Univerzitet u Nixu Prirodno - matematiqki fakultet Departman za matematiku Kovarijatno diferenciranje Master rad Mentor: Prof. Dr Milan Zlatanovi Stude

Транскрипт

1 Univerzitet u Nixu Prirodno - matematiqki fakultet Departman za matematiku Kovarijatno diferenciranje Master rad Mentor: Prof. Dr Milan Zlatanovi Student: Nemanja Nikoli Nix, 2017.

2

3 Temu master rada predloжio je Prof. dr Milan Zlatanovi. Koristim priliku da se na ovom mestu najsrdaqnije zahvalim svom mentoru profesoru Milanu Zlatanovi u na ukazanoj struqnoj pomo i i savetima prilikom izrade master rada. Ovom prilikom takođe жelim da se zahvalim svojoj porodici, na bodrenju i razumevanju tokom studija. student: Nemanja Nikoli

4 4

5 SADRЖAJ Uvod 7 1 Rimanovi prostori Sistemi veliqina i operacije sa njima Skalarna invarijanta, vektori i tenzori Algebarske operacije sa tenzorima Kovarijatni izvod tenzora Definicija i tenzorski karakter kovarijatnog izvoda Kovarijantni izvodi metriqkih tenzora Osobine kovarijantnog izvoda Gradijent. Diferencijalni operatori I reda Divergencija vektora i tenzora Rotor Diferencijalni operatori II reda. Laplasijan Definicija Rimanovog prostora Afina koneksija i kovarijantni izvod Kovarijantni izvod vektorskog i skalarnog polja u pravcu Kovarijantni izvod kovektorskog polja u pravcu Kovarijantni izvod tenzorskog polja u pravcu Kovarijantni izvod (diferencijal) tenzorskog polja Liov izvod proizvoljnog tenzora Generalisani Rimanovi prostori Kovarijantni izvodi Apsolutni izvodi i paralelno pomeranje Finslerovi prostori Diferencijal vektora Parcijalno diferenciranje vektora

6 6 SADRЖAJ 3.3 Osnovne osobine δ-diferenciranja Zakljuqak 65 Literatura 66 Biografija 68

7 Uvod Kovarijantni izvod su predstavili Riqi-Kurbastro 1 i Levi-Qivita 2 poqetkom 20. veka u teoriji Rimanove i pseudo-rimanove geometrije. Oni su primetili da Kristofelovi simboli koji se koriste za definisanje krivine, takođe mogu da pruжe pojam izvoda koja je generalizovala klasiqni izvod u pravcu vektorskih polja na mnogostrukostima. Ovaj novi izvod je kovarijantan u smislu da zadovoljava Rimanov uslov da predmeti u geometriji treba da budu nezavisni od svog opisa u određenom koordinatnom sistemu. Ubrzo je, od strane drugih matematiqara među kojima su bili Herman Vajl 3 i Eli Kartan 4, zakljuqeno da se kovarijantni izvod moжe definisati bez prisustva metrike. Kljuqna osobina kovarijantnog diferenciranja nije bila zavinost od metrike, nego xto su Kristofelovi simboli zadovoljavali zakon transformacje drugog reda. Ovaj zakon transformacije moжe da posluжi kao poqetna taqka za definisanje izvoda na kovarijantan naqin. Zbog toga se teorija kovarijantnog diferenciranja odvojila od striktno Rimanovog konteksta da bi obuhvatila xiri opseg mogu ih geometrija. Kovarijantan izvod je generalizacja izvoda u pravcu iz vektorkog raquna. Kao sa izvodom u pravcu, kovarijantan izvod je pravilo, u v, koji sadrжi: 1) vektor u definisan u taqki P i 2) vektorsko polje v definisano u okolini taqke P. U ovom radu emo dati definiciju kovarijantnog izvoda proizvoljnog tenzora u Rimanovom, generalizovanom Rimanovom i Finslerovom prostoru i dokaza emo neke bitne teoreme. 1 G.Ricci-Curbastro, ( ), italijanski matematiqar 2 T.Levi-Civita, ( ), italijanski matematiqar 3 H.K.H.Weyl, ( ), nemaqki matematiqar 4 E.J.Cartan, ( ), francuski matematiqar 7

8 8 SADRЖAJ

9 Deo 1 Rimanovi prostori U prvom delu emo se upoznati sa osnovama tenzorskog raquna. Vixe o tome se moжe na i u [1]. Definisa emo kovarijantni izvod tenzora, dati osobine kovarijantnog izvoda, uvex emo pojam gradijenta, Laplasijana. U ovom delu emo se baviti i afinom koneksijom i kovarijantnim izvodom tenzorskog polja u pravcu. Navex emo definicije i dokazati neke bitne teoreme. 1.1 Sistemi veliqina i operacije sa njima U Dekartovom kordinatnom sistemu vektor i taqka su određeni svojim koordinatama, pa se, na primer, u trodimenzionalnom euklidskom prostoru E 3 taqka izraжava sa tri koordinate: P (x, y, z), tj. kao uređena trojka od tri realna broja. Za drugi primer moжemo navesti elemente determinante tre eg reda, koje obiqno obeleжavamo sa dva indeksa: a ij, gde prvi indeks oznaqava redni broj vrste a drugi redni broj kolone. Qesto se redni broj vrste oznaqava gornjim indeksom, a rednji broj kolone donjim, xto pixemo a i j(i, j = 1, 2, 3).Determinante sa navedenim elementima emo oznaqavati sa det(a ij ), odnosno det(a i j), a matrice sa (a i j). Uređen skup brojeva ili funkcija zva emo sistem. U zavisnosti od potrebe, indeksi se mogu pisati kao gornji ili kao donji i uzimati vrednosti 1, 2, 3,..., N gde je N neki konaqan ili beskonaqan broj. Pri upotrebi gornjih indeksa stepenovanje emo oznaqavati zagradom, npr. (a) 2 = a a, dok je a 2 drugi elemenat sistema a i. Neki određeni, na primer K-ti elemenat sistema a i oznaqavamo velikim slovom K, tj a K. 9

10 10 1. Rimanovi prostori Indeks koji moжe uzimati razne vrednosti zovemo promenljivi (teku i), a neki određeni je fiksirani indeks. Recimo u (a i j) indeksi i, j su promenljivi, a u (a 2 j) indeks 2 je fiksiran. Kod sistema razlikujemo red i tip sistema. Recimo: a i je sistem I reda, tipa (1,0), a i je sitem I reda, tipa (0,1), a ij je sistem II reda, tipa (2,0), je sistem III reda, tipa (2,1). Sistem reda 0 je veliqina bez indeksa (broj ili funkcija), npr a. Ako se pri razmeni mesta neka dva indeksa vrednost elemenata sistema ne menja, npr. a ijk = a kji, kaжemo da je simetriqan po tom paru indeksa, a ako se menja samo znak, npr. a ijk = a kji, kaemo da je antisimetriqan (kososimetriqan) po tom paru. Moжe se govoriti samo o simetriji ili antisimetriji po paru indeksa istog tipa (oba gornji ili oba donji). Upotreba donjih i gornjih indeksa je naroqito korisna ako se primenjuje takozvana Ajnxtanova 1 konvenkcija za sabiranje koja glasi: Ako se jedan indeks u nekom qlanu (sabirku) javlja itovremeno kao donji i kao gornji, po tom indeksu se podrazumeva sabiranje i bez znaka Σ. Takav indeks se zove nemi indeks i on se moжe zameniti i drugim slovom. Na primer, bilinearna forma a ij k se moжe zapisati u obliku a 11 x 1 y 1 + a 12 x 1 y 2 + a 21 x 2 y 1 + a 22 x 2 y 2 a ij x i y j (i, j = 1, 2). Promenljivi indeks koji nije nemi, zove se slobodni indeks. Broj elemenata nekog sistema se određuje na osnovu slobodnih indeksa. Slobodnim indeksom nazivamo promenljivi indek koji nije nemi. Broj elemenata nekog sitema određujemo na osnovu slobodnih indeksa. Za dva sistema istoga tipa kaжemo da su jednaki, ako su im odgovarajuqi elementi jednaki. Na primer, za i, j = 1, 2 imamo a i j = b i j (a 1 1 = b 1 1 a 1 2 = b 1 2 a 2 1 = b 2 1 a 2 2 = b 2 2). Zbir dva sistema istoga tipa je sistem istoga tipa, sa elementima koji su zbirovi odgovaraju ih elemenata sistema sabiraka. Na primer, c ij k = aij k + bij k. Ako sistem pomnoжimo brojem (funkcijom) dobijamo opet sistem, qiji su elementi pomnoжeni tim brojem (funkcijom). 1 A.Einstein, ( ),jevrejski matematiqar i fiziqar

