Povratna veza automati bez ulaza (primjeri a,b i c - zaključak) zaključujemo da automati u primjerima b i c ne mogu biti spojeni u povratnu vezu kako je to prikazano jedina mogućnost ovako konstruirane povratne veze je za automat u primjeru a {ne}/ne {da}/ne {da}/da {ne}/da Povratna veza izlaz određen stanjem {ne}/ne {da}/ne {da}/da {ne}/da ovo je ujedno i primjer automata za koji vrijedi da je izlaz određen stanjem jer je jednak za oba moguća ulazna znaka dakle y(n)=ne za x(n)= i y(n)=da za x(n)= Povratna veza izlaz određen stanjem kažemo da automat A ima izlaz određen stanjem ako za svako dostupno stanje x( n) StanjaA postoji jedinstveni izlazni znak y(n)=b koji ovisi samo o x(n) a ne ovisi o ulaznom znaku dakle ( ( ), ( )) izlaz x n u n = b A očigledno je da je automat s povratnom vezom dobro-formiran 3
Povratna veza izlaz određen stanjem za ovaj specijalni slučaj automat opisujemo Stanja = StanjaA Ulazi = { djeluj, odsutan} Izlazi = IzlaziA pocetnostanje = pocetnostanjea FunkcijaPrijelaza ( x( n), u( n) ) = FunkcijaPrijelazaA ( x( n), b), gdje je b jedinstveni izlazni znak u stanju xn ( ) ak o un ( ) = djeluj ( x( n), y( n) ) ako u( n) = odsutan 4 Povratna veza izlaz određen stanjem ako se automat s izlazom određenim stanjem kombinira s bilo kojim drugim automatom u spoj s povratnom vezom rezultirajući spoj će biti dobro-formiran primjer: kombinacija automata iz prethodnih primjera a i b automat A ima izlaz određen stanjem a automat B ne ukupna kombinacija je dobro-formirana 5 Povratna veza izlaz određen stanjem {djeljuj, odsutan} {da}/ne {ne}/ne {ne}/da {da}/da {ne}/ne {ne}/da {da, ne} {djeljuj, odsutan} {djeluj}/ne {djeluj}/ne (,) (,) (,) {da, ne} {da}/ne {da}/ne (,) {djeluj}/da {djeluj}/da 6
Povratna veza izlaz određen stanjem {ne}/ne {ne}/da {djeljuj, odsutan} {da}/ne {da}/ne {da}/da {ne}/ne {ne}/da {da}/ne {da, ne} trenutno stanje (,) (,) (,) (,) (naredno stanje, izlaz) za ulaz djeluj ((,),ne) ((,),da) ((,),ne) ((,),da) odsutan ((,),odsutan) ((,),odsutan) ((,),odsutan) ((,),odsutan) 7 Povratna veza automati s ulazom ( Stanja, Ulazi, Izlazi, FunkcijaPrijelaza, pocetnostanje) Ulazi Ulazi Izlazi A A Izlazi ( StanjaA, UlaziA, IzlaziA, FunkcijaPrijelazaA, pocetnostanjea) Ulazi Izlazi Ulazi Izlazi A A A A razmatramo dakle automat s dva ulaza i dva izlaza u spoju s povratnom vezom pri čemu je drugi izlaz spojen na drugi ulaz želimo definirati složeni automat označen petorkom (Stanja, Ulazi, Izlazi, FunkcijaPrijelaza, pocetnostanje) svjetloplavim blokom 8 Povratna veza automati s ulazom ulazi i izlazi automata A su oblika odnosno Ulazi = Ulazi Ulazi A A A Izlazi = Izlazi Izlazi izlazna funkcija od A je A A A izlaz : Stanja Ulazi Izlazi A A A A izlaz = ( izlaz, izlaz ) A A A 9 3
Povratna veza automati s ulazom gdje izlaz : Stanja Ulazi Izlazi daje izlazni znak na prvom izlazu a na drugom A A A A izlaz : Stanja Ulazi Izlazi A A A A Povratna veza automati s ulazom neka su za automat A u n-tom koraku x( n) StanjaA i trenutni vanjski ulaz niz nak u ( n) UlaziA naš problem je odrediti nepoznati izlazni znak ( y( n), y( n)) Izlazi A tako da vrijedi izlaz ( x( n),( u ( n), y ( n))) = ( y ( n), y ( n)) A znak y (n) se pojavljuje na obje strane jer je drugi ulaz u (n) u automat jednak y (n) Povratna veza automati s ulazom izlaznu jednadžbu možemo pisati izlaz ( x( n),( u ( n), y ( n))) = y ( n) A izlaz ( x( n),( u ( n), y ( n))) = y ( n) A u ovim jednadžbama x(n) i u (n) su poznati a y (n) i y (n) su nepoznati druga jednadžba ukazuje da će jedinstveno rješenje biti moguće samo za dobro-formirane automate 4
