Microsoft Word - O nekim klasicnim kvadratnim Diofantovim jednacinama.docx

Величина: px
Почињати приказ од странице:

Download "Microsoft Word - O nekim klasicnim kvadratnim Diofantovim jednacinama.docx"

Транскрипт

1 Универзитет у Београду Математички факултет О неким класичним квадратним Диофантовим једначинама Мастер рад ментор: Марко Радовановић студент: Ивана Фируловић Београд, 2017.

2 Садржај Увод Линеарне и нелинеарне Диофантове једначине Питагорине тројке и велика Фермаова теорема Пелова једначина Теорема Хасе Минковски...30 Литература

3 Увод Диофантов допринос развоју математике, а пре свега аритметике, је веома значајан и због тога је назван оцем аритметике. Диофантове једначине су значајне јер обједињују готово све садржаје теорије бројева (дељивост бројева, прости бројеви, конгруенција...), теорије једначина, полинома, неједнакости, математичке логике... Истраживање квадратних Диофантових једначина развило је многе методе за њихово решавање а неке од њих су: метод минималних решења, Диофантове апроксимације, квадратни остаци, алгебарска раширења. Ове методе биће приказане кроз примере у даљем делу рада. У овом раду биће речи о Питагориним тројкама. Познато је да су Питагорину теорему, која има значајне везе са Питагориним тројкама у својим грађевинским подвизима поред Египћана користиле и цивилизације у Вавилону, Кини, Индији и Мексику. Први теоријски и логички утемељен доказ Питагорине теореме потиче још од Еуклида. Историја решења Питагорине једначине познатих као Питагорине тројке (,,, нераздвојива је од историје Питагорине теореме и има такође дугу прошлост. Питагорина тројка 3,4,5 је била позната свим древним културама. На пример, баш та тројка је записана у кинеским документима старим преко три хиљаде година. Древне цивилизације су знале и за друге Питагорине тројке, о чему сведоче глинене плочице исписане клинастим писмом. Иако многи историчари математике, данас општеприхваћену формулу, која генерише све Питагорине тројке: 2,,, приписују Диофанту, та формула је вероватно Еуклидово дело, бар у смислу првог писаног трага. Диофант се једноставно тим формулама веома често користио, а вероватно је и први који је успео да изведе и формалан доказ тог тврђења. Међу Диофантовим једначинама за које постоји алгоритам за њихово решавање истиче се једначина облика 1, где није потпун квадрат. У математичкој литератури ова једначина је позната као Пелова једначина. Савремени историчари математике Ојлера оптужују да је неправедно ову једначину назвао Пеловом. Наиме, Ојлер је читајући Валисову Алгебру из године, очигледно направио грешку и због приличног Валисовог позивања у књизи на Пела и цитирање његових радова, разумео да су Валис и Броункер у својим радовима о једначини 1, користили неке Пелове резултате. Међутим, том једначином су се интезивно бавили Диофант, Архимед, Баскара, Лагранж, 2

4 Ојлер, Гаус. У ресветљавању алгоритма за решавање Пелове једначине могуће је више приступа, али су најуобичајнија два: геометријски и алгебарски. Писаћу и о једној од најпознатијих теорема у историји математике а то је велика Фермаова теорема. Проблем који је поставио Ферма је такозвана велика Фермаова теорема која тврди да је једначина немогућа за целе позитивне вредности,,, ако је природан број 2. Доказ за 3 извео је Ојлер, али је протекло преко сто година када је Гаус доказао теоријске основе које је у свом доказу неосновано користио Ојлер. Доказ за 5 је године објавио Дирихле, али је он био веома сложен године овај доказ је значајно упростио Племељ. Доказ за 7 извео је Ламе, али је тај доказ касније прилично усавршио Лебег. На крају 20. века, цео свет је признао, да је 360 година после свог настанка велика Фермаова теорема, која је у суштини све то време била хипотеза, постала доказана теорема. Ендру Вајлс (Andrew Wiles) је доказао велику Фермаову теорему и ушао у историју. Велики немачки математичар Хилберт је године на међународном математичком конгресу у Паризу формулисао 23 проблема чије је решавање значајно допринело развоју математичких наука у прошлом веку. Од велике важности за овај рад је 10. Хилбертов проблем проблем решивости Диофантових једначина: За дату Диофантову једначину са било којим бројем непознатих величина и са целобројним коефицијентима измислити поступак којим се може одлучити да ли та једначина има или нема целобројних решења. Другим речима Хилберт се питао да ли постоји општи алгоритам помоћу којег се за Диофантову једначину одређене класе може рећи да ли она има целобројних решења. Теоријске основе за решавање 10. Хилбертовог проблема у време његове формулације су биле оскудне. Међутим Гедел, Черч, а касније педесетих и шездесетих година Робинсон, Дејвис и Патнам су својим радовима припремили 10. Хилбертов проблем за решење, да би га руски математичар Јуриј Матијашевич године дефинитивно негативно решио. Наиме, он је доказао да поступак за кога се Хилберт интересује у својим проблемима, не постоји. Негативан одговор на 10. Хилбертов проблем указује да је решавање Диофантових једначина прилично креативан посао који може значајно утицати на интелектуални и научни развој људи. 3

5 Глава 1 Линеарне и нелинеарне Диофантове једначине Основна питања која се постављају везана за сваку Диофантову једначину је наћи решења дате једначине, доказати или отповргнути егзистенцију решења. Када говоримо о линеарној Диофантовој једначини са две променљиве, одговори на ова питања налазе се у наредним примерима и теоремама. Често одговори на задата питања могу бити тешки, што захтева препознавање одговарајућег метода за решавање датог проблема. У овом поглављу биће изложене најчешће методе за решавање Диофантових једначина. Линеарне Диофантове једначине Теорема 1. Линеарна Диофантова једначина има решења ако и само ако, где је,. У том случају је опште решење једначине облика,, где се решење (, једначине може добити Еуклидовим алгоритмом. Специјално, ако су бројеви и узајамно прости, тј. ако је, 1, онда је сваки цео број дељив са па једначина сигурно има решења. Доказ: Ако је (, једно целобројно решење линеарне Диофантове једначине облика, тада је. Постоје узајамно прости бројеви и такви да је и, што значи да је, односно. Лева страна једнакости је дељива са, па мора бити и десна страна, тј.. Обрнуто, нека је, тада постоји цео број такав да је. Како се број може представити као линеарна комбинација од и, то је,. Тада је, па је онда,, једно решење дате једначине. 4

6 Дакле, ако, тада једначина има решење, где је пар (, решење једначине. Међутим, у том случају једначина има бесконачно много решења. Претпоставимо да је, произвољно решење једначине. Онда је. Са друге стране је. Према томе имамо да је одакле је Како је,, то је, 1, па,., одакле је,,. Из следи да уређени пар, за произвољно задовољава дату једначину. Пример 1. Решити једначину Решење: Дата једначина има решење, јер је 155, 95 5, а Према томе једначина се дељењем са 5 може упростити, тако да се добије Како је 31, 19 1, то постоје цели бројеви и такви да је Бројеви и се одређују Еуклидовим алгоритмом:

7 Сада је Дакле, 8 и 13. Како је , то је , па је Даље добијамо да је и Према томе, опште решење дате једначине је дато формулом : , ( је цео број). Пример 2. Решити једначину Решење: Дата једначина има решења јер је 27, 59 1 и Како је 1, то постоје цели бројеви и такви да је Бројеви и се одређују Еуклидовим алгоритмом: Сада је Дакле, 24 и 11. Знамо да је. Даље имамо , па је решење

8 Пример 3. Доказати да Диофантова једначина нема решења у скупу целих бројева. Решење: Како је 28, и како 14 није делитељ броја 39, дата Диофантова једначина нема решења у скупу целих бројева. Нелинеарне Диофантове једначине Познато је да не постоји општи поступак'' за решавање Диофантових једначина, али зато постоје методе којима се могу решавати неке специјалне класе ових једначина. У даљем делу рада видећемо неке од тих метода који су корисни за решавање квадратних Диофантових једначина. Метод производа Ако су (,,,,,, цели алгебарски изрази, тада је једначина (,,...,, а, за неки цео број а, еквивалентна дисјункцији система једначина: (,,...,, или,,...,, или... при чему је а представљено на све могуће начине као производ целих бројева. Пример 4. Решити у скупу природних бројева једначину 31. Решење: Пошто је 31 прост број и важи имамо да је 1 и 31 или 31 и 1. 7

