 19 + = 8. A) (1, 4) B) (5, ) C) (-, 5) D) (4, ) E) (7, 1). Bez računanja sustava bilo kojom metodom, jednostavno uvrštavajte koordinate i u jednadžbe i kada dobijete valjane jednakosti to je rezultat. Rješenje je B) jer je 5 + = 19 => 10 + 9 = 19 => 19 = 19 5 + = 8 => 8 = 8. 8.inačica (grafička metoda) Nacrtamo pravce čije su jednadžbe + = 19 4
8 6 4-10 -5 5 10 - -4-6 -8 + = 8. + = 19 => = + 19 / : => = / + 19/. + = 8 => = + 8. Presjek pravaca je traženo rješenje, točka s koordinatama T(5, ). = - + 19 T 5 = - + 8 Vježba 00 Riješi sustav linearnih jednadžbi: Rezultat: (, ) = (, ). 4 + = 9 + =. Zadatak 00 (Nina, komercijalna škola) Riješi sustav jednadžbi: + = 8 = 15. Rješenje 00 Iz linearne jednadžbe + = 8 izračunamo nepoznanicu (ili ) i njezimo rješenje uvrstimo u drugu jednadžbu. Dobit ćemo kvadratnu jednadžbu! + = 8 = 15 = 8 ( 8 ) = 15, 8 = 15 => + 8 15 = 0 / ( 1) => 8 + 15 = 0 => b ± b 4ac 8 ± 64 60 8 ± 4 8 ± 1, = = = = 1 = 5, =. a Nepoznanica sada se lako dobije: 1 = 5 => 1 = 8 1 = 8 5 =, = => = 8 = 8 = 5. Rješenja sustava su: ( 1, 1 ) = (5, ), (, ) = (, 5). Vježba 00 Riješi sustav jednadžbi: Rezultat: ( 1, 1 ) = (8, 4), (, ) = (4, 8). Zadatak 004 (Ivana, hotelijerska škola) Riješi nejednadžbu: ( ) ( + ) > 0. + = 1 =. Rješenje 004 Ponovimo kada je umnožak dva broja pozitivan, tj. veći od nule! Umnožak dva broja je pozitivan ako su oba faktora pozitivna ili negativna. 5
a b > 0 1. slučaj. slučaj a > 0 a < 0 b > 0 b < 0 Zadatak rješavamo u dva koraka. Prvi korak Najprije pretpostavimo da su oba faktora pozitivna i riješimo dobiveni sustav nejednadžbi. 1. slučaj Grafički prikaz rješenja! ( ) ( + ) > 0. 0. + 0 - - 0-4 4 Presjek (zajednički dio) rješenja obje nejednadžbe je rješenje sustava:, +. (1) Drugi korak Sada pretpostavimo da su oba faktora negativna i iznovice riješimo dobiveni sustav nejednadžbi.. slučaj Grafički prikaz rješenja! ( ) ( + ) > 0. 0. + 0-4 4 - - 0 Presjek (zajednički dio) rješenja obje nejednadžbe je rješenje sustava:,. () Konačno rješenje zadane nejednadžbe je unija rezultata (1) i (): Vježba 004 Riješi nejednadžbu: ( ) ( + ) > 0. Rezultat:,, +. Zadatak 005 (Hana, hotelijerska škola) Riješi nejednadžbu: ( + ) ( 1) < 0.,, +. Rješenje 005 Ponovimo kada je umnožak dva broja negativan, tj. manji od nule! Umnožak dva broja je negativan ako je jedan faktor pozitivan, a drugi negativan. Zadatak rješavamo u dva koraka. Prvi korak a b < 0 1. slučaj. slučaj a > 0 a < 0 b < 0 b > 0 6
Najprije pretpostavimo da je prvi faktor pozitivan, a drugi negativan i riješimo dobiveni sustav nejednadžbi. ( + ) ( 1) < 0. 1. slučaj + 0. 1 0 1 Grafički prikaz rješenja! -4-4 - 0 1 Presjek (zajednički dio) rješenja obje nejednadžbe je rješenje sustava:, 1 (1) Drugi korak Sada pretpostavimo da je prvi faktor negativan, a drugi pozitivan i iznovice riješimo dobiveni sustav nejednadžbi. ( + ) ( 1) < 0.. slučaj + 0. 