IZVOD FUNKCIJE Predpotavimo da je funkcija f( definiana u nekom intervalu (a,b i da je tačka iz intervala (a,b fikirana. Uočimo neku proizvoljnu tačku iz tog intervala (a,b. Ova tačka može da e pomera levo deno, pa ćemo je zvati promenljiva tačka intervala (a,b. Razlika pokazuje promenu ili priraštaj vrednoti nezavino promenljive i najčešće e obeležava a = Razlika f( - f( predtavlja odgovarajuću promenu ili priraštaj funkcije f( i obično e obeležava a f(= f( - f( ili ako je funkcija označena a y=f( može e zapiati: y= f( - f(. Evo kako bi to izgledalo na lici: y y=f( f( y f ( f ( Količnik = naziva e rednjom ili proečnom brzinom promene funkcije u intervalu [, ] Razmišljamo šta će e dešavati kada e tačka približava tački?( то јеt kad teži Ako ta granična vrednot potoji normalno je da nju uzmemo za brzinu promene funkcije u tački. Brzina promene funkcije f( u tački u matematici e naziva IZVOD funkcije i obeležava e a : f( ili a y. Dakle definicija izvoda je : f ( f ( + f ( lim =
Četo e umeto tačke jednotavno tavlja pa izvod onda glai: f ( f ( + f ( = lim Rečima ova definicija bi glaila: Izvod funkcije jednak je graničnoj vrednoti količnika priraštaja funkcije i priraštaja nezavino promenljive, kad priraštaj nezavino promenljive teži nuli. Geometrijka interpretacija izvoda y t B y=f( f( A Pomatrajmo ečicu S koja prolazi kroz tačke A(,f( i B(,f(. U ituaciji kada e manjuje, odnono e ve više približava tački, ona ve manje i manje eče datu krivu y=f( dok u jednom graničnom trenutku ne potane tangenta t te krive! y f ( Tada količnik priraštaja funkcije i priraštaja nezavino promenljive = koeficijent pravca k, to jet tangen ugla koji tangenta zaklapa a pozitivnim merom oe. f ( predtavlja Dakle: VREDNOST PRVOG IZVODA U TOJ TAČKI JE : y = tgα =k
. C=. = 3. ( = 4. ( n =n n- TABLICA IZVODA 5. (a =a lna 6. (e =e 7. (log a = 8. (ln= 9. lna ( =. =. (in=co. (co= - in 3. (tg= co 4. (ctg= in 5. (arcin= 6. (arcco= - 7. (arctg= + 8. (arcctg= - +. [cf(]=cf ( PRAVILA ZA IZVODE. [f(± g(] = f ( ± g( 3. (u v=uv+vu izvod proizvoda u uv vu 4. = izvod količnika v v 5. f[g(]= f [g(] g( izvod ložene funkcije f ( = lim f ( + f ( izvod po definiciji 3
Izvod funkcije u parametarkom obliku Ako je funkcija zadata parametarki =(t i y=y(t prvi izvod tražimo: y = yt t Izvod implicitno zadate funkcije Kada je funkcija y=f( zadata u implicitnom obliku F(,y =, njen prvi izvod dobijamo iz relacije: d F(,y= d Izvodi višeg reda y= (y y=(y drugi izvod je prvi izvod prvog izvoda treći izvod je prvi izvod drugog izvoda y (n = (y n- n-ti izvod je prvi izvod (n--vog izvoda Jednačina tangente Jednačina tangente na krivu y=f( u tački (,y u kojoj je funkcija diferencijabilna, računa e po formuli: y y = f ( ( Jednačina normale Normala na krivu y=f( u tački (,y je prava normalna na tangentu krive u toj tački. Njena jednačina je : y y = f ( ( 4
Diferencijal Ako je funkcija y=f( diferencijabilna u tački, tada je y=y + o( kada Glavni deo y priraštaja y vrednoti funkcije nazivamo diferencijalom funkcije y=f(. Specijalno za y = važi da je d = = =, pa je: dy = y d tj. dy y= d Onovne teoreme diferencijalnog računa Fermaova teorema Neka je funkcija y=f( definiana na odečku [a,b] i neka u nekoj tački c (a,b ima najveću (ili najmanju vrednot. Ako potoji obotrani konačan izvod f (c, onda je f (c = Darbuova teorema Ako funkcija y=f( ima konačan izvod u vakoj tački odečka [a,b], tada funkcija y=f ( za [a,b] uzima bar jednom ve vrednoti izmeñu f (a i f (b 3 Rolova teorema Neka je funkcija y=f( definiana i neprekidna na odečku [a,b] i neka potoji konačan izvod y=f ( bar na intervalu (a,b i neka je f(a = f(b. Tada potoji bar jedan broj c (a,b, takav da je f (c = 4 Lagranžova teorema Neka je funkcija y=f( definiana i neprekidna na odečku [a,b] i neka potoji konačan izvod y=f ( bar u vakoj tački na intervalu (a,b. Tada potoji bar jedan broj c (a,b, takav da je : 5 Košijeva teorema f ( b f ( a = f ( c b a Neka u funkcije f( i g( definiane i neprekidne na odečku [a,b], neka potoje konačni izvodi f ( i g ( bar na intervalu (a,b i neka je g (, za vako (a,b. Tada potoji bar jedan broj c (a,b takav da je : f ( b f ( a g( b g( a = f ( c g( c 5