Univerzitet u Nixu Prirodno - matematiqki fakultet Departman za matematiku Kovarijatno diferenciraǌe Master rad Mentor: Prof. Dr Milan Zlatanovi Stude

Univerzitet u Nixu Prirodno - matematiqki fakultet Departman za matematiku Kovarijatno diferenciraǌe Master rad Mentor: Prof. Dr Milan Zlatanovi Student: Nemaǌa Nikoli Nix, 2017.

Temu master rada predloжio je Prof. dr Milan Zlatanovi. Koristim priliku da se na ovom mestu najsrdaqnije zahvalim svom mentoru profesoru Milanu Zlatanovi u na ukazanoj struqnoj pomo i i savetima prilikom izrade master rada. Ovom prilikom takođe жelim da se zahvalim svojoj porodici, na bodreǌu i razumevaǌu tokom studija. student: Nemaǌa Nikoli

SADRЖAJ Uvod 7 1 Rimanovi prostori 9 1.1 Sistemi veliqina i operacije sa ǌima........... 9 1.2 Skalarna invarijanta, vektori i tenzori......... 12 1.3 Algebarske operacije sa tenzorima............. 13 1.4 Kovarijatni izvod tenzora.................. 15 1.4.1 Definicija i tenzorski karakter kovarijatnog izvoda.................. 15 1.4.2 Kovarijantni izvodi metriqkih tenzora...... 19 1.4.3 Osobine kovarijantnog izvoda............ 19 1.4.4 Gradijent. Diferencijalni operatori I reda... 20 1.4.5 Divergencija vektora i tenzora........... 21 1.4.6 Rotor.......................... 22 1.4.7 Diferencijalni operatori II reda. Laplasijan. 23 1.5 Definicija Rimanovog prostora............... 27 1.6 Afina koneksija i kovarijantni izvod........... 30 1.6.1 Kovarijantni izvod vektorskog i skalarnog poǉa u pravcu........................ 33 1.6.2 Kovarijantni izvod kovektorskog poǉa u pravcu 36 1.6.3 Kovarijantni izvod tenzorskog poǉa u pravcu.. 38 1.6.4 Kovarijantni izvod (diferencijal) tenzorskog poǉa.................... 40 1.7 Liov izvod proizvoǉnog tenzora............... 42 2 Generalisani Rimanovi prostori 45 2.1 Kovarijantni izvodi...................... 46 2.2 Apsolutni izvodi i paralelno pomeraǌe.......... 48 3 Finslerovi prostori 53 3.1 Diferencijal vektora..................... 55 3.2 Parcijalno diferenciraǌe vektora............. 58 5

6 SADRЖAJ 3.3 Osnovne osobine δ-diferenciraǌa............. 60 Zakǉuqak 65 Literatura 66 Biografija 68

Uvod Kovarijantni izvod su predstavili Riqi-Kurbastro 1 i Levi-Qivita 2 poqetkom 20. veka u teoriji Rimanove i pseudo-rimanove geometrije. Oni su primetili da Kristofelovi simboli koji se koriste za definisaǌe krivine, takođe mogu da pruжe pojam izvoda koja je generalizovala klasiqni izvod u pravcu vektorskih poǉa na mnogostrukostima. Ovaj novi izvod je kovarijantan u smislu da zadovoǉava Rimanov uslov da predmeti u geometriji treba da budu nezavisni od svog opisa u određenom koordinatnom sistemu. Ubrzo je, od strane drugih matematiqara među kojima su bili Herman Vajl 3 i Eli Kartan 4, zakǉuqeno da se kovarijantni izvod moжe definisati bez prisustva metrike. Kǉuqna osobina kovarijantnog diferenciraǌa nije bila zavinost od metrike, nego xto su Kristofelovi simboli zadovoǉavali zakon transformacje drugog reda. Ovaj zakon transformacije moжe da posluжi kao poqetna taqka za definisaǌe izvoda na kovarijantan naqin. Zbog toga se teorija kovarijantnog diferenciraǌa odvojila od striktno Rimanovog konteksta da bi obuhvatila xiri opseg mogu ih geometrija. Kovarijantan izvod je generalizacja izvoda u pravcu iz vektorkog raquna. Kao sa izvodom u pravcu, kovarijantan izvod je pravilo, u v, koji sadrжi: 1) vektor u definisan u taqki P i 2) vektorsko poǉe v definisano u okolini taqke P. U ovom radu emo dati definiciju kovarijantnog izvoda proizvoǉnog tenzora u Rimanovom, generalizovanom Rimanovom i Finslerovom prostoru i dokaza emo neke bitne teoreme. 1 G.Ricci-Curbastro, (1853-1925), italijanski matematiqar 2 T.Levi-Civita, (1873-1941), italijanski matematiqar 3 H.K.H.Weyl, (1885-1955), nemaqki matematiqar 4 E.J.Cartan, (1869-1951), francuski matematiqar 7

8 SADRЖAJ

Deo 1 Rimanovi prostori U prvom delu emo se upoznati sa osnovama tenzorskog raquna. Vixe o tome se moжe na i u [1]. Definisa emo kovarijantni izvod tenzora, dati osobine kovarijantnog izvoda, uvex emo pojam gradijenta, Laplasijana. U ovom delu emo se baviti i afinom koneksijom i kovarijantnim izvodom tenzorskog poǉa u pravcu. Navex emo definicije i dokazati neke bitne teoreme. 1.1 Sistemi veliqina i operacije sa ǌima U Dekartovom kordinatnom sistemu vektor i taqka su određeni svojim koordinatama, pa se, na primer, u trodimenzionalnom euklidskom prostoru E 3 taqka izraжava sa tri koordinate: P (x, y, z), tj. kao uređena trojka od tri realna broja. Za drugi primer moжemo navesti elemente determinante tre eg reda, koje obiqno obeleжavamo sa dva indeksa: a ij, gde prvi indeks oznaqava redni broj vrste a drugi redni broj kolone. Qesto se redni broj vrste oznaqava gorǌim indeksom, a redǌi broj kolone doǌim, xto pixemo a i j(i, j = 1, 2, 3).Determinante sa navedenim elementima emo oznaqavati sa det(a ij ), odnosno det(a i j), a matrice sa (a i j). Uređen skup brojeva ili funkcija zva emo sistem. U zavisnosti od potrebe, indeksi se mogu pisati kao gorǌi ili kao doǌi i uzimati vrednosti 1, 2, 3,..., N gde je N neki konaqan ili beskonaqan broj. Pri upotrebi gorǌih indeksa stepenovaǌe emo oznaqavati zagradom, npr. (a) 2 = a a, dok je a 2 drugi elemenat sistema a i. Neki određeni, na primer K-ti elemenat sistema a i oznaqavamo velikim slovom K, tj a K. 9

10 1. Rimanovi prostori Indeks koji moжe uzimati razne vrednosti zovemo promenǉivi (teku i), a neki određeni je fiksirani indeks. Recimo u (a i j) indeksi i, j su promenǉivi, a u (a 2 j) indeks 2 je fiksiran. Kod sistema razlikujemo red i tip sistema. Recimo: a i je sistem I reda, tipa (1,0), a i je sitem I reda, tipa (0,1), a ij je sistem II reda, tipa (2,0), je sistem III reda, tipa (2,1). Sistem reda 0 je veliqina bez indeksa (broj ili funkcija), npr a. Ako se pri razmeni mesta neka dva indeksa vrednost elemenata sistema ne meǌa, npr. a ijk = a kji, kaжemo da je simetriqan po tom paru indeksa, a ako se meǌa samo znak, npr. a ijk = a kji, kaemo da je antisimetriqan (kososimetriqan) po tom paru. Moжe se govoriti samo o simetriji ili antisimetriji po paru indeksa istog tipa (oba gorǌi ili oba doǌi). Upotreba doǌih i gorǌih indeksa je naroqito korisna ako se primeǌuje takozvana Ajnxtanova 1 konvenkcija za sabiraǌe koja glasi: Ako se jedan indeks u nekom qlanu (sabirku) javǉa itovremeno kao doǌi i kao gorǌi, po tom indeksu se podrazumeva sabiraǌe i bez znaka Σ. Takav indeks se zove nemi indeks i on se moжe zameniti i drugim slovom. Na primer, bilinearna forma a ij k se moжe zapisati u obliku a 11 x 1 y 1 + a 12 x 1 y 2 + a 21 x 2 y 1 + a 22 x 2 y 2 a ij x i y j (i, j = 1, 2). Promenǉivi indeks koji nije nemi, zove se slobodni indeks. Broj elemenata nekog sistema se određuje na osnovu slobodnih indeksa. Slobodnim indeksom nazivamo promenǉivi indek koji nije nemi. Broj elemenata nekog sitema određujemo na osnovu slobodnih indeksa. Za dva sistema istoga tipa kaжemo da su jednaki, ako su im odgovarajuqi elementi jednaki. Na primer, za i, j = 1, 2 imamo a i j = b i j (a 1 1 = b 1 1 a 1 2 = b 1 2 a 2 1 = b 2 1 a 2 2 = b 2 2). Zbir dva sistema istoga tipa je sistem istoga tipa, sa elementima koji su zbirovi odgovaraju ih elemenata sistema sabiraka. Na primer, c ij k = aij k + bij k. Ako sistem pomnoжimo brojem (funkcijom) dobijamo opet sistem, qiji su elementi pomnoжeni tim brojem (funkcijom). 1 A.Einstein, (1879 1955),jevrejski matematiqar i fiziqar

