Zadatak 0 (Maino i Medax, sednja škola) Zadana su polukuga svaki polumjea cm (slika). Četveokut F je pavokutnik, a točke i F sedišta su donjih polukugova. Kolika je ploština neobojenog dijela slike?. 8 cm. 7 cm. π cm. π + cm. π + cm Rješenje 0 F ( ) ( ) a b a + b + =. n n n Kug je skup svih točaka avnine kojima je udaljenost od zadane točke manja ili jednaka zadanom boju > 0 (polumjeu kuga). Ploština kuga polumjea iznosi: P = π. Četveokut je dio avnine omeđen sa četii dužine. Konveksni četveokuti su četveokuti kojima su svi kutovi manji od 80. Paalelogami su četveokuti kojima su po dvije nasupotne stanice uspoedne (paalelne). Pavokutnik je paalelogam koji ima baem jedan pavi kut (pavi kut ima 90º). Ploština pavokutnika je jednaka umnošku njegove duljine a i šiine b. P = a b. katiti azlomak znači bojnik i nazivnik tog azlomka podijeliti istim bojem azličitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b a slike vidi se: like nam govoe sve! = cm, F = = = 4 cm, F = = = cm F
P P = π F P F P F = F F = = F P P Ploština neobojenog dijela iznosi: P = P = π 4 F P F P = P + P F P P P = π + π π 4 4
P = π + π P = π + π 4 4 P = π + π P = π + π P = Odgovo je pod. Vježba 0 ( ) P = cm P = 8 cm. Zadana su polukuga svaki polumjea cm (slika). Četveokut F je pavokutnik, a točke i F sedišta su donjih polukugova. Kolika je ploština neobojenog dijela slike?. 8 cm. 9 cm. π cm. π + cm. 9 π cm Rezultat:. Zadatak 0 (Maija, TUPŠ ) F ( ) ( ) Nactana su dva polukuga. Tetiva je duga 4 i uspoedna je pomjeu velikog polukuga i dodiuje mali polukug. Kolika je neobojena (bijela) povšina? Rješenje 0. π..5 π. π. π Kug je skup svih točaka avnine kojima je udaljenost od zadane točke manja ili jednaka zadanom boju > 0 (polumjeu kuga). Ploština kuga polumjea iznosi: P = π. užina koja spaja dvije točke kužnice zove se tetiva. Okomica iz sedišta kuga na tetivu aspolavlja je na dva jednaka dijela. Tokut je dio avnine omeđen s ti dužine. Te dužine zovemo stanice tokuta. Pavokutni tokuti imaju jedan pavi kut (kut od 90º). tanice koje zatvaaju pavi kut zovu se katete,
a najdulja stanica je hipotenuza pavokutnog tokuta. Pitagoin poučak Tokut je pavokutan ako i samo ako je kvadat nad hipotenuzom jednak zboju kvadata nad katetama. Zakon distibucije množenja pema zbajanju. ( ) ( ) a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. katiti azlomak znači bojnik i nazivnik tog azlomka podijeliti istim bojem azličitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b F R R Iz slike izlazi: P = R, = = = = R, G = P = PG = PF = =, = 4, = = G Uočimo pavokutan tokut i upoabom Pitagoina poučka dobijemo: = + R = + R = + 4 R = 4. Ploština neobojenog (bijelog) dijela P jednaka je azlici ploština velikog i malog polukuga. ( ) P = R π π P = π R R = 4 P = π 4 P = π 4 P = π. Odgovo je pod. 4
Vježba 0 Nactana su dva polukuga. Tetiva je duga 8 i uspoedna je pomjeu velikog polukuga i dodiuje mali polukug. Kolika je neobojena (bijela) povšina? Rezultat:.. 8 π. 6 π. 4 π. π Zadatak 0 (Tina i onja, HK) in gleichseitiges eieck mit de eitenlänge und ein Keis mit Radius haben den gleichen Mittelpunkt. Wie goβ ist de Umfang de Figu, die man aus beiden gemeinsam ehält? π. 6 + π. + π. 9 +. π. 9 + π Jednakostaničan tokut duljine stanice i kužnica polumjea imaju zajedničko sedište. Koliki je opseg lika omeđenog cnom linijom? Rješenje 0 n cos0 =, = n. Tokut je dio avnine omeđen s ti dužine. Te dužine zovemo stanice tokuta. Opseg tokuta duljina stanica a, b i c izačunava se po fomuli: O = a + b + c. Nasupot jednakim stanicama tokuta nalaze se jednaki kutovi. Jednakostanični tokut ima ti jednaka kuta = 60 i ti jednake stanice. Pavokutni tokuti imaju jedan pavi kut (kut od 90º). tanice koje zatvaaju pavi kut zovu se katete, 5
