УНИВЕРЗИТЕТ У НИШУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ МАСТЕР РАД Доношење одлука у условима неодређености Студент: Јелена Матић бр.

Транскрипт

1 УНИВЕРЗИТЕТ У НИШУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ МАСТЕР РАД Доношење одлука у условима неодређености Студент: Јелена Матић бр. индекса 179 Ментор: Проф. др Драган Ђорђевић Ниш, 2019.

2 Захваљујем се ментору професору Драгану Ђорђевићу на указаној стручној помоћи, стрпљењу и разумевању током израде овог мастер рада. Такође се захваљујем и члановима комисије, професорки Дијани Мосић и професорки Милици Колунџији. Велику захвалност дугујем својој породици, као и свом веренику на огромној подршци, разумевању и стрпљењу током студирања.

3 Садржај Глава Увод Основни појмови векторског простора Општи појмови тополошких простора Основни појмови анализе реалних функција Основни појмови теорије вероватноће... 9 Глава Преференце и корисност Преференце Функција корисности Глава Теорија очекиване корисности Лутрија Очекивана корисност Јединственост функције очекиване корисности Друге ознаке за очекивану корисност Хипотеза о очекиваној корисности Глава Одбојност према ризику Апсолутна одбојност према ризику Прилог: избор портфолија Упоредна одбојност према ризику Прилог: избор портфолија Прилог: осигурање Релативна одбојност према ризику Прилог: избор портфолија Глава Стохастичка доминација првог реда (ФОСД) ФОСД и мере штедње ФОСД и избор портфолија Глава Количник вероватноће стохастичке доминације Глава Конкавна и стохастичка доминација другог реда (СОСД)... 50

4 7.1. Конкавна и стохастичка доминација другог реда и максимизација профита Закључак Литература Биографија... 56

5 Предговор У овом раду разматраћемо како се доносе одлуке у условима неодређености. Многи избори доносиоца одлука одвијају се у условима неодређености, зато ћемо у овом раду истражити како се теорија избора потрошача може користити за описивање таквог понашања. Структура овог рада састоји се од седам целина. У првој глави се подсећамо појмова које смо раније изучавали и који ће нам бити од користити у овом раду. Затим ћемо се подсетити основних дефиниција и теорема релације преференце и функције корисности, док ћемо се у трећој глави подсетити теорије очекиване корисности. У четвртој глави разматраћемо одбојност према ризику и навешћемо неке мере одбојности према ризику. Пета глава представља поглед на стохастичку доминацију првог реда. У шестој глави ћемо обрадити количник вероватноће стохастичке доминације. На крају, у седмој глави, дефинисаћемо конкавне и стохастичке доминације другог реда. Рад завршавамо закључком и списком литературе. 1

6 Увод Глава 1 Увод 1.1. Основни појмови векторског простора Векторски простор је алгебарски појам у математици који налази примену у свим главним гранама математике, међу којима су линеарна алгебра, анализа и аналитичка геометрија. Он се дефининише на следећи начин. Дефиниција 1.1.1: Нека је поље. Под векторским или линеарним простором над пољем подразумевамо четворку (,, +, ) где је непразан скуп, + и пресликавања таква да за произвољне,, и произвољне, важи: ( ) + = + ; ( ) + ( + ) = ( + ) + ; ( ) постоји 0 такав да је + 0 = 0 + = за сваки ; ( ) за сваки постоји тако да је + ( ) = + = 0; ( ) 1 = (1 је јединица поља ); ( ) () = (); ( ) ( + ) = + ; ( ) ( + ) = +. Елементи из називају се векторима, + се назива сабирање вектора. Вектор 0 из ( ) назива се нула-вектор, а супротан за. Елементи поља се називају скаларима, а множењe вектора скаларом. Операције сабирања вектора и множења вектора скаларом називамо линеарним операцијама. Уместо о векторском простору = (,, +, ) говори се једноставно о векторском простору (над пољем ), а често само о простору. Векторски простор над пољем R реалних бројева, односно над пољем C комплексних бројева, називамо реалан векторски простор, односно комплексан векторски простор. Дефиниција 1.1.2: За непразан скуп кажемо да је подпростор векторског простора ако задовољава наредна два услова: 2

