Fiziqki Fakultet Univerzitet u Beogradu Zadaci sa vebi iz SIMETRIJA U FIZICI Marko Milivojevi Beograd, 2018

Fiziqki Fakultet Univerzitet u Beogradu Zadaci sa vebi iz SIMETRIJA U FIZICI Marko Milivojevi Beograd, 8

PREDGOVOR Ova skripta je name ena studentima B smera Fiziqkog fakulteta Univerziteta u Beogradu koji pohaaju kurs Simetrije u fizici. U oj su sakup eni i rexeni zadaci raeni na vebama 7/8 godine. 8..8, M.M.

Sadraj Predgovor Zadaci. Opxti principi................................. Invarijantni polinomi............................3 Normalne mode..................................4 Naruxe e simetrije.............................. 3.5 Elektronski podsistemi........................... 3 Rexe a 4. Opxti principi................................ 4. Invarijantni polinomi........................... 3.3 Normalne mode................................. 35.4 Naruxe e simetrije.............................. 43.5 Elektronski podsistemi........................... 5 Literatura 6

Glava Zadaci. Opxti principi. Molekul A 4 se sastoji od 4 jednaka atoma postav ena u temenima kvadrata. W je fiziqka veliqina takva da matriqni element W ij u R 4 zavisi samo od rastoja a izmeu r i i r j. Odrediti svojstvene vrednosti i svojstvene funkcije matrice W.. Molekul C H 4 ima geometrijsku simetriju D h u prostoru R 6. W je fiziqka veliqina takva da matriqni element W ij zavisi samo od rastoja a izmeu r i i r j. Odrediti svojstvene vrednosti i svojstvene funkcije matrice W. 3. Za sistem sa grupom simetrije C 4v, odrediti standardni tenzor koji deluje u R, ako je delova e grupe simetrije zadato kao ˆDA = D pv AD pv. 4. Za sistem sa grupom simetrije C 4, odrediti standardni tenzor koji deluje u R 3, ako je delova e grupe simetrije zadato kao ˆDA = D pv AD pv. 5. Odrediti opxti oblik operatora A = p a koji se transformixe po B + IRI za sistem sa grupom simetrije D h. 6. Intenzitet meren Ramanovim spektrometrom dat je formulom I = e r Re s, gde je e r prvac upadnog fotona, e s pravac izlaznog fotona i R Ramanov tenzor, dimenzije 3 3. Ako se zna da je pravac upadnog fotona z osa, a rasejanog x osa, odrediti IR-u po kojoj se transformixe Ramanov tenzor ako je grupa simetrije sistema D 4. Pretpostav ajui da je oblik tenzora p p, odrediti egove ireducibilne komponente. 7. Molekul A 4 BC ima grupu simetrije C 4v i on je elementarna elija kristala. Da li takav kristal moe da poseduje feroelektriqne i/ili feromagnetiqne osobine? Ukoliko moe, koji su dozvo eni smerovi elektriqnog i magnetnog po a? 8. Odrediti opxti oblik invarijantnog tenzora koji deluje u R (polarno-vektorsko dejstvo ako je grupa simetrije C.

GLAVA. ZADACI 9. Odrediti opxti oblik tenzora magnetne susceptibilnosti χ, (M = χh ako je grupa simetrije razmatranog sistema C v.. Ako hamiltonijan perturbacije ima oblik H = p p, odrediti mogue prelaze u sistemu sa simetrijom C 6.. Odrediti simetrizator i antisimetrizator za direktan proizvod: dva D, dva 3D, tri D, prostora.. Odrediti standardni bazis simetrizovanog i antisimetrizovanog kvadrata polarno-vektorske reprezentacije grupe C 4. 3. Pokazati da je potprostor funkcija nad R 3 obrazovan kvadratnim monomima koordinata invarijantan pod delova em C 4v. Odrediti standardni bazis.. Invarijantni polinomi. Odrediti invarijantne polinome prvog, drugog i treeg stepena sistema sa grupom simetrije C 4.. Razviti jednoqestiqni potencijal po invarijantnim polinomima zak uqno sa drugim stepenom ako sistem poseduje grupu simetrije C v..3 Normalne mode. Izvrxiti simetrijsku klasifikaciju normalnih moda molekula vode.. Izvrxiti simetrijsku klasifikaciju normalnih moda dvoatomskog molekula sa razliqitim atomima. 3. Odrediti normalne mode dvoatomskog sistema sa razliqitim atomima ako je potencijal V (q = k i (q i q i. 4. Odrediti vibracione mode D kristala sa dva atoma masa m i m u elementarnoj eliji duine a. Uraqunati samo interakciju najbliih suseda.

.4. NARUXE E SIMETRIJE 3.4 Naruxe e simetrije. Odrediti mogue grupe simetrije niskosimetriqne faze pri ekvitranslacionom faznom prelazu kristala sa grupom simetrije C 3v, C 4v, D h. Predloiti mogue parametre poretka za dozvo ene prelaze.. Grupa simetrije visokosimetriqne faze je D 4h. Odrediti mogue simetrije niskosimetriqne faze ako je parametar poretka M z, P z, M x P x + M y P y, P x. Da li su niskosimetriqne faze prostorno homogene (da li parametar poretka zavisi od r? 3. Sistem u visokosimetriqnoj fazi ima grupu simetrije C h. U trenutku t dexava se fazni prelaz pri qemu je grupa simetrije niskosimetriqne faze C h a onda na t jox jedan, tako da je ukupna grupa simetrije C h. Odrediti fiziqki ireducibilne reprezentacije. 4. Za molekule A 4 BC, H, N a C l, proveriti adijabatsku nestabilnost..5 Elektronski podsistemi. Odrediti molekulske orbitale molekula sa tri jednaka atoma u temenima jednakostraniqnog trougla. Smatrati da su molekulske orbitale (MO linearna kombinacija s orbitala.. Analizirati molekulske orbitale vode smatrajui ih za linearnu kombinaciju nepopu enih p i s atomskih orbitala. 3. Odrediti molekulske orbitale dvoatomskog molekula sa istim atomima kod kojih se jav a hibridizacija (uzimati samo s i p orbitale.

4 GLAVA. REXE A Glava Rexe a. Opxti principi A y A 4 x 3 A A Slika.: Molekul A 4.. Grupa simetrije sistema prikazanog na slici. je D 4h, ali poxto fiziqke veliqine ne zavise od σ h, radiemo sa grupom simetrije C 4v. Matrica operatora W je data na sledei naqin ( a b c b W = b a b c c b a b, (. b c b a u kojoj a predstav a matriqni element interakcije atoma sa samim sobom, b matriqni element interakcije dva atoma koji se nalaze na rastoja u koje je jednako stranici kvadrata, dok je c matriqni element koji odgovara interakciji dva atoma koji su na rastoja u jednakom dijagonali kvadrata. Kako je jedino dejstvo elemenata grupe simetrije permutacija atoma, radiemo sa permutacionom reprezentacijom. Reprezentacija elemenata naxe grupe simetrije

.. OPXTI PRINCIPI 5 je jednaka D p (e = (, D p (C 4 = D p (C 3 4 = D p (σ x C 4 = (, D p (C4 = (, D p (σ x = ( D p (σ x C 3 4 =, D p (σ x C 4 = (, ( (,, (. (. Tablica ireducibilnih reprezentacija grupe C 4v je data u tabeli.. Sada Tabela.: Ireducibilne reprezentacije grupe C 4v i karakter permutacione reprezentacije D p. IR e C 4 C4 C4 3 σ x σ xc 4 σ xc4 σ xc4 3 A B - - - - A - - - - B - - - - E ( ( i i ( ( i i ( ( i i ( ( i i χ(e - χ(d p 4 moemo da razloimo naxu reprezentaciju. Koristei izraz a µ = G χ (µ (gχ(g, (.3 g gde je χ (µ (g karakter IR-e, dok je χ(g karakter reprezentacije koju razlaemo, dobijamo da se permutaciona reprezentacija razlae na D p = A B E. (.4 Projektor na proizvi nu IR-u µ se moe odrediti koristei formulu P (µ mm = n µ G g d (µ mm (gd(g. (.5 IR-a A jednodimenzionalna (D, n A =, i en projektor je jednak P A = 8 (Dp (e + D p (C 4 + D p (C 4 + D p (C 3 4 + D p (σ v + D p (σ v C 4 + D p (σ v C 4 + D p (σ v C 3 4 = 4 (. (.6