11 1.1. Sistemi veliqina i operacije sa njima 11 Proizvod (spoljni) dva sistema je sistem qiji su elementi dobijeni tako xto se svaki element jednog sistema pomnoжi svim elementima drugog sistema. Na primer, d ijl k = aij b l k. Sistem a ij je tipa (2,0) i sistem b l k je tipa (1,1) dok je njihov proizvod d ijl k je tipa (3,1). Dakle, lako se zakljuquje da je proizvod sistema tipa (a, b) i sistema tipa (c, d) sistem tipa (a + b, c + d). Kontrakcija (saжimanje) je operacija koja se sastoji u tome da se u sistemu dva indeksa, od kojih je jedan gornji, a drugi donji (tj. suprotnog su tipa), obeleжe istim slovom i po njima se podrazumeva sabiranje, jer se time dobija nemi indeks. Ako se izvrжi kontrakcija po jednom paru slobodnih indeksa, tj. dobija se nemi indeks, time se red sistema smanjuje za dva, a od sistema tipa (p, q) dobija se sistem tipa (p 1, q 1). Na primer a ijk l m je tipa (3, 2), dok je a ijk i m tipa (2, 1), a sistem a ijk ik je tipa (1, 0), tj. tip sistema određuje broj i raspored slobodnih indeksa. Kompozicija (unutraxnje mnoжenje) dva sistema je operacija koja se sastoji iz mnoжenja i kontrakcije po paru indeksa, od kojih se donji nalazi u jednom qiniocu, a gornji u drugom. Na primer, a ip b j p = a i1 b j a in b i N = c ij, tj. dobija se sistem tipa (2,0). Kronekerovi simboli su δ i j, δ ij, δ ij, a imaju vrednost 1 kada je i = j = K, gde je K prirodan broj, a vrednost 0 za i j. Naglasimo da je vrednost 1 kada je K određena vrednost, jer za i = j nefiksirano, kada se indeksi menjaju od 1 do N imamo: δ i i = δ δ N N = = N, dok je δ K K = 1. Ako nezavisno promenljive x i zavise od drugih promenljivih x i (i = 1,..., N ), tj. x = x i (x 1,..., x N ), imamo x i x i x i x j = xi x j = δi j, (1.1) pri qemu je i nemi indeks. Primetimo da se u xi gornji indeks i x i ispod razlomaqke crte posmatra kao donji indeks. Umesto x i za druge promenljive moжemo pisati, na primer y i ili x i, pa bismo umesto (1.1) imali x i x p x p x j = δi j.

12 12 1. Rimanovi prostori 1.2 Skalarna invarijanta, vektori i tenzori Kako postoje veliqine koje se pri transformaciji koordinata ne menjaju, dok se druge menjaju, to kao osnovu za razlikovanje prirode sistema uzimamo njihovo ponaxanje pri transformaciji koordinata. Posmatrajmo, najpre, sistem reda 0, tj. skalare. Ako je, na primer, temperatura t u nekom delu prostora E 3 funkcija taqke, bi e u Dekartovim koordinatama y i data sa t = t(y 1, y 2, y 3 ). (1.2) Ako pređemo na druge koordinate, pri qemu su veze između Dekartovih y i i novih x i potpuno određene transformacijom y i = y i (x 1, x 2, x 3 ) = y i (x j ), i, j = 1, 2, 3, (1.3) vrednost temperature se ne menja, pa je t(y 1, y 2, y 3 ) = t[y 1 (x j ), y 2 (x j ), y 3 (x j )] = t(x 1, x 2, x 3 ), (1.4) gde oblik funkcija t i t moжe biti razliqit. Sada emo navesti definiciju veliqina sa ovom osobinom. Definicija 1.1. Ako se vrednost funkcije φ(x 1,..., x N ) ne menja pri transformaciji koordinata i pri inverznoj transformaciji tj. ako je x i = x i (x 1,..., x N ), i = 1,..., N, (1.5) x i = x i (x 1,..., x N ), i = 1,..., N, (1.6) φ(x 1,..., x N ) = φ(x 1,..., x N ), (1.7) za funkciju φ kaжemo da je skalarna invarijanta ili tenzor reda 0. Skalarna invarijanta ima veoma vaжnu ulogu, jer, kako su koordinatni sitemi samo pomo na sredstva za prouqavanje geometrijskih i fiziqkih osobina, to e skalarnim invarijantama biti izraжene neke unutraxnje osobine posmatranih objekata, koje ne zavise od koordinatnog sistema.

13 1.3. Algebarske operacije sa tenzorima Algebarske operacije sa tenzorima Sve xto smo dosad rekli za operacije sa sistemima uopxte vaжi i za tenzore. Teorema 1.1. Zbir tenzora istog tipa je tenzor tog istog tipa. Dokaz: Da ne bismo izlaganje komplikovali ispisivanjem mnogih indeksa, dokaza emo teoremu u konkretnom sluqaju, poxto se i opxti sluqaj dokazuje na isti naqin. Neka su u ij k, vij k komponente tenzora. Tada su w ij k = uij k + vij k (1.8) takođe komponente tenzora, jer w i j k = u i j k + v i j k = x i i x j j xk k uij k + xi i x j j xk k vij k = xi i x j j xk k wij k. Teorema 1.2. Ako je α skalar (relan broj ili funkcija) i u ij k je i αu ij k tenzor istog tipa. tenzor, tada Dokaz: Ako obeleжimo w ij k = αuij k, tada, zbog invarijantnosti skalara pri transformaciji koordinata, vaжi Posledica 1.1 Ako je u ij k Definicija 1.2. Tenzor u ij k w i j k = αu i j k = x i i x j j xk k (αuij k ) = xi i x j j xk k wij k. tenzor, tada je i uij k = ( 1)uij k tenzor. je suprotan tenzor za tenzor uij k. Teorema 1.3. Skup tenzora istog tipa je linearnan (vektorski) prostor nad poljem realnih brojeva, pri qemu je unutraxnja operacija sabiranja tenzora, a spoljaxnja operacija mnoжenja tenzora skalarom. Teorema 1.4. Proizvod tenzora tipa (A, B) i tenzora tipa (C, D) je tenzor tipa (A + C, B + D). Dokaz: Neka je, na primer, w ij k = ui v j k, tada imamo w i j k = u i v j k = x i i u i x j j xk k vj k = xi i x j j xk k wij k.

14 14 1. Rimanovi prostori Teorema 1.5. Kontrakcijom tenzora po nekim indeksima dobija se tenzor po slobodnim indeksima. Dokaz: Ovo tvrđenje emo dokazati u konkretnom sluqaju, jer se dokaz u opxtem sluqaju izvodi analogno. Ako je, na primer, u ij kl tenzor, dokaza emo da je u ij ki tenzor tipa (1, 1). Kako je to za l = i dobijamo u i j k l = x i i x j j xk k xl l uij kl, gde smo koristili x i i x l i = δl i. u i j k i = x i i x j j xk k xl i uij kl = δl ix j j xk k uij kl = xj j xk k uij ki, Posledica 1.2 Kontrakcijom tenzora po jednom paru indeksa se red tenzora sniжava za 2, pa se, kada je isti broj gornjih i donjih indeksa, ako imamo kontrakciju po parovima indeksa, moжe dobiti skalarna invarijanta. Kompozicijom dva tenzora po nekim indeksima, dobija se tenzor po slobodnim indeksima, a kompozicijom po svim indeksima, u sluqaju kada je to mogu e, dobija se skalarna invarijanta. Slede a teorema odgovara na pitanje: Kako izvesti zakljuqak o tenzorskom karakteru jednog qinioca u kompoziciji, kada se zna tip i tenzorski karakter drugog qinioca i proizvoda? Teorema 1.6. (Zakon koliqnika) Ako je u neki sistem, v proizvoljan tenzor poznatog tipa, pa se kompozicijom u i v dobije tenzor w poznatog tipa, onda je u tenzor, qiji su indeksi oni koji se pojavljuju samo kod jednog od tenzora v i w..., pri qemu je kod u karakter odgovaraju ih indeksa isti kao kod w..., a suprotan nego kod v... Dokaz: Posmatra emo primer, koji je dovoljno opxt, da bi se izveo zakljuqak o taqnosti teoreme. U opxtem sluqaju se dokaz izvodi analogno. Neka su vil k(xp ), w j l (xp ) tenzori i u......vil k(xp ) = w j l (xp ). Najpre treba utvrditi indekse sistema u Poxto i postoji na levoj strani prethodne jednaqine kao donji indeks, a ne postoji na desnoj strani, to znaqi da na levoj strani postoji kao gornji indeks tenzora u Istim rasuđivanjem je k donji indeks tenzora u Indeks j postoji na desnoj strani, pa se pojavljuje i kod tenzora u......, dok indeks l ve postoji na obe strane, pa se ne e javiti kod u Dakle, u sistemu po x i vaжi jednaqina u ij k vk il = wj l, a u sistemu po xi je u i j k v i k l = wj l. Kako su v..., w..., tenzori, na osnovu zakona transformacije sledi... u i j k x k k x i i xl l vk il = x j j xl l wj l = x j j xl l uij k vk il,

