Analitička geometrija Predavanje 4 Ekscentricitet konusnih preseka i klasifikacija kvadratnih krivih Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 1 / 15
Ekscentricitet konusnih preseka Posmatrajmo elipsu x 2 a 2 + y 2 = 1, a > b > 0 (odnosno, x osa je fokalna osa); b2 fokusi su dati sa F 1,2 (±c, 0), c = a 2 b 2, a > c > 0; temena su T 1,2 (±a, 0) c a (0, 1) Ako je c = 0, odnosno F 1 = F 2, onda je a = b i dobijamo kružnicu c a = 0 Ako c a, odnosno F i T i, i = 1, 2 onda b 0, te elipsa teži ka duži T 1 T 2 c a 1 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 2 / 15
Ekscentricitet konusnih preseka Posmatrajmo elipsu x 2 a 2 + y 2 = 1, a > b > 0 (odnosno, x osa je fokalna osa); b2 fokusi su dati sa F 1,2 (±c, 0), c = a 2 b 2, a > c > 0; temena su T 1,2 (±a, 0) c a (0, 1) Ako je c = 0, odnosno F 1 = F 2, onda je a = b i dobijamo kružnicu c a = 0 Ako c a, odnosno F i T i, i = 1, 2 onda b 0, te elipsa teži ka duži T 1 T 2 c a 1 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 2 / 15
Ekscentricitet konusnih preseka Posmatrajmo elipsu x 2 a 2 + y 2 = 1, a > b > 0 (odnosno, x osa je fokalna osa); b2 fokusi su dati sa F 1,2 (±c, 0), c = a 2 b 2, a > c > 0; temena su T 1,2 (±a, 0) c a (0, 1) Ako je c = 0, odnosno F 1 = F 2, onda je a = b i dobijamo kružnicu c a = 0 Ako c a, odnosno F i T i, i = 1, 2 onda b 0, te elipsa teži ka duži T 1 T 2 c a 1 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 2 / 15
Ekscentricitet konusnih preseka Posmatrajmo elipsu x 2 a 2 + y 2 = 1, a > b > 0 (odnosno, x osa je fokalna osa); b2 fokusi su dati sa F 1,2 (±c, 0), c = a 2 b 2, a > c > 0; temena su T 1,2 (±a, 0) c a (0, 1) Ako je c = 0, odnosno F 1 = F 2, onda je a = b i dobijamo kružnicu c a = 0 Ako c a, odnosno F i T i, i = 1, 2 onda b 0, te elipsa teži ka duži T 1 T 2 c a 1 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 2 / 15
Ekscentricitet konusnih preseka Posmatrajmo elipsu x 2 a 2 + y 2 = 1, a > b > 0 (odnosno, x osa je fokalna osa); b2 fokusi su dati sa F 1,2 (±c, 0), c = a 2 b 2, a > c > 0; temena su T 1,2 (±a, 0) c a (0, 1) Ako je c = 0, odnosno F 1 = F 2, onda je a = b i dobijamo kružnicu c a = 0 Ako c a, odnosno F i T i, i = 1, 2 onda b 0, te elipsa teži ka duži T 1 T 2 c a 1 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 2 / 15
Ekscentricitet konusnih preseka Posmatrajmo elipsu x 2 a 2 + y 2 = 1, a > b > 0 (odnosno, x osa je fokalna osa); b2 fokusi su dati sa F 1,2 (±c, 0), c = a 2 b 2, a > c > 0; temena su T 1,2 (±a, 0) c a (0, 1) Ako je c = 0, odnosno F 1 = F 2, onda je a = b i dobijamo kružnicu c a = 0 Ako c a, odnosno F i T i, i = 1, 2 onda b 0, te elipsa teži ka duži T 1 T 2 c a 1 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 2 / 15
Ekscentricitet konusnih preseka Posmatrajmo elipsu x 2 a 2 + y 2 = 1, a > b > 0 (odnosno, x osa je fokalna osa); b2 fokusi su dati sa F 1,2 (±c, 0), c = a 2 b 2, a > c > 0; temena su T 1,2 (±a, 0) c a (0, 1) Ako je c = 0, odnosno F 1 = F 2, onda je a = b i dobijamo kružnicu c a = 0 Ako c a, odnosno F i T i, i = 1, 2 onda b 0, te elipsa teži ka duži T 1 T 2 c a 1 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 2 / 15
Ekscentricitet konusnih preseka Posmatrajmo elipsu x 2 a 2 + y 2 = 1, a > b > 0 (odnosno, x osa je fokalna osa); b2 fokusi su dati sa F 1,2 (±c, 0), c = a 2 b 2, a > c > 0; temena su T 1,2 (±a, 0) c a (0, 1) Ako je c = 0, odnosno F 1 = F 2, onda je a = b i dobijamo kružnicu c a = 0 Ako c a, odnosno F i T i, i = 1, 2 onda b 0, te elipsa teži ka duži T 1 T 2 c a 1 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 2 / 15
Ekscentricitet elipse Ekscentricitet elipse je broj e koji se dobija kao količnik udaljenosti fokusa i udaljenosti temena, odnosno ako je data elipsa x 2 a 2 + y 2 = 1, a > b onda je b2 Napomena: e= udaljenost fokusa udaljenost temena = 2c 2a = c a = a2 b 2 Kod elipse je 0 < c < a, te je ekscentricitet 0 < e < 1 Ako je e = 0, onda je c = 0, odnosno a = b, pa dobijamo kružnicu Kada e 1, odnosno b 0, elipsa se sve više izdužuje ka duži T 1 T 2 Primer 4.1 Odrediti ekscentricitet putanje Halejeve komete ako se zna da se kreće po putanji oblika elipse 36,18 astronomskih jedinica dužine i 9,12 astronomski jedinica širine a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 3 / 15
Ekscentricitet elipse Ekscentricitet elipse je broj e koji se dobija kao količnik udaljenosti fokusa i udaljenosti temena, odnosno ako je data elipsa x 2 a 2 + y 2 = 1, a > b onda je b2 Napomena: e= udaljenost fokusa udaljenost temena = 2c 2a = c a = a2 b 2 Kod elipse je 0 < c < a, te je ekscentricitet 0 < e < 1 Ako je e = 0, onda je c = 0, odnosno a = b, pa dobijamo kružnicu Kada e 1, odnosno b 0, elipsa se sve više izdužuje ka duži T 1 T 2 Primer 4.1 Odrediti ekscentricitet putanje Halejeve komete ako se zna da se kreće po putanji oblika elipse 36,18 astronomskih jedinica dužine i 9,12 astronomski jedinica širine a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 3 / 15
Ekscentricitet elipse Ekscentricitet elipse je broj e koji se dobija kao količnik udaljenosti fokusa i udaljenosti temena, odnosno ako je data elipsa x 2 a 2 + y 2 = 1, a > b onda je b2 Napomena: e= udaljenost fokusa udaljenost temena = 2c 2a = c a = a2 b 2 Kod elipse je 0 < c < a, te je ekscentricitet 0 < e < 1 Ako je e = 0, onda je c = 0, odnosno a = b, pa dobijamo kružnicu Kada e 1, odnosno b 0, elipsa se sve više izdužuje ka duži T 1 T 2 Primer 4.1 Odrediti ekscentricitet putanje Halejeve komete ako se zna da se kreće po putanji oblika elipse 36,18 astronomskih jedinica dužine i 9,12 astronomski jedinica širine a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 3 / 15
Ekscentricitet elipse Ekscentricitet elipse je broj e koji se dobija kao količnik udaljenosti fokusa i udaljenosti temena, odnosno ako je data elipsa x 2 a 2 + y 2 = 1, a > b onda je b2 Napomena: e= udaljenost fokusa udaljenost temena = 2c 2a = c a = a2 b 2 Kod elipse je 0 < c < a, te je ekscentricitet 0 < e < 1 Ako je e = 0, onda je c = 0, odnosno a = b, pa dobijamo kružnicu Kada e 1, odnosno b 0, elipsa se sve više izdužuje ka duži T 1 T 2 Primer 4.1 Odrediti ekscentricitet putanje Halejeve komete ako se zna da se kreće po putanji oblika elipse 36,18 astronomskih jedinica dužine i 9,12 astronomski jedinica širine a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 3 / 15