6 GLAVA. REXE A Ova IR-a pojav uje jedanput u razlaga u, tako da vai P A = A A, xto nam daje A = (. (.7 Koristei istu proceduru, nalazimo P B = = B = 4 ( Prvi svojstveni vektor IR-e E nalazimo na sledei naqin P E = = E = ( i 4 ( i i i i i i i i (. (.8 i. (.9 Konstrukcijom projektora P E nalazimo posled i svojstveni vektor P E = = E = P E 4 E = Svojstvene vrednosti su ( i i i i i i i i ( i i. (. W A = (a + b + c A, W B = (a b + c B, W E = (a c E, W E = (a c E. (. Zadatak se moe uraditi i metodom modifikovanih grupnih projektora (MGP T. Algoritam je sledei: konstruixemo modifikovani projektor P µ = n µ D(g D (µ (g (. G }{{} g Γ µ (g i traimo fiksne taqke ovog operatora tj. vektore koji su mu svojstveni za svojstvenu vrednost P µ x = x. (.3 Ispostav a se da fiksne taqke dobijamo ako su zadovo eni uslovi Γ µ (g i µt µ = µt µ, i =,..., n, (.4 gde su g,..., g n generatori grupe. ( µt µ je svojstveni vektor koji ima takvu notaciju da bismo znali da je modifikovani projektor potekao od IR-e µ, dok nam indeks t µ broji pojav iva e IR-e µ. Na osnovu ovih jednaqina moemo da naemo fiksne taqke, ali nas zanima simetrijski adaptiran bazis (SAB. Uz malo raquna se dobija da je svojstveni vektor modifikovanog grupnog projektora jednak [] µt mu = µt µ m µ m, (.5 m gde µm predstav a kolonu qiji je samo m-ti element jednak, dok su ostali nula. Parcijalni skalarni proizvod nam daje vektore SAB-a µt µ m = µm µt µ. (.6

.. OPXTI PRINCIPI 7 Ovu proceduru emo sada iskoristiti da bismo naxli svojstvene vektore. Kako smo ovaj zadatak ve rexili metodom obiqnih grupnih projektora, moemo uporediti efikasnost oba metoda. Jednaqina (.4 nam govori koje se IR-e pojav uju u razlaga u permutacione reprezentacije. Grupa simetrije sistema ima dva generatora, C 4 i σ x. Uslovi za postoja e fiksne taqke modifikovanog projektora P A su D p (C 4 A (C 4 A = A, D p (σ x A (σ x A = A. (.7 Raspisiva em ovih uslova dobijamo sistem matriqnih jednaqina ( ab ( ab ( ab ( ab c = c, c = c d d d d koji se svodi na ( (, (.8 d = a, a = b, b = c, c = d; b = a, a = b, d = c, c = d = a = b = c = d. (.9 Na osnovu prethodnog zak uqujemo A = A = (. (. Sliqno, uslovi za postoja e fiksne taqke modifikovanog projektora P B D p (C 4 B (C 4 B = B, D p (σ x B (σ x A = A. (. Na osnovu ih dobijamo sistem ( ab koji se svodi na ( c d = ( ab c d d = a, a = b, b = c, c = d; Na osnovu ovoga smo zak uqili da je, B = B = ( ( ab c d su ( ab = c, (. d b = a, a = b, d = c, c = d = a = c = b = d. (.3 (. (.4 Sliqno, uslovi za postoja e fiksne taqke modifikovanog projektora P E su D p (C 4 E (C 4 Em = Em, D p (σ x E (σ x Em = Em, m =,. (.5 Na osnovu ih dobijamo sistem i i i i i i i i a bc d e f g h = a bc d e f g h,

8 GLAVA. REXE A koji se svodi na a bc d e f g h = a bc d e f g h, (.6 ig = a, ih = b, ia = c, ib = d, ic = e, id = f, ie = g, if = h; d = a, c = b, b = c, a = d, h = e, g = f, f = g, e = h; = c = ia, e = a, g = ia; b = id, f = id, h = d. (.7 Zamenom a = d =, dobijamo E = i i ii = ( i i ( + ( i i ( = E E + E E. (.8 Ako iskoristimo parcijalni skalarni proizvod dobijamo (do-na konstantu normira a koju nije texko nai E = ( i, E = ( i i. (.9 i H 3 y C C 5 6 H x 4 H H Slika.: Molekul C H 4.. Na slici. je prikazan molekul etena, C H 4. Poe no je numerisati atome vodonika brojevima od do 4, a atome ug enika brojevima 5 i 6. Matriqni elementi operatora W su W = a b f e c g b a e f c g f e a b g c e f b a g c c c g g a d g g c c d a Permutaciona reprezentacija se razlae na sledei naqin. (.3 D p = A + B A + B. (.3

.. OPXTI PRINCIPI 9 Svojstveni vektori su A + = A + = B = ( (, A + =, (.3, A + =, B =, (.33. (.34 Sada kada znamo svojstvene vektore, nije texko odrediti svojstvene vrednosti. 3. Imamo grupu simetrije G koja u Hilbertovom prostoru V deluje kroz reprezentaciju D(G. Bilo koji operator u kvantnoj mehanici je definisan u prostoru sta a V V. U ovom prostoru na operator A grupa deluje kroz reprezentaciju D(G...D (G. Svaki operator moemo da napixemo u formi A = ij a ij i j. Ukoliko posmatramo objekat ij a ij i j koji je definisan u V V, nije texko zak uqiti da na ega deluje grupa simetrije G kroz reprezentaciju D(G D(G. Ova reprezentacija je pogodnija za manipulaciju od prethodne i to je razlog zaxto emo mi u koristiti i nai ireducibilne komponente objekta ij a ij i j. Znajui te ireducibilne komponente, nalazimo ireducibilne komponente operatora A pravolinijski. U naxem zadatku je delova e grupe simetrije dato kao D pv...d pv, tako da emo mi raditi sa reprezentacijom D pv D pv. Polarno-vektorska reprezentacija predstav a elemente grupe C 4v na sledei naqin, D pv (e = I, D pv (C 4 = (, Dpv (C 4 = ( D pv (C 3 4 = (, D pv (σ x = (, D pv (σ x C 4 = ( D pv (σ x C4 = (, Dpv (σ x C4 3 = (. (.35 Matriqni elementi reprezentacije D pv D pv su su D pv(e = I 4, D pv(c 4 = D pv(c 3 4 = D pv(σ x C 4 = ( ( (, D pv(σ x =, D pv(c 4 =, D pv(σ x C 4 = ( ( (, Qesto emo tenzorski proizvod istih reprezentacija oznaqavati stepenom D pv D pv = Dpv. Da e, karakter tenzorskog proizvoda reprezentacija jednak je proizvodu karaktera svake reprezentacije.,,

GLAVA. REXE A ( Dpv(σ x C4 3 =. (.36 Ireducibilne reprezentacije grupe C 4v su date u tabeli.. Reprezentacija Dpv se razlae na ireducibilne komponente na sledei naqin Grupni projektor na IR-u A je tako da je prvi bazisni vektor D pv = A B A B. (.37 P A = 8 ( 4 4, (.38 4 4 A = ( = ( ( ( }{{} + ( ( }{{} = ( +. (.39 Pomou ovog svojstvenog vektora moemo da naemo ireducibilnu tenzorsku komponentu koja se transformixe po A IR-i T A = ( + = (. (.4 Na isti naqin dobijamo i grupni projektor na IR-u B P B = 8 i drugi bazisni vektor B = ( ( 4 4 4 4 = ( ( }{{} ( ( ( }{{} (.4 = (, (.4 tako da je ireducibilna tenzorska komponenta koja se transformixe po B IR-i T B = ( = (. (.43 Sliqno je tako da je trei bazisni vektor P A = 8 A = ( ( 4 4, (.44 4 4 = (( ( ( ( = (, (.45

.. OPXTI PRINCIPI dok je ireducibilna tenzorska komponenta koja se transformixe po IR-i A T A = ( = (. (.46 Na kraju, grupni projektor na IR-u B je qetvrti bazisni vektor P B = 8 ( 4 4 4 4, (.47 B = ( = (( ( + ( ( i ireducibilna tenzorska komponenta = ( +, (.48 T B = ( + = (. (.49 Zadatak se mogao uraditi i metodom modifikovanih grupnih projektora. Uslov za dostoja e fiksne taqke modifikovanog projektora za IR-u A je D pv(c 4 A (C 4 x = x, D pv(σ x A (σ x x = x, (.5 gde je x = (a, b, c, d T, tako da se prethodni uslov svodi na ( ab ( ab ( ab c = c, d d ( Sada dobijamo skup veza koeficijenata ( c d = ( ab c d. (.5 d = a, c = b, b = c, a = d; a = a, d = d, b = b, c = c, (.5 tako da zak uqujemo da je a = d i b = c =, na osnovu qega sledi A = (. (.53 Uslov za dostoja e fiksne taqke modifikovanog projektora za IR-u B je koji se svodi na D pv(c 4 B (C 4 x = x, D pv(σ x B (σ x x = x, (.54 ( ( ab c d ( ab = c, d ( ( ab c d ( ab = c. (.55 d