a najdulja stanica je hipotenuza pavokutnog tokuta. Kosinus šiljastog kuta pavokutnog tokuta jednak je omjeu duljine katete uz taj kut i duljine hipotenuze. Visine su tokuta dužine kojima je jedan kaj vh tokuta, a dugi sjecište okomice (koja polazi pomatanim vhom) s pavcem na kojem leži supotna stanica tokuta. Težišnica tokuta je dužina koja spaja vh s polovištem nasupotne stanice i dijeli tokut na dva dijela jednake povšine. ve ti težišnice sijeku se u jednoj točki, težištu tokuta. Težište dijeli svaku težišnicu u omjeu : gledano od vha. Kužnica je skup svih točaka u avnini jednako udaljenih od zadane točke (sedišta). Polumje ili adijus je dužina koja spaja sedište kužnice s bilo kojom točkom kužnice. uljina polumjea označava se slovom. l ko je polumje kužnice, tada je duljina luka sa sedišnjim kutom od stupnjeva dana fomulom l π =. 80 ( ) 0 katiti azlomak znači bojnik i nazivnik tog azlomka podijeliti istim bojem azličitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Visina jednakostaničnog tokuta je: a v =. a v a a 6
H G K F a slike vidi se: = = = a =, = = =, N = N =, = N Tokut je jednakostaničan pa je N istodobno njegova težišnica, visina i simetala kuta. Točka je sjecište težišnica i visina pa vijedi: a [ ] N = N N = a = N = N = N =. H G K F N 7
Uočimo pavokutan tokut N i pomoću funkcije kosinus izačunamo kut. N cos = cos = cos = = cos = 0 = 0 / = 60. Zaključujemo da je tokut jednakostaničan pa je =. nalogno su i tokuti FG i HK jednakostanični i slijedi: Zbog simetičnosti vijedi: FG = HK =. = = F = G = H = K =. Računamo duljinu luka. H G K F π = π 60 π 60 π = = = =. 80 = 60 80 80 Takođe je π FG = HK =. Opseg lika iznosi: N O = + + + F + FG + G + H + HK + K O = + π + + + π + + + π + O = 6 + π O = 6 + π O = 6 + π. Odgovo je pod. 8
Vježba 0 in gleichseitiges eieck mit de eitenlänge 6 und ein Keis mit Radius haben den gleichen Mittelpunkt. Wie goβ ist de Umfang de Figu, die man aus beiden gemeinsam ehält? π. + π. 6 + 4 π. 8 +. 6 π. 9 + π Jednakostaničan tokut duljine stanice 6 i kužnica polumjea imaju zajedničko sedište. Koliki je opseg lika omeđenog cnom linijom? Rezultat:. Zadatak 04 (onja, HK) Jede von dei Keisen mit Radius beüht die beiden andeen Keise (siehe bbildung). Welchen Flächeninhalt hat das gaue Flächenstück zwischen den Keisen? (vaki od ti kuga sa polumjeom dodiuje dugi kug. Kolika je obojena povšina između kugova?) Rješenje 04 a b a b n n n =, ( a b) = a b. n n n 9
Tokut je dio avnine omeđen s ti dužine. Te dužine zovemo stanice tokuta. Nasupot jednakim stanicama tokuta nalaze se jednaki kutovi. Jednakostanični tokut ima ti jednaka kuta = 60 i ti jednake stanice. Povšina jednakostaničnog tokuta duljine stanice a a P = 4 Kug je skup svih točaka avnine kojima je udaljenost od zadane točke manja ili jednaka zadanom boju > 0 (polumjeu kuga). ko je polumje kuga, tada je povšina kužnog isječka sa sedišnjim kutom od stupnjeva dana fomulom π P( ) =. 60 katiti azlomak znači bojnik i nazivnik tog azlomka podijeliti istim bojem azličitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Zakon distibucije množenja pema zbajanju. ( ) ( ) a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c.. F a slike vidi se: = = =, = = = = F = F = = = = = 60 0
F F Povšina osjenčanog dijela (plava boja među kugovima) jednaka je azlici povšine jednakostaničnog tokuta i tostuke povšine kužnog isječka (sva ti kužna isječka jednake su povšine) Vježba 04 ( ) π 4 π 60 P = = 60 P = 4 60 4 60 4 π 60 π P = P = 4 60 ( ) π P P π = =. Jede von dei Keisen mit Radius beüht die beiden andeen Keise (siehe bbildung). Welchen Flächeninhalt hat das gaue Flächenstück zwischen den Keisen?
