Nelinearni sustavi

Транскрипт

1 SIS ADITORNE VJEŽBE 5 podsjetimo se Definicija: Konačan Automat je uređena petorka (Stanja, la, Ila, FunkcijaPrijelaa, pocetnostanje). Stanja onačaaju prostor stanja 2. la predstalja ulani alfabet (skup simbola) 3. Ila predstalja ilani alfabet (skup simbola) 4. pocetnostanje Stanja, predstalja inicijalno stanje 5. FunkcijaPrijelaa: Stanja la Stanja Ila oo eć namo! Možemo li konačnim automatom realiirati relaciju jednako? Ne postoji konačan automat koji a ulani binarni ni može odrediti da li u niu postoji jednak broj nula i jedinica! Za saki s i skupa Stanja i i skupa laa rijedi: (0, jednako), ( = s = ) ( = 0 s = ) ( s +, raličito), = s Pr ijela( s, ) = ( s, raličito), = 0 s (, s odsu tan), inače

2 Beskonačni automati FunkcijaPrijelaa: Realni N Realni M Realni N Realni K FunkcijaPrijelaa = (SljedećeStanje, Ila) SljedećeStanje: Realni N Realni M Realni N Ila: Realni N Realni M Realni K s Realni N, Realni M, FunkcijaPrijelaa(s,) = (SljedećeStanje(s,), Ila(s,)). Te dije funkcije odojeno određuju sljedeće stanje automata te trenutni ila i automata Beskonačni automati Za ulani ni (0), (),, gdje je (i) Realni M, susta rekurino generira određena stanja sustaa s(0), s(),, gdje je s(i) Realni N, te određuje ila y(0), y(),, gdje je y(i) Realni K Kako? S(0) = pocetnostanje (s(n+), y(n)) = FunkcijaPrijelaa(s(n), (n)) n Prirodni, n 0, s(n+) = SljedećeStanje(s(n),(n)) - jednadžba prijelaa n Prirodni, n 0, y(n) = Ila(s(n),(n)) - ilana jednadžba jednadžba prijelaa + ilana jednadžba = model s arijablama stanja Diskretni linearni sustai SljedećeStanje(s(n), (n)) = As(n) + B(n) Ila(s(n), (n)) = Cs(n) + D(n) s(n+) = As(n) + B(n) y(n) = Cs(n) + D(n) Ako su matrice A, B, C i D konstantne u remenu onda predstaljaju LTI susta 2

3 Zadatak. Model Paučine Promotrimo situaciju u kojoj proiodnu odluku proiođač mora donositi a jedno radoblje unaprijed u odnosu na starnu prodaju - dobar primjer je poljopriredna industrija. Pretpostaimo da je proiodna odluka u godini n temeljena na tadašnjim cijenama P. Budući da proiodnja neće biti raspoložia a prodaju do sljedeće godine, tj. do radoblja (n+), te cijene P(n) neće određiati ponudu Q s (n), eć Q s (n+) Zadatak. Model Paučine Prema tome imamo pomaknutu funkciju ponude Q s (n+) = S(P(n)), a to je ekialentno, Q s (n) = S(P(n-)), gdje je S neka funkcija Funkcija potražnje je oblika Q d (n) = D(P(n)), gdje je D neka funkcija, Funkcija potražnje je očito nepomaknuta Zadatak. Model Paučine Očito rijedi sljedeće; n Prirodni (godina koja se promatra) P(n) Realni + (Cijena proioda u tekućoj godini) Q s (n) Realni + (Ponuda promatranog proioda na tržištu u tekućoj godini) Q d (n) Realni + (Potražnja a promatranim proiodom na tržištu u tekućoj godini) Pretpostaljajući i uimajući linearne funkcije (pomaknute) ponude i (nepomaknute) potražnje i pretpostaljajući da su u sakom remenskom radoblju tržišne cijene adane na raini koja čisti tržište, imamo model tržišta sa sljedeće tri jednadžbe: 3

4 Zadatak. Model Paučine Jednadžbe modela igledaju oako: Q d (n) = Q s (n) Q d (n) = a - bp(n), (a,b>0) Q s (n) = -c + dp(n-), (c,d>0) Kombiniranjem jednadžbi, te definiranjem potražnje u tekućoj godini kao stanja sustaa, a cijene kao ilaa sustaa dolaimo do sljedećeg oblika d ad Gdje je s( n+ ) = sn ( ) ( + cn ) ( ) b b s(n+) = Q d (n) = Q s (n), a y(n+) = P(n), yn ( ) = sn ( ) n ( ) b b (n) =, n Prirodni 0 Zadatak. Model Paučine Susta jednadžbi predstalja beskonačni automat s jedne strane, dok s druge strane radi se o linearnom remenski diskretnom sustau s matricama A, B, C, D sa dimenijama. Tako je d ad A=, B = + c, b b a C =, D =, b b Jasno je da smo mogli drugačije odabrati arijablu stanja, kao i ila i sustaa, no sjetite se da jedan automat može simulirati drugi i obrnuto te da ne postoji u tom smislu jedinsteni prika Zadatak. Model Paučine Kombiniranjem polanih jednadžbi možemo dobiti i drugu formu prikaa sustaa ( ) d ( ) a + Pn+ + Pn = c b b Oaka oblik oe se ulano - ilani prika sustaa, a sam oblik jednadžbe oe se jednadžba diferencije Da bi susta u potpunosti opisali potrebno je još specificirati početni ujet, tj. P(0) = P 0 4