GLAVA. REXE A Sada dobijamo skup veza koeficijenata d = a, c = b, b = c, a = d; a = a, d = d, b = b, c = c, (.56 tako da zak uqujemo da je a = d = i b = c, na osnovu qega je B = (. (.57 Za IR-u A dobijamo xto se svodi na D pv(c 4 A (C 4 x = x, D pv(σ x A (σ x x = x, (.58 ( ( ab c d ( ab = c, d Sada dobijamo skup veza koeficijenata ( ( ab c d ( ab = c. (.59 d d = a, c = b, b = c, a = d; a = a, d = d, b = b, c = c, (.6 tako da zak uqujemo da je a = d i b = c = i Za B imamo tako da je sada sistem A = (. (.6 D pv(c 4 B (C 4 x = x, D pv(σ x B (σ x x = x, (.6 ( ( ab c d ( ab = c, d Sada dobijamo skup veza koeficijenata ( ( ab c d ( ab = c. (.63 d d = a, c = b, b = c, a = d; a = a, d = d, b = b, c = c, (.64 koji nam kae da vai c = b i a = d =, pa je B = (. (.65 4. U ovom zadatku radimo sa trodimenzionalnom (3D polarno-vektorskom reprezentacijom koja proizvo an element naxe grupe simetrije predstav a kao ( cos π D pv (C4 s =, (.66 4 s sin π 4 s sin π 4 s cos π 4 s

.. OPXTI PRINCIPI 3 C 4 e C 4 C4 C4 3 A A i - i A i - i A - - χ(d pv 3 - χ(dpv 9 Tabela.: IR-e grupe C 4 i karakteri reprezentacija D pv i D pv. tako da je Dpv(C 4 s = c sc sc s cs c s cs c s sc s c cs s cs s c s c c s s c. (.67 IR-e grupe C 4 su date u tabeli.. Reprezentacija D pv se razlae na sledee ireducibilne komponente Za IR-u A su standardni vektori sledei 3 D pv = 3A A A A. (.68 A = ( +, A = (, A 3 = 3 3, (.69 na osnovu qega je lako nai standardne tenzore. Ostali standardni vektori su A = (, A = ( +, A = ( 3 i 3, A = ( 3 i 3, A = ( 3 + i 3, Uvexemo skraenice cos π ( 4 s = c i sin π 4 s = s. 3 ( ( Uvodimo skraenice =, =, 3 =. A = ( 3 + i 3. (.7

4 GLAVA. REXE A 5. Oznaka p a nam govori da se prva komponenta tenzora transformixe po polarno-vektorskoj reprezentaciji, a druga po aksijalno-vektorskoj reprezentaciji. Za nas relevantna reprezentacija je D pv D av4. Tabela.3: IR-a B + grupe D h i karakteri D pv, D av i D pv D av. IR e C σ x σ xc U x U xc σ h σ h C 3 B + - - - - χ(d pv 3 - - - -3 χ(d av 3 - - - - - - 3 χ(dpv av 9 - - - -9 D pv (e = D av (e = I 3, D pv (C = D av (C = D pv (U x = D av (U x = D pv (σ x = D av (σ x = D pv (σ h = D av (σ h = Konaqno, dobijamo D av pv (, ( (, D pv (U x C = D av (U x C =, ( (, D pv (σ x C = D av (σ x C = (,, D pv (σ h C = D av (σ h C = I 3. (.7 Dpv(e av = Dpv(σ av h C = I 9, Dpv(C av = Diag[,,,,,,,, ], Dpv(U av x = Diag[,,,,,,,, ], Dpv(U av x C = Diag[,,,,,,,, ], Dpv(σ av h = Diag[,,,,,,,, ], Dpv(σ av x = Diag[,,,,,,,, ], Dpv(σ av x C = Diag[,,,,,,,, ]. (.7 Sada moemo da izraqunamo karakter reprezentacije Dpv av i razloimo je koristei karaktere IR-a grupe D h (tabela.3. Broj pojav iva a IR-e B + je jednak 3, a projektor na u je P B+ = Diag[,,,,,,,, ]. (.73 Svojstveni vektori su B + =, B + = i B + 3 = 3 3, tako da su invarijantni tenzori jednaki T B+, = = Diag[,, ], T B+, = = Diag[,, ], T B+,3 = 3 3 = Diag[,, ], T B+ = αt B+, + βt B+, + γt B+,3. (.74

.. OPXTI PRINCIPI 5 Tabela.4: Ireducibilne reprezentacije grupe D 4. IR e C 4 C4 C4 3 σ x σ xc 4 σ xc4 σ xc4 3 A + A - - - - A + - - - - A - - - - χ(e - χ(a + E - χ(a E - χ(a + E - χ(a E - χ(e E 4 4 χ(d pv 3 - - - - - χ(dpv 9 6. IR-e grupe simetrije D 4 su date u tabeli.4. Intenzitet se transformixe po reprezentaciji A + zato xto je skalarna veliqina koja se ne me a pri delova u elemenata grupe simetrije. Vektor e z se transformixe po A IR-i, jer C4 s ne me a pravac vektora, dok ga U x rotira za ugao π oko x-ose i pretvara u e z. Takoe, vektor e x se transformixe po IR-i E. Tenzor R se transformixe po nekoj IR-i D µ. Leva i desna strana naxeg izraza moraju da se transformixu na isti naqin pod delova em grupe simetrije A + A D µ E. (.75 Uslov koji nameemo D µ je da se u razlaga u desne strane jednaqine.75 na ireducibilne komponente mora pojaviti jediniqna IR-a A +. Ci zadatka je odreiva e svih moguih IR-a po kojima se R moe transformisati. Krenuemo od A +. Lako se proverava da je A A + E = A E = E, xto nije izraz koji elimo da dobijemo jer se ne jav a A +. Ni IR-a A nam ne daje rezultat jer je A A E = A + E = E. Sliqno je i sa A + (A A + E = A E = E i A (A A E = A + E = E. Ukoliko pretpostavimo da se R transformixe po IR-i E, dobijamo potvrdan odgovor, jer je A E E = E E = A + A A + A. Zbog zadate strukture Ramanovog tenzora p p zak uqujemo da je zakon transformacije R dat kao D pv...dpv, tj. potrebno je raditi sa reprezentacijom Dpv. Da bismo naxli Dpv, potrebno je prvo odrediti polarno-vektorsku reprezentaciju: D pv (e = I 3, D pv (C 4 = D pv (U x = (, D pv (C 4 = (, D pv (U x C 4 = D pv (U x C 3 4 = 4 Radi preglednosti koristiemo oznaku D av pv ( ( (, D pv (C4 3 =, D pv (U x C 4 = (, (,. (.76

6 GLAVA. REXE A Sada moemo odrediti D pv za sve elemente date grupe Dpv(e = I 9, Dpv(C 4 = Diag[,,,,,,,, ], Dpv(C 4 =, D pv(c4 3 = D pv(u x = Diag[,,,,,,,, ], Dpv(U x C4 = Diag[,,,,,,,, ], Dpv(U x C 4 =, D pv(u x C4 3 = Razlaga em kvadrata polarno-vektorske reprezentacije dobijamo,. (.77 D pv = A + A A + A E. (.78 Kako se IR-a E pojav uje dva puta i dvodimenzionalna je, oqekujemo 4 ireducibilne tenzorske komponente. ih emo nai koristei M GP T. Grupa D 4 ima dva generatora C 4 i U x, tako da se uslov postoja a nepokretne taqke (Dpv E(C 4 x = x i (Dpv E(U x x = x moe eksplicitno napisati kao i i i i i i i i i i i i i i i i i i x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = = x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8,. (.79

.. OPXTI PRINCIPI 7 Rexava em ovog sistema jednaqina dobijamo dva razliqita vektora x i i = i ( + i ( (.8 = ( 3 i 3 ( + ( 3 i 3 (, i i = ( + i ( (.8 = ( 3 i 3 ( + ( 3 i 3 (. Parcijalni skalarni proizvod nam daje svojstvene vektore E = ( 3 i 3, (.8 E = ( 3 i 3, E = ( 3 i 3, E = ( 3 i 3, na osnovu qega moemo da odredimo sve ireducibilne tenzorske komponente koje se transformixu po IR-i E. 7. Elektriqno po e se transformixe po polarno-vektorskoj reprezentaciji D pv, dok se magnetno po e transformixe po aksijalno-vektorskoj reprezentaciji D av. Ukoliko postoje fiksni pravci elektriqnog/magnetnog po a, u razlaga u polarno-vektorske/aksijalno-vektorske reprezentacije se mora pojav ivati jediniqna reprezentacija.