Povratna veza automati s ulazom ( Stanja, Ulazi, Izlazi, FunkcijaPrijelaza, pocetnostanje) UlaziA Izlazi A ( StanjaA, UlaziA, IzlaziA, FunkcijaPrijelazaA, pocetnostanjea) Ulazi Izlazi Ulazi Izlazi A A kažemo da će automat s povratnom vezom biti dobro-formiran ako za svako dostupno stanje x( n) Stanja i za svaki vanjski znak u ( n) Ulazi A A A A postoji jedinstveni izlazni simbol y( n) IzlaziA koji zadovoljava jednadžbu izlaz ( x( n),( u ( n), y ( n))) = y ( n) A 3 Povratna veza automati s ulazom za dobro-formirani automat vrijedi Stanja = Stanja Ulazi = Ulazi A Izlazi = Izlazi A A pocetnostanje = pocetnostanje A ( ) = ( ( ) ( )) ( ( ), ( )) = A ( ( ),( ( ), ( ))) i ( ( ), u( n) ) = izlaza ( x( n),( u( n), y( n)) ) gdje je y( n) jedinstveno FunkcijaPrijelaza x( n), u( n) narednostanje x( n), u( n), izlaz x( n), u( n) : narednostanje x n u n narednostanje x n u n y n izlaz x n rješenje jednadžbe izlaz ( x( n),( u( n), y ( n))) = y ( n) A 4 Povratna veza automati s ulazom primjer u u u n Realni, x( n+ ) =.5 x( n) + u ( n) + u ( n) yn ( ) = xn ( ) A y A ima dva ulaza i jedan izlaz Ulazi = Realni Realni, Izlazi = Realni A i stanja Stanja A = Realni A 5 5
Povratna veza automati s ulazom prema tome A ima beskonačni ulazni i izlazni alfabet te beskonačno mnogo stanja u n-tom koraku označavamo par ulaznih vrijednosti s (u (n), u (n)), trenutno stanje sa x(n), naredno stanje sa x(n+) i izlaz s y(n) funkcija prijelaza je tada x( n + ), y( n) = FunkcijaPrijelaza x( n),( u( n), u( n)) =.5 xn ( ) + u( n) + u( n), xn ( ) ( ) ( ) ( ) 6 Povratna veza automati s ulazom ekvivalentno pišemo ( ) x( n + ) = narednostanjea x( n),( u( n), u( n)) =.5 xn ( ) + u( n) + u( n) ( ) y( n) = izlaz x( n),( u ( n), u ( n)) = x( n) A očigledno je da ovaj automat ima izlaz određen stanjem 7 Povratna veza automati s ulazom povratna veza povezuje izlaz i drugi ulaz, u (n) = y(n)pa je izlaz x( n),( u ( n), u ( n)) = u ( n) A ( ) iz čega slijedi x( n) = u( n) kako je u (n) = u(n) potpuni je opis automata s povratnom vezom Ulazi = Realni, Izlazi = Realni, Stanja = Realni FunkcijaPrijelaza x n u n ( ( ), ( )) = (.5 x( n) u( n) x( n), x( n) ) (.5 x( n) u( n), x( n) ) = + + = + 8 6
finalno Povratna veza automati s ulazom u u u n Realni, x( n+ ) =.5 x( n) + u( n) + u( n) yn ( ) = xn ( ) A y u n Realni, x( n+ ) =.5 x( n) + u( n) yn ( ) = xn ( ) y 9 Automati s beskonačnim brojem stanja u analizi konačnih automata pokazano je kako je moguće potpuno opisati ponašanje sustava uz poznavanje ulaznog niza znakova te konačnog broja stanja sustava (koje predstavlja prošlost sustava) važnu ulogu imaju sustavi s beskonačnim brojem stanja razmatramo sustave za koje: prostor stanja te ulazni i izlazni alfabeti su numerički skupovi FunkcijaPrijelaza je linerarna Automati posebno se razmatraju sustavi s Stanja = Realni Ulazi = Realni M Izlazi = Realni K Ulazi = Realni M Realni Realni Realni MIMO sustavi opisani jednadžbama diferencija Stanja = Realni Realni Realni Realni Izlazi = Realni K 7