Ekscentricitet elipse Ekscentricitet elipse je broj e koji se dobija kao količnik udaljenosti fokusa i udaljenosti temena, odnosno ako je data elipsa x 2 a 2 + y 2 = 1, a > b onda je b2 Napomena: e= udaljenost fokusa udaljenost temena = 2c 2a = c a = a2 b 2 Kod elipse je 0 < c < a, te je ekscentricitet 0 < e < 1 Ako je e = 0, onda je c = 0, odnosno a = b, pa dobijamo kružnicu Kada e 1, odnosno b 0, elipsa se sve više izdužuje ka duži T 1 T 2 Primer 4.1 Odrediti ekscentricitet putanje Halejeve komete ako se zna da se kreće po putanji oblika elipse 36,18 astronomskih jedinica dužine i 9,12 astronomski jedinica širine a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 3 / 15
Ekscentricitet elipse Direktrise elipse su prave d 1 i d 2 normalne na fokalnu (veliku) osu elipse takve da za svaku tačku P sa elipse važi d(p, F 1 ) = e d(p, D 1 ), odnosno d(p, F 2 ) = e d(p, D 2 ), gde su F 1, F 2 fokusi elipse, a D 1, D 2 projekcije tačke P na direktrise d 1 i d 2, redom Primer 4.2 Pokazati da su za elipsu x 2 a 2 + y 2 = 1, a > b odgovarajuće b2 direktrise prave oblika x = ± a e = ±a2 c = ± a 2 a2 b 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 4 / 15
Ekscentricitet elipse Direktrise elipse su prave d 1 i d 2 normalne na fokalnu (veliku) osu elipse takve da za svaku tačku P sa elipse važi d(p, F 1 ) = e d(p, D 1 ), d(p, F 2 ) = e d(p, D 2 ), odnosno gde su F 1, F 2 fokusi elipse, a D 1, D 2 projekcije tačke P na direktrise d 1 i d 2, redom Primer 4.2 Pokazati da su za elipsu x 2 a 2 + y 2 = 1, a > b odgovarajuće b2 direktrise prave oblika x = ± a e = ±a2 c = ± a 2 a2 b 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 4 / 15
Ekscentricitet elipse Direktrise elipse su prave d 1 i d 2 normalne na fokalnu (veliku) osu elipse takve da za svaku tačku P sa elipse važi d(p, F 1 ) = e d(p, D 1 ), d(p, F 2 ) = e d(p, D 2 ), odnosno gde su F 1, F 2 fokusi elipse, a D 1, D 2 projekcije tačke P na direktrise d 1 i d 2, redom Primer 4.2 Pokazati da su za elipsu x 2 a 2 + y 2 = 1, a > b odgovarajuće b2 direktrise prave oblika x = ± a e = ±a2 c = ± a 2 a2 b 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 4 / 15
Ekscentricitet elipse odnosi fokusa, temena i direktrisa elipse Desmos... elipsa Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 5 / 15
Ekscentricitet hiperbole Ekscentricitet hiperbole je broj e koji se dobija kao količnik udaljenosti fokusa i udaljenosti temena, odnosno ako je data hiperbola x 2 a 2 y 2 = 1 onda je b2 Napomena: e= udaljenost fokusa udaljenost temena = 2c 2a = c a = Kod hiperbole je c > a, te je ekscentricitet e > 1 a2 + b 2 kada e, onda c, odnosno b, pa hiperbola teži ka dve paralelne prave x = ±a kada e 1, onda c a, odnosno b 0, pa hiperbola teži ka dve poluprave "pp(, T 1 )" i "pp(t 2, )" a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 6 / 15
Ekscentricitet hiperbole Ekscentricitet hiperbole je broj e koji se dobija kao količnik udaljenosti fokusa i udaljenosti temena, odnosno ako je data hiperbola x 2 a 2 y 2 = 1 onda je b2 Napomena: e= udaljenost fokusa udaljenost temena = 2c 2a = c a = Kod hiperbole je c > a, te je ekscentricitet e > 1 a2 + b 2 kada e, onda c, odnosno b, pa hiperbola teži ka dve paralelne prave x = ±a kada e 1, onda c a, odnosno b 0, pa hiperbola teži ka dve poluprave "pp(, T 1 )" i "pp(t 2, )" a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 6 / 15
Ekscentricitet hiperbole Ekscentricitet hiperbole je broj e koji se dobija kao količnik udaljenosti fokusa i udaljenosti temena, odnosno ako je data hiperbola x 2 a 2 y 2 = 1 onda je b2 Napomena: e= udaljenost fokusa udaljenost temena = 2c 2a = c a = Kod hiperbole je c > a, te je ekscentricitet e > 1 a2 + b 2 kada e, onda c, odnosno b, pa hiperbola teži ka dve paralelne prave x = ±a kada e 1, onda c a, odnosno b 0, pa hiperbola teži ka dve poluprave "pp(, T 1 )" i "pp(t 2, )" a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 6 / 15
Ekscentricitet hiperbole Ekscentricitet hiperbole je broj e koji se dobija kao količnik udaljenosti fokusa i udaljenosti temena, odnosno ako je data hiperbola x 2 a 2 y 2 = 1 onda je b2 Napomena: e= udaljenost fokusa udaljenost temena = 2c 2a = c a = Kod hiperbole je c > a, te je ekscentricitet e > 1 a2 + b 2 kada e, onda c, odnosno b, pa hiperbola teži ka dve paralelne prave x = ±a kada e 1, onda c a, odnosno b 0, pa hiperbola teži ka dve poluprave "pp(, T 1 )" i "pp(t 2, )" a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 6 / 15
Ekscentricitet hiperbole Direktrise hiperbole su prave d 1 i d 2 normalne na fokalnu osu hiperbole takve da za svaku tačku P sa hiperbole važi d(p, F 1 ) = e d(p, D 1 ), odnosno d(p, F 2 ) = e d(p, D 2 ), gde su F 1, F 2 fokusi hiperbole, a D 1, D 2 projekcije tačke P na direktrise d 1 i d 2, redom Primer 4.3 Pokazati da su za hiperbolu x 2 y 2 = 1 direktrise prave x = ± a a 2 b 2 e Primer 4.4 Odrediti temena konusnog preseka čiji je ekscentricitet 0,8 a fokusi mu leže u tačkama (0, ±7) Primer 4.5 Odrediti jednačinu centriranog konusnog preseka čiji je jedan fokus (3, 0) a prava x = 1 mu je odgovarajuća direktrisa Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 7 / 15
Ekscentricitet hiperbole Direktrise hiperbole su prave d 1 i d 2 normalne na fokalnu osu hiperbole takve da za svaku tačku P sa hiperbole važi d(p, F 1 ) = e d(p, D 1 ), d(p, F 2 ) = e d(p, D 2 ), odnosno gde su F 1, F 2 fokusi hiperbole, a D 1, D 2 projekcije tačke P na direktrise d 1 i d 2, redom Primer 4.3 Pokazati da su za hiperbolu x 2 y 2 = 1 direktrise prave x = ± a a 2 b 2 e Primer 4.4 Odrediti temena konusnog preseka čiji je ekscentricitet 0,8 a fokusi mu leže u tačkama (0, ±7) Primer 4.5 Odrediti jednačinu centriranog konusnog preseka čiji je jedan fokus (3, 0) a prava x = 1 mu je odgovarajuća direktrisa Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 7 / 15
Ekscentricitet hiperbole Direktrise hiperbole su prave d 1 i d 2 normalne na fokalnu osu hiperbole takve da za svaku tačku P sa hiperbole važi d(p, F 1 ) = e d(p, D 1 ), d(p, F 2 ) = e d(p, D 2 ), odnosno gde su F 1, F 2 fokusi hiperbole, a D 1, D 2 projekcije tačke P na direktrise d 1 i d 2, redom Primer 4.3 Pokazati da su za hiperbolu x 2 y 2 = 1 direktrise prave x = ± a a 2 b 2 e Primer 4.4 Odrediti temena konusnog preseka čiji je ekscentricitet 0,8 a fokusi mu leže u tačkama (0, ±7) Primer 4.5 Odrediti jednačinu centriranog konusnog preseka čiji je jedan fokus (3, 0) a prava x = 1 mu je odgovarajuća direktrisa Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 7 / 15
