pm2a.dvi

Транскрипт

1 r t.h en el em

2 KORIJENI Pripremi se za gradivo koje slijedi, riješi pripremne zadatke koji se nalaze u digitalnoj inačici. U matematičkim opisima raznih pojava i zakona nailazimo na kvadrate odre- - denih veličina. Tako je, primjerice, površina kvadrata sa stranicom duljine a jednaka a 2, prije - deni put pri slobodnom padu tijela dan je formulom s = g 2 t2, a u Pitagorinu poučku zbroj kvadrata duljina kateta pravokutnog trokuta jednak je kvadratu duljine hipotenuze itd. Kako izračunati duljinu stranice kvadrata ako mu je zadana površina? Koliko traje slobodni pad tijela bačenog s visine od s metara? Ako su zadane duljine dviju kateta pravokutnog trokuta, kolika je duljina hipotenuze? Odgovor na ova i druga pitanja potaknula su uvodenje - drugog korijena realnog broja... Drugi i treći korijen realnog broja Drugi ili kvadratni korijen pozitivnog broja Za neki realni broj x i prirodni broj n definiramo potenciju kao umnožak n jednakih faktora: x n = x x... x. Najjednostavnija potencija, izuzmemo li x = x, potencija je x 2, koju zovemo još ikvadratom broja x. Ova se potencija često susreće u raznim prirodnim zakonima, geometrijskim problemima i sl. Tako je primjerice površina kvadrata sa stranicom duljine a jednaka a 2, a prijedeni - put kod slobodnog pada računamo po formuli s = g 2 t2. Sjetimo se i Pitagorina poučka koji povezuje duljine stranica pravokutnog trokuta. U nekim ćemo zadatcima trebati odrediti kvadrat nekog broja, a u nekima ćemo morati odgovoriti na obrnuto pitanje. Primjerice: ako je površina kvadrata jednaka 225 cm 2, kolika je duljina njegove stranice? Očito, valja potražiti pozitivan broj a za koji vrijedi a 2 = 225. Jednostavno je naći odgovor, a = 5 cm. Rješenje: broj 5, drugi je ili kvadratni korijen broja 225. Pišemo: 225 = 5. Ili primjerice: ako je pri slobodnom padu neko tijelo prevalilo put od 50 metara, koliko je trajao pad? 2

3 DRUGI I TREC I KORIJEN REALNOG BROJA. g 2 t treba izrac unati t. Pritom je s = 50 m, a kons2 tanta gravitacije je g = 9.8 m/s2. Slijedi 50 5t2, odnosno t2 0, pa je t.6. Ovaj posljednji rezultat odredili smo dz epnim rac unalom. Dakle, iz jednadz be s = Drugi korijen pozitivnog broja Drugi ili kvadratni korijen pozitivnog broja a je pozitivan broj koji vrijedi: ( a)2 = a. 0 = 0. a2 = a. t.h Za bilo koji realni broj a vrijedi Izrac unajmo: ) 00 = 0 jer je 02 = 00 ; 2) 0.64 = 0.8, jer je 0.82 = 0.64 ; 7 nije racionalan broj te je 7= ; 4) 9 nije realan broj jer ne postoji takav realan broj c iji je kvadrat jednak 9. el em en Primjer. a za r - je Takoder Zadatak. Primjer 2. Odredi: ) 44 ; 2).44 ; 256 ; 4). Horizont Horizont na moru prividna je crta koja razdvaja more i nebo. Ako su oc i promatrac a na visini h, tada je horizont od promatrac a pribliz no udaljen d.856 h. Pritom je visina h izraz ena u metrima, a udaljenost d u kilometrima. Primjerice, ako je promatrac visok.70 m i promatra horizont sa same morske obale, onda horizont vidi na udaljenosti d = km. Svjetionik Porer na morskoj hridi oko 2.5 km ispred najjuz nijeg rta Istre visok je 5 m. Koliko je daleko horizont promatran s vrha ovog svjetionika?