1.1. Sistemi veliqina i operacije sa ǌima 11 Proizvod (spoǉni) dva sistema je sistem qiji su elementi dobijeni tako xto se svaki element jednog sistema pomnoжi svim elementima drugog sistema. Na primer, d ijl k = aij b l k. Sistem a ij je tipa (2,0) i sistem b l k je tipa (1,1) dok je ǌihov proizvod d ijl k je tipa (3,1). Dakle, lako se zakǉuquje da je proizvod sistema tipa (a, b) i sistema tipa (c, d) sistem tipa (a + b, c + d). Kontrakcija (saжimaǌe) je operacija koja se sastoji u tome da se u sistemu dva indeksa, od kojih je jedan gorǌi, a drugi doǌi (tj. suprotnog su tipa), obeleжe istim slovom i po ǌima se podrazumeva sabiraǌe, jer se time dobija nemi indeks. Ako se izvrжi kontrakcija po jednom paru slobodnih indeksa, tj. dobija se nemi indeks, time se red sistema smaǌuje za dva, a od sistema tipa (p, q) dobija se sistem tipa (p 1, q 1). Na primer a ijk l m je tipa (3, 2), dok je a ijk i m tipa (2, 1), a sistem a ijk ik je tipa (1, 0), tj. tip sistema određuje broj i raspored slobodnih indeksa. Kompozicija (unutraxǌe mnoжeǌe) dva sistema je operacija koja se sastoji iz mnoжeǌa i kontrakcije po paru indeksa, od kojih se doǌi nalazi u jednom qiniocu, a gorǌi u drugom. Na primer, a ip b j p = a i1 b j 1 +... + a in b i N = c ij, tj. dobija se sistem tipa (2,0). Kronekerovi simboli su δ i j, δ ij, δ ij, a imaju vrednost 1 kada je i = j = K, gde je K prirodan broj, a vrednost 0 za i j. Naglasimo da je vrednost 1 kada je K određena vrednost, jer za i = j nefiksirano, kada se indeksi meǌaju od 1 do N imamo: δ i i = δ 1 1 +... + δ N N = 1 +... + 1 = N, dok je δ K K = 1. Ako nezavisno promenǉive x i zavise od drugih promenǉivih x i (i = 1,..., N ), tj. x = x i (x 1,..., x N ), imamo x i x i x i x j = xi x j = δi j, (1.1) pri qemu je i nemi indeks. Primetimo da se u xi gorǌi indeks i x i ispod razlomaqke crte posmatra kao doǌi indeks. Umesto x i za druge promenǉive moжemo pisati, na primer y i ili x i, pa bismo umesto (1.1) imali x i x p x p x j = δi j.

12 1. Rimanovi prostori 1.2 Skalarna invarijanta, vektori i tenzori Kako postoje veliqine koje se pri transformaciji koordinata ne meǌaju, dok se druge meǌaju, to kao osnovu za razlikovaǌe prirode sistema uzimamo ǌihovo ponaxaǌe pri transformaciji koordinata. Posmatrajmo, najpre, sistem reda 0, tj. skalare. Ako je, na primer, temperatura t u nekom delu prostora E 3 funkcija taqke, bi e u Dekartovim koordinatama y i data sa t = t(y 1, y 2, y 3 ). (1.2) Ako pređemo na druge koordinate, pri qemu su veze između Dekartovih y i i novih x i potpuno određene transformacijom y i = y i (x 1, x 2, x 3 ) = y i (x j ), i, j = 1, 2, 3, (1.3) vrednost temperature se ne meǌa, pa je t(y 1, y 2, y 3 ) = t[y 1 (x j ), y 2 (x j ), y 3 (x j )] = t(x 1, x 2, x 3 ), (1.4) gde oblik funkcija t i t moжe biti razliqit. Sada emo navesti definiciju veliqina sa ovom osobinom. Definicija 1.1. Ako se vrednost funkcije φ(x 1,..., x N ) ne meǌa pri transformaciji koordinata i pri inverznoj transformaciji tj. ako je x i = x i (x 1,..., x N ), i = 1,..., N, (1.5) x i = x i (x 1,..., x N ), i = 1,..., N, (1.6) φ(x 1,..., x N ) = φ(x 1,..., x N ), (1.7) za funkciju φ kaжemo da je skalarna invarijanta ili tenzor reda 0. Skalarna invarijanta ima veoma vaжnu ulogu, jer, kako su koordinatni sitemi samo pomo na sredstva za prouqavaǌe geometrijskih i fiziqkih osobina, to e skalarnim invarijantama biti izraжene neke unutraxǌe osobine posmatranih objekata, koje ne zavise od koordinatnog sistema.

1.3. Algebarske operacije sa tenzorima 13 1.3 Algebarske operacije sa tenzorima Sve xto smo dosad rekli za operacije sa sistemima uopxte vaжi i za tenzore. Teorema 1.1. Zbir tenzora istog tipa je tenzor tog istog tipa. Dokaz: Da ne bismo izlagaǌe komplikovali ispisivaǌem mnogih indeksa, dokaza emo teoremu u konkretnom sluqaju, poxto se i opxti sluqaj dokazuje na isti naqin. Neka su u ij k, vij k komponente tenzora. Tada su w ij k = uij k + vij k (1.8) takođe komponente tenzora, jer w i j k = u i j k + v i j k = x i i x j j xk k uij k + xi i x j j xk k vij k = xi i x j j xk k wij k. Teorema 1.2. Ako je α skalar (relan broj ili funkcija) i u ij k je i αu ij k tenzor istog tipa. tenzor, tada Dokaz: Ako obeleжimo w ij k = αuij k, tada, zbog invarijantnosti skalara pri transformaciji koordinata, vaжi Posledica 1.1 Ako je u ij k Definicija 1.2. Tenzor u ij k w i j k = αu i j k = x i i x j j xk k (αuij k ) = xi i x j j xk k wij k. tenzor, tada je i uij k = ( 1)uij k tenzor. je suprotan tenzor za tenzor uij k. Teorema 1.3. Skup tenzora istog tipa je linearnan (vektorski) prostor nad poǉem realnih brojeva, pri qemu je unutraxǌa operacija sabiraǌa tenzora, a spoǉaxǌa operacija mnoжeǌa tenzora skalarom. Teorema 1.4. Proizvod tenzora tipa (A, B) i tenzora tipa (C, D) je tenzor tipa (A + C, B + D). Dokaz: Neka je, na primer, w ij k = ui v j k, tada imamo w i j k = u i v j k = x i i u i x j j xk k vj k = xi i x j j xk k wij k.

14 1. Rimanovi prostori Teorema 1.5. Kontrakcijom tenzora po nekim indeksima dobija se tenzor po slobodnim indeksima. Dokaz: Ovo tvrđeǌe emo dokazati u konkretnom sluqaju, jer se dokaz u opxtem sluqaju izvodi analogno. Ako je, na primer, u ij kl tenzor, dokaza emo da je u ij ki tenzor tipa (1, 1). Kako je to za l = i dobijamo u i j k l = x i i x j j xk k xl l uij kl, gde smo koristili x i i x l i = δl i. u i j k i = x i i x j j xk k xl i uij kl = δl ix j j xk k uij kl = xj j xk k uij ki, Posledica 1.2 Kontrakcijom tenzora po jednom paru indeksa se red tenzora sniжava za 2, pa se, kada je isti broj gorǌih i doǌih indeksa, ako imamo kontrakciju po parovima indeksa, moжe dobiti skalarna invarijanta. Kompozicijom dva tenzora po nekim indeksima, dobija se tenzor po slobodnim indeksima, a kompozicijom po svim indeksima, u sluqaju kada je to mogu e, dobija se skalarna invarijanta. Slede a teorema odgovara na pitaǌe: Kako izvesti zakǉuqak o tenzorskom karakteru jednog qinioca u kompoziciji, kada se zna tip i tenzorski karakter drugog qinioca i proizvoda? Teorema 1.6. (Zakon koliqnika) Ako je u...... neki sistem, v...... proizvoǉan tenzor poznatog tipa, pa se kompozicijom u...... i v...... dobije tenzor w...... poznatog tipa, onda je u...... tenzor, qiji su indeksi oni koji se pojavǉuju samo kod jednog od tenzora v...... i w..., pri qemu je kod u...... karakter odgovaraju ih indeksa isti kao kod w..., a suprotan nego kod v... Dokaz: Posmatra emo primer, koji je dovoǉno opxt, da bi se izveo zakǉuqak o taqnosti teoreme. U opxtem sluqaju se dokaz izvodi analogno. Neka su vil k(xp ), w j l (xp ) tenzori i u......vil k(xp ) = w j l (xp ). Najpre treba utvrditi indekse sistema u...... Poxto i postoji na levoj strani prethodne jednaqine kao doǌi indeks, a ne postoji na desnoj strani, to znaqi da na levoj strani postoji kao gorǌi indeks tenzora u...... Istim rasuđivaǌem je k doǌi indeks tenzora u...... Indeks j postoji na desnoj strani, pa se pojavǉuje i kod tenzora u......, dok indeks l ve postoji na obe strane, pa se ne e javiti kod u...... Dakle, u sistemu po x i vaжi jednaqina u ij k vk il = wj l, a u sistemu po xi je u i j k v i k l = wj l. Kako su v..., w..., tenzori, na osnovu zakona transformacije sledi... u i j k x k k x i i xl l vk il = x j j xl l wj l = x j j xl l uij k vk il,