Ekscentricitet hiperbole Direktrise hiperbole su prave d 1 i d 2 normalne na fokalnu osu hiperbole takve da za svaku tačku P sa hiperbole važi d(p, F 1 ) = e d(p, D 1 ), d(p, F 2 ) = e d(p, D 2 ), odnosno gde su F 1, F 2 fokusi hiperbole, a D 1, D 2 projekcije tačke P na direktrise d 1 i d 2, redom Primer 4.3 Pokazati da su za hiperbolu x 2 y 2 = 1 direktrise prave x = ± a a 2 b 2 e Primer 4.4 Odrediti temena konusnog preseka čiji je ekscentricitet 0,8 a fokusi mu leže u tačkama (0, ±7) Primer 4.5 Odrediti jednačinu centriranog konusnog preseka čiji je jedan fokus (3, 0) a prava x = 1 mu je odgovarajuća direktrisa Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 7 / 15
Ekscentricitet hiperbole Direktrise hiperbole su prave d 1 i d 2 normalne na fokalnu osu hiperbole takve da za svaku tačku P sa hiperbole važi d(p, F 1 ) = e d(p, D 1 ), d(p, F 2 ) = e d(p, D 2 ), odnosno gde su F 1, F 2 fokusi hiperbole, a D 1, D 2 projekcije tačke P na direktrise d 1 i d 2, redom Primer 4.3 Pokazati da su za hiperbolu x 2 y 2 = 1 direktrise prave x = ± a a 2 b 2 e Primer 4.4 Odrediti temena konusnog preseka čiji je ekscentricitet 0,8 a fokusi mu leže u tačkama (0, ±7) Primer 4.5 Odrediti jednačinu centriranog konusnog preseka čiji je jedan fokus (3, 0) a prava x = 1 mu je odgovarajuća direktrisa Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 7 / 15
Ekscentricitet hiperbole odnosi fokusa, temena i direktrisa hiperbole Desmos... hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 8 / 15
Ekscentricitet parabole. Klasifikacija u odnosu na e Ekscentricitet parabole je broj 1 Naime, parabolu smo bas i definisali kao skup tačaka P takvih da im je udaljenost od fokusa F jednaka udaljenosti od direktrise d d(p, F) = 1 d(p, D), gde je D projekcija tačke P na direktrisu d * primetimo da kod parabole postoji samo jedan par (F, d) Klasifikacija konusnih preseka u odnosu na ekscentricitet e, e 0: *odnos udaljenosti tačke od fokusa i direktrise: d(p, F) = e d(p, D)* e < 1 elipsa (specijalno, e = 0 kružnica nema direktrisu) e = 1 parabola e > 1 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 9 / 15
Ekscentricitet parabole. Klasifikacija u odnosu na e Ekscentricitet parabole je broj 1 Naime, parabolu smo bas i definisali kao skup tačaka P takvih da im je udaljenost od fokusa F jednaka udaljenosti od direktrise d d(p, F) = 1 d(p, D), gde je D projekcija tačke P na direktrisu d * primetimo da kod parabole postoji samo jedan par (F, d) Klasifikacija konusnih preseka u odnosu na ekscentricitet e, e 0: *odnos udaljenosti tačke od fokusa i direktrise: d(p, F) = e d(p, D)* e < 1 elipsa (specijalno, e = 0 kružnica nema direktrisu) e = 1 parabola e > 1 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 9 / 15
Ekscentricitet parabole. Klasifikacija u odnosu na e Ekscentricitet parabole je broj 1 Naime, parabolu smo bas i definisali kao skup tačaka P takvih da im je udaljenost od fokusa F jednaka udaljenosti od direktrise d d(p, F) = 1 d(p, D), gde je D projekcija tačke P na direktrisu d * primetimo da kod parabole postoji samo jedan par (F, d) Klasifikacija konusnih preseka u odnosu na ekscentricitet e, e 0: *odnos udaljenosti tačke od fokusa i direktrise: d(p, F) = e d(p, D)* e < 1 elipsa (specijalno, e = 0 kružnica nema direktrisu) e = 1 parabola e > 1 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 9 / 15
Ekscentricitet parabole. Klasifikacija u odnosu na e Ekscentricitet parabole je broj 1 Naime, parabolu smo bas i definisali kao skup tačaka P takvih da im je udaljenost od fokusa F jednaka udaljenosti od direktrise d d(p, F) = 1 d(p, D), gde je D projekcija tačke P na direktrisu d * primetimo da kod parabole postoji samo jedan par (F, d) Klasifikacija konusnih preseka u odnosu na ekscentricitet e, e 0: *odnos udaljenosti tačke od fokusa i direktrise: d(p, F) = e d(p, D)* e < 1 elipsa (specijalno, e = 0 kružnica nema direktrisu) e = 1 parabola e > 1 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 9 / 15
Ekscentricitet parabole. Klasifikacija u odnosu na e Ekscentricitet parabole je broj 1 Naime, parabolu smo bas i definisali kao skup tačaka P takvih da im je udaljenost od fokusa F jednaka udaljenosti od direktrise d d(p, F) = 1 d(p, D), gde je D projekcija tačke P na direktrisu d * primetimo da kod parabole postoji samo jedan par (F, d) Klasifikacija konusnih preseka u odnosu na ekscentricitet e, e 0: *odnos udaljenosti tačke od fokusa i direktrise: d(p, F) = e d(p, D)* e < 1 elipsa (specijalno, e = 0 kružnica nema direktrisu) e = 1 parabola e > 1 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 9 / 15
Ekscentricitet parabole. Klasifikacija u odnosu na e Ekscentricitet parabole je broj 1 Naime, parabolu smo bas i definisali kao skup tačaka P takvih da im je udaljenost od fokusa F jednaka udaljenosti od direktrise d d(p, F) = 1 d(p, D), gde je D projekcija tačke P na direktrisu d * primetimo da kod parabole postoji samo jedan par (F, d) Klasifikacija konusnih preseka u odnosu na ekscentricitet e, e 0: *odnos udaljenosti tačke od fokusa i direktrise: d(p, F) = e d(p, D)* e < 1 elipsa (specijalno, e = 0 kružnica nema direktrisu) e = 1 parabola e > 1 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 9 / 15
Ekscentricitet parabole. Klasifikacija u odnosu na e Ekscentricitet parabole je broj 1 Naime, parabolu smo bas i definisali kao skup tačaka P takvih da im je udaljenost od fokusa F jednaka udaljenosti od direktrise d d(p, F) = 1 d(p, D), gde je D projekcija tačke P na direktrisu d * primetimo da kod parabole postoji samo jedan par (F, d) Klasifikacija konusnih preseka u odnosu na ekscentricitet e, e 0: *odnos udaljenosti tačke od fokusa i direktrise: d(p, F) = e d(p, D)* e < 1 elipsa (specijalno, e = 0 kružnica nema direktrisu) e = 1 parabola e > 1 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 9 / 15
Ekscentricitet parabole. Klasifikacija u odnosu na e Ekscentricitet parabole je broj 1 Naime, parabolu smo bas i definisali kao skup tačaka P takvih da im je udaljenost od fokusa F jednaka udaljenosti od direktrise d d(p, F) = 1 d(p, D), gde je D projekcija tačke P na direktrisu d * primetimo da kod parabole postoji samo jedan par (F, d) Klasifikacija konusnih preseka u odnosu na ekscentricitet e, e 0: *odnos udaljenosti tačke od fokusa i direktrise: d(p, F) = e d(p, D)* e < 1 elipsa (specijalno, e = 0 kružnica nema direktrisu) e = 1 parabola e > 1 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 9 / 15