4 KORIJENI Zadatak 2. Primjer. Vojak, najvis i vrh Uc ke visok je 400 m. Neki tvrde da se za lijepog vremena s Vojaka vidi sve do Venecije. Je li to moguc e? Zrac na udaljenost Vojaka i Venecije iznosi 70 km. Brzina broda t.h r C vor ( c v) je jedinica za mjerenje brzine. Jedan c vor je brzina od jedne nautic ke milje po satu. Prevedeno na standardne jedinice to je brzina od.852 km/h. Ovom se jedinicom uglavnom koristimo u meteorologiji i pomorstvu te ponekad i u zrac nom prometu. Ogromni turistic ki brodovi (kruzeri) plove brzinom od oko 20 c vorova. Nas trajekt Marko Polo moz e razviti maksimalnu brzinu od 7.7 c v, a na putu - Rijeke i Dubrovnika (pribliz no 590 km) njegova je prosjec na brzina izmedu 5. c v. en Pri projektiranju broda njegova optimalna brzina v(d) (u c vorovima) rac una se po formuli v(d) = k.28d el em gdje je k.4 konstanta, a d duljina broda (u metrima) na vodenoj povrs ini. Ako je je duljina broda 0 m, kolika bi trebala biti njegova optimalna brzina? Izrazi je u km/ h. Drugi korijen negativnog broja Drugi korijen pozitivnog realnog broja je pozitivan realan broj. Drugi korijen iz nule je nula. Drugi korijen negativnog broja nije realan broj. Ova c injenica povlac i za sobom potrebu za pros irenjem skupa realnih brojeva. Uvodi se pojam imaginarne jedinice, broja i za koji vrijedi i2 =. Tada c emo, primjerice zapisati 4 = 4 = 4 = 2i. Analogno = i itd. tome je 0.09 = 0.i, 49 7 Brojevi oblika bi, gdje je b realan broj, a i imaginarna jedinica zovu se imaginarni brojevi. 4

5 DRUGI I TREĆI KORIJEN REALNOG BROJA. Treći korijen Primjer 4. Zadatak. Treći korijen Problemi slični onima navedenima na početku ovog potpoglavlja, koji su nas potaknuli na uvodenje - drugog korijena, navode na proširenje tog pojma. Primjerice: kako odrediti duljinu brida kocke čiji je obujam 25 cm? Obujam kocke s bridom duljine a je a pa se traži takav broj a za koji je a = 25. Očito je a = 5,jerje 5 = 25. Pišemo: 25 = 5. No, teže je odgovoriti na pitanje kolika je duljina brida kocke čiji je obujam 00 cm. Tada imamo jednadžbu a = 00 čije rješenje odmah ne vidimo. Pitamo se: postoji li, i ako postoji, koji je to broj a za koji je a a a = 00? Da, takav broj postoji. To je broj veći od 4 i manji od 5. Ali koji? Treći korijen realnog broja a je broj a za koji vrijedi ( a) = a. Za svaki realni broj a vrijedi a = a. Izračunajmo: ) 2) 000 = 0 jer je 0 = 000 ; 25 = ( ) 5 jer je = 5 25 ; = 0.2 jerje0.2 = Koristeći se priloženom tablicom trećih potencija prvih 2 prirodnih brojeva odredi: ) 27 ; 2) 64 ; 26 ; 4) a a

6 KORIJENI Izrac unaj vrijednost brojevnog izraza Zadatak ; 4) t.h Provjeri uporabom kalkulatora: ) ; 2) 55.8 ; Zadatak 5. r Primijetimo kako je trec i korijen definiran za svaki realan broj. Moz es li to obrazloz iti? Koliko je primjerice 8? Trec i korijen kalkulatorom rac unamo x ili y x, a ako one ne postoje, onda s pomoc u tipke s pomoc u tipke xy tako da se kao vrijednost varijable y upis e razlomak. Procijeni sljedec e brojeve pa tu procjenu provjeri uporabom kalkulatora: Zadatak 6. 7; 2) 0 ; 9 ; 4) 00. en ) OZNAKE KORIJENA el em Znak na prvoj slici desno potjec e od Leonarda iz Pise (220. g.), poznatijeg kao Fibonacci (od filius Bonacii, Bonacijev sin ), koji ga je upotrebljavao pri zapisivanju drugog korijena realnog broja. Vjerojatno je odabran zbog rijec i radix koja na latinskom jeziku znac i korijen. Danas nja oznaka za drugi korijen nastala je u Njemac koj u 6. stoljec u. Simbol za trec i korijen na drugoj slici desno uveo je njemac ki matematic ar Christoff Rudolf. Danas nja oznaka vuc e podrijetlo iz Francuske (7. st.). PALINDROMNI BROJEVI Palindromi su brojevi ili rec enice koji su jednaki c itaju li se od poc etka prema kraju ili obrnuto. Palindromni (ili palindromski) brojevi imaju vis e zanimljivih svojstava. Jedno od tih svojstava otkrit c es ako izrac unas 2, 22, 242, Nastavi ovaj niz s jos nekoliko c lanova. S to zakljuc ujes? Ima palidromnih brojeva koji su trec e potencije odredenih prirodnih brojeva. Takvi su primjerice, 000, , Provjeri! 6