(vaki od ti kuga sa polumjeom dodiuje dugi kug. Kolika je obojena povšina između kugova?) Rezultat: π P =. Zadatak 05 (Mata, sednja škola) Put koji pijeđe vh sekundne kazaljke sata, koja ima duljinu cm, tijekom 4 sata pibližno je jednak:..8 m. 8. m. 8 m. 80 m Rješenje 05 h = 60 min, m = 00 cm. Opseg kužnice polumjea iznosi: O = π. U jednoj minuti vh sekundne kazaljke sata jednom pijeđe kužnicu. Za 4 sata on će obići kužnicu 440 puta. n = 4 60 = 440. Put koji pijeđe vh sekundne kazaljke sata tijekom 4 sata pibližno iznosi: n = 440 s = n O s = n π s = 440 0.0 m π = cm = 0.0 m Odgovo je pod. s = 80.96 m s 8 m. sekundna kazaljka Vježba 05 Put koji pijeđe vh sekundne kazaljke sata, koja ima duljinu 0 mm, tijekom 4 sata pibližno je jednak:..8 m. 8. m. 8 m. 80 m Rezultat:.
Zadatak 06 (4, TUPŠ) Geogafska šiina Zageba je 45º 45'. Kolika je udaljenost Zageba od ekvatoa? (polumje Zemlje = 670 km) Rješenje 06 = 60', ' = 60. Fomula za duljinu kužnog luka l koji je pidužen sedišnjem kutu, u kugu polumjea, glasi: π l =. 80 kvato pedstavlja zamišljenu liniju povučenu oko planeta (ili dugog nebeskog tijela) na jednakoj udaljenosti od polova. ZG l ekvato = 670 km π 670 km π 45.75 l = 45 l l 5086.7 km. 80 = = = 45 45' = 45 = 45.75 + 80 60 Vježba 06 Ponađite geogafsku šiinu Vašeg mjesta. Kolika je njegova udaljenost od ekvatoa? (polumje Zemlje = 670 km) Rezultat:? Zadatak 07 (4, TUPŠ) ko se oko ekvatoa postavi žica, a zatim ta žica podulji za m i podjednako udalji od Zemlje, kolika je udaljenost žice od Zemlje? Rješenje 07 m = 00 cm. Kužnica je skup svih točaka u avnini jednako udaljenih od zadane točke (sedišta). Polumje ili adijus je dužina koja spaja sedište kužnice s bilo kojom točkom kužnice. Opseg kužnice polumjea iznosi: O = π. kvato pedstavlja zamišljenu liniju povučenu oko planeta (ili dugog nebeskog tijela) na jednakoj udaljenosti od polova. Zakon distibucije množenja pema zbajanju.