15 1.4. Kovarijatni izvod tenzora 15 a odavde je x l l vk il(u i j k x k k x i i xj j uij k ) = 0. Kako je, po pretpostavci, v k il proizvoljan tenzor, sledi odakle kompozicijom sa x k p, xq i odakle je u i j k x k k x i i = xj j uij k, dobijamo u i j k δ k p δq i = x j j xk p xq i uij k, u q j p = x j j xk p xq i uij k. Smenom indeksa q i, p k dobija se u i j k = x i i x j j xk k uij k, tj. tenzorski zakon transformacije. Posledica 1.3 Ako je rezultat kompozicije tenzora v i sistema u skalarna invarijanta, onda je v tenzor suprotne varijantnosti u odnosu na u Kovarijatni izvod tenzora U ovom delu emo se baviti kovarijantnim izvodom tenzora. Definisa emo kovarijantni izvod, navesti njegove osobine, dati definiciju gradijenta, rotora i diferencijabilnih operatora I i II reda. Parcijalni izvod tenzora nije tenzor pa se zbog toga teжi uvođenju kovarijantnog izvoda. Kovarijantni izvod tenzora je tenzor Definicija i tenzorski karakter kovarijatnog izvoda Za vektor u i (x 1,..., x N ) transformacijom koordinata dobijamo u i = x i i u i pa ako je u i,j = ui, imamo : x j u i,j = ui = (x i x j i u i ),j = x i ij ui + x i i u i,j. (1.9) Kako je x i = x i (x 1,..., x N ), u i = u i (x 1,..., x N ), x i = x i (x 1,..., x 1N ), to je x i i = x i i (x 1,..., x N ), x i ij = (x i x j i ) = x i ijx j j, u i,j = ui,jx j j, pa iz (1.9) sledi :

16 16 1. Rimanovi prostori u i,j = xi ijx j j u i + x i i x j j u i,j (1.10) ij = 2 x i tj. imamo tenzor samo ako je x i = 0. x i x j Zbog toga se uvodi pojam kovarijantnog izvoda tenzora, koji je takođe tenzor. Definicija 1.3. Ako je u i (x 1,..., x N ) vektor, sistem u i ;j = u i,j + Γ i pju p (1.11) se zove kovarijatni izvod kontravarijatnog vektora u i. Teorema 1.7. Kovarijatni izvod vektora u i (x 1,..., x N ) je tenzor tipa (1,1). Dokaz: Ako relaciju u i = x i i u i diferenciramo po x j za x i ij : i primenom x i jk = x i i Γ i jk x j j xk k Γ i j k (1.12) u i,j = xi ijx j j u i + x i i u i,jx j j = (x i p Γ p ij xk i x l j Γ i k l )xj j u i + x i i x j j u i,j, u i,j + δl j xk i Γ i k l ui = x i p x j j Γ p ij ui + x i i x j j u i,j. Ako u prvom sabirku na desnoj strani smenimo: p i, sledi: u i,j + Γi k j xk i u i = x i i x j j (u i,j + Γ i pju p ) kako je u i tenzor, to je x k i u i = x k k uk = u k, pa sledi u i,j + Γi k j uk = x i i x j j (u i,j + Γ i pju p ) a prema (1.11) u i ;j = xi i x j j u i ;j tj. u i ;j se transformixe kao tenzor tipa (1,1). Definicija 1.4. Ako je v i (x 1,..., x N ) kovarijatni vektor, sistem se zove kovarijatni izvod vektora v i. v i;j = v i,j Γ p ij v p (1.13) Teorema 1.8. Kovarijatni izvod vektora v i (x 1,..., x N ) je tenzor tipa (0,2).

17 1.4. Kovarijatni izvod tenzora 17 Dokaz: na osnovu imamo da je odakle sledi v i = x i i v i = v i,j = xi i j v i + x i i v i,jx j j = x i j k = xi i Γi j k xj j x k k Γi jk (1.14) = (Γ k i j xi k Γi jkx j i x k j )v i + x i i xj j v i,j v i,j Γk i j xi k v i = Γ i jkx j i x k j v i + x i i xj j v i,j. U prvom sabirku na desnoj strani smenimo : i p, j i, k j, pa prema (1.13) sledi v i ;j = xi i xj j v i;j se transformixe kao tenzor tipa (1,1). Definiximo sad kovarijatni izvod proizvoljnog tenzora. Definicija 1.5. Ako je a i 1...i A j 1...j B tenzor, sistem a i 1...i A j 1...j B;k = a i 1...i A j 1...j B,k + Σ A α=1γ iα pk ai 1...i α 1 pi α+1...i A j 1...j B Σ B β=1γ p j β k ai 1...i A j 1...j β 1 pj β+1...j B (1.15) se zove kovarijatni izvod toga tenzora. Pod kovarijatnim izvodom skalarne funkcije podrazumevamo njen parcijalni izvod. Recimo t ij kl;m = tij kl,m + Γi pmt pj kl + Γj pmt ip kl Γp km tij pl Γp lm tij kp. (1.16) Na osnovu prethodne definicije moжemo zakljuqiti da pod kovarijatnim izvodom skalarne invarijante podrazumevamo njen parcijalni izvod. Ako je u i j tenzor, tada je u i j;m = u i j,m + Γ i pmu p j Γp jm ui p, sada za i = j dobijamo skalarnu invarijantu i njen kovarijantni izvod φ ;m = u i i;m = u i j,m + Γ i pmu p i Γp im ui p. Zamenom i p u tre em sabirku dobijamo φ ;m = u i i;m = u i j,m + Γ i pmu p i Γi pmu p i = ui i,m = φ,m. Pokazali smo da je kovarijantni izvod kontravarijantnog i kovarijantnog vektora tenzor, pri qemu se kovarijatnost pove ava za 1. Zato vaжi

18 18 1. Rimanovi prostori Teorema 1.9. Kovarijantni izvod tenzora tipa (A, B) je tenzor tipa (A, B + 1). Dokaz: Dokaza emo tvrđenje za tenzor t i j, odnosno pokaza emo da je t i j;k = t i j,k + Γ i pkt p j Γp jk ti p (1.17) tenzor. Uzmimo parcijalni izvod po x k jednaqine t i j = xi i x j j t i j i izrazimo parcijalne izvode drugog reda x i ik, xj j k preko (1.14,1.12): t i j,k = (t i x k j ) = xi ikx k k xj j t i j + x i i x j j k t i j + x i i x j j t i j,kx k k = (x i p Γ p ik xp i xq k Γi p q )xk k xj j t i j + x i i t i j(x j q Γ q j k x q j x r k Γj qr) + x i i x j j x k k ti j,k a prebacivanjem na levu stranu qlanova sa Γ u sistemu x i u obzir da je x q k xk k Γi p q = δq k Γ i p q = Γi p k, dobijamo i uzimaju i t i j,k + xp i xj j Γ i p k ti j x i i x j q t i jγ q j k = x i i x j j x k k ti j,k + x i p x j j x k k Γp ik ti j x i i x q j x r k Γj qrt i j. Ako uzmemo da je na levoj strani prema zakonu transformacije x p i xj j t i j = t p j, x i i x j q t i j = t i q, a na desnoj strani izvrximo smenu nemih indeksa i to u drugom sabirku p i a u tre em q j, r k, bi e t i j,k + Γi p k tp j t i q Γq j k = x i i x j j x k k (ti j,k + Γ i pkt p j Γq jk ti q) Sada na osnovu (1.17) imamo t i j ;k = xi i x j j x k k ti j;k, tj. t i j;k se transformixe po tenzorskom zakonu.

