9 TRGOVAČKI BROD - TRIGONOMETRIJA ležaj ima, a pedviđene su i kabine za invalidne osobe. Na više paluba s javnim postoom za boavak putnika nalazi se tgovački centa s podavaonicama, salon, posto za poslovne sastanke i pedavanja, koncete, noćni klub, pvoazedni estoani, ekeacijski centa, bazeni, saune, solaij itd. U gadnji takvih bodova istaknuto mjesto zauzima bodogadilište Bodosplit (Bodogađevna industija Split), koje je stanim naučiteljima ispoučilo četii takva boda: Amoella i Isabella izgađeni su 988. i 989, Fans Suell 99, a Cown o f Scandinavia 99. godine. Bod Fans Suell ima paluba, ačunajući od pokova dvodna do komilamice. Ukupni mu je smještajni kapacitet 333 putnika u 686 kabina, koje se nalaze na palubama b., 5, 6, 7, 9 ili. Javni je posto uglavnom na palubama b. 7, 8, 0 i. Manji se automobili mogu smjestiti na podiznim palubicama (b., 000 metaa pakine staze), a veća vozila na palubi b. 3 (vozno-pakima staza od 00 metaa). Poketne palubice za automobile nalaze se s obje stane sedišnjeg ova. Doba polaznost vozila postiže se zahvaljujući velikim pamčanim vatima i ampi (duljina,6m, visina 5m, šiina voznog taka 7m) te dvostukoj kmenoj ampi. Glavne su značajke boda: duljina peko svega 69,m, duljina između okomica 9,8 m, najveća šiina 8,m, najveći gaz 6,5 m, nosivost na najvećem gazu 960t. Populziju daju četii sednjohodna Dieselova motoa koji su peko eduktoa spojeni s dvije osovine s peketnim vijcima. Bzina od,5 čvoova postiže se pi 73,6% najveće snage. Izletnički bod služi za jednodnevne izlete s azmjeno velikim bojem putnika, na kaćim elacijama i u minim moima. Putnici su obično smješteni na glavnoj palubi u salonu, s avionskim sjedalima. To su manji bodovi, duljine 0--*0m i bzine 0- čvoova. Hidobus je manji plovni objekt za pijevoz putnika na katkim stalnim elacijama, np. na ijekama, jezeima, velikim moskim uvalama, odnosno u zaštićenom obalnom pojasu. Svaki putnik ima svoje sjedalo, obično lagane avionske izvedbe. Otvoene palube za šetnju obično nema. Bzina mu je 6* čvoova, već pema elaciji. Mateijal za gadnju tupa aluminijska je slitina, a za pogon služi bzohodni Dieselov moto s edukcijskim pigonom. LIT. R. M uno Sm ith, Mechant Ship Types. J. W. Aowsmith Ltd., Bistol 975. - R. Taggat, Ship Design and Constuction. SN A M E Edition, New Yok 980. - C. G atlin, H. Hiesig, O. Heideich, Ships and thei Populsion System D e velopm ents in Powe Tansmission. Lohmann und Stoltefoht, Witten 98. - K. J. Rawson, E. C. Tuppe, Basic Ship Theoy, Vol. i. Longman, London-N ew Yok 983. - E. V. L ew is, Pinciples o f Naval Achitectue, Vol. I, III. SN A M E Edition, Jesey City 9 8 8-989. - J. B. Caldwell, G. Wad, Pactical Design o f Ships and M obile Units, Vol. i. Elsevie Applied Science Edition, L ondon-n ew Yok 99. /. Belamaić TRIGONOMETRIJA, dio geometije unuta kojeg se poučavaju tigonometijskim funkcijama opisani odnosi između stanica i kutova u avninskom ili sfemom tokutu. Pomoću tigonometijskih funkcija ačunaju se elementi tokuta, svojstva peiodičnih pojava te izvode duge funkcije (v. Funkcije, TE 5, st. 63). Tigonometijske funkcije. Kut se može smjestiti u pavokutni koodinatni sustav tako da se pvi njegov kak poklapa s pozitivnim polupavcem osi x (si. ). Ako su a i y koodinate bilo koje točke A dugog kaka tog