Univerzitet u Nixu Prirodno-matematiqki fakultet Departman za matematiku Potprostori Rimanovih prostora Master rad Mentor: Prof. Dr Mi a Stankovi Stud

Величина: px
Почињати приказ од странице:

Download "Univerzitet u Nixu Prirodno-matematiqki fakultet Departman za matematiku Potprostori Rimanovih prostora Master rad Mentor: Prof. Dr Mi a Stankovi Stud"

Транскрипт

1 Univerzitet u Nixu Prirodno-matematiqki fakultet Departman za matematiku Potprostori Rimanovih prostora Master rad Mentor: Prof. Dr Mi a Stankovi Student: Mladen Milenkovi Nix, 2015.

2

3 PREDGOVOR Nakon Gausovih rezultata vezanih za teoriju povrxi, kao i otkri a neeuklidske geometrije Lobaqevskog i Boljaia, veliki korak u razvoju geometrije predstavlja Rimanova geometrija. Postojanje Rimanove metrike definixe metriqki prostor i omogu ava da se mnogi pojmovi euklidske geometrije uopxte na mnogostrukosti. Sam master rad je okrenut izuqavanju potprostora Rimanovih prostora i sastoji se iz dva dela. Prvi deo rada je posve en Rimanovim prostorima. U njemu su izloжeni rezultati vezani za Rimanove prostore koje emo koristiti pri izuqavanju potprostora Rimanovih prostora. Ovde uvodimo pojam kovarijantnog i kontravarijantnog metriqkog tenzora, definixemo Kristofelove simbole, kovarijantni izvod tenzora, geodezijske linije, kao i Riqijeve identitete. U drugom delu ovog rada uvodimo pojam potprostora Rimanovih prostora. Korix enjem rezultata vezanih za prostore, dolazimo do odgovaraju ih rezultata za potprostore. Kristofelove simbole potprostora izraжavamo pomo u Kristofelovih simbola prostora, uvodimo kovarijantni izvod tenzora u potprostoru. Posebna paжnja je posve ena Riqijevim identitetima i derivacionim formulama u potprostoru, kao i uslovima integrabilnosti derivacionih formula. Zahvaljujem se svom mentoru prof. dr Mi i Stankovi u. Takođe se zahvaljujem svima koji su omogu ili da se master rad pojavi u ovom obliku. Posebno se zahvaljujem koleginici Vladislavi Stankovi na pomo i pri izradi master rada.

4

5 SADRЖAJ 1 Rimanovi prostori Uvodni pojmovi Pojam Rimanovog prostora Kovarijantni i kontravarijantni metriqki tenzor Dizanje i spuxtanje indeksa Kristofelovi simboli u Rimanovom prostoru Kovarijantni izvod tenzora Definicija i tenzorski karakter kovarijantnog izvoda Kovarijantni izvodi metriqkih tenzora Paralelno pomeranje Geodezijske linije u R N Riqijev identitet i tenzor krivine u R N Riqijev identitet i mexoviti tenzor krivine Kovarijantni tenzor krivine Riqijev tenzor Potprostori Rimanovih prostora Definicija potprostora Izraжavanje Kristofelovih simbola pomo u Kristofelovih simbola prostora Kovarijantni izvod tenzora u potprostoru Riqijevi identiteti za tenzore u potprostoru Derivacione formule potprostora Rimanovog prostora Uslovi integrabilnosti derivacionih formula Gaus-Kodacijeve jednaqine Izraqunavanje Gausove krivine sfere

6 6 SADRЖAJ

7 Deo 1 Rimanovi prostori 1.1 Uvodni pojmovi Uređen skup brojeva ili funkcija zva emo sistem. Primeri sistema su matrice, determinante, nizovi itd. U zavisnosti od potrebe, indeksi se mogu pisati kao donji ili kao gornji i uzimati vrednosti 1, 2,..., N, gde je N neki konaqan ili beskonaqan broj. Ako nije drugaqije naglaxeno, smatra emo da je N konaqan prirodan broj. Pri upotrebi gornjih indeksa stepenovanje emo oznaqavati zagradom, npr. (a) 2 = a a, dok je a 2 drugi element sistema a i. Neki određeni, npr. L-ti element sistema a i oznaqavamo velikim slovom L, tj. a L. Indeks koji moжe uzimati razne vrednosti zovemo promenljivi (teku i), a neki određeni je fiksirani indeks. Na primer, u a i j indeksi i, j su teku i, a u a 1 j indeks 1 je fiksiran. Kod sistema razlikujemo red i tip sistema. Na primer, a i je sistem I reda, tipa (1, 0); a i je sistem I reda, tipa (0, 1); a ij je sistem II reda, tipa (2, 0); a ij k je sistem III reda, tipa (2, 1). Za veliqinu bez indeksa kaжemo da je sistem reda 0. Ako se pri razmeni mesta neka dva indeksa, vrednost elemenata sistema ne menja, npr. a ij = a ji, kaжemo da je simetriqan po tom paru indeksa, a ako se menja samo znak, npr. a ij = a ji, kaжemo da je antisimetriqan (kososimetriqan) po tom paru. Napomenimo da moжemo govoriti samo o simetriji ili antisimetriji po paru indeksa istog tipa, tj. ako su oba indeksa gornji ili oba donji. Upotreba donjih i gornjih indeksa je naroqito korisna ukoliko primenjujemo Ajnxtajnovu konvenciju za sabiranje, koja glasi: Ako se jedan indeks u nekom qlanu (sabirku) javlja istovremeno kao donji i kao gornji, po tom indeksu se podrazumeva sabiranje i bez znaka Σ. Takav indeks se zove nemi indeks i on se moжe zameniti drugim slovom. 7

8 8 1. Rimanovi prostori Na primer, bilinearna forma a 11 x 1 y 1 + a 12 x 1 y 2 + a 21 x 2 y 1 + a 22 x 2 y 2 se moжe zapisati u obliku a ij x i y j (i, j = 1, 2). Promenljivi indeks, koji nije nemi, zove se slobodan indeks. Broj elemenata nekog sistema se određuje na osnovu slobodnih indeksa. Dva sistema istoga tipa su jednaka, ako su im odgovaraju i elementi jednaki (to su elementi koji imaju iste i sa istim rasporedom i poloжajem indekse). Zbir dva sistema istog tipa je sistem tog istog tipa, sa elementima koji su zbirovi odgovaraju ih elemenata sistema sabiraka. Sistem pomnoжen brojem (funkcijom) je sistem, qiji su svi elementi pomnoжeni tim brojem (funkcijom). (Spoljni) proizvod dva sistema je sistem qiji su elementi dobijeni tako xto se svaki element jednog sistema pomnoжi svim elementima drugog sistema. Na primer, c ijl k = aij b l k. Kontrakcija (saжimanje) je operacija koja se sastoji u tome da se u sistemu dva indeksa, od kojih je jedan gornji, a drugi donji, obeleжe istim slovom i po njima se podrazumeva sabiranje, jer se time dobija nemi indeks. Ako se izvrxi kontrakcija po jednom paru slobodnih indeksa, tj. dobija se nemi indeks, time se red sistema smanjuje za dva, a od sistema tipa (p, q) dobija se sistem tipa (p 1, q 1). Na primer, sistem a ijk lm je tipa (3, 2), dok je aijk im tipa (2, 1), a sistem a ijk ik je tipa (1, 0). Dakle, tip sistema određuje broj i raspored slobodnih indeksa. Kompozicija (unutraxnje mnoжenje) dva sistema je operacija koja se sastoji iz mnoжenja i kontrakcije po paru indeksa, od kojih se donji nalazi u jednom qiniocu, a gornji u drugom. Na primer, a ip b j p = a i1 b j a in b j N = cij, tj. dobija se sistem tipa (2, 0). Ako nezavisno promenljive x i zavise od drugih promenljivih x i (i = 1,..., N ), tj. x i = x i (x 1,..., x N ), imamo pri qemu je i nemi indeks. x i x i x i x j = xi x j = δi j, (1.1) Primetimo da se u xi x i gornji indeks i ispod razlomaqke crte posmatra kao donji indeks. Umesto x i za druge promenljive moжemo pisati, npr. x i ili y i, pa bismo umesto (1.1) imali x i x p x p x j = δi j,

9 1.1. Uvodni pojmovi 9 tj. x i y p y p x j = δi j. Kako se neke veliqine pri transformaciji koordinata ne menjaju, dok se druge menjaju, to kao osnovu za razlikovanje prirode sistema uzimamo njihovo ponaxanje pri transformaciji koordinata. Definicija Ako se vrednost funkcije φ(x 1,..., x N ) ne menja pri transformaciji koordinata x i = x i (x 1,..., x N ), i = 1,..., N, (1.2) i pri inverznoj transformaciji x i = x i (x 1,..., x N ), i = 1,..., N, (1.3) tj. ako je φ(x 1,..., x N ) = φ(x 1,..., x N ), (1.4) za funkciju φ kaжemo da je skalarna invarijanta ili tenzor reda 0. Linearna transformacija promenljivih x i u promenljive x i je oblika x i = a i i x i + b i = a i 1 x a i Nx N + b i, (1.5) gde su a i i, bi konstante, i = 1,..., N. Specijalan sluqaj linearne transformacije je homogena linearna transformacija, koja je određena sa Ova jednaqina se moжe napisati u obliku x i = a i i x i, a i i = const. (1.6) x i = xi x i xi, x i x i = a i i. (1.7) Opxta transformacija koordinata (1.2) se ne moжe napisati u obliku (1.7), ali uvek je dx i = xi x i dxi. (1.8) Definicija Sistem I reda u i (x 1,..., x N ), qije se komponente u i pri prelasku na druge koordinate x i pri opxtoj transformaciji (1.2) transformixu po zakonu (1.8), tj. u i = xi x i ui (1.9) zove se kontravarijantni tenzor I reda ili kontravarijantni vektor.

10 10 1. Rimanovi prostori Ako je φ(x 1,..., x N ) skalarna invarijanta, tada je Ako uvedemo oznaku φ(x 1,..., x N ) = φ(x 1 (x 1,..., x N ),..., x N (x 1,..., x N )). (1.10) φ x i = φ i, (1.11) bi e φ i = φ = φ x i = xi φ x i x i i. Dakle, pri opxtoj transformaciji x i x i promenljivih, sistem parcijalnih izvoda skalarne invarijante φ(x 1,..., x N ) (gradijent) se transformixe po zakonu φ i = xi x i φ i, (1.12) gde je φ i dato u (1.11). Motivisani ovim primerom, dajemo opxtu definiciju: Definicija Sistem I reda v i (x 1,..., x N ) qije se komponente v i pri prelasku na nove koordinate x i pri opxtoj transformaciji (1.2), transformixu po zakonu v i = xi x i v i, (1.13) zove se kovarijantni tenzor I reda ili kovarijantni vektor. Definicija Ako se neki sistem II reda w ij, koji u opxtem sluqaju ne mora biti proizvod dva sistema I reda, transformixe po zakonu onda je to kontravarijantni tenzor II reda. w i j = xi x i x j x j wij, (1.14) Definicija Sistem II reda w ij, koji se transformixe po zakonu zove se kovarijantni tenzor II reda. w i j = xi x j w ij, (1.15) x i x j Definicija Sistem II reda wj i, koji se transformixe po zakonu zove se mexoviti tenzor II reda. w i j = xi x i x j x j w i j (1.16)

11 1.1. Uvodni pojmovi 11 Ako su x i i x i koordinate, koje se transformixu jedne u druge, uvodimo oznake x i x i = x i x i i, = x i x i i, xi j = xi x = x i j δi j, = δ i x j j, (1.17) 2 x i x j x = 2 x i k xi jk, = x i x j x k j k. U tom sluqaju, zakone transformacije za kontravarijantni i kovarijantni tenzor I reda i tenzore II reda pixemo u obliku u i = x i i u i, v i = x i i v i, w i j = x i i x j j wij, w i j = xi i xj j w ij, w i j = xi i x j j w i j. Ovakav naqin je posebno koristan kada imamo ve i broj indeksa, xto emo primeniti u definiciji tenzora vixeg reda. Definicija Sistem T i 1...i A j 1...j B je tenzor reda A + B, A puta kontravarijantan, B puta kovarijantan, ako pri prelasku sa koordinata x i na koordinate x i vaжi zakon transformacije T i 1...i A j 1...j B = x i 1 i1...x i A ia x j 1 j 1 Za posmatrani tenzor takođe kaжemo da je tenzor tipa (A, B)....x j B j T i 1...i A B j 1...j B. (1.18) Dakle, invarijanta je tenzor reda 0 tipa (0, 0), kontravarijantni vektor je tenzor I reda i tipa (1, 0), a kovarijantni vektor je tenzor I reda tipa (0, 1). Navex emo sada neke osobine tenzora. Simetrija i antisimetrija u odnosu na indekse tenzora istog tipa se odrжavaju pri opxtoj transformaciji koordinata. Simetrija ili antisimetrija po paru indeksa razliqitog tipa se u opxtem sluqaju ne odrжava pri transformaciji koordinata. Svaki tenzor moжemo da rastavimo na simetriqan i antisimetriqan tenzor istog tipa. Na primer, za tenzor A ij k je A ij k = 1 2 (Aij k + Aji k ) (Aij k Aji k ). Ako su komponente nekog tenzora jednake nuli u jednom koordinatnom sistemu, one su jednake nuli u svakom koordinatnom sistemu. Takav tenzor se zove nula - tenzor. Tenzori koji su jednaki nekom koordinatnom sistemu, jednaki su u svim koordinatnim sistemima. Navedimo sada bitne teoreme koje se odnose na algebarske operacije sa tenzorima.