Kvadratne krive Kvadratne krive u ravni su rešenja (x, y) (beskonačan skup rešenja) kvadratne jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, gde A, B, C nisu svi jednaki 0 svi konusni preseci imaju kanonske jednačine ovog oblika * parabola... y = 1 4c x 2, odnosno x 2 4cy = 0 x * elipsa... 2 + y 2 = 1, odnosno b 2 x 2 + a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 a 2 b 2 x * hiperbola... 2 y 2 = 1, odnosno b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 a 2 b 2 linearni član Dx + Ey + F se formira translacijom * npr, kružnica sa centrom u C(h, k) : (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 postaje x 2 + y 2 2hx 2ky + h 2 + k 2 r 2 = 0 novina je mešoviti član Bxy Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 10 / 15
Kvadratne krive Kvadratne krive u ravni su rešenja (x, y) (beskonačan skup rešenja) kvadratne jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, gde A, B, C nisu svi jednaki 0 svi konusni preseci imaju kanonske jednačine ovog oblika * parabola... y = 1 4c x 2, odnosno x 2 4cy = 0 x * elipsa... 2 + y 2 = 1, odnosno b 2 x 2 + a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 a 2 b 2 x * hiperbola... 2 y 2 = 1, odnosno b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 a 2 b 2 linearni član Dx + Ey + F se formira translacijom * npr, kružnica sa centrom u C(h, k) : (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 postaje x 2 + y 2 2hx 2ky + h 2 + k 2 r 2 = 0 novina je mešoviti član Bxy Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 10 / 15
Kvadratne krive Kvadratne krive u ravni su rešenja (x, y) (beskonačan skup rešenja) kvadratne jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, gde A, B, C nisu svi jednaki 0 svi konusni preseci imaju kanonske jednačine ovog oblika * parabola... y = 1 4c x 2, odnosno x 2 4cy = 0 x * elipsa... 2 + y 2 = 1, odnosno b 2 x 2 + a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 a 2 b 2 x * hiperbola... 2 y 2 = 1, odnosno b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 a 2 b 2 linearni član Dx + Ey + F se formira translacijom * npr, kružnica sa centrom u C(h, k) : (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 postaje x 2 + y 2 2hx 2ky + h 2 + k 2 r 2 = 0 novina je mešoviti član Bxy Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 10 / 15
Kvadratne krive Kvadratne krive u ravni su rešenja (x, y) (beskonačan skup rešenja) kvadratne jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, gde A, B, C nisu svi jednaki 0 svi konusni preseci imaju kanonske jednačine ovog oblika * parabola... y = 1 4c x 2, odnosno x 2 4cy = 0 x * elipsa... 2 + y 2 = 1, odnosno b 2 x 2 + a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 a 2 b 2 x * hiperbola... 2 y 2 = 1, odnosno b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 a 2 b 2 linearni član Dx + Ey + F se formira translacijom * npr, kružnica sa centrom u C(h, k) : (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 postaje x 2 + y 2 2hx 2ky + h 2 + k 2 r 2 = 0 novina je mešoviti član Bxy Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 10 / 15
Kvadratne krive Kvadratne krive u ravni su rešenja (x, y) (beskonačan skup rešenja) kvadratne jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, gde A, B, C nisu svi jednaki 0 svi konusni preseci imaju kanonske jednačine ovog oblika * parabola... y = 1 4c x 2, odnosno x 2 4cy = 0 x * elipsa... 2 + y 2 = 1, odnosno b 2 x 2 + a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 a 2 b 2 x * hiperbola... 2 y 2 = 1, odnosno b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 a 2 b 2 linearni član Dx + Ey + F se formira translacijom * npr, kružnica sa centrom u C(h, k) : (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 postaje x 2 + y 2 2hx 2ky + h 2 + k 2 r 2 = 0 novina je mešoviti član Bxy Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 10 / 15
Kvadratne krive Kvadratne krive u ravni su rešenja (x, y) (beskonačan skup rešenja) kvadratne jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, gde A, B, C nisu svi jednaki 0 svi konusni preseci imaju kanonske jednačine ovog oblika * parabola... y = 1 4c x 2, odnosno x 2 4cy = 0 x * elipsa... 2 + y 2 = 1, odnosno b 2 x 2 + a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 a 2 b 2 x * hiperbola... 2 y 2 = 1, odnosno b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 a 2 b 2 linearni član Dx + Ey + F se formira translacijom * npr, kružnica sa centrom u C(h, k) : (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 postaje x 2 + y 2 2hx 2ky + h 2 + k 2 r 2 = 0 novina je mešoviti član Bxy Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 10 / 15
Kvadratne krive Kvadratne krive u ravni su rešenja (x, y) (beskonačan skup rešenja) kvadratne jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, gde A, B, C nisu svi jednaki 0 svi konusni preseci imaju kanonske jednačine ovog oblika * parabola... y = 1 4c x 2, odnosno x 2 4cy = 0 x * elipsa... 2 + y 2 = 1, odnosno b 2 x 2 + a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 a 2 b 2 x * hiperbola... 2 y 2 = 1, odnosno b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 a 2 b 2 linearni član Dx + Ey + F se formira translacijom * npr, kružnica sa centrom u C(h, k) : (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 postaje x 2 + y 2 2hx 2ky + h 2 + k 2 r 2 = 0 novina je mešoviti član Bxy Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 10 / 15
Kvadratne krive Kvadratne krive u ravni su rešenja (x, y) (beskonačan skup rešenja) kvadratne jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, gde A, B, C nisu svi jednaki 0 svi konusni preseci imaju kanonske jednačine ovog oblika * parabola... y = 1 4c x 2, odnosno x 2 4cy = 0 x * elipsa... 2 + y 2 = 1, odnosno b 2 x 2 + a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 a 2 b 2 x * hiperbola... 2 y 2 = 1, odnosno b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 a 2 b 2 linearni član Dx + Ey + F se formira translacijom * npr, kružnica sa centrom u C(h, k) : (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 postaje x 2 + y 2 2hx 2ky + h 2 + k 2 r 2 = 0 novina je mešoviti član Bxy Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 10 / 15