19 1.4. Kovarijatni izvod tenzora Kovarijantni izvodi metriqkih tenzora U ovom delu emo pokazati da su kovarijantni izvodi metriqkih tenzora jednaki nuli. Teorema Kovarijantni izvodi metriqkih tenzora u R N su jednaki nuli, tj vaжi g ij;k = g ij ;k = gi j;k = δ i j;k = 0. (1.18) Dokaz: Na osnovu osobine Kristofelovi simbola Γ i.jk = g ip Γ p jk. (1.19) Γ i.jk + Γ j.ik = Γ i.jk + Γ j.ki = g ij,k (1.20) g ip Γ j pk + gjp Γ i pk = g ij,k (1.21) imamo a) g ij;k = g ij,k Γ p ik g pj Γ p jk g ip = g ij Γ j.ik Γ i.jk = 0 b) g ij ;k = gij,k + Γi pk gpj + Γ j pk gip = 0 v) gj;k i = δi j;k = δi j,k + Γi pk δp j Γp jk δi p = 0 + Γ i jk Γi jk = 0 jer su δj i konstante. Definicija 1.6. Tenzor, qiji je kovarijantni izvod nula, zove se kovarijantno konstantan tenzor. Znaqi, metriqki tenzori su kovarijatno konstantni u R N Osobine kovarijantnog izvoda Posmatrajmo tenzore kao funkcije koordinata, tj. tenzorska polja. Sve osobine se dokazuje na osnovu kovarijatnog izvoda, a mi emo ih posmatrati na određenim primerima. 1. Kovarijantni izvod zbira (razlike) jednak je zbiru (razlici) kovarijantnog izvoda. (u i j ± v i j) ;k = (u i j ± v i j),k + Γ i pk(u p j ± vp j ) Γp jk (ui p ± v i p) = u i j;k ± v i j;k 2. Ako je c konstanta, tada je (cu i j) ;k = cu i j;k.

20 20 1. Rimanovi prostori 3. Vaжi i Lajbnicovo pravilo, za obiqan proizvod: (u i jv k ) ;m = (u i jv k ),m + Γ i pk(u p j v k) Γ p km (ui jv p ) = u i j,mv k + u i jv k,m + (Γ i pmu p j Γp jm ui p)v k Γ p km v pu i j = (u i j,m + Γ i pmu p j Γp jm )v k + (v k,m Γ p km v p)u i j = u i j;mv k + u i jv k;m. 4. Za unutraxnji proizvod (kompozicija) tenzora vaжi Lajbnicovo pravilo. Ako u pretodnom primeru uzmemo k i : (u i jv i ) ;m = u i j;mv i + u i jv i;m. 5. Kontrakcija i kovarijantno diferenciranje su komutativni, na primer: (u i ik) ;m = (δ p i ui pk) ;m = δ p i;m ui pk + δ p i ui pk;m = 0 + δ p i (ui pk; m). 6. Operacija dizanja i spuxtaja indeksa je komutativna sa kovarijantnim diferenciranjem, na primer (g ip u p ) ;m = g ip ;mu p + g ip u p;m = 0 + g ip u p;m Gradijent. Diferencijalni operatori I reda Definiximo sada gradijent i diferencijalni operator I reda: Definicija 1.7. Ako je φ(x 1,..., x n ) neka skalarna funkcija u R N, sistem parcijalnih izvoda φ/ x i = φ,i zove se gradijent skalarne funkcije φ, u oznaci φ gradφ. Kako se za u sluqaju skalarne funkcije poklapaju parcijalni i kovarijantni izvod, to imamo gradφ φ = φ x i φ,i = φ ;i (1.22) Kao xto se vidi iz (1.22), gradijent je kovarijantni vektor. Da bismo pokazali jedno geometrijsko tumaqenje gradijenta, posmatrajmo u R N hiperpovrx φ(x 1,..., x n ) = C (C = const). Bi e dφ = φ,i dx i = 0, pa kako je dx i tangentni vektor, to je φ,i = φ vektor normale navedene hiperpovrxi.

21 1.4. Kovarijatni izvod tenzora 21 Kvadrat intenziteta gradijenta φ zovemo diferencijalni parametar I reda i obeleжavamo 1 φ. Dakle, 1 φ = ( φ) 2 = g ij φ,i φ,j. (1.23) Ovaj operator zovemo jox i Beltramijev 2 diferencijalni parametar. U geometriji se koristi jox jedan diferencijalni operator I reda, tzv. skalarni proizvod gradijenata skalarnih funkcija φ, ψ određen sa 1 (φ, ψ) = φ ψ = g ij φ,i ψ,j. (1.24) Divergencija vektora i tenzora Posmatrajmo kontravarijantni vektor u i i njegov kovarijantni izvod po x j : u i ;j = u i,j + Γ i pju p. (1.25) Definicija 1.8. Skalarna invarijanta, koja se dobija kontrakcijom u kovarijantnom izvodu kontravarijantnog vektora zove se divergencija vektora tj. Kako je, prema div u = u i ;i = u i,i + Γ i piu p. (1.26) g g ij = G ji (x), g x = i 2gΓp pi, odnosno (ln g) = Γ p x i pi, (1.27) Γ i pi = g,p 2g to je div u = u i,i + g,p 2g up = 1 (u i g,i g,i g + 2 g ui ), tj. div u = 1 g (u i g) i, 0 < g = det(g ij ). (1.28) U prostoru E 3 su, u odnosu na Dekartove kordinate, Kristofelovi simboli jednaki nuli, pa iz (1.26) dobijamo poznati obrazac 2 E.Beltrami, ( ),italijanski matematiqar

22 22 1. Rimanovi prostori div u = u i,i = u1 x + u2 1 x + u3 2 x. (1.29) 3 Određivanje devergencije se moжe definisati i za vektor v određen kovarijantnim kordinatama v i, kada se pomo u njih u R N prethodno odrede kontravarijantne kordinate. U tom sluqaju, po definiciji je div u = (g ij v i ) ;j = g ij v i;j = v j ;j = vi ;i, (1.30) gde smo uzeli u obzir da je g ij ;j = 0. Za tenzor proizvoljnog tipa se takođe moжe definisati operacije divergencije. U opxtem sluqaju rezultat zavisi od toga po kome od gornjih indeksa se vrxi kontrakcija, pa imamo, na primer Rotor div (i) u ij k div (k) u ij k = uij k;i, div (j)u ij k = uij k;j = (gpk u ij k ) ;p = u ijp ;p = u ijk ;k. Operaciju rotora vektorske funkcije emo u sluqaju Rimanovog prostora uopxtiti na slede i naqin. Neka je dat kovarijantni vektor v i. Tada je, r ij = v i,j v j,i = v i;j v j;i, (1.31) dvostruki antisimetriqni kovarijantni tenzor, a druga jednakost se lako proverava na osnovu izraza za kovarijantni izvod v i;j, uzimaju i u obzir simetriju Kristofelovih simbola. Definicija 1.9. Operacija (1.31), kojom se svakom kovarijantnom vektoru v i dodeljuje dvostruki kovarijantni tenzor r ij, zove se operacija rotora. U Rimanovom prostoru R N se operacija rotora moжe indirektno primeniti i na kontravijantni vektor u i, tako xto se prvo odredi pridruжeni kovarijantni vektor u i = g ij u j. U R 3 se pomo u e-sistema tenzoru r ij moжe jednoznaqno pridruжiti kontravarijantni vektor. r i = 1 2 eijk r jk = 1 2 eijk (v j;k v k;j ) = e ijk v j;k, (1.32) Odakle je r 1 = e 1jk v j;k = e 123 v 2;3 + e 132 v 3;2 = v 2;3 v 3;2 = v 2,3 v 3,2. Analogno za r 2, r 3, pa imamo

23 1.4. Kovarijatni izvod tenzora 23 r 1 = v 2,3 v 3,2, r 2 = v 3,1 v 1,3, r 3 = v 1,2 v 2,1, (1.33) a takvi su poznati obrasci u E 3. Pomo u (1.33) se u E 3 dobija vektor r = (r 1, r 2, r 3 ), koji zovemo rotor vektora v i pixemo r = rot v. (1.34) Operatori gradijenta, divergencije i rotora su diferencijalni operatori I reda, jer se njihovom primenom pojavljuju izvodi I reda Diferencijalni operatori II reda. Laplasijan Diferencijalni operatori II reda su oni operatori kod kojih se pojavljuju izvodi II reda (kovarijantni ili obiqni). Jedan od najvaжnijih diferencijalnih operatora II reda je Laplasov 3 operator, koga nazivamo i Laplasijan. Definicija Laplasov operator, u oznaci, se sastoji u određivanju divergencije gradijenta, tj. = div div grad. (1.35) Laplasijan se primenjuje na skalarnu funkciju. Laplasijan funkcije φ(x 1,..., x n ) je, prema (1.35), φ = div φ = divφ ;i = div(g ij φ ;j ). (1.36) Ako uvedemo oznaku iz (1.36) sledi g ij φ ;j = φ ;i, (1.37) φ = div(φ ;i ) = 1 g (φ ;i g),i = 1 g (g ij φ,j g),i, (1.38) gde smo uzeli u obzir da je φ ;j = φ,j = φ/ x j. Obrascu za Laplasijan se moжe dati i drugi oblik, polaze i od definicije divergencije, tj. ako najpre nađemo kovarijantni izvod kontravarijantnih koordinata gradijenta i izvrximo kontrakciju. Dakle, 3 P.S.Laplas, ( ), franquski matematiqar