12 12 1. Rimanovi prostori Teorema Zbir tenzora istog tipa je tenzor tog istog tipa. Teorema Ako je α skalar (relan broj ili funkcija) i u ij k i αu ij k tenzor istog tipa. Posledica Ako je u ij k Tenzor u ij k tenzor, tada je i uij k = ( 1)uij k nazivamo suprotnim tenzorom tenzora uij k. tenzor, tada je tenzor. Teorema Proizvod tenzora tipa (A, B) i tenzora tipa (C, D) je tenzor tipa (A + C, B + D). Teorema Kontrakcijom tenzora po nekim indeksima dobija se tenzor po slobodnim indeksima. Teorema (Zakon koliqnika) Ako je u neki sistem, v... proizvoljan tenzor poznatog tipa, pa se kompozicijom u i v... dobije tenzor w... poznatog tipa, onda je u tenzor, qiji su indeksi oni koji se pojavljuju samo kod jednog od tenzora v i w......, pri qemu je kod u... karakter odgovaraju ih indeksa isti kao kod, a suprotan nego kod v... w Pojam Rimanovog prostora Definisa emo najpre pojam diferencijabilne mnogostrukosti. Posmatrajmo neki proizvoljan skup M N, qije elemente emo zvati taqkama i neka za svaku taqku P M N postoji podskup U P, P U P M N, koji se po zakonu φ preslikava uzajamno jednoznaqno i neprekidno na otvoren podskup Euklidskog prostora E N. Tada je φ(p ) = x = (x 1..., x N ) E N. (1.19) U ovom sluqaju x i su koordinate taqke P M N i oznaqavamo P (x 1,..., x N ) = P (x). Podskup U P je okolina taqke P, a par (U P, φ) nazivamo lokalnim koordinatnim sistemom tj. lokalnom kartom. Pod određenim uslovima, za koje smatramo da su ispunjeni, M N se na ovaj naqin moжe prekriti okolinama i ako je (U P, φ ) drugi lokalni koordinatni sistem za istu taqku P, tj. P U P U P, bi e xi druge lokalne koordinate za taqku P, pri qemu pretpostavljamo da u E N postoji preslikavanje λ : φ(u P U P ) φ (U P U P ), (1.20)

13 1.2. Pojam Rimanovog prostora 13 takvo da je λ : φ(p ) φ (P ), tj. λ : (x 1,..., x N ) (x 1,..., x N ). (1.21) Ovom preslikavanju odgovara transformacija lokalnih koordinata x i = x i (x 1,..., x N ), i = 1,..., N. (1.22) Ako pretpostavimo da je preslikavanje λ bijektivno i neprekidno, onda postoji njemu inverzno preslikavanje λ 1, pa iz (1.22) sledi x i = x i (x 1,..., x N ), i = 1,..., N. (1.23) Skup M N, zajedno sa skupom {(U P, φ)} lokalnih koordinatnih sistema, pri qemu funkcije (1.22), (1.23) za transformaciju lokalnih koordinata imaju neprekidne parcijalne izvode svakoga reda i zadovoljeno je J = (x1,..., x N ) (x 1,..., x N ) 0, (1.24) zove se diferencijabilna mnogostrukost. Broj N je dimenzija diferencijabilne mnogostrukosti M N. Povrxi u E 3 su primeri diferencijabilne mnogostrukosti. Kod kruжnog paraboloida S = {(x, y, z) (x, y) E 2, z = (x) 2 + (y) 2 } kao lokalni koordinatni sistem moжemo uzeti par (U P, φ), gde je P S proizvoljna taqka, U P S, a φ normalno projektovanje na ravan xoy, tj. na E 2. Kako je φ preslikavanje na E 2, to je u ovom sluqaju S = M 2. Kako je u ovom sluqaju okolina U P cela povrx, lokalni koordinatni sistem se odnosi na celu povrx, pa kaжemo da je globalni. Međutim, takav sistem nije uvek mogu. Uproxteno reqeno, u definiciji diferencijabilne mnogostrukosti M N je bitno preslikavanje φ : M N E N i preslikavanje λ : E N E N, iz koga proistiqe transformacija koordinata (1.22), odnosno (1.23). I sam Euklidski prostor E N je diferencijabilna mnogostrukost, pri qemu se za preslikavanje φ moжe uzeti identiqno preslikavanje i : P P za svako P E N, a koordinatni sistem je globalni. Naravno, moжe se posmatrati transformacija koordinata i u odnosu na dva globalna koordinatna sistema. Analogno definiciji u E N definixe se kriva u M N. Naime, kriva na diferencijabilnoj mnogostrukosti M N je skup taqaka u M N, qije su koordinate funkcije jednog realnog parametra t: x i = x i (t), t (a, b) R, (1.25)

14 14 1. Rimanovi prostori pod uslovom da nisu svi dxi dt istovremeno jednaki nuli. Da bismo prexli na definiciju Rimanovog prostora, podsetimo se da je u Euklidskom prostoru E N I osnovna kvadratna forma, u krivolinijskim koordinatama x i, data sa (ds) 2 = g ij dx i dx j. Definicija Diferencijabilna mnogostrukost R N u qijim taqkama su zadate funkcije g ij (x 1,..., x N ) = g ji (x 1,..., x N ) (1.26) tako da je duж krive u R N vaжi pri qemu je (ds) 2 = g ij dx i dx j, (1.27) det(g ij ) g ij 0, (1.28) zove se Rimanova mnogostrukost ili Rimanov prostor. Rimanov prostor je svojstven ako je g ij dx i dx j > 0 u svim taqkama prostora. Za metriku svojstvenog Rimanovog prostora se kaжe da je pozitivno definitna. Sluqaj g ij dx i dx j < 0 se ne razmatra posebno, jer se mnoжenjem sa 1 svodi na prethodni (tada je (ds) 2 = g ij dx i dx j ). Ako moжe biti ili (ds) 2 = g ij dx i dx j 0, (ds) 2 = g ij dx i dx j 0, prostor se zove pseudorimanov prostor, a za njegovu metriku se kaжe da je nedefinitna. Ukoliko nije naglaxeno drugaqije, pod Rimanovim prostorom emo podrazumevati svojstven Rimanov prostor. 1.3 Kovarijantni i kontravarijantni metriqki tenzor Kako je u jednaqini (1.27) kvadratna forma (ds) 2 invarijanta, dok su dx i i dx j kontravarijantni vektori, na osnovu zakona koliqnika sledi da je g ij (x) kovarijantni tenzor drugog reda, odnosno tenzor tipa (0, 2), pa zadovoljava zakon transformacije g i j = xi i xj j g ij. (1.29)

15 1.4. Dizanje i spuxtanje indeksa 15 Tenzor g ij (x) je kovarijantni metriqki tenzor Rimanovog prostora. Ovom tenzoru odgovara determinanta g = g ij. (1.30) Ako sa G ji obeleжimo kofaktor elementa g ij, razvijanjem g po elementima L-te vrste dobijamo g = g L1 G 1L + g L2 G 2L + + g LN G NL = g Lp G pl, dok za M L vaжi g Lp G pm = 0, pa iz poslednje dve jednaqine imamo Kako ovo vaжi za sve L, M {1,..., N}, to je g Lp G pm = gδ M L. (1.31) g ip G pj = gδ j i. (1.32) Ako obeleжimo jednaqina (1.32) postaje g ij = G ij /g, (1.33) g ip g pj = δ j i. (1.34) Kako su g ij, δ j i tenzori, to je i gij tenzor i zove se kontravarijantni metriqki tenzor Rimanovog prostora. 1.4 Dizanje i spuxtanje indeksa U Rimanovom prostoru se svakom kontravarijantnom vektoru u i pomo u metriqkog tenzora g ij moжe pridruжiti kovarijantni vektor u i : g ip u p = u i, (1.35) jer je na osnovu Zakona koliqnika jasno da, ukoliko je u i kontravarijantni vektor, bi e u i kovarijantni vektor. Analogno se pomo u g ij kovarijantnom vektoru v i moжe pridruжiti kontravarijantni vektor: g ip v p = v i. (1.36) Definicija Pridruжivanje vektora u i vektoru u i na osnovu (1.35) se zove spuxtanje indeksa, dok je pridruжivanje vektora v i vektoru v i na osnovu (1.36) podizanje indeksa.

16 16 1. Rimanovi prostori Primetimo da je pridruжivanje uzajamno, tj. vektor koji bi se pridruжio pridruжenom vektoru, bio bi prvobitni vektor. Ako je zadat kovarijantni vektor v i, moжemo mu pridruжiti v i na osnovu (1.36), pa odrediti v = (v i ). Kako kontravarijantnom vektoru u i odgovara pridruжeni kovarijantni vektor u i, kaжemo da je to isti vektor u sa kontravarijantnim, odnosno kovarijantnim komponentama i pixemo u = (u i ) = (u i ). (1.37) Kao xto smo vrxili dizanje i spuxtanje indeksa kod tenzora, moжemo vrxiti i dizanje i spuxtanje indeksa kod sistema proizvoljnog tipa. Međutim, u ovom sluqaju je uglavnom potrebno naznaqiti koji je indeks podignut ili spuxten. Na primer, a pj g pi = a i j, a jp g pi = a i j, (1.38) pri qemu je taqka stavljena na mesto na kome je indeks bio pre premextanja. Oqigledno, ako je a pj = a jp, tada na osnovu (1.38) vaжi a i j = aj, i xto oznaqavamo sa a pj g pi = a i j. U sluqaju sistema sa vixe indeksa mogu se istovremeno neki od njih podi i, a drugi spustiti. U tom sluqaju, ako je sistem mexovit, pogodno je indekse ne pisati jedan iznad drugog, da bi ostala saquvana mesta za spuxtanje, odnosno podizanje indeksa. U protivnom, moramo da napixemo kompoziciju pomo u koje su indeksi premextani. Na primer, polaze i od a j i k imamo a k ij = a p i q g pjg qk, (1.39) pri qemu moжemo pisati samo a ij k, pa je jasno da je taj sistem nastao od a j i k na naqin (1.39). Međutim, ako napixemo a k ij, da bi bilo jasno da je to dobijeno iz a j i k moramo da napixemo vezu (1.39). Napomenimo da moжemo istovremeno podi i ili spustiti vixe indeksa. Na primer, iz a ij dobijamo a pq g pi g qj = a ij. (1.40) Kod metriqkih tenzora takođe moжemo podizati i spuxtati indekse, pa polaze i od g ij ili g ij i korix enjem veze (1.34) dobijamo g ip g pj = g i j = δ i j, (1.41) gde smo zbog g ij = g ji pisali g i j umesto gi j. Definicija Tenzor gj i = δj i prostora. je mexoviti metriqki tenzor Rimanovog

17 1.5. Kristofelovi simboli u Rimanovom prostoru 17 Koriste i vezu (1.41), dolazimo do slede ih rezultata: g pq g ip g jq = δ i qg jq = g ji = g ij, (1.42) g pq g ip g jq = δ q i g jq = g ji = g ij. (1.43) Navedimo dve osobine vezane za dizanje i spuxtanje indeksa koje emo ilustrovati primerima. 1. Ako se u nekom qlanu neki indeks jednom javlja kao donji, a drugi put kao gornji (nemi indeks), on se moжe, bez promene vrednosti qlana, na jednom mestu podi i, a na drugom spustiti. Na primer, u ip v p =u i qg pq v p = u i qv q = u i pv p, a ijk k =a ij k p gpk = a pij p = a kij k. 2. Ako se u nekoj jednaqini određeni slobodan indeks nalazi na obema stranama te jednaqine, onda se podizanjem ili spuxtanjem tog indeksa svuda gde se on pojavljuje dobija ekvivalentna jednaqina. Na primer, ako u jednaqini a ijk = b ij c k izvrximo kompoziciju sa g km, dobijamo odakle je a ijk g km = b ij c k g km, a m ij = b ij c m, pa zamenom m sa k dobijamo a k ij = b ij c k. 1.5 Kristofelovi simboli u Rimanovom prostoru U opxtem sluqaju, metriqki tenzor g ij je funkcija taqke u prostoru R N, tj. funkcija koordinata x i. Oznaqimo Definicija Izrazi g ij,k = g ij x k. (1.44) Γ i.jk = 1 2 (g ij,k g jk,i + g ki,j ) (1.45) se zovu Kristofelovi simboli I vrste, a izrazi Γ i jk = g ip Γ p.jk = 1 2 gip (g pj,k g jk,p + g kp,j ) (1.46) Kristofelovi simboli II vrste Rimanovog prostora R N.