8 GLAVA. REXE A Tabela.5: Ireducibilne reprezentacije grupe C 4v i karakteri polarno-vektorske i aksijalno-vektorske reprezentacije. IR e C 4 C4 C4 3 σ v σ vc 4 σ vc4 σ vc4 3 A B - - - - A - - - - B - - - - E ( ( i i ( i i ( ( i i ( ( i i χ(e - χ(d pv 3 - χ(d av 3 - - - - - Elementi grupe C 4v (C4 s i σ x C4, s s = {,,, 3}, se reprezentuju u polarnovektorskoj i aksijalno-vektorskoj reprezentaciji na sledei naqin ( cos π D pv,av (C4 s 4 = s sin π 4 s sin π 4 s cos π 4 s, D pv (σ x = D av (σ x = diag[,, ], D pv (σ x C4 s = D av (σ x C4 s =. (.83 ( cos π 4 s sin π 4 s sin π 4 s cos π 4 s Karakteri IR-a grupe C 4v, D pv i D av su dati u tabeli.5. Broj pojav iva a IR-e A u D pv i D av je jednaka a pv A =, a av A =, (.84 na osnovu qega moemo da zak uqimo da sistem moe biti samo feroelektrik. Projektor na A za polarnu-vektorsku reprezentaciju, P A pv = ( (D pv (C s 8 4 + D pv (σ x C4 s =, (.85 s nam pomae da odredimo dozvo eni pravac elektriqnog po a, ( A = = z, (.86 koji se poklapa sa osom rotacije sistema (z-osa. 8. Polarno-vektorska reprezentacija u xy ravni za proizvo an ugao rotacije, R ϕ, oko z-ose je jednaka D pv (R ϕ = ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ (.87 Tenzorski kvadrat ove reprezentacije, D pv(r ϕ = D pv (R ϕ D pv (R ϕ, nam opisuje ponaxa e tenzora qije se obe komponente transformixu po polarnovektorskoj reprezentacije. Po definiciji, invarijantni tenzor je onaj koji se transformixe po jediniqnoj reprezentaciji grupe (u ovom sluqaju C. Matriqna forma Dpv(R ϕ je jednaka ( cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ Dpv(R sin ϕ cos ϕ cos ϕ = ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ. (.88 sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ cos ϕ

.. OPXTI PRINCIPI 9 Broj pojav iva a jediniqne reprezentacije A je jednak a pv, A = π χ(d π pv(r ϕ dϕ = π 4 cos ϕdϕ =, (.89 π dok su projektor na istu IR-u i svojstveni vektori P A = π D π pv(r ϕ dϕ = A = ( = A = ( ( ( +, = (, (.9 za = ( i = (. Na kraju, invarijantne tenzorske komponente su T A, T A, = ( +, = (, (.9 dok je opxti oblik ireducibilnog tenzora T A = αt A, + βt A,. (.9 9. Magnetna susceptibilnost je tenzor koja opisuje sposobnost magnetizacije materijala u prisustvu magnetnog po a. Po definiciji, M = χh, (.93 gde M predstav a magnetizaciju sistema, dok je H prime eno magnetno po e. Kako su i magnetizacija i magnetno po e aksijalni vektori, transformaciono svojstvo χ se lako odreuje D av M = D av (χh = D av χ D av D av } {{ } =I H = (D av χd av (D av H, D av χdav zakon transformacije. (.94 Da bismo odredili ireducibilne tenzorske komponente χ, pogodno je raditi sa kvadratom aksijalno-vektorske reprezentacije, D av D av. Grupa simetrije sistema je C v, sa dva generatora: R ϕ (rotacija oko z-ose za proizvo an ugao ϕ i σ x (vertikalna ravan refleksije; mi obiqno uzimamo xz ravan, stoga i oznaka σ x. Reprezentacija D av u dva koseta date grupe je jednaka D av (R ϕ = ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ, D av (σ x = diag[,, ], D av (σ x R ϕ = ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ, (.95

GLAVA. REXE A Tabela.6: IR-e grupe C v i karakteri reprezentacije D av. C v R ϕ σ x R ϕ A /B ± ( E e ( imϕ m e imϕ χ(e m cos mϕ χ(d av + cos ϕ - χ(dav ( + cos ϕ e imϕ e imϕ Na osnovu (.95 se jednostavno odreuju D av(r ϕ i D av(σ x R ϕ (c = cos ϕ, s = sin ϕ D av(r ϕ = D av(σ x R ϕ = Karakteri D av su jednaki dok za karaktere D av vai c sc sc s sc c s sc c s sc s c sc s sc sc c s c c s s c, c sc sc s sc c s sc c s sc s c sc s sc sc c s c c s s c. (.96 χ(d av (R ϕ = + cos ϕ, χ(d av (σ x R ϕ =, (.97 χ(dav(r ϕ = χ (D av (R ϕ = ( + cos ϕ, χ(dav(σ x R ϕ = χ (D av (σ x R ϕ =. (.98 U tabeli.6 se nalaze karakteri D av, D av i IR-e grupe C v. Broj pojav iva a pojedinih IR-a u D av je jednak a Dav A = 4π = 4π π π (χ(d av(r ϕ + χ(d av(σ x R ϕ dϕ ( + 4 cos ϕ + 4 cos ϕ + dϕ =, (.99 a Dav B = 4π = 4π π π (χ(d av(r ϕ χ(d av(σ x R ϕ dϕ ( + 4 cos ϕ + 4 cos ϕ dϕ =, (.

.. OPXTI PRINCIPI π a Dav E m = ( cos mϕχ(d 4π av(r ϕ dϕ = π cos mϕ( + 4 cos ϕ + 4 cos ϕdϕ, 4π = π (e ±i(m±ϕ + 3e ±imϕ + e ±i(m±ϕ dϕ, 4π = δ m,± + δ m,± + 3δ m,. (. Prilikom izvoe a., koristili smo π e i(a bϕ dϕ = πδ a,b. (. Kako IR-e E m postoje samo za prirodne brojeve m, zak uqujemo da je razlaga e Dav sledee D av = A B E E. (.3 Projektor na IR-u A reprezentacije D av je jednak P D av A = 4π π = π 4π = i daje nam svojstvene vektore A = (Dav(R ϕ + Dav(σ x R ϕ dϕ c sc sc s c s s sc sc c c s = ( +, A = tako da su tenzori koji se transformixu po IR-i A T A, T A, = ( + = dϕ (.4 ( = 3 3, (.5 = ( 3 3 =, T A = αt A, + βt A,. (.6,

GLAVA. REXE A Projektor na IR-u B P D av B = 4π π = π 4π = daje nam svojstveni vektor B = (Dav(R ϕ Dav(σ x R ϕ dϕ sc c s sc sc s c sc s c s c Tenzor koji se transformixe po IR-i B je T B = ( = dϕ (.7 = (. (.8 (. (.9 Ireducibilne tenzorske komponente χ koje se transformixu po IR-ama E i E se odreuju na sliqan naqin.. Hamiltonijan perturbacije H se transformixe kao D pv...dpv. Da bismo odredili ireducibilne tenzorske komponente H korisno je koristiti reprezentaciju Dpv = D pv D pv. Polarno-vektorska reprezentacija elemenata C6 s (s =,..., 5 grupe C 6 je D pv (C s 6 = ( cos π 6 s sin π 6 s sin π 6 s cos π 6 s. (. Koristei. moemo da odredimo karakter reprezentacija D pv i D pv χ(d pv (C s 6 = + cos π 6 s, χ(d pv(c s 6 = χ (D pv (C s 6 = ( + cos π 6 s. (. Broj pojav iva a IR-e A m u D pv (tabela.7 je

.. OPXTI PRINCIPI 3 Tabela.7: Ireducibilne reprezentacije grupe C 6 i karakteri reprezentacija D pv i Dpv. C 6 C6 s m ( 3, 3] A m e i π 6 ms χ(d pv + cos πs 6 χ(dpv ( + cos π 6 s a D pv m = χ (A m (C 6 6χ(D s pv(c 6 s = e i π 6 ms ( + cos π 6 6 s s s = e i π 6 ms ( + 4 cos π 6 6 s + 4 π cos 6 s s = (3e i π 6 ms + e i π 6 s(m± + e i π 6 s(m±. (. 6 s Ukoliko iskoristimo da je e i π n (a bs = nδ a,b, (.3 s zak uqujemo da vai Konaqno, razlaga e D pv na IR-e je a D pv m = 3δ m, + δ m,± + δ m,±. (.4 D pv = 3A A A A A. (.5 Ireducibilne tenzorske komponente H se mogu transformisati po nekoj od IR-a datih u.5. Naravno, IR-u A treba odbaciti jer se po oj transformixu skalari, te u tom sluqaju nema smisla govoriti o perturbaciji. Generalno, matriqni element prelaza iz sta a νt ν m ν koje se transformixe po IR-i D ν u sta e µt µ m µ koje se transformixe po IR-i D µ pod dejstvom perturbacije H (λ koja se transfomixe po IR-i D λ je nenulti ukoliko se u razlaga u reprezentacije D µ D λ D ν pojav uje jediniqna reprezentacija µt µ m µ H (λ νt ν m ν za A D µ D λ D ν. (.6 U naxem sluqaju, dozvo eni prelazi u sistemu sa simetrijom C 6 pod de-

