Test iz Linearne algebre i Linearne algebre A qetvrti tok, U zavisnosti od realnog parametra λ rexiti sistem jednaqina x + y + z = λ x +

Test iz Linearne algebre i Linearne algebre A qetvrti tok, 2122017 1 U zavisnosti od realnog parametra λ rexiti sistem jednaqina x + y + z = λ x + λy + λ 2 z = λ 2 x + λ 2 y + λ 4 z = λ 4 2 Odrediti inverz matrice A = 1 2 3 4 2 3 1 2 1 1 1 1 1 0 2 6 3 a) Pokazati da su podskupovi U = { A M 3 (R) ( ) AB = BA, Tr A + A T = 0 }, gde je B = 1 0 0 0 2 0 0 0 3 a b + c a i V = 0 a + d 0 a, b, c, d R a b + c a potprostori vektorskog prostora M 3(R) Odrediti bar jednu bazu i dimenziju vektorskih prostora U, V, U + V i U V Da li je prethodna suma direktna? b) Odrediti dimenziju anihilatora U potprostora U ( ) p 4 Pokazati da je preslikavanje L : R 3 [x] M 2 (R), Lp = (2) p ( 2) 0 p (2) p(1) p linearno (1) Odrediti bar jednu bazu jezgra i slike, kao i rang i defekt ovog preslikavanja Vreme za rad je 90 minuta Sre no! Test iz Linearne algebre i Linearne algebre A qetvrti tok, 2122017 1 U zavisnosti od realnog parametra λ rexiti sistem jednaqina x + y + z = λ x + λy + λ 2 z = λ 2 x + λ 2 y + λ 4 z = λ 4 2 Odrediti inverz matrice A = 1 2 3 4 2 3 1 2 1 1 1 1 1 0 2 6 3 a) Pokazati da su podskupovi U = { A M 3 (R) ( ) AB = BA, Tr A + A T = 0 }, gde je B = 1 0 0 0 2 0 0 0 3 a b + c a i V = 0 a + d 0 a, b, c, d R a b + c a potprostori vektorskog prostora M 3(R) Odrediti bar jednu bazu i dimenziju vektorskih prostora U, V, U + V i U V Da li je prethodna suma direktna? b) Odrediti dimenziju anihilatora U potprostora U ( ) p 4 Pokazati da je preslikavanje L : R 3 [x] M 2 (R), Lp = (2) p ( 2) 0 p (2) p(1) p linearno (1) Odrediti bar jednu bazu jezgra i slike, kao i rang i defekt ovog preslikavanja Vreme za rad je 90 minuta Sre no!

Kolokvijum iz Linearne algebre ( A) qetvrti tok, 2812018 1 Rexiti sistem nad poljem Z 7 u zavisnosti od parametra α Z 7 : x + 4y + z = 2 3x + 3y + z = α 2x + (α + 6)y = α 2 + 2α + 5 2 Da li je podskup U potprostor vektorskog prostora V, gde ( je: ) 1 1 a) V = M 2 (R), U = {X V AX = XA, Tr X = Tr A}, gde je A =, 0 1 b) V = R 12 [x], U = {p V deg p = 10} {0}, gde je 0 nula polinom, v) V = R R, U = {f V f(0) f(1)} U sluqaju da je U vektorski potprostor odrediti njegovu bazu i dimenziju 3 Dati su potprostori U = {p R 3 [x] p (0) = 0} i V = {p R 4 [x] p(1) = p( 1)} vektorskog prostora R 4 [x] Odrediti bar jednu bazu i dimenziju vektorskih prostora U + V, U V, R 4 [x]/u, R 4 [x]/v, U i V Da li je suma U + V direktna? ( ) 0 1 4 Dato je preslikavanje L : M 2 (R) M 2 (R), LX = X T A AX T + (Tr X)A, gde je A = 1 3 a) Pokazati da je L linearni operator vektorskog prostora M 2 (R) b) Odrediti bar jednu bazu jezgra i slike, {( kao i rang ) i( defekt ) ovog ( operatora ) 1 1 3 2 0 0 v) Odrediti matricu prelaska sa baze f =,,, 0 0 0 0 1 1 bazu vektorskog prostora M 2 (R) g) Odrediti matricu operatora L u odnosu na bazu f ( 0 0 2 3 5 Na i par baza vektorskih prostora R 4 i R 3 [x] u odnosu na koje linearno preslikavanje L : R 4 R 3 [x], L(a, b, c, d) = (a + 2b d) + (2a + 5b c + 3d)x + (a + 4b 2c + 9d)x 2 )} na kanonsku ima kanonsku matricu ( ) p(0) p(1) 6 Dato je linearno preslikavanje L : R 3 [x] M 2 (R), Lp = p (0) p Odrediti matricu (1) linearnog ( preslikavanja ) L T u odnosu na par baza π = {π 11, π 12, π 21, Tr} i φ = {φ 1, φ 2, φ 3 }, gde su a11 a π 12 ij = a a 21 a ij, φ 1 p = p(0), φ 2 p = p (0) i φ 2 p = p (2) 22 Vreme za rad je 3 sata Sre no!