1.4. Kovarijatni izvod tenzora 15 a odavde je x l l vk il(u i j k x k k x i i xj j uij k ) = 0. Kako je, po pretpostavci, v k il proizvoǉan tenzor, sledi odakle kompozicijom sa x k p, xq i odakle je u i j k x k k x i i = xj j uij k, dobijamo u i j k δ k p δq i = x j j xk p xq i uij k, u q j p = x j j xk p xq i uij k. Smenom indeksa q i, p k dobija se u i j k = x i i x j j xk k uij k, tj. tenzorski zakon transformacije. Posledica 1.3 Ako je rezultat kompozicije tenzora v...... i sistema u...... skalarna invarijanta, onda je v...... tenzor suprotne varijantnosti u odnosu na u...... 1.4 Kovarijatni izvod tenzora U ovom delu emo se baviti kovarijantnim izvodom tenzora. Definisa emo kovarijantni izvod, navesti ǌegove osobine, dati definiciju gradijenta, rotora i diferencijabilnih operatora I i II reda. Parcijalni izvod tenzora nije tenzor pa se zbog toga teжi uvođeǌu kovarijantnog izvoda. Kovarijantni izvod tenzora je tenzor. 1.4.1 Definicija i tenzorski karakter kovarijatnog izvoda Za vektor u i (x 1,..., x N ) transformacijom koordinata dobijamo u i = x i i u i pa ako je u i,j = ui, imamo : x j u i,j = ui = (x i x j i u i ),j = x i ij ui + x i i u i,j. (1.9) Kako je x i = x i (x 1,..., x N ), u i = u i (x 1,..., x N ), x i = x i (x 1,..., x 1N ), to je x i i = x i i (x 1,..., x N ), x i ij = (x i x j i ) = x i ijx j j, u i,j = ui,jx j j, pa iz (1.9) sledi :

16 1. Rimanovi prostori u i,j = xi ijx j j u i + x i i x j j u i,j (1.10) ij = 2 x i tj. imamo tenzor samo ako je x i = 0. x i x j Zbog toga se uvodi pojam kovarijantnog izvoda tenzora, koji je takođe tenzor. Definicija 1.3. Ako je u i (x 1,..., x N ) vektor, sistem u i ;j = u i,j + Γ i pju p (1.11) se zove kovarijatni izvod kontravarijatnog vektora u i. Teorema 1.7. Kovarijatni izvod vektora u i (x 1,..., x N ) je tenzor tipa (1,1). Dokaz: Ako relaciju u i = x i i u i diferenciramo po x j za x i ij : i primenom x i jk = x i i Γ i jk x j j xk k Γ i j k (1.12) u i,j = xi ijx j j u i + x i i u i,jx j j = (x i p Γ p ij xk i x l j Γ i k l )xj j u i + x i i x j j u i,j, u i,j + δl j xk i Γ i k l ui = x i p x j j Γ p ij ui + x i i x j j u i,j. Ako u prvom sabirku na desnoj strani smenimo: p i, sledi: u i,j + Γi k j xk i u i = x i i x j j (u i,j + Γ i pju p ) kako je u i tenzor, to je x k i u i = x k k uk = u k, pa sledi u i,j + Γi k j uk = x i i x j j (u i,j + Γ i pju p ) a prema (1.11) u i ;j = xi i x j j u i ;j tj. u i ;j se transformixe kao tenzor tipa (1,1). Definicija 1.4. Ako je v i (x 1,..., x N ) kovarijatni vektor, sistem se zove kovarijatni izvod vektora v i. v i;j = v i,j Γ p ij v p (1.13) Teorema 1.8. Kovarijatni izvod vektora v i (x 1,..., x N ) je tenzor tipa (0,2).

1.4. Kovarijatni izvod tenzora 17 Dokaz: na osnovu imamo da je odakle sledi v i = x i i v i = v i,j = xi i j v i + x i i v i,jx j j = x i j k = xi i Γi j k xj j x k k Γi jk (1.14) = (Γ k i j xi k Γi jkx j i x k j )v i + x i i xj j v i,j v i,j Γk i j xi k v i = Γ i jkx j i x k j v i + x i i xj j v i,j. U prvom sabirku na desnoj strani smenimo : i p, j i, k j, pa prema (1.13) sledi v i ;j = xi i xj j v i;j se transformixe kao tenzor tipa (1,1). Definiximo sad kovarijatni izvod proizvoǉnog tenzora. Definicija 1.5. Ako je a i 1...i A j 1...j B tenzor, sistem a i 1...i A j 1...j B;k = a i 1...i A j 1...j B,k + Σ A α=1γ iα pk ai 1...i α 1 pi α+1...i A j 1...j B Σ B β=1γ p j β k ai 1...i A j 1...j β 1 pj β+1...j B (1.15) se zove kovarijatni izvod toga tenzora. Pod kovarijatnim izvodom skalarne funkcije podrazumevamo ǌen parcijalni izvod. Recimo t ij kl;m = tij kl,m + Γi pmt pj kl + Γj pmt ip kl Γp km tij pl Γp lm tij kp. (1.16) Na osnovu prethodne definicije moжemo zakǉuqiti da pod kovarijatnim izvodom skalarne invarijante podrazumevamo ǌen parcijalni izvod. Ako je u i j tenzor, tada je u i j;m = u i j,m + Γ i pmu p j Γp jm ui p, sada za i = j dobijamo skalarnu invarijantu i ǌen kovarijantni izvod φ ;m = u i i;m = u i j,m + Γ i pmu p i Γp im ui p. Zamenom i p u tre em sabirku dobijamo φ ;m = u i i;m = u i j,m + Γ i pmu p i Γi pmu p i = ui i,m = φ,m. Pokazali smo da je kovarijantni izvod kontravarijantnog i kovarijantnog vektora tenzor, pri qemu se kovarijatnost pove ava za 1. Zato vaжi

18 1. Rimanovi prostori Teorema 1.9. Kovarijantni izvod tenzora tipa (A, B) je tenzor tipa (A, B + 1). Dokaz: Dokaza emo tvrđeǌe za tenzor t i j, odnosno pokaza emo da je t i j;k = t i j,k + Γ i pkt p j Γp jk ti p (1.17) tenzor. Uzmimo parcijalni izvod po x k jednaqine t i j = xi i x j j t i j i izrazimo parcijalne izvode drugog reda x i ik, xj j k preko (1.14,1.12): t i j,k = (t i x k j ) = xi ikx k k xj j t i j + x i i x j j k t i j + x i i x j j t i j,kx k k = (x i p Γ p ik xp i xq k Γi p q )xk k xj j t i j + x i i t i j(x j q Γ q j k x q j x r k Γj qr) + x i i x j j x k k ti j,k a prebacivaǌem na levu stranu qlanova sa Γ u sistemu x i u obzir da je x q k xk k Γi p q = δq k Γ i p q = Γi p k, dobijamo i uzimaju i t i j,k + xp i xj j Γ i p k ti j x i i x j q t i jγ q j k = x i i x j j x k k ti j,k + x i p x j j x k k Γp ik ti j x i i x q j x r k Γj qrt i j. Ako uzmemo da je na levoj strani prema zakonu transformacije x p i xj j t i j = t p j, x i i x j q t i j = t i q, a na desnoj strani izvrximo smenu nemih indeksa i to u drugom sabirku p i a u tre em q j, r k, bi e t i j,k + Γi p k tp j t i q Γq j k = x i i x j j x k k (ti j,k + Γ i pkt p j Γq jk ti q) Sada na osnovu (1.17) imamo t i j ;k = xi i x j j x k k ti j;k, tj. t i j;k se transformixe po tenzorskom zakonu.

