Oblikovanje i analiza algoritama 4. predavanje Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb OAA 2017, 4. pr
|
|
|
- Radivoje Đokić
- пре 4 година
- Прикази:
Транскрипт
1 Oblikovanje i analiza algoritama 4. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb OAA 2017, 4. predavanje p. 1/69
2 Sadržaj predavanja Složenost u praksi eksperimenti (nastavak): Množenje matrica reda n. Blokovsko množenje matrica reda n. OAA 2017, 4. predavanje p. 2/69
3 Informacije web stranica Moja web stranica za Oblikovanje i analizu algoritama je ili, skraćeno Kopija je na adresi Službena web stranica za Oblikovanje i analizu algoritama je OAA 2017, 4. predavanje p. 3/69
4 Informacije kolokviji Oblikovanje i analiza algoritama je u kolokvijskom razredu B1. Službeni termini svih kolokvija su: Prvi kolokvij: srijeda, , u 9 sati. Drugi kolokvij: srijeda, , u 9 sati. Popravni kolokvij: srijeda, , u 9 sati. Uputa: izbjegnite popravni obavite to ranije! OAA 2017, 4. predavanje p. 4/69
5 Množenje matrica OAA 2017, 4. predavanje p. 5/69
6 Množenje matrica Problem: Zadan je prirodni broj n N i 3 matrice A, B i C, reda n. Treba izračunati izraz C := C +A B. Akumulacija ( nazbrajavanje ) produkta A B u matrici C standardni je oblik BLAS 3 rutine xgemm za množenje matrica, tj. baš ova operacija se često koristi u praksi. Usput, to će opet prevariti optimizaciju compilera, kod višestrukog ponavljanja eksperimenta. OAA 2017, 4. predavanje p. 6/69
7 Množenje matrica formula Matematička realizacija matrične operacije po elementima je trivijalna: C := C +A B c ij := c ij + n k=1 a ik b kj, za sve indekse i = 1,...,n, j = 1,...,n. Dakle, programski treba zavrtiti tri petlje. OAA 2017, 4. predavanje p. 7/69
8 Množenje matrica potprogram c c c c c c subroutine mulijk (lda, n, a, b, c) Matrix multiply C(n, n) = C(n, n) + A(n, n) * B(n, n). implicit none integer lda, n double precision a(lda, lda), b(lda, lda), $ c(lda, lda) integer i, j, k, nn OAA 2017, 4. predavanje p. 8/69
9 Množenje matrica potprogram (nastavak) c c c c IJK loop, inner nn = n do 30, i = 1, nn do 20, j = 1, nn do 10, k = 1, nn c(i, j) = c(i, j) + a(i, k) * b(k, j) 10 continue 20 continue 30 continue return end OAA 2017, 4. predavanje p. 9/69
10 Permutacija petlji Ovu varijantu algoritma zovemo ijk opet po poretku (indeksa) petlji, izvana prema unutra. Sve tri petlje možemo permutirati, tj. napisati ih u bilo kojem poretku. Na taj način dobivamo ukupno 6 varijanti algoritma, koje zovemo leksikografskim redom: ijk, ikj, jik, jki, kij, kji. OAA 2017, 4. predavanje p. 10/69
11 Broj operacija U svakom prolazu kroz unutarnju petlju imamo dvije operacije: množenje matričnih elemenata a ik b kj, zbrajanje tog produkta s c ij. Sve tri petlje imaju (svaka) točno n prolaza. Ukupan broj operacija u svim varijantama algoritma je: F(n) = 2n 3. Broj ponavljanja N(n) izabran je tako da dobijemo približno konstantno trajanje okolne petlje (s ponavljanjem) kojoj mjerimo vrijeme, sve dok N(n) ne padne na 1, za n = 450. OAA 2017, 4. predavanje p. 11/69
12 Boje na grafovima Legenda za čitanje grafova: petlja ijk zeleno, rang 3; petlja ikj narančasta, rang 5; petlja jik žuta, rang 4; petlja jki ljubičasta, rang 1; petlja kij crveno, rang 6; petlja kji plavo, rang 2. OAA 2017, 4. predavanje p. 12/69
13 BabyBlue, CVF, normal Compaq Visual Fortran: normalna optimizacija: prvo 6 pojedinačnih slika, leksikografskim redom, po petljama, a zatim, zajednički graf za svih 6 petlji. fast optimizacija: permutira petlje, tako da svih 6 petlji daje gotovo istu brzinu. Usporedba: najbrže petlje jki u fast optimizaciji i MKL-ovog algoritma DGEMM. OAA 2017, 4. predavanje p. 13/69
14 BabyBlue, CVF, normal ijk Pentium 4/660, 3.6 GHz, CVF, normal Množenje matrica ijk 1500 brzina u Mflopsima red matrice OAA 2017, 4. predavanje p. 14/69
15 BabyBlue, CVF, normal ikj Pentium 4/660, 3.6 GHz, CVF, normal Množenje matrica ikj 1500 brzina u Mflopsima red matrice OAA 2017, 4. predavanje p. 15/69
16 BabyBlue, CVF, normal jik Pentium 4/660, 3.6 GHz, CVF, normal Množenje matrica jik 1500 brzina u Mflopsima red matrice OAA 2017, 4. predavanje p. 16/69
17 BabyBlue, CVF, normal jki Pentium 4/660, 3.6 GHz, CVF, normal Množenje matrica jki 1500 brzina u Mflopsima red matrice OAA 2017, 4. predavanje p. 17/69
18 BabyBlue, CVF, normal kij Pentium 4/660, 3.6 GHz, CVF, normal Množenje matrica kij 1500 brzina u Mflopsima red matrice OAA 2017, 4. predavanje p. 18/69
19 BabyBlue, CVF, normal kji Pentium 4/660, 3.6 GHz, CVF, normal Množenje matrica kji 1500 brzina u Mflopsima red matrice OAA 2017, 4. predavanje p. 19/69
20 BabyBlue, CVF, normal 2500 Pentium 4/660, 3.6 GHz, CVF, normal Množenje matrica brzina u Mflopsima red matrice OAA 2017, 4. predavanje p. 20/69
21 BabyBlue, CVF, fast 2500 Pentium 4/660, 3.6 GHz, CVF, fast Množenje matrica brzina u Mflopsima red matrice OAA 2017, 4. predavanje p. 21/69
22 BabyBlue, CVF, fast najbrži i MKL Pentium 4/660, 3.6 GHz, CVF, MKL Množenje matrica 6000 brzina u Mflopsima red matrice OAA 2017, 4. predavanje p. 22/69
23 BabyBlue, IVF, normal Intel Visual Fortran: normalna optimizacija: prvo 6 pojedinačnih slika, leksikografskim redom, po petljama, a zatim, zajednički graf za svih 6 petlji. fast optimizacija: permutira petlje, tako da imamo 3 para petlji s gotovo istom brzinom. Usporedba: najbrže petlje jki u fast optimizaciji i MKL-ovog algoritma DGEMM. OAA 2017, 4. predavanje p. 23/69
