Zadatak 0 (Sanela, Anamarija, maturantice gimnazije) Riješi jednadžbu: = Rješenje 0 α = α α / = = = supstitucija t = + k, k Z = t = = t t = + k, k Z t = + k t = + k Vraćamo se supstituciji: t = + k = + k = + + k = t + k = + = + k /:, = + k k Z 8 t = + k = + k = + + k = t 5 5 + k = + = + k /: = + k, k Z 8 Vježba 0 Riješi jednadžbu: = Rezultat: 5,,, 8 k k Z = + = + 8 k k Z Zadatak 0 (Igor, gimnazija) Pojednostavnite izraz: α + α + α Rješenje 0 y = ( + y) + ( y), + =, ( α ) = α ( ) = =, α + α + α = α + α + α + α α = +
= α + ( α ) α α + = + + = = α + α α α α α + = + + = = α + α α α = + = Vježba 0 Pojednostavnite izraz: α + α + α Rezultat: Zadatak 0 (Ivana, gimnazija) Riješi jednadžbu: = 0 Rješenje 0 inačica a a + =, = b b = 0 = Budući da funkcije i imaju isti predznak, rješenja jednadžbe nalaze se u prvom i trećem kvadrantu Kvadriranjem jednadžbe dobije se: = / = = = = = /: = / = ± = ± = Za prvi kvadrant vrijedi: Za treći kvadrant vrijedi: Konačno rješenje jednadžbe glasi: inačica =, = + k k Z, = = + k k Z = + k, k Z = 0 = /: = tg = = + k, k Z Vježba 0 Riješi jednadžbu: = 0 Rezultat: = + k, k Z
Zadatak 0 (Sanela, gimnazija) Ako je α + β = a, nađite α + β α β Rješenje 0 + y = y y, y = y + y, + = y = co s, + y + y = inačica ( α β ) ( α β ) ( α β α β ) ( α β α β ) [ a a] + = + = razlika kvadr t = = α β α β = α β α β = = α β α β = α β α β + α β = = α β + α + β α β = α + β = a inačica ( α + β ) ( α β ) = ( α β α β ) ( α β α β ) [ α β ] + + + + + = + = = α β α β α β a + = + = + = Vježba 0 Ako je α + β = a +, nađite ( α + β ) ( α β ) Rezultat: a Zadatak 05 (Ivan, građevinska škola) = 0 koji se nalaze u intervalu 0, Rješenje 05 Nađi broj korijena jednadžbe = 0 = k /: = k, k Z Budući da je, moguća su sljedeća rješenja: = 0 =, = = = 0, = nisu rješenja zbog 0, = 5 = Ukupno su rješenja Vježba 05 Rezultat: Nađi broj korijena jednadžbe ( ) = 0 koji se nalaze u segmentu [ ] Ukupno 5 rješenja Zadatak 06 (Nada, maturantica) β? Neka su α i β kutovi pravokutnog trokuta (α 90, β 90 ) Ako je Rješenje 06 0, 7 tgα =, koliko je
ctg tg, = + = 7 α + β =, tgα = 7 7 β β 9 ctg β = = / = β 576 ctg β = ctg α tgα β = 9 β = 576 β 9 β = 576 β 9 β = 576 576 β 576 9 β + 576 β = 576 65 β = 576 β = / 65 576 β = β = 65 5 Vježba 06 7 Neka su α i β kutovi pravokutnog trokuta (α 90, β 90 ) Ako je tgα =, koliko je β? 7 Rezultat: β = 5 Zadatak 07 (Marija, ekonomska škola) Pojednostavnite izraz: + α + α 6 6 Rješenje 07 + y = y + y, y = y y inačica + y y + y = + α + α = α + α + α α = 6 6 6 6 6 6 = α = α = α 6 inačica + α + α + α + α 6 6 6 6 6 α + α + α = = = 6 6 = α = α = α 6 Vježba 07 Pojednostavnite izraz: + α + α Rezultat: α Zadatak 08 (Rea, gimnazija) Pojednostavnite izraz: α α α ctg α α α
Rješenje 08 =, =, tg =, tg ctg = α α α α α α α α ctg α = ctg α = ctg α = α α α α Vježba 08 Pojednostavnite izraz: Rezultat: α = ctg α = tg α ctg α = α α α tg α α α α Zadatak 09 (Rea, gimnazija) Nađite rješenja jednadžbe: = Rješenje 09 ( β ) = β, ( α ) =, = α + β + α β inačica 5 = = 0 = 0 = 0 = 0 / ( ) = 0 = k /: = k, k Z inačica = = / = = tg = tg tg = tg = + k = k = k /: = k, k Z inačica = ( ) ( ) ( ) ( ) + + = + + ( ) [ s in ] / + = + ( ) ( ) + = + = = = 0 = 0 /: ( ) = 0 = k /: = k, k Z Vježba 09 Nađite rješenja jednadžbe: = Rezultat: = k, k Z Zadatak 0 (Ivan, građevinska škola) Nađite rješenja jednadžbe: 5 0 + = Rješenje 0
