2.7 Taylorova formula Teorem 2.11 Neka funkcija f : D! R; D R m ; ima na nekoj "-kugli K(T 0 ; ; ") D; T 0 x 0 1; :::; x 0 m neprekidne derivacije do ukljucivo (n + 1) vog reda, n 0; onda za svaku tocku T (x 1 ; :::; x m ) 2 K(T 0 ; ") vrijedi Taylorova formula: f (T ) = f (T 0 ) + 1 m P x i x 0 @ i f (T 0 ) + ::: + 1! i=1 @x i + 1 m P n x i x 0 @ i f (T 0 ) + R n (T ) ; n! i=1 @x i gdje je p (1 )n+1 R n (T ) = p n! m P i=1 x i x 0 i n+1 @ f (T ) ; @x i (4) 0 < < 1; p 2 N; T = x 0 1+ x 1 x 0 1 ; :::; x 0 m + x m x 0 m 2 K(T 0 ; "): Dokaz:
Ostatak R n (T ) napisan u obliku (4) nazivamo Schlömilichov oblik ostatka Taylorove formule. Za p = 1 dobivamo Cauchijev, a za p = n + 1 dobivamo Lagrangeov oblik ostatka. Vrijedi lim!0 R n (T ) = 0 n ( ) lim R n (T ) = 0);!0 s mp (x i x 0 i )2 : gdje je = kt T 0 k = d (T; T 0 ) = Zbog toga ponekad koristimo, umjesto R n (T ) ; oznaku O ( n ) (O ( n ) znaci: ostatak R n (T ) bre tei u 0 nego n ). Ovaj oblik nazivamo Peanov oblik ostatka Taylorove formule. i=1 Uocimo: Ako je f diferencijabilna onda je moemo zapisati kao 4f(T ) = df (T ) + O () što je Taylorova formula za n = 1:
Ako funkcija f : D! R; D R m ; ima na nekoj "-kugli K(T 0 ; ; ") D; T 0 x 0 1; :::; xm 0 neprekidne derivacije po volji visokog reda i ako lim O ( n ) = 0, n!0 onda Taylorova formula prelazi u Taylorov red f (T ) = 1 P n=0 1 n! m P i=1 x i x 0 i n @ f (T 0 ) ; @x i ili kraće, uz oznake od prije f (T ) = 1 P n=0 d n f (T 0 ) ; n! gdje je deniramo odnosno m P i=1 x i x 0 i 0 @ f (T 0 ) f (T 0 ) ; @x i d 0 f (T 0 ) f (T 0 ) :
Primjer Razvijmo u Taylorov red oko tocke T 0 = (1; 1) funkciju f (x; y) = e x+y : Uocimo: Funkcija f (x; y) = e x+y neprekidne derivacije po volji visokog reda i sve su jednake f (tj. @ i+j f @y j @ i x (x; y) = ex+y ); a u tocki T 0 = (1; 1) imaju @ vrijednost 1 (tj. i+j f @y j @ i x (1; 1) = e1 1 = 1); x x 0 = dx = x 1 i y y 0 = dy = y + 1 Sada je P 2 n x i x 0 @ i f (1; 1) = i=1 @x i = (x x 0 ) @ @x + (y y 0) @ n f (1; 1) @y = 1 (dx + dy) n P = n n (x 1) n k (y + 1) k k k=0
p (1 )n+1 R n (T ) = p n! m P i=1 x i x 0 i n+1 @ f (T ) @x i = (1 )n+1 p p n! d n+1 f (T ) = (1 )n+1 p p n! e (x+y) (dx + dy) n+1 Sada je lim jr j1 j n+1 p n (T )j = lim e (x+y) jdx + dyj n+1 = n!1 n!1 p n! = 1 p j1 j1 p e (x+y) j1 j n jdx + dyj lim n!1 n! jdx + dyj n < < 1 p j1 j1 p e (x+y) jx + yj n jx + yj lim n!1 n! = 0 e x+y = 1 P n=0 1 n! np k=0 n (x 1) n k (y + 1) k ; (x; y) 2 R 2 : k
Uocimo: što je e x+y = 1 P n=0 = 1 P n=0 1 n! np k=0 n (x 1) n k (y + 1) k = k 1 n! (x + y)n ; (x; y) 2 R 2 : e t = 1 P n=0 1 n! tn ; t = x + y:
2.8 Lokalni ekstremi Denicija 3.18 Za funkciju f : D! R; D R m ; kaemo da ima lokalni maksimum (minimum) u tocki T 0 x 0 1; :::; x 0 m 2 D, ako postoji "-okolina K(T 0 ; ") D tocke T 0 sa svojstvom da je 8 T (x 1 ; :::; x m ) 2 K(T 0 ; ") n ft 0 g; f (T ) < f (T 0 ) : (8 T (x 1 ; :::; x m ) 2 K(T 0 ; ")nft 0 g; f (T ) > f (T 0 ) :) Funkcija ima lokalni ekstrem u T 0 2 D, ako u toj tocki ima ili lokalni maksimum ili lokalni minimum. Ukoliko je f (T ) f (T 0 ) ; za svaki T (x 1 ; :::; x m ) 2 D ( f (T ) f (T 0 ) ; za svaki T (x 1 ; :::; x m ) 2 D) onda kaemo da f ima globalni maksimum (minimum) u tocki T 0 2 D.