24 BabyBlue, IVF, normal ijk Pentium 4/660, 3.6 GHz, IVF, normal Množenje matrica ijk 1500 brzina u Mflopsima red matrice OAA 2017, 4. predavanje p. 24/69
25 BabyBlue, IVF, normal ikj Pentium 4/660, 3.6 GHz, IVF, normal Množenje matrica ikj 1500 brzina u Mflopsima red matrice OAA 2017, 4. predavanje p. 25/69
26 BabyBlue, IVF, normal jik Pentium 4/660, 3.6 GHz, IVF, normal Množenje matrica jik 1500 brzina u Mflopsima red matrice OAA 2017, 4. predavanje p. 26/69
27 BabyBlue, IVF, normal jki Pentium 4/660, 3.6 GHz, IVF, normal Množenje matrica jki 1500 brzina u Mflopsima red matrice OAA 2017, 4. predavanje p. 27/69
28 BabyBlue, IVF, normal kij Pentium 4/660, 3.6 GHz, IVF, normal Množenje matrica kij 1500 brzina u Mflopsima red matrice OAA 2017, 4. predavanje p. 28/69
29 BabyBlue, IVF, normal kji Pentium 4/660, 3.6 GHz, IVF, normal Množenje matrica kji 1500 brzina u Mflopsima red matrice OAA 2017, 4. predavanje p. 29/69
30 BabyBlue, IVF, normal 2500 Pentium 4/660, 3.6 GHz, IVF, normal Množenje matrica brzina u Mflopsima red matrice OAA 2017, 4. predavanje p. 30/69
31 BabyBlue, IVF, fast 2500 Pentium 4/660, 3.6 GHz, IVF, fast Množenje matrica brzina u Mflopsima red matrice OAA 2017, 4. predavanje p. 31/69
32 BabyBlue, IVF, fast najbrži i MKL Pentium 4/660, 3.6 GHz, IVF, MKL Množenje matrica 6000 brzina u Mflopsima red matrice OAA 2017, 4. predavanje p. 32/69
33 Tablica brzina za velike n Usporedba brzina (u Mflops) samo na BabyBlue: po petljama (uključivo i MKL), za normal i fast opcije kod oba compilera. Petlja normal CVF normal IVF fast CVF fast IVF ijk ikj jik jki kij kji MKL OAA 2017, 4. predavanje p. 33/69
34 Ostala računala Vrlo slično ponašanje brzina za petlje vidi se i na ostalim računalima. Grafovi su skraćeni tako da sadrže redom: usporedbu brzina svih 6 petlji za normal i fast opcije compilera (samo CVF), usporedbu najbrže fast petlje MKL-a. OAA 2017, 4. predavanje p. 34/69
35 Klamath5, CVF, normal Pentium III, 500 MHz, CVF, normal Množenje matrica brzina u Mflopsima red matrice OAA 2017, 4. predavanje p. 35/69
36 Klamath5, CVF, fast Pentium III, 500 MHz, CVF, fast Množenje matrica brzina u Mflopsima red matrice OAA 2017, 4. predavanje p. 36/69
37 Veliki, CVF, normal Pentium 4, 3.0 GHz, CVF, normal Množenje matrica 1500 brzina u Mflopsima red matrice OAA 2017, 4. predavanje p. 37/69
38 Veliki, CVF, fast Pentium 4, 3.0 GHz, CVF, fast Množenje matrica 1500 brzina u Mflopsima red matrice OAA 2017, 4. predavanje p. 38/69
39 Klamath5, CVF, fast najbrži i MKL 400 Pentium III, 500 MHz, CVF, MKL Množenje matrica brzina u Mflopsima red matrice OAA 2017, 4. predavanje p. 39/69
40 Veliki, CVF, fast najbrži i MKL Pentium 4, 3.0 GHz, CVF, MKL Množenje matrica 6000 brzina u Mflopsima red matrice OAA 2017, 4. predavanje p. 40/69
41 Komentar rezultata Kod množenja matrica, za razliku od zbrajanja, svaki ulazni podatak koristimo puno puta, (preciznije, točno n puta). Zato brzina cache memorije može doći do izražaja, pa možemo dobiti bitno veće brzine nego kod zbrajanja. Cache memorija je glavni krivac za: razlike u brzinama izmedu raznih varijanti, i povećanu brzinu za male n-ove. Ponavljanje eksperimenta ima neku ulogu samo za vrlo male redove n. Osim toga, za n 450 nema ponavljanja. OAA 2017, 4. predavanje p. 41/69
42 Komentar rezultata (nastavak) Brže su one varijante koje učestalije koriste iste podatke, dok su oni još u cacheu. Dokaz: Cache se puni u blokovima, kako su matrice spremljene. Najbrža bi trebala biti ona varijanta koja sekvencijalno prolazi kroz elemente u sve 3 matrice u unutarnjoj naredbi c(i, j) = c(i, j) + a(i, k) * b(k, j) U Fortranu, zbog spremanja matrice po stupcima, prvi indeks se brže mijenja. Zato mora biti: i unutar j, i unutar k, k unutar j. Dakle, najbrža varijanta algoritma je jki, što zaista i je! OAA 2017, 4. predavanje p. 42/69
43 Komentar rezultata (nastavak) Zadnji argument da je krivac cache memorija. Konstruktivni dokaz: Blokovskom realizacijom algoritma za velike n možemo postići gotovo iste brzine kao i za male n (tj. spriječiti pad brzine). Ovo, naravno, ide samo onda kad za velike n dobijemo pad brzine. U protivnom, compiler se već pobrinuo da optimalno iskoristi cache. Primjer za IVF da to radi za normal, pa čak i za fast opciju. OAA 2017, 4. predavanje p. 43/69
44 Blokovsko množenje matrica primjer OAA 2017, 4. predavanje p. 44/69
45 Blokovsko množenje matrica primjer IVF s normal opcijom za jik petlju daje brzine: 1050MFlops za n 50, 205MFlops za velike n. IVF s normal opcijom za jki petlju daje brzine: 1100MFlops za n 300, 840MFlops za velike n. IVF s fast opcijom za jki petlju daje brzine: 2000MFlops za n 300, 1250MFlops za velike n. OAA 2017, 4. predavanje p. 45/69
46 BabyBlue, IVF, normal jik obični i blok (50) Pentium 4/660, 3.6 GHz, IVF, normal Množ. mat. jik (50) 1500 brzina u Mflopsima red matrice OAA 2017, 4. predavanje p. 46/69
47 BabyBlue, IVF, normal jkiobični i blok (300) Pentium 4/660, 3.6 GHz, IVF, normal Množ. mat. jki (300) 1500 brzina u Mflopsima red matrice OAA 2017, 4. predavanje p. 47/69
48 BabyBlue, IVF, fast jki obični i blok (300) 2500 Pentium 4/660, 3.6 GHz, IVF, fast Množ. mat. jki (300) brzina u Mflopsima red matrice OAA 2017, 4. predavanje p. 48/69
49 Blokovsko množenje matrica OAA 2017, 4. predavanje p. 49/69
50 Množenje matrica Problem: Zadan je prirodni broj n N i 3 matrice A, B i C, reda n. Treba izračunati izraz C := C +A B. Znamo da je realizacija po elementima trivijalna c ij := c ij + n k=1 a ik b kj, za sve indekse i = 1,...,n, j = 1,...,n. Dakle, programski treba zavrtiti tri petlje. OAA 2017, 4. predavanje p. 50/69