1 0 1 Grafički prikaz rješenja! -4 4 - - 0 1 Presjek (zajednički dio) rješenja obje nejednadžbe je rješenje sustava: Vidimo da je presjek prazan skup (nema zajedničkog dijela):. () Konačno rješenje zadane nejednadžbe je unija rezultata (1) i (): Vježba 005 Riješi nejednadžbu: ( + 4) ( ) < 0. Rezultat: 4, = 4,. Zadatak 006 (Ines, gimnazija) Ako je a > 0, odredite skup rješenja sustava Rješenje 006 Podsjetimo se pravila:, 1 =, 1. + a = + a a = a. b, b 0 b = b, b = b, b < 0. Svaku jednadžbu sustava posebno riješimo. Jednadžba ( + a) = + a ekvivalentna je jednadžbi + a = + a. (1) 1.slučaj Najprije pretpostavimo da je izraz ''pod apsolutnom vrijednošću'' veći ili jednak nuli: + a 0 a. 7
Tada jednadžba (1) glasi: + a = + a => = a a => 0 = 0. Dobili smo identitet. To znači da je rješenje svaki broj za koji je a ili a, +..slučaj Iznovice pretpostavimo da je izraz ''pod apsolutnom vrijednošću'' strogo manji od nule: + a < 0 < a. Sada jednadžba (1) izgleda ovako: a = + a => = a + a => = a / : ( ) => = a. Zbog uvjeta < a, rješenje je prazan skup,. Rješenje prve jednadžbe unija je rješenja ova dva slučaja: a, + = a, +. Jednadžba ( a) = a ekvivalentna je jednadžbi a = a. () 1.slučaj Najprije pretpostavimo da je izraz ''pod apsolutnom vrijednošću'' veći ili jednak nuli: a 0 a. Tada jednadžba () glasi: a = a => + = a + a => = a / : => = a. Rješenje je = a ili { a}..slučaj Iznovice pretpostavimo da je izraz ''pod apsolutnom vrijednošću'' strogo manji od nule: a < 0 < a. Jednadžba () dana je u obliku: + a = a => + = a a => 0 = 0. Dobili smo identitet. To znači da je rješenje svaki broj za koji je < a ili, a. Rješenje druge jednadžbe unija je rješenja ova dva slučaja:, a a =, a. Rješenje sustava presjek je rješenja obje jednadžbe: Dakle, rješenje sustava je segment: Grafički prikaz rješenja! { } ] ] a, [ a, a], a + =. [ a a],. Vježba 006 Ako je a > 0, odredi skup rješenja jednadžbe Rezultat: { a },0. - a 0-4 - 4 ( + a) = a. a Zadatak 007 (Viki, gimnazija) Riješi nejednadžbu: 8
4 4 < 8. Rješenje 007 Zadana nejednadžba je sustav dvije nejednadžbe: Riješit ćemo zadanu nejednadžbu na sljedeći način: 4 4 4 < 8. pomnožimo nejednadžbu brojem (zajedničkim nazivnikom) 4 4 < 8 / 1 4 < 4. pribrojimo broj 4 1 4 < 4 / + 4 1 + 4 4 + 4 < 4 + 4 8 < 8. podijelimo brojem 8 < 8 /: 4 < 14. Rezultat je: 4, 14. Vježba 007 Riješi nejednadžbu: Rezultat: [, 1 ]. 6 4. 5 Zadatak 008 (Viki, gimnazija) + 4 Riješi nejednadžbu: < < 8. 5 Rješenje 008 Zadana nejednadžba je sustav dvije nejednadžbe: + 4 < 5 + 4 < 8. 5 Riješit ćemo zadanu nejednadžbu na sljedeći način: pomnožimo nejednadžbu brojem 5 (zajedničkim nazivnikom) + 4 < < 8 / 5 10 + 4 < 40. 5 pribrojimo broj 4 10 + 4 < 40 / + ( 4) 10 4 < + 4 4 < 40 4 6 < < 6. podijelimo brojem 6 < < 6 /: < < 18. Rezultat je:, 18. Vježba 008 6 Riješi nejednadžbu: <. 5 Rezultat:, 8. 9