4 GLAVA. REXE A lova em perturbacije koja se transformixe po IR-i A je 5 A A A = A, A, A A A = A, A, A A A = A, A, A A A = A, A, A 3 A A = A, A 3, Za perturbaciju A dozvo eni prelazi su A A A 3 = A, 3 A. (.7 A 3 A A = A, A 3, A A A = A, A, A A A = A, A, A A A = A, A, A A A = A, A, Za perturbaciju A su dozvo eni prelazi A A A 3 = A, 3 A. (.8 A A A = A, A, A A A = A, A, A A A = A, A, A 3 A A = A, A 3, A A A = A, A, A A A 3 = A, 3 A. (.9 Konaqno, dozvo eni prelazi pod delova em perrturbacije A su A A A = A, A, A 3 A A = A, A 3, A A A = A, A, A A A = A, A, A A A = A, A, A A A 3 = A, 3 A. (. Na slici.3 su prikazani svi dozvo eni prelazi. 5 oznaqiemo vektor IR-e A m kao m

.. OPXTI PRINCIPI 5 Slika.3: Skica dozvo enih prelaza u sistemu sa grupom simetrije C 6 pod dejstvom perturbacije H = p p.. Dimenzija i bazisni vektori jednoqestiqnog prostora sta a su dimh =, β(h = { = (, = ( }, (. dok za kompozitni prostor H uk = H H vai dimh uk = (dimh = 4, β(h uk = {,,, }. (. Po definiciji, simetrizator S i antisimetrizator A su jednaki S = D(π, A = ( π D(π, (.3 N! N! π gde je N broj qestica (broj jednoqestiqnih prostora sta a, π element permutacione grupe, dok je D(π reprezentacija elementa permutacione grupe. U definiciji antisimetrizatora ( π je ukoliko se element permutacione grupe π sastoji od parnog broja transpozicija (parnost broja transpozicija je invarijanta, dok govori da je broj transpozicija pomou kojih se moe dobiti π neparan. U sluqaju N =, permutaciona grupa se sastoji od dva elementa, identiqnog elementa e i transpozicije τ. Kako vai π e, e, e, e, τ, τ, τ, τ, (.4 zak uqujemo da je D(e = I 4, D(τ = (, S =! (D(e + D(τ = ( A =! (D(e D(τ =, (. (.5

6 GLAVA. REXE A S i A su projektori na simetriqan i antisimetriqan potprostor i daju nam simetrizovane i antisimetrizovane vektore S =, S =, S3 = ( +, A = (. (.6 U ovom sluqaju dimenzija i bazisni vektori jednoqestiqnog prostora sta a su ( ( ( dimh = 3, β(h = { =, =, 3 = }, (.7 dok za kompozitni prostor H uk = H H vai dimh uk = (dimh = 9, β(h uk = {,, 3,,, 3, 3, 3, 33 }. (.8 Identiqan element e i transpozicija τ transformixu bazisne vektore H uk na sledei naqin e, e, 3 e 3, e, e, 3 e 3, 3 e 3, 3 e 3, 33 e 33, τ, τ, 3 τ 3, τ, τ, 3 τ 3, 3 τ 3, 3 τ 3, 33 τ 33, (.9 tako da dobijamo D(e = I 4, D(τ = S =! (D(e + D(τ = A =! (D(e D(τ =,, Simetrizovani i antisimetrizovani vektori u ovom sluqaju su S =, S =, S3 = 33,. (.3 S4 = ( +, S5 = ( 3 + 3, S6 = ( 3 + 3, A = (, A = ( 3 3, A3 = ( 3 3. (.3

.. OPXTI PRINCIPI 7 Konaqno, za tri D prostora ukupan prostor sta a H uk = H H H je dimenzije 3 = 8. Bazisni vektori su β(h uk = {,,,,,,, }. (.3 Permutaciona grupa S 3 je dimenzije 3! = 6, sa elementima {(3, (3, (3, (3, (3, (3} (.33 }{{}}{{} cikliqne perm. anticikliqne perm. Elementi permutacione grupe S 3 permutuju bazisne vektore na sledei naqin (3, (3, (3, (3, (3, (3, (3, (3, (3, (3, (3, (3, (3, (3, (3, (3, (3, (3, (3, (3, (3, (3, (3, (3, (.34 (3, (3, (3, (3, (3, (3, (3, (3, (3, (3, (3, (3, (3, (3, (3, (3, (3, (3, (3, (3, (3, (3, (3, (3. (.35

8 GLAVA. REXE A Reprezentacija elemenata grupe je D(3 = I 8, D(3 = D(3 = D(3 = Antisimetrizator je jednak,, D(3 =, D(3 =,,. (.36 A = (D(3 + D(3 + D(3 D(3 D(3 D(3 =, (.37 6 zato xto je dimenzija jednoqestiqnog prostora sta a ( ma a od broja qestica/kompozitnih sistema (3. Simetrizator je jednak S = (D(3 + D(3 + D(3 + D(3 + D(3 + D(3, 6 = 6 6 6 i daje nam simetrizovane vektore, (.38 S =, S =, S3 = 3 ( + +, S4 = 3 ( + +. (.39. Kvadrat polarno-vektorske reprezentacije je jednak Dpv = D pv D pv. Elementi C4 s grupe C 4 se reprezentuju u D pv i Dpv na sledei naqin (c = cos ( πs, s = 4 sin ( πs 4 D pv (C s 4 = ( cos π 4 s sin π 4 s sin π 4 s cos π 4 s, Dpv(C 4 s = c sc sc s sc c s sc c s sc s c sc s sc sc c s c c s s c. (.4 Po definiciji, simetrizovani i antisimetrizovani kvadrat polarno-vektorske reprezentacije su jednaki [D pv] = SD pv i {D pv} = AD pv, respektivno. U naxem sluqaju, bazis D pv je {,, 3 } (dimenzije 3, dok je bazis D pv {,, 3,,, 3, 3, 3, 33 }. (.4

.. OPXTI PRINCIPI 9 C 4 e C 4 C4 C4 3 A A i - i A i - i A - - χ(d pv 3 - χ([dpv] 6 χ({dpv} 3 - Tabela.8: IR-e grupe C 4 i karakteri reprezentacija D pv, [D pv] i {D pv}. Simetrizator i antisimetrizator u ovom sluqaju je dat u jednaqini.3 iz prethodnog zadatka, u kom smo razmatrali sluqaj prostora dimenzije 3, xto je identiqno sluqaju koji sada analiziramo. Matriqna reprezentacija [D pv](c s 4 i {D pv}(c s 4 je [Dpv](C 4 s = {Dpv}(C 4 s = c sc sc s sc c s c s sc c s c s sc c s c s sc s sc sc c s c s c c s c s s c s c c +s c s c s c s c s c +s s c s c c s c s s c s c (.4. (.43 U tabeli.8 su dati karakteri D pv, [D pv], {D pv} i IR-a grupe C 4. Karakteri [D pv] i {D pv} se mogu nai i indirektno, koristei karaktere D pv i formule χ([d ](g = ( χ (D(g + χ(d(g, χ({d }(g = ( χ (D(g χ(d(g. (.44 Razlaga e [D pv] i {D pv} na IR-e je sledee [D pv] = A A A A, {D pv} = A A A. (.45 Prvo emo nai svojstvene vektore [D pv]. Projektori i svojstveni vektori su P A [D pv ] = 4 4 A = ( +, A = 33, (.46