51 Množenje matrica realizacija po elementima Programska realizacija na skalarnoj razini (po elementima) ima ovaj opći oblik: 3 petlje po i, j, k, svaka od 1 do n, operacija unutar tih petlji je c ij := c ij +a ik b kj, tj. množenje i zbrajanje skalara. Ove tri petlje smijemo permutirati pa dobivamo 6 različitih varijanti osnovnog algoritma: ijk, ikj, jik, jki, kij, kji. OAA 2017, 4. predavanje p. 51/69
52 Množenje matrica podjela na blokove Matrice A i B možemo podijeliti na blokove A 11 A 12 A 1r B 11 B 12 B 1q A A = 21 A 22 A 2r..., B = B 21 B 22 B 2q.... A p1 A p2 A pr B r1 B r2 B rq Ako su blokovi A ik i B kj takvi da se mogu množiti za sve indekse i, j, k, onda operaciju C = C +A B možemo izračunati po blokovima, gdje je r C ij = C ij + A ik B kj, i = 1,...,p, j = 1,...,q. k=1 OAA 2017, 4. predavanje p. 52/69
53 Množenje matrica blokovi (nastavak) Podjela matrica A i B na blokove koji se mogu množiti inducira podijelu matrice C na blokove C 11 C 12 C 1q C C = 21 C 22 C 2q.... C p1 C p2 C pq Pojednostavljenje: sve tri ulazne matrice su kvadratne reda n pa ih dijelimo na isti način u blokove. Dakle, p = q = r = (oznaka) = N, gdje je N tzv. blok red matrice. OAA 2017, 4. predavanje p. 53/69
54 Množenje matrica blokovi (nastavak) Podjela sve tri matrice A, B i C ima isti oblik (napisan za C) C 11 C 12 C 1N C C = 21 C 22 C 2N.... C N1 C N2 C NN Pojedini blokovi podmatrice A ij, B ij i C ij su matrice istog tipa, označimo ga s n i n j. Uočite da blokovi ne moraju više biti kvadratne matrice općenito su pravokutne. OAA 2017, 4. predavanje p. 54/69
55 Množenje matrica blokovi (nastavak) Za veličine blokova mora vrijediti N i=1 n i = n. Kako se odreduju veličine blokova n i, za i = 1,...,N malo kasnije. Matrična operacija C = C +A B sad ima blokovski oblik N C ij = C ij + A ik B kj, i = 1,...,N, j = 1,...,N. k=1 OAA 2017, 4. predavanje p. 55/69
56 Množenje matrica realizacija po blokovima Programska realizacija na blokovskoj razini (po blokovima) ima ovaj opći oblik: 3 petlje po i, j, k, svaka od 1 do N, operacija unutar tih petlji je C ij := C ij +A ik B kj, tj. množenje i zbrajanje matrica. Ova operacija ima isti oblik xgemm kao i cijeli polazni problem ( rekurzija ), samo što matrice ne moraju biti kvadratne (n i n j ) = (n i n j )+(n i n k ) (n k n j ). OAA 2017, 4. predavanje p. 56/69
57 Blokovsko množenje matrica petlje Tri petlje za blokove smijemo permutirati pa dobivamo 6 različitih varijanti blokovskog algoritma: ijk, ikj, jik, jki, kij, kji. Za unutarnje množenje pojedinih blokova, takoder, imamo odgovarajućih 6 varijanti osnovnog algoritma. Dakle, sve skupa, imamo 36 varijanti! Tko hoće, neka proba sve. Ja neću. U nastavku koristim istu varijantu (permutaciju petlji) i za blokovski i za osnovni (skalarni) algoritam. OAA 2017, 4. predavanje p. 57/69
58 Blokovsko množenje matrica veličine blokova Ideja: veličine blokova izabrati tako da se unutarnje množenje blokova C ij := C ij +A ik B kj (operacija xgemm) obavlja u cacheu. Postupak. Iz tablice brzina za odabrani osnovni algoritam nademo približni maksimalni red n za koji još dobivamo punu cache brzinu. Nazovimo taj red s n cache. OAA 2017, 4. predavanje p. 58/69
59 Veličine blokova (nastavak) Cilj podjele na blokove je unutarnje množenje blokova mora raditi s matricama veličine manje (ili jednake) n cache. Dakle, mora vrijediti Tome dodajemo raniji uvjet n i n cache, i = 1,...,N. N i=1 n i = n. Iz ovih uvjeta možemo odrediti broj blokova N. OAA 2017, 4. predavanje p. 59/69
60 Broj blokova N Uvrstimo n i n cache, za i = 1,...,N, u relaciju za zbroj. Izlazi N n = n i N n cache, ili i=1 N n n cache. Broj blokova N mora biti cijeli broj i još (prirodno) želimo da N bude što manji najmanji mogući! Onda treba uzeti N = n n cache = n+ncache 1. n cache OAA 2017, 4. predavanje p. 60/69
61 Veličine blokova (nastavak) Za nalaženje n i standardno se koriste dva pristupa. equal sized ili uniform svi n i imaju podjednaku veličinu n i n/n, tj. razlika medu njima je najviše 1. greedy svi n i imaju maksimalnu veličinu n cache, osim, eventualno, jednog od njih (prvi ili zadnji). Ako želimo dobiti jednoznačnost rastava na blokove, zgodno je uzeti da su veličine blokova n i sortirane uzlazno ili silazno. U nastavku uzimamo silazni poredak n 1 n 2 n N. OAA 2017, 4. predavanje p. 61/69
62 Equal sized podjednake veličine blokova Definiramo ostatak n r := n mod N. Podjela na blokove izlazi iz rastava broja n oblika n ( n n n = N +n r = (N n r ) +n r N N N ) +1. Veličine blokova n i u silaznom poretku su n +1, za i = 1,...,n r, N n i = n, za i = n r +1,...,N. N OAA 2017, 4. predavanje p. 62/69
63 Greedy maksimalne veličine blokova Definiramo ostatak n r := n mod n cache. Podjela na blokove izlazi iz rastava broja n oblika n n = n cache +n r. n cache Veličine blokova n i u silaznom poretku su n i = n cache, i = 1,...,N 1, n N = { ncache, za n r = 0 (tj. n cache dijeli n), n r, za n r > 0. OAA 2017, 4. predavanje p. 63/69
64 Veličine blokova (nastavak) U primjerima se koristi equal sized ili uniform podjela. Napomena. Pravu (najbolju) vrijednost za n cache odredujemo testiranjem blokovskog algoritma! (Taj treba biti što brži.) OAA 2017, 4. predavanje p. 64/69