Automati dakle, sustav ima M različitih ulaza i K različitih izlaza ovakvi sustavi nazivaju se MIMO sustavi Multiple-Input, Multiple-Output kada je M = K = sustav se naziva SISO sustav Single-Input, Single-Output stanje je -torka s realnih elemenata se naziva dimenzijom sustava Automati primjer: stereo audio sustav je MIMO sustav s M=K= a novi audio sustavi kućnog kina su MIMO sustavi s M=K=5 3 važno: z a n Prirodni Automati u( n) Realni x( n) Realni y( n) Realni M K ali su ovo nizov i u Prirodni Realni x Prirodni Realni y Prirodni Realni M K 4 8
Automati definiramo MIMO diskretni sustav kao beskonačni automat D = ( Stanja, Ulazi, Izlazi, FunkcijaPrijelaza, pocetnostanje) uz Stanja - prostor stanja Ulazi - ulazni prostor Izlazi izlazni prostor pocetnostanje početno stanje FunkcijaPrijelaza : Stanja Ulazi Stanja Izlazi 5 Automati ovdje je FunkcijaPrijelaza M FunkcijaPrijelaza : Realni Realni Realni Realni FunkcijaPrijelaza se razlaže na dvije funkcije narednostanje i izlaz narednostanje : Realni Realni Realni M izlaz : Realni Realni Realni M x Realni, u Realni, FunkcijaPrijelaza x u = M K (, ) ( narednostanje( x, u), izlaz( x, u6 )) K Automati za dani ulazni niz u(), u(),. M-torki iz skupa Realni M, sustav rekurzivno generira odziv stanja, dakle niz, x(), x(),. -torki iz skupa Realni i odziv izlaza y(), y(),. K-torki iz skupa Realni K kako slijedi x() = pocetnostanje jednadžba prijelaza u naredno stanje je n Cjelobrojni, n, x( n + ) = narednostanje( x( n), u( n)) izlazna jednadžba je n Cjelobrojni, n, y( n) = izlaz( x( n), u( n)) 7 9
Automati u dosadašnjim razmatranjima automata n je predstavljao korak u kojem promatramo automat ako se korak n promotri kao neki trenutak vremena nt, gdje je T razmak između koraka tada n nazivamo vremenskim indeksom (ili opet korakom) govorimo o vremenski diskretnim sustavima u(n), y(n) imaju realne, fizikalne vrijednosti za svaki korak n i ovdje se ne koristi znak odsutan 8 Oznake vremenski indeks (ili korak) n je iz skupa cjelobrojnih brojeva pa je u(n)vremenski diskretan signal većina autora i vizualno naglašava diskretnost signala označavajući ga kao u[n] precizna definicija domene potpuno definira signal (i sustav) no ovaj vizualni dodatak daje bolju preglednost u izrazima u kojima domena može biti i diskretna i realna 9 Automati ako FunkcijaPrijelaza ovisi o vremenskom indeksu n tada govorimo o vremenski promjenljivom sustavu, inače se radi o vremenski stalnom sustavu isto tako FunkcijaPrijelaza određuje linearnost odnosno nelinearnost sustava 3
Linearnost funkcija f:realni Realni M je linearna ako a Realni, u Realni, v Realni f( au) = af( u) homogenost f( u+ v) = f( u) + f( v) aditivnost ova dva svojstva zajedno su ekvivalentni svojstvu superpozicije a, b Realni, u, v Realni vrijedi f( au+ bv) = af( u) + bf( v) vrijedi 3 Linearnost svaka matrica definira linearnu funkciju na slijedeći način neka je A matrica dimenzije M tada je funkcija M f : Realni Realni definirana s x Realni, f( x) = Ax pokažimo da svaka linearna funkcija može biti prikazana s ovakvom matričnom multiplikacijom kao što to vrijedi za skalarni slučaj x Realni, f ( x) = ax 3 Linearnost definiraju se vektori e =, e =,..., e =......... uz pomoć njih možemo prikazati bilo koji vektor x Realni kao sumu x = xe + xe +... + xe gdje je x i (skalar) i-ti element vektora x 33