qetvrti tok, 862018 ( ) 1 0 1 a) Da li je suma U = L + {M M 0 2 2 (R) Tr M = 0, M T = M} direktna? Odrediti bar jednu bazu e i dimenziju vektorskog prostora U b) Odrediti bar jednu bazu f dualnog prostora U dualnu bazi e v) Za svaki funkcional Φ iz baze f odrediti vektor M M 2 (R) takav da vaжi Φ(X) = X M, za sve X M 2 (R), ako je skalarni proizvod na M 2 (R) zadat sa A B = Tr(AB T ) 2 Dato je linearno preslikavanje L : R 3 [x] R 3, Lp = (p (0), p(1), p( 1)) a) Odrediti bar po jednu bazu Ker L i Im L, kao i rang i defekt preslikavanja L b) Odrediti matricu preslikavanja L u odnosu na par baza {1 x, 1 x 2, 2 2x+x 2 } i {(1, 1, 3), (3, 1, 1), (2, 3, 7)} 3 U zavisnosti od realnog parametra α izraqunati vrednost determinante 2α α 1 0 0 0 0 1 α α 1 0 0 0 0 1 α 0 0 0 0 0 0 1 α α 1 0 0 0 0 1 α 4 Odrediti Жordanovu formu matrice A = 2 0 2 0 0 6 0 2 0 3 0 0 0 0 2 0 4 0 0 0 0 2 0 5 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 5 a) Pokazati da je preslikavanje : R 3 [x] R 3 [x] R, p q = p(0)q(0) + p(1)q(1) + 2p (1)q (1) p(1)q (1) p (1)q(1) jedan skalarni proizvod na vektorskom prostoru R 3 [x] b) Odrediti bar jednu ortonormiranu bazu R 3 [x] v) Odrediti ugao koji polinom x 2 zaklapa sa potprostorom (Lx) 1 2 2 6 a) Data je matrica A = 2 4 4 Odrediti ortogonalnu matricu P i dijagonalnu 2 4 4 matricu D takve da vaжi A = P DP T b) Dijagonalizovati kvadratnu formu q : R 3 R 3, q(x, y, z) = x 2 + 4y 2 + 4z 2 4xy + 4xz 8yz Vreme za rad je 3 sata Sre no!

qetvrti tok, 2562018 1 U zavisnosti od realnog parametra λ rexiti sistem linearnih jednaqina x + y + λz = λ 2 x + λy + z = λ λx + y + z = 1 2 Dato je linearno preslikavanje L : M 2 (R) R 3 [x], LM = Tr M + Tr(AM) x + Tr(BM) x 2, ( ) ( ) 0 2 1 1 gde je A = i B = 1 0 1 1 a) Odrediti bar po jednu bazu Ker L i Im L, kao i rang i defekt preslikavanja L b) Odrediti matricu preslikavanja L u odnosu na par baza {( ) ( ) ( ) ( )} 1 0 1 0 1 2 0 1 e =,,, i f = { 1 + x 2, 1 + 3x + 3x 2, 1 + 2x + 2x 2} 0 0 0 1 3 0 1 0 v) Odrediti dualne baze e i f, bazama e i f redom g) Odrediti matricu transponovanog preslikavanja L T u odnosu na par baza f i e 3 Izraqunati vrednost determinante 3 3 3 3 3 1 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 n 1 3 3 3 3 n 3 3 3 3 3 4 Dat je linearni operator L : R 3 [x] R 3 [x], Lp = ( 4 + 2x + x 2) p(0) + ( 1 + 5x + x 2) p (0) + ( 12 x + x2 ) p (1) a) Odrediti sopstvene vrednosti i sopstvene vektore operatora L b) Odrediti matricu operatora L 2018 u kanonskoj bazi ( ) 2 1 5 Data je matrica A = 1 2 a) Pokazati da je preslikavanje : M 2 (R) M 2 (R) R, X Y = Tr(X T AY ) jedan skalarni proizvod na vektorskom prostoru M 2 (R) b) Ako je U skup svih matrica koje komutiraju sa matricom A odrediti bar jednu ortonormiranu bazu U ( ) 1 1 v) Odrediti rastojanje matrice od potprostora U 0 0 6 Neka je data kvadratna forma Φ na R 3 na slede i naqin: q(x, y, z) = 2x 2 + 5y 2 + 5z 2 + 4xy 4xz 8yz a) Odrediti bar jednu ortonormiranu bazu f prostora R 3 u kojoj forma q ima dijagonalni oblik b) Izraziti formu q preko koordinata u bazi f i napisati formule transformacije koordinata Vreme za rad je 3 sata Sre no!