65 Blokovsko množenje matrica indeksi I još, da nam se indeksi i oznake ne pomiješaju što indeksira blokove, a što elemente, dodajemo podindeks b za sve što se odnosi na blokove. OAA 2017, 4. predavanje p. 65/69
66 Blokovsko množenje matrica primjer IVF s normal opcijom za jik petlju daje brzine: 1050MFlops za n 50, 205MFlops za velike n. IVF s normal opcijom za jki petlju daje brzine: 1100MFlops za n 300, 840MFlops za velike n. IVF s fast opcijom za jki petlju daje brzine: 2000MFlops za n 300, 1250MFlops za velike n. OAA 2017, 4. predavanje p. 66/69
67 BabyBlue, IVF, normal jik obični i blok (50) Pentium 4/660, 3.6 GHz, IVF, normal Množ. mat. jik (50) 1500 brzina u Mflopsima red matrice OAA 2017, 4. predavanje p. 67/69
68 BabyBlue, IVF, normal jkiobični i blok (300) Pentium 4/660, 3.6 GHz, IVF, normal Množ. mat. jki (300) 1500 brzina u Mflopsima red matrice OAA 2017, 4. predavanje p. 68/69
69 BabyBlue, IVF, fast jki obični i blok (300) 2500 Pentium 4/660, 3.6 GHz, IVF, fast Množ. mat. jki (300) brzina u Mflopsima red matrice OAA 2017, 4. predavanje p. 69/69
Oblikovanje i analiza algoritama 5. predavanje Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb OAA 2017, 5. pr
Oblikovanje i analiza algoritama 5. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb OAA 2017, 5. predavanje p. 1/68 Sadržaj predavanja Nehomogene rekurzije
Matrice. Algebarske operacije s matricama. - Predavanje I
Matrice.. Predavanje I Ines Radošević inesr@math.uniri.hr Odjel za matematiku Sveučilišta u Rijeci Matrice... Matrice... Podsjeti se... skup, element skupa,..., matematička logika skupovi brojeva N,...,
Programiranje 2 0. predavanje Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb Prog2 2019, 0. predavanje p. 1/4
Programiranje 2 0. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb Prog2 2019, 0. predavanje p. 1/48 Sadržaj predavanja Ponavljanje onog dijela C-a koji
2015_k2_z12.dvi
OBLIKOVANJE I ANALIZA ALGORITAMA 2. kolokvij 27. 1. 2016. Skice rješenja prva dva zadatka 1. (20) Zadano je n poslova. Svaki posao je zadan kao vremenski interval realnih brojeva, P i = [p i,k i ],zai
Programiranje 1 9. predavanje Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb Prog1 2018, 9. predavanje p. 1/6
Programiranje 1 9. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb Prog1 2018, 9. predavanje p. 1/60 Sadržaj predavanja Osnovni algoritmi na cijelim brojevima:
Slide 1
0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: :: Neke fizikalne veličine poput indeksa loma u anizotropnim sredstvima ovise o iznosu i smjeru, a nisu vektori. Stoga se namede potreba poopdavanja. Međutim, fizikalne veličine,
PROGRAMIRANJE Program je niz naredbi razumljivih računalu koje rješavaju neki problem. Algoritam je postupak raščlanjivanja problema na jednostavnije
PROGRAMIRANJE Program je niz naredbi razumljivih računalu koje rješavaju neki problem. Algoritam je postupak raščlanjivanja problema na jednostavnije korake. Uz dobro razrađen algoritam neku radnju ćemo
Programiranje 1 3. predavanje prošireno Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb Prog1 2018, 3. predava
Programiranje 1 3. predavanje prošireno Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb Prog1 2018, 3. predavanje prošireno p. 1/120 Sadržaj proširenog predavanja
Državna matura iz informatike
DRŽAVNA MATURA IZ INFORMATIKE U ŠK. GOD. 2013./14. 2016./17. SADRŽAJ Osnovne informacije o ispitu iz informatike Područja ispitivanja Pragovi prolaznosti u 2014./15. Primjeri zadataka po područjima ispitivanja
Slide 1
OSNOVNI POJMOVI Naredba je uputa računalu za obavljanje određene radnje. Program je niz naredbi razumljivih računalu koje rješavaju neki problem. Pisanje programa zovemo programiranje. Programski jezik
Programiranje 1 3. predavanje Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb Prog1 2017, 3. predavanje p. 1/1
Programiranje 1 3. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb Prog1 2017, 3. predavanje p. 1/132 Sadržaj predavanja Osnovni tipovi podataka u računalu
23. siječnja od 13:00 do 14:00 Školsko natjecanje / Osnove informatike Srednje škole RJEŠENJA ZADATAKA S OBJAŠNJENJIMA Sponzori Medijski pokrovi
3. siječnja 0. od 3:00 do 4:00 RJEŠENJA ZADATAKA S OBJAŠNJENJIMA Sponzori Medijski pokrovitelji Sadržaj Zadaci. 4.... Zadaci 5. 0.... 3 od 8 Zadaci. 4. U sljedećim pitanjima na pitanja odgovaraš upisivanjem
Орт колоквијум
II колоквијум из Основа рачунарске технике I - 27/28 (.6.28.) Р е ш е њ е Задатак На улазе x, x 2, x 3, x 4 комбинационе мреже, са излазом z, долази четворобитни BCD број. Ако број са улаза при дељењу
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja)
1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 9 + 7 6 9 + 4 51 = = = 5.1 18 4 18 8 10. B. Pomoću kalkulatora nalazimo 10 1.5 = 63.45553. Četvrta decimala je očito jednaka 5, pa se zaokruživanje vrši
Microsoft PowerPoint - 03-Slozenost [Compatibility Mode]
![Microsoft PowerPoint - 03-Slozenost [Compatibility Mode]](/thumbs/102/154806426.jpg "Microsoft PowerPoint - 03-Slozenost [Compatibility Mode]")
Сложеност алгоритама (Програмирање 2, глава 3, глава 4-4.3) Проблем: класа задатака истог типа Велики број различитих (коректних) алгоритама Величина (димензија) проблема нпр. количина података које треба
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja)
1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. B. Imamo redom: 0.3 0. 8 7 8 19 ( 3) 4 : = 9 4 = 9 4 = 9 = =. 0. 0.3 3 3 3 3 0 1 3 + 1 + 4 8 5 5 = = = = = = 0 1 3 0 1 3 0 1+ 3 ( : ) ( : ) 5 5 4 0 3.