24 24 1. Rimanovi prostori prema (1.26), uzimaju i u obzir da je g ij kovarijantno konstantan, bi e na osnovu (1.26) i (1.37) φ = div(φ ;i ) = (φ ;i ) ;i = (g ij φ ;j ) ;i = g ij (φ ji Γ p ji φ ;p), tj. φ = g ij ( 2 φ x i x j φ x p Γp ji ) gij (φ,ij + Γ p ij φ,p ). (1.39) Definicija Jednaqina φ = 0 zove se Laplasova difererencijalna jednaqina, a skalarna funkcija φ je, u tom sluqaju, harmonijska funkcija. Pojam Laplasovog operatora se moжe proxiriti i na proizvoljne tenzore, a analogno prethodnoj definiciji, moжemo da definixemo harmonijske vektore i tenzore. Primer 1.1 Na primeru u ij ik samo slobodni indeksi j, k. Rexenje: pa za l = i: pokazati da na kovarijantni izvod utiqu u ij lk;m = uij lk,m + Γi pmu pj lk + Γj pmu ip lk Γp lm uij pk Γp km uij lp, u ij ik;m = uij ik,m + Γi pmu pj ik + Γj pmu ip ik Γp im uij pk Γp km uij ip, Ako u 4. sabirku na desnoj strani smenimo neme indekse p i, vidimo da se on ponixtava sa 2. sabirkom, pa u rezultatu utiqu indeksi j, k. Primer 1.2 Dat je vektor (u i ) = (θ, ρ), u odnosu na polarne koordinate u E 2. a) Na i taj vektor u Dekartovim pravouglim koordinatama u E 2. b) Na i njegov kovarijantni izvod u Dekartovim koordinatama. v) Na i kovarijantni izvod toga vektora u polarnim koordinatama direktno. g) Na i kovarijantni izvod datog vektora u polarnim koordinatama, koriste i vrednost pod b).

25 1.4. Kovarijatni izvod tenzora 25 Rexenje: Obeleжimo x 1 = ρ, x 2 = θ, x 1 = x, x 2 = y. Tada je u 1 = θ, u 2 = ρ, u i = x i i u i. a) u 1 = x 1 1 u 1 + x 1 2 u 2 = x ρ u 1 + x θ u 2 = cos θ θ + ( ρ sin θ)( ρ), u 2 = x 2 1 u 1 + x 2 2 u 2 = x ρ u 1 + x θ u 2 = sin θ θ + ρ cos θ)( ρ), tj. (u 1, u 2 ) = (θ cos θ + (ρ) 2 sin θ, θ sin θ (ρ) 2 cos θ). (1.40) Ako ρ, θ izrazimo preko x, y, ima emo ( (u 1, u 2 ) = arctg y x x (x)2 + (y) + 2 ((x)2 + (y) 2 y ) (x)2 + (y), 2 arctg y x y (x)2 + (y) 2 ((x)2 + (y) 2 x ) ). (x)2 + (y) 2 (1.41) b) Kako su x i Dekartove pravougle koordinate, Kristofelovi simboli su jednaki 0, pa je kovarijantni izvod obiqan parcijalni izvod: u 1 ;1 = u1 x i x i x 1 = u1 x 1 x 1 x 1 + u1 x 2 x 2 x 1 = u1 ρ ρ x + u1 θ θ x = (21) x 2ρ sin θ (x)2 + (y) + (cos θ θ sin θ + y 2 (ρ)2 cos θ) (x)2 + (y) 2 tj. u 1 ;1 = 1 ρ [sin θ cos θ((ρ)2 1) + θ sin 2 θ]. (1.42) Na isti naqin nalazimo ostale vrednosti u i ;j. v) U polarnim koordinatama je u 1 = θ, u 2 = ρ, Γ 1 22 = ρ, Γ 2 12 = 1, a ρ ostali Γ i jk su jednaki 0. Kovarijantni izvodi su u 1 ;1 =u 1,1 + Γ 1 p1u p = u1 x 1 + Γ1 11u 1 + Γ 1 21u 2 = θ ρ = 0, u 1 ;2 =u 1,2 + Γ 1 12u 1 + Γ 1 22u 2 = θ θ ( ρ)( ρ) = 1 + (ρ)2, u 2 ;1 =u 2,1 + Γ 2 11u 1 + Γ 2 21u 2 = 2, u 2 ;2 = θ/ρ. Dakle, u polarnim koordinatama je ( (ρ) (u i ) = (θ, ρ) (u i 2 ;k) = 2 θ/ρ ). (1.43) g) Ako su x i Dekartove pravougle koordinate, a x i polarne u E 2, u i ;j emo na i koriste i u i ;j i zakon transformacije tenzora

26 26 1. Rimanovi prostori u 1 1 =x1 i x j 1 u i ;j = x 1 1 x 1 1 u1 ;1 + x 1 2 x 2 1 u2 ;2 + x 1 2 x 1 1 u2 ;1 + x 1 1 x 2 1 u1 ;2 =x ρ ρ x u 1 ;1 + x θ θ x u 1 ;1 + x θ ρ x u 2 ;1 + x ρ θ x u 1 ;2. Koriste i (1.43) i veze između jednih i drugih koordinata, sledi u 1 ;1 = cos θ x y 0 + ( ρ sin θ) (x)2 + (y) 2 (x)2 + (y) θ 2 ρ 2x +( ρ sin θ) (x)2 + (y) + cos θ y 2 (x) 2 + (y) (1 + 2 (ρ)2 ) = 1 ρ [sin θ cos θ((ρ)2 1) + θ sin 2 θ], tj. dobija se (1.42). Na isti naqin moжemo na i i ostale vrednosti u i ;j. Primer 1.3 Za hiperpovrxi u R N x i = c 1 = const., x j = c 2 = const., na i a) 1 (x i, x j ), b) (x i ) 2, v) cos θ ij, gde je θ ij ugao pod kojim se ove hiperpovrxi seku u nekoj taqki. Rexenje: a) Prema (1.43) je 1 (x i, x j ) = x i x j = g pq x i,px i,q = g pq δpδ i q j = g ij b) ( x i ) 2 = 1 x i = g ii v) Ugao između hiperpovrxi je ugao između njihovih normala, pa cos θ ij = x i x j ( xi ) 2 ( x j ) 2 = g ij g ii g jj. Dakle, uslov ortogonalnosti hiperpovrxi je g ij = 0.

27 1.5. Definicija Rimanovog prostora Definicija Rimanovog prostora Definiximo prvo pojam diferencijabilne mnogostrukosti. Da bismo precizno i savremeno definisali pojam diferencijabilne mnogostrukosti potrebni su nam određeni pojmovi i qinjenice iz topologije. Zato imamo: Definicija Neka je X neprazan skup. Familija τ = (U α α A) podskupova skupa X je topologija na X, ako su zadovoljeni slede i uslovi: τ, X τ unija elemenata proizvoljne podfamilije iz τ je iz τ presek konaqnog broja elemenata iz τ je elemenat iz τ Skup X zajedno sa topologijom na njemu je topoloxki prostor, koji obeleжavamo sa (X, τ) X. Definicija Topoloxki prostor X je Hauzdorfov prostor, ako za svaki par taqaka x, y X, x y postoje okoline U, V, x U, y V takve da vaжi U V =. Definicija Preslikavanje f : X Y je homeomorfizam ako je bijektivno i ako su f : X Y i f 1 : Y X neprekidna prelikavanja. Definicija Neka je U p okolina taqke p, gde je U p M N i M N je N dimenzionalni Hauzdorfov prostor. Neka je dat homeomorfizam φ skupa U p na otvoren skup u E N, gde je E N euklidski prostor. Tada se par (U p, φ) zove lokalni kooordinatni sistem ili lokalna karta. Skup A svih lokalni karata, A = {(U α, φ α ) α A U α = M N } je (topoloxki) atlas na M N. Okoline U α se zovu koordinatne okoline, a homeomorfizmi φ α su koordinatni homeomorfizmi. Elementi skupa X su taqke, a elementi familije τ su otvoreni podskupovi u X. Neka je M N proizvoljan skup, qiji su elementi taqke. Neka za svaku taqku R M N postoji podskup U R, tako da je R U R M N, koji se po zakonu φ preslikava uzajamno jednoznaqno i neprekidno na otvoren podskup Euklidovog prostora E N. Tada je φ(r) = x = (x 1, x 2,..., x N ) E N (1.44)