Primjer Funkcije f 1 (x; y) = x 2 + y 2 i f 2 (x; y) = p x 2 + y 2 imaju minimum (lokalni i globalni) u tocki (0; 0): Primijetimo da je za prvu funkciju tocka (0; 0; 0) tjeme paraboloida (grafa) i da ona u toj tocki ima parcijalne derivacije, a da je za drugu funkciju ta tocka vrh stošca (grafa) i da ne postoje parcijalne derivacije u toj tocci. Teorem 2.12 (Nuan uvjet za lokalni ekstrem) Ako funkcija f : D! R, D R m ; ima u tocki T 0 = x 0 1; :::; x 0 m 2 D lokalni ekstrem i ako je u toj tocki derivabilna, onda je @f @x i (T 0 ) = 0: za svaki i = 1; :::; m. Dokaz:
Uocimo: Za diferencijabilnu funkciju f : D! R, D R m u T 0 2 D; nuan uvjet je ekvivalentan sa df (T 0 ) = 0: U tom slucaju tocku T 0 nazivamo stacionarna to cka. (Stacionarna tocka je kandidat za ekstrem!) Ako je m = 2; geometrijski, uvjet df (x 0 ; y 0 ) = 0 znaci da je pripadna tangencijalna ravnima u tocki (x 0 ; y 0 ; f (x 0 ; y 0 )) paralelna s XY ravninom, tj. ima jednadbu z = f (x 0 ; y 0 ) :
Dovoljni uvjeti za lokalni ekstrem elimo naći dovoljne uvjete za postojanje ekstrema funkcije f : D! R, D R m u stacionarnoj tocki T 0 2 D. Pretpostavimo da postoji "-kugla K(T 0 ; ") D tocke T 0 na kojoj f ima neprekidne druge parcijalne derivacije i barem jedna od njih je razlicita od 0 u T 0 ; Budući je T 0 stacionarna tocka iz Taylorove formule za T 2 K(T 0 ; ") dobivamo f (T ) = f (T 0 ) + d2 f (T 0 ) 2! i d 2 f (T 0 ) 6= 0: + O 2 ; = d (T 0 ; T ) ; Ako je T 0 lokalni ekstrem postoji -kugla K(T 0 ; ) D; "; tocke T 0 tako da je da je prirast f (T ) = f (T ) f (T 0 ) stalnog predznaka, tj. d2 f(t 0 ) 2! + O 2 stalnog predznaka.
Denirajmo funkciju g : K(T 0 ; )! R danu sa g (T ) = 1 2 m P i=1 x i x 0 i 2 @ f (T 0 ) @x i Sada je f (T ) = g (T ) + O 2 : Imamo cetiri mogućnosti: i) (8 T 2 K(T 0 ; )) ; g (T ) > 0 (f ima lok. minim. u T 0 ); ii) (8 T 2 K(T 0 ; )) ; g (T ) < 0 (f ima lok. maks. u T 0 ); iii) ili (8 T 2 K(T 0 ; )) ; g (T ) 0 ili (8 T 2 K(T 0 ; )) ; g (T ) 0 (f moe a ne mora imati lok. ekstrem u T 0 - potrebni dodatni uvjeti); iv) g mijenja predznak na K(T 0 ; ); tj. postoje barem tri tocke T 1 ; T 2 ; T 3 2 K(T 0 ; ) tako da je g (T 1 ) > 0, g (T 1 ) = 0; g (T 1 ) < 0: (f nema lok. ekstrem u T 0 );
Pokaimo i) i ii) u nešto izmjenjenom obliku. Teorem 2.13 (Dovoljni uvjeti za lokalni ekstrem) Neka je funkcija f : D! R, D R m, dvaput diferencijabilna na nekoj "-kugli K(T 0 ; ") D. Neka je T 0 stacionarnaj tocka T 0 2 D i neka barem jedna od drugih parcijalnih derivacija funkcije f ne išcezava na K(T 0 ; "): Ako su sve determinante D r = @ 2 f @x 1 @x 1 (T 0 ). @ i2 f @x 1 @x r (T 0 ) @ 2 f @x r @x 1 (T 0 ).... @ 2 f @x r @x r (T 0 ) ; r = 1; :::; m; Ako su sve determinante D r > 0; tada je f u tocki T 0 ima lokalni minimum; Ako je D r > 0 za r paran, a D r < 0 za r neparan, tada je f u tocki T 0 ima lokalni maksimum:
Specijalno: Dovoljni uvjeti za lokalni ekstrem funkcije dvije varijable: Neka je T 0 = (x 0 ; y 0 ) 2 D stacionarna tocka dvaput diferencijabilne funkcije f : D! R; D R 2 ; i neka barem jedna od drugih parcijalnih derivacija funkcije f ne išcezava na K(T 0 ; ") D. Neka je D 2 = fxx(t 00 0 ) f 00 yy (T 0 ) f 00 xy(t 0 ) 2 = = f xx(t 00 0 ) fxy(t 00 0 ) fxy(t 00 0 ) fyy(t 00 0 ) : Tada vrijedi: - Ako je D 2 > 0 i f 00 xx(t 0 ) > 0; tada je f u tocki T 0 ima lokalni minimum f (T 0 ) ; - Ako je D 2 > 0 i f 00 xx(t 0 ) < 0; tada je f u tocki T 0 ima lokalni maksimum f (T 0 ) ; - Ako je D 2 < 0; tada f u tocki T 0 nema ekstrem. - Ako je D 2 = 0 ne moemo zakljuciti ništa o ekstremu. U ovom slucaju moemo imati ekstrem, ali i sedlastu tocku. Tu je potrebno daljnje ispitivanje.