Numerička matematika 11. predavanje dodatak Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2019, 11. p
Numerička matematika 11. predavanje dodatak Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 1/46 Sadržaj predavanja dodatka
Uvod u računarstvo 2+2
Programiranje 2 doc.dr.sc. Goranka Nogo PMF Matematički odsjek, Zagreb Kontakt ured: 228, drugi kat e-mail: nogo@math.hr konzultacije: četvrtak, 12:00-14:00 petak, 11:00-12:00 neki drugi termin, uz prethodni
Programiranje 1 IEEE prikaz brojeva sažetak Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb Prog1 2018, IEEE p
Programiranje IEEE prikaz brojeva sažetak Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb Prog 208, IEEE prikaz brojeva sažetak p. /4 Sadržaj predavanja IEEE standard
P11.3 Analiza zivotnog veka, Graf smetnji
Поједностављени поглед на задњи део компајлера Међурепрезентација (Међујезик IR) Избор инструкција Додела ресурса Распоређивање инструкција Инструкције циљне архитектуре 1 Поједностављени поглед на задњи
JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori n
1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja 2018. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) (a) (2 boda) Definirajte (općenitu) vanjsku mjeru. (b) (2 boda) Definirajte
08 RSA1
Преглед ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције RSA алгоритам Биће објашњено: RSA алгоритам алгоритам прорачунски аспекти ефикасност коришћењем јавног кључа генерисање кључа сигурност проблем
Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: min c T x Ax = b x 0 x Z n Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica
Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: min c T x Ax = b x 0 x Z n Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije m n, b Z m, c Z n. Takođe, očekuje se da
7. predavanje Vladimir Dananić 14. studenoga Vladimir Dananić () 7. predavanje 14. studenoga / 16
7. predavanje Vladimir Dananić 14. studenoga 2011. Vladimir Dananić () 7. predavanje 14. studenoga 2011. 1 / 16 Sadržaj 1 Operator kutne količine gibanja 2 3 Zadatci Vladimir Dananić () 7. predavanje 14.
Analiticka geometrija
Analitička geometrija Predavanje 8 Vektori u prostoru. Skalarni proizvod vektora Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 1 / 11 Vektori u prostoru i pravougli koordinatni
Microsoft Word - 6ms001
Zadatak 001 (Anela, ekonomska škola) Riješi sustav jednadžbi: 5 z = 0 + + z = 14 4 + + z = 16 Rješenje 001 Sustav rješavamo Gaussovom metodom eliminacije (isključivanja). Gaussova metoda provodi se pomoću
Test ispravio: (1) (2) Ukupan broj bodova: 21. veljače od 13:00 do 14:00 Županijsko natjecanje / Osnove informatike Osnovne škole Ime i prezime
Test ispravio: () () Ukupan broj bodova:. veljače 04. od 3:00 do 4:00 Ime i prezime Razred Škola Županija Mentor Sadržaj Upute za natjecatelje... Zadaci... Upute za natjecatelje Vrijeme pisanja: 60 minuta
Programski jezik QBasic Kriteriji ocjenjivanja programiranje(b) - QBasic razred 42
Kriteriji ocjenjivanja programiranje(b) - QBasic 5. - 8. razred 42 5. RAZRED - prisjeća sa pojmova: algoritam, algoritma slijeda i grananja, dijagrama toka, te ulaznih i izlaznih jedinica, ne shvaća njihovo
Programski jezik QBasic Kriteriji ocjenjivanja programiranje(b) - QBasic razred 42
Kriteriji ocjenjivanja programiranje(b) - QBasic 5. - 8. razred 42 5. RAZRED - prisjeća sa pojmova: algoritam, algoritma slijeda i grananja, dijagrama toka, te ulaznih i izlaznih jedinica, ne shvaća njihovo
Programiranje 1
Sveučilište u Rijeci ODJEL ZA INFORMATIKU Ulica Radmile Matejčić 2, Rijeka Akademska 2018./2019. godina PROGRAMIRANJE 1 Studij: Preddiplomski studij informatike (jednopredmetni) Godina i semestar: 1. godina,
Programiranje 2 1. predavanje Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb Prog2 2019, 1. predavanje p. 1/7
Programiranje 2 1. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb Prog2 2019, 1. predavanje p. 1/75 Dobar dan, dobro došli Prog2 2019, 1. predavanje
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Zvonko Iljazović Zagreb, rujan, 2015. Ovaj diplomski
6-8. ČAS Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije,. Takođe
6-8. ČAS Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije,. Takođe, očekuje se da su koordinate celobrojne. U slučaju
Algoritmi SŠ P1
Županijsko natjecanje iz informatike Srednja škola 9. veljače 2018. RJEŠENJA ZADATAKA Napomena: kodovi za većinu opisanih algoritama dani su u Pythonu radi jednostavnosti i lakše čitljivosti. Zbog prirode
Dvostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2
vostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, 2019. Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2 http://matematika.fkit.hr Uvod vostruki integral je integral funkcije dvije varijable. Oznaka: f
Primjena neodredenog integrala u inženjerstvu Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2
Primjena neodredenog integrala u inženjerstvu Matematika 2 Erna Begović Kovač, 2019. Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2 http://matematika.fkit.hr Uvod Ako su dvije veličine x i y povezane relacijom
Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razredu Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razr
Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razredu ODLIČAN (5) navodi primjer kuta kao dijela ravnine omeđenog polupravcima analizira i uspoređuje vrh i krakove kuta analizira
Programiranje 1 drugi kolokvij, 2. veljače Ime i prezime: JMBAG: Upute: Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i brisanje,
Upute: Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i brisanje, te službeni podsjetnik. Kalkulatori, mobiteli, razne neslužbene tablice, papiri i sl., nisu dozvoljeni! Sva rješenja napišite
Fortran
FORTRAN Uvod Računala su samo strojevi: neznaju ništa, ne razmišljaju ni o čemu, ali mogu izuzetnom brzinom i vrlo točno, slijediti precizno napisane upute. Takve upute moraju se napisati u posebnom jeziku
Programiranje 1 1. predavanje Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb Prog1 2015, 1. predavanje p.1/49
Programiranje 1 1. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb Prog1 2015, 1. predavanje p.1/49 Dobar dan, dobro došli Prog1 2015, 1. predavanje p.2/49
Microsoft PowerPoint - C-4-1
Pregled iskaza u C-u Izraz; Iskaz dodele, serijski komponovani iskaz; blok Uslovni iskazi i izrazi; složeno grananje Iterativni iskazi Iskaz dodele Promena vrednosti a = Ψ; Izračunava vrednost izraza Ψ,
Programiranje 1 1. predavanje Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb Prog1 2016, 1. predavanje p. 1/4
Programiranje 1 1. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb Prog1 2016, 1. predavanje p. 1/49 Dobar dan, dobro došli Prog1 2016, 1. predavanje
CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup priro
CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup prirodnih brojeva? 4.) Pripada li 0 skupu prirodnih brojeva?