Linearnost koristeći svojstvo superpozicije y = f( x) = x f( e ) + x f( e ) +... + x f( e ) pišemo stupčani vektor f( e ) Realni j M kao f( e ) j a, j a, j =... a M, j 34 Linearnost pa gornja jednadžba y = f( x) = x f( e ) + x f( e ) +... + x f( e ) prelazi u y a a a,,, y a, a, a,............... y a M M, am, a M, 35 y = = x + x + + x Linearnost y a a... a x,,, y a, a,... a, x.................. y am, am,... a M M, x y = = odnosno y = Ax gdje je A matrica dimenzije M A = ai, j, i M, j 36
Linearni vremenski diskretni sustavi razmotrimo diskretni sustav opisan s Stanja = Realni, Ulazi = Realni, Izlazi = Realni M K i jednadžbama n Cjelobrojni+ x n + = narednostanje x n, u n ( ) = (, ) y n izlaz x n u n za sustav kažemo da je linearan ako je početno stanje -torka nula i ako su funkcije narednostanje i izlaz linearne 37 Linearni vremenski diskretni sustavi ako su funkcije narednostanje i izlaz linearne i vremenski stalne (ne mijenjaju se s vremenom) govorimo o vremenski stalnom linearnom diskretnom sustavu LTI (linear time invariant system) 38 Linearni vremenski diskretni sustavi razmotrimo ponovo jednadžbu stanja [ + ] = (, ) x n narednostanje x n u n ako uređeni par (x[n],u[n]) zamislimo kao (+M)-torku u kojoj prvih elemenata predstavlja x[n] i preostalih M elemenata predstavljaju u[n] tada bilo koju linearnu funkciju narednostanje možemo prikazati kao (, ) = (, ) narednostanje x n u n P x n u n gdje je P matrica dimenzije (+M) 39 3
Linearni vremenski diskretni sustavi - [A,B,C,D] prikaz kako se prvih stupaca od P (označimo ih s A) množi sa x[n] a preostalih M stupaca (označimo ih s B) s u[n] vrijedi (, ) = + narednostanje x n u n Ax n Bu n gdje je A matrica dimenzije a B dimenzije M slično vrijedi za izlaznu funkciju (, ) = + izlaz x n u n Cx n Du n gdje je C dimenzije K a D dimenzije K M 4 Linearni vremenski diskretni sustavi - [A,B,C,D] prikaz model s varijablama stanja diskretnog vremenski stalnog linearnog sustava je dakle Stanja = Realni, Ulazi = Realni, Izlazi = Realni xn [ + ] = Axn + Bun yn= Cxn+ Dun M K ovaj način prikaza sustava naziva se i prikaz [ A, BCD,, ] 4 Linearni vremenski diskretni sustavi [A,B,C,D] prikaz - primjer neka je zadan diskretni sustav s [A,B,C,D] prikazom Stanja = Realni 3, Ulazi = Realni, Izlazi = Realni xn Axn Bun yn Cxn Dun [ + ] = + = + [ n] [ n] x n+ x n + = + b = [ 3 ] + x 3 x3 n+ a3 a a x3 n x x n x n u n yn a a a x n b un dakle =3, M=, K= tj. sustav je trećeg reda i ima jedan ulaz i jedan izlaz raspišimo jednadžbu narednog stanja i izlaznu jednadžbu 4 4
Linearni vremenski diskretni sustavi [A,B,C,D] prikaz - primjer x[ n+ ] = x[ n] x[ n+ ] = x3[ n] x3 n+ = a3x n ax n ax3 n + bu n y n = a x n a x n a x n + b u n 3 3 prikažimo zadani sustav uz pomoć modela ulaz izlaz što postižemo eliminacijom x, x i x 3 iz treće i četvrte jednadžbe slijedi x 3 [n+] = y[n] 43 Linearni vremenski diskretni sustavi [A,B,C,D] prikaz - primjer iz x 3 [n+] = y[n] slijedi x n y n x n y n = y[ n ] = + = = + = 3 x n y n x n y n 3 x n uvrstimo li x, x i x 3 u četvrtu jednadžbu slijedi = [ 3] [ ] [ ] + y n a3y n ay n ay n bu n odnosno + [ ] + [ ] + [ 3] = y n ayn ayn ayn bun 3 44 Linearni vremenski diskretni sustavi [A,B,C,D] prikaz - primjer za dani primjer pokazano je da sustav može biti zadan modelom s varijablama stanja dakle jednadžbom stanja i izlaznom jednadžbom x n [ n] [ n] + + = + x 3 n+ a3 a a x 3 n b 3 x 3 ili modelom ulaz-izlaz dakle jednadžbom diferencija y n+ ayn + ayn + ayn 3 = bun x n x n x n u n x yn= a a a x n + b un 3 45 5