7 Увод ( ) ако, онда + ; ( ) ако и онда. Нека је {R, C} и нека су = (, +, ) и = (, +, ) векторски простори над (дакле оба над R или оба над C). је векторски простор одређен неким подпростором векторског простора ако и само ако важи: ; за свако, и је + = + и = (тј. + и су одговарајуће рестрикције операција + и ). Дефиниција 1.1.3: Нека је векторски простор над и N. Линеарна комбинација вектора,, простора и скалара,, је вектор + + = Дефиниција 1.1.4: За скуп векторског простора = (, +, ) кажемо да је потпун скуп вектора ако за сваки вектор простора постоје N, вектори,, и скалари,, тако да је = Другим речима, скуп вектора је потпун ако је сваки вектор простора линеарна комбинација вектора тог скупа. Дефиниција 1.1.5: За непразан скуп вектора кажемо да је линеарно независан скуп ако су N,,, и,, такви да за, = 1,, онда је увек 0 осим ако је = 0 за свако, = 1,. Празан скуп је по дефиницији линеарно независан. За скуп вектора кажемо да је линеарно зависан скуп уколико није линеарно независан. Дефиниција 1.1.6: Потпун и линеарно независан скуп вектора називамо базни скуп векторског простора. Дефиниција 1.1.7: Векторски простор над пољем релних или комплексних скалара ( = R или = C) назива се унитарни или пред-хилбертов простор ако за скаларни производ (, ): важе аксиоме: ( ) ( +, ) = (, ) + (, ), за свако,, ; ( ) (, ) = (, ), за свако и, ; ( ) (, ) = (,, ) за свако, ; 3

8 Увод ( ) (, ) 0, за свако ; ( ) (, ) = 0 = 0, за свако. Унитарни простор над пољем реалних бројева се назива Еуклидски простор. На основу ( ), приметимо да и у случају комплексног унитарног простора вредности (, ), за, јесу реални бројеви и додатно на основу ( ), јесу ненегативни реални бројеви. Дефиниција 1.1.8: Норма вектора, из унитарног простора је ненегативан број: = (, ). За тако одређену норму кажемо да је норма индукована скаларним производом. Дефиниција 1.1.9: Векторски простор над пољем скалара назива се нормиран векторски простор ако за норму : R важе аксиоме: ( ) 0, за свако ; ( ) = 0 = 0, за свако ; ( ) =, за свако и ; ( ) + +, за свако,. Дефиниција : Нека је векторски простор нормиран нормом, тада се функција : R: назива метрика на. = (, ) =, Дефиниција : Метрички простор је пар (, ) скупа и ненегативне функције (метрика) на скупу, са следећим особинама: ( ) (, ) = 0 =, за свако, ; ( ) (, ) = (, ), за свако, (симетричност); ( ) (, ) (, ) + (, ), за свако,, (неједнакост троугла). Дефиниција : На нормираном простору дефинишемо отворену куглу око нуле са полупречником : (0; ) = { таквих да је }. Дефиниција : Дефинишемо отворену куглу полупречника, са центром у, као подскуп: 4