Kvadratne krive Kvadratne krive u ravni su rešenja (x, y) (beskonačan skup rešenja) kvadratne jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, gde A, B, C nisu svi jednaki 0 svi konusni preseci imaju kanonske jednačine ovog oblika * parabola... y = 1 4c x 2, odnosno x 2 4cy = 0 x * elipsa... 2 + y 2 = 1, odnosno b 2 x 2 + a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 a 2 b 2 x * hiperbola... 2 y 2 = 1, odnosno b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 a 2 b 2 linearni član Dx + Ey + F se formira translacijom * npr, kružnica sa centrom u C(h, k) : (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 postaje x 2 + y 2 2hx 2ky + h 2 + k 2 r 2 = 0 novina je mešoviti član Bxy Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 10 / 15
Mešoviti član Bxy Primer 4.6 Odrediti jednačinu hiperbole sa fokusima F 1 ( 3, 3) i F 2 (3, 3), ako je razlika udaljenosti tačke od fokusa 2a = 6 Iz definicije, za tačku P(x, y) sa hiperbole važi d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = ±6 odnosno, (x + 3) 2 + (y + 3) 2 (x 3) 2 + (y 3) 2 = ±6, što posle sre divanja izraza postaje 2xy = 9 fokusi su F 1 ( 3, 3) i F 2 (3, 3) dakle, fokalna osa je x = y (pod uglom π/4 u odnosu na x osu) temena su T 1 ( 3 2 2, 3 2 2 ) i T 2( 3 2 2, 3 2 2 ) asimptote su x i y osa Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 11 / 15
Mešoviti član Bxy Primer 4.6 Odrediti jednačinu hiperbole sa fokusima F 1 ( 3, 3) i F 2 (3, 3), ako je razlika udaljenosti tačke od fokusa 2a = 6 Iz definicije, za tačku P(x, y) sa hiperbole važi d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = ±6 odnosno, (x + 3) 2 + (y + 3) 2 (x 3) 2 + (y 3) 2 = ±6, što posle sre divanja izraza postaje 2xy = 9 fokusi su F 1 ( 3, 3) i F 2 (3, 3) dakle, fokalna osa je x = y (pod uglom π/4 u odnosu na x osu) temena su T 1 ( 3 2 2, 3 2 2 ) i T 2( 3 2 2, 3 2 2 ) asimptote su x i y osa Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 11 / 15
Mešoviti član Bxy Primer 4.6 Odrediti jednačinu hiperbole sa fokusima F 1 ( 3, 3) i F 2 (3, 3), ako je razlika udaljenosti tačke od fokusa 2a = 6 Iz definicije, za tačku P(x, y) sa hiperbole važi d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = ±6 odnosno, (x + 3) 2 + (y + 3) 2 (x 3) 2 + (y 3) 2 = ±6, što posle sre divanja izraza postaje 2xy = 9 fokusi su F 1 ( 3, 3) i F 2 (3, 3) dakle, fokalna osa je x = y (pod uglom π/4 u odnosu na x osu) temena su T 1 ( 3 2 2, 3 2 2 ) i T 2( 3 2 2, 3 2 2 ) asimptote su x i y osa Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 11 / 15
Mešoviti član Bxy Primer 4.6 Odrediti jednačinu hiperbole sa fokusima F 1 ( 3, 3) i F 2 (3, 3), ako je razlika udaljenosti tačke od fokusa 2a = 6 Iz definicije, za tačku P(x, y) sa hiperbole važi d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = ±6 odnosno, (x + 3) 2 + (y + 3) 2 (x 3) 2 + (y 3) 2 = ±6, što posle sre divanja izraza postaje 2xy = 9 fokusi su F 1 ( 3, 3) i F 2 (3, 3) dakle, fokalna osa je x = y (pod uglom π/4 u odnosu na x osu) temena su T 1 ( 3 2 2, 3 2 2 ) i T 2( 3 2 2, 3 2 2 ) asimptote su x i y osa Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 11 / 15
Mešoviti član Bxy Primer 4.6 Odrediti jednačinu hiperbole sa fokusima F 1 ( 3, 3) i F 2 (3, 3), ako je razlika udaljenosti tačke od fokusa 2a = 6 Iz definicije, za tačku P(x, y) sa hiperbole važi d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = ±6 odnosno, (x + 3) 2 + (y + 3) 2 (x 3) 2 + (y 3) 2 = ±6, što posle sre divanja izraza postaje 2xy = 9 fokusi su F 1 ( 3, 3) i F 2 (3, 3) dakle, fokalna osa je x = y (pod uglom π/4 u odnosu na x osu) temena su T 1 ( 3 2 2, 3 2 2 ) i T 2( 3 2 2, 3 2 2 ) asimptote su x i y osa Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 11 / 15
Mešoviti član Bxy Primer 4.6 Odrediti jednačinu hiperbole sa fokusima F 1 ( 3, 3) i F 2 (3, 3), ako je razlika udaljenosti tačke od fokusa 2a = 6 Iz definicije, za tačku P(x, y) sa hiperbole važi d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = ±6 odnosno, (x + 3) 2 + (y + 3) 2 (x 3) 2 + (y 3) 2 = ±6, što posle sre divanja izraza postaje 2xy = 9 fokusi su F 1 ( 3, 3) i F 2 (3, 3) dakle, fokalna osa je x = y (pod uglom π/4 u odnosu na x osu) temena su T 1 ( 3 2 2, 3 2 2 ) i T 2( 3 2 2, 3 2 2 ) asimptote su x i y osa Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 11 / 15
Mešoviti član Bxy Primer 4.6 Odrediti jednačinu hiperbole sa fokusima F 1 ( 3, 3) i F 2 (3, 3), ako je razlika udaljenosti tačke od fokusa 2a = 6 Iz definicije, za tačku P(x, y) sa hiperbole važi d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = ±6 odnosno, (x + 3) 2 + (y + 3) 2 (x 3) 2 + (y 3) 2 = ±6, što posle sre divanja izraza postaje 2xy = 9 fokusi su F 1 ( 3, 3) i F 2 (3, 3) dakle, fokalna osa je x = y (pod uglom π/4 u odnosu na x osu) temena su T 1 ( 3 2 2, 3 2 2 ) i T 2( 3 2 2, 3 2 2 ) asimptote su x i y osa Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 11 / 15
Rotacija pravouglog koordinatnog sistema Tačka P prvo ima koordinate P(x, y) nakon rotacije k.s. za α postaje P(x, y ) x = OM = OP cos(α + φ) = OP cos φ cos α OP sin φ sin α y = MP = OP sin(α + φ) = OP cos φ sin α + OP sin φ cos α ako koristimo dodatno i x = OM = OP cos φ y = PM = OP sin φ dobijamo formule za prelazak iz jednog koordinatnog sistema u drugi x = x cos α y sin α y = x sin α + y cos α Primer 4.7 Odrediti jednačinu hiperbole 2xy = 9 u koordinatnom sistemu x y, koji nastaje rotiranjem prvobitnog xy koordinatnog sistema za ugao π 4 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 12 / 15
Rotacija pravouglog koordinatnog sistema Tačka P prvo ima koordinate P(x, y) nakon rotacije k.s. za α postaje P(x, y ) x = OM = OP cos(α + φ) = OP cos φ cos α OP sin φ sin α y = MP = OP sin(α + φ) = OP cos φ sin α + OP sin φ cos α ako koristimo dodatno i x = OM = OP cos φ y = PM = OP sin φ dobijamo formule za prelazak iz jednog koordinatnog sistema u drugi x = x cos α y sin α y = x sin α + y cos α Primer 4.7 Odrediti jednačinu hiperbole 2xy = 9 u koordinatnom sistemu x y, koji nastaje rotiranjem prvobitnog xy koordinatnog sistema za ugao π 4 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 12 / 15
Rotacija pravouglog koordinatnog sistema Tačka P prvo ima koordinate P(x, y) nakon rotacije k.s. za α postaje P(x, y ) x = OM = OP cos(α + φ) = OP cos φ cos α OP sin φ sin α y = MP = OP sin(α + φ) = OP cos φ sin α + OP sin φ cos α ako koristimo dodatno i x = OM = OP cos φ y = PM = OP sin φ dobijamo formule za prelazak iz jednog koordinatnog sistema u drugi x = x cos α y sin α y = x sin α + y cos α Primer 4.7 Odrediti jednačinu hiperbole 2xy = 9 u koordinatnom sistemu x y, koji nastaje rotiranjem prvobitnog xy koordinatnog sistema za ugao π 4 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 12 / 15