18 18 1. Rimanovi prostori Kako je g ij = g ji, to iz (1.45) sledi da je Γ i.jk = Γ i.kj, (1.47) a odavde i zbog (1.46) je Γ i jk = Γ i kj. (1.48) U (1.46) je Kristofelov simbol II vrste izraжen pomo u Kristofelovog simbola I vrste. Da je mogu e obrnuto, pokazuje nam slede a teorema. Teorema Vaжi relacija, koja je inverzna definicionoj relaciji (1.46) : Dokaz: Koriste i vezu (1.46), dobijamo Γ i.jk = g ip Γ p jk. (1.49) g ip Γ p jk =g ipg qp Γ q.jk = δ q i Γ q.jk = Γ i.jk. U nastavku navodimo neke osobine Kristofelovih simbola. Teorema Ako se saberu dva Kristofelova simbola sa razliqitim indeksima na prvom mestu, dobija se izvod metriqkog tenzora, qiji su indeksi pomenuti razliqiti indeksi, po promenljivoj, koja odgovara preostalom indeksu, tj. Γ i.jk + Γ j.ik = Γ i.jk + Γ j.ki = g ij,k (1.50) Γ i.jk + Γ k.ji = Γ i.jk + Γ k.ij = g ik,j. (1.51) Teorema Za Kristofelove simbole II vrste vaжi g ip Γ j pk + gjp Γ i pk = g ij,k. (1.52) Teorema Ako je g = det(g ij ), tada je g g ij = G ji (x), g x = i 2gΓp pi, odnosno (ln g) = Γ p x i pi, (1.53) gde je G ji kofaktor elemenata g ij. U nastavku emo dokazati teoreme koje se odnose na zakone transformacija Kristofelovih simbola I i II vrste.

19 1.5. Kristofelovi simboli u Rimanovom prostoru 19 Teorema Kristofelovi simboli I vrste se transformixu po zakonu Γ i.j k = xi i xj j x k k Γ i.jk + x i i xj j k g ij (1.54) Dokaz: Diferenciraju i po x k zakon transformacije g i j = xi i xj j g ij, (1.55) dobijamo i cikliqno po i, j, k g i j,k = xi i k xj j g ij + x i i xj j k g ij + x i i xj j g ij,k x k k g j k,i = xj j i x k k g jk + x j j x k k i g jk + x j j x k k g jk,ix i i g k i,j = xk k j xi i g ki + x k k xi i j g ki + x k k xi i g ki,jx j j. Iz prethodne tri jednaqine, odgovaraju om izmenom nemih indeksa, dobijamo 1 2 (g i j,k g j k,i + g k i,j ) = xi i xj j k g ij xi i xj j x k k (g ij,k g jk,i + g ki,j ), tj. vaжi (1.54). Primetimo da se zakon transformacije (1.54) moжe pisati i u inverznom obliku Γ i.jk = x i i x j j xk k Γ i.j k + xi i xj jk g i j, (1.56) xto moжemo dobiti polaze i od g ij = x i i x j j g i j. Teorema Kristofelovi simboli II vrste se transformixu po zakonu Dokaz: Polaze i od veze Γ i j k = xi i x j j x k k Γi jk + x i i x i j k. (1.57) Γ i j k = gi p Γ p.j k, koriste i zakon transformacije za g ip i Γ p.jk, dobijamo Γ i j k =xi i x p p g ip (x q p x j j x k k Γ q.jk + x q p x j j k g qj ) =x i i x p p g ip x q p x j j x k k Γ q.jk + x i i x p p g ip x q p x j j k g qj =x i i δ q pg ip x j j x k k Γ q.jk + x i i δ q pg ip x j j k g qj =x i i x j j x k k gip Γ q.jk + x i i x j j k g iq g qj =x i i x j j x k k Γi jk + x i i x j j k δ i j = x i i x j j x k k Γi jk + x i i x i j k.

20 20 1. Rimanovi prostori Zakon transformacije za Kristofelove simbole II vrste se moжe napisati i u inverznom obliku Γ i jk = x i i xj j xk k Γ i j k + xi i jk. (1.58) xi Zakoni transformacije Kristofelovih simbola II vrste omogu avaju da se izraze drugi izvodi jednih koordinata pomo u prvih izvoda i Kristofelovih simbola. Ako u (1.57) izvrximo kopmpoziciju sa x p i dobijamo δ p i xi j k = xp i Γ i j k xp i x i i x j j x k k Γi jk, odnosno x p j k = x p i Γ i j k xj j x k k Γp jk. Smenjuju i p sa i dobijamo Iz (1.58), analogano vaжi x i j k = xi i Γi j k xj j x k k Γi jk. (1.59) x i jk = x i i Γ i jk x j j xk k Γ i j k. (1.60) Iz zakona transformacije (1.54) i (1.57) prime ujemo da se Kristofelovi simboli u odnosu na opxtu transformaciju koordinata ne transformixu po tenzorskom zakonu. Tenzorski zakon vaжi samo u odnosu na (linearnu) afinu transformaciju x j = a j j xj + b j, (1.61) jer tada x j j = a j j = const. povlaqi x j jk = 0, pa (1.56) postaje tenzorski zakon. Na isti naqin postupamo i u ostalim sluqajevima. Kristofelovi simboli II vrste se jox zovu koeficijenti povezanosti Rimanovog prostora R N. Ako se na diferencijabilnoj mnogostrukosti ne definixu koeficijenti g ij, ve Γ i jk (x1,..., x N ) kao sistem koji zadovoljava zakon transformacije (1.57), onda imamo prostor afine koneksije (koji ne mora da bude metriqki). Primetimo da je svaki Rimanov prostor prostor afine koneksije, dok obrnuto ne vaжi.

21 1.6. Kovarijantni izvod tenzora Kovarijantni izvod tenzora Definicija i tenzorski karakter kovarijantnog izvoda Podsetimo se da, ako je φ(x 1,..., x N ) skalarna invarijanta, tada je sistem parcijalnih izvoda φ,i = φ/ x i tenzor tipa (0, 1), tj. kovarijantni vektor. To je jedini sluqaj da je parcijalni izvod tenzora ponovo tenzor u odnosu na opxtu transformaciju koordinata. Na primer, za vektor u i (x 1,..., x N ) transformacijom koordinata dobijamo u i = x i i u i, pa ako je u i,j = u i / x j, imamo Kako je u i,j = ui = (x i x j i u i ),j = x i ij ui + x i i u i,j. (1.62) x i = x i (x 1,..., x N ), u i = u i (x 1,..., x N ), x i = x i (x 1,..., x N ), to je pa iz (1.62) vaжi x i i = x i i (x 1,..., x N ), x i ij = x j (x i i ) = x i ijx j j, u i,j = ui,jx j j, u i,j = xi ijx j j u i + x i i x j j u i,j, (1.63) tj. imamo tenzor samo u sluqaju da je x i ij = 2 x i x i x j = 0, tj. kada je x i = x i (x 1,..., x N ) afina transformacija. Zbog toga se uvodi pojam kovarijantnog izvoda tenzora, koji je takođe tenzor. Definicija Ako je u i (x 1,..., x N ) vektor, sistem u i ;j = u i,j + Γ i pju p (1.64) se zove kovarijantni izvod kontravarijantnog vektora u i. Teorema Kovarijantni izvod vektora u i (x 1,..., x N ) je tenzor tipa (1, 1).

22 22 1. Rimanovi prostori Dokaz: Diferenciramo relaciju u i = x i i u i po x j i primenimo (1.60) za x i ij, dobijamo u i,j = xi ijx j j u i + x i i u i,jx j j = (x i p Γ p ij xk i x l j Γ i k l )xj j u i + x i i x j j u i,j, u i,j + δl j xk i Γ i k l ui = x i p x j j Γ p ij ui + x i i x j j u i,j. Ako u prvom sabirku na desnoj strani smenimo indekse p i i, sledi da je u i,j + Γi k j xk i u i = x i i x j j (u i,j + Γ i pju p ). Kako je u i tenzor, to je x k i u i = x k k uk = u k, pa sledi u i,j + Γi k j uk = x i i x j j (u i,j + Γ i pju p ), a prema (1.64) u i ;j = xi i x j j u i ;j, odnosno ui ;j se transformixe kao tenzor tipa (1, 1), xto je i trebalo pokazati. Definicija Ako je v i (x 1,..., x N ) kovarijantni vektor, sistem se zove kovarijantni izvod vektora v i. v i;j = v i,j Γ p ij v p (1.65) Teorema Kovarijantni izvod vektora v i (x 1,..., x N ) je tenzor tipa (0, 2). Dokaz: Polaze i od relacije v i = x i i v i, i korix enjem (1.59), dobijamo pa je v i j = xi i j v i + x i i v i,jx j j = (Γ k i j xi k Γi jkx j i x k j )v i + x i i xj j v i,j, v i,j Γk i j xi k v i = Γ i jkx j i x k j v i + x i i xj j v i,j. U prvom sabirku na desnoj strani smenimo i sa p, j sa i, k sa j, pa prema (1.65) sledi v i ;j = xi i xj j v i;j. Definisa emo sada kovarijantni izvod proizvoljnog tenzora. Definicija Ako je t i 1...i A j 1...j B t i 1...i A j 1...j B;k = t i 1...i A j 1...j B,k + A α=1 tenzor, sistem Γ i α pk t i 1...i α 1 pi α+1...i A j 1...j B B β=1 Γ p j β k ti 1...i A j 1...j β 1 pj β+1...j B (1.66) je kovarijantni izvod datog tenzora. Pod kovarijantnim izvodom skalarne funkcije podrazumevamo njen parcijalni izvod.

23 1.6. Kovarijantni izvod tenzora 23 Kao primer navodimo: t ij kl;m = tij kl,m + Γi pmt pj kl + Γj pmt ip kl Γp km tij pl Γp lm tij kp. (1.67) Slede i primer predstavlja objaxnjenje za motivaciju da pod kovarijantnim izvodom skalarne invarijante podrazumevamo njen parcijalni izvod. Primer Ako je u i j tenzor, tada je u i j;m = u i j,m + Γ i pmu p j Γp jm ui p, odakle, za i = j dobijamo skalarnu invarijantu φ = u i i i njen kovarijantni izvod φ ;m = u i i;m = u i i,m + Γ i pmu p i Γp im ui p. Ako u tre em sabirku na desnoj strani smenimo indekse i i p, vidimo da se on ponixtava sa drugim sabirkom, pa imamo φ ;m = u i i;m = u i i,m + Γ i pmu p i Γi pmu p i = ui i,m = φ,m. (1.68) Dokazali smo da je kovarijantni izvod kontravarijantnog i kovarijantnog vektora tenzor, pri qemu se kovarijantnost pove ava za jedan. Uopxte, vaжi naredna teorema. Teorema Kovarijantni izvod tenzora tipa (A, B) je tenzor tipa (A, B + 1). Dokaz: Dokaza emo teoremu u sluqaju tenzora t i j, odnosno dokaza emo da je t i j;k = t i j,k + Γ i pkt p j Γp jk ti p (1.69) tenzor. U ostalim sluqajevima se dokazuje analogno. Posmatrajmo parcijalni izvod po x k zakona transformacije t i j = xi i x j j t i j i izrazimo parcijalne izvode drugog reda x i ik, xj j k preko (1.59) i (1.60), dobijamo t i j,k = (t i x k j ) = xi ikx k k xj j t i j + x i i x j j k t i j + x i i x j j t i j,kx k k = (x i p Γ p ik xp i xq k Γi p q )xk k xj j t i j + x i i t i j(x j q Γ q j k x q j x r k Γj qr) + x i i x j j x k k ti j,k, a prebacivanjem na levu stranu qlanova sa Γ u sistemu x i obzir da je x q k xk k Γi p q = δq k Γ i p q = Γi p k, dobijamo i uzimaju i u t i j,k + xp i xj j Γ i p k ti j x i i x j q t i jγ q j k = x i i x j j x k k ti j,k + x i p x j j x k k Γp ik ti j x i i x q j x r k Γj qrt i j.