Linearni vremenski kontinuirani sustavi [A,B,C,D] prikaz - primjer pokazano je da vremenski kontinuirani sustav možemo prikazati s diferencijalnom jednadžbom (model ulaz izlaz) y() t + dyt () + dyt () + dyt () = cut () da bi riješili ovu jednadžbu trebamo poznavati y(), y () i y( ) ako početne uvjete interpretiramo kao početna stanja moguć je slijedeći izbor stanja zadanog kontinuiranog sustava 46 Linearni vremenski kontinuirani sustavi [A,B,C,D] prikaz - primjer x () t = y(), t x () t = y(), t x () t = y() t 3 deriviranjem x, x, x 3 x () t = y() t x () t = x () t x () t = y() t x () t = x () t 3 x () t = y() t x () t = d x () t d x () t d x () t + c u() t 3 3 3 y( t) = x ( t) + x ( t) + x ( t) + u( t) 3 47 Linearni vremenski kontinuirani sustavi [A,B,C,D] prikaz - primjer pišemo pomoću matrica x () t x () t x () t x () t u() t = + x 3() t d d d x3() t c x () t yt () = [ ] x() t + [ ] ut () x () t 3 48 6
Linearni vremenski kontinuirani sustavi [A,B,C,D] prikaz - primjer dakle jednadžba stanja i izlazna jednadžba Stanja = Realni, Ulazi = Realni, Izlazi = Realni M K xt ( ) = Axt ( ) + But ( ) yt ( ) = Cxt ( ) + Dut ( ) 49 Usporedba diskretnih i kontinuiranih sustava [A,B,C,D] prikaz - primjer usporedimo + [ ] + [ ] + [ 3] = 3 y n a y n a y n a y n b u n yt () + dyt () + dyt () + dyt () = cut () [ n] [ n] x n x n + + = + x n x n u n x n+ a a a x n b 3 3 3 3 x 3 yn= a a a x n + b un x x () t x () t = + x ( t) x ( t) u( t) x () t d d d x () t c 3 3 x () t yt () = x() t + ut () x () t 3 [ + ] = + = + xn Axn Bun yn Cxn Dun xt () = Axt () + But () yt () = Cx( t) + Du( t) 5 Linearni vremenski diskretni sustavi -primjer primjer generiranja jeke (eho efekta) signala koja se može postići realizacijom jednadžbe diferencija y n = u n + α y n neka je za n< = 4, α =.6, u n = za n=, za n > 5 7
Linearni vremenski diskretni sustavi primjer jednadžba je dakle = +.6 [ 4] y n u n y n računamo korak po korak n y u[ n] y n y[] u[] y n y u y n y u y n y u y n y u y n y u y = = +.6 4 = +,6* = = = +.6 3 = +,6* = = = +.6 = +,6* = = 3 3 = 3 +.6 = +,6* = = 4 4 = 4 +.6 = +,6* =.6 = 5 5 = 5 +.6 = +,6* =.6 = 6 6 = 6 +.6 = +,6* = 5 Linearni vremenski diskretni sustavi primjer odziv možemo prikazati slikom Odziv sustava.9.8.7 Amplituda.6.5.4.3.. 5 5 5 3 35 4 Index n 53 Linearni vremenski diskretni sustavi primjer konstruirajmo model s varijablama stanja polazna jednadžba je y n = u n +.6y n 4 napišimo je u ovom obliku y[ n] =.6y[ n 4] + y[ n 3] + y n + y n + u n pogodno je izabrati x[ n] = y[ n 4 ], x[ n] = y[ n 3] x n = y n, x n = y n 3 4 54 8