3 GLAVA. REXE A P A [D pv] = 4 P A [D pv ] = 4 i i i i i i i i i i i i i i i i P A [D pv] = 4 A = ( 3 + 3 + i 3 + i 3, A = ( 3 + 3 i 3 i 3, A = (, A = ( +. (.47 Projektori i svojstveni vektori {D pv} su P A {D pv } = 4 P A {D pv } = 4 P A {D pv } = 4 i i i i i i i i i i i i i i i i A = (, A = ( 3 3 + i 3 i 3, A = ( 3 3 i 3 + i 3. (.48 3. Bazis kvadratnih monoma je xestodimenzionalan i qine ga vektori {x, y, z, xz, yz, xy}. Grupa C 4v ima dva koseta, C s 4 i σ x C s 4 (s = {,,, 3}. Elementi grupe x i y ili permutuju (do-na znak ili ostav aju istim (do-na znak, dok se z slika uvek u samog sebe. Na osnovu toga sledi invarijantnost prostora kvadratnih monoma, jer e se x, y, xz i yz slikati u sebe ili permutovati, dok se xy i z uvek slika u sebe. Elementi grupe se u gore definisanom bazisu reprezentuju na sledei naqin

.. OPXTI PRINCIPI 3 Tabela.9: Ireducibilne reprezentacije grupe C 4v i karakter reprezentacije D. IR e C 4 C4 C4 3 σ x σ xc 4 σ xc4 σ xc4 3 A B - - - - A - - - - B - - - - E ( ( i i ( ( i i ( ( i i ( ( i i χ(e - χ(d 6 D(e = I 6, D(C 4 = D(C4 3 = D(σ x C 4 = D(σ x C 3 4 = (, D(C 4 = Diag[,,,,, ],, D(σ x = Diag[,,,,, ],, D(σ x C 4 = Diag[,,,,, ],. (.49 Karakteri IR-a grupe C 4v i reprezentacije D su dati u tabeli.9. Razlaga e reprezentacije D na IR-e je Svojstveni vektori i projektori su P A = 8 D = A A B E. (.5 ( 4 4 4 4 8 A = ( = (x + y, A = ( = z. (.5 P A = 8 4 4 4 4 A = = (x y.(.5 P B = ( B = ( = xy. (.53

3 GLAVA. REXE A P E = 8 P E = 8 i i i i E = E = P E E = ( i. Invarijantni polinomi i = (xz iyz, = (xz + iyz. (.54 Tabela.: Karakter IR-e A grupe C 4 i karakteri reprezentacija D pv, [D pv] i [D 3 pv]. C 4 e C 4 C 4 C 3 4 A D pv 3 [D pv] 6 [D 3 pv]. Da bismo odrediti invarijantne polinome n-tog stepena, potrebno je odrediti simetrizovani n-ti stepen polarno-vektorske reprezentacije (ukoliko radimo sa polarnim vektorima kao xto su koordinate ili simetrizovani n-ti stepen aksijalno-vektorske reprezentacije (magnetizacija. Kako je nalae e simetrizovanog kvadrata zahtevan i zamoran posao, u zadacima koji slede neemo koristiti simetrizator, ali emo kroz karaktere simetrizovanog n-tog stepena voditi raquna o dozvo enom broju invarijantnih polinoma. Za reprezentaciju D(g elementa g grupe G, simetrizovani kvadrat i simetrizovani trei stepen su jednaki χ([d ](g = (χ (D(g + χ(d(g, χ([d 3 ](g = 6 χ3 (D(g + χ(d(gχ(d(g + 3 χ(d(g3. (.55 U konkretnom primeru, grupa simetrije je C 4 dok je reprezentacija koju analiziramo D pv. Kako je D pv (C4 s =, χ(d pv (C4 s = + cos π s, (.56 4 ( cos π 4 s sin π 4 s sin π 4 s cos π 4 s moemo lako nai karaktere koji su potrebni za odreiva e invarijantnih polinoma prvog, drugog i treeg stepena (tabela., a Dpv A =, a [D pv ] A =, a [D3 pv ] A =. (.57

.. INVARIJANTNI POLINOMI 33 Invarijantni tenzor prvog reda dobijamo rexava em jednaqine D pv (C 4 A (C 4 x = x, ( ( x ( x x = x x 3 x 3 x = x =, x 3 = ( A = = z. (.58 Invarijantni tenzor drugog reda dobijamo rexava em jednaqine Dpv(C 4 A (C 4 x = x, x x x x x 3 x x 4 x 5 x 6 = 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 7 x 8 x 8 x 9 x 9 x = x 3 = x 4 = x 6 = x 7 = x 8 =, x = x 5, x 9 = x 9 A = A = x + y, norma je nebitna z. (.59 Pre nego xto krenemo sa odreiva em invarijantnih polinoma treeg reda, primetimo da vai tvre e da je proizvod invarijantnih polinoma invarijantni polinom. Tako, znajui da je z invarijantni polinom prvog reda, lako zak uqujemo da je z invarijantni polinom drugog reda. Polinom x +y nismo mogli da "pogodimo". Xto se tiqe invarijantnih polinoma treeg reda, poliomi z 3 i z(x + y su sigurno meu ima. Kako smo odredili da je broj invarijantnih polinoma treeg reda upravo, ispostav a se da nije potrebno traiti invarijantne polinome treeg stepena koristei D 3 pv. Konaqno, invarijantni polinom do treeg reda se moe napisati kao P 3 (x, y, z = αz + β(x + y + γz + δ(x + y z + ηz 3. (.6. Polarno-vektorska reprezentacija elemenata grupe C v je ( cos ϕ sin ϕ D pv (R ϕ = sin ϕ cos ϕ, D pv (σ x = diag[,, ], D pv (σ x R ϕ = ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ, (.6

34 GLAVA. REXE A C v R ϕ σ x R ϕ A D pv + cos ϕ [Dpv] ( + cos ϕ + cos ϕ Tabela.: Karakter IR-e A grupe C v i karakteri reprezentacija D pv i [D pv]. Na osnovu (.6 se jednostavno odreuju Dpv(R ϕ i Dpv(σ x R ϕ (c = cos ϕ, s = sin ϕ D pv(r ϕ = D pv(σ x R ϕ = Karakteri D pv su jednaki c sc sc s sc c s sc c s sc s c sc s sc sc c s c c s s c, c sc sc s sc c s sc c s sc s c sc s sc sc c s c c s s c. (.6 χ(d pv (R ϕ = + cos ϕ, χ(d pv (σ x R ϕ =. (.63 Da bismo izraqunali simetrizovani kvadrat polarno-vektorske ( reprezentacije, potrebni su nam karakteri χ(d pv (Rϕ i χ(d pv (σx R ϕ. Koristei da je Rϕ = R ϕ i (σ x R ϕ = R = e, karakteri se lako odreuju (tabela., kao i broj pojav iva a IR-e A u reprezentacijama D pv i [Dpv] a Dpv A = 4π a [D pv] A = 4π π π ( + cos ϕ + dϕ =, ( + cos ϕ + cos ϕ + dϕ =. (.64 Dakle, postoji invarijantni polinom prvog reda i invarijantna polinoma drugog reda. Projektor na IR-u A reprezentacije D pv je jednak P Dpv A = 4π = π ( (D pv (R ϕ + D pv (σ x R ϕ dϕ = 4π π ( cos ϕ sin ϕ dϕ, (.65 i daje nam prvi svojstveni vektor (invarijantni polinom prvog reda ( A = = z. (.66

.3. NORMALNE MODE 35 Projektor na IR-u A reprezentacije D pv je jednak P D pv A = 4π π = π 4π = (Dpv(R ϕ + Dpv(σ x R ϕ dϕ c sc sc s c s s sc sc c c s i daje nam invarijantne polinome drugog reda A = dϕ (.67 x + y, A = = z. (.68 Opxti oblik invarijantnog polinoma do drugog reda za grupu simetrije C v je P (x, y, z = αz + β(x + y + γz. (.69.3 Normalne mode Geometrijske transformacije koje ostav aju sistem neprome enim se mogu faktorisati tako da jedan faktor odraava preslikava e meu razliqitim atomima iste vrste (permutaciono dejstvo, a drugi opisuje transformaciju u R 3 na standardni naqin (polarno-vektorska reprezentacija i za koordinate i za impulse. Reprezentacija koja oslikava ovakvo delova e geometrijskih transformacija sistema je dinamiqka reprezentacija, D din, i jednaka je tenzorskom proizvodu permutacione, D p, i polarno-vektorske reprezentacije, D pv D din = D p D pv. (.7 Kreta e krutog tela moe opisati kao kompozicija translacije (polarno-vektorsko dejstvo, rotacije (aksijalno-vektorsko dejstvo i vibracije. Dakle, vibraciona reprezentacija je jednaka D vib = D din D pv D av. (.7. U ovom zadatku emo klasifikovati normalne mode molekula vode (slika.4, grupe simetrije C v. Permutacione reprezentacija je dimenzije 3 i reprezentuje elemente grupe C v na sledei naqin (atomi H su numerisani brojevima i, dok kiseoniku odgovara broj 3 D p (e = D p (σ x C = I 3, D p (C = D p (σ x = (. (.7