Zadatak 009 (Viki, gimnazija) 5 Riješi nejednadžbu: 7 < 10. Rješenje 009 Zadana nejednadžba je sustav dvije nejednadžbe: Riješit ćemo zadanu nejednadžbu na sljedeći način: 5 7 < 5 10. pomnožimo nejednadžbu brojem (zajedničkim nazivnikom) 5 7 < 10 / 14 < 5 0. pribrojimo broj 5 14 < 5 0 / + 5 14 5 < 5 5 0 5 9 < 15. podijelimo brojem Rezultat je: Vježba 009 Riješi nejednadžbu: 1 <. Rezultat:,6 ]. Zadatak 010 (Viki, gimnazija) Riješi nejednadžbu: Rješenje 010 ( ) 9 < 15 /: > 5. 5,. 6 + < ( + 5). 6 + < + 5 6 + < 6 + 10 6 6 < 10 0 < 7. Nepoznanica je poništena: 6 6 = 0. Dobili smo nejednakost koja je istinita (točna): 0 < 7. To znači da je rezultat zadane nejednadžbe cijeli skup realnih brojeva. Rješenje pišemo na jedan od ovih načina: Vježba 010 Riješi nejednadžbu: 6 + 1 < ( + )., + ili R ili < < +. Rezultat:, + ili R ili < < +. Zadatak 011 (Ines, gimnazija) Koliki je broj uređenih parova realnih brojeva (, ) koji zadovoljavaju sustav jednadžbi: 6 = 1 = 4. Rješenje 011 g Prva jednadžba sustava je oblika f ( ) = 1, [f() =, g() = 6], gdje je realan broj. U njezinom rješavanju razlikujemo tri slučaja: g() = 0, f() je bilo koji realan broj različit od nule f() = 1, g() je bilo koji realan broj 10
f() = 1, g() je paran cijeli broj. Iz uvjeta 1 slijedi: 6 = 0 / : => = 0 => 1 = 1, =. Iz uvjeta jasno je da je = 1 također rješenje prve jednadžbe sustava. Iz uvjeta slijedi da je = 1 rješenje sustava jer je g( 1) = ( 1) ( 1) 6 = 0 pa je ( 1) 0 = 1. To rješenje već smo dobili iz uvjeta 1. Za 1 = 1, =, = 1 iz druge jednadžbe dobijemo odgovarajuće 1,, i : 4 4 4 4 = 4 = 1 = = 4, = =, = = 4. 1 Rješenje sustava su uređeni parovi: ( 1, 4), (, ) i (1, 4). Dakle, zadani sustav ima tri rješenja. Vježba 011 Koliki je broj uređenih parova realnih brojeva (, ) koji zadovoljavaju sustav jednadžbi: Rezultat: Tri rješenja: ( 1, 4), (, ) i (1, 4). + 9 6 = 1 = 4. Zadatak 01 (Ines, gimnazija) U sata udaljenost krajeva velike (minutne) i male (satne) kazaljke na uri jednaka je 1 cm, a u 9 sati 17 cm. Kolika je duljina velike (minutne) kazaljke? Rješenje 01 Položaj kazaljki u sata. 1 60 Budući da mala (satna) kazaljka za 1 sati jedanput obiđe brojčanik, znači da za 1 sati opiše puni kut, 60. Tada će za 1 sat opisati kut 0 [60 : 1 = 0 ]. Kut α iznosi: 60 0 α = = 60 0. 1 Uporabit ćemo kosinusov poučak: Položaj kazaljki u 9 sat. 1 = + cos 60 => + = 169. C 17 Uporabit ćemo Pitagorin poučak: 11 90 + = 17 => + = 89. Treba riješiti sustav jednadžbi: + = 169 [ od druge oduzmemo prvu ] + + = 89 169 = 10. + = 89
Podsjetimo se formula za kvadrat razlike i zbroja (kvadrat binoma): U sustavu jednadžbi: + = 169 + = 89 a ab + b = (a b), a + ab + b = (a + b). [nadopunimo lijeve strane jednadžbi na kvadrate binoma] => + = 169 169 ( ) = 169 10 + = 89 + + = + + + = 89 + ( + ) = 89 + 10 ( ) = 49 / = 7 = 15 [ negativne rezultate odbacujemo]. + = = 8 ( + ) = 59 / Duljina velike kazaljke je 15 cm. Vježba 01 U sata udaljenost krajeva velike (minutne) i male (satne) kazaljke na uri jednaka je 1 cm, a u 9 sati 17 cm. Kolika je duljina male (satne) kazaljke? Rezultat: 