1.4. Kovarijatni izvod tenzora 19 1.4.2 Kovarijantni izvodi metriqkih tenzora U ovom delu emo pokazati da su kovarijantni izvodi metriqkih tenzora jednaki nuli. Teorema 1.10. Kovarijantni izvodi metriqkih tenzora u R N su jednaki nuli, tj vaжi g ij;k = g ij ;k = gi j;k = δ i j;k = 0. (1.18) Dokaz: Na osnovu osobine Kristofelovi simbola Γ i.jk = g ip Γ p jk. (1.19) Γ i.jk + Γ j.ik = Γ i.jk + Γ j.ki = g ij,k (1.20) g ip Γ j pk + gjp Γ i pk = g ij,k (1.21) imamo a) g ij;k = g ij,k Γ p ik g pj Γ p jk g ip = g ij Γ j.ik Γ i.jk = 0 b) g ij ;k = gij,k + Γi pk gpj + Γ j pk gip = 0 v) gj;k i = δi j;k = δi j,k + Γi pk δp j Γp jk δi p = 0 + Γ i jk Γi jk = 0 jer su δj i konstante. Definicija 1.6. Tenzor, qiji je kovarijantni izvod nula, zove se kovarijantno konstantan tenzor. Znaqi, metriqki tenzori su kovarijatno konstantni u R N. 1.4.3 Osobine kovarijantnog izvoda Posmatrajmo tenzore kao funkcije koordinata, tj. tenzorska poǉa. Sve osobine se dokazuje na osnovu kovarijatnog izvoda, a mi emo ih posmatrati na određenim primerima. 1. Kovarijantni izvod zbira (razlike) jednak je zbiru (razlici) kovarijantnog izvoda. (u i j ± v i j) ;k = (u i j ± v i j),k + Γ i pk(u p j ± vp j ) Γp jk (ui p ± v i p) = u i j;k ± v i j;k 2. Ako je c konstanta, tada je (cu i j) ;k = cu i j;k.

20 1. Rimanovi prostori 3. Vaжi i Lajbnicovo pravilo, za obiqan proizvod: (u i jv k ) ;m = (u i jv k ),m + Γ i pk(u p j v k) Γ p km (ui jv p ) = u i j,mv k + u i jv k,m + (Γ i pmu p j Γp jm ui p)v k Γ p km v pu i j = (u i j,m + Γ i pmu p j Γp jm )v k + (v k,m Γ p km v p)u i j = u i j;mv k + u i jv k;m. 4. Za unutraxǌi proizvod (kompozicija) tenzora vaжi Lajbnicovo pravilo. Ako u pretodnom primeru uzmemo k i : (u i jv i ) ;m = u i j;mv i + u i jv i;m. 5. Kontrakcija i kovarijantno diferenciraǌe su komutativni, na primer: (u i ik) ;m = (δ p i ui pk) ;m = δ p i;m ui pk + δ p i ui pk;m = 0 + δ p i (ui pk; m). 6. Operacija dizaǌa i spuxtaja indeksa je komutativna sa kovarijantnim diferenciraǌem, na primer (g ip u p ) ;m = g ip ;mu p + g ip u p;m = 0 + g ip u p;m 1.4.4 Gradijent. Diferencijalni operatori I reda Definiximo sada gradijent i diferencijalni operator I reda: Definicija 1.7. Ako je φ(x 1,..., x n ) neka skalarna funkcija u R N, sistem parcijalnih izvoda φ/ x i = φ,i zove se gradijent skalarne funkcije φ, u oznaci φ gradφ. Kako se za u sluqaju skalarne funkcije poklapaju parcijalni i kovarijantni izvod, to imamo gradφ φ = φ x i φ,i = φ ;i (1.22) Kao xto se vidi iz (1.22), gradijent je kovarijantni vektor. Da bismo pokazali jedno geometrijsko tumaqeǌe gradijenta, posmatrajmo u R N hiperpovrx φ(x 1,..., x n ) = C (C = const). Bi e dφ = φ,i dx i = 0, pa kako je dx i tangentni vektor, to je φ,i = φ vektor normale navedene hiperpovrxi.

1.4. Kovarijatni izvod tenzora 21 Kvadrat intenziteta gradijenta φ zovemo diferencijalni parametar I reda i obeleжavamo 1 φ. Dakle, 1 φ = ( φ) 2 = g ij φ,i φ,j. (1.23) Ovaj operator zovemo jox i Beltramijev 2 diferencijalni parametar. U geometriji se koristi jox jedan diferencijalni operator I reda, tzv. skalarni proizvod gradijenata skalarnih funkcija φ, ψ određen sa 1 (φ, ψ) = φ ψ = g ij φ,i ψ,j. (1.24) 1.4.5 Divergencija vektora i tenzora Posmatrajmo kontravarijantni vektor u i i ǌegov kovarijantni izvod po x j : u i ;j = u i,j + Γ i pju p. (1.25) Definicija 1.8. Skalarna invarijanta, koja se dobija kontrakcijom u kovarijantnom izvodu kontravarijantnog vektora zove se divergencija vektora tj. Kako je, prema div u = u i ;i = u i,i + Γ i piu p. (1.26) g g ij = G ji (x), g x = i 2gΓp pi, odnosno (ln g) = Γ p x i pi, (1.27) Γ i pi = g,p 2g to je div u = u i,i + g,p 2g up = 1 (u i g,i g,i g + 2 g ui ), tj. div u = 1 g (u i g) i, 0 < g = det(g ij ). (1.28) U prostoru E 3 su, u odnosu na Dekartove kordinate, Kristofelovi simboli jednaki nuli, pa iz (1.26) dobijamo poznati obrazac 2 E.Beltrami, (1835-1900),italijanski matematiqar

22 1. Rimanovi prostori div u = u i,i = u1 x + u2 1 x + u3 2 x. (1.29) 3 Određivaǌe devergencije se moжe definisati i za vektor v određen kovarijantnim kordinatama v i, kada se pomo u ǌih u R N prethodno odrede kontravarijantne kordinate. U tom sluqaju, po definiciji je div u = (g ij v i ) ;j = g ij v i;j = v j ;j = vi ;i, (1.30) gde smo uzeli u obzir da je g ij ;j = 0. Za tenzor proizvoǉnog tipa se takođe moжe definisati operacije divergencije. U opxtem sluqaju rezultat zavisi od toga po kome od gorǌih indeksa se vrxi kontrakcija, pa imamo, na primer 1.4.6 Rotor div (i) u ij k div (k) u ij k = uij k;i, div (j)u ij k = uij k;j = (gpk u ij k ) ;p = u ijp ;p = u ijk ;k. Operaciju rotora vektorske funkcije emo u sluqaju Rimanovog prostora uopxtiti na slede i naqin. Neka je dat kovarijantni vektor v i. Tada je, r ij = v i,j v j,i = v i;j v j;i, (1.31) dvostruki antisimetriqni kovarijantni tenzor, a druga jednakost se lako proverava na osnovu izraza za kovarijantni izvod v i;j, uzimaju i u obzir simetriju Kristofelovih simbola. Definicija 1.9. Operacija (1.31), kojom se svakom kovarijantnom vektoru v i dodeǉuje dvostruki kovarijantni tenzor r ij, zove se operacija rotora. U Rimanovom prostoru R N se operacija rotora moжe indirektno primeniti i na kontravijantni vektor u i, tako xto se prvo odredi pridruжeni kovarijantni vektor u i = g ij u j. U R 3 se pomo u e-sistema tenzoru r ij moжe jednoznaqno pridruжiti kontravarijantni vektor. r i = 1 2 eijk r jk = 1 2 eijk (v j;k v k;j ) = e ijk v j;k, (1.32) Odakle je r 1 = e 1jk v j;k = e 123 v 2;3 + e 132 v 3;2 = v 2;3 v 3;2 = v 2,3 v 3,2. Analogno za r 2, r 3, pa imamo