24 24 1. Rimanovi prostori Ako uzmemo da je na levoj strani x p i xj j t i j = t p j, x i i x j q t i j = t i q, a na desnoj strani izvrximo smenu nemih indeksa (u drugom sabirku p i i, a u tre em q i j, r i k), ima emo t i j,k + Γi p k tp j t i q Γq j k = x i i x j j x k k (ti j,k + Γ i pkt p j Γq jk ti q). Prema (1.68) imamo tj. t i j;k t i j ;k = xi i x j j x k k ti j;k, se transformixe po tenzorskom zakonu Kovarijantni izvodi metriqkih tenzora U odnosu na Dekartov pravougli koordinatni sistem, u Euklidskom prostoru E N, g ij su konstante, pa su Kristofelovi simboli jednaki nuli. Zato je kovarijantni izvod ustvari obiqan parcijalni izvod, pa je g ij,k = g ij x k = 0. Jedna od glavnih karakteristika Euklidskih prostora je postojanje bar jednog koordinatnog sistema u kome su Kristofelovi simboli I i II vrste jednaki nuli. To ove prostore izdvaja od opxtih Rimanovih prostora. U Rimanovom prostoru nisu svi g ij konstante, pa parcijalni izvodi od g ij nisu jednaki nuli. Međutim, kovarijantni izvodi su jednaki nuli, xto emo dokazati u narednoj teoremi. Teorema Kovarijantni izvodi metriqkih tenzora u R N su jednaki nuli, odnosno g ij;k = g ij ;k = gi j;k = δ i j;k = 0. (1.70) Dokaz: Na osnovu osobina Kristofelovih simbola (1.49), (1.50), (1.52) i (1.40) vaжi g ij;k = g ij,k Γ p ik g pj Γ p jk g ip = g ij Γ j.ik Γ i.jk = 0, jer su δ i j konstante. g ij ;k = gij,k + Γi pkg pj + Γ j pk gip = 0, g i j;k = δ i j;k = δ i j,k + Γ i pkδ p j Γp jk δi p = 0 + Γ i jk Γ i jk = 0,

25 1.6. Kovarijantni izvod tenzora 25 Definicija Za tenzor qiji je kovarijantni izvod jednak nuli kaжemo da je kovarijantno konstantan tenzor. Na osnovu prethodno izloжenog, zakljuqujemo da su metriqki tenzori kovarijantno konstantni u Rimanovom prostoru R N. Navedimo sada osobine kovarijantog izvoda, od kojih se pojedine poklapaju sa osobinama obiqnih izvoda. Teorema Kovarijantni izvod zbira (razlike) jednak je zbiru (razlici) kovarijantnih izvoda. Teorema Ako je c konstanta, tada je (cu i j) ;k = cu i j;k. Teorema Vaжi Lajbnicovo pravilo, za obiqan (spoljaxnji) proizvod. Na primer, vaжi (u i jv k ) ;m = (u i jv k ),m + Γ i pm(u p j v k) Γ p jm (ui pv k ) Γ p km (ui jv p ) =u i j,mv k + u i jv k,m + (Γ i pmu p j Γp jm ui p)v k (Γ p km v p)u i j =(u i j,m + Γ i pmu p j Γp jm )v k + (v k,m Γ p km v p)u i j =u i j;mv k + u i jv k;m. Teorema Za kompoziciju (unutraxnji proizvod) tenzora vaжi Lajbnicovo pravilo. Na primer, ako u prethodnom primeru uzmemo k = i, tada je (u i jv i ) ;m = u i j;mv i + u i jv i;m. Teorema Kontrakcija i kovarijantno diferenciranje su komutativni. Na primer: (u i ik) ;m = (δ p i ui pk) ;m = δ p i;m ui pk + δ p i ui pk;m = 0 + δ p i (ui pk;m). Teorema Operacija dizanja i spuxtanja indeksa je komutativna sa kovarijantnim diferenciranjem. Na primer, imamo (g ip u p ) ;m = g ip ;mu p + g ip u p;m = 0 + g ip u p;m.

26 26 1. Rimanovi prostori 1.7 Paralelno pomeranje Ako duж krive C određene sa x i = x i (t) (1.71) u prostoru E N, gde su x i Dekartove koordinate, t parametar, imamo u svakoj taqki M vektor u = (u i ) istoga intenziteta, pravca i smera, tj. vektor u se paralelno pomera duж C, njegove koordinate u i se u takvom sistemu ne menjaju duж C, pa je du i = 0. (1.72) dt Međutim, ako u svakoj taqki M vektor u posmatramo u odnosu na krivolinijske koordinate x i, tada se njegove koordinate u i menjaju od taqke do taqke, jer se menjaju koordinatni vektori pri qemu je r vektor poloжaja taqke M. Ako je veza između Dekartovih koordinata x i bi e a jednaqina posmatrane krive je sada Na osnovu (1.75) je r i = r x i, (1.73) i krivolinijskih x i data sa x i = x i (x 1,..., x N ), (1.74) u i = x i i u i, (1.75) x i = x i (t). (1.76) du i dt = d dt (xi i )u i + x i i du i dt =xi iju i dxj dt + xi i du i dt =0. Kako je Γ i j k = 0 i xi jk = Γi jk xi i Γ i j k xj pa prethodna jednaqina postaje j xk k, to vaжi x i ij = Γ k ijx i k Γ i j k xj j xk i = Γ k ijx i k + 0, Kompozicijom sa x m i dobijamo Γ k ijx i k u i dxj dt + xi i du i dt = 0. δ m i du i dt + Γk ijδ m k u i dxj dt = 0,

27 1.7. Paralelno pomeranje 27 odakle je tj. Dum Dt = 0, odnosno du m dt + Γ m ij u i dxj dt = 0, Du i Dt = 0, (1.77) tj. du i dt + Γi pqu p dxq = 0. (1.78) dt Odavde vidimo da je pri prelasku na krivolinijske koordinate jednaqina (1.72) zamenjena vezom (1.77). Pri prelasku iz taqke (x i ) u taqku (x i + dx i ) duж krive C, komponente vektora u dobijaju priraxtaje u i du i, koji se nalaze iz (1.78): du i = Γ i pqu p dx q. (1.79) Integracijom ovog sistema diferencijalnih jednaqina nalazimo u i (x 1,..., x N ), u proizvoljnoj taqki M(x i ) sa krive C. Jednaqina (1.77), kojom se izraжava paralelno pomeranje vektora u E N u krivolinijskim koordinatama, sugerixe nam definiciju paralelnog pomeranja u Rimanovom prostoru R N. Definicija Vektor u i u R N se pomera paralelno duж krive C date jednaqinom x i = x i (t), (1.80) ako duж C vaжi Uopxte, tenzor u Du i = 0. (1.81) Dt se paralelno pomera duж C, ako je duж C : Du Dt = 0. (1.82) Prethodno definisan paralelizam je paralelizam u smislu Levi -Qivita. Teorema Pri paralelnom pomeranju dva vektora u R N ne menja se njihov skalarni proizvod, kao ni intenzitet svakog od njih, ni ugao između njih. Dokaz: Kako je u v = g ij u i v j skalarna invarijanta, to se apsolutni izvod svodi na obiqan izvod po parametru, a prema pretpostavci je Du i Dt = 0, Dv i Dt = 0, (1.83)

28 28 1. Rimanovi prostori pa, koriste i qinjenicu da je apsolutni izvod od g ij nula, u R N imamo d dt (u v) = d dt (g iju i v j ) = D ( ) Du Dt (g iju i v j i ) = g ij Dt vj + u i Dvj =g ij (0 + 0) = 0, Dt odakle dolazimo do u v = const. Poxto se intenzitet vektora, kao i ugao između dva vektora izraжavaju pomo u skalarnog proizvoda, to se ni oni ne menjaju pri paralelnom pomeranju. 1.8 Geodezijske linije u R N Posmatrajmo neku pravu u prostoru E N. Ako se njen jediniqni vektor pravca a = (a i ) zadat svojim Dekartovim koordinatama paralelno pomera, on ostaje i dalje vektor pravca. Tada vaжi da i ds = 0, (1.84) odnosno u krivolinijskim koordinatama je Da i = 0. (1.85) ds Za krivu liniju je njen vektor pravca u nekoj taqki njen tangentni vektor u toj taqki. Dakle, za vektor pravca prave u E N u krivolinijskim koordinatama x i vaжi (1.85). Kao uopxtenje prave iz E N imamo geodezijsku liniju u R N. Definicija Kriva ( u R) N je geodezijska linija, ako njeni jediniqni dx i tangentni vektori (a i ) = qine polje paralelnih vektora u smislu Levids Qivita, tj. kriva x i = x i (s) (1.86) je geodezijska linija, ako za njen tangentni vektor (a i ) = (dx i /ds) vaжi jednaqina d ( ) dx i + Γ i dx i dx i jk = 0, ili ds ds ds ds d 2 x i (ds) + dx j dx k 2 Γi jk ds ds = 0. (1.87) Ovo je sistem obiqnih diferencijalnih jednaqina II reda po nepoznatim funkcijama x i (s), qijom integracijom se dobijaju geodezijske linije (1.86).

29 1.9. Riqijev identitet i tenzor krivine u R N 29 Prema teoriji ovih jednaqina, sistem (1.87) ima jedinstveno rexenje za date poqetne uslove ( ) dx x i (s 0 ) = x i i 0, = v ds 0, i (i = 1,..., N), s 0 tj. kroz datu taqku u datom pravcu u R N postoji jedna geodezijska linija. U sluqaju prostora E N qija je metrika određena kvadratnom formom (ds) 2 = N (dx i ) 2 i=1 vaжi Γ i jk = 0, pa iz (1.87) dobijamo d2 x i = 0, odakle (ds) 2 x i = a i s + b i, (1.88) xto znaqi da su u ovom sluqaju geodezijske linije prave. 1.9 Riqijev identitet i tenzor krivine u R N Riqijev identitet i mexoviti tenzor krivine Ako je u i proizvoljan tenzor I reda, njegov kovarijantni izvod u i ;m je tenzor, pa se moжe na i njegov kovarijantni izvod, qime dobijamo kovarijantni izvod II reda. Za kovarijantni izvod imamo: u i ;m = u i,m + Γ i pmu p, (1.89) u i ;mn = (u i ;m) ;n = (u i ;m),n + Γ i snu s ;m Γ s mnu i ;s =u i,mn + Γ i pm,nu p + Γ i pmu p,n + Γ i sn(u ș m + Γ s pmu p ) Γ s mn(u i,s + Γ i psu p ), u i ;mn = u i,mn + Γ i pm,nu p + Γ i pmu p,n + Γ i snu ș m + Γ i snγ s pmu p Γ s mnu i,s Γ s mnγ i psu p, (1.90) a razmenom indeksa m i n dolazimo do u i ;nm =u i,nm + Γ i pn,mu p + Γ i pnu p,m +Γ i smu ș n + Γ i smγ s pnu p Γ s nmu i,s Γ s nmγ i psu p. (1.91) Oduzimanjem (1.91) od (1.90) dobijamo u i ;mn u i ;nm = (Γ i pm,n Γ i pn,m + Γ s pmγ i sn Γ s pnγ i sm)u p,

30 30 1. Rimanovi prostori odnosno pri qemu smo oznaqili u i ;mn u i ;nm = R i pmnu p, (1.92) R i jmn = Γ i jm,n Γ i jn,m + Γ p jm Γi pn Γ p jn Γi pm. (1.93) Na osnovu Zakona koliqnika zakljuqujemo da je sistem (1.93) tenzor tipa (1, 3). Jednakost (1.92) je Riqijev identitet za vektor u i, a tenzor R i jmn, određen pomo u (1.93), je Riman-Kristofelov tenzor ili mexoviti tenzor krivine Rimanovog prostora R N. Analogno dolazimo do Riqijevog identiteta za kovarijantni vektor v j : v j;mn v j;nm = R p jmn v p, (1.94) gde je R p jmn određeno sa (1.93). Analogni postupak određivanja Riqijevog identiteta se moжe koristiti i za tenzore vixeg reda. Međutim, moжe se koristiti i kompozicija, tako da se dobije skalarna invarijanta. Na taj naqin emo izvesti Riqijev identitet za, na primer, tenzor t i j. Ako su ui, v i vektori, onda je skalarna invarijanta, a prema Definiciji je gde je φ,m kovarijantni vektor. Dalje je φ = t i ju j v i (1.95) φ ;m = φ,m = φ x m, (1.96) φ ;mn =(φ,m ) ;n = (φ,m ),n Γ p mnφ,p, φ ;mn φ ;nm = 0. (1.97) Prema (1.95), koriste i Lajbnicovo pravilo, dobijamo φ ;m = t i j;mu j v i + t i ju j ;mv i + t i ju j v i;m, φ ;mn = t i j;mnu j v i + t i j;mu j ;nv i + t i j;mu j v i;n + t i j;nu j ;mv i + t i ju j ;mnv i + t i ju j ;mv i;n + t i j;nu j v i;m + t i ju j ;nv i;m + t i ju j v i;mn, (1.98) φ ;nm = t i j;nmu j v i + t i j;nu j ;mv i + t i j;nu j v i;m + t i j;mu j ;nv i + t i ju j ;nmv i + t i ju j ;nv i;m + t i j;mu j v i;n + t i ju j ;mv i;n + t i ju j v i;nm. (1.99)

31 1.9. Riqijev identitet i tenzor krivine u R N 31 Kada od jednaqine (1.98) oduzmemo (1.99), dobijamo (t i j;mn t i j;nm)u j v i + t i jv i (u j ;mn u j ;nm) + t i ju j (v i;mn v i;nm ) = 0, pa nakon xto primenimo (1.92) i (1.94), dolazimo do (t i j;mn t i j;nm)u j v i + t i jv i R j pmnu p t i ju j R p imn v p = 0. Ako u drugom sabirku smenimo j i p, a u tre em i i p i uzmemo u obzir da su u j, v i proizvoljni vektori, sledi da je Riqijev identitet za tenzor t i j određen sa t i j;mn t i j;nm = R i pmnt p j Rp jmn ti p. (1.100) Ovaj postupak moжemo primeniti i u drugim sluqajevima. Na primer, moжemo na i Riqijeve identitete tenzora t ij, t ij, t ij k, koriste i skalarne invarijante φ = t ij u i v j, ψ = t ij u i v j, λ = t ij k u iv j w k, µ = t ij k uk i v j, ν = t ij k u ijv k, znaju i Riqijeve identitete, na primer u sluqaju µ za u k i, v j. Na taj naqin imamo, na primer t ij k;mn tij k;nm = Ri pmnt pj k + Rj pmnt ip k Rp kmn tij p. Na osnovu izloжenog, moжemo da zakljuqimo da vaжi slede a teorema. Teorema Riqijev identitet za tenzor t i 1,...,i A j 1,...,j B glasi = A Rpmnt iα i 1...i α 1 pi α+1...i A j 1...j B α=1 t i 1...i A j 1...j B ;mn ti 1...i A j 1...j B ;nm B R p j β mn ti 1...i A j 1...j β 1 pj β+1...j B. β=1 (1.101) Prema (1.93) vidimo da je u euklidskom prostoru E N u Dekartovim koordinatama R i jmn = 0. Na osnovu zakona transformacije sledi da u E N u svakom koordinatnom sistemu vaжi R i jmn = 0. (1.102) Teorema Mexoviti tenzor krivine R i jmn ima slede e osobine: R i jmn = R i jnm (antisimetrija), (1.103) R i jmn + R i mnj + R i njm = 0 (cikliqna simetrija). (1.104)