28 28 1. Rimanovi prostori U ovom sluqaju x i su koordinate taqke R i oznaqavamo R(x 1, x 2,..., x N ) = R(x). Pretpostavimo da se na ovaj naqin M N moжe prekriti okolinama i ako je (U R, φ ) drugi lokalni koordinatni sistem za istu taqku R, tj. R U R U R, bi e x i druge lokalne koordinate za taqku R, pri qemu pretpostavljamo da u E N postoji preslikavanje takvo da je λ : φ(u R U R) φ (U R U R), (1.45) λ : φ(r) φ (R) tj. λ : (x 1,..., x N ) ((x 1,..., x N ) (1.46) Ovom preslikavanju odovara transformacija lokalnih koordinata x i = x i (x 1,..., x N ).i = 1,..., N. (1.47) Pretpostavimo da je preslikavanje λ uzajamno jednoznaqno i neprekidno. Tada postoji inverzno preslikavanje λ 1 : φ (R) φ(r) pa iz (1.47) sledi x i = x i (x 1,..., x N ), i = 1,..., N. (1.48) Na osnovu svega navedenog moжemo dati definiciju diferencijabilne mnogostrukosti : Definicija Skup M N, zajedno sa skupom (U R, φ) lokalnih koordinatnih sistema, pri qemu funkcije (1.47), (1.48) za tansformaciju lokalnih koordinata imaju neprekidne parcijalne izvode svakoga reda i J = (x1,..., x N ) (x 1,..., x N ) 0, (1.49) zove se diferencijabilna mnogostrukost. Broj N je dimenzija diferencijabilne mnogostrukosti M N. Navedimo sada definiciju Rimanovog prostora: u qijim ta- Definicija Diferencijabilna mnogostrukost R N qkama su zadate funkcije g ij (x 1,..., x N ) = g ji (x 1,..., x N ) (1.50) tako da je duж krive u R N (ds) 2 = gijdx i dx j, (1.51) gde je det(g ij ) g ij = 0, (1.52) zove se Rimanova mnogostrukost ili Rimanov prostor.

29 1.5. Definicija Rimanovog prostora 29 Rimanov prostor je svojstven ako je g ij dx i dx j > 0 u svim taqkama prostora. Za metriku svojstvenog Rimanovog prostora se kaжe da je pozitivno definitna. Sluqaj g ij dx i dx j < 0 se ne razmatra posebno, jer se mnoжenjem sa 1 svodi na prethodni (tada je (ds) 2 = g ij dx i dx j ). Ako moжe biti (ds) 2 = g ij dx i dx j 0, (ds) 2 = g ij dx i dx j 0, prostor se zove pseudorimanov prostor, a za njegovu metriku se kaжe da je nedefinitna. Pseudoeuklidski prostor je specijalan sluqaj pseudorimanovog prostora, xto je u vezi sa Teorijom relativnosti (na ovu problematiku emo se osvrnuti u daljem izlaganju). Ako nije naglaxeno drugaqije, pod Rimanovim prostorom emo u daljem izlaganju podrazumevati svojstven Rimanov prostor. Teorija Rimanovog prostora je Rimanova geometrija (u xirem smislu, jer se ponekad i takozvana eliptiqna geometrija u ravni zove Rimanova geometrija). Osnove Rimanove geometrije je postavio jox nemaqki matematiqar B. Riman u svom radu O pretpostavkama, koje leжe u osnovama geometrije, gde su izloжene samo ideje (skoro samo tekst, bez obrazaca). Dalje su Rimanovu geometriju razvili drugi matematiqari, posebno Riqi koji je krajem XIX veka prvi uveo dva zakona transformacije i oznake sa gornjim i donjim indeksima, zbog qega se tenzorski raqun qesto zove i Ricci-calculus. Ovu teoriju dalje razvija Ajnxtajn u vezi sa teorijom relativnosti. Naime, Ajnxtajn je godine izloжio svoju specijalnu teoriju relativnosti, u kojoj se prostor i vreme posmatraju kao jedinstven prostorno-vremenski kontinuum, tj. kao 4-dimenzioni pseudoeuklidski prostor u kome je I kvadratna forma (ds) 2 = (dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 + (dx 3 ) 2 (cdt) 2, (1.53) gde su x i prostorne koordinate, c-brzina svetlosti, t-vreme. Pseudoeuklidski prostor sa I kvadratnom formom (1.53) zove se prostor Minkovskog. Ajnxtajn je godine objavio svoju Opxtu teoriju relativnosti, u kojoj se kao prostor u kome se odvijaju fiziqke pojave uzima opet jedinstveni prostorno-vremenski kontinuum, u kome je metrika određena sa (ds) 2 = g ij dx i dx j, g ij (x) = g ji (x), i, j = 1, 2, 3, 4, (1.54) pri qemu sada g ij nisu konstante kao u (1.53), ve zavise od rasporeda masa u prostoru. Dakle, sa matematiqke taqke gledixta, prostor

30 30 1. Rimanovi prostori Opxte teorije relativnosti je Rimanov prostor R 4. Taqka (x 1, x 2, x 3, x 4 ) u Opxtoj teoriji relativnosti se zove događaj, jer je sa prve tri koordinate određeno mesto, a qetvrtom vreme. Napomenimo jox i da je Ajnxtajn prvi godine uveo termin tenzor. Matematiqki aparat Opxte teorije relativnosti je tenzorski raqun. Osim toga, danas se u diferencijalnoj geometriji, mehanici i tehnici koristi tenzorski raqun, pa se mnoge teoreme ovih disciplina izraжavaju u tenzorskom obliku, odnosno pojedine veliqine su tenzori. 1.6 Afina koneksija i kovarijantni izvod Definicija Neka je X (M) Liova algebra diferencijabilnih vektorskih polja na DM N. Afina koneksija na DM N je svako preslikavanje : X (M) X (M) X (M) (1.55) koje paru diiferencijabilnih vektorskih polja X, Y X (M) dodeljuje diferencijabilno vektorsko polje Y X, tj : pri qemu vaжe osobine a) Y (X 1 + X 2 ) = Y X 1 + Y X 2, b) Y (fx) = (Y f) X + f Y X, v) Y1 +Y 2 X = Y1 X + Y2 X, g) fy X = f Y X, : (X, Y ) Y X X (M), (1.56) (1.57) gde je f F(M), X, Y, X 1, X 2, Y 1, Y 2 X (M). Vektorsko polje Y X se zove kovarijantni izvod polja X u pravcu polja Y. Ako je X X (M), f F(M), pod Y f podrazumevamo funkciju Y f = Y f = (Y i i f )f = Y F(M), (1.58) xi xi a to je izvod u pravcu u klasiqnom smislu. Specijalno je Za c R imamo, na osnovu (1.59) i i f = i f = f x i. (1.59) Y c = Y c = Y i c = 0. (1.60) xi

31 1.6. Afina koneksija i kovarijantni izvod 31 Posledica 1.4 Na osnovu osobine v) i g) iz definicije vidimo da je F(M)- linearno po drugom argumentu Y, a zbog druge po prvom argumentu X nije F(M)-linearno i zato nije tenzorsko polje. Druga osobina zbog(1.59) izraжava osobinu diferenciranja. Ako je f = c R, onda se zbog (1.60) druga osobina svodi na Y (cx) = c Y X, pa je, R-linearno po oba argumenta. Definicija Diferencijalna mnogostrukost DM N, na kojoj je uvedena afina koneksija, zove se prostor afine koneksije, a oznaqavamo ga sa L N = (DM N, ). Uzmimo sad kartu (U, φ) na L N sa lokalnim koordinatima x i. Tada u bazi za F(U) moжemo razloжiti vektor k j : Primenom (1.61) na funkcije x i sledi: tj, k j = L p jk p. (1.61) ( k j )(x i ) = L p x i jk x = p Lp jk δi p = L p jk, L i jk = ( k j )(x i ) F(M). (1.62) Kako afina koneksija nije tenzor na osnovu (1.4) ispitajmo zakon transormacije komponenata L i jk afine koneksije. Teorema Ako se u L N sa koordinatama x i u lokajnoj karti (U, φ) pređe na koordinate x i u lokajnoj karti (U, φ ), onda u taqkama U U vaжi veza: kao i inverzna veza gde je, na primer, L i j k = xi i x j j x k k Li jk + x i i x i j k, (1.63) L i jk = x i i xj j xk k L i j k + xi i xi jk (1.64) x i i Dokaz: Na osnovu (1.61) je = xi x i, xi j k = 2 x i x j x k (1.65) a) k j = L i jk i b) k j = L i j k i, (1.66) gde je a) j = x j, b) j = x j = x j x j x j = x j j j, (1.67)