1.4. Kovarijatni izvod tenzora 23 r 1 = v 2,3 v 3,2, r 2 = v 3,1 v 1,3, r 3 = v 1,2 v 2,1, (1.33) a takvi su poznati obrasci u E 3. Pomo u (1.33) se u E 3 dobija vektor r = (r 1, r 2, r 3 ), koji zovemo rotor vektora v i pixemo r = rot v. (1.34) Operatori gradijenta, divergencije i rotora su diferencijalni operatori I reda, jer se ǌihovom primenom pojavǉuju izvodi I reda. 1.4.7 Diferencijalni operatori II reda. Laplasijan Diferencijalni operatori II reda su oni operatori kod kojih se pojavǉuju izvodi II reda (kovarijantni ili obiqni). Jedan od najvaжnijih diferencijalnih operatora II reda je Laplasov 3 operator, koga nazivamo i Laplasijan. Definicija 1.10. Laplasov operator, u oznaci, se sastoji u određivaǌu divergencije gradijenta, tj. = div div grad. (1.35) Laplasijan se primeǌuje na skalarnu funkciju. Laplasijan funkcije φ(x 1,..., x n ) je, prema (1.35), φ = div φ = divφ ;i = div(g ij φ ;j ). (1.36) Ako uvedemo oznaku iz (1.36) sledi g ij φ ;j = φ ;i, (1.37) φ = div(φ ;i ) = 1 g (φ ;i g),i = 1 g (g ij φ,j g),i, (1.38) gde smo uzeli u obzir da je φ ;j = φ,j = φ/ x j. Obrascu za Laplasijan se moжe dati i drugi oblik, polaze i od definicije divergencije, tj. ako najpre nađemo kovarijantni izvod kontravarijantnih koordinata gradijenta i izvrximo kontrakciju. Dakle, 3 P.S.Laplas, (1749-1827), franquski matematiqar

24 1. Rimanovi prostori prema (1.26), uzimaju i u obzir da je g ij kovarijantno konstantan, bi e na osnovu (1.26) i (1.37) φ = div(φ ;i ) = (φ ;i ) ;i = (g ij φ ;j ) ;i = g ij (φ ji Γ p ji φ ;p), tj. φ = g ij ( 2 φ x i x j φ x p Γp ji ) gij (φ,ij + Γ p ij φ,p ). (1.39) Definicija 1.11. Jednaqina φ = 0 zove se Laplasova difererencijalna jednaqina, a skalarna funkcija φ je, u tom sluqaju, harmonijska funkcija. Pojam Laplasovog operatora se moжe proxiriti i na proizvoǉne tenzore, a analogno prethodnoj definiciji, moжemo da definixemo harmonijske vektore i tenzore. Primer 1.1 Na primeru u ij ik samo slobodni indeksi j, k. Rexeǌe: pa za l = i: pokazati da na kovarijantni izvod utiqu u ij lk;m = uij lk,m + Γi pmu pj lk + Γj pmu ip lk Γp lm uij pk Γp km uij lp, u ij ik;m = uij ik,m + Γi pmu pj ik + Γj pmu ip ik Γp im uij pk Γp km uij ip, Ako u 4. sabirku na desnoj strani smenimo neme indekse p i, vidimo da se on ponixtava sa 2. sabirkom, pa u rezultatu utiqu indeksi j, k. Primer 1.2 Dat je vektor (u i ) = (θ, ρ), u odnosu na polarne koordinate u E 2. a) Na i taj vektor u Dekartovim pravouglim koordinatama u E 2. b) Na i ǌegov kovarijantni izvod u Dekartovim koordinatama. v) Na i kovarijantni izvod toga vektora u polarnim koordinatama direktno. g) Na i kovarijantni izvod datog vektora u polarnim koordinatama, koriste i vrednost pod b).

1.4. Kovarijatni izvod tenzora 25 Rexeǌe: Obeleжimo x 1 = ρ, x 2 = θ, x 1 = x, x 2 = y. Tada je u 1 = θ, u 2 = ρ, u i = x i i u i. a) u 1 = x 1 1 u 1 + x 1 2 u 2 = x ρ u 1 + x θ u 2 = cos θ θ + ( ρ sin θ)( ρ), u 2 = x 2 1 u 1 + x 2 2 u 2 = x ρ u 1 + x θ u 2 = sin θ θ + ρ cos θ)( ρ), tj. (u 1, u 2 ) = (θ cos θ + (ρ) 2 sin θ, θ sin θ (ρ) 2 cos θ). (1.40) Ako ρ, θ izrazimo preko x, y, ima emo ( (u 1, u 2 ) = arctg y x x (x)2 + (y) + 2 ((x)2 + (y) 2 y ) (x)2 + (y), 2 arctg y x y (x)2 + (y) 2 ((x)2 + (y) 2 x ) ). (x)2 + (y) 2 (1.41) b) Kako su x i Dekartove pravougle koordinate, Kristofelovi simboli su jednaki 0, pa je kovarijantni izvod obiqan parcijalni izvod: u 1 ;1 = u1 x i x i x 1 = u1 x 1 x 1 x 1 + u1 x 2 x 2 x 1 = u1 ρ ρ x + u1 θ θ x = (21) x 2ρ sin θ (x)2 + (y) + (cos θ θ sin θ + y 2 (ρ)2 cos θ) (x)2 + (y) 2 tj. u 1 ;1 = 1 ρ [sin θ cos θ((ρ)2 1) + θ sin 2 θ]. (1.42) Na isti naqin nalazimo ostale vrednosti u i ;j. v) U polarnim koordinatama je u 1 = θ, u 2 = ρ, Γ 1 22 = ρ, Γ 2 12 = 1, a ρ ostali Γ i jk su jednaki 0. Kovarijantni izvodi su u 1 ;1 =u 1,1 + Γ 1 p1u p = u1 x 1 + Γ1 11u 1 + Γ 1 21u 2 = θ ρ = 0, u 1 ;2 =u 1,2 + Γ 1 12u 1 + Γ 1 22u 2 = θ θ + 0 + ( ρ)( ρ) = 1 + (ρ)2, u 2 ;1 =u 2,1 + Γ 2 11u 1 + Γ 2 21u 2 = 2, u 2 ;2 = θ/ρ. Dakle, u polarnim koordinatama je ( 0 1 + (ρ) (u i ) = (θ, ρ) (u i 2 ;k) = 2 θ/ρ ). (1.43) g) Ako su x i Dekartove pravougle koordinate, a x i polarne u E 2, u i ;j emo na i koriste i u i ;j i zakon transformacije tenzora

26 1. Rimanovi prostori u 1 1 =x1 i x j 1 u i ;j = x 1 1 x 1 1 u1 ;1 + x 1 2 x 2 1 u2 ;2 + x 1 2 x 1 1 u2 ;1 + x 1 1 x 2 1 u1 ;2 =x ρ ρ x u 1 ;1 + x θ θ x u 1 ;1 + x θ ρ x u 2 ;1 + x ρ θ x u 1 ;2. Koriste i (1.43) i veze između jednih i drugih koordinata, sledi u 1 ;1 = cos θ x y 0 + ( ρ sin θ) (x)2 + (y) 2 (x)2 + (y) θ 2 ρ 2x +( ρ sin θ) (x)2 + (y) + cos θ y 2 (x) 2 + (y) (1 + 2 (ρ)2 ) = 1 ρ [sin θ cos θ((ρ)2 1) + θ sin 2 θ], tj. dobija se (1.42). Na isti naqin moжemo na i i ostale vrednosti u i ;j. Primer 1.3 Za hiperpovrxi u R N x i = c 1 = const., x j = c 2 = const., na i a) 1 (x i, x j ), b) (x i ) 2, v) cos θ ij, gde je θ ij ugao pod kojim se ove hiperpovrxi seku u nekoj taqki. Rexeǌe: a) Prema (1.43) je 1 (x i, x j ) = x i x j = g pq x i,px i,q = g pq δpδ i q j = g ij b) ( x i ) 2 = 1 x i = g ii v) Ugao između hiperpovrxi je ugao između ǌihovih normala, pa cos θ ij = x i x j ( xi ) 2 ( x j ) 2 = g ij g ii g jj. Dakle, uslov ortogonalnosti hiperpovrxi je g ij = 0.