8 cm. Zadatak 01 (Ines, gimnazija) Ako su 1 =, = 1 rješenja jednadžbe + a 5 + b = 0, koliko iznosi a + b? Rješenje 01 Rješenja 1 =, = 1 uvrstimo u zadanu jednadžbu i riješimo sustav s nepoznanicama a i b: + a 5 + b = 0 8 + 4a 10 + b = 0 4a + b = ( 1) + a ( 1) 5 ( 1) + b = 0 1 + a + 5 + b = 0 a + b = 4 / ( 1) 4a + b = a = 6 a = b = 4 a = 4 = 6. a b = 4 Sada a + b iznosi: a + b = + ( 6) = 4 + 6 = 40. Vježba 01 Ako su 1 =, = 1 rješenja jednadžbe + a 5 + b = 0, koliko iznosi a + b? Rezultat: 8. Zadatak 014 (Anastazija, gimnazija) Ako rješenje sustava a =, + a = 4 leži na pravcu =, koliko iznosi koeficijent a? Rješenje 014 1. inačica Riješimo sustav jednadžbi: a = / a, a 0 a a = a a + 8 a + 6 = a + 8 =. + a = 4 / 6 + a = 8 a + 6 Nepoznanicu izračunamo iz druge jednadžbe: 4 4 a + 8 4 9a + 4 4a + 4 9a 4 + a = 4 a = 4 / a = = = = = a a a a a + 6 a a + a a + ( a ) ( a ) 4a 9a a 4 9 4a 9 = = =. a + 6 a + 6 a + 6 ( a ) ( a 6 ) ( 6) 1
Budući da rješenje leži na pravcu =, vrijedi: 4a 9 a + 8 = 4a 9 = a + 8 a = 17. a + 6 a + 6. inačica Budući da rješenje sustava mora ležati na pravcu =, proizlazi: a = a = / 1 a + = 1 [ = ] 5 = 1 =. + a = 4 + a = 4 + a = 4 5 Sada vrijedi: 1 1 a = a = + a = + / 5 a = + 15 = 17. 5 5. inačica Budući da rješenje sustava mora ležati na pravcu =, proizlazi: ( a ) a = a = metoda = [ = ] + a = 4 + a = 4 komparacije + a = 4 = a 4 = ( + a) = 4 ( a ) 9+ a = 4 a 8 4 a + a = + a a 4 a = 8 9 a = 17 / 1 a = 17. Vježba 014 Ako rješenje sustava a =, + a = 4 leži na pravcu =, koliko onda a iznosi? Rezultat: 4. Zadatak 015 (1A, hotelijerska škola) Kad je pećnica uključena 5 minuta doseći će temperaturu 55 ºC. Kad je uključena 10 minuta temperatura će joj biti 87 ºC. Pretpostavimo da temperatura pećnice linearno ovisi o vremenu. Kolika je temperatura pećnice nakon pola sata? Rješenje 015 Najprije odredimo linearnu funkciju koja opisuje kako temperatura pećnice ovisi o vremenu. Označimo vrijeme slovom t, a temperaturu koja linearno ovisi o vremenu s f(t). Budući da temperatura linearno ovisi o vremenu, zapisat ćemo to kao polinom prvog stupnja po t: f(t) = a t + b, gdje su a i b realni brojevi (koeficijenti) koje treba odrediti. Iz uvjeta zadatka slijedi: f (5) = 55 5a + b = 55 5a + b = 55 / 1 5a b = 55 5a = /: 5 a = 6.4. f (10) = 87 10a + b = 87 10a + b = 87 10a + b = 87 Lako izračunamo b: Temperatura pećnice nakon pola sata bit će: 5a + b = 55 5 6.4 + b = 55 + b = 55 b =. a = 6.4 f ( t) = 6.4 t + f (0) 6.4 0 15 0 = + = C. t = 0 1
Vježba 015 Kad je pećnica uključena 5 minuta doseći će temperaturu 55ºC. Kad je uključena 10 minuta temperatura će joj biti 87ºC. Pretpostavimo da temperatura pećnice linearno ovisi o vremenu. kolika je temperatura pećnice nakon sat vremena? Rezultat: 407 ºC. Zadatak 016 (A, hotelijerska škola) Tri su terena ograđena žicom kao na slici. Ukupna je površina terena 000 m, a ukupna duljina žičane ograde 80 m. Odredi dimenzije terena. Rješenje 