( ) ( ) a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. ko je polumje Zemlje njezin opseg oko ekvatoa je O = π. Povećamo li polumje za x, opseg će se poduljiti za d. ( ) d + O = + x π. lijedi: O = π d π ( x) π d π π x π d O ( x) + = + + = + + = + π d+ π = π + x π d= x π x π = d 00 d cm x π = d / x x x 5.9 cm. π = π = π = x Vježba 07 ko se oko ekvatoa postavi žica, a zatim ta žica podulji za 0.5 m i podjednako udalji od Zemlje, kolika je udaljenost žice od Zemlje? Rezultat: 7.96 cm. Zadatak 08 (ona, gimnazija) Zboj polumjea dviju koncentičnih kužnica iznosi 6 cm. Tetiva veće kužnice ima duljinu 6 cm, a manja je kužnica dijeli na ti jednaka dijela. Polumje veće kužnice iznosi Rješenje 08. 8 cm. 9 cm. 0 cm. cm a b = a b a + b. ( ) ( ) Kužnica je skup svih točaka u avnini jednako udaljenih od zadane točke (sedišta). Polumje ili adijus je dužina koja spaja sedište kužnice s bilo kojom točkom kužnice. Koncentične kužnice su kužnice koje imaju isto sedište. Tokut je dio avnine omeđen s ti dužine. Te dužine zovemo stanice tokuta. Tokut je geometijski lik koji ima ti stanice, ti kuta i ti vha. Pavokutni tokuti imaju jedan pavi kut (kut od 90º). tanice koje zatvaaju pavi kut zovu se katete, a najdulja stanica je hipotenuza pavokutnog tokuta. Pitagoin poučak Tokut je pavokutan ako i samo ako je kvadat nad hipotenuzom jednak zboju kvadata nad katetama. katiti azlomak znači bojnik i nazivnik tog azlomka podijeliti istim bojem azličitim od nule i jedinice 4
a n a =, n 0, n. b n b P R a slike vidi se: = 6 cm, = = = = 6 cm = cm P = P = = cm = 6 cm, P = + P = cm + 6 cm = 8 cm = R, = = R P R P Uočimo pavokutne tokute čiji su vhovi sedište tetive, sedište kužnica te točke na tetivi i kužnicama: P i P. va put upoabimo Pitagoin poučak. P = P P = R 8 metoda kompaacije P = P P = 6 R 8 = 6 R 4 = 6 R = 6 + 4 uvjet R = 88 ( R + ) ( R ) = 4 6 ( R ) = 88 R + = 6 ( ) / 6 R = 88 : 6 R = 8. 5
Iz sustava jednadžba izačunamo R. R + = 6 metoda supotnih R = 44 R = 44 /: R = cm. R = 8 koeficijenata Odgovo je pod. Vježba 08 Zboj polumjea dviju koncentičnih kužnica iznosi.6 dm. Tetiva veće kužnice ima duljinu.6 dm, a manja je kužnica dijeli na ti jednaka dijela. Polumje veće kužnice iznosi Rezultat:. Zadatak 09 (Kataina, matuantica) Rješenje 09. 8 cm. 9 cm. 0 cm. cm Koliki je polumje kužnice ako je nad njezinom tetivom duljine 0 cm obodni kut mjee 5º? Kužnica je skup svih točaka u avnini jednako udaljenih od zadane točke (sedišta). Polumje ili adijus je dužina koja spaja sedište kužnice s bilo kojom točkom kužnice. užina koja spaja dvije točke kužnice zove se tetiva. Okomica iz sedišta kužnice na tetivu dijeli je na dva jednaka dijela. Kut kojem je vh na kužnici, a čiji kakovi sijeku tu kužnicu naziva se obodni kut. vi su obodni kutovi nad danim lukom kužnice sukladni. edišnji kut β nad lukom kužnice jednak je dvostukom obodnom kutu nad tim istim lukom. β β = = β Tokut je dio avnine omeđen s ti dužine. Te dužine zovemo stanice tokuta. Tokut je geometijski lik koji ima ti stanice, ti kuta i ti vha. Pavokutni tokuti imaju jedan pavi kut (kut od 90º). tanice koje zatvaaju pavi kut zovu se katete, a najdulja stanica je hipotenuza pavokutnog tokuta. inus šiljastog kuta pavokutnog tokuta jednak je omjeu duljine katete nasupot tog kuta i duljine hipotenuze. 6