kuta, a udaljenost te točke od ishodišta 0, tada omjei bojeva jc, y, ne ovise o izbou točke A na kaku, nego samo o svojstvu pomatana kuta, njegovoj mjei a (v. Planimetija, TE 0, st. 9). Ti su omjei vijednosti pipadne tigonometijskefunkcije mjee kuta a. Teba zapaziti da se i geometijski objekt i njegova mjea zovu kutom i jednako označavaju. Tigonometijske se funkcije zovu (i označavaju) edom sinus (sin), kosinus (cos), tangens (tan; tg), kotangens (cot; ctg), sekans (sec), kosekans (esc; cosec). Definiaju se omjeima: y * sin a =, cosa =, y x tan a =, cot a -, x y sec a =, csca =. x * y (la) (lb ) (lc) Posljednje dvije funkcije jeđe se upotebljavaju je su to samo ecipočne vijednosti kosinusa i sinusa: seca = -------, csca = ------ cos a sin a a to donekle vijedi i za kotangens, je je c o ta = - Teba napomenuti d a je apscisa jc=0 za vijednosti kutova a=7i/ad=90 ili a=37t/ad=70, pa funkcije tangens i sekans nisu definiane. Jednako tako nisu definiane funkcije kotangens i kosekans za a=n ad= 80. Posebno je definiano daje sin0 = 0, cos0 =, tan0 = 0, sec0 =, dok cot0 i csc0 nisu definiani. Za kut a odeđuje se pipadnost jednom od četiiju kvadanata pema tome kojem od kvadanata pipada točka A (si. ). Algebaski pedznaci vijednosti tigonometijskih funkcija ovise o pipadnosti kutova tim kvadantima (tabl. ). T a b lic a PREDZNACI VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA PO KVADRANTIMA Funkcija K vadant I... IV. sin, esc + + - - cos, sec + - - + tan, cot + - + - Između tigonometijskih funkcija istoga kuta postoje veze, na pimje tan a = - sin a cosa cosa cota = -------, sina sina + cosa =,. tanza = -----. Potencianje tigonometijske funkcije pojednostavljeno se, ali nomiano, označava eksponentom uz znak funkcije, dakle () (3) () (5) (6) (7) sin a sin a = (sin a ) = sina, (8) što je azličito od funkcije potencije kuta, na pimje sin (a- a) = s in a. (9)
TRIGONOMETRIJA 93 Dvostane veze između tigonometijskih funkcija navedene su u tablici, a vijednosti tigonometijskih funkcija nekih posebnih kutova navedene su u tablici 3. T a b lic a VEZE IZM EĐU TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA ISTOGA KUTA Funkcija kuta a sin a izažena funkcijom s in a c o s a c o t a ± V l co s a V i + tan a V + co t a T a b lic a 3 VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA NEKIH PO SEBNIH KUTOVA Vijednost kuta a Vijednost funkcije s in a c o s a tan a c o t a 0 o 0 0 00 90 5 - ( V 6 - V ) 8 I ( A - > ) - V I O + V5 - V 3 + V 3 75 - V 5 - I 0 V 5 5 V 5 + V 5 7 c o s a c o t a ± V l - sin a - s in a V i + tan a c o ta ± i--------------- v + co t a V - co s a V - s i n a c o s a c o t a a/ - s i n a + ------------------ s in a c o s a V + co s a 30' - V - V - V + V V - I V + 30 V3 3 67 30/ A 60 36 - V O - V 5 - ( V 5 +.) V 5 - V 5 - V 5 + 0 V 5 5 5 Tigonometijske funkcije su peiodične. Temeljni peiod funkcija sinus i kosinus je 7, pa vijedi sin (a + k n) = sina, cos(a + kn) = cosa. ( 0) Temeljni peiod funkcija tangens i kotangens je c, pa vijedi tan(a + A'7i) = tan a, co t(a + &7i) = co ta. ( ) Tigonometijske funkcije sinus, kosinus, tangens i kotangens gafički su pikazane na slici i slici 3. Pibližne vijednosti tigonometijskih funkcija pojedinih kutova mogu se očitati ili izačunati intepolacijom iz tablica tih funkcija koje se nalaze u matematičkim piučnicima, a u novije vijeme i pimjenom džepnih kalkulatoa i ačunala. 