9 Увод (, ) = { (, ) < }. Стога је база отворена кугла = {(0, ), при чему је R }. Ако се скуп отворених кугли метричког простора узме за предбазу, добија се метричка топологија. У односу на њу, затворене кугле (у дефиницији отворене кугле се знак < замени са ) постају затворени скупови Општи појмови тополошких простора Тополошки простори су математичке структуре које омогућавају формалну дефиницију појмова као што су конвергенција, непрекидност и повезаност. Они се јављају у практично свим гранама модерне математике. Грана математике која проучава тополошке просторе се назива топологија. Дефиниција 1.2.1: Нека је произвољан скуп. Свака фамилија P() подскупова скупа која задовољава услове ( ), ; ( ) ако онда ; ( ) ако, онда зове се топологија на скупу. Тополошки простор је сваки уређен пар (, ) код ког је топологија на скупу ; за скупове који су елементи фамилије кажемо да су -отворени скупови или отворени скупови тополошког простора (, ). Нека је (, ) тополошки простор. Лако је видети да за свако N и,, важи,, 5 За произвољно партитивни скуп P() скупа је топологија на скупу. Фамилију P() називамо дискретна топологија на скупу. За тополошки простор (, P()) кажемо да је дискретан простор. За произвољно фамилија {, } је топологија на скупу ; фамилију {, } називамо антидискретна (тривијална) топологија на скупу а простор (, {, }) називамо антидискретан простор или тривијалан простор. Дефиниција 1.2.2: Ако је (, ) тополошки простор онда за кажемо да је затворен скуп или затворен скуп простора (, ) ако важи = \..

10 Увод Лема 1.2.1: Фамилија F() { : } свих -затворених скупова има следеће особине:, F(); ако F()онда F(); ако N и,, F() онда F(). Дефиниција 1.2.3: За тополошки простор кажемо да је повезан ако су једини отворено-затворени скупови и. Нека је (, ) тополошки простор, и. За тачку кажемо да је: унутрашња тачка скупа у односу на топологију ако постоји неки отворен скуп тако да важи ; Користимо ознаку int () { : је унутрашња тачка скупа }. Скуп int () називамо унутрашњост скупа (интериор скупа ). близу скупа у односу на топологију ако за сваки отворен скуп важи ; Користимо ознаку cl () { : је адхерентна тачка скупа }. Скуп cl () називамо затворење скупа. Дефиниција 1.2.4: Ако је (, ) тополошки простор онда за L кажемо да је база топологије ако важе услови: L ; за сваки постоји неко L тако да је =. Како је фамилија топологија, ова два услова се сажимају у јединствен захтев: = { : L}. Дефиниција 1.2.5: Ако је (, ) тополошки простор онда за L кажемо да је предбаза топологије ако је L и фамилија (L) = { : L је непразан коначан скуп} је база топологије. Ово нужно повлачи да је L. Дефиниција 1.2.6: Нека је дат непразан скуп Х и релација тако да за свака три елемента,, важи: (рефлексивност); = (антисиметричност); (транзитивност). Тада за уређен пар (, ) кажемо да је парцијално (делимично) уређен скуп. Дефиниција 1.2.7: Нека је векторски простор и нека је парцијално уређење на. Уређење је компатибилно са алгебарском структуром простора, ако за свакo,, и R важе следећа својства: 6

11 Увод + + ;. Тада је (, ) уређен векторски простор. Ако је,, можемо писати и. Ако је и, онда је <, или, еквивалентно, >. Елемент је позитиван ако је 0. Скуп свих позитивних елемената у (, ) означен је са. Ако је 0, онда је + ( ), односно 0. Слично, ако је, онда је. Ако су и два подскупа Еуклидског простора тада векторске неједнакости, и > можемо дефинисати на следећи начин: Нека, R.Тада значи за свако = 1,, ; значи али ; > значи > за свако = 1,,. Дефиниција 1.2.8: Подскуп векторског простора је конвексан ако за свако, и свако [0,1] важи + (1 ). 1.3.Основни појмови анализе реалних функција Наведимо сада неке дефиниције и теореме које су везане за непрекидност, диференцијабилност и интеграбилност функција дефинисаних на неком отвореном скупу. Дефиниција 1.3.1: Функција : R, R непрекидна је у тачки ако за свако > 0 постоји > 0 тако да за свако (, ) < () ( ) <. Функција је непрекидна на скупу ако је непрекидна у свакој тачки тог скупа. Мноштво свих функција непрекидних на скупу означавамо са C(). Непрекидност функције по скупу може се формулисати и помоћу низова. Лако је проверити да је следећа дефиниција еквивалентна са дефиницијом Дефиниција 1.3.2: Функција : R, R је непрекидна у тачки ако за сваки низ тачака ( ) који конвергира ка низ (( )) конвергира ка ( ). Са ( ) = () ( ) означимо прираштај функције у тачки. Дефинишимо сада диференцијабилност функције на отвореном скупу и посматрајмо везу између непрекидности и диференцијабилности функција. 7