36 GLAVA. REXE A z O,3 H, H, y Slika.4: Molekul vode. Atomi vodonika su numerisani kao i i nalaze se na y-osi, dok je kiseonik na z-osi i numerisan je brojem 3. Tabela.: Ireducibilne reprezentacije grupe C v i karakter reprezentacija D p, D pv, D av i D din. C v e C σ x σ x C A /B ± ± A /B - ± χ(d p 3 χ(d pv 3 - χ(d av 3 - - - χ(d din 9-3 Karakter D p se moe nai direktno ili korixe em osobine da je trag jednak zbiru svih atoma koje element grupe simetrije ostav a neprome enim. U naxem sluqaju e i σ x C ostav ju sistem neprome enim, dok je C i σ x ostav aju samo O fiksnim. Xto se tiqe reprezentacija D pv i D av, one reprezentuju elemente grupe na sledei naqin ( D pv,av (e = I 3, D pv,av (C =, (.73 ( ( D pv (σ x = D av (σ x =, D pv (σ x C = D av (σ x C =. IR-e grupe C v i karakteri reprezentacija D p, D pv, D av i D din 6 su dati u tabeli.. Razlaga e D pv, D av i D din na IR-e je sledee D pv = A A B, Konaqno, vibracione mode su sledee D av = B A B, D din = 3A B A 3B. (.74 D vib = D din D pv D av = A B. (.75 6 Karakter dinamiqke reprezentacije je jednak proizvodu karaktera permutacione i polarnovektorske reprezentacije.

.3. NORMALNE MODE 37 z x Slika.5: Dvoatomski molekul sa razliqitim atomima. Grupa simetrija sistema je C v.. Grupa simetrije sistema sa slike.5 je jednaka C v. Permutaciona reprezentacija je jednaka D p (R ϕ = D p (σ x R ϕ = I, (.76 dok za reprezentacije D pv i D av vai ( cos ϕ sin ϕ ( ( cos ϕ sin ϕ D pv (R ϕ = sin ϕ cos ϕ, D pv (σ x =, D pv (σ x R ϕ = sin ϕ cos ϕ, D av (R ϕ = ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ, Dav (σ x = (, D av(σ x R ϕ = ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ. (.77 Treba napomenuti da je aksijalno-vektorska reprezentacija dimenzije, zato xto je broj rotacionih stepeni slobode linearnog molekula. IR-e grupe C v i karakteri D p, D pv, D av i D din su dati u tabeli.3. Broj pojav iva a Tabela.3: Ireducibilne reprezentacije grupe C v i karakteri reprezentacija D p, D pv, D av, D din. C v R ϕ σ x R ϕ A /B ± χ(e m cos mϕ χ(d p χ(d pv + cos ϕ χ(d av cos ϕ χ(d din ( + cos ϕ pojedinih IR-a u D pv, D av i D din je sledee a pv A = 4π a pv B = 4π a pv E m = 4π π π π ( + cos ϕdϕ =, ( + cos ϕ dϕ =, ( + cos ϕ cos mϕdϕ = δ m,± + δ m,, (.78

38 GLAVA. REXE A a av A = π cos ϕdϕ =, 4π a av B = π cos ϕdϕ =, 4π a av E m = π 4 cos ϕ cos mϕdϕ = δ m,±, 4π a din A = π (4 + 4 cos ϕdϕ =, 4π a din B = π ( + 4 cos ϕ dϕ =, 4π a din E m = π ( + 4 cos ϕ cos mϕdϕ = (δ m,± + δ m,, (.79 4π tako da je razlaga e na IR-e jednako 7 D pv = A E, Konaqno, vibraciona reprezentacija je jednaka D av = E, D din = (A E. (.8 D vib = D din D pv D av = A. (.8 z m m Slika.6: Linearni molekul sa dva razliqita atoma masa m i m na z-osi. Grupa simetrija sistema je C v. 3. Da bismo naxli normalne mode sistema, pre svega je potrebno definisati matricu V V = (V βj αi = ( V (, (.8 q αi q βj 7 kod D IR-a je m.

.3. NORMALNE MODE 39 koja predstav a drugi izvod potencijala. Simetrijska analiza nam pomae da svojstveni problem Hamiltonijana svedemo na rexava e svojstvenog problema dinamiqke matrice W W = (W βj αi = mα m β V βj αi, (.83 qije svojstvene vrednosti predstav aju kvadrate frekvencija. U sluqaju linearnog molekula sa razliqitim atomima mase m i m (slika.6 vai tako da je V βj αi = ( k 3 a= (q a q a, q αi q βj ( k(q i q i (δ α, δ α, = q βj = kδ i,j (δ α, δ α, (δ β, δ β,, (.84 W βj αi = k mα m β δ i,j (δ α, δ α, (δ β, δ β,. (.85 Ukoliko matriqno izrazimo V i W 8 dobijamo V = k W = k, m m m m m m m m m m m m m m m m m m. (.86 Kako dinamiqka reprezentacija komutira sa W, redukcija W se moe ostvariti odreiva em svojstvenih vektora D din. U prethodnom zadatku smo klasifikovali vibracione mode ovog sistema koji ima simetriju C v. Ispostavilo se da postoji samo jedna vibraciona moda koja se transformixe po IR-i A. Da bismo odredili D din, potrebni su nam permutaciona i polarno-vektorska 8 Obe matrice su dimenzije 6 6. Centralni gor i (do i 3 3 blok predstav a interakciju atoma mase m (m sa samim sobom, dok dijagonalni gor i i do i blok predstav aju interakciju.

4 GLAVA. REXE A reprezentacija D p (R ϕ = D p (σ x R ϕ = I, ( cos ϕ sin ϕ D pv (R ϕ = sin ϕ cos ϕ, D pv (σ x R ϕ = D din (R ϕ = D din (σ x R ϕ = Projektor na IR-u A je jednak P A = π 4π = π 4π cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ, cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ dϕ(d din (R ϕ + D din (σ x R ϕ tako da su svojstveni vektori cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ A = (, A = ( ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ,. (.87 = (, (.88. (.89 Dinamiqka matrica W se u ireducibilnom potprostoru A redukuje na sledei naqin W A = k m A k m m A, W A = k A + k A, m m m ( W red A = k m k m m k k m m m. (.9 Svojstvene vrednosti se dobijaju rexava em jednaqine det W red A λi =, ω, = λ, = {, k( m + m }, (.9 dok su svojstveni vektori jednaki m m A = m + m, A = m + m m m m m. (.9

.3. NORMALNE MODE 4 Ukoliko se prisetimo rezultata prethodnog zadatka, videemo da jedan svojstveni vektor odgovara translacionim stepenima slobode, dok drugi predstav a vibracionu modu. Kako translacionim modama odgovaraju nulte frekvencije, zak uqujemo da su frekvencija i vibracioni vektor ω A = k( + m, A m m vib = m + m m m. (.93 Do istog zak uqka smo mogli doi razmatrajui sluqaj m = m. Tada vektor A odgovara qistoj translaciji du z-ose, dok se u sluqaju A atomi kreu jedan ka drugom/od drugog u z pravcu, tj. vibriraju. U sluqaju nejednakih masa, translacionu pomera e atoma m i m je nejednako, ali u istom pravcu i smeru, dok se kod vibracija atomi kreu nejednako 9 u razliqitom smeru. - - m m m m m m m m m m Slika.7: Beskonaqni sistem sa dva razliqita atoma u elementarnoj eliji. Pored aproksimacije najbliih suseda, radi jednostavnosti, smatraemo da je konstanta interakcije κ atoma unutar elementarne elije jednaka konstanti interakcije atoma koji se nalaze u razliqitim elementarnim elijama. 4. Sluqaju beskonaqih sistema, relevantna grupa simetrije je translaciona grupa. U tom sluqaju je procedura nalae a vibracionih moda malo drugaqija. Naime, potrebno je odrediti "nulti" atom, tj. atom ili elementarnu eliju qiju emo interakciju sa drugim atomima ili elementarnim elijama analizirati. Drugim reqima, potencijal V koji nas interesuje je jednak dok je odgovarajua dinamiqka matrica V = (V rj i = ( V ( q i q rj, (.94 W = (W rj i = mα m β V rj i. (.95 9 Lakxi atom je pokret iviji od teeg. Primetiti izvesnu dozu nekonzistentnosti u ovoj definici u odnosu na definiciju.8. nam predstav a nulti elementarnu eliju koja moe imati vixe od jednog atoma. U tom smislu i broji stepenen slobode sistema (x, y, z, kao i broj atoma u elementarnoj eliji. Da e, r identifikuje drugu elementarnu eliju, dok j predstav a stepene slobode i broj atoma u eliji. Konaqno, u sluqaju D kreta a, problem koji smo naveli ne postoji, jer je broj stepeni slobode, tako da i, odnosno j, slue da numerixu atome u elementarnoj eliji.