qetvrti tok, 3182018 1 Dati su podskupovi M 2 (R): {( ) a b V 1 = a, b R}, V b a 2 = {A M 2 (R) tr A + det A = 0}, V 3 = {A M 2 (R) A T = 2A} a) Koji od podskupova V i su i potprostori vektorskog prostora M 2 (R) b) Za sve potprostore V i odrediti bar po jednu bazu i dimenziju vektorskih prostora V i i M 2 (R)/V i 2 Dato je preslikavanje L : R 3 [x] R 3, Lp = ( ( ) 3 1 ) p(2) p(1), p, p(t)dt 2 1 a) Pokazati da je preslikavanje L linearno b) Odrediti bar po jednu bazu Ker L i Im L, kao i rang i defekt preslikavanja L v) Odrediti matricu preslikavanja L u odnosu na par baza e = { 1 + x, 1 x, 1 + 3x 2} i f = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} g) Odrediti matricu transponovanog preslikavanja L T u odnosu na par baza f i e, gde su e i f dualne baze baza e i f, redom 3 U zavisnosti od realnog parametra x izraqunati vrednost determinante 1 + x 2 x 0 0 0 x 1 + x 2 x 0 0 0 x 1 + x 2 0 0 0 0 0 1 + x 2 x 0 0 0 x 1 + x 2 4 a) Odrediti Жordanovu formu J matrice A = takvu da vaжi A = P JP 1 b) Odrediti matricu A n, za sve n N 5 a) Pokazati da je preslikavanje 2 1 1 1 5 2 0 1 2 : R 3 [x] R 3 [x] R, p q = p( 1)q( 1) + p (0)q (0) + p (1)q (1), kao i invertibilnu matricu P jedan skalarni proizvod na vektorskom prostoru R 3 [x] b) Odrediti bar jednu ortonormiranu bazu potprostora U = {p R 3 [x] p (0) = 0} v) Odrediti rastojanje polinoma p(x) = x 2 + x + 2 od potprostora U 6 a) Ispitati da li je matrica A = cos α cos β sin α cos β sin β sin α cos α 0 cos α sin β sin α sin β cos β simetriqna/ortogonalna u zavisnosti od realnih parametara α i β b) Za α = π 4 i β = 0 odrediti ortogonalnu matricu P takvu da matrica P T AP bude dijagonalna Vreme za rad je 3 sata Sre no!

qetvrti tok, 1792018 1 a) U zavisnosti od realnog parametra λ odrediti rang matrice A = 1 λ 1 2 2 1 λ 5 1 10 6 1 b) Za λ = 2 odrediti invertibilne matrice P i Q takve da vaжi P AQ = A 0, gde je A 0 kanonska matrica matrice A 2 a) Pokazati da je preslikavanje L : R 3 [x] R 3 [x], Lp = x p (x + 1) + p (x) jedan linearni operator vektorskog prostora R 3 [x] b) Odrediti bar po jednu bazu Ker L i Im L, kao i rang i defekt preslikavanja L v) Odrediti matricu operatora L u odnosu bazu {x, x x 2, 1 x + x 2 } 3 Izraqunati vrednost determinante 3 2 0 0 0 1 3 2 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 3 2 0 0 0 1 3 4 Odrediti sopstvene vrednosti i sopstvene vektore linearnog preslikavanja L : M 2 (R) M 2 (R), LX = AX + XB, gde je A = ( 3 5 0 2 ) ( 6 8 i B = 2 4 ) 5 a) Pokazati da je preslikavanje : M 2 (R) M 2 (R) R, ( ( 1 0 A B = Tr A 0 2 ) B T ) jedan skalarni proizvod na vektorskom prostoru M 2 (R) b) Odrediti bar po jednu ortonormiranu bazu vektorskog potprostora svih simetriqnih matrica S = {A M 2 (R) A T = A} i njegove ( ortogonalne ) dopune 1 0 v) Odrediti ugao koji matrica zaklapa sa potprostorom S 1 0 6 Odrediti bar jednu ortonormiranu bazu vektorskog prostora R 3 u kojoj kvadratna forma q(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 + xy + xz + yz ima dijagonalni oblik Izraziti formu q u toj bazi Vreme za rad je 3 sata Sre no!