32 32 1. Rimanovi prostori odakle vidimo da za svako vektorsko polje j vaжi kovarijatni zakon transformacije. Ako u (1.66b) izvrximo smenu prema (1.67b)i primenimo (1.57) i (1.61) bi e L i j k i = k j = x k k k (xj j j ) = x k k k (x j j j ) (1.68) Kako je X j j F(U U ) to na osnovu druge osobine afine koneksije imamo k (x j j j ) = k (x j j ) j + x j j k j = x ( xj ) k j + x j x j j L i jk i uzimaju i u obzir da je k = xm x k xm x k, to je k (x j j j ) = xm ( xj ) x k j + x j x m x j j L i jk i, pa smenom u (1.68): L i j k i = xk k [xm k x j j m j + x j j L i jk i ] = δ m k xj j m j + x k k Li jkx j j i jer je x k k xm k = x m k = δm k. = x j j k j x j j x k k Li jk i Ako izvrximo izmenu nemih indeksa u prvom sabirku: j i zamenimo i = x i i i, pretodna jednaqina postaje L i j k i = (x i i x i j k + xi i x j j x k k Li jk) i = (1.63). Na osnovu (1.63) vidimo da komponente koneksije u opxtem sluqaju ne određuju tenzor. Da bi (1.63) bio tenzorski zakon transformacije, potrebno je i dovoljno da vaжi x i j k = 0 ako i samo ako xi = a i j + xj b i (a i j,bi, konstante). L i jk se transformixe kao tenzor samo u sluqaju linearne transformacije koordinata. Iz (1.63) vrxe i kompoziciju sa x l i sledi Kako je X i i x l i = xl i = δ l i, imamo odakle zamenom (l i) L i j k = xi i x j j x k k xl l Li jk + x i i x l l xj j k. L i j k xl i = xj j x k k Ll jk + x j j k, Na taj naqin dobijamo x i j k = xi i Li j k xj j x k k Li jk x i jk = x i i L i jk x j j xk k L i j k. (1.69)

33 1.6. Afina koneksija i kovarijantni izvod Kovarijantni izvod vektorskog i skalarnog polja u pravcu Vixe o kovarijantnom izvodu na mnogostrukostima moжe se na i u [2]. U definiciji (1.18.) smo Y X nazvali kovarijantnim izvodom vektorskog polja X po polju Y. Slede a teorema izraжava kovarijantni izvod, kada su polja zadata u koordinatama. Teorema Neka je na DM N zadata afina koneksija. Ako je u lokalnim koordinatama X = X i i, Y = Y j j, onda je specijalno Y X = ( X i x j + Li pjx p ) Y j i (1.70) j X = ( X i x j + Li pjx p) i (1.71) Dokaz: Imamo na osnovu osobina afine koneksije : Y X = Y i j (X i i ) = Y j j (X i i ) = Y j [( j X i ) i + X i j i ] = Y j( X i x j i + X i L p ij p.) (1.72) Ako u drugom sabirku u zagradi zamenimo neme indekse (i p), dobijamo (1.70), a za Y i = 1 sledi (1.71). Definicija Funkcije ( X i x j + Li pj X p) Y i ( Y X) i (1.73) se zovu komponente kovarijantnog izvoda vektorskog polja X = X i i u pravcu vektorskog polja Y = Y i j, a funkcije u zagradi na levoj strani su komponente kovarijantnog izvoda polja x po x j. Komponente kovarijantnog izvoda vektorskog polja qesto zovemo kovarijantni izvod vektora i, ako se radi o kovarijantnom izvodu po x j, pisa emo gde je X i,j = Xi x j = j X i. X i ;j j X i = X i,j + L i pjx p, (1.74)

34 34 1. Rimanovi prostori Parcijalni izvod obeleжavamo zapetom dok kovarijantni taqkom i zapetom. Na osnovu (1.74) jednaqine (1.70) i (1.71) moжemo napisati u obliku Y X = X i ;jy j i, j X = X i ;j i (1.75) Definicija Vektorsko polje dx i X = ( Xi + dt Li dxk jkxj ) dt i se zove apsolutni izvod vektorskog polja X = X i i po parametru t, a izraz u za- dt gradi predstavlja komponente apsolutnog izvoda po parametru, xto se oznaqava sa DX i /dt, tj DX i dt = dxi dt + L i jkx j dxk dt. (1.76) Dokaжimo sada teoremu o zakonu transformacije za X i ;j. Teorema Komponente X i ;j (1.74) kovarijantnog izvoda po x j vektorskog polja X = X i i se pri transformaciji lokalnih koordinata transformixu po tenzorskom zakonu t i 1...i r j 1...j r = xi 1 x i 1 xi r x j 1 x i r x j r xj s t i 1...i r x j j s 1...j s odnosno gde je X i ;j = xi i x j j X i ;j (1.77) x i i = x i / x i, x j j = x j / x j (1.78) Dokaz: Pođimo od zakona transformacije za X i a) x i pa diferenciramo ovu jednaqinu po x j = xi, b) x i Xi = xi xi x i Xi i dobijamo X i,j xi x j = x i i,j Xi + x i i X i,j

35 1.6. Afina koneksija i kovarijantni izvod 35 Na osnovu a) je x i i,j = x j (x i i ) = xj x j X i,j = pa primenom ovih veza sledi a na osnovu (1.69) imamo odakle x j (xi i ) = x i ijx j j x j X i = X i,jx j j X i,j = xi ijx j j X i + x i i X i,jx j j, X,j i = (xi p L p ij xk i x l j L i k l )xj j X i + x i i x j j X,j, i X i,j + x k i x l j x j j X i L i k l = xi p x j j L p ij Xp + x i i x j j X i,j kako je x k i x l j x j j X i = (x l j x j j )(x k i X i ) = δ l j Xk, smenom indeksa i p u prvom sabirku na desnoj strani prethodne jednaqine, ona postaje X i,j + δl j Xk L i k l = xi i x j j (X i,j + L i pjx p ). Poxto je δ l j Xk L i k l = Xk L i k l = Li p j Xp, to na osnovu (1.74) sledi (1.77). Dokaza emo sada jox jedno tvrđenje koje pokazuje da se parcijalni izvodi skalarne funkcije transformixu po kovarijantnom zakonu: Teorema Posmatrajmo realnu funkciju f F(M), gde je u lokalnim kartama (U, φ) i (U, φ ) na DM N f(x 1,..., x N ) = f(x 1,..., x N ). (1.79) Ako oznaqimo f x i = f,i bi e f,i = x i i f,i. (1.80) Dokaz: Na osnovu smene koordinata x i = x i (x 1,..., x N ), jednaqina (1.79) postaje odakle f(x 1,..., x N ) = f(x 1 (x 1,..., x N ),..., x N (x 1,..., x N )), f,i = f x i = f x i x i x i = (1.80)

36 36 1. Rimanovi prostori Pokazali smo da se parcijalni izvodi komponenata vektorskog polja ne transformixu po tenzorskom zakonu u opxtem sluqaju, a da taj zakon vaжi za komponente kovarijantnog izvoda. I u sluqaju f,i se radi o komponentama kovarijantnog izvoda jer prema (1.58) imamo i f = x i f = f ;i = f,i (1.81) i f = x i i i f. Specijalno, za konstantu c jednaqina (1.81) daje i c = c ;i = Kovarijantni izvod kovektorskog polja u pravcu U prethodnom delu smo posmatrali kovarijatni izvod vektora i skalarne funkcije. Sada emo pre i na kovarijatni izvod kovektora. Dokaжimo najpre jednu pomo nu lemu. Lema 1.1 Neka su X, Y diferencijabilna vektorska polja, ω diferencijabilno kovektorsko polje na DM N, tj. X, Y X (M), ω X (M). Ako je ( Y ω)(x) = Y (ω(x)) ω( Y X), (1.82) tada je Y ω X (M). Dokaz: Жelimo pokazati da je ( Y ω)(x) F(M) i da je Y ω F(M)- linearno preslikavanje po X? Za prvi sabirak na desnoj strani imamo ω X (M) X X (M) = ω(x) = f F(M) = Y (ω(x)) = Y f = Y f F(M) Za drugi sabirak na desnoj strani imamo Y X = Z X (M) = ω( Y X) = ω(z) F(M) Dakle dobijamo da je ( Y ω(x)) F(M).