9 Решење првог система је 16, 15, док други систем нема решења у скупу природних бројева (што се може закључити и без рачуна јер ако, онда је. Пример 5. Решити једначину у скупу целих бројева. Решење: Како је y 2 3 y , разликујемо следеће случајеве: 1) 3 1, 2 7 2) 3 7, 2 1 3) 3 1, 2 7 4) 3 7, 2 1 Дакле, решења дате једначине су: 2, 9, 4, 3, 4, 5, 10, 1. Пример 6. Одредити све природне бројеве такве да је 2 1 квадрат природног броја. Решење: Ако је 2 1, онда је 1 2. Односно Нека је 2 2 2, где је. Тада је 1 2 и 1 2, па је односно Даље следи да је Јасно је да је 2 2 и 2 1 1, па је 1 и 1. Дакле 2, 1, 3. Према томе имамо да је односно 3. Пример 7. Одредити све просте бројеве тако да је 2 1 седми степен неког природног броја. Решење: Нека је тражени природни број. Према условима задатка је: Како су 1, 2, и 2 једини чиниоци броја 2, то су могући следећи случајеви: 8

10 1) Ако је 1 1, онда је 2, па је , што није могуће, јер је 2 паран, а 127 непаран број. 2) Ако је 1 2, онда је 3, па је Како је 1093 прост број, то је, 3, 1093 једно решење проблема. 3) Ако је 1, онда је 1 3, па је 1 1 3, што значи да у овом случају нема решења. 4) Ако је 1 2, онда је 1 1, па је 0. Претходна једначина нема решења у скупу природних бројева. Метод збира Ако су (,,,,,, цели алгебарски изрази, тада је једначина,,,,, за неки природан број, еквивалентна дисјункцији система једначина:,,...,, или,,...,, или при чему је представљено на све могуће начине као збир потпуних квадрата. Пример 8. У скупу целих бројева решити једначину 2 1. Решење: Како је дата једначина 2 1 еквивалентна са једначином односно Како је збир квадрата два цела броја једнак 0 ако и само ако су оба броја једнака 0, па је зато могућ само један случај: 1 0 и 0 ( и 0. 9

11 Дакле решења дате једначине су: (1, 0 или ( 1, 0). Пример 9. У скупу целих бројева решити једначину Решење: Трансформишимо једначину у збир квадрата Пошто се у задатку траже само решења у скупу целих бројева, разликујемо следећа два случаја: 1) и 2 0 тј. 2 и 2 2) и 2 0 тј. 1 и 2. Дакле решења дате једначине су: 2, 2 ; 1, 2. Пример 10. Постоје ли цели бројеви и који задовољавају једнакост 1? Решење: Ако се дата једначина помножи са 2 добија се еквивалентна једначина , односно 2. Збир квадрата три броја је једнак 2, ако су два од тих бројева по 1, а трећи 0, па разликујемо три могућности: 1) 1, 1 и 0. Следи да је 0, односно 1 или 1, па су решења 1, 0 или 1, 0. 2) 1, 0 и 1. Како је 0, а 1 и 1, то су решења 1, 1 или 1, 1. 3) 0, 1 и 1. Следи да је 0, док је 1 или 1, па су решења 0, 1 или 0, 1. Сва решења дате једначине су : 1,0 ; 1,0 ; 1, 1 ; 1,1 ; 0,1 ; 0, 1. Пример 11. У скупу целих бројева решити једначину Решење: Трансформишимо једначину на следећи начин

12 Одавде је Следи да је па је 1, 2 2 и , 2 0 и 1 0 Метод количника Једначине које су линеарне, односно квадратне по једној од променљивих чине класу једначина које често можемо решавати комбиновањем метода из теорије обичних алгебарских једначина и теорије целих бројева. На пример једначина 0, при чему су и неки цели алгебарски изрази по, може се решавати анализом рационалног алгебарског израза. Пример 12. Решити једначину у скупу целих бројева. Решење: Дату једначину можемо записати као За 7 једначина нема решења, а за 7 је: Да би решење било целобројно, мора 7 1, 1,2, 2 тј. 6, 8, 5, 9. Скуп решења је: 5, 6, 1, 8, 4, 5, 2, 9. Пример 13. Одредити све целе бројеве и који задовољавају једнакост Решење: Дату једначину можемо трансформисати тако да она има следећи облик: односно

13 За 3 једначина нема решења, док за 3 имамо да је: Како мора бити цео број разликују се следеће могућности: , , , , 6. Пример 14. Одредити све двоцифрене природне бројеве који су једнаки квадрату збира својих цифара. Решење: Нека је тражени број 10. Из услова задатка се добија да је 10 или 9. Како је 0, то је и 0. Дељењем добијене једнакости са добија се једнакост 1. Ако је највећи заједнички делилац за и једнак, онда постоје узајамно прости бројеви и такви да је 1 9 и 0 9. Тада једначина постаје: односно Прво ћемо показати да су и узајамно прости. Претпоставимо супротно да и нису узајамно прости. Тада, 1 тако да је и. Из имамо да је односно,. Дакле имамо, а то је немогуће јер су и узајамно прости. Како количник мора бити природан број и како су и узајамно прости и пошто 9 мора бити дељив са, могућа су следећа три случаја: 12

14 1) Ако је 1, онда је 9 1. Овај случај је немогућ, јер из 1 следи, због 0, да је 1, 0. У том случају је 10, што није могуће, јер је 9. 2) Ако је 3, онда је Односно 3 3 1, 3( 1. Одавде имамо да је лева страна дељива са 3 а десна није, па овај случај није могућ. 3) Ако је 9, онда је 1 9 или 9 1. Како је 1 9, то је , онда је 1. То значи да је 8 и 1. Дакле тражени број је Метод дискриминанте Природа решења једначине 0 зависи од дискриминанте 4. Пошто тражимо целобројна решења, анализа дискриминанте заснива се на чињеници да је 0, али и више, да је, за неки цео број. Пример 15. Решити једначину у скупу целих бројева. Решење: Дату једначину можемо да запишемо у еквивалентном облику , и она је квадратна по. Како je , ако дата једначина има решења, онда је 2,6133, односно 1,0,1. Имамо следеће могућности: 1) 1 5y 19y 12 0 y 3 2) 0 y 0 3) 1 y 2. Дакле, 1, 3, 0, 0, 1, 2. 13

15 Пример 16. Одредити све целе бројеве и такве да је Решење: Дату једначину можемо посматрати као квадратну по, тј Како је , ако дата једначина има решења, онда је 22,125 односно 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4. Испитивањем ових девет случајева за добијамо да је скуп решења једначине 3, 4, 3, 4, 2, 1, 2, 1. Остаци квадрата Већина ученика је имала прилику да решава задатке у којим се користи чињеница да последња цифра (у декадном запису) природног броја који је потпун квадрат (дакле, квадрат неког другог природног броја) не може бити произвољна. Могуће последње цифре квадрата су 0, 1, 4, 5, 6 и 9, док не постоје потпуни квадрати који се завршавају на 2, 3, 7 или 8. Ова чињеница се може другачије исказати на следећи начин: ако 0, 1, 2,..., 9, онда конгруенција 10 има решења (по ) ако и само ако 0, 1, 4, 5, 6, 9 или још: могући остаци квадрата природних бројева по модулу 10 су 0, 1, 4, 5, 6 и 9. Можемо посматрати остатке квадрата и по осталим малим модулима (не само по модулу 10) и то ћемо видети у наредном примеру. Пример 17. Могући остаци квадрата природних бројева: по модулу 3 су: 0, 1 по модулу 4 су: 0, 1 по модулу 5 су: 0, 1, 4 по модулу 6 су: 0, 1, 3, 4 по модулу 7 су: 0, 1, 2, 4 по модулу 8 су: 0, 1, 4 14

16 по модулу 9 су: 0, 1, 4, 7. Ово се лако проверава конструисањем таблица као што је наредна, за остатке по модулу Пример 18. Доказати да 21 повлачи 441. Решење: Ако 21 онда 3 и 7. Остаци квадрата по модулу 3 могу бити 0 или 1, па збир два таква квадрата може бити дељив са 3 само ако су и дељиви са 3. Онда је 9. Слично, остаци квадрата по модулу 7 могу бити 0, 1, 2 или 4 па збир таква два броја може бити дељив са 7 само ако су оба дељива са 7. Тада и 49, а одатле и из претходног следи Метод остатака Овај метод је користан за доказивање да дата једначина нема решења. Наиме ако за неки природан број 1 важи,, при чему 0, 1, 2,, 1, а,, при чему 0,1,2,..., 1, тада у случају да је, једначина,,,, нема решења у скупу целих бројева. Метод остатака при дељењу са 10, често се назива метод последње цифре, док метод остатака при дељењу са 2 назива метод парности. На примеру 10, илустоваћемо формирање табеле које могу бити од велике користи: Пример 19. Доказати да једначина 2006 нема решења у скупу целих бројева. Решење: Квадрати целих бројева при дељењу са 4 дају остатак 0 (када је број паран) или 1 (када је број непаран). Како је па онда следи да су, непарни. Означимо 2 1, 2 1 где су, цели бројеви. Тада је: 15