5 V V 5 80 0-0 00 70 COSp sin/j cot p tan Vijednost kuta p Vijednost funkcije Sinus je nepana, a kosinus pana funkcija, pa vijedi Posljedica je tih jednakosti sin ( - a ) = - s in a, c o s (-a ) = cosa. ( ) ta n (-a ) = S*n ^, = - tana, c o t(-a ) = - c o ta. (3) c o s(-a ) SI.. Gafički pikaz sinusnc i kosinusnc funkcije SI. 3. Gafički pikaz tangensne i kotangensne funkcije TE XIII, 3
9 TRIGONOMETRIJA Za tigonometijske funkcije vijede tzv. adicijski teoemi, a to su: sin(a± j3) = sinacos/3±cosasinj3, () cos(a±p) = cosacosj8 + sinasin/3, (5) tan a ± tan p tan (a ± ß ) = + tan a tan ß c o tacotß + c o t(a ± ß ) = c o tß lc o ta (6) (7) Za pibajanje kuta a kutu tc/, odnosno kutu n, posebno vijede fomule:. f n _ sin + a = cosa, cos [ + a I= ± sin a, V \ J K _ ± c o t a, cot^ + a j = ±, tan ( T.W sin (7 ± a) = + sin a, co s(tu ± «) = - c o s a, t a n ( ïï± a ) = ±, co t(c± a) = ± c o ta. (8) (9) (0) () Iz adicijskih se teoema mogu izvesti i azne duge, za peačunavanje koisne, elacije: sina = sinacos«, cosa - cosa - sin a - cosa -, tan a tan a = - tan a sin a tan a l + tana cota - cota = co ta - tana cosa = l + tana () tangensnipoučak: tan ß - y _ b-c ß + Y tan b + c (9) i heonovske fom ule, koje izažavaju vijednosti tigonometijskih funkcija kutova tokuta pomoću duljina njegovih stanica, na pimje. a l(s-b)(s-c) sin = J - -, a s(s-a) C0S~ bc ; a l(s- b)(s-c) tan = J, x,.v (s-a) (30 a) (30b) (30 c) gdje je poluopseg tog tokuta.?= \/(a + b+c). Sve te elacije omogućuju da se iz zadanih elemenata tokuta (duljina stanica i mjea kutova) izačunaju ostali njegovi elementi. s in ~ = ± ta n ^ = ± - c o s a - c o s a + cosa 5 CC / + cosa cos = ±,l f V a / + cosa V- c o s a C O t ~ = ± A J. (3) a ± ß a + ß sin a ± sin ß = sin[----- cos-----. a - ß co sa + cos^ = cos eos. a + ß. a - ß co sa - c o s ß = - sin - s m -----, _ sin (a±ß) ± tan ß =, cos a cos ß co ta ± cot ß = s'm(ß±a) sinasin/3 ( a) ( b) ( c) (5 a) (5 b) S.. Označivanje elemenata općenitog (a), pavokutnog (b ) i sfem og (c) tokuta Za pavokutni tokut (y=90 ; si. b) vijedi a b a sin a =, cosa =, =, c c b b a b sin/3 =, cosß =, tan ß =. c e a (3a) (3b) Tigonometijski odnosi u sfenom tokutu. U sfemom tokutu ABC kutne mjee stanica jesu a, b i c te supotnih kutova a, p i y (si. c). Taj je sfemi tokut odeđen s po ti od tih šest podataka, pa bilo koja četii od njih moaju biti vezana nekom e- Tigonometijski odnosi u avninskom tokutu. U tokutu iacijom. Takvih je elacija ukupno petnaest, a izažavaju se u četii ABC duljine su stanica a, b, c, mjee supotnih kutova su a, /?, 7, poučka za sfemi tokut, a je polumje opisane kužnice (si. a). Niz elacija povezuje te veličine i vijednosti tigonometijskih funkcija kutova tog tokuta: Sinusni poučak povezuje po dva paa supotnih stanica i kutova, a sve ti takve elacije mogu se zajedno pisati kao sinusni poučak: sina _ sin 7 _ sine (3) kosinusni poučak: - = =,(6) sin a sin p s in / c = a + b - a b c o s y (7) i još dvije analogne fomule za a, odnosno 6, ili eksplicitno a + b - c cosy = - ab (8) sin a sinß s in / Kosinusni poučak povezuje sve ti stanice i po jedan kut, a sastoji se od ti analogne fomule, od kojih je jedna cosa = cos6 cosc + sin6 sinccosa. (33) Dvojni (dualni) kosinusni poučak povezuje sva ti kuta i po jednu stanicu, a sastoji se od tiju elacija, od kojih je jedna co sa = - cos ß cos 7 + sinß sin 7 cos a. (3)