7 DRUGI I TREĆI KORIJEN REALNOG BROJA. Zadatci... Izračunaj bez uporabe džepnog računala: ) ; 2) 4) ; ; Izmedu - koja se dva uzastopna cijela broja nalazi broj ) 5 ; 2) 200 ; 0.8; 4) 990?. Provjeri jednakosti: ) = + ; 2) 2 = 2 2; 2 = Izračunaj: ) ( 2) 2 + ( ( 2) 2 ; 2) (2 2) 2 + ( Za koje realne brojeve x vrijedi: ) (2x ) 2 = 2x ; 2) (x + 2) 2 = x 2; ( 4x) 2 = 4x ; 4) x 2 6x + 9 = x ; 5) 9x 2 2x + 6 = x 4; 6) 4x 2 4x + = 2x? 6. Koliko je: ) x 2 2x + x 2 + 4x + 4, za 2 x ; 2) 4x 2 4x + x 2 + 2x +, za x 2 ; x 2 6x+9 x 2 4x+4 x 2 2x+, za 2 x? 7. Duljine kateta pravokutnog trokuta jednake su cm i 9 cm. Kolika je duljina hipotenuze? 8. Duljine hipotenuze i jedne katete pravokutnog trokuta jednake su 27 cm i 7 cm. Kolika je duljina druge katete? 9. Nožište visine na hipotenuzu pravokutnog trokuta dijeli hipotenuzu na dva dijela duljina 8 cm i 8 cm. Kolika je duljina visine? 0. Površina kruga iznosi 0 cm 2. Koliki je opseg ovog kruga?. Koliko ćevremenatrajatislobodnipadkamenčića ispuštenog s visine 50 metara? 2. Površina trokuta kojem su duljine stranica jednake a, b i c računa se po Heronovoj formuli P = s(s a)(s b)(s c), gdje je s polovina opsega trokuta. Izračunaj površinu trokuta kojem su duljine stranica jednake ) a = cm, b = 4 cm, c = 5 cm ; 2) a =.dm, b =.dm, c = 2dm.. Skok s visoke litice (engl. cliff diving) jedan je od adrenalinskih sportova. Me - du popularnijim natjecanjima u ovom sportu je i skok sa starog mosta u Mostaru. Skače se s visine od 27 metara. Na internetu nalazimo podatak da skok traje sekunde te da skakač pri ulasku u vodu doseže brzinu od 90 km/ h. Jesu li ti podatci vjerodostojni? 4. U meteorologiji se rabe baloni kako bi se pratile razne pojave u troposferi. Takvi baloni uzdižu se do visine od 0 km. Koliki je polumjer kružnice koja je granica područja koje pokriva jedan takav balon s visine 25 km? 7

