PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(limes) niza. Svojstva konvergentnih nizova, posebno teorema o uklještenju. Košujev niz i Košijeva teorema. Tablica limesa elementarnih nizova. 1. Za sledeće nizove odrediti tačke nagomilavanja i granične vrednosti ukoliko postoje: {( 1) n n}, {( 1) n }, {1/n}.. Ispitati konvergenciju niza {a n }, gde je a n = n/(n + 1). 3. Dokazati da je lim a = 1 (a > 0). n 4. Naći granične vrednosti nizova: a) lim ( n + 3 n) n ( b) lim 1 1 ) n n 3n c) lim n ( 1 + 1 n) n+10. Pitanja o neprekidnosti i limesima realnih funkcija Dati Košijevu i Hajneovu definiciju granične vrednosti funkcije f(), D R u tački nagomilavanja oblasti definisanosti D koja ne pripada D. Osnovna svojstva limesa. Tablica limesa elementarnih funkcija. Granične vrednosti funkcija 5. Naći sledeće granične vrednosti: sin m (i) lim 0 sin n 1 tan 1 + tan (ii) lim π sin (iii) lim (1 ) tan π 1 (iv) lim 0 1 cos 1
(v) lim (cos ) 0 (vi) lim 1 sin ( + 1 1 (vii) lim (sin ) tan π ( cos (viii) lim 0 cos log (i) lim a (1 + ) 0 ) 1 ) 1 ln a (1 + ) () lim 0 (1 + ) α 1 (i) lim. 0 6. Data je funkcija e 1 + a a. e 1 + Odrediti levu i desnu graničnu vrednost ove funkcije u tački = 0. vrednosti a postoji granična vrednost u tački = 0. rtial Za koje Neprekidnost funkcija Definisati neprekidnost funkcije u proizvoljnoj tački oblasti definisanosti i na celoj oblasti. Svojstva funkcija neprekidnih na odsečku [a, b]. Prekidi prve vrste i asimptote. 7. Ispitati neprekidnost sledećih funkcija: f() = {, 1, > 1, f() = 1 1, 1., = 1 Izvodi funkcija Izvod i diferencijal. Osnovna pravila izračunavanja izvoda. Tablica izvoda elementarnih funkcija. Izvod inverzne, složene i parametarski definisane funkcije. Geometrijski smisao izvoda i diferencijala. Osnovne teoreme diferencijalnoga računa (Fermaova, Rolova, Lagranžova i Košijeva) i Lopitalova pravila.
8. Naći izvode funkcija: (i) y = ( 4 + 6 + 5) (ii) y = e e (iii) y = ln 1 1+ (iv) y = sin 3 ( + e ) (v) y = sin 1+cos (vi) y = (vii) y = a b (viii) y = (ln ) (i) = a(t sin t), y = a(1 cos t) (a > 0, t (0, π)). 9. Napisati jednačinu tangente i jednačinu normale grafika funkcije y = 1 1+ u tački sa apscisom. 10. Naći koeficijent pravca tangente krive u tački (0, 0). 11. Naći n-ti izvod sledećih funkcija: (i) y = a (ii) y = sin (iii) y = cos (iv) y = n. { = t ln t y = ln t t 3 Lopitalovo pravilo 1. Primenom Lopitalovih pravila naći granične vrednosti: (i) lim ln ln(1 ) 1 (ii) lim 0+ e (iii)) lim (1 ). Viši izvodi i diferencijali ekplicitno definisanih funkcija. Tejlorova i Maklorenova formula. Intervali monotonosti i lokalni ekstrmumi diferencijabilnih funkcija.
4 Intervali konveksnosti, konkavnosti i prevojne tačke. Opšti postupak ispitivanja i grafičkog predstavljanja realnih funkcija. Grafici funkcija 13. Ispitati tok i nacrtati grafik sledećih funkcija: (i) y = ( + 1) + 1 (ii) y = 3 3 ( 1) 3 (iii) y = ( + 1) (iv) y = + 1 (v) y = e (v) y = (1 )e (vi) y = ( 1)e (vii) y = e 1 (viii) y = e 1 1 (i) f) y = e 1 1+ () y = ln (i) y = ln (ii) y = 1 ln 1+ln. Integrali Primitivna funkcija i neodredjeni integral. Tablica integrala elementarnih funkcija. Osnovne metode integracije. Integrali nekih funkcija u kojima se nalazi kvadratni trinom. Integrali racionalnih, iracionalnih, trigonometrijskih i nekih transcendentnih funkcija. Integracija smene 14. e 3 1 d 15. 3 4 + 5d
5 16. e e 3 d 17. 3 1 d Svodjenje kvadratnog trinoma na kanonički oblik 18. d ++1 19. +1 ++1 d 0. +7 + d 1. d ++1. +1 ++1 d 3. d 1 d Parcijalna integracija 4 a d 5. a d 6. + a d 7. n e d 8. 3 sin d 9 n ln d 30. arccos d 31 naći vrednost sledećih integrala: (i) A = e sin d i B = e cos d (ii) A = sin(ln )d i B = cos(ln )d.
6 3. 3 arccos 1 d Integral racionalne funkcije 33. 6 1 d 34. 3 +1 3+ d 35. ( 1)(+1)( +1) d 36. d 5 + 37. +1 3 + 1 d 38. 3 +1 4 3 3 ++3 d 39. ( 1) (+1) d Iracionalne funkcije 40. +1 1 +1+ 1 d 41. d ( 3 +1) 4. d (1+ + 3 ) 43. d (+1) 1 44. 1 1+ 1 1 d 45. d + ++1 46. (1 ++1) d ++1
7 Trigonometrijske funkcije 47. sin 3 cos 5d 48. sin cos d sin 4 d 49. d (+cos ) sin 50. cos +cos d 51. sin sin +cos d Odredjeni integral sa nekim primenama Definisati odredjeni integral i dati osnovnu teoremu o integabilnim funkcijama. Geometrijski smisao odredjenog integrala i osnovna svojstva. Teorema osrednjoj vrednosti integrala. Odredjeni integral sa promenljivom gornjom granicom. Lajbnicova formula. Izračunati integrale: 5 0 d + 3 + 1, π 0 sin d 1 + cos. Izračunati površinu oblasti ograničene krivom y = ln i pravama = 1 e, = e, y = 0. U tačkama preseka prave y = 0 i parabole y = 4 povučene su normale na parabolu. Izračunati površinu ograničenu parabolom i normalama. Izračunati površinu dela ravni koju zaklapa kriva z = ln +ln ordinatom u tački maksimuma. sa delom -ose i Oblast ograničena krivama y = i y = rotira oko prave y = 3. Izračunati zapreminu tako nastalog rotacionog tela. Na`ci zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivom y = 1 1+, i pravom y = 0 oko - ose. Naći zapreminu tela koje nastaje rotacijom prvog luka cikloide oko y-ose. Izračunati dužinu jednog luka cikloide = a(t sin t), y = a(1 cos t) = a(t sin t), y = a(1 cos t), t [0, π]. Mašinski fakultet u Nišu školske 006/007 godine