Rotacija pravouglog koordinatnog sistema Tačka P prvo ima koordinate P(x, y) nakon rotacije k.s. za α postaje P(x, y ) x = OM = OP cos(α + φ) = OP cos φ cos α OP sin φ sin α y = MP = OP sin(α + φ) = OP cos φ sin α + OP sin φ cos α ako koristimo dodatno i x = OM = OP cos φ y = PM = OP sin φ dobijamo formule za prelazak iz jednog koordinatnog sistema u drugi x = x cos α y sin α y = x sin α + y cos α Primer 4.7 Odrediti jednačinu hiperbole 2xy = 9 u koordinatnom sistemu x y, koji nastaje rotiranjem prvobitnog xy koordinatnog sistema za ugao π 4 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 12 / 15
Rotacija pravouglog koordinatnog sistema Tačka P prvo ima koordinate P(x, y) nakon rotacije k.s. za α postaje P(x, y ) x = OM = OP cos(α + φ) = OP cos φ cos α OP sin φ sin α y = MP = OP sin(α + φ) = OP cos φ sin α + OP sin φ cos α ako koristimo dodatno i x = OM = OP cos φ y = PM = OP sin φ dobijamo formule za prelazak iz jednog koordinatnog sistema u drugi x = x cos α y sin α y = x sin α + y cos α Primer 4.7 Odrediti jednačinu hiperbole 2xy = 9 u koordinatnom sistemu x y, koji nastaje rotiranjem prvobitnog xy koordinatnog sistema za ugao π 4 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 12 / 15
Rotacija pravouglog koordinatnog sistema Tačka P prvo ima koordinate P(x, y) nakon rotacije k.s. za α postaje P(x, y ) x = OM = OP cos(α + φ) = OP cos φ cos α OP sin φ sin α y = MP = OP sin(α + φ) = OP cos φ sin α + OP sin φ cos α ako koristimo dodatno i x = OM = OP cos φ y = PM = OP sin φ dobijamo formule za prelazak iz jednog koordinatnog sistema u drugi x = x cos α y sin α y = x sin α + y cos α Primer 4.7 Odrediti jednačinu hiperbole 2xy = 9 u koordinatnom sistemu x y, koji nastaje rotiranjem prvobitnog xy koordinatnog sistema za ugao π 4 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 12 / 15
Rotacija pravouglog koordinatnog sistema Nakon rotacije xy koordinatnog sistema za ugao α u novodobijenom k.s. x y, početna kvadratna jednačina je opet oblika A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0, gde je A = A cos 2 α + B cos α sin α + C sin 2 α B = B cos 2α + (C A) sin 2α C = A sin 2 α B sin α cos α + C cos 2 α D = D cos α + E sin α E = D sin α + E cos α F = F Dakle, da bi nestao mešoviti član B x y potrebno je rotirati xy koordinatni sistem za ugao α tako da B = B cos 2α + (C A) sin 2α = 0, odnosno tg 2α = B A C ili ctg 2α = A C B Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 13 / 15
Rotacija pravouglog koordinatnog sistema Nakon rotacije xy koordinatnog sistema za ugao α u novodobijenom k.s. x y, početna kvadratna jednačina je opet oblika A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0, gde je A = A cos 2 α + B cos α sin α + C sin 2 α B = B cos 2α + (C A) sin 2α C = A sin 2 α B sin α cos α + C cos 2 α D = D cos α + E sin α E = D sin α + E cos α F = F Dakle, da bi nestao mešoviti član B x y potrebno je rotirati xy koordinatni sistem za ugao α tako da B = B cos 2α + (C A) sin 2α = 0, odnosno tg 2α = B A C ili ctg 2α = A C B Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 13 / 15
Rotacija pravouglog koordinatnog sistema Nakon rotacije xy koordinatnog sistema za ugao α u novodobijenom k.s. x y, početna kvadratna jednačina je opet oblika A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0, gde je A = A cos 2 α + B cos α sin α + C sin 2 α B = B cos 2α + (C A) sin 2α C = A sin 2 α B sin α cos α + C cos 2 α D = D cos α + E sin α E = D sin α + E cos α F = F Dakle, da bi nestao mešoviti član B x y potrebno je rotirati xy koordinatni sistem za ugao α tako da B = B cos 2α + (C A) sin 2α = 0, odnosno tg 2α = B A C ili ctg 2α = A C B Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 13 / 15
Rotacija pravouglog koordinatnog sistema Nakon rotacije xy koordinatnog sistema za ugao α u novodobijenom k.s. x y, početna kvadratna jednačina je opet oblika A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0, gde je A = A cos 2 α + B cos α sin α + C sin 2 α B = B cos 2α + (C A) sin 2α C = A sin 2 α B sin α cos α + C cos 2 α D = D cos α + E sin α E = D sin α + E cos α F = F Dakle, da bi nestao mešoviti član B x y potrebno je rotirati xy koordinatni sistem za ugao α tako da B = B cos 2α + (C A) sin 2α = 0, odnosno tg 2α = B A C ili ctg 2α = A C B Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 13 / 15
Rotacija pravouglog koordinatnog sistema Nakon rotacije xy koordinatnog sistema za ugao α u novodobijenom k.s. x y, početna kvadratna jednačina je opet oblika A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0, gde je A = A cos 2 α + B cos α sin α + C sin 2 α B = B cos 2α + (C A) sin 2α C = A sin 2 α B sin α cos α + C cos 2 α D = D cos α + E sin α E = D sin α + E cos α F = F Dakle, da bi nestao mešoviti član B x y potrebno je rotirati xy koordinatni sistem za ugao α tako da B = B cos 2α + (C A) sin 2α = 0, odnosno tg 2α = B A C ili ctg 2α = A C B Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 13 / 15
Klasifikacija kvadratnih krivih Neka je xy koordinatni sistem postavljen tako da kvadratna jednačina nema mesoviti člana Bxy, odnosno da je oblika Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Tada znamo da je odgovarajuća kvadratna kriva (imajući u vidu i eventualne translacije u ravni) A = C 0 kružnica (spec. tačka ili prazan skup) A = 0 D 0 ili C = 0 E 0 parabola AC > 0 elipsa (spec. kružnica, tačka ili prazan skup) AC < 0 hiperbola (spec. dve prave koje se seku) A = C = 0 i D, E 0 prava ako možemo da faktorišemo kvadratni polinom kao proizvod dva linearna polinoma, onda dobijamo dve prave (ili jednu ako se poklapaju) npr. (x + ay + b)(x ay + c) = x 2 a 2 y 2 + (b + c)x + a(c b)y + bc = 0 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 14 / 15
Klasifikacija kvadratnih krivih Neka je xy koordinatni sistem postavljen tako da kvadratna jednačina nema mesoviti člana Bxy, odnosno da je oblika Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Tada znamo da je odgovarajuća kvadratna kriva (imajući u vidu i eventualne translacije u ravni) A = C 0 kružnica (spec. tačka ili prazan skup) A = 0 D 0 ili C = 0 E 0 parabola AC > 0 elipsa (spec. kružnica, tačka ili prazan skup) AC < 0 hiperbola (spec. dve prave koje se seku) A = C = 0 i D, E 0 prava ako možemo da faktorišemo kvadratni polinom kao proizvod dva linearna polinoma, onda dobijamo dve prave (ili jednu ako se poklapaju) npr. (x + ay + b)(x ay + c) = x 2 a 2 y 2 + (b + c)x + a(c b)y + bc = 0 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 14 / 15