4 GLAVA. REXE A IR-e translacione grupe su jednake e ikr, a svojstveni problem dinamiqke matrice se svodi na rexava e sledeeg svojstvenog problema W (k = k e ikr W rj i. (.96 U D sluqaju koji nas interesuje, IR-e translacione grupe su jednake e ikx, gde a korak translacije i k ( π/a, π/a]. U tom sluqaju moemo usvojiti oznaku x = ma, gde je m korak translacije, tako da jednaqine.94,.95 i.96 postaju V = (V mj i, W = (W mj i, W (k = e ikam W mj i. (.97 k U konkretnom sluqaju (slika.7, potencijal sistema je jednak V uk = κ ] [(x n, x n, + (x n, x n,. (.98 n U potencijalu V uk svaki qlan sume predstav a interakciju elementarne elije sa samom sobom ili elementarnim elijama koje se nalaze levo od ega. U sledeem koraku (elija n +, interakcija sa levom elementarnom elijom predstav a upravo interakciju n + i n, tako da zak uqujemo da su sve interakcije elije n uk uqene u potencijalu V uk. Da e, V uk se moe razviti na sledei naqin V uk = κ ] [x n, x n, + x n, + x n, x n, x n, x n, x n,. (.99 Sada je V mj i V mj i = n V uk = κ [ 4δ n, δ m,n δ i, δ j, + δ n, δ m,n δ i, δ j, δ n, δ m,n δ i, δ j, x,i x m,j δ n, δ m,n δ i, δ j, + δ n, δ m,n δ i, δ j, ] δ n, δ m,n δ i, δ j, δ n, δ m,n δ i, δ j, = κ[δ m, (δ i, δ j, + δ i, δ j, δ m, (δ i, δ j, + δ i, δ j, δ m, δ i, δ j, δ m, δ i, δ j, ]. (. U bazisu {i, j} potencijali V m i W m su jednaki ( V m δ = m, δ m, δ m,, W m = κ δ m, δ m, δ m, ( δm, Konaqno, rexava em svojstvenog problema W (k ( W (k = m e ikam W m = κ m +e ika m m +eika m m m m δ m, +δ m, m m δ m, +δ m, m m δ m, m. (. det[w (k λi ] =, (.

.4. NARUXE E SIMETRIJE 43 dobijamo svojstvene vrednosti (/µ = /m + /m ω, = κ µ ( ± 4µ sin ka. (.3 m m Na slici.8 su prikazane optiqke mode (ω i akustiqke mode (ω kristala u sluqaju jednakih masa (levo i za odnos masa m /m =. Slika.8: Akustiqke i optiqke mode beskonaqnog kristala translacionog perioda a u sluqaju jednakih masa (levo i u sluqaju m /m = (desno..4 Naruxe e simetrije Normalni fazni prelazi izmeu teqnog i qvrstog sta a podrazumevaju diskontinualnu promenu slobodne energije. U ovom poglav u emo se baviti faznim prelazima druge vrste u kojima se slobodna energija me a kontinualno iako se simetrija me a diskontinualno, tj. u svakom trenutku moemo da utvrdimo koju vrstu simetrije sistem poseduje. Diskontinuitet u simetriji postoji samo u kritiqnoj taqki. Parametar poretka je ona veliqina koja ima nenultu vrednost posle kritiqne taqke, dok je jednaka nuli u kritiqnoj taqki. Kako se slobodna energija kontinualno me a, Landau je pretpostavio da se u blizini kritiqne taqke ona analitiqka funkcija parametra poretka i moe se razviti u red po parametru poretka. Landauv eva teorija je ekvivalentna teoriji sred eg po a (u blizini faznog prelaza koja zanemaruje fluktuacije parametra poretka u taqki prelaza. Dakle, slobodna energija se moe razviti u red po parametru poretka F = F + F φ + F φ + F 3 φ 3 + F 4 φ 4 +... (.4 U prethodnoj jednaqini, F predstav a ravnotenu vrednost slobodne energije na kritiqnoj temperaturi i moe se zanemariti. Moe se pokazati [4] da linearni qlan u razvoju ne postoji. To je oqigledno ako se uzmu u obzir dve qi enice: φ je parametar poretka koji se, po definiciji, transformixe po nejediniqnoj IR-i poqetne grupe simetrije; F je invarijantni polinom poqetne grupe simetrije, tako

44 GLAVA. REXE A da se φ transformixe po jediniqnoj IR-i. Xto se tiqe F (p, T, on mora biti jednak nuli u T c. U visokosimetriqnoj fazi samo za F > minimum slobodne energije odgovara poziciji φ =, dok u sluqaju F < nenulta vrednost φ mora odgovarati ravnotenom sta u (slika.9. Na osnovu oba uslova zak uqujemo da na Slika.9: Slobodna energija koja odgovara sluqajevima F > i F < ukoliko je F 4 >. temperaturi prelaza T c vai F (p, T c =. Xto se tiqe F 3 qlana, on na kritiqnoj temperaturi T c (koja i da e odgovara visokosimetriqnoj fazi mora biti jednak, dok F 4 mora biti pozitivan da bi obezbedio globalni minimum (slika.. Ko- Slika.: Slobodna energija na kritiqnoj temperaturi T c za F = φ 3 + φ 4, F = +φ 3 + φ 4 i F = φ 4. eficijent F 4 koji je pozitivan u T c mora biti pozitivan i u okolini te taqke. Xto se tiqe kubnog qlana, dve situacije su mogue. Ukoliko vai da je invarijantni polinom treeg reda simetrijski jednak nuli, onda u taqki prelaza postoji samo jedan uslov, F (p, T =, koji odreuje p kao funkciju T i obratno. Tada u p T ravni postoji linija koja odgovara taqkama faznog prelaza drugog reda. U drugom sluqaju, ukoliko je simetrijski dozvo en invarijantni polinom treeg reda, taqke

.4. NARUXE E SIMETRIJE 45 faznog prelaza su odreene sa dva uslova F (p, T = F 3 (p, T =. (.5 U ovom sluqaju, fazni prelaz drugog reda se moe desiti samo u izolovanim taqkama koje odgovaraju rexe ima jednaqine.5. U sledea tri zadatka, baviemo se zanim ivijim sluqajem koji nalae da invarijante treeg stepena ne postoje. Simetrijski, taj uslov se moe formulisati tako da se u simetrizovanom treem stepenu IR-e poqetne grupe simetrije ne pojav uje jediniqna reprezentacija (Landauv ev uslov [3, 4]. Ukoliko parametar poretka odgovara D nejediniqnoj IR-i Landauv ev uslov je uvek ispu en, dok kod IR-a vee dimenzije odgovor nije unapred dat. Tabela.4: Ireducibilne reprezentacije grupe C 3v i simetrizovani trei stepeni IR-a. IR e C 3 C3 σ x σ xc 3 σ xc3 A B - - - χ(e - - [A 3 ] [B 3 ] - - - χ([e 3 ] 4. U prvom sluqaju je poqetna grupa simetrije C 3v. Ona poseduje dve D reprezentacije, A i B, kao i jednu D reprezentaciju, E. U D sluqaju fazni prelaz se dexava samo po nejediniqnim IR-ama, tj. po IR-i B. Xto se tiqe D IR-e, prvo je potrebno odrediti karaktere [E 3 ] po formuli χ([d 3 ](g = 6 χ3 (D(g + χ(d(gχ(d(g + 3 χ(d(g3.(.6 Karakteri [E 3 ] kao i IR-e razmatrane grupe simetrije su date u tabeli.4. U razlaga u [E 3 ] na IR-e se A pojav uje jednaput, tako da zak uqujemo da se po IR-i E ne moe desiti fazni prelaz. Dakle, samo se po IR-i B dexava fazni prelaz. Nova grupa simetrije je podgrupa poqetne grupe u kojoj se IR-a B moe videti kao jediniqna. Drugim reqima, zanima nas epikernel B. Kako je E k (B = C 3, zak uqujemo da je maksimalna grupa simetrije nakon faznog prelaza C 3. Posled a stvar koja nas zanima je parametar poretka. Parametar poretka je ona veliqina koja se transformixe po IR-i B poqetne grupe simetrije i jediniqnoj IR-i nie grupe simetrije. Lako se zak uquje da z komponenta magnetizacije, koja je aksijalni vektor, zadovo ava oba uslova. U sluqaju C 4v fazni prelaz se moe desiti po D IR-ama B, A i B.