TRIGONOMETRIJA 795 Kotangensnipoučak povezuje po dvije stanice i dva kuta, pi čemu dolazi samo po jedan pa supotnih elemenata. Sastoji se od šest fomula, od kojih je jedna cota sin y tan- a - b ~ ~ _ D'Alembetove fomule: co ta sin b = cotbcotp, tan a - p tan a + p, itd.,. a + p a - b. a - p. a - b sin----- cos------ sin----- sin------ cos 7 c 7. c 5 cos cos sin a + P a + b cos----- cos------ a - p cos----- sin 7 c cos sin 7 Napieove fomule: Heonovske fom ule: a + P tan. a + b sin------, itd.,. c sin a - b cos------ t a n - ---------- c o s l i í. a - b a sin------- tan tan.. a + b sin------,, cos---- a + b c i tan------- cot = -------- <* + cos a + b tan-. a - p, sin------- a - b c tan------- c o t- = ------- f, itd.,. «+ sin-. a \s\n(s - b)s\n(s - c) sin = J. '. * sin asm c a fsîn.çsin(.ç-a) cos =, I, sin/>sinc a _ I sin (s-b) sin (s-c). tan =, itd., sin s sin (.? a) gdje je s = (a + b + c) poluopseg tokuta, dvojne (dualne) Heonovskefomule: (35) a ostale se dobivaju zamjenama slova a, b, c i odgovaajućim zamjenama slova a, p, y. Osim tih osnovnih postoje i dugi, za peačunavanje koisni, poučci i elacije: tangensni poučak: (36) (37) (38 a) (38 d) a tan = -cosccos(c-a) cos(cj - p)cos(a - y), itd., (0 c) gdje je a = / (a+p+y) poluzboj kutova tokuta. Za sfeme polumjee opisane i upisane kužnice (, odnosno p) pomatanog tokuta vijede elacije: J sins sin (.v - a) sin (.v - b) sin (s - c) ---------- y L i =. a. b. c sin sin sin I cos(cj - a)cos(c7 - p)cos(o - y) -cosa _ ^sin(.<s - a) sin (s - b) sin (.v - c) tanp sin.v -cos (7 cos(cj - a)cos(c7 - p)co s(o - y) o «P y cos cos cos () () Za sfeni eksces tokuta e= a + P + y- n vijedi LHuilieova fomula: s s - a s - b s - c tan- tan tan-------tan tan------ - - Í i ti fomule, na pimje a b. tan tan sin t a n - = -------A -------- a b + tan ta n c o s cosc = cot a cot (39 a) Svih se tih deset elacija može izeći u obliku Napieova pavila: ako su pet elemenata pavokutnog sfemog tokuta (pavi kut se ispušta) kužno aspoeđeni edoslijedom kako se nalaze u (39 b) tokutu (si. 5), pi čemu su katete a i b zamijenjene dopunama do 7i/, tada je kosinus svakog od elemenata jednak umnošku ko- itd. (3) () Legendeovpoučak glasi: sfeni tokut kojemu su stanice vlo male s obziom na polumje sfee može se dobo apoksimiati HR M a v n in s k im tokutom jednakih stanica i povšine, te kutovima, ( ' koji su od odgovaajućih kutova sfemog tokuta manji za po tećinu sfemog ekscesa tog tokuta. U pavokutnom sfemom tokutu s pavim kutom y za pet elemenata (a, b, c, a, P) postoji ukupno deset osnovnih elacija koje uključuju po ti elementa: (38 c) Pitagoin poučak za pavokutni sfemi tokut (39 c) zatim cos c =cos a cosb, (5) sina = sincsina, sin b - sine sin p, tana = tane cos p, tan 6 = tane cos a, tana = sin b tan a, tan b - sin a tan p, (6) cosa = cosasin/j, cos p = cos 6sina,. a I - cosccos(c-a) sin - = J ------- -------L, smpsmy a I cos(c - p)cos(a - y) cos = J -------. sin p sin y (0 a) (0 b) SI. 5. Pavokutni sfeni tokut (a) i kužni aspoed njegovih elemenata (b)