17 дељењем са 4 добијамо: С обзиром да је лева страна паран број, а десна непаран, то једначина нема решења у скупу целих бројева. Пример 20. Доказати да једначина 3 8 нема решења у скупу целих бројева. Решење: Ако би постојали цели бројеви и такви да је 3 8 онда би из и 8 2 3, следило да је 2 3. Ово је немогуће јер остаци квадрата по модулу 3 могу бити 0 или 1. Пример 21. бројева. Доказати да једначина 2007 нема решења у скупу целих Решење: Квадрати целих бројева при дељењу са 4 дају остатак 0 (када је број паран) или 1 (када је број непаран). Како је то сва три броја,, морају бити непарна. Нека је 2 1, 2 1, 2 1, где су,, цели бројеви. Тада је , односно Лева стране последње једначине је паран број, а десна непаран, па једначина нема решења у скупу целих бројева. Пример 22. Доказати да једначина нема решења у скупу целих бројева. Решење: За свако имамо 10, при чему 0, 1, 4, 5, 6, 9. Дакле ако је (, једно решење дате једначине имамо 3 10, 0, 3, 2, 5, 8, 7 и 5 10, 0, 5 па из таблице 16

18 закључујемо да је , 0, 2, 3, 5, 7, 8, а важи Једначина, дакле, нема решења. Пример 23. Да ли једначина има решења у скупу целих бројева? Решење: Ако је природан број онда су могући остаци при дељењу броја са 16 из скупа 0, 1, 2,, 15. Тада је 16, 0, 1, 4, 9. Из тога следи да је 0 16 или Због тога збир... при дељењу са 16 може дати било који остатак из скупа 0, 1, 2,... 13, 14 али не и број 15. Како је то дата једначина нема решења у скупу целих бројева. Метода минималног решења Ова метода се често користи приликом налажења свих решења неких Диофантових једначина, односно доказивања да решења не постоје. Принцип је следећи. Претпоставимо да дата једначина има целобројних решења и да постоји алгоритам којим се из једног целобројног решења једначине добија друго целобројно решење. Ако једначина има целобројних решења, онда постоји решење које је минимално у неком смислу. Решење које се добија из тог решења није мање, па се тако добијају одређене особине тог минималног решења оне су понекад довољне да закључимо да такво решење (и, дакле ниједно друго) не постоји. Друга формулација ове методе је следећа. Претпоставимо да постоји решење једначине у скупу природних бројева и да се може наћи алгоритам којим се из једног природног решења добија друго природно решење, али које је строго мање (у одређеном смислу) од 17

19 полазног. То значи да постоји бесконачно много природних бројева мањих од датог природног броја, што је, наравно, немогуће. Дакле, дата једначина нема природних решења. У овом облику ова метода је позната као Фермаова метода бесконачног смањивања. Пример 24. Доказати да једначина нема решења у скупу рационалних бројева Решење: Дата једначина може се написати у облику Претпоставимо супротно, нека једначина има решења у скупу рационалних бројева. Даље имамо да је: 7,, па множењем леве и десне стране са добијамо: 7. Нека је:,,,. Коначно добијамо: Тада је 0. Нека је најмање могуће. a b c 7m. Ако је паран број, 2, тада је a b c дељиво са 4. Лако се проверава да бројеви,, морају бити парни, тј. 2, 2, 2 и 7, што је контрадикција са претпоставком о минималности. Ако је непаран број, тада је 1 8, па је a b c 7 mod 8, што је немогуће. 18

20 Глава 2 Питагорине тројке и велика Фермаова теорема У овој глави биће речи о Питагориним тројкама које ћe бити праћене теоремама, њиховим доказима као и примерима. Питагорине тројке Троугао чији су мерни бројеви страница, и природни бројеви који задовољавају релацију назива се Питагорин троугао (на основу Питагорине теореме такав троугао је правоугли). Природни бројеви,, који су решења једначине представљају Питагорине тројке. Ако нека два од бројева,, који задовољавају дату једначину имају заједнички делилац (већи од 1), онда је и трећи од њих дељив са. Зато ћемо даље претпостављати да су бројеви, и узајамно прости у паровима (у противном можемо скратити једначину њиховим заједничким делиоцем ). Такво решење (,, дате једначине називамо примитивним решењем. Јасно је да налажењем свих примитивних решења,, налазимо и сва остала, јер су она облика,,,. Теорема 2. Ако је производ два узајамно проста природна броја квадрат целог броја, тј. ако је,, 1, тада су и и квадрати целих бројева:,. Доказ. Да би број био квадрат целог броја, неопходно је и довољно да су му сви експоненти у канонској факторизацији парни. Како су и узајамно прости, то они немају заједничких делилаца, па је сваки прост делилац броја или делилац броја или делилац броја, али не и делилац оба ова броја. Зато сви прости фактори броја и у канонској факторизацији морају имати парне експоненте, тј. и су квадрати целих бројева. 19

21 Теорема 3. Да би уређена тројка,, представљала примитивно решење једначине у скупу природних бројева, неопходно је и довољно да се,, изражавају у облику 2,, (,,, 1, и, различите парности) или, 2, (,,, 1, и, различите парности). Доказ: Нека је,, примитивно решење једначине. Показаћемо најпре да од бројева и један мора бити паран, а други непаран и да мора бити непаран број. Ако су и оба парни, тада је и паран број, па се једначина може скратити, тј. посматрана тројка није примитивно решење. Ако су и оба непарни тада је m 4, што је немогуће. Нека је 2 паран, а непаран број. Тада је непаран број. Дата једначина се може написати у облику. Оба чиниоца на десној страни су парни бројеви, па су бројеви 2 цели. Тада је 4 4, тј.. и 2 Из, закључујемо да је, 1. На основу теореме следи да они морају бити квадрати целих бројева: и, при чему и немају заједничких делилаца и различите су парности. Дакле, добијамо да је 2 2,,, при чему су,, (, ) 1, и бројеви и су различите парности. Лако се проверава да је: 2 2, тј. да тројка (,, задовољава једначину. Слично, ако је паран број добијамо да је тројка (,, другог од описаних облика. 20

22 Пример 25. Ако је полупречник круга непаран прост број, тада се око тог круга могу описати тачно два неподударна примитивна Питагорина троугла. Доказати. Решење: Ако је, 2, примитивна Питагорина тројка, полупречник уписаног круга одговарајућег троугла је 1. 2 Ако је непаран прост број, имамо следеће две могућности: 1) 1, 1, 2, 2 1, 2 2 2), 1, 2 1, 2 1, Пример 26. Нађимо све Питагорине тројке за 0 20,. Решење: Нађимо најпре све примитивне Питагорине тројке које задовољавају 0 20,. Све примитивне Питагорине тројке су облика,2, или 2,, где је и, узајамно прости природни бројеви различите парности. Како је по услову задатка 0 20, онда посматрамо следеће случајеве: 1) За 1, 2 добијамо 5, 3,2 4, односно добијамо тројку 3, 4, 5. 2) За 2, 3 добијамо 13, 5, 2 12, односно добијамо тројку 5, 12, 13. 3) За 3, 4 добијамо ) За 1, 4 добијамо 17, 15, 2 8, односно добијамо тројку 8, 15, 17. Тражене Питагорине тројке су: 3, 4, 5 ; 6, 8, 10 ; 9, 12, 15 ; 5, 12, 13 ; 8, 15, 17. Пример 27. Одредити примитивне Питагорине троуглове чији мерни број обима је једнак мерном броју површине. Решење: Јасно је да је мерни број обима сваког Питагориног троугла једнак

23 Мерни број површине је. Дакле, 2, па је 2. Следи да је 1, 2 или 2, а 1. Према томе постоје два решења:, 3,1 или, 3, 2. Пошто се у задатку траже примитивне Питагорине тројке онда прво решење, 3, 1 одбацујемо, јер су и оба непарна броја. Странице троугла су тада: 12, 5, 13, 30. Велика Фермаова теорема Познати француски математичар Пјер Ферма ( ) био је један од оснивача савремене теорије бројева. Поставио је низ проблема чије је решавање довело до значајних достигнућа. Највише напора је уложено да се докаже (или оповргне) његово тврђење које је названо великом Фермаовом теоремом. Пјер Ферма га је исказао на маргинама једне Диофантове књиге и гласи: Немогуће је куб разложити на два куба, ни биквадрат на два биквадрата, и уопште никакав степен већи од квадрата, на два степена са истим таквим изложиоцем. Математичари су се више од три века бавили великом Фермаовом теоремом. Та теорема је коначно доказана године. Eнглески математичар Ендру Вајлс (Andrew Wiles) је доказао велику Фермаову теорему. Теорема 4. Ако је ма који природан број већи од 2, онда не постоје природни бројеви, и, такви да је. Сама теорема доказана је за многе посебне вредности изложиоца. Доказ за специјалан случај 4 који потиче од самог Фермаа показаћемо на наредном задатку. Пример 28. Доказати да једначина нема решења у скупу природних бројева. Специјално, једначина нема природних решења. Решење: Претпоставимо да решење у постоји и да је (,, такво решење са минималним. Тада су (,, узајамно прости у паровима. 22