8 KORIJENI Nm2 5. Prva kozmičkabrzina je brzina kojomse giba satelit po kružnoj stazi oko nekog nebeskog tijela. G m Računa se po formuli v =, gdje je G r gravitacijska konstanta, m masa tijela oko kojeg se satelit giba, r polumjer kružne staze. Za Zemlju je G = kg 2, m = kg te r = 6400 km. Prva kozmička brzina za Zemlju iznosi približno 7.9 km/ s. Provjeri ovaj podatak. 6. Provjeri i obrazloži: ) = ; 2) 52 = 8; 0.25 = 2 ; 4) = 5 6 ; 5) 0.00 = 0.; 6).75 = Uz uporabu tablice trećih potencija odredi ) 729 ; 2) ; 25 ; 4) 0.00 ; 5) Izmedu - koja se dva uzastopna cijela broja nalazi broj ) 25 ; 2) 250 ; Izračunaj: ) ; 2) 26 4 ; ; 4). 20. Izračunaj vrijednost brojevnog izraza 2 8x + 2 4x za x = Izračunaj vrijednost brojevnog izraza 9x 9 x za x =. 22. Izračunaj vrijednost brojevnog izraza x x za x = Obujam kugle čiji je polumjer jednak R računa se po formuli V = 4 R. Gustoća zlata je 9. g/cm. Ako je masa zlatne kuglice 0 g, koliki je njezin polumjer? 24. Stotinu olovnih kuglica promjera mm pretopimo i oblikujemo u jednu veću kuglu. Koliki je polumjer te veće kugle? 25. Ako je površina jedne strane kocke 20 cm 2,koliki je obujam kocke? 26. Ako je obujam kocke 20 cm, koliko je njezino oplošje? 27. Sve strane trostrane piramide sukladni su jednakostranični trokuti. Obujam V takve piramide 2 jednak je V = 2 a gdje je a duljina njezina brida. Ako je obujam piramide dm, kolika je duljina njezina brida? TOČNO-NETOČNO PITALICE Koje su od sljedećih tvrdnji točne, a koje netočne? Odgovori, a odgovor obrazloži.. Drugi korijen iz negativnog broja negativan je broj. 2. Treći korijen iz negativnog broja negativan je broj = = Ako je a = b 2, onda je a = b. 6. Ako je x = 8, onda je x = Ako je a = b, onda je b = a. 8. Ako je broj x iz intervala 0,, onda je x < x. 9. Broj 0. veći je od broja Ako je a = b 2, onda je a = b. 8

9 RAČUNANJE S KORIJENIMA.2.2. Računanje s korijenima Primjer. Zadatak. U osnovnoj školi učili smo o pravilima koja se primjenjuju pri računanju s drugim korijenima. Ponovimo ta pravila za množenje i dijeljenje. Množenje i dijeljenje drugih korijena Za svaka dva pozitivna broja a i b vrijedi: a a a b = a b i = b b. Primjenom pravila za množenje i dijeljenje drugih korijena izračunajmo ) ) 2) ; 2) 25 : 5; = = 0.09 = 0.; 25 : 5 = 25 : 5 = 25 = 5; 5 5 = 5 5 = 25 = 5. Primjenom pravila množenja i dijeljenja izračunaj: ) 27 ; 2) ; 2 ; 4) Pravila koja smo primjenjivali pri računanju s drugim, proširujemo ina računanje strećim korijenima. Množenje i dijeljenje trećih korijena Za svaka dva realna broja a i b vrijedi: a b = a b i a b = a b. 9

10 KORIJENI Primjer 2. Zadatak 2. Primjer. Zadatak. Primijenjujući pravila za račun s trećim korijenima, računamo: ) 6 4 = 6 4 = 64 = 4; 2) 2 2 = 2 2 = 8 = 2; 25 : 5.4 = = = 5. Izračunaj: ) 9 ; 2) ; 6 : 0.6. Pri računanju s algebarskim izrazima u kojima se pojavljuju drugi i treći korijeni primjenjujemo algebarske identitete obradene - u. razredu te slijedimo pravila računanja s korijenima. Provedimo sljedeće računske operacije kvadriranja i kubiranja: ) ( ; 2) ( ). ) ( =( 2) ( 2 = = ; 2) ( ) =( ( 2 + = 9 + = Provedi naznačene računske operacije: ) ( 2 ) 2 ; 2) ( 2 2 ; ( 4+ 8) 2 ; 4) ( 5 4). Primijetimo kako za svaki realni broj a vrijedi: ( ) 2 a = a a = a a = a 2. U skupinu osnovnih algebarskih identiteta svrstavamo razliku kvadrata te razliku i zbroj kubova. Drugi i treći korijen omogućuju nam proširenje tih identiteta. Tako primjerice razliku a b dvaju brojeva možemo shvatiti kao razliku kvadrata. 0