96 TRIGONOMETRIJA - TRIGONOMETRIJSKA MREŽA tangensa od dvaju njemu susjednih elemenata ili umnošku sinusa od dvaju peostalih elemenata, na pimje ili cosa = c o, ( í - ) cote cosa = sin f - a \ sin p. (7) (8) U pavokutnom sfemom tokutu elacija za tans/ popima vlo jednostavan oblik: e a b tan = tan tan. (9) Sve navedene elacije služe za ačunanje s tigonometijskim funkcijama, bez obzia na geometijsko značenje funkcija. V. Volenec TRIGONOMETRIJSKA MREŽA, skup međusobno umeženih i stabilizianih točaka na Zemljinoj povšini s odeđenim hoizontalnim i visinskim položajem u jedinstvenom koodinatnom sustavu. Točke se aspoeđuju po teenu pema unapijed sastavljenom pojektu, a služe kao oslonac za izmjeu (pemje) tla (v. Geodetska izmjea zemljišta, TE 6, st. ) i potom za dobivanje topogafsko-katastaskih planova i kaata azličita mjeila, te kao koodinatni sustav za ostvaivanje mnogih inženjeskih adova na teenu i za azne znanstvene potebe (odeđivanje oblika, izmjea i fizikalnih svojstava Zemlje). Nezamjenjivu ulogu u azvoju geodezije i ostalih geoznanosti ima uspostavljanje i osuvemenjivanje osnovnih geodetskih meža, koje su temelj za izvođenje ostalih geodetskih adova, bilo za paktične ili znanstvene namjene. Osnovnim geodetskim adovima pikupljaju se temeljni podatci o položaju i visini točaka geodetskih meža i temeljni podatci o geofizičkim, odnosno geodinamičkim poljima. Geofizička su polja np. polje ubzanja sile teže, geomagnetna polja i si., a u geodinamička se polja ubajaju polja sila koje uzokuju pomake Zemljina tla (np. pomake tektonskih ploča). To su osnovne geodetske baze, tj. skupina geodetskih meža i točaka definianih u astonomsko-geodetskoj meži, tigonometijskoj meži, meži peciznog nivelmana i nivelmana velike točnosti, te osnovnoj gavimetijskoj meži. U suvemenoj se geodeziji te meže ujedinjuju, tj. sve se mjene veličine (duljine, kutovi, pavci, azimuti, visinske azlike, koodinatne azlike, azlike ubzanja sile teže i njihove deivacije) zajednički obađuju, pa je tako nastao novi pojam integiana geodezija. Pimjenom suvemenih satelitskih metoda za uspostavljanje geodetskih meža i mjeenjem apsolutnih ubzanja sile teže podatci o geodetskim točkama često se dobivaju samostalno (odvojeno), te je u budućnosti ealnije govoiti o polju točaka nego o meži izavno povezanih točaka. Tigonometijske meže aspostanjene po cijelom teitoiju džave osnovne su džavne položajne meže. One omogućuju ujedinjenje geodetskih adova azličitih mjeila, izvedenih u azličito vijeme i na azličitom mjestu. U novije je doba istodobnom pimjenom kinematičkih globalnih pozicijskih sustava (satelitsko odeđivanje položaja) i aeofotogametije moguće paalelno stvaati meže i snimati detalje. Razvijanje tigonometijskih meža sastoji se od teenskih adova te obadbe i intepetacije ezultata teenskih mjeenja. Teenski se dio ada sastoji u oganizaciji i izvođenju astonomsko- -geodetskih mjeenja. U posljednje doba tu pipada i pikupljanje baze podataka izavno na teenu. Obadba i intepetacija ezultata obuhvaća edukciju obavljenih mjeenja na pihvaćenu efeentnu plohu, matematičku obadbu ezultata mjeenja, njihovu sistematizaciju i gafičko pikazivanje, te stvaanje izlaznih podataka. Tigonometijske se meže uspostavljaju teestičkim i satelitskim metodama, odnosno pomoću klasične i pomoću satelitske tiangulacije, tilateacije