24 Један од бројева, је паран. Пошто је (,, примитивна Питагорина тројка, постоје узајамно прости природни бројеви, такви да је, 2,. Тројка,, је такође примитивна Питагорина, па постоје узајамно прости, такви да је,, 2 (јер је непаран). Једначина 2 се своди на. Међутим, због, 1 су бројеви и узајамно прости, а њихов производ је квадрат, па зато постоје, за које је 1 и. Најзад, због, 1 и постоје, такви да важи и, па друга једначина у (1) постаје. Дакле,,, је решење полазне једначине и притом је очигледно, што је у контрадикцији са избором решења,,. 23

25 Глава 3 Пелова једначина Резултати теорије Диофантових апроксимација имају примену и у решавању неких Диофантових једначина. Илуструјмо ово на примеру Пелове једначине 1, није потпун квадрат чија решења тражимо у скупу природних бројева. Наведимо најпре нека једноставна својства ове једначине. Услов да није потпун квадрат је неопходан јер у супротном једначина, сем тривијалног (, 1, 0 нема друга решења. Претпоставимо да је тај услов испуњен и препишимо једначину у облику 1. Претпоставимо, даље, да знамо једно решење (, једначине, тј. да је Степеновањем са добијамо 1. 1, за неке природне бројеве и. Заправо, применом биномне формуле која гласи: ми смо добили да представља збир свих чланова у случају када је паран број, док када је непаран број. Дакле, дата једначина под наведеним претпоставкама (да није потпун квадрат и да бар једно решење постоји) има бесконачно много решења (, и основни проблем је налажење једног од њих. Најмање од таквих решења (прецизније, оно решење код којег је најмање) назива се основним решењем. Оно што није сасвим тривијално је, 24

26 да се докаже да ако је (, ) основно решење, тада су претходним поступком описана сва решења Пелове једначине. Када је основно решење (, ) познато, одређивање осталих решења (, може се извршити било описаним поступком степеновања, било формирањем рекурентне везе два узастопна решења. Наиме, из закључујемо да мора да важи (2),. Дакле, низови ( ) и ( ) задовољавају систем диференцних једначина (2), уз почетне услове 1, 0. Из овог система низови ( ) и ( ) се одређују рекурентно. Лема 1. Ако су за неко парови (, ) и (, ) решења једначине, онда је условом,, (узима се произвољан знак у последњој загради) одређено решење једначине. Доказ. У доказу користимо да из:,, следи,,. Сада је ). 25

27 Важан резултат теорије Диофантових апроксимација је следећа Дирихлеова теорема. Теорема 5. Нека је произвољан реалан број и. Тада постоји рационалан број такав да важи 1 и 0. Доказ: Посматрајмо 1 бројева за 0, 1,...,. Сви они припадају интервалу 0, 1. Поделимо тај интервал на интервала 0, 1 t, 1 t, 2 t,..., t 1,1. t На основу Дирихлеовог принципа, бар један од тих интервала садржи два од датих бројева; нека су то бројеви и и нека је, на пример,. Тада је 1. Означимо,. Тада важи 0 и 1, 1. Теорема 6. За произвољан природан број који није потпун квадрат, једначина 1 има решења. Доказ: Нека је фиксиран природан број 1. На основу Дирихлеове теореме постоје природни бројеви и за које важи 3 1,. Тада је 1 1, па је 26

28 Множећи леве и десне стране неједнакости (3) и (4), с обзиром да је, добијамо да је Изаберимо сада природан број тако да важи и 1. На претходно описани начин нађимо нови пар природних бројева (, ) за које важи 2 1. Затим наставимо овај поступак налазећи низ парова (, ) који задовољавају неједначину типа (5). Посматрајмо вредности за све. Све оне се налазе у интервалу ( 2 1,2 1, па како тај интервал садржи коначно много целих бројева, то постоји цео број 0 у њему такав да је за бесконачно много вредности. Међу тако изабраним паровима (, ) сигурно ће постојати два, означимо их са (, ) и (, ), за које важи и. Означимо са и целе бројеве за које важи На основу леме 1 важи. 6. При томе је 0, 0. Због тога је, за неке целе бројеве и, за које, заменом у 6 добијамо да важи 1. Докажимо тврђење према којем су напред описаним рекурентним поступком одређена сва решења Пелове једначине. 27

29 Теорема 7. Нека је, ) основно решење једначине 1 ( није потпун квадрат), тј. нека је то решење за које је израз најмањи. Тада је свако решење (, те једначине одређено условом 7,,, за неко. Доказ: Да је пар (, одређен условом (7) решење дате једначине, доказали смо раније. Претпоставимо, супротно тврђењу, да постоји решење (, те једначине за које не важи услов (7). Тада за неко важи. Узимајући у обзир да је, делећи претходну двоструку неједнакост са, добијамо 8 1, где су и цели бројеви одређени једнакошћу. На основу леме 1, међутим, пар (, задовољава једначину 1. При том су бројеви и позитивни, јер из претходне једнакости следи да је 0 1 а из (8) је 1. На тај начин је (, решење дате Пелове једначине у скупу природних бројева за које је израз мањи од, што противречи минималности избора решења (,. Добијена контрадикција доказује теорему. Пример 29. Посматрајмо једначину Решење: Примећујемо да је 14. Пробањем се налази њено основно решење 15, 4 (заиста Квадрирањем добијамо: , па је 449, 120. Даље се може наставити степеновањем, међутим једноставније је искористити систем (2). Тако је: , ,... 28

30 , ,... Даљим рачуном се може добити итд. Видимо да решења врло брзо расту. 29

31 Глава 4 Теорема Хасе Минковски Општа теорија Диофантових једначина садржи велики број отворених питања међу којима је и питање постојања алгоритма којим се за сваку полиномску Диофантову једначину може одредити да ли она има или нема целобројних или рационалних решења. То је један од чувених Хилбертових проблема, формулисаних на II светском конгресу математичара у Паризу године. Одговор на то питање је нажалост негативан. С друге стране, теорија квадратних Диофантових једначина је готово у потпуности испитана. Теорема 8. Квадратна Диофантова једначина има решења у скупу рационалних бројева ако и само ако има решења по сваком простом модулу и у скупу реалних бројева. Овде ћемо показати један метод налажења општег решења,, једначине (9),, 0, где су,,,,, цели бројеви, ако нам је познато једно нетривијално решење (,, у ком је, рецимо, 0. Метод се заснива на следећем. Ако је,, рационално решење једначине (9), oнда је и,, рационално решење за свако. Ако је 0, за погодно је 1, па можемо без смањења општости претпоставити да је 1. Тада једначина (9) постаје (10),,, 1 0. Скуп свих решења једначине, 0 је нека крива која садржи тачку са рационалним координатама,,,,,,1,, / 0. Свака права кроз тачку, ако није цела садржана у кривој, сече криву у још једној тачки (ако је тангента, сматрамо да је ). Ако се права креће по скупу свих правих које пролазе кроз и имају рационалан нагиб, скуп добијених пресечних тачака ће бити управо скуп рационалних решења једначине (10). 30

32 Пример 30. Решити једначину 2 1 у скупу рационалних бројева. Решење: Пођимо од решења дате једначине, 0, 1. Сва друга решења су дата са,, 1, где су, цели и рационалан. Ако фиксирамо и, једначина 2 1 даје једначину по : 2 2, одакле је 0 или. Сада добијамо 2 2, 2 2. Пример 31. Решити једначину 2 7 у скупу рационалних бројева. Решење: Можемо приметити да је једно нетривијално решење једначине 1, 1, 3. Ако је 0, једино решење је 0, 0, 0. Надаље сматрамо да је 0. Ако ставимо, сводимо једначину на у скупу рационалних бројева, чије решење образује неку криву (елипсу). Тројка,, 1, 1, 3 нам даје решење,,. Нека је, неко решење једначине и нека су и, не оба једнака нули, такви да је 1, Заменом ових вредности у полазну једначину добијамо што се своди на , Скраћивањем са добијамо , одакле је па је , 31

33 , С друге стране, за свако рационално решење, тј. тачку са рационалним координатама, права има рационални нагиб, што значи да су сва рационална решења наше једначине обухваћена формулом (11). 32

34 Литература 1. В. Мићић, З. Каделбург, Д. Ђукић, Увод у теорију бројева, Друштво математичара Србије, Београд, М. Станић, Н. Икодиновић, Теорија бројева збирка задатака, Београд, В. Андрић, Мала збирка Диофантових једначина, Ваљево,

My_P_Red_Bin_Zbir_Free

My_P_Red_Bin_Zbir_Free БИНОМНА ФОРМУЛА Шт треба знати пре почетка решавања задатака? I Треба знати биному формулу која даје одговор на питање чему је једнак развој једног бинома када га степенујемо са бројем 0 ( ) или ( ) 0!,

Више

JEDNAKOSTI I JEDNAČINE,

JEDNAKOSTI I JEDNAČINE, ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА Диофантове једначине смо решавали у петом, шестом и седмом разреду. Тада смо се упознали и са појмом Диофантове једначине и појмом решења Диофантове једначине. Циљ ове наставне

Више

Matematika 1 - izborna

Matematika 1 - izborna 3.3. NELINEARNE DIOFANTSKE JEDNADŽBE Navest ćemo sada neke metode rješavanja diofantskih jednadžbi koje su drugog i viših stupnjeva. Sve su te metode zapravo posebni oblici jedne opće metode, koja se naziva

Више

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА p m m m Дат је полином ) Oдредити параметар m тако да полином p буде дељив са б) Одредити параметар m тако да остатак при дељењу p са буде једнак 7 а)

Више

1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K.