Microsoft Word - 6. RAZRED INFORMATIKA.doc
Kriteriji ocjenjivanja i vrednovanja INFORMATIKA - 6. razred Nastavne cjeline: 1. Život na mreži 2. Pletemo mreže, prenosimo, štitimo, pohranjujemo i organiziramo podatke 3. Računalno razmišljanje i programiranje
PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA RAČUNARSKE NAUKE Utorak, godine PRIJEMNI ISPIT IZ INFORMATIKE 1. Koja od navedenih ekste
PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA RAČUNARSKE NAUKE Utorak, 5.06.019. godine PRIJEMNI ISPIT IZ INFORMATIKE 1. Koja od navedenih ekstenzija se najčešće koristi za tekstualne datoteke? a)
PowerPoint Presentation
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU Fakultet prometnih znanosti Zavod za inteligentne transportne sustave Vukelićeva 4, Zagreb, HRVATSKA Računalstvo Operatori, pisanje izraza i osnove pseudokôda Izv. prof. dr. sc. Edouard
Konacne grupe, dizajni i kodovi
Konačne grupe, dizajni i kodovi Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) 1. veljače 2011. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 1 / 36 J. Moori, Finite Groups,
Konstrukcija i analiza algoritama Nina Radojičić februar Analiza algoritama, rekurentne relacije 1 Definicija: Neka su f i g dve pozitivne fun
Konstrukcija i analiza algoritama Nina Radojičić februar 2018. 1 Analiza algoritama, rekurentne relacije 1 Definicija: Neka su f i g dve pozitivne funkcije od argumenta n iz skupa N prirodnih brojeva.
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)
I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 1. A. Svih pet zadanih razlomaka svedemo na najmanji zajednički nazivnik. Taj nazivnik je najmanji zajednički višekratnik brojeva i 3, tj. NZV(, 3) = 6. Dobijemo: 15 1, 6
Maksimalni protok kroz mrežu - Ford-Fulkerson, Edmonds-Karp
Maksimalni protok kroz mrežu - Ford-Fulkerson, Edmonds-Karp PMF-MO Seminar iz kolegija Oblikovanje i analiza algoritama 22.1.2019. mrežu - Ford-Fulkerson, Edmonds-Karp 22.1.2019. 1 / 35 Uvod - definicije
ALIP1_udzb_2019.indb
Razmislimo Kako u memoriji računala prikazujemo tekst, brojeve, slike? Gdje se spremaju svi ti podatci? Kako uopće izgleda memorija računala i koji ju elektronički sklopovi čine? Kako biste znali odgovoriti
s2.dvi
1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skupovibrojeva.... Skup kompleksnih brojeva................................. 6. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva..................... 9 4. Kompleksno konjugirani
РЕПУБЛИКА СРПСКА МИНИСТАРСТВО ПРОСВЈЕТЕ И КУЛТУРЕ РЕПУБЛИЧКИ ПЕДАГОШКИ ЗАВОД Милоша Обилића 39 Бањалука, Тел/факс 051/ , 051/ ; p
РЕПУБЛИКА СРПСКА МИНИСТАРСТВО ПРОСВЈЕТЕ И КУЛТУРЕ РЕПУБЛИЧКИ ПЕДАГОШКИ ЗАВОД Милоша Обилића 9 Бањалука, Тел/факс 01/40-110, 01/40-100; e-mail : pedagoski.zavod@rpz-rs.org Датум: 8.04.018. Републичко такмичење
Microsoft Word - 12ms121
Zadatak (Goran, gimnazija) Odredi skup rješenja jednadžbe = Rješenje α = α c osα, a < b < c a + < b + < c +. na segmentu [ ], 6. / = = = supstitucija t = + k, k Z = t = = t t = + k, k Z t = + k. t = +
Microsoft PowerPoint - 13-Funkcije_2.ppt [Compatibility Mode]
![Microsoft PowerPoint - 13-Funkcije_2.ppt [Compatibility Mode]](/thumbs/100/145658154.jpg "Microsoft PowerPoint - 13-Funkcije_2.ppt [Compatibility Mode]")
Osnove programiranja Funkcije - Metode Prenos parametara Po vrednosti Po referenci Po izlazu Sadržaj Opseg važenja promenljive u drugim strukturama Rekurzije Prenos parametara Metoda može vratiti isključivo
ТЕОРИЈА УЗОРАКА 2
ТЕОРИЈА УЗОРАКА 2 12. 04. 13. ВЕЖБАЊА Написати функције за бирање елемената популације обима N у узорак обима n, код простог случајног узорка, користећи алгоритме: Draw by draw procedure for SRS/SRSWOR
sve.dvi
1. Uvod Ovo uvodno poglavlje neophodno je za razumijevanje terminologije i notacije koja se koristi u ostatku teksta. Takoder, ono nam bolje objašnjava ciljeve i svrhu cijelog udžbenika. Sastoji se od
Sveučilište u Zagrebu Fakultet prometnih znanosti Zavod za inteligentne transportne sustave Katedra za primijenjeno računarstvo Vježba: #7 Kolegij: Ba
Sveučilište u Zagrebu Fakultet prometnih znanosti Zavod za inteligentne transportne sustave Katedra za primijenjeno računarstvo Vježba: #7 Kolegij: Baze podataka Tema: Osnovna SELECT naredba Vježbu pripremili:
PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla
PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla, 3. mart/ožujak 019. godine Prirodno-matematički fakultet
(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)
1. D. Svedimo sve razlomke na jedinstveni zajednički nazivnik. Lako provjeravamo da vrijede rastavi: 85 = 17 5, 187 = 17 11, 170 = 17 10, pa je zajednički nazivnik svih razlomaka jednak Tako sada imamo:
Programiranje 2 popravni kolokvij, 15. lipnja Ime i prezime: JMBAG: Upute: Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i brisanj
Upute: Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i brisanje, te službeni šalabahter. Kalkulatori, mobiteli, razne neslužbene tablice, papiri i sl., nisu dozvoljeni! Sva rješenja napišite
Tutoring System for Distance Learning of Java Programming Language