11 RAČUNANJE S KORIJENIMA.2 Zapisat ćemo pa je onda a b =( a) 2 ( b) 2 a b =( a b) ( a + b). Primjer 4. Zadatak 4. Primjer 5. Istu razliku možemo tumačiti i kao razliku kubova pa imamo: ( ) ( a b = ) ( a b = )( a b a2 + ab + ) b 2. Jednako tako možemo zapisati: ( ) ( a + b = ) ( a + b = )( a + b a2 ab + ) b 2. Rastavimo na faktore sljedeće izraze: ) x 4y ; 2) 8x 27y ; 2x + y. Pritom izraz pod ) shvatimo kao razliku kvadrata, izraz pod 2) kao razliku kubova, a izraz pod kao zbroj kubova. ) x 4y =( x) 2 (2 y) 2 =( x 2 y) ( x + 2 y) ; 2) 8x 27y =(2 x) ( y) =(2 x y) (4 x 2 +6 xy+9 y 2 ) ; 2x+y =( 2x) +( y) =( 2x+ y) ( 4x 2 6xy+ 9y 2 ). Dvočlani izraz x 64 rastavi na faktore kao razliku kvadrata. Potom isti izraz rastavi kao razliku kubova. Oslanjajući se na osnovne identitete, provedimo množenja: ) ( 2) ( + 2) ; 2) ( 0 ) ( + 0) ; ( + 5) ( ). ) Uumnošku prepoznajemo razliku kvadrata pa računamo: ( 2) ( + 2)=( 2 ( 2) 2 = 2 =. 2) Zapišemo li ( 0 ) ( + 0) =( 0 ) ( ), uočit ćemo kako je riječ o razlici kubova ( 0) = 0 0. Ovaj umnožak možemo kraće zapisati kao zbroj kubova +( 5),a taj iznosi + 5 = 6.

12 KORIJENI Zadatak 5. Primjenjujući osnovne algebarske identitete, sljedeće izraze zapiši kao razliku kvadrata i razliku kubova: ) ( ) ( ) ; 2) ( 2 ) ( ). Primjer 6. Zadatak 6. Djelomično korjenovanje Pravila za računanje s korijenima primjenjuju se, izme - du ostalog, i pri djelomičnom korjenovanju. Djelomičnim korjenovanjem nekih brojeva dobivaju se njihovi zapisi koji su pogodniji pri procjeni tih brojeva. Evo primjera: 98 = 49 2 = 49 2 = = 6 = 6 = 6. Djelomično korjenovanje možemo provesti i s trećim korijenima. Primjerice, obujam kocke s bridom duljine a jednak je 875 cm. Procijenimo duljinu brida kocke. Kako je obujam kocke s bridom duljine a jednak a, onda je a = 875 cm. Možemo računati: 875 = 25 7 = Procijenimo 7.9 pajea = = 9.5 cm. Provjera ovog rezultata džepnim računalom dala bi a 9.56 cm. Djelomično korjenujmo brojeve: ) 6 ; 2) 750 ; ) 6 = 8 2 = 2 2; 50. 2) 750 = 25 6 = 25 6 = 5 6; 50 = = = 50. Provedi djelomično korjenovanje sljedećih brojeva: ) 4000 ; 2) 296 ;