1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K. 1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K. Elementi a k K su koeficijenti polinoma P (x). Ako

Више

MAT KOL (Banja Luka) ISSN (p), ISSN (o) Vol. XX (2)(2014), PELLOVA JEDNAČINA I PITAGORIN

MAT KOL (Banja Luka) ISSN (p), ISSN (o) Vol. XX (2)(2014), PELLOVA JEDNAČINA I PITAGORIN MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 986 5228 (o) Vol. XX (2)(204), 59 68 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PELLOVA JEDNAČINA I PITAGORINE TROJKE Amra Duraković Bernadin Ibrahimpašić 2, Sažetak

Више

Konstrukcija i analiza algoritama Nina Radojičić februar Analiza algoritama, rekurentne relacije 1 Definicija: Neka su f i g dve pozitivne fun

Konstrukcija i analiza algoritama Nina Radojičić februar Analiza algoritama, rekurentne relacije 1 Definicija: Neka su f i g dve pozitivne fun Konstrukcija i analiza algoritama Nina Radojičić februar 2018. 1 Analiza algoritama, rekurentne relacije 1 Definicija: Neka su f i g dve pozitivne funkcije od argumenta n iz skupa N prirodnih brojeva.

Више

MAT-KOL (Banja Luka) XXIII (4)(2017), DOI: /МК Ž ISSN (o) ISSN (o) ЈЕДНА

MAT-KOL (Banja Luka) XXIII (4)(2017), DOI: /МК Ž ISSN (o) ISSN (o) ЈЕДНА MAT-KOL (Banja Luka) XXIII (4)(07) 9-35 http://www.mvbl.org/dmbl/dmbl.htm DOI: 0.75/МК7049Ž ISSN 0354-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ЈЕДНА КЛАСА ХЕРОНОВИХ ТРОУГЛОВА БЕЗ ЦЕЛОБРОЈНИХ ВИСИНА Милан Живановић Висока

Више

My_P_Trigo_Zbir_Free

My_P_Trigo_Zbir_Free Штa треба знати пре почетка решавања задатака? ТРИГОНОМЕТРИЈА Ниво - Основне формуле које произилазе из дефиниција тригонометријских функција Тригонометријске функције се дефинишу у правоуглом троуглу

Више

My_ST_FTNIspiti_Free

My_ST_FTNIspiti_Free ИСПИТНИ ЗАДАЦИ СУ ГРУПИСАНИ ПО ТЕМАМА: ЛИМЕСИ ИЗВОДИ ФУНКЦИЈЕ ЈЕДНЕ ПРОМЕНЉИВЕ ИСПИТИВАЊЕ ТОКА ФУНКЦИЈЕ ЕКСТРЕМИ ФУНКЦИЈЕ СА ВИШЕ ПРОМЕНЉИВИХ 5 ИНТЕГРАЛИ ДОДАТАК ФТН Испити С т р а н а Лимеси Одредити

Више

Математика 1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) средњи ниво А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ }

Математика 1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) средњи ниво А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } 1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } 2. Упиши знак

Више

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN Odrediti

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN Odrediti PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN 0. Odrediti moduo kompleksnog broja Rešenje: Uočimo da važi z = + i00

Више

PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla

PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla, 3. mart/ožujak 019. godine Prirodno-matematički fakultet

Више

Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) : ; б) : (

Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) : ; б) : ( Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) 5 3 4 : 2 1 2 + 1 1 6 2 3 4 ; б) 5 3 4 : ( 2 1 2 + 1 1 6 ) 2 3 4 ; в) ( 5 3 4 : 2 1 2 + 1 1 6 ) 2 3 4 ; г)

Више

Microsoft Word - DIOFANTSKE JEDNADŽBE ZADACI docx

Microsoft Word - DIOFANTSKE JEDNADŽBE ZADACI docx DIOFANTSKE JEDNADŽBE Jednadžba s dvjema ili više nepoznanica čiji su koeficijenti i rješenja cijeli brojevi naziva se DIOFANTSKA JEDNADŽBA. Linearne diofantske jednadžbe 3" + 7% 8 = 0 nehomogena (s dvjema

Више

(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka) . B. Zapišimo zadane brojeve u obliku beskonačno periodičnih decimalnih brojeva: 3 4 = 0.7, = 0.36. Prvi od navedenih četiriju brojeva je manji od 3 4, dok su treći i četvrti veći od. Jedini broj koji

Више

1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1

1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1 1. Vrednost izraza 1 1 + 1 5 + 1 5 7 + 1 7 9 jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se 1 + 1 15 + 1 5 + 1 6 = 4 9, ili kra e S = 1 1 1 2 + 1 1 5 + 1 5 1 7 + 1 7 1 ) = 1 7 2 8 9 = 4 9. 2. Ako je fx)

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja) 1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 9 + 7 6 9 + 4 51 = = = 5.1 18 4 18 8 10. B. Pomoću kalkulatora nalazimo 10 1.5 = 63.45553. Četvrta decimala je očito jednaka 5, pa se zaokruživanje vrši

Више

1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan

1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan 1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan jednačinom oblika: a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2

Више

Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: min c T x Ax = b x 0 x Z n Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica

Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: min c T x Ax = b x 0 x Z n Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: min c T x Ax = b x 0 x Z n Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije m n, b Z m, c Z n. Takođe, očekuje se da

Више

Microsoft Word - NULE FUNKCIJE I ZNAK FUNKCIJE.doc

Microsoft Word - NULE FUNKCIJE I ZNAK FUNKCIJE.doc NULE FUNKCIJE I ZNAK FUNKCIJE NULE FUNKCIJE su mesta gde grafik seče osu a dobijaju se kao rešenja jednačine y= 0 ( to jest f ( ) = 0 ) Mnogi profesori vole da se u okviru ove tačke nadje i presek sa y

Више

6-8. ČAS Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije,. Takođe

6-8. ČAS Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije,. Takođe 6-8. ČAS Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije,. Takođe, očekuje se da su koordinate celobrojne. U slučaju

Више

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Zvonko Iljazović Zagreb, rujan, 2015. Ovaj diplomski

Више

Microsoft Word - 6ms001

Microsoft Word - 6ms001 Zadatak 001 (Anela, ekonomska škola) Riješi sustav jednadžbi: 5 z = 0 + + z = 14 4 + + z = 16 Rješenje 001 Sustav rješavamo Gaussovom metodom eliminacije (isključivanja). Gaussova metoda provodi se pomoću

Више

СТЕПЕН појам и особине

СТЕПЕН појам и особине СТЕПЕН појам и особине Степен чији је изложилац природан број N R \ 0 изложилац (експонент) основа степен Особине: m m m m : m m : : Примери. 8 4 7 4 5 4 4 5 6 :5 Важно! 5 5 5 5 5 55 5 Основа је број -5

Више

Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3

Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3 Matematka Zadaci za vežbe Oktobar 5 Uvod.. Izračunati vrednost izraza bez upotrebe pomoćnih sredstava): ) [ a) 98.8.6 : b) : 7 5.5 : 8 : ) : :.. Uprostiti izraze: a) b) ) a b a+b + 6b a 9b + y+z c) a +b

Више

Талесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су a и b две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да

Талесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су a и b две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да Талесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су и две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да jе m k и n k, где су m, n > 0. Тада кажемо да су дужи и

Више

ПРИРОДА И ЗНАК РЕШЕЊА 2 b ax bx c 0 x1 x2 2 D b 4ac a ( сви задаци су решени) c b D xx 1 2 x1/2 a 2a УСЛОВИ Решења реална и различита D>0 Решења реалн

ПРИРОДА И ЗНАК РЕШЕЊА 2 b ax bx c 0 x1 x2 2 D b 4ac a ( сви задаци су решени) c b D xx 1 2 x1/2 a 2a УСЛОВИ Решења реална и различита D>0 Решења реалн ПРИРОДА И ЗНАК РЕШЕЊА ax x c 0 x x D 4ac a ( сви задаци су решени) c D xx x/ a a УСЛОВИ Решења реална и различита D>0 Решења реална D Двоструко решење (реална и једнака решења) D=0 Комплексна решења (нису

Више

Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Iracionalne jednaqine i nejednaqine Zlatko Lazovi 29. mart 2017.

Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Iracionalne jednaqine i nejednaqine Zlatko Lazovi 29. mart 2017. Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu 29. mart 2017. Matematiqki fakultet 2 Univerzitet u Beogradu Glava 1 Iracionalne jednaqine i nejednaqine 1.1 Teorijski uvod Pod iracionalnim jednaqinama podrazumevaju

Више

ЕКОНОМСКИ ФАКУЛТЕТ УНИВЕРЗИТЕТА У ПРИШТИНИ КОСОВСКА МИТРОВИЦА

ЕКОНОМСКИ ФАКУЛТЕТ УНИВЕРЗИТЕТА У ПРИШТИНИ КОСОВСКА МИТРОВИЦА МАТЕМАТИКА ЗАДАЦИ ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ 1. Израчунати вредност израза: а) ; б). 2. Израчунати вредност израза:. 3. Израчунати вредност израза:. 4. Израчунати вредност израза: ако је. 5. Израчунати вредност

Више

MAT-KOL (Banja Luka) Matematički kolokvijum XIV(3)(2008), DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE Dr Šefket Arslanagić 1 i Alija Miminagić 2

MAT-KOL (Banja Luka) Matematički kolokvijum XIV(3)(2008), DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE Dr Šefket Arslanagić 1 i Alija Miminagić 2 T-KOL (anja Luka) atematički kolokvijum XIV()(008), 1-1 DEVET RJEŠENJ JEDNOG ZDTK IZ GEOETRIJE Dr Šefket rslanagić 1 i lija iminagić Samostalno rješavanje malog broja teških problema je, bez sumnje, od

Више

Microsoft Word - Ispitivanje toka i grafik funkcije V deo

Microsoft Word - Ispitivanje toka i grafik funkcije V deo . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije y= arcsin + Oblast definisanosti (domen) Podsetimo se grafika elementarnih funkcija i kako izgleda arcsin funkcija: y - y=arcsin Funkcija je definisana za [,]

Више

Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0802.doc

Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0802.doc Matematika szerb nyelven középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA SZERB NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Важне

Више

PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA RAČUNARSKE NAUKE Utorak, godine PRIJEMNI ISPIT IZ INFORMATIKE 1. Koja od navedenih ekste

PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA RAČUNARSKE NAUKE Utorak, godine PRIJEMNI ISPIT IZ INFORMATIKE 1. Koja od navedenih ekste PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA RAČUNARSKE NAUKE Utorak, 5.06.019. godine PRIJEMNI ISPIT IZ INFORMATIKE 1. Koja od navedenih ekstenzija se najčešće koristi za tekstualne datoteke? a)

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja) 1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. B. Imamo redom: 0.3 0. 8 7 8 19 ( 3) 4 : = 9 4 = 9 4 = 9 = =. 0. 0.3 3 3 3 3 0 1 3 + 1 + 4 8 5 5 = = = = = = 0 1 3 0 1 3 0 1+ 3 ( : ) ( : ) 5 5 4 0 3.

Више

Vjezbe 1.dvi

Vjezbe 1.dvi Matematia I Elvis Baraović 0 listopada 08 Prirodno-matematiči faultet Univerziteta u Tuzli, Odsje matematia, Univerzitetsa 75000 Tuzla;http://pmfuntzba/staff/elvisbaraovic/ Sadržaj Sup realnih brojeva

Више

Kvadratna jednaqina i funkcija 1. Odrediti sve n N takve da jednaqina x3 + 7x 2 9x + 1 x 2 bar jedno celobrojno rexee. = n ima 2. Ako za j-nu ax 2 +bx

Kvadratna jednaqina i funkcija 1. Odrediti sve n N takve da jednaqina x3 + 7x 2 9x + 1 x 2 bar jedno celobrojno rexee. = n ima 2. Ako za j-nu ax 2 +bx Kvadratna jednaqina i funkcija 1. Odrediti sve n N takve da jednaqina x3 + 7x 2 9x + 1 x 2 bar jedno celobrojno rexee. = n ima 2. Ako za j-nu ax 2 +bx+c = 0, a, b, c R, a 0, vai 5a+3b+3c = 0, tada jednaqina

Више

Математика основни ниво 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Броје

Математика основни ниво 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Броје 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Бројеве записане римским цифрама запиши арапским: VIII LI XXVI CDXLIX MDCLXVI XXXIX

Више

Microsoft Word - 7. cas za studente.doc

Microsoft Word - 7. cas za studente.doc VII Диферeнцни поступак Користи се за решавање диференцијалних једначина. Интервал на коме је дефинисана тражена функција се издели на делова. Усвоји се да се непозната функција између сваке три тачке

Више

Microsoft Word - 1. REALNI BROJEVI- formulice

Microsoft Word - 1. REALNI BROJEVI- formulice REALNI BROJEVI Skup prirodnih brojeva je N={1,2,3,4,,6,7, } Ako skupu prirodnih brojeva dodamo i nulu onda imamo skup N 0 ={0,1,2,3, } Skup celih brojeva je Z = {,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Skup racionalnih brojeva

Више

58. Federalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola

58. Federalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola 58. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 4.0.018. godine PRVI RAZRED Zadatak 1 Ako su, i realni brojevi takvi da je 0, dokazati da vrijedi

Више

Microsoft Word - IZVODI ZADACI _2.deo_

Microsoft Word - IZVODI ZADACI _2.deo_ IZVODI ZADACI ( II deo U ovom del ćemo pokšati da vam objasnimo traženje izvoda složenih fnkcija. Prvo da razjasnimo koja je fnkcija složena? Pa, najprostije rečeno, to je svaka fnkcija koje nema tablici

Више

untitled

untitled РАЗЛОМЦИ - III ДЕО - РЕШЕЊА МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ РАЗЛОМАКА ПРИРОДНИМ БРОЈЕМ. а) + + + + + + = = = ; б) + + + + + + + + + + = = = 8 ; в) 8 + + + + + + + = 8 = = =.. а) = = = ; б) = = = ; 0 0 в) 0 = = = ; г)

Више

Министарство просвете, науке и технолошког развоја ДРУШТВО МАТЕМАТИЧАРА СРБИЈЕ Општинско такмичење из математике ученика основних школа III

Министарство просвете, науке и технолошког развоја ДРУШТВО МАТЕМАТИЧАРА СРБИЈЕ Општинско такмичење из математике ученика основних школа III 25.02.2017 III разред 1. Број ногу Периних паса је за 24 већи од броја њихових глава. Колико паса има Пера? 2. На излет су кренула три аутобуса у којима је било укупно 150 ученика. На првом одмору је из

Више

Natjecanje 2016.

Natjecanje 2016. I RAZRED Zadatak 1 Grafiĉki predstavi funkciju RJEŠENJE 2, { Za, imamo Za, ), imamo, Za imamo I RAZRED Zadatak 2 Neka su realni brojevi koji nisu svi jednaki, takvi da vrijedi Dokaži da je RJEŠENJE Neka

Више

Trougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa

Trougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa Trougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa tri nekolinearne tačke. Trougao je geometrijski objekat

Више

СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за векто

СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за векто СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за вектор a (коjи може бити и дужине нула) и неке изометриjе

Више

Рационални Бројеви Скуп рационалних бројева 1. Из скупа { 3 4, 2, 4, 11, 0, , 1 5, 12 3 } издвој подскуп: а) природних бројева; б) целих броје

Рационални Бројеви Скуп рационалних бројева 1. Из скупа { 3 4, 2, 4, 11, 0, , 1 5, 12 3 } издвој подскуп: а) природних бројева; б) целих броје Рационални Бројеви Скуп рационалних бројева. Из скупа {,,,, 0,,, } издвој подскуп: а) природних бројева; б) целих бројева; в) ненегативних рационалних бројева; г) негативних рационалних бројева.. Запиши

Више

М А Т Е М А Т И К А Први разред (180) Предмети у простору и односи међу њима (10; 4 + 6) Линија и област (14; 5 + 9) Класификација предмета према свој

М А Т Е М А Т И К А Први разред (180) Предмети у простору и односи међу њима (10; 4 + 6) Линија и област (14; 5 + 9) Класификација предмета према свој М А Т Е М А Т И К А Први разред (180) Предмети у простору и односи међу њима (10; 4 + 6) Линија и област (14; 5 + 9) Класификација предмета према својствима (6; 2 + 4) Природни бројеви до 100 (144; 57

Више

VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E

VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA PO@AREVAC MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, ELEKTROTEHNIKA, MA[INSTVO PO@AREVAC 007 OBAVEZNO PRO^ITATI!

Више

ТРОУГАО БРЗИНА и математичка неисправност Лоренцове трансформације у специјалној теорији релативности Александар Вукеља www.