Linearni vremenski diskretni sustavi primjer slijedi y[ n] =.6x [ n] + u[ n] = [ 4] [ + ] = [ 3] = = [ 3] [ + ] = [ ] = = [ ] [ + ] = [ ] = = [ ] [ + ] = =.6 + x n y n x n y n x n x n y n x n y n x3 n x3 n y n x3 n y n x4 n x4 n y n x4 n y n x n u n iz ovoga slijede jednadžbe stanja i izlazna jednadžba 55 Linearni vremenski diskretni sustavi primjer dakle iz = [ 4] [ + ] = [ 3] = [ 3].6 x n y n x n y n x n x n= yn x n+ = yn = x3 n x3 n = y n x3 n+ = y n = x4 n x4 n= yn x4 n+ = yn= x n+ un [ + ] = 3 3 4 4[ + ] =.6 +.6 x n+ = x n x n x n x n+ = x n x n x n u n y n = x n + u n 56 Linearni vremenski diskretni sustavi primjer dakle opet su moguća dva prikaza model s varijablama stanja [ + ] [ + ] [ + ] [ n] [ n] [ n] [ n] x n+ x n x n x n = + x3 n x3 n x4 n.6 x4 n yn = [.6 x ] + x x x 3 4 [] un model ulaz - izlaz y n.6y n 4 = u n u n 57 9
jeka govornog signala y( n) = u( n) +.6 y( n ) ulaz.5 Izlaz =4.8.6.4.5. -. -.4 -.5 -.6 - -.8-3 4 5 6 7 8 9 x 4 -.5 3 4 5 6 7 8 9 x 4.5 Izlaz =8 Izlaz =8.8.6.4.5. -. -.4 -.5 -.6 -.8-3 4 5 6 7 8 9 x 4-3 4 5 6 7 8 9 x 4 58 59 Vremenski diskretni signali vremenski diskretni signali definirani su samo u diskretnim trenucima vremena neka je signal nekidiskretansignal vremenski diskretni signal i možemo ga prikazati nekidiskretansignal:diskretnovrijeme Realni gdje je DiskretnoVrijeme=[,/5,..., 995/5] skup diskretnih trenutaka vremena u kojem je definiran signal 6
Diskretni signali i otipkavanje (uzorkovanje) vremenski kontinuirani signal Glazba otipkan frekvencijom otipkavanja khz (interval otipkavanja T=. sekundi) definiran je samo u diskretnim trenucima vremena OtipkanaGlazba :{,.,.,...,9.9999,} s pridruživanjem OtipkanaGlazba() t = Glazba() t t {,.,.,...,9.9999,} Tlak 6 Diskretni signali bez obzira na način generiranja vremenski diskretnog signala on je definiran u diskretnim trenucima vremena t =nt,daklen-ti uzorak signala pojavljuje se u trenutku nt sekundi u odnosu na vrijeme 6 Diskretni signali primjer u : Cjelobrojni Realni gdje n Cjelobrojni, u n = cos( π FnT ) ili npr. za F = Hz i T=/ sekundi u : Cjelobrojni Realni gdj e n Cjelobrojni, u n = cos(. 4π n) 63
Vremenski diskretni signali vremenski diskretni signali mogu biti prikazani i kao niz brojeva - uzorcima { un } = {...,.4,.78,.5,.9,.8,... } ovdje su prikazani uzorci u[ ] =.4, u[ ] =.78, u =.5, u[] =.9, u =.8, podcrtani uzorak označava uzorak za n = 64 Grafički prikaz vremenski diskretnog signala.5 vremenski diskretan signal.5 Amplituda.5 -.5 - - -8-6 -4-4 6 8 Korak n 65 Vremenski diskretni signali x[n]označava n-ti uzorak niza {x[n]} bez obzira na način generiranja diskretnog signala {x[n]} je realni niz ako je n-ti uzorak x[n] realan za svaki n inače je {x[n]} kompleksni niz 66
Kompleksni diskretni signal kompleksni niz {x[n]} se može napisati kao: {x[n]}={x re [n]} + j{x im [n]} gdje su x re [n]i x im [n] realni i imaginarni dio od x[n] konjugirano kompleksni niz je {x * [n]}={x re [n]} j{x im [n]} često se vitičaste zagrade ispuštaju u označavanju niza 67 Primjeri diskretnih signala {u[n]}={cos(.3n)} je realni niz Amplituda cos(.3n).8.6.4. -. -.4 -.6 -.8-5 5 5 3 35 4 Korak n 68 Primjeri diskretnih signala {z[n]}={e j.3n } je kompleksan niz može se napisati: {z[n]}={cos(.3n)+jsin(.3n)}= ={cos(.3n)}+j{sin(.3n)}, gdje je {z re [n]}={cos(.3n)} {z im [n]}={sin(.3n)} 69 3
