Zadatak Pokažite, koristeći svojstva esa, da je ( 6 ) 5 Svojstva esa funkcije u točki: Ako je k konstanta, k k c c c f ( ) L i g( ) M, tada vrijedi: c c [ f ( ) ± g( ) ] c c f ( ) ± g( ) L ± M c [ f ( ) g( ) ] c c f ( ) g( ) L M, posebno je c k c f ( ) k c f ( ) kl f ( ) 5 c g ( ) f ( ) c g( ) c L M, ako je M 6 n f ( ) c n c f ( ) n L, ako je > L i n paran broj Ovdje je f ( ) 6 polinom, pa prema svojstvima,, i esa vrijedi: ( 5 6 ) 5 6 ( ) ( ) 6 5 5 6 5 5 5 5 5 5 5 Posebno je i f ( 5) ili drugim riječima, es funkcije f ( ) 6 u točki 5 je jednak vrijednosti te funkcije u toj točki Zadatak Odredite Josipa Perkov, prof, predavač - -
Pri računanju esa racionalne funkcije postupit ćemo na slijedeći način: Ako je zadana racionalna funkcija definirana u točki c u kojoj tražimo es, to je es funkcije u toj točki jednak vrijednosti funkcije u toj točki Ukoliko su međutim esi polinoma u brojniku i nazivniku jednaki kada brojniku i polinom u nazivniku sa Ponekad se taj postupak treba ponoviti više puta c, tada podijeo polinom u c i računamo es tako dobivene funkcije U ovom zadatku je f ( ) racionalna funkcija Kako su i brojnik i nazivnik racionalne funkcije polinomi to je ( ) ( ) 5 i ( ) ( ) ( ) 9 Koristeći svojstvo 5 dobivamo: ( ) ( ) 5 9 Zadatak Odredite ( ) ( ) Dobili smo neodređeni oblik Dakle, svojstvo 5 ne možemo primijeniti Kako je D( f ) R \ {,} vidimo da f () ne postoji, tj funkcija f nije definirana u točki No u definiciji esa se i ne zahtijeva da funkcija bude definirana u točki u kojoj tražimo es, već samo u okolini te točke U našem primjeru mi dakle ne promatramo zadanu funkciju u točki već u okolini te točke, a to znači za No za je Josipa Perkov, prof, predavač - -
( )( ) ( )( ) Sada tražimo: Zadatak Odredite: 5 5, b), c) 7 5 5 ( 5)( 5) ( 5) 7 5 ( 5)( ) 5 ( ) b) ( )( ) 7 c) ( )( ) ( )( ( )( ) ( )( ) ) 5 Zadatak 5 Nađite Primjenom svojstava 5 i 6 dobivamo 5 ( 5 ) 5 ( ) što je neodređeni oblik Josipa Perkov, prof, predavač - -
Pri računanju esa iracionalnih funkcija, tj funkcija kod kojih se u brojniku ili nazivniku pojavljuju iracionalni izrazi i pri tome su esi izraza u brojniku i nazivniku jednaki, racionaliziramo brojnik ili nazivnik i poslije pojednostavnjivanja računamo es tako dobivene funkcije Racionaliziranjem međutim dobivamo 5 5 5 5 5 ( )( ( ) 5 ) 5 9 ( )( 5 ) ( )( 5 ( 5 ) 5 ) 6 Zadatak 6 Nađite ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 7 Nađite Svojstva esa funkcije u beskonačnosti: Neka je c R konstanta, tada vrijedi: c c, c c c, za p > p c n za n Z Josipa Perkov, prof, predavač - -
Važno je napomenuti da svojstva do 6 esa u točki vrijede i za jednostrane ese te za ese funkcije u beskonačnosti ( ) ( ) (neodređeni izraz) Da bismo sačuvali ova tri svojstva esa u beskonačnosti, prvo podijeo i brojnik i nazivnik najvećom potencijom od, te tada odredimo es dobivenog izraza / : / : Primijenimo sada svojstvo esa funkcije u beskonačnosti: ( ) ( ) Zadatak 8 Odredite: 7, b), c) 5, 6 d) 5 7, e) b) / : 7 / : 7, f) / : / : Josipa Perkov, prof, predavač - 5 -
c) d) e) f) 5 5 / : 6 / : 6 5 7 5 7 / : / : / : / : / : / : Zadatak 9 Odredite:, b), c) Pri rješavanju ovog zadatka koristit ćemo se esom: k e k e e e b) e Josipa Perkov, prof, predavač - 6 -
c) / : / : e e e 5 Zadatak Odredite asimptote funkcije: f ( ) Pravac je vertikalna asimptota funkcije f () ukoliko postoji realan broj za koji je f ( ) ili f ( ) Vertikalnu asimptotu tražimo u okolini točke u kojoj zadana funkcija f nije definirana Pravac y a je horizontalna asimptota funkcije f () ako vrijedi f ( ) a ili f ( ) a Krivulja može imati najviše dvije horizontalne asimptote Pravac y k l je kosa asimptota funkcije f () ako postoje esi f ( ) k R\ { }, l [ f ( ) k] R gdje je k koeficijent smjera, a l odsječak na osi y te kose asimptote Da bi odredili vertikalnu asimptotu zadane funkcije primijetimo da je D( f ) R \ {} Zato promatramo: Josipa Perkov, prof, predavač - 7 -
f ( ) f ( ) Vidimo dakle da je pravac vertikalna asimptota Ispitajmo ima li zadana funkcija horizontalnih asimptota: / : / : Skica grafa: pravac y je horizontalna asimptota y Zadatak Odredite asimptote funkcije: f ( ) Vidimo da je D( f ) R \ {} Potražimo ese u okolini točke f ( ) f ( ) Vidimo dakle da je pravac vertikalna asimptota Josipa Perkov, prof, predavač - 8 -
/ : Horizontalne asimptote nema jer je: / : Ispitajmo ima li funkcija kosu asimptotu: k f ( ) / : / :, l ( f ( ) k) kosa asmiptota je pravac: y y Skica grafa: y Josipa Perkov, prof, predavač - 9 -