32 32 1. Rimanovi prostori Dokaz: Osobina (1.103) je oqigledna iz (1.93). Da bismo dokazali (1.104), imamo R i jmn = Γ i jm,n Γ i jn,m + Γ p jm Γi pn Γ p jn Γi pm, R i mnj = Γ i mn,j Γ i mj,n + Γ p mnγ i pj Γ p mj Γi pn, R i njm = Γ i nj,m Γ i nm,j + Γ p nj Γi pm Γ p nmγ i pj. Sabiranjem ovih jednaqina, uzimaju i u obzir simetriju Kristofelovih simbola po donjim indeksima i vrxe i potrebne izmene nemih indeksa, dobijamo jednaqinu (1.104). Jednaqina (1.104) se zove I Bjankijev identitet Kovarijantni tenzor krivine Definicija Tenzor tipa (0, 4) određen relacijom R ijmn = g ip R p jmn = g ip(γ p jm,n Γp jn,m + Γs jmγ p sn Γ s jnγ p sm) (1.105) zove se kovarijantni tenzor krivine u R N. Teorema Kovarijantni tenzor krivine se moжe napisati u obliku R ijmn = Γ i.jm,n Γ i.jn,m + Γ p.im Γ p jn Γ p.inγ p jm. (1.106) Dokaz: Ako iz jednaqine nađemo Γ i.jm,n = (g ip Γ p jm ),n = g ip,n Γ p jm + g ipγ p jm,n g ip Γ p jm,n = Γ i.jm,n g ip,n Γ p jm =Γ i.jm,n (Γ i.pn + Γ p.in )Γ p jm i to smenimo u (1.105), dobijamo R ijmn = Γ i.jm,n (Γ i.pn +Γ p.in )Γ p jm Γ i.jn,m+(γ i.pm +Γ p.im )Γ p jn +Γs jmγ i.sn Γ s jnγ i.sm, odakle sledi da vaжi (1.106). Da bismo ispitali osobine tenzora R ijmn, napisa emo ga u jox jednom obliku. Teorema Kovarijantni tenzor krivine se moжe napisati u obliku R ijmn = 1 2 (g im,jn g in,jm + g jn,im g jm,in ) + g ps (Γ p.im Γ s.jn Γ p.jm Γ s.in ), (1.107) gde je, na primer, g im,jn = 2 g im x j x n.

33 1.9. Riqijev identitet i tenzor krivine u R N 33 Dokaz: Za prva dva sabirka u (1.106) imamo Γ i.jm,n Γ i.jn,m = 1 2 (g ij,m g jm,i + g mi,j ),n 1 2 (g ij,n g jn,i + g ni,j ),m, a za poslednja dva Γ i.jm,n Γ i.jn,m = 1 2 (g im,jn g in,jm + g jn,im g jm,in ), (1.108) gde smo primenili Γ p.im Γ p jn Γ p.inγ p jm = Γ p.img ps Γ s.jn Γ p.in g ps Γ s.jn = g ps (Γ p.im Γ s.jn Γ p.jm Γ s.in ), (1.109) Γ p.in g ps Γ s.jm = Γ s.in g sp Γ p.jm = g ps Γ p.jm Γ s.in. Kada zamenimo (1.108), (1.109) u (1.106) dobija se (1.107). Teorema Za kovarijantni tenzor krivine prostora R N vaжi: R ijmn = R ijnm, (1.110) R ijmn = R jimn, (1.111) R ijmn = R mnij, (1.112) Cikl αβγ R ijmn = 0, (1.113) gde je α, β, γ neka od qetiri kombinacije indeksa i, j, m, n, xto znaqi da se cikliqnom permutacijom bilo koja tri indeksa (a fiksiranjem qetvrtog) i sabiranjem dobijene tri komponente tenzora R ijmn, dobija 0. Dokaz: Relacija (1.110) sledi iz (1.103) i (1.105), a relacija (1.111) iz (1.107). Relacija (1.112) se proverava preko(1.107) kada se istovremeno izvrxe smene indeksa i i m, j i n. Relacija (1.113) se dokazuje korix enjem (1.104) i (1.105). Na primer, Cikl jmn R ijmn=cikl jmn (g ipr p jmn ) = g ip(r p jmn + Rp mnj + Rp njm )=0 Cikl ijm R ijmn= Cikl ijm R ijnm= Cikl ijm R nmij = Cikl mij R nmij = 0. Prema Teoremi vidimo da komponente tenzora R ijmn nisu nezavisne. Ako za nezavisne komponente smatramo one koje su razliqite od nula i one koje se ne mogu izraziti kao linearne kombinacije drugih, postavlja se pitanje koliko ima nezavisnih komponenata u R N, tj. koliko komponenata treba zadati proizvoljno da bi se mogle izraqunati ostale komponente. Odgovor na postavljeno pitanje daje slede a teorema.

34 34 1. Rimanovi prostori Teorema Broj nezavisnih komponenata, u oznaci K(N), tenzora krivine R ijmn u prostoru R N je K(N) = 1 12 N 2 (N 2 1). (1.114) Riqijev tenzor Ako pođemo od mexovitog tenzora krivine R i jmn = Γ i jm,n Γ i jn,m + Γ p jm Γi pn Γ p jn Γi pm (1.115) moжemo izvrxiti kontrakciju indeksa i na dva naqina: a) sa indeksom j, b) sa nekim od indeksa m, n. Prvi naqin daje tenzor koji je identiqki jednak nuli, odnosno vaжi jer iz relacije (1.115) imamo R p pmn = 0, (1.116) Rpmn p = Γ p pm,n Γ p pn.m + Γ s pmγ p sn Γ s pnγ p sm ( ) ( ) ln g ln g = = (ln g) x m x n,mn (ln g),nm = 0.,n,m Drugi naqin kontrakcije daje kovarijantni tenzor II reda koji se zove Riqijev tenzor, u oznaci R ij. Dakle, vaжi a na osnovu (1.53) imamo tj. odakle zakljuqujemo da je R p jmp = R jm = Γ p jm,p Γp jp,m + Γs jmγ p sp Γ s jpγ p sm, (1.117) R jm = Γ p jm,p (ln g),jm + Γ s jm(ln g),s Γ s jpγ p sm, R ij = R p ijp = Γp ij,p (ln g),ij + Γ p ij (ln g),p Γ s ipγ p sj, (1.118) Dakle, Riqijev tenzor je simetriqan. R ij = R ji. (1.119)

35 Deo 2 Potprostori Rimanovih prostora 2.1 Definicija potprostora Definisa emo potprostor proizvoljnog broja dimenzija M u Rimanovom prostoru R N (M < N) i prouqiti neke vaжnije osobine takvih potprostora. Povrx u E 3 e se razmatrati kao specijalan sluqaj. Definicija Neka su u R N koordinate x i, (i = 1,..., N). Jednaqine x i = x i (u 1,..., u M ), (M < N), (2.1) pod uslovom ( ) x i rang = M, (i = 1,..., N; α = 1,..., M) (2.2) u α određuju potprostor R M R N. Prostor R N se u tom sluqaju zove smextajni prostor. Za tenzor u R M, na primer a α β (u1,..., u M ), zakon transformacije pri prelasku na nove koordinate u α = u α (u 1,..., u M ) je a α β = uα u α u β u β a α β = u α α u β β a α β. (2.3) Pokaza emo da u sluqaju kada je R M R N postoje veliqine (sistemi), qiji se neki indeksi odnose na potprostor R M, a drugi na smextajni prostor R N. Teorema Sistem veliqina x i α = x i / u α je kontravarijantni vektor u odnosu na i, a kovarijantni vektor u odnosu na α. 35

36 36 2. Potprostori Rimanovih prostora Dokaz: Ako u R N izvrximo transformaciju x i = x i (x 1,..., x N ) dobijamo x i α = xi u α = xi x i x i u α = xi i x i α, (2.4) a ako izvrximo transformaciju u α = u α (u 1,..., u M ) imamo x i α = xi u α = xi u α u α u α = u α α xi α. (2.5) Teorema U potprostoru R M R N se indukuje metriqki tenzor ḡ αβ, pri qemu je njegova veza sa metriqkim tenzorom g ij u R N određena relacijom Dokaz: Za krivu u R M R N je ḡ αβ = x i αx j β g ij = ḡ βα. (2.6) (ds) 2 = g ij dx i dx j =g ij x i αdu α x j β duβ = ḡ αβ du α du β, (2.7) a odavde je (ḡ αβ g ij x i αx j β )duα du β = 0. Kako je du α, du β proizvoljno, to vaжi (2.6). Kako je u (2.7) (ds) 2 invarijanta, du α, du β su vektori, to je oqigledno ḡ αβ tenzor u R M. Definicija Tenzor ḡ αβ (u 1,..., u M ) definisan u taqkama potprostora R M R N, određen relacijom (2.6) zove se (indukovani) metriqki tenzor potprostora. Ukoliko iz uslova odnosno uslova ḡ απ ḡ πβ = δ β α, (2.8) (ḡ αβ ) = (ḡ αβ ) 1, (2.9) odredimo ḡ αβ, onda moжemo da odredimo Kristofelove simbole potprostora: Γ α.βγ = 1 2 (ḡ αβ,γ ḡ βγ,α + ḡ γα,β ), (2.10) Γ α βγ = ḡ απ Γπ.βγ. (2.11)

37 2.2. Izraжavanje Kristofelovih simbola pomo u Kristofelovih simbola prostora37 Definicija Sistem veliqina definisanih u R M R N, qiji se neki indeksi odnose na R N, a drugi na R M zove se mexoviti tenzor, ako se transformixe po tenzorskim zakonima, posebno pri transformaciji koordinata u R N, odnosno u R M. U specijalnom sluqaju, tenzor definisan u potprostoru moжe imati indekse koji se odnose samo na prostor ili samo na potprostor. Primer mexovitog tenzora je sistem x i α = xi. Posmatrajmo neki takav uα mexoviti tenzor a iα βj. Kako su ove veliqine definisane u taqkama potprostora R M koje pripadaju prostoru R N, to je a iα βj = aiα βj (x1,..., x N ) pri qemu su, prema (2.1), x i funkcije od u α, pa imamo a iα βj(x 1 (u 1,..., u M ),..., x N (u 1,..., u M )) = a iα βj(u 1,..., u M ), a i α βj = xi i x j j a iα βj, (2.12) a iα β j = u α α u β β a iα βj. (2.13) Osobine Kristofelovih simbola prostora se prenose i na Kristofelove simbole potprostora. Na primer, vaжi Γ α.βγ = Γ α.γβ, (2.14) Γ α βγ = Γ α γβ, (2.15) Γ α.βγ + Γ β.αγ = ḡ αβ,γ. (2.16) 2.2 Izraжavanje Kristofelovih simbola pomo u Kristofelovih simbola prostora Jednaqinom (2.6) je metriqki tenzor potprostora izraжen pomo u metriqkog tenzora smextajnog prostora. Naredna teorema se odnosi na analogno izraжavanje Kristofelovih simbola. Teorema Ako su Γ α.βγ Kristofelovi simboli I vrste potprostora R M R N određenog jednaqinama x i = x i (u 1,..., u M ), a Γ i.jk (Γ i jk ) Kristofelovi simboli prostora R N, tada je Γ α.βγ = Γ i.jk x i αx j β xk γ + g ij x i αx j βγ, (2.17)

38 38 2. Potprostori Rimanovih prostora odnosno Γ α.βγ = g ip Γ p jk xi αx j β xk γ + g ij x i αx j βγ, (2.18) Γ α βγ = ḡ πα Γπ.βγ. (2.19) Dokaz: Polazimo od definicije Kristofelovih simbola prve vrste: Γ α.βγ = 1 2 (ḡ αβ,γ ḡ βγ,α + ḡ γα,β ). Na osnovu (2.6) je pri qemu smo koristili ḡ αβ,γ = (x i αx j β g ij),γ = x i αγx j β g ij + x i αx j βγ g ij + x i αx j β g ij,kx k γ, (2.20) g ij,γ = g ij (x 1 (u 1,..., u M ),..., x N (u 1,..., u M )),γ = g ij,k x k γ, jer pri diferenciritanju g ij po u γ posmatramo g ij u taqkama R M R N. Zamenom u (2.10), primenjuju i odgovaraju e zamene nemih indeksa, sledi Γ α.βγ = 1 2 (xi αγx j β g ij + x i αx j βγ g ij + x i αx j β g ij,kx k γ x i βαx j γg ij x i βx j γαg ij x i βx j γg ij,k x k α + x i γβx j αg ij + x i γx j αβ g ij + x i γx j αg ij,k x k β) = 1 2 (g ij,k g jk,i + g ki,j )x i αx j β xk γ + g ij x i αx j βγ. Qime smo dokazali teoremu. 2.3 Kovarijantni izvod tenzora u potprostoru Da bismo definisali kovarijantni izvod tenzora definisanih u taqkama potprostora, posmatra emo najpre sluqaj vektora b i = b i (x j (u α )), i, j = 1,..., N; α = 1,..., M, (2.21) qiji se indeks odnosi na prostor R N, ali je definisan u taqkama (x j ) = x j (u β ), kao i vektor c α = c α (u β ), α, β = 1,..., M, (2.22) koji je definisan u taqkama (u β ) potprostora R M.