5 5 0 5 5 a slike vidi se: = 0, = = = 0 = 5, = = = = 5 obodni kut, = = 5 = 0 sedišnji kut = = 0 = 5 Uočimo pavokutan tokut i pomoću funkcije sinus dobije se: Vježba 09 Rezultat: 5 5 sin = sin5 = sin5 = / sin5 5 = 9.85. sin5 = cm Koliki je polumje kužnice ako je nad njezinom tetivom duljine 0 cm obodni kut mjee 5º? 9.85 cm. Zadatak 0 (Kataina, matuantica) Na skici je pikazan pavokutnik dimenzija.8 cm x 5 cm u koji je uctan polukug. Povšina osjenčanoga dijela pavokutnika jednaka je povšini uctanoga polukuga. Koliki je polumje polukuga?..5 cm..9 cm. 4.5 cm. 6.4 cm 7
Rješenje 0 Kug je skup svih točaka avnine kojima je udaljenost od zadane točke manja ili jednaka zadanom boju > 0 (polumjeu kuga). Ploština kuga polumjea iznosi: P = π. Četveokut je dio avnine omeđen sa četii dužine. Konveksni četveokuti su četveokuti kojima su svi kutovi manji od 80. Paalelogami su četveokuti kojima su po dvije nasupotne stanice uspoedne (paalelne). Pavokutnik je paalelogam koji ima baem jedan pavi kut (pavi kut ima 90º). Ploština pavokutnika je jednaka umnošku njegove duljine a i šiine b. P = a b. udući da je povšina osjenčanoga dijela pavokutnika (bijela boja) jednaka povšini uctanoga polukuga (žuta boja), povšina polukuga jednaka je polovici povšine pavokutnika. a b a b π = a b π = a b / = = / π π π a b a =.8 cm.8 cm 5 cm = = = 4.5 cm. π b = 5 cm π Odgovo je pod. Vježba 0 Rezultat: Odmo! Zadatak (Kataina, matuantica) Na skici su pikazana ti kuga s pomjeima, i. uljina pomjea je cm, a pomjea je 8 cm. Kolika je povšina osjenčanoga dijela na skici?. 8 π cm. 0 π cm. 4 π cm. 48 π cm Rješenje 8
Kužnica je skup svih točaka u avnini jednako udaljenih od zadane točke (sedišta). Polumje ili adijus je dužina koja spaja sedište kužnice s bilo kojom točkom kužnice. uljina polumjea označava se slovom. Kug je skup svih točaka avnine kojima je udaljenost od zadane točke manja ili jednaka zadanom boju > 0 (polumjeu kuga). Pomje kužnice: d =. Ploština kuga polumjea iznosi: P = π. Zakon distibucije množenja pema zbajanju. ( ) ( ) a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. katiti azlomak znači bojnik i nazivnik tog azlomka podijeliti istim bojem azličitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b k k k a slike vidi se: = cm, = 8 cm, = + = cm + 8 cm = 0 cm = = = 0 cm = 0 cm Odedimo polumjee kugova: polumje kuga k polumje kuga k polumje kuga k = 0 = = 0 = 8 = = 4 = 6. = cm = cm Povšina osjenčanoga dijela jednaka je povšini kuga k umanjena za povšine kugova k i k. 9