016 Označimo slovom duljinu terena, a slovom širinu terena. Iz uvjeta zadatka slijedi sustav jednadžbi: = 000 = 000 = 000 = 000 ( 140 ) = 000 + 4 = 80 + 4 = 80 /: + = 140 = 140 140 000 = 0 + 140 000 = 0 /: 70 + 1000 = 0 b ± b 4ac 70 ± 4900 4000 70 ± 900 70 ± 0 1, = = = =. a Dobiju se dva rješenja: 70 + 0 100 70 0 40 1 = = = 50 1 = 140 50 = 40 i 0 140 0 100. = = = = = Iz slike vidi se da odgovara: = 100 m, = 0 m. Vježba 016 Tri su terena ograđena žicom kao na slici. Ukupna je površina terena 100 m, a ukupna duljina žičane ograde 108 m. Odredi dimenzije terena. Rezultat: 50 m, m. Zadatak 017 (Sanela, ekonomska škola) Ako neki broj podijelimo drugim, dobijemo količnik i ostatak. Ako se njihov zbroj podijeli njihovom razlikom, dobije se količnik i ostatak 8. Koji su to brojevi? Rješenje 017 Označimo tražene brojeve slovima i. Rečenicu "Ako neki broj podijelimo drugim, dobijemo količnik i ostatak... " zapisujemo ovako: : = = +. Rečenicu "... ako njihov zbroj podijelimo njihovom razlikom, dobije se količnik i ostatak 8." zapisujemo na ovaj način: ( ) ( ) + : = + = ( ) + 8. 8 14
Dobili smo sustav jednadžbi: = + = + [ metoda supstitucije] + = ( ) + 8 + = + 8 + + = + + 8 + = 4 + 4 + 8 4 + = 4 + 8 Brojevi su: i 10. = 10 = 10 + =. Vježba 017 Ako neki broj podijelimo drugim, dobijemo količnik 1 i ostatak. Ako se njihov zbroj podijeli njihovom razlikom, dobije se količnik 7 i ostatak. Koji su to brojevi? Rezultat: 1 i 10. Zadatak 018 (4A, hotelijerska škola) Ako jednadžba + a + b + = 0 ima rješenja 1 i, onda umnožak a b iznosi 5 15 5 A. B. 1 C. D. E. 4 4 Rješenje 018 Rješenja 1 i uvrstimo u jednadžbu i dobijemo sustav dvije jednadžbe s dvije nepoznanice: Rezultat je: 1 + a 1 + b 1+ = 0 1+ a + b + = 0 a + b = 4 + a + b + = 0 8 + 4a + b + = 0 4a + b = 11 a + b = 4 / a b = 8 [ metoda suprotnih koeficijenata] a = 4a + b = 11 4a + b = 11 Odgovor je pod D. 15 5 a = b = 4 a = 4 + =. 5 15 a b = =. 4 Vježba 018 Ako jednadžba + a + b + = 0 ima rješenja 1 i, kolika je razlika a b? Rezultat: 1. Zadatak 019 (Dijana, ekonomska škola) + 7 = a Za koji a brojevi, zadovoljavaju sustav i uvjet >? = 5 Rješenje 019 Iz zadanog sustava odredimo i pomoću metode suprotnih koeficijenata: + 7 = a + 7 = a a + 5 15 = a + 5 /:15 =, = 5 / 7 14 7 = 5 15 + 7 = a / 14 = a a 5 15 = a + 5 /: ( 15 ) =. = 5 = 5 15 Budući da je >, slijedi: a + 5 a > 5 / 15 a + 5 > a 5 0 a a > 5 0 5 a > 70 / ( 1) a < 70. 15 15 Rezultat je:, 70.
Vježba 019 Za koji a brojevi, zadovoljavaju sustav Rezultat: Rezultat je:, 40. + 7 = a = 5 i uvjet >? Zadatak 00 (Dijana, ekonomska škola) ( ) ( 1 ) = ( 6 ) ( + ) Iz sustava nađite +. ( + 4) ( ) = ( 4) Rješenje 00 ( ) ( 1) = ( 6) ( + ) + = + 6 18 ( + 4) ( ) = ( 4) + 4 8 = 4 /: ( ) ( ) + 6 = 18 4 + 4 = 0 4 = 5 / 1 + 4 + 4 = 8 + 8 = 8 /: 4 = 4 + = 5 = 9 /: ( ) =. 4 = 4 Tada je: = 5 = 5 = 8 + = 8 + = 11. = Vježba 00 ( ) ( 1) = ( 6) ( + ) Iz sustava nađite. ( + 4) ( ) = ( 4) Rezultat: 5. 16