ТРОУГАО БРЗИНА и математичка неисправност Лоренцове трансформације у специјалној теорији релативности Александар Вукеља www. ТРОУГАО БРЗИНА и математичка неисправност Лоренцове трансформације у специјалној теорији релативности Александар Вукеља aleksandar@masstheory.org www.masstheory.org Август 2007 О ауторским правима: Дело

Више

Diferenciranje i integriranje pod znakom integrala math.e Vol math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Diferenciranje i integriranje pod

Diferenciranje i integriranje pod znakom integrala math.e Vol math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Diferenciranje i integriranje pod 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Diferenciranje i integriranje pod znakom integrala analiza Irfan Glogić, Harun Šiljak When guys at MIT or Princeton had trouble doing a certain integral,

Више

1

1 Podsetnik: Statističke relacije Matematičko očekivanje (srednja vrednost): E X x p x p x p - Diskretna sl promenljiva 1 1 k k xf ( x) dx E X - Kontinualna sl promenljiva Varijansa: Var X X E X E X 1 N

Више

Algebarski izrazi (4. dio)

Algebarski izrazi (4. dio) Dodatna nastava iz matematike 8. razred Algebarski izrazi (4. dio) Aleksandra-Maria Vuković OŠ Gornji Mihaljevec amvukovic@gmail.com 12/21/2010 SADRŽAJ 7. KVADRATNI TRINOM... 3 [ Primjer 18. Faktorizacija

Више

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 29. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 29. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. ( MJERA I INTEGRAL. kolokvij 9. lipnja 018. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni! 1. (ukupno 6 bodova Neka je (, F, µ prostor s mjerom, neka je (f n n1 niz F-izmjerivih funkcija

Више

Teorija skupova - blog.sake.ba

Teorija skupova - blog.sake.ba Uvod Matematika je jedan od najomraženijih predmeta kod većine učenika S pravom, dakako! Zapitajmo se šta je uzrok tome? Da li je matematika zaista toliko teška, komplikovana? Odgovor je jednostavan, naravno

Више

ФАКУЛТЕТ ОРГАНИЗАЦИОНИХ НАУКА

ФАКУЛТЕТ  ОРГАНИЗАЦИОНИХ  НАУКА Питања за усмени део испита из Математике 3 I. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ 1. Појам диференцијалне једначине. Пикарова теорема. - Написати општи и нормални облик диференцијалне једначине првог реда. - Дефинисати:

Више

Popularna matematika

Popularna matematika 6. lipnja 2009. Russellov paradoks Russellov paradoks Bertrand Arthur William Russell (1872. - 1970.), engleski filozof, matematičar i društveni reformator. Russellov paradoks Bertrand Arthur William Russell

Више

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori n

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori n 1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja 2018. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) (a) (2 boda) Definirajte (općenitu) vanjsku mjeru. (b) (2 boda) Definirajte

Више

3. ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ КереШго та1ег зги/иогит ез1 (Обнављање је мајка наука) Латинска сентенца (изрека) Линеарна јед

3. ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ КереШго та1ег зги/иогит ез1 (Обнављање је мајка наука) Латинска сентенца (изрека) Линеарна јед 3. ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ КереШго та1ег зги/иогит ез1 (Обнављање је мајка наука) Латинска сентенца (изрека) Линеарна једначина по х је свака једначина са непознатом х која

Више

Microsoft Word - AIDA2kolokvijumRsmerResenja.doc

Microsoft Word - AIDA2kolokvijumRsmerResenja.doc Konstrukcija i analiza algoritama 2 (prvi kolokvijum, smer R) 1. a) Konstruisati AVL stablo od brojeva 100, 132, 134, 170, 180, 112, 188, 184, 181, 165 (2 poena) b) Konkatenacija je operacija nad dva skupa

Више

atka 26 (2017./2018.) br. 102 NEKE VRSTE DOKAZA U ČAROBMATICI Jadranka Delač-Klepac, Zagreb jednoj smo priči spomenuli kako je važno znati postavljati

atka 26 (2017./2018.) br. 102 NEKE VRSTE DOKAZA U ČAROBMATICI Jadranka Delač-Klepac, Zagreb jednoj smo priči spomenuli kako je važno znati postavljati NEKE VRSTE DOKAZA U ČAROBMATICI Jadranka Delač-Klepac, Zagreb jednoj smo priči spomenuli kako je važno znati postavljati prava pitanja. U Jednako je važno znati pronaći odgovore na postavljena pitanja,

Више

OSNOVNA ŠKOLA, VI RAZRED MATEMATIKA

OSNOVNA ŠKOLA, VI RAZRED MATEMATIKA OSNOVNA ŠKOLA, VI RAZRED MATEMATIKA UPUTSTVO ZA RAD Drage učenice i učenici, Čestitamo! Uspjeli ste da dođete na državno takmičenje iz matematike i samim tim ste već napravili veliki uspjeh Zato zadatke

Више

Skripte2013

Skripte2013 Chapter 2 Algebarske strukture Preslikivanje f : A n! A se naziva n-arna operacija na skupu A Ako je n =2, kažemo da je f : A A! A binarna operacija na A Kažemo da je operacija f arnosti n, u oznaci ar

Више

SKRIPTE EKOF 2019/20 skripteekof.com Lekcija 1: Brojevni izrazi Lekcija 1: Brojevni izrazi Pregled lekcije U okviru ove lekcije imaćete priliku da nau

SKRIPTE EKOF 2019/20 skripteekof.com Lekcija 1: Brojevni izrazi Lekcija 1: Brojevni izrazi Pregled lekcije U okviru ove lekcije imaćete priliku da nau Lekcija : Brojevni izrazi Pregled lekcije U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće: osnovni pojmovi o razlomcima proširivanje, skraćivanje, upoređivanje; zapis razlomka u okviru mešovitog

Више

Microsoft Word - 4.Ucenik razlikuje direktno i obrnuto proporcionalne velicine, zna linearnu funkciju i graficki interpretira n

Microsoft Word - 4.Ucenik razlikuje direktno i obrnuto proporcionalne velicine, zna linearnu funkciju i graficki interpretira n 4. UČENIK RAZLIKUJE DIREKTNO I OBRNUTO PROPORCIONALNE VELIČINE, ZNA LINEARNU FUNKCIJU I GRAFIČKI INTERPRETIRA NJENA SVOJSTVA U fajlu 4. iz srednjeg nivoa smo se upoznali sa postupkom rada kada je u pitanju

Више

Microsoft Word - KUPA-obnavljanje.doc

Microsoft Word - KUPA-obnavljanje.doc KUPA Kupa je oblo feometrijko telo čija je onova krug, a omotač je deo obrtne konune površi a vrhom u tački S. S r Oa kupe je prava koja prolazi kroz vrh kupe i centar onove kupe. Ako je oa normalna na

Више

Microsoft Word - VEROVATNOCA II deo.doc

Microsoft Word - VEROVATNOCA II deo.doc VEROVATNOĆA - ZADAI (II DEO) Klasična definicija verovatnoće Verovatnoća dogañaja A jednaka je količniku broja povoljnih slučajeva za dogañaj A i broja svih mogućih slučajeva. = m n n je broj svih mogućih

Више

Microsoft Word - KVADRATNA FUNKCIJA.doc

Microsoft Word - KVADRATNA FUNKCIJA.doc KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b+ c Gde je R, a i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b+ c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda

Више

Microsoft Word - Algebra i funkcije- napredni nivo doc

Microsoft Word - Algebra i funkcije- napredni nivo doc Algebra i funkcije napredni nivo 01. Nenegativna znači da je vrednost izraza pozitivna ili je jednaka 0. ( 1) ( 1)( 1) 0 razlika kvadrata (( x) + x 1+ 1 ) (( x) 1 ) 0 ( + + 1) ( 1) 0 x x+ x x+ x x x +

Више

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Колоквијум # задатак подељен на 4 питања: теоријска практична пишу се програми, коначно решење се записује на папиру, кодови се архивирају преко сајта Инжењерски оптимизациони алгоритми /3 Проблем: NLP:

Више

Microsoft Word - 1.Operacije i zakoni operacija

Microsoft Word - 1.Operacije i zakoni operacija 1. Operacije i zakoni operacija Neka je S neprazan skup. Operacija dužine n skupa S jeste svako preslikavanje : n n f S S ( S = S S S... S) Ako je n = 1, onda operaciju nazivamo unarna. ( f : S S ) Ako

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan osnovna razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. B. Broj je cijeli broj, tj. pripada skupu cijelih brojeva Z. Skup cijelih brojeva Z je pravi podskup skupa racionalnih brojeva Q, pa je i racionalan broj. 9 4 je očito broj

Више

Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_1112_szerb.doc

Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_1112_szerb.doc Matematika szerb nyelven középszint 111 É RETTSÉGI VIZSGA 011. október 18. MATEMATIKA SZERB NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Формални

Више

Microsoft Word - IZVODI ZADACI _I deo_.doc

Microsoft Word - IZVODI  ZADACI _I deo_.doc . C =0 Tablica izvoda. `=. ( )`=. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`=. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0). (sin)`=cos (ovde je >0 i a >0). (cos)`= - sin π. (tg)`= + kπ cos. (ctg)`= kπ