Odgovo je pod. Vježba Rezultat: ( ) P = P P P P = π π π P = π Odmo! = 0 cm 4 (( 0 ) ( 4 ) ( 6 ) = cm P = cm cm cm ) π = 6 cm Zadatak (Vedan, gimnazija) ( ) P = 00 cm 6 cm 6 cm π P = 48 π cm. U kužnicu polumjea.5 cm upisan je pavokutan tokut povšine.5 cm. Zboj duljina kateta tokuta iznosi: 5 5 5 5. cm. cm. cm. cm. cm Rješenje b a b a c a d + b c a a a + b = a + a b + b, a =, + =, =. c c b d b d b b ( ) a b = a b. Tokut je dio avnine omeđen s ti dužine. Te dužine zovemo stanice tokuta. Pavokutni tokuti imaju jedan pavi kut (kut od 90º). tanice koje zatvaaju pavi kut zovu se katete, a najdulja stanica je hipotenuza pavokutnog tokuta. Pitagoin poučak Tokut je pavokutan ako i samo ako je kvadat nad hipotenuzom jednak zboju kvadata nad katetama. Talesov poučak vaki obodni kut nad pomjeom kužnice je pavi. ko je pavokutnom tokutu hipotenuze c opisana kužnica polumjea, vijedi: c =. Ploština pavokutnog tokuta izačunava se po fomuli a b P =, gdje su a i b duljine kateta. ecimalni boj piše se u obliku decimalnog azlomka tako da se u bojnik napiše zadani decimalni boj bez decimalne točke, a u nazivnik se napiše dekadska jedinica (0, 00, 000, 0000, 00000, ) koja ima toliko nula koliko decimalni boj ima decimala (znamenaka na decimalnom mjestu, tj. iza decimalne točke ili decimalnog zaeza). katiti azlomak znači bojnik i nazivnik tog azlomka podijeliti istim bojem azličitim od nule i jedinice. a n a =, n 0, n. b n b Kenimo na posao! 0
c = a + b c = = + = a + b = ( ) [.5 ] a b (.5) 65 65 5 a + b =.5 a + b = 6.5 a + b = a + b = a + b = 00 00 4 a b a b a b P = = P = P / a b = P a b =.5 a b =.5 5 5 5 a b = a b = a b =. 0 0 ada je: 5 a + b = 4 ( a + b) = a + a b + b ( a + b) = a + b + a b 5 a b = ( ) 5 5 ( ) 5 0 ( ) 5 + 0 a + b = + a + b = + a + b = ( a + b) = 45 4 4 4 4 Odgovo je pod. Vježba 45 45 45 9 5 ( a + b) = / a + b = a + b = a + b = 4 4 4 9 5 5 a + b = a + b =. U kužnicu polumjea.5 mm upisan je pavokutan tokut povšine.5 cm. Zboj duljina kateta tokuta iznosi: 5 5 5 5. cm. cm. cm. cm. cm Rezultat:. Zadatak (Mako, gimnazija) isač stakla dug je 55 cm i biše avno staklo dimenzija 0 cm x 60 cm. isač se pi bisanju stakla zakene za kut od 60º kao što je pikazano na skici. Koliki postotak povšine stakla bisač pitom obiše? 0 cm 60 cm 55 cm 60 Rješenje Četveokut je dio avnine omeđen sa četii dužine. Konveksni četveokuti su četveokuti kojima su svi kutovi manji od 80.
Paalelogami su četveokuti kojima su po dvije nasupotne stanice uspoedne (paalelne). Pavokutnik je paalelogam koji ima baem jedan pavi kut (pavi kut ima 90º). Ploština pavokutnika izačunava se po fomuli: P = a b, gdje su a i b duljine njegovih stanica. ko je polumje kuga, tada je ploština kužnog isječka sa sedišnjim kutom dana fomulom Koliki je postotak boja a od boja b? P ( ) taklo vjetobana je pavokutnog oblika povšine π =. 60 a 00 %. b a = 0 cm P = a b P 0 60 7 00. b 60 cm = cm cm P = cm = Uočimo da je pebisani dio stakla oblika kužnog isječka povšine π = 55 cm ( 55 cm) π P = P = 60 P = 4.70 cm. 60 = 60 60 Računamo postotak povšine stakla koji bisač obiše. P P 4.70 = cm 4.70 cm p = 00 % p = p = 58.66 %. P P 7 00 7 00 = cm cm Vježba isač stakla dug je 5.5 dm i biše avno staklo dimenzija dm x 6 dm. isač se pi bisanju stakla zakene za kut od 60º kao što je pikazano na skici. Koliki postotak povšine stakla bisač pitom obiše? dm 6 dm 5.5 dm 60 Rezultat: 58.66 %. Zadatak 4 (Fanjo, sednja škola) uljina velike kazaljke sata koja pokazuje minute je 7 cm. Koliki put pijeđe vh te kazaljke za 40 sati? Rješenje 4 Opseg kuga polumjea iznosi: Puni kut = 60. O = π.