5 + = 0 5 = 5 = 5 = + k /:5 = + k 5 5 = ( k + ), k Z 5 Vježba 0 Nađite rješenja jednadžbe: + = 0 = k +, k Z Rezultat: Zadatak (Josip, srednja škola) f = + + + Nađite maksimum funkcije: Rješenje m n n m ( a ) = a, α + α =, ( a b) = a a b + b ( a + b) = a + a b + b f = + + + = + + + = Vježba = + + + = = + + + + + = = + + + + + = + + + = = + + + = + + = Nađite maksimum funkcije: = + + + Rezultat: 6 f Zadatak (Sanela, Anamarija, maturantice gimnazije) Dokazati identitet: + + = tg + + Rješenje α + β α β α + β α β α + β =, α + β =, ( α ) = α + ( ) + + + + + = = = + + ( + ) + + + + ( ) + + = = = = + ( ) + + 6
( + ) ( s + ) = = = tg identitet je dokazan co Vježba Dokazati identitet: + + = ctg + + Rezultat: Dokaz analogan Zadatak (Sanela, Anamarija, maturantice gimnazije) ( + ) Pojednostavniti izraz: + + Rješenje ( + ) = + +, α + α =, α =, α = a b a a b b α α α ( ) ( + ) + + + + = = = + + + + + + + + = = = = = + Vježba ( ) + ( ) = = = = = ctg + + + Pojednostavniti izraz: ( ) ( ) Rezultat: tg Zadatak (Sanela, Anamarija, maturantice gimnazije) Pojednostavniti izraz: Rješenje, n m n+ m a b = a b a + b, α = α α α + α =, a a = a ( ) ( + ) = = ( ) ( + ) ( ) ( c ) + + = = = + os + ( ) ( ) ( + ) + = = = = ( ) ( + ) + 7
Vježba Rezultat: Pojednostavniti izraz: ctg = = = tg Zadatak 5 (Sanela, Anamarija, maturantice gimnazije) Pojednostavniti izraz: Rješenje 5 n n n a b = a b a + b, a b = a b, α = α α, α + α = ( ) ( ) = = = = ( ) 8 ( ) ( ) = = = = iz zagrade u brojniku = = izlučimo minus = = = tg Vježba 5 Rezultat: Pojednostavniti izraz: ctg Zadatak 6 (Sanela, Anamarija, maturantice gimnazije) Pojednostavniti izraz: ctg + ctg Rješenje 6, α α α a α + α = α =, α =, = b + ctg + ctg = + = = = = = = = = = = tg Vježba 6 Pojednostavniti izraz: ctg + + ctg Rezultat: ctg a b
Zadatak 7 (Igor, maturant) Riješi nejednadžbu: tg + ctg < Rješenje 7 a c b d α + α =, α = α c osα, < > b d a c a a α a = a, =, α = b b + tg + ctg < + < < < / < < < > > Budući da je a = a, slijedi: > > / > > / > > > / ( ) < y - - O Vježba 7 + k < < + k / + k < < + k, k Z 6 Riješi nejednadžbu: tg + ctg Rezultat: + k + k, k Z 6 Zadatak 8 (Elena, gimnazija) 0 Za kutove u trokutu vrijedi : tgα =, γ = 5 Nađite tg β Rješenje 8 Zbroj kutova u trokutu je 80º: α + β + γ = 80º Tangens zbroja: 9
tg + tg y tg ( + y) = tg tg y Računamo tg β: 0 0 0 0 α + β + γ = 80 α + β = 80 γ α + β = 80 5 tgα + tg β tgα + tg β tgα + tg β tg ( α + β ) = tg ( α + β ) = tg ( α + β ) = tgα tg β tgα tg β tgα tg β 0 α + β = 5 + tg β + tg β 0 tgα + tg β tg 5 = = + tg β = tg β tg ( α + β ) = tgα tg β tg β tg β 5 tg β + tg β = tg β = / tg β = tg β = 0 5 5 Vježba 8 0 Za kutove u trokutu vrijedi : tgα =, γ = 5 Nađite tg β Rezultat: 05 Zadatak 9 (Antun, tehnička škola) Izračunajte 05º 5º Rješenje 9 + y y y =, ( + y) = y + y y = y y inačica 0 0 0 0 0 0 0 0 05 + 5 05 5 0 90 0 0 05 5 = = = 60 5 = inačica = = 0 0 0 0 0 0 05 5 = 60 + 5 60 5 = 0 0 0 0 0 0 0 0 = 60 5 + 60 5 60 5 60 5 = 0 0 0 0 = 60 0 5 0 + 60 5 60 0 5 0 + 60 5 = 0 0 = 60 5 = = Vježba 9 Izračunajte 05º 75º Rezultat: 0 Zadatak 0 (Antun, tehnička škola) Koliko ima uređenih parova (, y),, y [ 0, ] y ( y) y ( y) y ( y) y ( y) koji zadovoljavaju jednakosti + + + =, = 0
Rješenje 0 α + β = α β α β, α β = α β + α β, α = α ( y ( y) ) ( y ( y) ) ( y y) ( y y) y + y + y + y = + = = y y y y = + = + = ( ) = = 0 = = = = = 0,, uređenih parova (, y) ima beskonačno Budući da y može biti bilo koji broj iz segmenta [ ] mnogo, Vježba 0 Koliko ima uređenih parova (, y),, y [ 0, ] y ( y) y ( y) y ( y) y ( y) Rezultat: koji zadovoljavaju jednakosti + + + =, =