Univerzitet u Nixu Prirodno-matematiqki fakultet Departman za matematiku Tenzorska analiza u teoriji relativnosti Master rad Mentor: Prof. Dr Ljubica V

Univerzitet u Nixu Prirodno-matematiqki fakultet Departman za matematiku Tenzorska analiza u teoriji relativnosti Master rad Mentor: Prof. Dr Ljubica V Univerzitet u Nixu Prirodno-matematiqki fakultet Departman za matematiku Tenzorska analiza u teoriji relativnosti Master rad Mentor: Prof. Dr Ljubica Velimirovi Student: Vladislava Stankovi Nix, 2015. PREDGOVOR

Више

Univerzitet u Nixu Prirodno - matematiqki fakultet Departman za matematiku Kovarijatno diferenciranje Master rad Mentor: Prof. Dr Milan Zlatanovi Stude

Univerzitet u Nixu Prirodno - matematiqki fakultet Departman za matematiku Kovarijatno diferenciranje Master rad Mentor: Prof. Dr Milan Zlatanovi Stude Univerzitet u Nixu Prirodno - matematiqki fakultet Departman za matematiku Kovarijatno diferenciranje Master rad Mentor: Prof. Dr Milan Zlatanovi Student: Nemanja Nikoli Nix, 2017. Temu master rada predloжio

Више

Univerzitet u Nixu Prirodno - matematiqki fakultet Departman za matematiku Karakterizacije geodezijskih preslikavanja Rimanovih prostora (MASTER RAD) M

Univerzitet u Nixu Prirodno - matematiqki fakultet Departman za matematiku Karakterizacije geodezijskih preslikavanja Rimanovih prostora (MASTER RAD) M Univerzitet u Nixu Prirodno - matematiqki fakultet Departman za matematiku Karakterizacije geodezijskih preslikavanja Rimanovih prostora (MASTER RAD) Mentor: Prof. Dr Mi a Stankovi Student: Dejan Staji

Више

Particije prirodnog broja druga-0.1 verzija: Duxan uki 1 Uvod Particija prirodnog broja n je predstavljanje n u obliku zbira nekoliko prirodn

Particije prirodnog broja druga-0.1 verzija: Duxan uki 1 Uvod Particija prirodnog broja n je predstavljanje n u obliku zbira nekoliko prirodn Particije prirodnog broja druga-0. verzija: 7..03. Duxan uki Uvod Particija prirodnog broja n je predstavljanje n u obliku zbira nekoliko prirodnih brojeva, pri qemu je redosled sabiraka nebitan. Sa p(n)

Више

1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu 3XB T + XA = B, pri qemu

1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu 3XB T + XA = B, pri qemu 1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE 1 0.0.01. Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu XB T + XA = B, 1 4 pri qemu je A = 6 9 i B = 1 1 0 1 1. 4 4 4 8 1. Data je prava q : {

Више

Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Iracionalne jednaqine i nejednaqine Zlatko Lazovi 29. mart 2017.

Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Iracionalne jednaqine i nejednaqine Zlatko Lazovi 29. mart 2017. Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu 29. mart 2017. Matematiqki fakultet 2 Univerzitet u Beogradu Glava 1 Iracionalne jednaqine i nejednaqine 1.1 Teorijski uvod Pod iracionalnim jednaqinama podrazumevaju

Више

1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1

1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1 1. Vrednost izraza 1 1 + 1 5 + 1 5 7 + 1 7 9 jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se 1 + 1 15 + 1 5 + 1 6 = 4 9, ili kra e S = 1 1 1 2 + 1 1 5 + 1 5 1 7 + 1 7 1 ) = 1 7 2 8 9 = 4 9. 2. Ako je fx)

Више

Test iz Linearne algebre i Linearne algebre A qetvrti tok, U zavisnosti od realnog parametra λ rexiti sistem jednaqina x + y + z = λ x +

Test iz Linearne algebre i Linearne algebre A qetvrti tok, U zavisnosti od realnog parametra λ rexiti sistem jednaqina x + y + z = λ x + Test iz Linearne algebre i Linearne algebre A qetvrti tok, 2122017 1 U zavisnosti od realnog parametra λ rexiti sistem jednaqina x + y + z = λ x + λy + λ 2 z = λ 2 x + λ 2 y + λ 4 z = λ 4 2 Odrediti inverz

Више

rjeshenja.dvi

rjeshenja.dvi 16. REPUBLIQKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA REPUBLIKE SRPSKE Banja Luka, 11.04.2009. ZADACI PRVI RAZRED 1. Neka su a, b, c pozitivni brojevi. Dokazati da iz a 2 + b 2 = c 2 slijedi a 2

Више

Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA 10. mart Pr

Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA 10. mart Pr Prvi razred A kategorija 1. Za prirodan broj n oznaqimo sa x n broj koji se dobije uzastopnim zapisivanjem svih prirodnih brojeva od 1 do n jedan iza drugog (npr. x 14 = 1234567891011121314). Neka je funkcija

Више

DELjIVOST Ceo broj a je deljiv celim brojem b 0 ako postoji ceo broj q takav da je a = b q. U tom sluqaju kaжemo i da b deli a. b a oznaqava da b deli a

DELjIVOST Ceo broj a je deljiv celim brojem b 0 ako postoji ceo broj q takav da je a = b q. U tom sluqaju kaжemo i da b deli a. b a oznaqava da b deli a DELjIVOST Ceo broj a je deljiv celim brojem b 0 ako postoji ceo broj q takav da je a = b q. U tom sluqaju kaжemo i da b deli a. b a oznaqava da b deli a. b a oznaqava da a ne deli b. Napomena 1.1. (1) Deljivost

Више

ФАКУЛТЕТ ОРГАНИЗАЦИОНИХ НАУКА

ФАКУЛТЕТ  ОРГАНИЗАЦИОНИХ  НАУКА Питања за усмени део испита из Математике 3 I. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ 1. Појам диференцијалне једначине. Пикарова теорема. - Написати општи и нормални облик диференцијалне једначине првог реда. - Дефинисати:

Више

Pelova jednaqina verzija 2.1: Duxan uki 0 Uvod Qesto smo se sretali sa linearnim diofantskim jednaqinama, i ovakve jednaqine znamo da rexav

Pelova jednaqina verzija 2.1: Duxan uki 0 Uvod Qesto smo se sretali sa linearnim diofantskim jednaqinama, i ovakve jednaqine znamo da rexav Pelova jednaqina verzija.1: 1..015. Duxan uki 0 Uvod Qesto smo se sretali sa linearnim diofantskim jednaqinama, i ovakve jednaqine znamo da rexavamo pomo u jednostavnog algoritma. Diofantske jednaqine

Више

1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan

1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan 1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan jednačinom oblika: a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2

Више

homotetija_ddj.dvi

homotetija_ddj.dvi Homotetija verzija.0: 16.10.016. uxan uki efinicija. Homotetija H O,k sa centrom O i koeficijentom k je preslikavanje ravni koje slika svaku taqku X u taqku X takvu da je OX = k OX. Homotetiju zovemo pozitivnom

Више

Analiticka geometrija

Analiticka geometrija Analitička geometrija Predavanje 8 Vektori u prostoru. Skalarni proizvod vektora Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 1 / 11 Vektori u prostoru i pravougli koordinatni

Више

1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K.

1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K. 1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K. Elementi a k K su koeficijenti polinoma P (x). Ako

Више

PRAVILA ZA POLAGANjE ISPITA IZ NUMERIQKE ANALIZE U TOKU SEMESTRA 1. Ispit se sastoji iz pismenog i usmenog dela. Pismeni deo ispita je eliminatoran. 2.

PRAVILA ZA POLAGANjE ISPITA IZ NUMERIQKE ANALIZE U TOKU SEMESTRA 1. Ispit se sastoji iz pismenog i usmenog dela. Pismeni deo ispita je eliminatoran. 2. PRAVILA ZA POLAGANjE ISPITA IZ NUMERIQKE ANALIZE U TOKU SEMESTRA 1. Ispit se sastoji iz pismenog i usmenog dela. Pismeni deo ispita je eliminatoran. 2. Aktivnosti u toku semestra mogu biti obavezne i opcione,

Више

Skripte2013

Skripte2013 Chapter 2 Algebarske strukture Preslikivanje f : A n! A se naziva n-arna operacija na skupu A Ako je n =2, kažemo da je f : A A! A binarna operacija na A Kažemo da je operacija f arnosti n, u oznaci ar

Више

9. : , ( )

9.  :  ,    ( ) 9. Динамика тачке: Енергиjа, рад и снага (први део) др Ратко Маретић др Дамир Мађаревић Департман за Техничку механику, Факултет техничких наука Нови Сад Садржаj - Шта ћемо научити (1) 1. Преглед литературе

Више

ALGEBRA 2 ZORAN PETROVI Predavanja za xkolsku 2014/15 godinu

ALGEBRA 2 ZORAN PETROVI Predavanja za xkolsku 2014/15 godinu ALGEBRA 2 ZORAN PETROVI Predavanja za xkolsku 2014/15 godinu Grupe Dejstva grupa Zapoqnimo ovu lekciju slede om definicijom. Definicija 1 Neka je G grupa i X neprazan skup. Pod dejstvom grupe G na skupu

Више

S E M I N A R S K I R A D Primena diferencijalnog računa Marina -Dokić Marina Jokić Tatjana Jakšić Decembar,

S E M I N A R S K I R A D Primena diferencijalnog računa Marina -Dokić Marina Jokić Tatjana Jakšić Decembar, S E M I N A R S K I R A D Primena diferencijalnog računa Marina -Dokić Marina Jokić Tatjana Jakšić Decembar, 2006. 1 Diferencijalni račun ima veliku primenu u ekonomiji, elektrotehnici, astrofizici, astronomiji,

Више

Slide 1

Slide 1 0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: :: Neke fizikalne veličine poput indeksa loma u anizotropnim sredstvima ovise o iznosu i smjeru, a nisu vektori. Stoga se namede potreba poopdavanja. Međutim, fizikalne veličine,

Више

Pripremni kamp - Avala, 1-7. februar Zadaci za samostalan rad (pripremio Duxan uki ) Algebra 1. Realni brojevi a, b, c zadovoljavaju (a+b)(b+c)(c

Pripremni kamp - Avala, 1-7. februar Zadaci za samostalan rad (pripremio Duxan uki ) Algebra 1. Realni brojevi a, b, c zadovoljavaju (a+b)(b+c)(c Pripremni kamp - Avala, 1-7. februar 013. Zadaci za samostalan rad (pripremio Duxan uki ) Algebra 1. Realni brojevi a, b, c zadovoljavaju (a+b)(b+c)(c+a) = abc i (a 3 +b 3 )(b 3 +c 3 )(c 3 +a 3 ) = a 3

Више

Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: min c T x Ax = b x 0 x Z n Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica

Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: min c T x Ax = b x 0 x Z n Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: min c T x Ax = b x 0 x Z n Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije m n, b Z m, c Z n. Takođe, očekuje se da

Више

1996_mmo_resenja.dvi

1996_mmo_resenja.dvi 37. ME UNARODNA MATEMATIQKA OLIMPIJADA Mumbaj, Indija sreda, 10. jul 1996. 1. Neka je ABCD pravougaona tabla sa AB = 20 i BC = 12. Tabla je razloжena na 20 12 jediniqnih kvadrata. Neka je r prirodan broj.