Za jedan sat velika (minutna) kazaljka 'opiše' puni kut, a njezin vh pijeđe put jednak opsegu kuga polumjea. Za 40 sati taženi put bit će 40 puta veći i iznosit će: O = π s = 40 π [ = 7 cm ] s = 40 7 cm π s = 560 π cm s = 40 O s 759.9 cm. Vježba 4 uljina velike kazaljke sata koja pokazuje minute je 7 cm. Koliki put pijeđe vh te kazaljke za 0 sati? Rezultat: 80 π cm. Zadatak 5 (Lucija, sednja škola) Rješenje 5 Odedi polumje onog kuga kojemu je povšina jednaka duljini pomjea. Ploština kuga polumjea iznosi: n a n m a = a, m = a. a P = π. Pomje kužnice i kuga je dužina koja polazi sedištem i spaja dvije točke kužnice. Pomje je dvaput veći od polumjea. d =. katiti azlomak znači bojnik i nazivnik tog azlomka podijeliti istim bojem azličitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Iz uvjeta slijedi: P = d π = π = / =. π π Vježba 5 Odedi polumje onog kuga kojemu je povšina jednaka duljini polumjea. Rezultat:. π Zadatak 6 (Fox, gimnazija) Na skici je pikazana kužnica i njezine tetive i. uljine dužina su: = 7 cm, = 6 cm, = cm i = x cm. Koliko je x?
x cm cm 7 cm 6 cm Rješenje 6...7..5. 4 Kužnica je skup svih točaka u avnini jednako udaljenih od zadane točke (sedišta). Tetiva je spojnica dviju točaka kužnice. katiti azlomak znači bojnik i nazivnik tog azlomka podijeliti istim bojem azličitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Potencije točke obziom na kužnicu Neka je k kužnica i T bilo koja točka avnine. Povucimo točkom T bilo koji pavac koji siječe kužnicu u točkama i. Realan boj T T ili T T zovemo potencija točke T obziom na kužnicu k, ako je T izvan k ili unuta k. k T T k T T = T T a slike vidi se da je unutanja točka kužnice. ko se povuče bilo koja tetiva kužnice koja polazi koz onda umnožak duljina i ne ovisi o izbou tetive. Zato vijedi: Odgovo je pod. = x 6 = 7 6 x = 6 x = /: 6 7 x = x = x = x =.5. 6 6 4
Vježba 6 Na skici je pikazana kužnica i njezine tetive i. uljine dužina su: = 8 cm, = 4 cm, = cm i = x cm. Koliko je x? x cm cm 8 cm 4 cm Rezultat:.. 4. 5. 6. 7 Zadatak 7 (Ivan, matuant) Na skici su pikazane ti sukladne male kužnice koje se međusobno dodiuju i koje iznuta dodiuju veliku kužnicu sa sedištem. Izačunajte polumje velike kužnice ako je polumje male 5 cm. Rješenje 7 Kužnica je skup svih točaka u avnini jednako udaljenih od zadane točke (sedišta). Tokut je dio avnine omeđen s ti dužine. Te dužine zovemo stanice tokuta. Jednakostanični tokut ima sve ti stanice jednake duljine i ti jednaka kuta. Polumje opisane kužnice jednakostaničnog tokuta iznosi: a δ =, gdje je a duljina stanice tokuta. katiti azlomak znači bojnik i nazivnik tog azlomka podijeliti istim bojem azličitim od nule i 5
jedinice a n a =, n 0, n. b n b δ R Točke, i sedišta su malih kužnica, a velike kužnice. a slike vidi se: = = =, = = = δ, =, = R Tokut je jednakostaničan tokut, a točka je sedište njemu opisane kužnice čiji polumje iznosi Polumje velike kužnice je δ =. = + R = δ + R = + [ = 5 cm ] ( ) 5 5 R = + 5 R = + 5 R = 0 + 5 cm R. cm. Vježba 7 Na skici su pikazane ti sukladne male kužnice koje se međusobno dodiuju i koje iznuta dodiuju veliku kužnicu sa sedištem. Izačunajte polumje velike kužnice ako je polumje male cm. Rezultat: 5.86 cm. 6