1.5. Definicija Rimanovog prostora 27 1.5 Definicija Rimanovog prostora Definiximo prvo pojam diferencijabilne mnogostrukosti. Da bismo precizno i savremeno definisali pojam diferencijabilne mnogostrukosti potrebni su nam određeni pojmovi i qiǌenice iz topologije. Zato imamo: Definicija 1.12. Neka je X neprazan skup. Familija τ = (U α α A) podskupova skupa X je topologija na X, ako su zadovoǉeni slede i uslovi: τ, X τ unija elemenata proizvoǉne podfamilije iz τ je iz τ presek konaqnog broja elemenata iz τ je elemenat iz τ Skup X zajedno sa topologijom na ǌemu je topoloxki prostor, koji obeleжavamo sa (X, τ) X. Definicija 1.13. Topoloxki prostor X je Hauzdorfov prostor, ako za svaki par taqaka x, y X, x y postoje okoline U, V, x U, y V takve da vaжi U V =. Definicija 1.14. Preslikavaǌe f : X Y je homeomorfizam ako je bijektivno i ako su f : X Y i f 1 : Y X neprekidna prelikavaǌa. Definicija 1.15. Neka je U p okolina taqke p, gde je U p M N i M N je N dimenzionalni Hauzdorfov prostor. Neka je dat homeomorfizam φ skupa U p na otvoren skup u E N, gde je E N euklidski prostor. Tada se par (U p, φ) zove lokalni kooordinatni sistem ili lokalna karta. Skup A svih lokalni karata, A = {(U α, φ α ) α A U α = M N } je (topoloxki) atlas na M N. Okoline U α se zovu koordinatne okoline, a homeomorfizmi φ α su koordinatni homeomorfizmi. Elementi skupa X su taqke, a elementi familije τ su otvoreni podskupovi u X. Neka je M N proizvoǉan skup, qiji su elementi taqke. Neka za svaku taqku R M N postoji podskup U R, tako da je R U R M N, koji se po zakonu φ preslikava uzajamno jednoznaqno i neprekidno na otvoren podskup Euklidovog prostora E N. Tada je φ(r) = x = (x 1, x 2,..., x N ) E N (1.44)

28 1. Rimanovi prostori U ovom sluqaju x i su koordinate taqke R i oznaqavamo R(x 1, x 2,..., x N ) = R(x). Pretpostavimo da se na ovaj naqin M N moжe prekriti okolinama i ako je (U R, φ ) drugi lokalni koordinatni sistem za istu taqku R, tj. R U R U R, bi e x i druge lokalne koordinate za taqku R, pri qemu pretpostavǉamo da u E N postoji preslikavaǌe takvo da je λ : φ(u R U R) φ (U R U R), (1.45) λ : φ(r) φ (R) tj. λ : (x 1,..., x N ) ((x 1,..., x N ) (1.46) Ovom preslikavaǌu odovara transformacija lokalnih koordinata x i = x i (x 1,..., x N ).i = 1,..., N. (1.47) Pretpostavimo da je preslikavaǌe λ uzajamno jednoznaqno i neprekidno. Tada postoji inverzno preslikavaǌe λ 1 : φ (R) φ(r) pa iz (1.47) sledi x i = x i (x 1,..., x N ), i = 1,..., N. (1.48) Na osnovu svega navedenog moжemo dati definiciju diferencijabilne mnogostrukosti : Definicija 1.16. Skup M N, zajedno sa skupom (U R, φ) lokalnih koordinatnih sistema, pri qemu funkcije (1.47), (1.48) za tansformaciju lokalnih koordinata imaju neprekidne parcijalne izvode svakoga reda i J = (x1,..., x N ) (x 1,..., x N ) 0, (1.49) zove se diferencijabilna mnogostrukost. Broj N je dimenzija diferencijabilne mnogostrukosti M N. Navedimo sada definiciju Rimanovog prostora: u qijim ta- Definicija 1.17. Diferencijabilna mnogostrukost R N qkama su zadate funkcije g ij (x 1,..., x N ) = g ji (x 1,..., x N ) (1.50) tako da je duж krive u R N (ds) 2 = gijdx i dx j, (1.51) gde je det(g ij ) g ij = 0, (1.52) zove se Rimanova mnogostrukost ili Rimanov prostor.

1.5. Definicija Rimanovog prostora 29 Rimanov prostor je svojstven ako je g ij dx i dx j > 0 u svim taqkama prostora. Za metriku svojstvenog Rimanovog prostora se kaжe da je pozitivno definitna. Sluqaj g ij dx i dx j < 0 se ne razmatra posebno, jer se mnoжeǌem sa 1 svodi na prethodni (tada je (ds) 2 = g ij dx i dx j ). Ako moжe biti (ds) 2 = g ij dx i dx j 0, (ds) 2 = g ij dx i dx j 0, prostor se zove pseudorimanov prostor, a za ǌegovu metriku se kaжe da je nedefinitna. Pseudoeuklidski prostor je specijalan sluqaj pseudorimanovog prostora, xto je u vezi sa Teorijom relativnosti (na ovu problematiku emo se osvrnuti u daǉem izlagaǌu). Ako nije naglaxeno drugaqije, pod Rimanovim prostorom emo u daǉem izlagaǌu podrazumevati svojstven Rimanov prostor. Teorija Rimanovog prostora je Rimanova geometrija (u xirem smislu, jer se ponekad i takozvana eliptiqna geometrija u ravni zove Rimanova geometrija). Osnove Rimanove geometrije je postavio jox nemaqki matematiqar B. Riman u svom radu O pretpostavkama, koje leжe u osnovama geometrije, gde su izloжene samo ideje (skoro samo tekst, bez obrazaca). Daǉe su Rimanovu geometriju razvili drugi matematiqari, posebno Riqi koji je krajem XIX veka prvi uveo dva zakona transformacije i oznake sa gorǌim i doǌim indeksima, zbog qega se tenzorski raqun qesto zove i Ricci-calculus. Ovu teoriju daǉe razvija Ajnxtajn u vezi sa teorijom relativnosti. Naime, Ajnxtajn je 1905. godine izloжio svoju specijalnu teoriju relativnosti, u kojoj se prostor i vreme posmatraju kao jedinstven prostorno-vremenski kontinuum, tj. kao 4-dimenzioni pseudoeuklidski prostor u kome je I kvadratna forma (ds) 2 = (dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 + (dx 3 ) 2 (cdt) 2, (1.53) gde su x i prostorne koordinate, c-brzina svetlosti, t-vreme. Pseudoeuklidski prostor sa I kvadratnom formom (1.53) zove se prostor Minkovskog. Ajnxtajn je 1916. godine objavio svoju Opxtu teoriju relativnosti, u kojoj se kao prostor u kome se odvijaju fiziqke pojave uzima opet jedinstveni prostorno-vremenski kontinuum, u kome je metrika određena sa (ds) 2 = g ij dx i dx j, g ij (x) = g ji (x), i, j = 1, 2, 3, 4, (1.54) pri qemu sada g ij nisu konstante kao u (1.53), ve zavise od rasporeda masa u prostoru. Dakle, sa matematiqke taqke gledixta, prostor

30 1. Rimanovi prostori Opxte teorije relativnosti je Rimanov prostor R 4. Taqka (x 1, x 2, x 3, x 4 ) u Opxtoj teoriji relativnosti se zove događaj, jer je sa prve tri koordinate određeno mesto, a qetvrtom vreme. Napomenimo jox i da je Ajnxtajn prvi 1916. godine uveo termin tenzor. Matematiqki aparat Opxte teorije relativnosti je tenzorski raqun. Osim toga, danas se u diferencijalnoj geometriji, mehanici i tehnici koristi tenzorski raqun, pa se mnoge teoreme ovih disciplina izraжavaju u tenzorskom obliku, odnosno pojedine veliqine su tenzori. 1.6 Afina koneksija i kovarijantni izvod Definicija 1.18. Neka je X (M) Liova algebra diferencijabilnih vektorskih poǉa na DM N. Afina koneksija na DM N je svako preslikavaǌe : X (M) X (M) X (M) (1.55) koje paru diiferencijabilnih vektorskih poǉa X, Y X (M) dodeǉuje diferencijabilno vektorsko poǉe Y X, tj : pri qemu vaжe osobine a) Y (X 1 + X 2 ) = Y X 1 + Y X 2, b) Y (fx) = (Y f) X + f Y X, v) Y1 +Y 2 X = Y1 X + Y2 X, g) fy X = f Y X, : (X, Y ) Y X X (M), (1.56) (1.57) gde je f F(M), X, Y, X 1, X 2, Y 1, Y 2 X (M). Vektorsko poǉe Y X se zove kovarijantni izvod poǉa X u pravcu poǉa Y. Ako je X X (M), f F(M), pod Y f podrazumevamo funkciju Y f = Y f = (Y i i f )f = Y F(M), (1.58) xi xi a to je izvod u pravcu u klasiqnom smislu. Specijalno je Za c R imamo, na osnovu (1.59) i i f = i f = f x i. (1.59) Y c = Y c = Y i c = 0. (1.60) xi

1.6. Afina koneksija i kovarijantni izvod 31 Posledica 1.4 Na osnovu osobine v) i g) iz definicije vidimo da je F(M)- linearno po drugom argumentu Y, a zbog druge po prvom argumentu X nije F(M)-linearno i zato nije tenzorsko poǉe. Druga osobina zbog(1.59) izraжava osobinu diferenciraǌa. Ako je f = c R, onda se zbog (1.60) druga osobina svodi na Y (cx) = c Y X, pa je, R-linearno po oba argumenta. Definicija 1.19. Diferencijalna mnogostrukost DM N, na kojoj je uvedena afina koneksija, zove se prostor afine koneksije, a oznaqavamo ga sa L N = (DM N, ). Uzmimo sad kartu (U, φ) na L N sa lokalnim koordinatima x i. Tada u bazi za F(U) moжemo razloжiti vektor k j : Primenom (1.61) na funkcije x i sledi: tj, k j = L p jk p. (1.61) ( k j )(x i ) = L p x i jk x = p Lp jk δi p = L p jk, L i jk = ( k j )(x i ) F(M). (1.62) Kako afina koneksija nije tenzor na osnovu (1.4) ispitajmo zakon transormacije komponenata L i jk afine koneksije. Teorema 1.11. Ako se u L N sa koordinatama x i u lokajnoj karti (U, φ) pređe na koordinate x i u lokajnoj karti (U, φ ), onda u taqkama U U vaжi veza: kao i inverzna veza gde je, na primer, L i j k = xi i x j j x k k Li jk + x i i x i j k, (1.63) L i jk = x i i xj j xk k L i j k + xi i xi jk (1.64) x i i Dokaz: Na osnovu (1.61) je = xi x i, xi j k = 2 x i x j x k (1.65) a) k j = L i jk i b) k j = L i j k i, (1.66) gde je a) j = x j, b) j = x j = x j x j x j = x j j j, (1.67)