5 Zadatak. Model Paučine Kalitatina analia sustaa Q S d > b S je strmiji od D Q Q 2 D O P P P 0 Eksploija P 2 P Zadatak. Model Paučine Kalitatina analia sustaa Q Q S d < b D je strmiji od S Q 2 D O P P P P P Prigušeno P Zadatak. Model Paučine nastaku promatramo slučaj eksploinih oscilacija te kao dodatni mehaniam uodimo pojam maksimalne cijene na tržištu. Potrebno je analiirati ponašanje proioda na tržištu u tom slučaju. očite da smo oime iašli i domene linearnog modela te da imamo posla s nelinearnim analiom 5

6 Zadatak. Model Paučine Krenimo od iraa ( ) d ( ) a + Pn+ + Pn = c b b Zapišimo ga u malo drugačijoj formi a+ c d d Pn ( + ) = f( Pn ( )) = Pn ( ), > 0 b b b Eksploine oscilacije d > b Zadatak. Model Paučine Kalitatina analia P(n+) P G P D f(p(n)) d > b Eksploija Maksimalna cijena ograničena dinamika ponašanja Konačno oscilatorno ponašanje O 450 P D P 2 k P 0 P P G P(n) Oscilatorno Zadatak. Model Paučine Za opisianje oakog modela matematički potrebno nam je iše od jedne jednadžbe PG, P( n) k Pn ( + ) = a+ c d Pn ( ), Pn ( ) > k b b Gdje k onačaa rijednost P(n) u točki loma 6

7 Primjer. = = f () Diferencijalna jednadžba koja opisuje susta: f ( ) = 0 Neka je nelinearna funkcija, aproksimirana pracima po odsječcima. Primjer. d = = = 2 < d = = stanje sustaa d/ - brina promjene stanja sign(d/) - smjer promjene stanja - 7

8 d = = Točke X i a koje rijedi da je: d = i = 0 naiaju se točke ranoteže; u njima nema promjene stanja sustaa! d = = A B C -2-2 Koje su to točke? d = = = 0 = 0 2 = 0 C = 2 B = 0 A = 2 - su točke ranoteže d = = A B C Jesu li točke ranoteže stabilne? Što se događa ako malo iedemo i A,B,C? 8

9 Točka ranoteže e je stabilna točka ako rijedi: > e < 0 < e > 0 Točke A, C su stabilne točke. Točke B nije stabilna točka. Početni ujet 0 = 0,5 d = = A B C Kako će se mijenjati stanje sustaa? Kuda će putoati točka? desno! Početni ujet 0 = 0,5 d = = Da slučaja: < = = + 2 A B C t - trenutak dostianja točke loma kriulje ( t ) = početni ujet a drugi slučaj (jednadžbu) 9

10 . slučaj: = st Homogena jednadžba: = e st st se = e s = t = Ce ( 0) = 0 = C t = 0e Rješenje je jednako rješenju homogene jednadžbe (nema pobude). 2. slučaj: = = 2 Homogena: + = 0 Partikularno: s + = 0 H = Ce p = K K = 2 t kupno: = C e t + 2 t Koliko je C? ( t ) = = Ce + 2 C = e t i konačno: = 2 e ( t t ) t =? kada dostižemo točku loma? ( t ) = e 0 t = 2 e ( t t) 0

11 t =? 0 t ( t t ) ( t) = 0 e = 2 e 0,5 t 0,5e = t = ln 2 0,7 2 0 = 0,5 Grafički: Stabilno stanje (C): 0,7 Točka loma (promjena dif. jednadžbe) t Kao što smo eć naeli, susta u prethodnom primjeru ima da ranotežna stanja koja su stabilna. To je jednostaan model elektroničkog sklopa, t. bistabila, koji ima široku primjenu u digitalnoj tehnici. Da stabilna stanja odgoaraju binarnim stanjima 0 i. Da bi se obaljale logičke operacije, bistabil treba prebaciati i jednog stanja u drugo i obratno. To se može iršiti doođenjem t. okidnog signala.

12 Primjer - Model bistabila u +. = f ( ) + u A d = f ( ) = > 0, A 3' Počela ranoteža Primjer - Model bistabila - nastaak jeti prebacianja: > min f ( ) t dooljno eliko da prijeđe e2 (točku B) A Primjer - Model bistabila - nastaak jeti prebacianja: > min f ( ) t dooljno eliko da prijeđe e2 t < = 2 + t = Ce + 2 ( 0) = A = 2 C = t () = ( e t ) 2 t ( ) = t = ln A t 2 pri odsječak 2

13 Primjer - Model bistabila - nastaak < = + ( t t = Ce ) t ( ) = C = t t t () ( ) e ( = ) t ( 2 ) = 0 t2 t = ln t2 = 2ln t > 2ln A t 2 t