Niz (array) Nizovi Niz je lista elemenata istog tipa sa zajedničkim imenom. Redosled elemenata u nizovnoj strukturi je bitan. Konkretnom elementu niza pristupa se preko zajedničkog imena niza i konkretne
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)
I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. C. Zadani broj očito nije niti prirodan broj niti cijeli broj. Budući da je 3 78 3. = =, 00 5 zadani broj možemo zapisati u obliku razlomka kojemu je brojnik cijeli broj
Računalne mreže
Sveučilište u Rijeci ODJEL ZA INFORMATIKU Radmile Matejčić 2, Rijeka Akademska 2015/2016. godina MATEMATIKA 1 Studij: Godina i semestar: Web stranica predmeta: ECTS bodovi: 5 Nastavno opterećenje: 2 +
1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O
http://www.fsb.hr/matematika/ (prva zadać Vektori i primjene. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. Označite CA= a, CB= b i izrazite vektore CM i CN pomoću vektora a i b..
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Mihael Maltar MATRICE UDALJENOSTI U GRAFOVIMA Diplomski rad Voditelj rada:
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Mihael Maltar MATRICE UDALJENOSTI U GRAFOVIMA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Tomislav Došlić Zagreb, rujan, 2018.
Microsoft Word - 1. REALNI BROJEVI- formulice
REALNI BROJEVI Skup prirodnih brojeva je N={1,2,3,4,,6,7, } Ako skupu prirodnih brojeva dodamo i nulu onda imamo skup N 0 ={0,1,2,3, } Skup celih brojeva je Z = {,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Skup racionalnih brojeva
Stručno usavršavanje
TOPLINSKI MOSTOVI IZRAČUN PO HRN EN ISO 14683 U organizaciji: TEHNIČKI PROPIS O RACIONALNOJ UPORABI ENERGIJE I TOPLINSKOJ ZAŠTITI U ZGRADAMA (NN 128/15, 70/18, 73/18, 86/18) dalje skraćeno TP Čl. 4. 39.
PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred)
PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred) Učenik prvog razreda treba ostvarit sljedeće minimalne standarde 1. SKUP REALNIH BROJEVA -razlikovati brojevne skupove i njihove
P1.1 Analiza efikasnosti algoritama 1
Analiza efikasnosti algoritama I Asimptotske notacije Master metoda (teorema) 1 Asimptotske notacije (1/2) Služe za opis vremena izvršenja algoritma T(n) gde je n N veličina ulaznih podataka npr. br. elemenata
Microsoft Word - predavanje8
DERIVACIJA KOMPOZICIJE FUNKCIJA Ponekad je potrebno derivirati funkcije koje nisu jednostavne (složene su). Na primjer, funkcija sin2 je kompozicija funkcija sin (vanjska funkcija) i 2 (unutarnja funkcija).
Microsoft Word - 09_Frenetove formule
6 Frenet- Serret-ove formule x : 0,L Neka je regularna parametrizaija krivulje C u prostoru parametru s ) zadana vektorskom jednadžbom: x s x s i y s j z s k x s, y s, z s C za svaki 0, L Pritom je zbog
ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 28. veljače razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI
ŽUANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 8. veljače 09. 8. razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI OSTUAK RJEŠAVANJA, ČLAN OVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ OSTUAK
UAAG Osnovne algebarske strukture 5. Vektorski prostori Borka Jadrijević
Osnovne algebarske strukture 5. Vektorski prostori Borka Jadrijević Osnovne algebarske strukture5. Vektorski prostori 2 5.1 Unutarnja i vanjska množenja Imamo dvije vrste algebarskih operacija, tzv. unutarnja
knjiga.dvi
1. Vjerojatnost 1. lgebra dogadaja......................... 1 2. Vjerojatnost............................. 9 3. Klasični vjerojatnosni prostor................. 14 4. eskonačni vjerojatnosni prostor...............
EFIKASNO MODELIRANJE REALNIH OPTIMIZACIONIH PROBLEMA Tatjana Davidović Matematički institut SANU tanjad
EFIKASNO MODELIRANJE REALNIH OPTIMIZACIONIH PROBLEMA Tatjana Davidović Matematički institut SANU http://www.mi.sanu.ac.rs/ tanjad (tanjad@mi.sanu.ac.rs) VII Simpozijum,,Matematika i primene 4. novembar
Microsoft Word - VEROVATNOCA II deo.doc
VEROVATNOĆA - ZADAI (II DEO) Klasična definicija verovatnoće Verovatnoća dogañaja A jednaka je količniku broja povoljnih slučajeva za dogañaj A i broja svih mogućih slučajeva. = m n n je broj svih mogućih
Школа Ј. Ј. Змај Свилајнац МЕСЕЧНИ ПЛАН РАДА ЗА СЕПТЕМБАР Школска 2018 /2019. Назив предмета: Информатика и рачунарство Разред: 5. Недељни број часова
Школа Ј. Ј. Змај Свилајнац МЕСЕЧНИ ПЛАН РАДА ЗА СЕПТЕМБАР јединице 1. 1. Увод у информатику и рачунарство 1. 2. Oрганизација података на рачунару 1. 3. Рад са текстуалним документима 1. 4. Форматирање
Microsoft Word - Lekcija 11.doc
Лекција : Креирање графова Mathcad олакшава креирање x-y графика. Треба само кликнути на нови фајл, откуцати израз који зависи од једне варијабле, например, sin(x), а онда кликнути на дугме X-Y Plot на
Увод у организацију и архитектуру рачунара 1
Увод у организацију и архитектуру рачунара 2 Александар Картељ kartelj@matf.bg.ac.rs Напомена: садржај ових слајдова је преузет од проф. Саше Малкова Увод у организацију и архитектуру рачунара 2 1 Секвенцијалне
JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL završni ispit 6. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1.