32 1. Rimanovi prostori odakle vidimo da za svako vektorsko poǉe j vaжi kovarijatni zakon transformacije. Ako u (1.66b) izvrximo smenu prema (1.67b)i primenimo (1.57) i (1.61) bi e L i j k i = k j = x k k k (xj j j ) = x k k k (x j j j ) (1.68) Kako je X j j F(U U ) to na osnovu druge osobine afine koneksije imamo k (x j j j ) = k (x j j ) j + x j j k j = x ( xj ) k j + x j x j j L i jk i uzimaju i u obzir da je k = xm x k xm x k, to je k (x j j j ) = xm ( xj ) x k j + x j x m x j j L i jk i, pa smenom u (1.68): L i j k i = xk k [xm k x j j m j + x j j L i jk i ] = δ m k xj j m j + x k k Li jkx j j i jer je x k k xm k = x m k = δm k. = x j j k j x j j x k k Li jk i Ako izvrximo izmenu nemih indeksa u prvom sabirku: j i zamenimo i = x i i i, pretodna jednaqina postaje L i j k i = (x i i x i j k + xi i x j j x k k Li jk) i = (1.63). Na osnovu (1.63) vidimo da komponente koneksije u opxtem sluqaju ne određuju tenzor. Da bi (1.63) bio tenzorski zakon transformacije, potrebno je i dovoǉno da vaжi x i j k = 0 ako i samo ako xi = a i j + xj b i (a i j,bi, konstante). L i jk se transformixe kao tenzor samo u sluqaju linearne transformacije koordinata. Iz (1.63) vrxe i kompoziciju sa x l i sledi Kako je X i i x l i = xl i = δ l i, imamo odakle zamenom (l i) L i j k = xi i x j j x k k xl l Li jk + x i i x l l xj j k. L i j k xl i = xj j x k k Ll jk + x j j k, Na taj naqin dobijamo x i j k = xi i Li j k xj j x k k Li jk x i jk = x i i L i jk x j j xk k L i j k. (1.69)

1.6. Afina koneksija i kovarijantni izvod 33 1.6.1 Kovarijantni izvod vektorskog i skalarnog poǉa u pravcu Vixe o kovarijantnom izvodu na mnogostrukostima moжe se na i u [2]. U definiciji (1.18.) smo Y X nazvali kovarijantnim izvodom vektorskog poǉa X po poǉu Y. Slede a teorema izraжava kovarijantni izvod, kada su poǉa zadata u koordinatama. Teorema 1.12. Neka je na DM N zadata afina koneksija. Ako je u lokalnim koordinatama X = X i i, Y = Y j j, onda je specijalno Y X = ( X i x j + Li pjx p ) Y j i (1.70) j X = ( X i x j + Li pjx p) i (1.71) Dokaz: Imamo na osnovu osobina afine koneksije : Y X = Y i j (X i i ) = Y j j (X i i ) = Y j [( j X i ) i + X i j i ] = Y j( X i x j i + X i L p ij p.) (1.72) Ako u drugom sabirku u zagradi zamenimo neme indekse (i p), dobijamo (1.70), a za Y i = 1 sledi (1.71). Definicija 1.20. Funkcije ( X i x j + Li pj X p) Y i ( Y X) i (1.73) se zovu komponente kovarijantnog izvoda vektorskog poǉa X = X i i u pravcu vektorskog poǉa Y = Y i j, a funkcije u zagradi na levoj strani su komponente kovarijantnog izvoda poǉa x po x j. Komponente kovarijantnog izvoda vektorskog poǉa qesto zovemo kovarijantni izvod vektora i, ako se radi o kovarijantnom izvodu po x j, pisa emo gde je X i,j = Xi x j = j X i. X i ;j j X i = X i,j + L i pjx p, (1.74)

34 1. Rimanovi prostori Parcijalni izvod obeleжavamo zapetom dok kovarijantni taqkom i zapetom. Na osnovu (1.74) jednaqine (1.70) i (1.71) moжemo napisati u obliku Y X = X i ;jy j i, j X = X i ;j i (1.75) Definicija 1.21. Vektorsko poǉe dx i X = ( Xi + dt Li dxk jkxj ) dt i se zove apsolutni izvod vektorskog poǉa X = X i i po parametru t, a izraz u za- dt gradi predstavǉa komponente apsolutnog izvoda po parametru, xto se oznaqava sa DX i /dt, tj DX i dt = dxi dt + L i jkx j dxk dt. (1.76) Dokaжimo sada teoremu o zakonu transformacije za X i ;j. Teorema 1.13. Komponente X i ;j (1.74) kovarijantnog izvoda po x j vektorskog poǉa X = X i i se pri transformaciji lokalnih koordinata transformixu po tenzorskom zakonu t i 1...i r j 1...j r = xi 1 x i 1 xi r x j 1 x i r x j r xj s t i 1...i r x j j s 1...j s odnosno gde je X i ;j = xi i x j j X i ;j (1.77) x i i = x i / x i, x j j = x j / x j (1.78) Dokaz: Pođimo od zakona transformacije za X i a) x i pa diferenciramo ovu jednaqinu po x j = xi, b) x i Xi = xi xi x i Xi i dobijamo X i,j xi x j = x i i,j Xi + x i i X i,j

1.6. Afina koneksija i kovarijantni izvod 35 Na osnovu a) je x i i,j = x j (x i i ) = xj x j X i,j = pa primenom ovih veza sledi a na osnovu (1.69) imamo odakle x j (xi i ) = x i ijx j j x j X i = X i,jx j j X i,j = xi ijx j j X i + x i i X i,jx j j, X,j i = (xi p L p ij xk i x l j L i k l )xj j X i + x i i x j j X,j, i X i,j + x k i x l j x j j X i L i k l = xi p x j j L p ij Xp + x i i x j j X i,j kako je x k i x l j x j j X i = (x l j x j j )(x k i X i ) = δ l j Xk, smenom indeksa i p u prvom sabirku na desnoj strani prethodne jednaqine, ona postaje X i,j + δl j Xk L i k l = xi i x j j (X i,j + L i pjx p ). Poxto je δ l j Xk L i k l = Xk L i k l = Li p j Xp, to na osnovu (1.74) sledi (1.77). Dokaza emo sada jox jedno tvrđeǌe koje pokazuje da se parcijalni izvodi skalarne funkcije transformixu po kovarijantnom zakonu: Teorema 1.14. Posmatrajmo realnu funkciju f F(M), gde je u lokalnim kartama (U, φ) i (U, φ ) na DM N f(x 1,..., x N ) = f(x 1,..., x N ). (1.79) Ako oznaqimo f x i = f,i bi e f,i = x i i f,i. (1.80) Dokaz: Na osnovu smene koordinata x i = x i (x 1,..., x N ), jednaqina (1.79) postaje odakle f(x 1,..., x N ) = f(x 1 (x 1,..., x N ),..., x N (x 1,..., x N )), f,i = f x i = f x i x i x i = (1.80)

36 1. Rimanovi prostori Pokazali smo da se parcijalni izvodi komponenata vektorskog poǉa ne transformixu po tenzorskom zakonu u opxtem sluqaju, a da taj zakon vaжi za komponente kovarijantnog izvoda. I u sluqaju f,i se radi o komponentama kovarijantnog izvoda jer prema (1.58) imamo i f = x i f = f ;i = f,i (1.81) i f = x i i i f. Specijalno, za konstantu c jednaqina (1.81) daje i c = c ;i = 0. 1.6.2 Kovarijantni izvod kovektorskog poǉa u pravcu U prethodnom delu smo posmatrali kovarijatni izvod vektora i skalarne funkcije. Sada emo pre i na kovarijatni izvod kovektora. Dokaжimo najpre jednu pomo nu lemu. Lema 1.1 Neka su X, Y diferencijabilna vektorska poǉa, ω diferencijabilno kovektorsko poǉe na DM N, tj. X, Y X (M), ω X (M). Ako je ( Y ω)(x) = Y (ω(x)) ω( Y X), (1.82) tada je Y ω X (M). Dokaz: Жelimo pokazati da je ( Y ω)(x) F(M) i da je Y ω F(M)- linearno preslikavaǌe po X? Za prvi sabirak na desnoj strani imamo ω X (M) X X (M) = ω(x) = f F(M) = Y (ω(x)) = Y f = Y f F(M) Za drugi sabirak na desnoj strani imamo Y X = Z X (M) = ω( Y X) = ω(z) F(M) Dakle dobijamo da je ( Y ω(x)) F(M).