Klasifikacija kvadratnih krivih Neka je xy koordinatni sistem postavljen tako da kvadratna jednačina nema mesoviti člana Bxy, odnosno da je oblika Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Tada znamo da je odgovarajuća kvadratna kriva (imajući u vidu i eventualne translacije u ravni) A = C 0 kružnica (spec. tačka ili prazan skup) A = 0 D 0 ili C = 0 E 0 parabola AC > 0 elipsa (spec. kružnica, tačka ili prazan skup) AC < 0 hiperbola (spec. dve prave koje se seku) A = C = 0 i D, E 0 prava ako možemo da faktorišemo kvadratni polinom kao proizvod dva linearna polinoma, onda dobijamo dve prave (ili jednu ako se poklapaju) npr. (x + ay + b)(x ay + c) = x 2 a 2 y 2 + (b + c)x + a(c b)y + bc = 0 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 14 / 15
Klasifikacija kvadratnih krivih Neka je xy koordinatni sistem postavljen tako da kvadratna jednačina nema mesoviti člana Bxy, odnosno da je oblika Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Tada znamo da je odgovarajuća kvadratna kriva (imajući u vidu i eventualne translacije u ravni) A = C 0 kružnica (spec. tačka ili prazan skup) A = 0 D 0 ili C = 0 E 0 parabola AC > 0 elipsa (spec. kružnica, tačka ili prazan skup) AC < 0 hiperbola (spec. dve prave koje se seku) A = C = 0 i D, E 0 prava ako možemo da faktorišemo kvadratni polinom kao proizvod dva linearna polinoma, onda dobijamo dve prave (ili jednu ako se poklapaju) npr. (x + ay + b)(x ay + c) = x 2 a 2 y 2 + (b + c)x + a(c b)y + bc = 0 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 14 / 15
Klasifikacija kvadratnih krivih Neka je xy koordinatni sistem postavljen tako da kvadratna jednačina nema mesoviti člana Bxy, odnosno da je oblika Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Tada znamo da je odgovarajuća kvadratna kriva (imajući u vidu i eventualne translacije u ravni) A = C 0 kružnica (spec. tačka ili prazan skup) A = 0 D 0 ili C = 0 E 0 parabola AC > 0 elipsa (spec. kružnica, tačka ili prazan skup) AC < 0 hiperbola (spec. dve prave koje se seku) A = C = 0 i D, E 0 prava ako možemo da faktorišemo kvadratni polinom kao proizvod dva linearna polinoma, onda dobijamo dve prave (ili jednu ako se poklapaju) npr. (x + ay + b)(x ay + c) = x 2 a 2 y 2 + (b + c)x + a(c b)y + bc = 0 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 14 / 15
Klasifikacija kvadratnih krivih Neka je xy koordinatni sistem postavljen tako da kvadratna jednačina nema mesoviti člana Bxy, odnosno da je oblika Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Tada znamo da je odgovarajuća kvadratna kriva (imajući u vidu i eventualne translacije u ravni) A = C 0 kružnica (spec. tačka ili prazan skup) A = 0 D 0 ili C = 0 E 0 parabola AC > 0 elipsa (spec. kružnica, tačka ili prazan skup) AC < 0 hiperbola (spec. dve prave koje se seku) A = C = 0 i D, E 0 prava ako možemo da faktorišemo kvadratni polinom kao proizvod dva linearna polinoma, onda dobijamo dve prave (ili jednu ako se poklapaju) npr. (x + ay + b)(x ay + c) = x 2 a 2 y 2 + (b + c)x + a(c b)y + bc = 0 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 14 / 15
Klasifikacija kvadratnih krivih Neka je xy koordinatni sistem postavljen tako da kvadratna jednačina nema mesoviti člana Bxy, odnosno da je oblika Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Tada znamo da je odgovarajuća kvadratna kriva (imajući u vidu i eventualne translacije u ravni) A = C 0 kružnica (spec. tačka ili prazan skup) A = 0 D 0 ili C = 0 E 0 parabola AC > 0 elipsa (spec. kružnica, tačka ili prazan skup) AC < 0 hiperbola (spec. dve prave koje se seku) A = C = 0 i D, E 0 prava ako možemo da faktorišemo kvadratni polinom kao proizvod dva linearna polinoma, onda dobijamo dve prave (ili jednu ako se poklapaju) npr. (x + ay + b)(x ay + c) = x 2 a 2 y 2 + (b + c)x + a(c b)y + bc = 0 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 14 / 15
Klasifikacija kvadratnih krivih Neka je xy koordinatni sistem postavljen tako da kvadratna jednačina nema mesoviti člana Bxy, odnosno da je oblika Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Tada znamo da je odgovarajuća kvadratna kriva (imajući u vidu i eventualne translacije u ravni) A = C 0 kružnica (spec. tačka ili prazan skup) A = 0 D 0 ili C = 0 E 0 parabola AC > 0 elipsa (spec. kružnica, tačka ili prazan skup) AC < 0 hiperbola (spec. dve prave koje se seku) A = C = 0 i D, E 0 prava ako možemo da faktorišemo kvadratni polinom kao proizvod dva linearna polinoma, onda dobijamo dve prave (ili jednu ako se poklapaju) npr. (x + ay + b)(x ay + c) = x 2 a 2 y 2 + (b + c)x + a(c b)y + bc = 0 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 14 / 15
Klasifikacija kvadratnih krivih Primer 4.8 Pokazati da važi B 2 4AC = B 2 4A C Koristeći ovu činjenicu dobijamo test diskriminante za opšti oblik jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 parabola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C = 0 elipsa: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C < 0 hiperbola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C > 0 naravno, mogući su i svi spominjani specijalni slučajevi Primer 4.9 Odrediti koji konusni preseci su dati narednim jednačinama 3x 2 6xy + 3y 2 + 2x 7 = 0 parabola x 2 + xy + y 2 1 = 0 elipsa xy y 2 5y + 1 = 0 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 15 / 15
Klasifikacija kvadratnih krivih Primer 4.8 Pokazati da važi B 2 4AC = B 2 4A C Koristeći ovu činjenicu dobijamo test diskriminante za opšti oblik jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 parabola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C = 0 elipsa: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C < 0 hiperbola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C > 0 naravno, mogući su i svi spominjani specijalni slučajevi Primer 4.9 Odrediti koji konusni preseci su dati narednim jednačinama 3x 2 6xy + 3y 2 + 2x 7 = 0 parabola x 2 + xy + y 2 1 = 0 elipsa xy y 2 5y + 1 = 0 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 15 / 15