MJERA I INTEGRAL završni ispit 6. srpnja 208. (Knjige bilježnice dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!). (8 bodova) Kao na predavanjima za d N sa P d : a b ] a d b d ] : a i b i R a i b i za i
Programiranje predavanje Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb Prog1 2016, 10. predavanje p. 1
Programiranje 1 10. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb Prog1 2016, 10. predavanje p. 1/95 Sadržaj predavanja Funkcije: Definicija funkcije.
INF INFORMATIKA INF.35.HR.R.K1.24 INF D-S
INF INFORMATIKA INF.35.HR.R.K.24 2 Prazna stranica 99 2 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri dežurni nastavnik. Nalijepite
Grafovi 1. Posmatrajmo graf prikazan na slici sa desne strane. a) Odrediti skup čvorova V i skup grana E posmatranog grafa. Za svaku granu posebno odr
Grafovi 1. Posmatrajmo graf prikazan na slici sa desne strane. a) Odrediti skup čvorova V i skup grana E posmatranog grafa. Za svaku granu posebno odrediti njene krajeve. b) Odrediti sledeće skupove: -
PowerPoint Presentation
Колоквијум # задатак подељен на 4 питања: теоријска практична пишу се програми, коначно решење се записује на папиру, кодови се архивирају преко сајта Инжењерски оптимизациони алгоритми /3 Проблем: NLP:
Logičke izjave i logičke funkcije
Logičke izjave i logičke funkcije Građa računala, prijenos podataka u računalu Što su logičke izjave? Logička izjava je tvrdnja koja može biti istinita (True) ili lažna (False). Ako je u logičkoj izjavi
Veeeeeliki brojevi
Matematička gimnazija Nedelja informatike 3 12. decembar 2016. Uvod Postoji 10 tipova ljudi na svetu, oni koji razumeju binarni sistem, oni koji ne razumeju binarni sistem i oni koji nisu očekivali šalu
Matematika 1 - izborna
3.3. NELINEARNE DIOFANTSKE JEDNADŽBE Navest ćemo sada neke metode rješavanja diofantskih jednadžbi koje su drugog i viših stupnjeva. Sve su te metode zapravo posebni oblici jedne opće metode, koja se naziva
atka 26 (2017./2018.) br. 102 NEKE VRSTE DOKAZA U ČAROBMATICI Jadranka Delač-Klepac, Zagreb jednoj smo priči spomenuli kako je važno znati postavljati
NEKE VRSTE DOKAZA U ČAROBMATICI Jadranka Delač-Klepac, Zagreb jednoj smo priči spomenuli kako je važno znati postavljati prava pitanja. U Jednako je važno znati pronaći odgovore na postavljena pitanja,
Numerička matematika 1. predavanje dodatak Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2019, 1. pre
Numerička matematika 1. predavanje dodatak Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2019, 1. predavanje dodatak p. 1/102 Sadržaj predavanja dodatka
Pripreme 2016 Indukcija Grgur Valentić lipanj Zadaci su skupljeni s dva predavanja na istu temu, za učenike od prvog do trećeg razreda i za MEMO
Pripreme 016 Indukcija Grgur Valentić lipanj 016. Zadaci su skupljeni s dva predavanja na istu temu, za učenike od prvog do trećeg razreda i za MEMO kandidate. Zato su zadaci podjeljeni u odlomka. U uvodu
13E114PAR, 13S113PAR DOMAĆI ZADATAK 2018/2019. Cilj domaćeg zadatka je formiranje petlje softverske protočnosti za minimalni broj ciklusa.
13E114PAR, 13S113PAR 29.04.2019. DOMAĆI ZADATAK 2018/2019. Cilj domaćeg zadatka je formiranje petlje softverske protočnosti za minimalni broj ciklusa. U okviru svake grupe data je doall ili doacross petlja
Uvod u obične diferencijalne jednadžbe Metoda separacije varijabli Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler
Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler Primjer Deriviranje po x je linearan operator d dx kojemu recimo kao domenu i kodomenu uzmemo (beskonačnodimenzionalni) vektorski prostor funkcija
Vektorske funkcije i polja Mate Kosor / 23
i polja Mate Kosor 9.12.2010. 1 / 23 Tokom vježbi pokušajte rješavati zadatke koji su vam zadani. Ova prezentacija biti će dostupna na webu. Isti format vježbi očekujte do kraja semestra. 2 / 23 Danas
Funkcije predavač: Nadežda Jakšić
Funkcije predavač: Nadežda Jakšić do sada su korišćene "gotove" funkcije iz standardnih biblioteka (cin, cout...) one su pozivane iz main funkcije koja je glavna funkcija u programu jer izvršavanje programa
MAT B MATEMATIKA osnovna razina MATB.38.HR.R.K1.20 MAT B D-S
MAT B MATEMATIKA osnovna razina MAT38.HR.R.K. Prazna stranica 99 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri dežurni nastavnik.
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)
1. C. Interval, tvore svi realni brojevi strogo manji od. Interval, 9] tvore svi realni brojevi strogo veći od i jednaki ili manji od 9. Interval [1, 8] tvore svi realni brojevi jednaki ili veći od 1,
Microsoft Word - AIDA2kolokvijumRsmerResenja.doc
Konstrukcija i analiza algoritama 2 (prvi kolokvijum, smer R) 1. a) Konstruisati AVL stablo od brojeva 100, 132, 134, 170, 180, 112, 188, 184, 181, 165 (2 poena) b) Konkatenacija je operacija nad dva skupa
Diskretna matematika Sveučilište u Rijeci ODJEL ZA INFORMATIKU Radmile Matejčić 2, Rijeka Akademska 2017./2018.godina DISKRETNA MATEMATIKA Studij: Pre
Sveučilište u Rijeci ODJEL ZA INFORMATIKU Radmile Matejčić 2, Rijeka Akademska 2017./2018.godina DISKRETNA MATEMATIKA Studij: Preddiplomski studij informatike (jednopredmetni) Godina i semestar: 2. godina,