Dovoljni uvjeti za lokalni ekstrem funkcije tri varijable: Neka je T 0 = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) 2 D stacionarna tocka dvaput diferencijabilne funkcije f : D! R; D R 3 ; i neka barem jedna od drugih parcijalnih derivacija funkcije f ne išcezava na K(T 0 ; ") D. Neka je fxx 00 (T 0 ) fxy 00 (T 0 ) fxz 00 (T 0 ) D 3 = fxy 00 (T 0 ) fyy 00 (T 0 ) fyz 00 (T 0 ) fxz 00 (T 0 ) fyz 00 (T 0 ) fzz 00 (T 0 ) D 2 = f xx 00 (T 0 ) fxy 00 (T 0 ) fxy 00 (T 0 ) fyy 00 (T 0 ) i D 1 = fxx 00 (T 0 ) Ako je D 3 > 0; D 2 > 0 i D 1 > 0; tada je f u tocki T 0 ima lokalni minimum f (T 0 ) ; Ako je D 3 < 0; D 2 > 0 i D 1 < 0; tada je f u tocki T 0 ima lokalni maksimum f (T 0 ) ; U svim ostalim slucajevima kada je D 2 6= 0; f u tocki T 0 nema lokalni ekstrem; Ako je D 2 = 0 nema odluke. Primjer Odrediti ekstreme funkcije
f(x; y) = x 4 + y 4 4xy + 1: Vrijedi: f x (x; y) = 4x 3 4y = 4 x 3 y = 0 ) x 3 = y; Slijedi f y (x; y) = 4y 3 4x = 4 y 3 x = 0 ) y 3 = x: x 9 x = x (x 1) (x + 1) x 2 + 1 x 4 + 1 = 0; i x 1 = 0; x 2 = 1; x 3 = tocke su 1 su nultocke: Stacionarne Budući da je T 1 = (0; 0); T 2 = (1; 1); T 3 = ( 1; 1): f xx (x; y) = 12x 2 ; f xy (x; y) = 4; f yy (x; y) = 12y 2 ; imamo: D(x; y) = 12x2 4 4 12y 2 = 144x2 y 2 16
D(0; 0) = 144x 2 y 2 16 (x;y)=(0;0) = 16 i funkcija f u T 1 nema ekstrem; D(1; 1) = 144x 2 y 2 16 (x;y)=(1;1) = 128; f xx (1; 1) = 12 i funkcija f u T 2 ima lokalni minimum z min = 1; D( 1; 1) = 144x 2 y 2 16 (x;y)=( 1; 1) = 128; f xx ( 1; 1) = 12 i funkcija f u T 3 ima lokalni minimum z min = 1:
Prisjetimo se: Ako je f : [a; b]! R neprekidna na segmentu (zatvorenom intrevalu) [a; b] ; onda ona na tom intervalu poprima (globalnu) minimalnu i maksimalnu vrijednost. Teorem 3.21 Ako je z = f (x; y) neprekidna na zatvorenom ome denom skupu D R 2, tada postoje tocke (x 1 ; y 1 ) i (x 2 ; y 2 ) u kojima f ima globalni maksimum f (x 1 ; y 1 ) i globalni minimum f (x 2 ; y 2 ) ; redom. Traenje globalnih ekstrema: a) Na du se stacionarne tocke (lokalni ekstremi) funkcije f i vrijednosti od f u njima; b) Na du tocke ekstrema od f na rub od D i vrijednosti od f u njima; c) Tocka kojoj pripada najveća vrijednost od f iz a) i b) je tocka globalnog maksimuma, a tocka kojoj pripada najmanja vrijednost od f je tocka globalnog minimuma. Primjer (auditorne vjebe).