1.6. Afina koneksija i kovarijantni izvod 37 Ostaje nam da pokaжemo jox F(M)-linearnost: Na osnovu (1.82) dobijamo a) Y (ω(x))(x 1 + X 2 ) = Y (ω(x 1 + X 2 )) ω( Y (X 1 + X 2 )) = Y (ω(x 1 )) + Y (ω(x 2 )) ω( Y f X + f Y X) = ( Y ω)(x 1 ) + ( Y ω(x 2 )), b) ( Y ω)(fx) = ( ω(fx)) ω( Y (fx)) = Y (f ω(x)) ω( Y (fx)) = Y f ω(x) + f Y ω(x) ω( Y f X + f Y X) = Y f ω(x) + f Y ω(x) Y f ω(x) f ω( Y X) = f [( Y ω)(x)], gde smo uzeli u obzir da je ω(x) = g F(M). Definicija 1.22. Kovarijantni izvod kovektorskog poǉa (kovarijantnog vektora, 1-forme) ω po vektorskom poǉu (u pravcu vektora) Y je kovektorsko poǉe Y ω, qije se dejstvo na vektorskom poǉu X određuje jednaqinom (1.82). Slede a lema nam omogu ava da vidimo kako se kovarijatni izvod kovektora iraжava u koordinatama. Teorema 1.15. Za X = X i i, Y = Y j j, ω = ω k dx k je ( Y ω)(x) = X i Y j ω i;j, ) (1.83) gde je ω i;j j ω i = ω i,j L p ij ω p, (ω i,j = ω i / x j ) (1.84) Definicija 1.23. Funkcije ( y ω ) ( ω i i x j Lp ij ω ) p Y j = ω i;j Y j (1.85) se zovu komponente (koordinate) kovarijantnog izvoda kovektorskog poǉa ω = ω i dx i u pravcu vektorskog poǉa Y = Y j j, a funkcije (1.84) su komponente kovarijantnog izvoda kovektorskog poǉa ω po x j. Koriste i komponente (1.85) i (1.84) i bazu (dx i ) za kovektorska poǉa, moжemo pisati a) Y ω = ω i;j Y j dx i b) j ω = ω i;j dx i (1.86)

38 1. Rimanovi prostori 1.6.3 Kovarijantni izvod tenzorskog poǉa u pravcu Dokaza emo najpre jednu vaжnu lemu da bismo mogli da pređemo na kovarijantni izvod proizvoǉnog tenzorskog poǉa. Lema 1.2 U L N vaжi j dx i = Li pjdx p (1.87) Dokaz: Za ω = dx i, X = X j j, Y = k iz (3.6) imamo a odavde kako je ( j dx i )(X) = j (dx i (X)) dx i ( j X) a prema (1.75) j X = X p ;j p, to dobijamo dx i (X) = dx i (X j j ) = X j δ i j = X i, (1.88) ( j dx i )(X) = j X i dx i (X p ;j p) = X i,j X p ;j δi p = X i,j X i ;j = X i,j (X i,j + L i pjx p ) = L i pjx p. sa druge strane primenom (1.88) L i pjdx p (X) = L i pjx p, xto upoređivaǌem sa prethodnom jednaqinom daje ( j dx i )(X) = L i pjdx p (X). Kako je X X (L N ) proizvoǉno, to sledi (1.87). Definicija 1.24. Kovrijantni izvod tenzorsko poǉa t r D r s s(l N ) u pravcu vektorskog poǉa (po vektorskom poǉu) Y X (L N ) je tenzorsko poǉe istog tipa Y ts Ds(L r N ), qije se dejstvo na skup odgovaraju ih argumenata r određuje jednaqinom r ( Y ts )(ω 1,..., ω r ; X 1,..., X s ) = Y [ t r (ω 1,..., ω r ; X 1,..., X s )] s r t r (ω 1,..., ω i 1, Y ω i, ω i+1,..., ω r ; X 1,..., X s ) s i=1 r r t(ω 1,..., ω r ; X 1,..., X j 1, Y X j, X j+1,..., X s ). s j=1 (1.89)

1.6. Afina koneksija i kovarijantni izvod 39 Kao xto lema (1.2) dokazuje korektnost Definicije 1.22, korektnost prethodne definicije sledi iz slede e leme. Lema 1.3 Ako je r t s D r s(l N ) (skup svih diferencijabilnih tenzorskih poǉa tipa (r, s), na L N ), tada je i Y r ts D r s(l N ). Dakle ovde imamo preslikavaǌa : y : D r s(l N ) D r s(l N ) (1.90) Y r ts : (X (L N )) r (X (L N )) s F(L N ) (1.91) Da bismo utvrdili kako se Y r ts izraжava preko komponenata, posmatajmo sluqaj Y 2 t2. 2 Primer 1.4 Izraziti preko koordinata Y t2. Rexeǌe: Prema (1.89) imamo 2 ( Y t2 )(ω 1, ω 2 ; X 1, X 2 ) = Y [ 2 t(ω 1, ω 2 ; X 1, X 2 )] 2 t( Y ω 1, ω 2 ; X 1, X 2 ) 2 2 2 t(ω 1, Y ω 2 ; X 1, X 2 ) 2 t(ω 1, ω 2 ; Y X 1, X 2 ) 2 2 2 t(ω 1, ω 2 ; X 1, Y X 2 ) 2 Da bismo dobili komponente za Y 2 t2 treba argumente ω 1, ω 2 ; X 1, X 2 smeniti kovektorima i vektorima baza, tj. ω 1 = dx i, ω 2 = dx j, X 1 = k, X 2 = l, Y = Y m m Primenom (1.61) i (1.87) dobija se 2 ( Y m mt2 )(dx i, dx j ; k, l ) = Y m { m [ 2 t(dx i, dx j ; k, l )] 2 2 t( m dx i, dx j ; k, l ) 2 t(dx i, m dx j ; k, l ) 2 2 2 t 2 (dx i, dx j ; m k, l ) 2 t 2 (dx i, dx j ; k, m l )} = Y m { x m tij kl 2 t 2 ( L i pmdx p, dx j, k, l ) 2 t 2 (dx i, L j pmdx p, k, l ) (1.92) 2 t 2 (dx i, dx j ; L p km p, l ) 2 t 2 (dx i, dx j ; k, L p lm p)} = t ij kl,m + Li pmt pj kl + Li pmt ip kl Lp km tij pl Lp lm tij kp Y m t ij kl;m Y m.

40 1. Rimanovi prostori Odakle imamo Y 2 t2 = t ij kl;m Y m i j dx k dx l, gde je t ij kl;m Na isti naqin, za dato u (1.92), odnosno t ij kl;m = m 2 t2 (dx i, dx j ; k, l ). ω 1 = dx i 1,..., ω r = dx i r ; X 1 = j1,..., X s = js, Y = Y m m iz (1.89) se dobija gde je Y r ts = t i 1,...,i r j 1,...,j s;m Y m i1 ir dx j 1 dx js, (1.93) t i 1,...,i r j 1,...,j s ;m = ti 1,...,i r j 1,...,j s,m + r a=1 L i a pm t i 1,...,i a 1 p i a+1...i r = ( m t s r )(dx i 1,..., dx i r ; j1,..., js ). s b=1 L p jbm ti 1,...,i r j 1,...,j b 1 pj b+1...j s (1.94) Na osnovu izloжenog, vaжi Teorema 1.16. Kovarijantni izvod Y r ts tenzorskog poǉa r t s, tipa (r, s), je tenzorsko poǉe istog tipa, qije je dejstvo na skupu argumenata ω 1,..., ω r ; X 1,..., X s određenom jednaqinom (1.89) a u bazama (dx j ), ( i ) je dato x i jednaqinom (1.93). 1.6.4 Kovarijantni izvod (diferencijal) tenzorskog poǉa Na osnovu kovarijantnog izvoda u pravcu moжemo definisati kovarijantni izvod ili kovarijantni diferencijal r t s D r s+1 koji definixemo jednaqinom ( r t s )(ω 1,..., ω r ; X 1,..., X s, Y ) = ( Y r ts )(ω 1,..., ω r ; X 1,..., X s ). (1.95) Dakle, ovde imamo preslikavaǌe : D r s(l N ) D r s+1(l N ), (1.96)