Zadatak 8 (Fan, sednja škola) vije kužnice k, k imaju zajedničku tetivu. Ta je tetiva kužnici k stanica upisanoga kvadata, a kužnici k stanica upisanoga pavilnoga šesteokuta. Koliki je omje polumjea tih kužnica?. =. =. =. = Rješenje 8 Kužnica je skup svih točaka u avnini jednako udaljenih od zadane točke (sedišta). Polumje ili adijus je dužina koja spaja sedište kužnice s bilo kojom točkom kužnice. uljina polumjea označava se slovom. Pomje kužnice: d =. Tetiva je spojnica dviju točaka kužnice. Četveokut je dio avnine omeđen sa četii dužine. Konveksni četveokuti su četveokuti kojima su svi kutovi manji od 80. Kvadat je četveokut kojemu su sve stanice sukladne, a dijagonale međusobno sukladne i okomite. Plošna dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vha nekog mnogokuta ili polieda. uljina dijagonale d kvadata izačunava se po fomuli d = a Mnogokut (poligon) je skup svih točaka avnine omeđen dužinama. Pavilni mnogokut (poligon) je mnogokut kojemu su sve stanice sukladne i svi unutanji kutovi sukladni. Šesteokut je mnogokut koji ima šest stanica, šest kutova i šest vhova. Pavilni šesteokut ima duljine svih stanica jednake polumjeu njemu opisane kužnice. katiti azlomak znači bojnik i nazivnik tog azlomka podijeliti istim bojem azličitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b. k k = t t = t Neka su: t zajednička tetiva kužnica k i k polumje kužnice k polumje kužnice k. U kužnicu k, polumjea, upisan je kvadat stanice t pa za pomje kužnice, koji je istodobno dijagonala kvadata, vijedi: 7
= t = t /: = t. U kužnicu k, polumjea, upisan je pavilan šesteokut stanice t pa za polumje kužnice vijedi: Gledamo omje: Odgovo je pod. Vježba 8 Odmo! Rezultat: = t. t t = = = t t Zadatak 9 (FeePlayH, Gymnasium, ustia) Thee cicles with adius ae dawn in such a way that each time one of the points of intesection of two cicles is identical with the cente of the thid cicle. How big is the aea of the yellow zone?. Rješenje 9 π. π. π.. π. 4 π b a b a =. c c Kužnica je skup svih točaka u avnini jednako udaljenih od zadane točke (sedišta). Polumje ili adijus je dužina koja spaja sedište kužnice s bilo kojom točkom kužnice. uljina polumjea označava se slovom. 8
Kužni odsječak je dio kuga omeđen tetivom i pipadnim kužnim lukom Kužni isječak je dio kuga omeđen dvama polumjeima i pipadnim kužnim lukom. ko je polumje kužnice, tada je ploština kužnog isječka sa sedišnjim kutom dana fomulom P ( ) π =. 60 Tokut je dio avnine omeđen s ti dužine. Te dužine zovemo stanice tokuta. Jednakostaničan tokut ima ti jednaka kuta = 60 i ti jednake stanice. katiti azlomak znači bojnik i nazivnik tog azlomka podijeliti istim bojem azličitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b vaki se žuti geometijski lik može peoblikovati u kužni isječak polumjea = i sedišnjeg kuta = 60º je je tokut jednakostaničan. ko kužni odsječak zelene boje pemjestimo na mjesto gdje postaje kužni odsječak plave boje, dobijemo kužni isječak (cvena boja). Njegova je ploština π P =. 60 udući da postoje sukladna geometijska lika, njihova ploština iznosi: π = π 60 4 π 60 4 π π π = = = = = = = π. 60 = 60 60 60 6 6 6 9
60 Odgovo je pod. Vježba 9 Thee cicles with adius ae dawn in such a way that each time one of the points of intesection of two cicles is identical with the cente of the thid cicle. How big is the aea of the yellow zone? Rezultat:. π. π. π.. π. 4 π 0