Више

Kvadratna jednaqina i funkcija 1. Odrediti sve n N takve da jednaqina x3 + 7x 2 9x + 1 x 2 bar jedno celobrojno rexee. = n ima 2. Ako za j-nu ax 2 +bx

Kvadratna jednaqina i funkcija 1. Odrediti sve n N takve da jednaqina x3 + 7x 2 9x + 1 x 2 bar jedno celobrojno rexee. = n ima 2. Ako za j-nu ax 2 +bx Kvadratna jednaqina i funkcija 1. Odrediti sve n N takve da jednaqina x3 + 7x 2 9x + 1 x 2 bar jedno celobrojno rexee. = n ima 2. Ako za j-nu ax 2 +bx+c = 0, a, b, c R, a 0, vai 5a+3b+3c = 0, tada jednaqina

Више

6-8. ČAS Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije,. Takođe

6-8. ČAS Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije,. Takođe 6-8. ČAS Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije,. Takođe, očekuje se da su koordinate celobrojne. U slučaju

Више

My_P_Trigo_Zbir_Free

My_P_Trigo_Zbir_Free Штa треба знати пре почетка решавања задатака? ТРИГОНОМЕТРИЈА Ниво - Основне формуле које произилазе из дефиниција тригонометријских функција Тригонометријске функције се дефинишу у правоуглом троуглу

Више

Analiticka geometrija

Analiticka geometrija Analitička geometrija Predavanje 3 Konusni preseci (krive drugog reda, kvadratne krive) Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 1 / 22 Ime s obzirom na karakteristike

Више

REXENjA ZADATAKA RPUBLIQKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 1. Ako su A i B neprazni podskupovi ravni α, takvi da je A B =

REXENjA ZADATAKA RPUBLIQKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 1. Ako su A i B neprazni podskupovi ravni α, takvi da je A B = REXENjA ZADATAKA RPUBLIQKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE 8.03.006. Prvi razred A kategorija. Ako su A i B neprazni podskupovi ravni α, takvi da je A B = i A B = α, dokazati da postoji jednakokraki pravougli trougao

Више

PRVI KOLOKVIJUM Odrediti partikularno rexee jednaqine koje zadovo ava uslov y(0) = 0. y = x2 + y 2 + y 2xy + x + e y 2. Odrediti opxte rexee

PRVI KOLOKVIJUM Odrediti partikularno rexee jednaqine koje zadovo ava uslov y(0) = 0. y = x2 + y 2 + y 2xy + x + e y 2. Odrediti opxte rexee PRVI KOLOKVIJUM 1992. 1. Odrediti partikularno rexee jednaqine koje zadovo ava uslov y(0) = 0. y = x2 + y 2 + y 2xy + x + e y 2. Odrediti opxte rexee jednaqine y 2y + 5y = 2e t + 3t 1. 3. Rexiti sistem

Више

Matrice. Algebarske operacije s matricama. - Predavanje I

Matrice. Algebarske operacije s matricama. - Predavanje I Matrice.. Predavanje I Ines Radošević inesr@math.uniri.hr Odjel za matematiku Sveučilišta u Rijeci Matrice... Matrice... Podsjeti se... skup, element skupa,..., matematička logika skupovi brojeva N,...,

Више

Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3

Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3 Matematka Zadaci za vežbe Oktobar 5 Uvod.. Izračunati vrednost izraza bez upotrebe pomoćnih sredstava): ) [ a) 98.8.6 : b) : 7 5.5 : 8 : ) : :.. Uprostiti izraze: a) b) ) a b a+b + 6b a 9b + y+z c) a +b

Више

Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 1.

Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 1. Prvi razred A kategorija Za brojeve a, b, c, x, y i z vaжi {a, b, c} = {x, y, z} = {15, 3, 2014}. Da li broj a bc + x yz mora biti sloжen? (Za m, n, k N je sa m nk oznaqen broj m (nk).) Neka su a, b i

Више

32zadatka_2014_IMO-pripreme_ddj.dvi

32zadatka_2014_IMO-pripreme_ddj.dvi Pripreme za MMO - Beograd, 11-15 juni 014 Zadaci za samostalan rad (pripremio Duxan uki ) Pokuxao sam, verovatno neuspexno, da unutar svake oblasti sortiram zadatke od lakxih ka teжim Radite ih sami (ali

Више

24. REPUBLIQKO TAKMIQE E IZ MATEMATIKE UQENIKA SRED IH XKOLA REPUBLIKE SRPSKE Ba a Luka, 22. april ZADACI PRVI RAZRED 1. Dat je razlomak 2a27, g

24. REPUBLIQKO TAKMIQE E IZ MATEMATIKE UQENIKA SRED IH XKOLA REPUBLIKE SRPSKE Ba a Luka, 22. april ZADACI PRVI RAZRED 1. Dat je razlomak 2a27, g 4. REPUBLIQKO TAKMIQE E IZ MATEMATIKE UQENIKA SRED IH XKOLA REPUBLIKE SRPSKE Ba a Luka,. april 07. ZADACI PRVI RAZRED. Dat je razlomak a7, gdje su a i b cifre za koje je b a =. Ako se 7b egovom brojiocu

Више

8. ( )

8.    ( ) 8. Кинематика тачке (криволиниjско кретање) др Ратко Маретић др Дамир Мађаревић Департман за Техничку механику, Факултет техничких наука Нови Сад Садржаj - Шта ћемо научити 1. Криволиниjско кретање Преглед

Више

rumunija0107.dvi

rumunija0107.dvi ME URODI TREIG Z MMO Râmnicu Vâlcea, 19. & 0.01.007. Prvi dan Zadata 1. Konaqno mnogo rugova preriva oxtrougli trougao. Doazati da je zbir njihovih polupreqnia ne manji od polupreqnia opisane ruжnice tog

Више

СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за векто

СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за векто СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за вектор a (коjи може бити и дужине нула) и неке изометриjе

Више

My_ST_FTNIspiti_Free

My_ST_FTNIspiti_Free ИСПИТНИ ЗАДАЦИ СУ ГРУПИСАНИ ПО ТЕМАМА: ЛИМЕСИ ИЗВОДИ ФУНКЦИЈЕ ЈЕДНЕ ПРОМЕНЉИВЕ ИСПИТИВАЊЕ ТОКА ФУНКЦИЈЕ ЕКСТРЕМИ ФУНКЦИЈЕ СА ВИШЕ ПРОМЕНЉИВИХ 5 ИНТЕГРАЛИ ДОДАТАК ФТН Испити С т р а н а Лимеси Одредити

Више

ТРОУГАО БРЗИНА и математичка неисправност Лоренцове трансформације у специјалној теорији релативности Александар Вукеља www.

ТРОУГАО БРЗИНА и математичка неисправност Лоренцове трансформације у специјалној теорији релативности Александар Вукеља www. ТРОУГАО БРЗИНА и математичка неисправност Лоренцове трансформације у специјалној теорији релативности Александар Вукеља aleksandar@masstheory.org www.masstheory.org Август 2007 О ауторским правима: Дело

Више

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Zvonko Iljazović Zagreb, rujan, 2015. Ovaj diplomski

Више

Rokovi iz Matematike 1 za studente Fakulteta za fiziqku hemiju Ivan Dimitrijevi, Tijana Xukilovi 1. Rexiti jednaqinu z 4 + i 1 i+1 = 0. MATEMATIKA 1 {

Rokovi iz Matematike 1 za studente Fakulteta za fiziqku hemiju Ivan Dimitrijevi, Tijana Xukilovi 1. Rexiti jednaqinu z 4 + i 1 i+1 = 0. MATEMATIKA 1 { Rokovi iz Matematike za studente Fakulteta za fiziqku hemiju Ivan Dimitrijevi, Tijana Xukilovi Rexiti jednaqinu z 4 + i i+ = MATEMATIKA { septembar 5godine x Odrediti prodor prave p : = y = z kroz ravan

Више

UAAG Osnovne algebarske strukture 5. Vektorski prostori Borka Jadrijević

UAAG Osnovne algebarske strukture 5. Vektorski prostori Borka Jadrijević Osnovne algebarske strukture 5. Vektorski prostori Borka Jadrijević Osnovne algebarske strukture5. Vektorski prostori 2 5.1 Unutarnja i vanjska množenja Imamo dvije vrste algebarskih operacija, tzv. unutarnja

Више

LOKALNI EKSTREMUMI FUNKCIJE TRI PROMENLjIVE Rexeni primeri i zadaci za veжbu Dragan ori Funkcije tri promenljive Funkcija f : X R, gde je X R 3 otvoren

LOKALNI EKSTREMUMI FUNKCIJE TRI PROMENLjIVE Rexeni primeri i zadaci za veжbu Dragan ori Funkcije tri promenljive Funkcija f : X R, gde je X R 3 otvoren LOKALNI EKSTREMUMI FUNKCIJE TRI PROMENLjIVE Reeni primeri i zadaci za veжbu Dragan ori Funkcije tri promenljive Funkcija f : X R, gde je X R 3 otvoren skup, ima u taqki (a, b, c) X lokalni minimum (maksimum)

Више

RG_V_05_Transformacije 3D

RG_V_05_Transformacije 3D Računarska grafika - vežbe 5 Transformacije u 3D grafici Transformacije u 3D grafici Slično kao i u D grafici, uz razlike: matrice su 4x4 postoji posebna matrica projekcije Konvencije: desni pravougli

Више

LINEARNA ALGEBRA 2 Popravni kolokvij srijeda, 13. velja e Zadatak 1. ( 7 + 5=12 bodova) Zadan je potprostor L = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) C 4 : x 1

LINEARNA ALGEBRA 2 Popravni kolokvij srijeda, 13. velja e Zadatak 1. ( 7 + 5=12 bodova) Zadan je potprostor L = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) C 4 : x 1 Zadatak 1. ( 7 + 5=12 bodova) Zadan je potprostor L = {(x 1, x 2, x, x 4 ) C 4 : x 1 + x 2 + x = 0, x 1 = 2x 2 } unitarnog prostora C 4 sa standardnim skalarnim produktom i vektor v = (2i, 1, i, ) C 4.

Више

Microsoft Word - 7. cas za studente.doc

Microsoft Word - 7. cas za studente.doc VII Диферeнцни поступак Користи се за решавање диференцијалних једначина. Интервал на коме је дефинисана тражена функција се издели на делова. Усвоји се да се непозната функција између сваке три тачке

Више

Microsoft Word - 6ms001

Microsoft Word - 6ms001 Zadatak 001 (Anela, ekonomska škola) Riješi sustav jednadžbi: 5 z = 0 + + z = 14 4 + + z = 16 Rješenje 001 Sustav rješavamo Gaussovom metodom eliminacije (isključivanja). Gaussova metoda provodi se pomoću

Више

Analiticka geometrija

Analiticka geometrija Analitička geometrija Predavanje 4 Ekscentricitet konusnih preseka i klasifikacija kvadratnih krivih Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 1 / 15 Ekscentricitet

Више

res_gradsko_2010.dvi

res_gradsko_2010.dvi REXEƫ ZTK OKRUЖNOG TKMIQEƫEƫ IZ MTEMTIKE UQENIK SREƫIH XKOL, 0.000. Prvi razred, kategorija Kako je xyz > 0, sledi x > y,z, odakle je 4x > (y + z) = x, tj. x < Iz x = (y + z) sledi x, pa mora biti x =

Више

Ravno kretanje krutog tela

Ravno kretanje krutog tela Ravno kretanje krutog tela Brzine tačaka tela u reprezentativnom preseku Ubrzanja tačaka u reprezentativnom preseku Primer određivanja brzina i ubrzanja kod ravnog mehanizma Ravno kretanje krutog tela

Више

Skalarne funkcije više varijabli Parcijalne derivacije Skalarne funkcije više varijabli i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler

Skalarne funkcije više varijabli Parcijalne derivacije Skalarne funkcije više varijabli i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler Jednadžba stanja idealnog plina uz p = nrt V f (x, y, z) = xy z x = n mol, y = T K, z = V L, f == p Pa. Pritom je kodomena od f skup R, a domena je Jednadžba

Више

Матрична анализа конструкција

Матрична анализа конструкција . 5 ПРИМЕР На слици. је приказан носач који је састављен од три штапа. Хоризонтални штапови су константног попречног пресека b/h=./.5 m, док је коси штап са линеарном променом висине. Одредити силе на

Више

PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(l

PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(l PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(limes) niza. Svojstva konvergentnih nizova, posebno

Више

Динамика крутог тела

Динамика крутог тела Динамика крутог тела. Задаци за вежбу 1. Штап масе m и дужине L се крајем А наслања на храпаву хоризонталну раван, док на другом крају дејствује сила F константног интензитета и правца нормалног на штап.

Више

Microsoft Word - Ispitivanje toka i grafik funkcije V deo

Microsoft Word - Ispitivanje toka i grafik funkcije V deo . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije y= arcsin + Oblast definisanosti (domen) Podsetimo se grafika elementarnih funkcija i kako izgleda arcsin funkcija: y - y=arcsin Funkcija je definisana za [,]

Више

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА p m m m Дат је полином ) Oдредити параметар m тако да полином p буде дељив са б) Одредити параметар m тако да остатак при дељењу p са буде једнак 7 а)

Више

Microsoft Word - 4.Ucenik razlikuje direktno i obrnuto proporcionalne velicine, zna linearnu funkciju i graficki interpretira n

Microsoft Word - 4.Ucenik razlikuje direktno i obrnuto proporcionalne velicine, zna linearnu funkciju i graficki interpretira n 4. UČENIK RAZLIKUJE DIREKTNO I OBRNUTO PROPORCIONALNE VELIČINE, ZNA LINEARNU FUNKCIJU I GRAFIČKI INTERPRETIRA NJENA SVOJSTVA U fajlu 4. iz srednjeg nivoa smo se upoznali sa postupkom rada kada je u pitanju

Више

PARCIJALNO MOLARNE VELIČINE

PARCIJALNO MOLARNE VELIČINE PARCIJALNE MOLARNE VELIČINE ZATVOREN TERMODINAMIČKI SISTEM-konstantan sastav sistema Posmatra se neka termodinamička ekstenzivna veličina X X (V, U, H, G, A, S) X je u funkciji bilo kog para intenzivnih

Више

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN Odrediti

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN Odrediti PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN 0. Odrediti moduo kompleksnog broja Rešenje: Uočimo da važi z = + i00

Више

{ Rexe a Tipovi zadataka za drugi kratki test { 1. Odrediti normalizovanu jednaqinu prave p koja sadri taqku P (2, 1) i qiji je normalni vektor # «n p

{ Rexe a Tipovi zadataka za drugi kratki test { 1. Odrediti normalizovanu jednaqinu prave p koja sadri taqku P (2, 1) i qiji je normalni vektor # «n p { Ree a Tipovi adataka a drugi kratki test { Odrediti normaliovanu jednaqinu prave p koja sadri taqku P, i qiji je normalni vektor # «n p =, 4 + 4 + = Odrediti jediniqni vektor pravca prave = i taqku te

Више

Univerzitet u Nixu Prirodno-matematiqki fakultet Departman za matematiku Neke poznate krive u ravni i prostoru Master rad Mentor: Prof. dr Mia Stankov

Univerzitet u Nixu Prirodno-matematiqki fakultet Departman za matematiku Neke poznate krive u ravni i prostoru Master rad Mentor: Prof. dr Mia Stankov Univerzitet u Nixu Prirodno-matematiqki fakultet Departman za matematiku Neke poznate krive u ravni i prostoru Master rad Mentor: Prof. dr Mia Stankovi Student: Duxan Mijajlovi broj indeksa 156 Nix, 2018.