Више

1.NASTAVNI PLAN I PROGRAM ZA PRVI RAZRED GIMNAZIJE.pdf

1.NASTAVNI PLAN I PROGRAM ZA PRVI RAZRED GIMNAZIJE.pdf GIMNAZIJA Informacijsko komunikacijskih tehnologija Razred: prvi NASTAVNI PROGRAM ZA PREDMET: MATEMATIKA; Sedmični broj časova: 3 Godišnji broj časova : 105 Programski sadržaji za prvi razred: Teme : 1)

Више

Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_jav_utmut0513V28_szerb.doc

Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_jav_utmut0513V28_szerb.doc Matematika szerb nyelven középszint 0513 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 8. MATEMATIKA SZERB NYELVEN МАТЕМАТИКА KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA МАТУРСКИ ИСПИТ СРЕДЊЕГ СТЕПЕНА Az írásbeli vizsga időtartama: 180

Више

08 RSA1

08 RSA1 Преглед ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције RSA алгоритам Биће објашњено: RSA алгоритам алгоритам прорачунски аспекти ефикасност коришћењем јавног кључа генерисање кључа сигурност проблем

Више

Microsoft Word - 15ms261

Microsoft Word - 15ms261 Zadatak 6 (Mirko, elektrotehnička škola) Rješenje 6 Odredite sup S, inf S, ma S i min S u skupu R ako je S = { R } a b = a a b + b a b, c < 0 a c b c. ( ), : 5. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik

Више

CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup priro

CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup priro CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup prirodnih brojeva? 4.) Pripada li 0 skupu prirodnih brojeva?

Више

PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(l

PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(l PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(limes) niza. Svojstva konvergentnih nizova, posebno

Више

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 28. veljače razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 28. veljače razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI ŽUANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 8. veljače 09. 8. razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI OSTUAK RJEŠAVANJA, ČLAN OVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ OSTUAK

Више

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i gumica, hemijska olovka, geometrijski pribor. Upotreba

Више

Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu Elementarne funkcije i preslikavanja u analizi Master rad Mentor: dr Miodrag Mateljević Student: Marija Vu

Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu Elementarne funkcije i preslikavanja u analizi Master rad Mentor: dr Miodrag Mateljević Student: Marija Vu Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu Elementarne funkcije i preslikavanja u analizi Master rad Mentor: dr Miodrag Mateljević Student: Marija Vujičić 1045/2015 Beograd, 2018. Sadržaj 1 Uvod 2 2 Stepena

Више

MAT-KOL (Banja Luka) XXV (1)(2019), DOI: /МК A ISSN (o) ISSN (o) JOŠ JEDAN DO

MAT-KOL (Banja Luka) XXV (1)(2019), DOI: /МК A ISSN (o) ISSN (o) JOŠ JEDAN DO MAT-KOL (Banja Luka) XXV ()(9), -8 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm DOI:.75/МК9A ISSN 54-6969 (o) ISSN 986-588 (o) JOŠ JEDAN DOKAZ PTOLEMEJEVE TEOREME I NJENA ZNAČAJNA PRIMJENA Dr. Šefket Arslanagić,

Више

Analiticka geometrija

Analiticka geometrija Analitička geometrija Predavanje 3 Konusni preseci (krive drugog reda, kvadratne krive) Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 1 / 22 Ime s obzirom na karakteristike

Више

P1.1 Analiza efikasnosti algoritama 1

P1.1 Analiza efikasnosti algoritama 1 Analiza efikasnosti algoritama I Asimptotske notacije Master metoda (teorema) 1 Asimptotske notacije (1/2) Služe za opis vremena izvršenja algoritma T(n) gde je n N veličina ulaznih podataka npr. br. elemenata

Више

Grafovi 1. Posmatrajmo graf prikazan na slici sa desne strane. a) Odrediti skup čvorova V i skup grana E posmatranog grafa. Za svaku granu posebno odr

Grafovi 1. Posmatrajmo graf prikazan na slici sa desne strane. a) Odrediti skup čvorova V i skup grana E posmatranog grafa. Za svaku granu posebno odr Grafovi 1. Posmatrajmo graf prikazan na slici sa desne strane. a) Odrediti skup čvorova V i skup grana E posmatranog grafa. Za svaku granu posebno odrediti njene krajeve. b) Odrediti sledeće skupove: -

Више

7. а) 3 4 ( ) ; б) ( ) ( 2 5 ) ; в) ( ) 3 16 ; г) ( ). 8. а) ( г) ) ( ) ; б)

7. а) 3 4 ( ) ; б) ( ) ( 2 5 ) ; в) ( ) 3 16 ; г) ( ). 8. а) ( г) ) ( ) ; б) 7. а) ( 5 + 5 ) ; б) ( 5 8 5 6 ) ( 2 5 ) ; в) ( 9 + ) 6 ; г) 5 ( 2 + 2 29 ). 8. а) ( г) 2 2 + ) ( + 2 ) ; б) 2 ( + 2 ) + 2 ; в) ( 0 + 5 ) ( 2 ( 7 6 )) ; 7 2 + ( + ( 8 6 ( 2 ) 2 )) ; д) ( 2 5 ( 2 + 7 0

Више

Paper Title (use style: paper title)

Paper Title (use style: paper title) Статистичка анализа коришћења електричне енергије која за последицу има примену повољнијег тарифног става Аутор: Марко Пантовић Факултет техничких наука, Чачак ИАС Техника и информатика, 08/09 e-mal адреса:

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja) 5 5: 5 5. B. Broj.5 možemo zapisati u obliku = =, a taj broj nije cijeli broj. 0 0 : 5 Broj 5 je iracionalan broj, pa taj broj nije cijeli broj. Broj 5 je racionalan broj koji nije cijeli broj jer broj

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja) . D. Zadatak najbrže možemo riješiti tako da odredimo decimalne zapise svih šest racionalnih brojeva (zaokružene na dvije decimale ako je decimalan zapis beskonačan periodičan decimalan broj). Dobivamo:

Више

kolokvijum_resenja.dvi

kolokvijum_resenja.dvi Геометриjа 2 колоквиjум 2019. Димитриjе Шпадиjер 25. jануар 2019. 1. Важи H(,;K,L) ако постоjи права p коjа не садржи тачку и сече праве,,k,l у неким тачкама X,Y,M,N таквим да важи H(X,Y;M,N). Права сече

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 1. A. Svih pet zadanih razlomaka svedemo na najmanji zajednički nazivnik. Taj nazivnik je najmanji zajednički višekratnik brojeva i 3, tj. NZV(, 3) = 6. Dobijemo: 15 1, 6

Више

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i gumica, hemijska olovka, geometrijski pribor. Upotreba

Више

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka) 1. D. Svedimo sve razlomke na jedinstveni zajednički nazivnik. Lako provjeravamo da vrijede rastavi: 85 = 17 5, 187 = 17 11, 170 = 17 10, pa je zajednički nazivnik svih razlomaka jednak Tako sada imamo:

Више

Microsoft Word - PARNOST i NEPARNOST FUNKCIJE.PERIODICNOST

Microsoft Word - PARNOST i NEPARNOST FUNKCIJE.PERIODICNOST PARNOST i NEPARNOST FUNKCIJE PERIODIČNOST FUNKCIJE PARNOST i NEPARNOST FUNKCIJE Ako je f ( ) = f ( ) funkcija je parna i tada je grafik simetričan u odnosu na y osu Ako je f ( ) = f ( ) funkcija je neparna

Више

23. siječnja od 13:00 do 14:00 Školsko natjecanje / Osnove informatike Srednje škole RJEŠENJA ZADATAKA S OBJAŠNJENJIMA Sponzori Medijski pokrovi

23. siječnja od 13:00 do 14:00 Školsko natjecanje / Osnove informatike Srednje škole RJEŠENJA ZADATAKA S OBJAŠNJENJIMA Sponzori Medijski pokrovi 3. siječnja 0. od 3:00 do 4:00 RJEŠENJA ZADATAKA S OBJAŠNJENJIMA Sponzori Medijski pokrovitelji Sadržaj Zadaci. 4.... Zadaci 5. 0.... 3 od 8 Zadaci. 4. U sljedećim pitanjima na pitanja odgovaraš upisivanjem

Више

Pelova jednaqina verzija 2.1: Duxan uki 0 Uvod Qesto smo se sretali sa linearnim diofantskim jednaqinama, i ovakve jednaqine znamo da rexav

Pelova jednaqina verzija 2.1: Duxan uki 0 Uvod Qesto smo se sretali sa linearnim diofantskim jednaqinama, i ovakve jednaqine znamo da rexav Pelova jednaqina verzija.1: 1..015. Duxan uki 0 Uvod Qesto smo se sretali sa linearnim diofantskim jednaqinama, i ovakve jednaqine znamo da rexavamo pomo u jednostavnog algoritma. Diofantske jednaqine

Више

Орт колоквијум

Орт колоквијум II колоквијум из Основа рачунарске технике I - 27/28 (.6.28.) Р е ш е њ е Задатак На улазе x, x 2, x 3, x 4 комбинационе мреже, са излазом z, долази четворобитни BCD број. Ако број са улаза при дељењу

Више