13 RAČUNANJE S KORIJENIMA.2 Racionalizacija nazivnika u razlomku Primjer 7. Još jedan postupak proveden nad drugim i trećim korijenima može ponekad biti od koristi. To je racionalizacija nazivnika, odnosno uklanjanje korijena iz nazivnika razlomka. Evo jednostavnog primjera: = 2 2 = Proširili smo brojnik i nazivnik razlomka brojem 2 kako bismo se riješili korijena u nazivniku. No, ponekad se u nazivniku razlomka može naći dvočlan, pa i višečlan brojevni izraz u kojem se nalazi i korijen. Navedimo primjer: = = ( 2) 2 = 2 +. Što smo učinili? Proširili smo izraz u nazivniku tako da dobijemo razliku kvadrata. U nazivniku razlomka može se zateći treći korijen. racionalizaciju nazivnika, odstraniti korijen u njemu. Racionalizirajmo nazivnike u razlomcima: ) ; 2) 2 5 ; I tada možemo provesti Proširivanjem pojedinog razlomka želimo u nazivniku dobiti broj oblika a. Naime, vrijedi a = a. Idemo redom: ) 2) = = 4 4 = ; 5 = = = 5 5 = 5; = = = 00 0 = Kao i u primjeru uz racionalizaciju nazivnika u kojem je dvočlani izraz s drugim korijenom, slično ćemo postupiti i kada je u nazivniku dvočlani izraz s trećim korijenom. Navedimo primjer.

14 KORIJENI Primjer 8. Racionalizirajmo nazivnik u razlomcima: ) 2 ; 2) Zadatak 7. ) Proširit ćemo razlomak sa Timećemo u nazivniku dobiti umnožak dvaju faktora koji čine razliku kubova ( 2) = 2 =. Dakle imamo: = = ( 2 ) ( ) = ( = ) 2) U nazivniku razlomka imamo tročlani izraz koji je jedan od dvaju faktora zbroja kubova. Zbog toga razlomak valja proširiti sa + 2. Tako onda imamo = = 5( + 2) ( +( 2) = 5( + 2) = ( + 2). + 2 Racionaliziraj nazivnik u razlomcima: ) POGREŠAN RAČUN ; 2) ; Razmotrite sljedeći račun: 9 6 = p ( 9) ( 6) = 44 = 2. Množeći dva broja koja nisu realna, dobili smo za rezultat realan broj 2. Neobično, zar ne? Ali i netočno! Jer pravilo a b = a b vrijedi jedino za a 0ib 0. U tom smislu ne možemo nekritički provesti niti ovakav račun: p p x x + = (x )(x + ) = x 2 Zašto? Načinili smo istu pogrešku jer brojevi koje množimo realni su samo za x, a rezultat je realan broj za sve realne brojeve x,zakojeje x 2, odnosno za sve x ili x. 4

15 RAČUNANJE S KORIJENIMA.2 Zadatci.2.. Pojednostavni: ) ; 2) ; ; 4) ; 5) 4 ; 6) Izračunaj: ) ; 2) 7(2 25) ; ; 4) (0+4) (+.. Izračunaj: ) 2 4 ; 2) 0.09 ; 4.4 ; 4) Izračunaj i obrazloži: ) 0 8 ; 2) 0 6 ; 0 0 ; 4) 0 0 ; 5) ( 0) Unutar kojeg se intervala, čiji su rubovi dva susjedna cijela broja, nalaze sljedeći brojevi: ) 22 ; 2) 5.5; 0.9; 4) 909? 6. Primjenjujući pravila za računanje s korijenima, izračunaj: ) 4 56 ; 2) 60 5 ; ; 4) ; 5) ; 6) Primjenjujući pravila za računanje s korijenima, izračunaj: ) 20 : 25 ; 2) 48 : 08 ; 7 24 ;.62 : 4.5; 4) 42 : 26 5) 7 : 56 ; 6) 0.8 : ) ; 2) ; ) 5) 0. ) 5) 00 0 ; 2) ; 4) : 625 ; 2) 92 : 75 ; 4) 00 : 0.. Izračunaj: ) ( ) 2 (4 + 2 ; 2) ( + 2 2)( 2) 2 ; ( + 5) 2 (4 5). 2. Provedi kvadriranja: 2 8 ; 9 6 6; 88 : 297 ;.25 : 0.0 ; ) ( + 2 ; 2) ( 4 2) 2 ; ( 2 + 2) 2.. Provedi sljedeća kubiranja dvočlanih izraza: ) ( 2 ; 2) ( 5 + 5) ; ( 4 2). 4. Izračunaj: ) ( 0 ) ( 0 + ) ; 2) ( ( + ; ( ) ( ). 5. Izračunaj: ) ( 2) ( ) ; 2) ( 7 + ( ) ; (2 5 2) ( ) ; 4) ( 0 + ) ( ). 5