Више

Microsoft Word - IZVODI ZADACI _I deo_.doc

Microsoft Word - IZVODI  ZADACI _I deo_.doc . C =0 Tablica izvoda. `=. ( )`=. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`=. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0). (sin)`=cos (ovde je >0 i a >0). (cos)`= - sin π. (tg)`= + kπ cos. (ctg)`= kπ

Више

Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Srdjan Vukmirović, Tijana Šukilovic, Marijana Babić januar Teorijska pitanja

Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Srdjan Vukmirović, Tijana Šukilovic, Marijana Babić januar Teorijska pitanja Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Srdjan Vukmirović, Tijana Šukilovic, Marijana Babić januar 5. Teorijska pitanja definicija vektora, kolinearni i komplanarni vektori, definicija

Више

Microsoft Word - 15ms261

Microsoft Word - 15ms261 Zadatak 6 (Mirko, elektrotehnička škola) Rješenje 6 Odredite sup S, inf S, ma S i min S u skupu R ako je S = { R } a b = a a b + b a b, c < 0 a c b c. ( ), : 5. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik

Више

kolokvijum_resenja.dvi

kolokvijum_resenja.dvi Геометриjа 2 колоквиjум 2019. Димитриjе Шпадиjер 25. jануар 2019. 1. Важи H(,;K,L) ако постоjи права p коjа не садржи тачку и сече праве,,k,l у неким тачкама X,Y,M,N таквим да важи H(X,Y;M,N). Права сече

Више

PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA RAČUNARSKE NAUKE Utorak, godine PRIJEMNI ISPIT IZ INFORMATIKE 1. Koja od navedenih ekste

PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA RAČUNARSKE NAUKE Utorak, godine PRIJEMNI ISPIT IZ INFORMATIKE 1. Koja od navedenih ekste PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA RAČUNARSKE NAUKE Utorak, 5.06.019. godine PRIJEMNI ISPIT IZ INFORMATIKE 1. Koja od navedenih ekstenzija se najčešće koristi za tekstualne datoteke? a)

Више

Microsoft Word - TAcKA i PRAVA3.godina.doc

Microsoft Word - TAcKA  i  PRAVA3.godina.doc TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje izmeñu dve tače Ao su nam date tače A( x, y i B( x, y, onda rastojanje izmeñu njih računamo po formuli d( A,

Више

Teorija skupova - blog.sake.ba

Teorija skupova - blog.sake.ba Uvod Matematika je jedan od najomraženijih predmeta kod većine učenika S pravom, dakako! Zapitajmo se šta je uzrok tome? Da li je matematika zaista toliko teška, komplikovana? Odgovor je jednostavan, naravno

Више

Microsoft Word - ASIMPTOTE FUNKCIJE.doc

Microsoft Word - ASIMPTOTE FUNKCIJE.doc ASIMPTOTE FUNKCIJE (PONAŠANJE FUNKCIJE NA KRAJEVIMA OBLASTI DEFINISANOSTI) Ovo je jedna od najznačajnijih tačaka u ispitivanju toka funkcije. Neki profesori zahtevaju da se asimptote rade kao. tačka u

Више

Microsoft Word - 09_Frenetove formule

Microsoft Word - 09_Frenetove formule 6 Frenet- Serret-ove formule x : 0,L Neka je regularna parametrizaija krivulje C u prostoru parametru s ) zadana vektorskom jednadžbom: x s x s i y s j z s k x s, y s, z s C za svaki 0, L Pritom je zbog

Више

Талесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су a и b две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да

Талесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су a и b две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да Талесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су и две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да jе m k и n k, где су m, n > 0. Тада кажемо да су дужи и

Више

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Igor Sušić LOKALNA IZRAČUNLJIVOST Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc.

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Igor Sušić LOKALNA IZRAČUNLJIVOST Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Igor Sušić LOKALNA IZRAČUNLJIVOST Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Zvonko Iljazović Zagreb, lipanj 015. Ovaj diplomski

Више

3. КРИВОЛИНИЈСКИ ИНТЕГРАЛ

3. КРИВОЛИНИЈСКИ ИНТЕГРАЛ УНИВЕРЗИТЕТ У БАЊОЈ ЛУЦИ МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТ МАТЕМАТИКА 3- ПРЕДАВАЊА Aкадемска 207/208 6. ИНТЕГРАЦИЈА ФУНКЦИЈА КОМПЛЕКСНЕ ПРОМЈЕНЉИВЕ 6.. Интеграл функције комплексне промјенљиве 6.2. Кошијева интегрална

Више

Microsoft Word - ASIMPTOTE FUNKCIJA.doc

Microsoft Word - ASIMPTOTE FUNKCIJA.doc ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Више

Microsoft Word - 1.Operacije i zakoni operacija

Microsoft Word - 1.Operacije i zakoni operacija 1. Operacije i zakoni operacija Neka je S neprazan skup. Operacija dužine n skupa S jeste svako preslikavanje : n n f S S ( S = S S S... S) Ako je n = 1, onda operaciju nazivamo unarna. ( f : S S ) Ako

Више

07jeli.DVI

07jeli.DVI Osječki matematički list 1(1), 85 94 85 Primjena karakterističnih funkcija u statistici Slobodan Jelić Sažetak. U ovom radu odred ene su funkcije distribucije aritmetičke sredine slučajnog uzorka duljine

Више

Osnovni pojmovi teorije verovatnoce

Osnovni pojmovi teorije verovatnoce Osnovni pojmovi teorije verovatnoće Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2019 Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 1 / 13 Verovatnoća i statistika:

Више

P1.1 Analiza efikasnosti algoritama 1

P1.1 Analiza efikasnosti algoritama 1 Analiza efikasnosti algoritama I Asimptotske notacije Master metoda (teorema) 1 Asimptotske notacije (1/2) Služe za opis vremena izvršenja algoritma T(n) gde je n N veličina ulaznih podataka npr. br. elemenata

Више

Konstrukcija linearnih višekoračnih metodi Postoje tri važne familije višekoračnih metoda: Adamsovi metodi Adams-Bashfortovi metodi kod kojih je ρ(w)

Konstrukcija linearnih višekoračnih metodi Postoje tri važne familije višekoračnih metoda: Adamsovi metodi Adams-Bashfortovi metodi kod kojih je ρ(w) Konstrukcija linearnih višekoračnih metodi Postoje tri važne familije višekoračnih metoda: Adamsovi metodi Adams-Bashfortovi metodi kod kojih je ρ(w) = w k w k 1 Adams-Moultonovi metodi kod kojih je ρ(w)

Више

My_P_Red_Bin_Zbir_Free

My_P_Red_Bin_Zbir_Free БИНОМНА ФОРМУЛА Шт треба знати пре почетка решавања задатака? I Треба знати биному формулу која даје одговор на питање чему је једнак развој једног бинома када га степенујемо са бројем 0 ( ) или ( ) 0!,

Више

STABILNOST SISTEMA

STABILNOST SISTEMA STABILNOST SISTEMA Najvaznija osobina sistema automatskog upravljanja je stabilnost. Generalni zahtev koji se postavlja pred projektanta jeste da projektovani i realizovani sistem automatskog upravljanja

Више

Microsoft Word - predavanje8

Microsoft Word - predavanje8 DERIVACIJA KOMPOZICIJE FUNKCIJA Ponekad je potrebno derivirati funkcije koje nisu jednostavne (složene su). Na primjer, funkcija sin2 je kompozicija funkcija sin (vanjska funkcija) i 2 (unutarnja funkcija).

Више

Орт колоквијум

Орт колоквијум I колоквијум из Основа рачунарске технике I - надокнада СИ - 008/009 (10.05.009.) Р е ш е њ е Задатак 1 a) Пошто постоје вектори на којима се функција f не јавља и вектори на којима има вредност један,

Више

Microsoft Word - ETH2_EM_Amperov i generalisani Amperov zakon - za sajt

Microsoft Word - ETH2_EM_Amperov i generalisani Amperov zakon - za sajt Полупречник унутрашњег проводника коаксијалног кабла је Спољашњи проводник је коначне дебљине унутрашњег полупречника и спољашњег Проводници кабла су начињени од бакра Кроз кабл протиче стална једносмерна

Више

Vektorske funkcije i polja Mate Kosor / 23

Vektorske funkcije i polja Mate Kosor / 23 i polja Mate Kosor 9.12.2010. 1 / 23 Tokom vježbi pokušajte rješavati zadatke koji su vam zadani. Ova prezentacija biti će dostupna na webu. Isti format vježbi očekujte do kraja semestra. 2 / 23 Danas

Више

Microsoft Word - IZVOD FUNKCIJE.doc

Microsoft Word - IZVOD FUNKCIJE.doc IZVOD FUNKCIJE Predpotavimo da je funkcija f( definiana u nekom intervalu (a,b i da je tačka iz intervala (a,b fikirana. Uočimo neku proizvoljnu tačku iz tog intervala (a,b. Ova tačka može da e pomera

Више

Microsoft Word - IZVODI ZADACI _4. deo_

Microsoft Word - IZVODI  ZADACI _4. deo_ IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Више

ALGEBRA I (2010/11)

ALGEBRA I (2010/11) ALGEBRA I (2010/11) ALGEBRA I(20010/11), KOLOKVIJUM I-NOVEMBAR, 24. novembar 2010. GRUPA I 1. Da li je tautologija: p ( q r) (p q) (p r). 2. Pronaći KKF i KDF za r ( p q). 3. Pronaći jean primer interpretacije

Више

Microsoft PowerPoint - ravno kretanje [Compatibility Mode]

Microsoft PowerPoint - ravno kretanje [Compatibility Mode] КИНЕМАТИКА КРУТОГ ТЕЛ (наставак) 1. транслаторно кретање. обртање тела око непокретне осе 3. сферно кретање 4. опште кретање 5. раванско (равно) кретање 1 Opšte kretanje krutog tela = ( t) y = y( t) y

Више

Sadržaj 1 Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora Diskretan slučajan vektor

Sadržaj 1 Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora Diskretan slučajan vektor Sadržaj Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora 2 Diskretan slučajan vektor Funkcija distribucije slučajnog vektora 2 4 Nezavisnost slučajnih vektora 2 5 Očekivanje slučajnog vektora 6 Kovarijanca

Више

Mere slicnosti

Mere slicnosti Nenad Mitić Matematički fakultet nenad@matf.bg.ac.rs Kako odrediti sličnost/različitost, obrazaca, atributa, dogadjaja... Podaci različitog tipa i strukture Zavisnost od tipa, raspodele, dimenzionalnosti

Више

Okruzno2007ZASTAMPU.dvi

Okruzno2007ZASTAMPU.dvi 4. RAZRED 1. Koliko ima trouglova na slici? Navesti te trouglove. D E F C A 2. Na koliko naqina Voja, Rade i Zoran mogu da podele 7 jednakih klikera, tako da svaki od Φih dobije bar jedan kliker? 3. TravΦak

Више

MAT-KOL (Banja Luka) XXIII (4)(2017), DOI: /МК Ž ISSN (o) ISSN (o) ЈЕДНА

MAT-KOL (Banja Luka) XXIII (4)(2017), DOI: /МК Ž ISSN (o) ISSN (o) ЈЕДНА MAT-KOL (Banja Luka) XXIII (4)(07) 9-35 http://www.mvbl.org/dmbl/dmbl.htm DOI: 0.75/МК7049Ž ISSN 0354-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ЈЕДНА КЛАСА ХЕРОНОВИХ ТРОУГЛОВА БЕЗ ЦЕЛОБРОЈНИХ ВИСИНА Милан Живановић Висока

Више

Microsoft Word - VEROVATNOCA II deo.doc

Microsoft Word - VEROVATNOCA II deo.doc VEROVATNOĆA - ZADAI (II DEO) Klasična definicija verovatnoće Verovatnoća dogañaja A jednaka je količniku broja povoljnih slučajeva za dogañaj A i broja svih mogućih slučajeva. = m n n je broj svih mogućih

Више

Konacne grupe, dizajni i kodovi

Konacne grupe, dizajni i kodovi Konačne grupe, dizajni i kodovi Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) 1. veljače 2011. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 1 / 36 J. Moori, Finite Groups,

Више

Uvod u obične diferencijalne jednadžbe Metoda separacije varijabli Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler

Uvod u obične diferencijalne jednadžbe Metoda separacije varijabli Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler Primjer Deriviranje po x je linearan operator d dx kojemu recimo kao domenu i kodomenu uzmemo (beskonačnodimenzionalni) vektorski prostor funkcija

Више