Primjeri diskretnih signala {z[n]}={e j.3n } ={cos(.3n)}+j{sin(.3n)} realni dio.5 Amplituda -.5-5 5 5 3 35 4 Korak n imaginarni dio Amplituda.5 -.5-5 5 5 3 35 4 Korak n 7 Diskretni signali vremenski diskretan signal je konačne duljine (finite length) ako je definiran za konačni vremenski interval < n < gdje je < i i <+ Duljina ili trajanje niza konačne duljine je: = - + 7 Diskretni signali niz {u[n]}={cos(.3n)} je beskonačnog trajanja u[n]=n ; 3 n 4 je niz konačne duljine 4-(-3)+=8 x[n]=n ; -3 <= n <= 4 6 4 Amplituda 8 6 4 - -8-6 -4-4 6 8 Korak n 7 4
Osnovne operacije na nizovima i elementi diskretnog sustava zbrajanje nizova zbroj dva niza y = u + v ili {y[n]} = {u[n]} + {v[n]} je niz s općim članom y[n] = u[n] + v[n] za svaki n Z. produkt nizova produkt dva niza y = uv ili {y[n]} = {u[n]} * {v[n]} je niz s općim članom y[n] = u[n]v[n] za svaki n Z. u v u v y y 73 Osnovne operacije na nizovima i elementi diskretnog sustava množenje s konstantom y = a u ili {y[n]} = a{u[n]} = {a u[n]} y[n] = a u[n] za svaki n Z. funkcijski blok u a y y = f [u]ili {y[n]} = f [{u[n]}] y[n] = f [u[n]] za svaki n Z. reverzija vremena y[n]=u[-n] u f y 74 Osnovne memorijske i predikcijske operacije pomak niza jedinični pomak daje iz ulaznog niza, niz pomaknut za jedan korak. unatrag (kašnjenje i pamćenje) u E - y unaprijed (predikcija) u y E y = E - u ili {y[n]} = E - {u[n]}, y[n] = (E - u)[n], y[n] = u[n -] n >. y = E u ili {y[n]} = E {u[n]}, y[n] = (Eu)[n], y[n] = u[n + ] n. 75 5
Pomak niza operacija pomaka niza unaprijed traži nekauzalan sustav pa je neostvariva u realnim sustavima. zato se služimo redovito jedinicama za kašnjenje, odnosno operacijom E -. u[n] y[n] = u[n + ] n y[n] = u[n ] n > 3 4 5 n 3 4 n 3 4 5 6 n 76 Pomak niza u literaturi je uobičajeno označavati blok za jedinično kašnjenje sa z - umjesto s E - kašnjenje za koraka je operacija y[n]=u[n ] 77 Primjer osnovnih operacija zadana su dva niza duljine 5 zadana za n 4 {a[n]}={5 6 - -} {b[n]}={4 - - 4 } generiranje novih nizova primjenom osnovnih operacija {c[n]}={a[n]*b[n]}={ - 4 } {d[n]}={a[n]+b[n]}={9 4-4 4 } {e[n]}=.5*{a[n]}={.5 3 - -.5} 78 6
Primjer prikaza sustava uz pomoć osnovnih operacija u[n] u[n-] u[n-] u[n-3] E - E - E - α α α α 3 + + + y[n] yn = α un + α un [ ] + α un [ ] + α un [ 3] 3 79 Klasifikacija nizova prema simetričnosti konjugirano simetrični niz u[n]=u * [-n] za realni u[n] radi se o parnom nizu parni niz 3 Amplituda - - -3 - -8-6 -4-4 6 8 Vrem enski indeks n 8 Klasifikacija nizova prema simetričnosti konjugirano antisimetrični niz u[n]= -u * [-n] za realni u[n] radi se o neparnom nizu neparni niz 3 Amplituda - - -3 - -8-6 -4-4 6 8 Vremenski indeks n 8 7
Klasifikacija nizova prema simetričnosti svaki kompleksan niz može biti prikazan kao zbroj njegovog konjugiranog simetričnog i konjugiranog antisimetričnog dijela u[n]=u cs [n]+u ca [n] gdje su u cs [n]=.5(u[n]+u * [-n]) u ca [n]=.5(u[n]-u * [-n]) 8 Klasifikacija nizova prema simetričnosti svaki pak realan niz može biti prikazan kao zbroj njegovog parnog i neparnog dijela u[n]=u p [n]+u n [n] gdje su u p [n]=.5(u[n]+u[-n]) u n [n]=.5(u[n]-u[-n]) 83 Periodični nizovi za periodičan niz vrijedi u [n]= u [n+k] je period ponavljanja, k Znajmanji koji zadovoljava u [n]= u [n+k] je osnovni period 84 8