i poligonometije. Sve do 970. tigonometijske meže velike točnosti azvijane su samo klasičnim teestičkim mjeenjima. Već sedamdesetih godina satelitske su metode dostigle azinu točnosti najtočnijih teestičkih metoda s elativnom pogeškom stanice IO-6. To je vijedilo samo za udaljenosti od 00- * 000 km. Jedna takva meža ostvaena je na osnovi fotogafskog odeđivanja pavaca pema satelitu PAGEOS. Dalje povećanje točnosti za egionalnu upotebu nije bilo moguće, pa ta metoda satelitske geodezije nema danas paktičnog značenja. Osjetno povećanje točnosti u satelitskoj geodeziji ostvaeno je laseskim mjeenjima udaljenosti do umjetnih Zemljinih satelita. Instumentima Satellite-Lase-Ranging teće geneacije i pikladnim eflektoima na satelitima (satelit LAGEOS) može se odediti udaljenost od stajališta na Zemlji do satelita s točnošću od - 3 cm. Istodobnim opažanjem istog satelita s najmanje četiiju teestičkih stajališta može se ostvaiti tigonometijska meža velike točnosti. U paksi je to teško ostvaivo zbog visoke cijene instumentaija i zbog meteooloških okolnosti koje ometaju istodobna opažanja. Ta se mjeenja pimjenjuju u tektonski aktivnim podučjima u okviu odeđenih geodinamičkih pogama adi odeđivanja udaljenosti i pomjena udaljenosti između stajališta na tektonskim pločama. Zbog već navedenih azloga u bliskoj se budućnosti ne očekuje upoaba laseskih mjeenja u opeativnim geodetskim zadatcima. U azdoblju od 970. do 980. godine snažan je azvoj doživjelo doplesko mjeenje, koje od tog doba postaje osnovna metoda satelitske geodezije. Sa sustavom NNSS (engl. Navy Navigation Satellite System), pikladnom mjenom opemom i ačunalnim pogamima mogu se dobiti koodinate s točnošću od ±0, -±0,3 m. Tek na udaljenostima stajališta većim od 00 km dopleske točke mogu sačinjavati osnovu egionalnih geodetskih meža. Već se pimjenjuje, a pogotovo će se u budućnosti pimjenjivati globalni pozicijski sustav (GPS), koji i na katkim udaljenostima daje točnost jednaku točnosti sadašnjih klasičnih teestičkih metoda. Ta metoda ne zahtijeva dogledanje stajališta, dakle ni podizanje skupih signala, pa se već danas ubaja među najekonomičnije pecizne metode. Laseska mjeenja i adiointefeometija (metoda VLBI, engl. Vey Long Baseline Intefeomety) daju gotovo jednaku točnost, ali se, zbog velikih toškova i poblema tanspota, ne upotebljavaju za stvaanje osnovnih meža, nego samo za odeđivanje točnih baza za kontolu koodinata i mjeila meža azvijenih po ostalim satelitskim metodama, te u znanstvene svhe (utočnjavanje inecijskog sustava koodinata, odeđivanje oblika i izmjea Zemlje i d.). Zbog oganičene točnosti i velikih toškova inecijski sustavi (Inetial Suveying System, ISS) takođe nisu općenito pogodni, pa se pimjenjuju samo u posebnim slučajevima. Satelitska dopleska mjeenja i mjeenja na temelju globalnog pozicijskog sustava pogodna su pije svega za dobivanje koodinata točaka džavnih meža i meža u inženjeskoj geodeziji. Koncepcija uspostave osnovnih džavnih meža, s obziom na sadašnje mogućnosti satelitske geodezije, mijenja se iz temelja, te mnogi autoi smataju meže satelitske geodezije mežama nultog eda. Da bi se ispavno upotijebila bilo koja metoda, potebno je poznavati njezinu točnost i ekonomičnost (si. ) Duljina SI.. Točnost metoda pozicijskog odeđivanja