37 1.6. Afina koneksija i kovarijantni izvod 37 Ostaje nam da pokaжemo jox F(M)-linearnost: Na osnovu (1.82) dobijamo a) Y (ω(x))(x 1 + X 2 ) = Y (ω(x 1 + X 2 )) ω( Y (X 1 + X 2 )) = Y (ω(x 1 )) + Y (ω(x 2 )) ω( Y f X + f Y X) = ( Y ω)(x 1 ) + ( Y ω(x 2 )), b) ( Y ω)(fx) = ( ω(fx)) ω( Y (fx)) = Y (f ω(x)) ω( Y (fx)) = Y f ω(x) + f Y ω(x) ω( Y f X + f Y X) = Y f ω(x) + f Y ω(x) Y f ω(x) f ω( Y X) = f [( Y ω)(x)], gde smo uzeli u obzir da je ω(x) = g F(M). Definicija Kovarijantni izvod kovektorskog polja (kovarijantnog vektora, 1-forme) ω po vektorskom polju (u pravcu vektora) Y je kovektorsko polje Y ω, qije se dejstvo na vektorskom polju X određuje jednaqinom (1.82). Slede a lema nam omogu ava da vidimo kako se kovarijatni izvod kovektora iraжava u koordinatama. Teorema Za X = X i i, Y = Y j j, ω = ω k dx k je ( Y ω)(x) = X i Y j ω i;j, ) (1.83) gde je ω i;j j ω i = ω i,j L p ij ω p, (ω i,j = ω i / x j ) (1.84) Definicija Funkcije ( y ω ) ( ω i i x j Lp ij ω ) p Y j = ω i;j Y j (1.85) se zovu komponente (koordinate) kovarijantnog izvoda kovektorskog polja ω = ω i dx i u pravcu vektorskog polja Y = Y j j, a funkcije (1.84) su komponente kovarijantnog izvoda kovektorskog polja ω po x j. Koriste i komponente (1.85) i (1.84) i bazu (dx i ) za kovektorska polja, moжemo pisati a) Y ω = ω i;j Y j dx i b) j ω = ω i;j dx i (1.86)

38 38 1. Rimanovi prostori Kovarijantni izvod tenzorskog polja u pravcu Dokaza emo najpre jednu vaжnu lemu da bismo mogli da pređemo na kovarijantni izvod proizvoljnog tenzorskog polja. Lema 1.2 U L N vaжi j dx i = Li pjdx p (1.87) Dokaz: Za ω = dx i, X = X j j, Y = k iz (3.6) imamo a odavde kako je ( j dx i )(X) = j (dx i (X)) dx i ( j X) a prema (1.75) j X = X p ;j p, to dobijamo dx i (X) = dx i (X j j ) = X j δ i j = X i, (1.88) ( j dx i )(X) = j X i dx i (X p ;j p) = X i,j X p ;j δi p = X i,j X i ;j = X i,j (X i,j + L i pjx p ) = L i pjx p. sa druge strane primenom (1.88) L i pjdx p (X) = L i pjx p, xto upoređivanjem sa prethodnom jednaqinom daje ( j dx i )(X) = L i pjdx p (X). Kako je X X (L N ) proizvoljno, to sledi (1.87). Definicija Kovrijantni izvod tenzorsko polja t r D r s s(l N ) u pravcu vektorskog polja (po vektorskom polju) Y X (L N ) je tenzorsko polje istog tipa Y ts Ds(L r N ), qije se dejstvo na skup odgovaraju ih argumenata r određuje jednaqinom r ( Y ts )(ω 1,..., ω r ; X 1,..., X s ) = Y [ t r (ω 1,..., ω r ; X 1,..., X s )] s r t r (ω 1,..., ω i 1, Y ω i, ω i+1,..., ω r ; X 1,..., X s ) s i=1 r r t(ω 1,..., ω r ; X 1,..., X j 1, Y X j, X j+1,..., X s ). s j=1 (1.89)

39 1.6. Afina koneksija i kovarijantni izvod 39 Kao xto lema (1.2) dokazuje korektnost Definicije 1.22, korektnost prethodne definicije sledi iz slede e leme. Lema 1.3 Ako je r t s D r s(l N ) (skup svih diferencijabilnih tenzorskih polja tipa (r, s), na L N ), tada je i Y r ts D r s(l N ). Dakle ovde imamo preslikavanja : y : D r s(l N ) D r s(l N ) (1.90) Y r ts : (X (L N )) r (X (L N )) s F(L N ) (1.91) Da bismo utvrdili kako se Y r ts izraжava preko komponenata, posmatajmo sluqaj Y 2 t2. 2 Primer 1.4 Izraziti preko koordinata Y t2. Rexenje: Prema (1.89) imamo 2 ( Y t2 )(ω 1, ω 2 ; X 1, X 2 ) = Y [ 2 t(ω 1, ω 2 ; X 1, X 2 )] 2 t( Y ω 1, ω 2 ; X 1, X 2 ) t(ω 1, Y ω 2 ; X 1, X 2 ) 2 t(ω 1, ω 2 ; Y X 1, X 2 ) t(ω 1, ω 2 ; X 1, Y X 2 ) 2 Da bismo dobili komponente za Y 2 t2 treba argumente ω 1, ω 2 ; X 1, X 2 smeniti kovektorima i vektorima baza, tj. ω 1 = dx i, ω 2 = dx j, X 1 = k, X 2 = l, Y = Y m m Primenom (1.61) i (1.87) dobija se 2 ( Y m mt2 )(dx i, dx j ; k, l ) = Y m { m [ 2 t(dx i, dx j ; k, l )] 2 2 t( m dx i, dx j ; k, l ) 2 t(dx i, m dx j ; k, l ) t 2 (dx i, dx j ; m k, l ) 2 t 2 (dx i, dx j ; k, m l )} = Y m { x m tij kl 2 t 2 ( L i pmdx p, dx j, k, l ) 2 t 2 (dx i, L j pmdx p, k, l ) (1.92) 2 t 2 (dx i, dx j ; L p km p, l ) 2 t 2 (dx i, dx j ; k, L p lm p)} = t ij kl,m + Li pmt pj kl + Li pmt ip kl Lp km tij pl Lp lm tij kp Y m t ij kl;m Y m.

40 40 1. Rimanovi prostori Odakle imamo Y 2 t2 = t ij kl;m Y m i j dx k dx l, gde je t ij kl;m Na isti naqin, za dato u (1.92), odnosno t ij kl;m = m 2 t2 (dx i, dx j ; k, l ). ω 1 = dx i 1,..., ω r = dx i r ; X 1 = j1,..., X s = js, Y = Y m m iz (1.89) se dobija gde je Y r ts = t i 1,...,i r j 1,...,j s;m Y m i1 ir dx j 1 dx js, (1.93) t i 1,...,i r j 1,...,j s ;m = ti 1,...,i r j 1,...,j s,m + r a=1 L i a pm t i 1,...,i a 1 p i a+1...i r = ( m t s r )(dx i 1,..., dx i r ; j1,..., js ). s b=1 L p jbm ti 1,...,i r j 1,...,j b 1 pj b+1...j s (1.94) Na osnovu izloжenog, vaжi Teorema Kovarijantni izvod Y r ts tenzorskog polja r t s, tipa (r, s), je tenzorsko polje istog tipa, qije je dejstvo na skupu argumenata ω 1,..., ω r ; X 1,..., X s određenom jednaqinom (1.89) a u bazama (dx j ), ( i ) je dato x i jednaqinom (1.93) Kovarijantni izvod (diferencijal) tenzorskog polja Na osnovu kovarijantnog izvoda u pravcu moжemo definisati kovarijantni izvod ili kovarijantni diferencijal r t s D r s+1 koji definixemo jednaqinom ( r t s )(ω 1,..., ω r ; X 1,..., X s, Y ) = ( Y r ts )(ω 1,..., ω r ; X 1,..., X s ). (1.95) Dakle, ovde imamo preslikavanje : D r s(l N ) D r s+1(l N ), (1.96)