Klasifikacija kvadratnih krivih Primer 4.8 Pokazati da važi B 2 4AC = B 2 4A C Koristeći ovu činjenicu dobijamo test diskriminante za opšti oblik jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 parabola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C = 0 elipsa: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C < 0 hiperbola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C > 0 naravno, mogući su i svi spominjani specijalni slučajevi Primer 4.9 Odrediti koji konusni preseci su dati narednim jednačinama 3x 2 6xy + 3y 2 + 2x 7 = 0 parabola x 2 + xy + y 2 1 = 0 elipsa xy y 2 5y + 1 = 0 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 15 / 15
Klasifikacija kvadratnih krivih Primer 4.8 Pokazati da važi B 2 4AC = B 2 4A C Koristeći ovu činjenicu dobijamo test diskriminante za opšti oblik jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 parabola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C = 0 elipsa: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C < 0 hiperbola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C > 0 naravno, mogući su i svi spominjani specijalni slučajevi Primer 4.9 Odrediti koji konusni preseci su dati narednim jednačinama 3x 2 6xy + 3y 2 + 2x 7 = 0 parabola x 2 + xy + y 2 1 = 0 elipsa xy y 2 5y + 1 = 0 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 15 / 15
Klasifikacija kvadratnih krivih Primer 4.8 Pokazati da važi B 2 4AC = B 2 4A C Koristeći ovu činjenicu dobijamo test diskriminante za opšti oblik jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 parabola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C = 0 elipsa: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C < 0 hiperbola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C > 0 naravno, mogući su i svi spominjani specijalni slučajevi Primer 4.9 Odrediti koji konusni preseci su dati narednim jednačinama 3x 2 6xy + 3y 2 + 2x 7 = 0 parabola x 2 + xy + y 2 1 = 0 elipsa xy y 2 5y + 1 = 0 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 15 / 15
Klasifikacija kvadratnih krivih Primer 4.8 Pokazati da važi B 2 4AC = B 2 4A C Koristeći ovu činjenicu dobijamo test diskriminante za opšti oblik jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 parabola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C = 0 elipsa: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C < 0 hiperbola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C > 0 naravno, mogući su i svi spominjani specijalni slučajevi Primer 4.9 Odrediti koji konusni preseci su dati narednim jednačinama 3x 2 6xy + 3y 2 + 2x 7 = 0 parabola x 2 + xy + y 2 1 = 0 elipsa xy y 2 5y + 1 = 0 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 15 / 15
Klasifikacija kvadratnih krivih Primer 4.8 Pokazati da važi B 2 4AC = B 2 4A C Koristeći ovu činjenicu dobijamo test diskriminante za opšti oblik jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 parabola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C = 0 elipsa: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C < 0 hiperbola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C > 0 naravno, mogući su i svi spominjani specijalni slučajevi Primer 4.9 Odrediti koji konusni preseci su dati narednim jednačinama 3x 2 6xy + 3y 2 + 2x 7 = 0 parabola x 2 + xy + y 2 1 = 0 elipsa xy y 2 5y + 1 = 0 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 15 / 15
Klasifikacija kvadratnih krivih Primer 4.8 Pokazati da važi B 2 4AC = B 2 4A C Koristeći ovu činjenicu dobijamo test diskriminante za opšti oblik jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 parabola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C = 0 elipsa: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C < 0 hiperbola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C > 0 naravno, mogući su i svi spominjani specijalni slučajevi Primer 4.9 Odrediti koji konusni preseci su dati narednim jednačinama 3x 2 6xy + 3y 2 + 2x 7 = 0 parabola x 2 + xy + y 2 1 = 0 elipsa xy y 2 5y + 1 = 0 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 15 / 15
Klasifikacija kvadratnih krivih Primer 4.8 Pokazati da važi B 2 4AC = B 2 4A C Koristeći ovu činjenicu dobijamo test diskriminante za opšti oblik jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 parabola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C = 0 elipsa: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C < 0 hiperbola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C > 0 naravno, mogući su i svi spominjani specijalni slučajevi Primer 4.9 Odrediti koji konusni preseci su dati narednim jednačinama 3x 2 6xy + 3y 2 + 2x 7 = 0 parabola x 2 + xy + y 2 1 = 0 elipsa xy y 2 5y + 1 = 0 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 15 / 15
Klasifikacija kvadratnih krivih Primer 4.8 Pokazati da važi B 2 4AC = B 2 4A C Koristeći ovu činjenicu dobijamo test diskriminante za opšti oblik jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 parabola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C = 0 elipsa: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C < 0 hiperbola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C > 0 naravno, mogući su i svi spominjani specijalni slučajevi Primer 4.9 Odrediti koji konusni preseci su dati narednim jednačinama 3x 2 6xy + 3y 2 + 2x 7 = 0 parabola x 2 + xy + y 2 1 = 0 elipsa xy y 2 5y + 1 = 0 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 15 / 15
Klasifikacija kvadratnih krivih Primer 4.8 Pokazati da važi B 2 4AC = B 2 4A C Koristeći ovu činjenicu dobijamo test diskriminante za opšti oblik jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 parabola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C = 0 elipsa: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C < 0 hiperbola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C > 0 naravno, mogući su i svi spominjani specijalni slučajevi Primer 4.9 Odrediti koji konusni preseci su dati narednim jednačinama 3x 2 6xy + 3y 2 + 2x 7 = 0 parabola x 2 + xy + y 2 1 = 0 elipsa xy y 2 5y + 1 = 0 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 15 / 15
Klasifikacija kvadratnih krivih Primer 4.8 Pokazati da važi B 2 4AC = B 2 4A C Koristeći ovu činjenicu dobijamo test diskriminante za opšti oblik jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 parabola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C = 0 elipsa: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C < 0 hiperbola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C > 0 naravno, mogući su i svi spominjani specijalni slučajevi Primer 4.9 Odrediti koji konusni preseci su dati narednim jednačinama 3x 2 6xy + 3y 2 + 2x 7 = 0 parabola x 2 + xy + y 2 1 = 0 elipsa xy y 2 5y + 1 = 0 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 15 / 15