IZVODI ZADACI ( II deo U ovom del ćemo pokšati da vam objasnimo traženje izvoda složenih fnkcija. Prvo da razjasnimo koja je fnkcija složena? Pa, najprostije rečeno, to je svaka fnkcija koje nema tablici ( tamo s samo elementarne fnkcije i čiji izvod se ne može naći primenom datih pravila. Evo par primera: Primer. Nađi izvod fnkcije (5 Kako da razmišljamo? Da je data fnkcija, njen izvod bi bio, i to ne bi bio problem. Ali mi mesto -sa imamo 5 i to nam govori da je fnkcija složena! Radimo isto kao za elementarn fnkcij, i dodamo izvod od onog što je složeno! Dakle: (5 (5 (5 [ od jedinice je izvod 0, a od 5 je izvod 5] (5 * 5 60 (5 Primer. Podsetimo se : ako je izvod je, ali pošto ntar korena imamo, fnkcija je složena! ( cos
Primer 3. Nađi izvod fnkcije 3 e Znamo da je (e e. A pošto mesto -sa imamo izraz 3, to se znači radi o složenoj fnkciji. 3 e 3 ( 3 e ( 3 e Primer. Nađi izvod fnkcije ln Od ln fnkcije izvod je, ali ovde je mesto - sa izraz pa radimo kao složen fnkcij! Dakle: ln ovde pazimo, jer je ( izvod količnika! ( ( ( ( ( skratimo po - imenioc je razlika kvadrata konačno rešenje! ZNAČI: Radimo sve isto kao da je elementarna fnkcija i pomnožimo sve sa izvodom od onog što je složeno!
Ako nismo ovo baš razmeli evo tablice izvoda složene fnkcije, f( a g( pa je f ( g(. (. ( n n n- 3. (a a lna. (e e 5. (log a lna 6. (ln 7. 8. 9. (cos 0. (cos -. (tg cos. (ctg 3. (arc. (arccos - 5. (arctg 6. (arcctg -
ZADACI:. Nađi izvod fnkcije a 5 Rešenje: b 5 Ovde moramo voditi račna, 5 ćemo raditi kao drgi tablični, jer važi 5 ( 5 dok ćemo 5 raditi kao deveti tablični, to jest kao, gde je 5 a 5 b 5 5 ( 5 cos cos5(5 cos5 5 5cos5. Nađi izvod fnkcije ln Rešenje: Ovde imamo višestrko složen fnkcij...najpre idemo izvod ln, gde je ln ( sada radimo izvod gde je ( pazi : je izvod količnika ( ( ( ( ( cos( cos( (
cos cos cos cos ( cos pokratimo šta može... ( cos imenioc je razlika kvadrata ( ( cos znamo da je cos cos skratimo cos cos konačno rešenje! cos 3. Nađi izvod fnkcije arc tg Rešenje: Kako razmišljamo? Moramo raditi kao (arctg gde je arc tg pazi : je izvod količnika i odmah ostalo sredjjemo ( ( ( ( (( (
( ( ( ( ( ( pokratimo (- sredimo malo... ( ( Dakle, konačno rešenje je: (. Nađi izvod fnkcije arc Rešenje: Radimo po formli (arc gde je arc ( ( ( ( ( sredjjemo dalje izraz pod korenom... ( ( ( ( (
( ( ( ( ( ( ( ( pokratimo... i dobijamo konačno rešenje ( Podsetimo se teorijskog dela iz izvoda višeg reda... Izvodi višeg reda ( ( drgi izvod je prvi izvod prvog izvoda treći izvod je prvi izvod drgog izvoda (n ( n- n-ti izvod je prvi izvod (n--vog izvoda Znači da ovde praktično nema ničeg novog, jer mi stvari vek tražimo prvi izvod i naravno moramo da idemo redom, prvi izvod, pa drgi, pa treći itd... Evo nekoliko primera: Primer. Odredi drgi izvod sledećih fnkcija : a 3 5 b v e
Rešenja: a 3 5 6 6 b e Pazi, ovo je složena fnkcija... e ( e (- -e evo ga prvi izvod, sad radimo kao izvod proizvoda, a konstanta ostaje ispred -[e ( e ] -[ e (-e ] pa je -[ e - -e [- ] evo drgog izvoda e ] v Najpre radimo kao izvod količnika... ( ( (( ( ( ( ( ( sada tražimo drgi izvod, ali radi lakšeg rada ćemo napisati ( radimo kao složen fnkcij ( ( i ovo dalje ( ( ( ( 3 ( ( ( 3
Primer. Data je fnkcija f( e. Dokazati da je tačna jednakost: f ( f ( f( 0 Rešenje: Mi dakle moramo naći prvi i drgi izvod fnkcije f( e i to treba da zamenimo datoj jednakosti! f( e f ( (e (e f ( e cos e Našli smo prvi izvod, sad tražimo drgi... f ( (e (cos e f ( (e (e (cose (e cos f ( e cos e - e e cos f ( e cos Sada se vraćamo početn jednakost: f ( f ( f( zamenimo e cos (e cos e e e cos e - cos e e sve se potire...0 Time smo dokazali da je zaista f ( f ( f( 0
Primer 3. Nadji n- ti izvod fnkcije: a e - b Rešenje: a e - Pazi, izvod složene fnkcije... e - (- - e - - (- e - e - (- e - -8 e - iv -8(- e - 6 e -.. Pitamo se kako će izgledati n-ti izvod? T već nastaj mali problemi. Iz nekoliko prvih izvoda, najčešće 5,6 njih mi trebamo naći n-ti izvod. Probamo da očimo kako se ponašaj odredjeni članovi izvodima. Recimo, kod ovog primera se e - javlja svim izvodima, a ove brojke ćemo malo prepraviti - e - (- e - e - (- e - -8 e - (- 3 e - iv 6 e - (- e - Vidimo da (- ima onaj stepen koji je izvod pitanj! Iz ovoga zakljčjemo da će n-ti izvod biti : (n (- n e - Međtim, ovde posao nije gotov. Neki profesori zahtevaj da se ova formla dokaže i primenom matematičke indkcije. I prav s! Pročite Matematičk indkcij (naravno na sajt i probajte da radi vežbe radite ovaj dokaz.
b π cos ( veza prvom kvadrant (pogledaj tem II godina prebacivanje I kvadrant π ( π cos ( 3 ( itd.. ( π Vidimo da svaki izvod možemo izraziti preko sa i još primećjemo da koji je izvod pitanj taj je broj π z. Dakle n-ti izvod je n ( n I ovo naravno treba dokazati indkcijom! ( π NAPOMENA: Ako fnkcije ( i vv( imaj tački 0 izvode do reda n, tada njihova linearna kombinacija a bv, gde a i b pripadaj skp R i njihov proizvod v imaj takodje izvode do reda n tački 0 i pri tome važi:. (abv (n a (n b v (n. ( v (n n 0 ( n n v ( n n v ( n n v... v n ( n n v n ( n Ova drga formla je poznata i kao Lajbnicova formla! www.matematiranje.in.rs