Osnovni nizovi jedinični niz (niz s jediničnim članom ili uzorkom, Kroneckerov delta, δ niz). δ =...,,,,,,... za n = n Cjelobrojni, δ[ n] = za n δ [n] - - n 85 Osnovni nizovi jedinična stepenica, jedinični skok µ =...,,,,,,... za n n Cjelobrojni, µ [ n] = za n < µ[n] 3 4 n 86 Osnovni nizovi jedinična rampa r =...,,,,, 3, 4,... n za n n Cjelobrojni, r[ n] = za n < r[n] 3 4 n 87 9
Osnovni nizovi jedinična parabola m tog stupnja P m =...,,, m, m, 3 m,... P m [n] m n za n, n Z Pm [ n] = za n < m= n 88 Osnovni nizovi realni sinusni (kosinusni) niz: n Cjelobrojni, x[ n] = X cos( ω n + ϕ) gdje je X amplituda, ω [radijana/uzorku] kutna frekvencija a ϕ [radijana] faza od x[n] koristi se i varijabla f [perioda/uzorku] definirana kao: ω = πf 89 Osnovni nizovi π π grafički prikaz: cos( n ) 3 Amplituda.8.6.4. -. -.4 -.6 π ω = f = 4 -.8-5 5 5 3 35 4 Korak n 9 3
Osnovni nizovi kompleksna eksponencijala n n Cjelobrojni, x[ n] = Aα gdje su A i α realni i kompleksni brojevi ( σ + jω ) jϕ ako označimo: α = = tada možemo pisati e, A A e jϕ ( σ+ jω) n x[ n] = A e e = xre[ n] + jxim[ n] gdje je x n A e n σ n re = cos( ω + ϕ) x n A e n σn im = sin( ω + ϕ) 9 Kompleksni eksponencijalni niz suglasno prethodnim izrazima za x re [n] i x im [n] kompleksne eksponencijale su sinusiodalni nizovi čija se amplituda prigušuje (σ <), raspiruje (σ >) ili je konstantna (σ =). primjer kompleksne eksponencijale ( + j π 7 ) xn = e n 9 Primjer kompleksnog eksponencijalnog niza Realni dio = exp((-/)*n)*cos((pi/7)*n)] Amplituda.5 -.5 5 5 5 3 35 4 Korak n Imaginarni dio = exp((-/)*n)*sin((pi/7)*n) Amplituda.5 -.5 5 5 5 3 35 4 Korak n 93 3
Realni eksponencijalni niz primjer realnog eksponencijalnog niza: n n Cjelobrojni, u[ n] = Uα + u[n]=(.9 n ) 4 u[n]=(. n ).8.6.4 Amplituda..8 Amplituda 8 6.6.4. 4 5 5 5 3 35 4 Korak n 4 6 8 4 6 8 Korak n 94 Periodičnost kosinusnog niza niz un = cos( ωn+ ϕ) je periodičan ako vrijedi un = cos( ωn+ ϕ) = cos( ω( n+ ) + ϕ) pa slijedi: cos( ω( n+ ) + ϕ) = = cos( ω n + ϕ)cos( ω ) sin( ω n+ ϕ)sin( ω ) a ovo će biti jednako cos( ωn + ϕ) za sin( ω ) = i cos( ω ) = a to je za: π ω = π k ili = ili f = ω k k 95 za niz Periodičnost sinusnog niza:primjer π un =.8cos( n ) ω = = = 5 za k = π 5 7 π πk 5 π 5.8cos((/5)*pi*n-pi/7).5.5 Amplituda -.5 - -.5-5 5 5 3 35 4 Korak n 96 3
Periodičnost sinusnog niza:primjer ako π/ω = /k za cjelobrojne k i tada će period biti višekratnik od π/ω inače je niz aperiodičan, primjer: 5 un.8cos( π π = n ).8cos((sqrt(5)/5)*pi*n-pi/7) 5 7.5.5 Amplituda -.5 - -.5-5 5 5 3 35 4 Korak n 97 Svojstva sinusnog niza za ω = π + izlazi x(n) = cos(π + )n = cos(-π + π + )n = cos(-π + )n = cos (π - )n za ovaj niz se ne može razlikovati da li je kutna frekvencija niza ω = π + ili ω = π - 98 x(n) = cos (ωn ), n Z ω = ω = 7π/6 ω = ω = 5π/6 99 33
Svojstva sinusnog niza za ω = π izlazi x(n) = cos(π )n = cos( )n = cos( n) za zadani niz se ne može razlikovati je li kutna frekvencija ω = π ili ω = x(n) = cos (ωn), n Z ω=ω = π / 6 ω=ω = π / 6 Svojstva sinusnog niza iz prethodnog slijedi da su sve sinusoide frekvencije ω k = ω + kπ - π < ω < π identične (i ne možemo ih razlikovati) jer vrijedi cos(( ω + kπ) n+ ϕ) = cos(( ω n+ ϕ) + kπ n) = = cos( ω n + ϕ) zato su sve cos((ω + kπ)n + φ) alias kosinusoide cos(ω n + φ) 34
Svojstva sinusnog niza sve diskretne sinusoide s frekvencijom ω π ili f su jednoznačno definirane 3 35