12 Увод Дефиниција 1.3.3: Нека је функција дефинисана на отвореном скупу R. Функција је диференцијабилна у тачки ако постоји линеарна функција (, h) = h h = (h,, h ), { } R, тако да се прираштај (, h) функције у тачки може приказати као (, h) = ( + h) () = (, h) + ( h ), h 0. Функција (, h) = h је диференцијал функције у тачки који се означава са (). Видимо да је функција диференцијабилна у тачки онда и само онда ако постоји линеарна функција (, h) тако да је (, h) (, h) = 0 h Став 1.3.1: Ако је функција диференцијабилна у некој тачки отвореног скупа R, онда је она непрекидна у тој тачки. Теорема 1.3.1: Нека је функција дефинисана на отвореном скупу R. Ако функција има парцијалне изводе у некој околини тачке и ако су они непрекидне функције у тој тачки, онда је функција диференцијабилна у тачки. Последица 1.3.1: Ако функција дефинисана на отвореном скупу R има непрекидне парцијалне изводе на скупу, онда је она непрекидна на том скупу. Дефиниција 1.3.4: За функцију кажемо да је непрекидно диференцијабилна на скупу ако у свим тачкама скупа има непрекидне парцијалне изводе. Скуп свих непрекидно диференцијабилних функција на скупу означавамо са C (). Очигледно је C () C(). Дефиниција 1.3.5: Нека је R отворен скуп. Ако функција има непрекидне парцијалне изводе другог реда на скупу, онда за функцију кажемо да је двапут непрекидно диференцијабилна на скупу и то означавамо са C (). Очигледно је C () C () C(). Теорема 1.3.2: Нека је C (), где је R отворен и конвексан скуп. Ако је и R \{0} вектор за који +, тада постоји (0,1) тако да је () = ( + ) () = 1! () () + (, ) 8

13 Увод где је (, ) = 1! () ( + ) Формулу из претходне теореме називамо Тејлорова формула. Дефиниција 1.3.6: Нека је функција дефинисана на интервалу [, ]. Нека је подела интервала [, ] на подинтервала [, ], = 1,, при чему је = < < < < = и изаберимо бројеве = (,,, ), тако да важи [, ]. Означимо са = разлику између два члана поделе. Тада је скуп {,,, } коначан скуп реалних бројева, па он има свој највећи елемент. Означимо тај елемент са. Реалним бројем називамо одређени интеграл функције на интервалу [, ], ако за свако > 0 постоји > 0, такво да је за сваку поделу за коју важи да је њен параметар мањи од, тј. () <, испуњено: ( ) < То се другачије може записати као: = ( ) = () где је запис за суму од до када 0 (тиме и ), а је замењено диференцијалом, пошто је диференцијал у некој тачки заправо прираштај по -оси у тој тачки, што је и смисао када 0. Ако постоји одређени интеграл функције на интервалу [, ], кажемо да је функција интеграбилна на [, ] у Римановом смислу Основни појмови теорије вероватноће У основи теорије вероватноће је статистички (стохастички) експеримент чија је основна карактеристика да његов резултат није познат унапред. Резултати статистичких експеримената се називају исходи (елементарни догађаји). Статистички експеримент се може понављати неограничен број пута под истим условима и исход експеримента није унапред познат али је познат скуп свих могућих исхода. Скуп свих могућих исхода означавамо са, а исход означавамо са. 9

14 Увод Случајан догађај је подскуп скупа чији су елементи они исходи који имају заједничко својство а то својство управо одређује догађај. Кажемо да се догађај реализовао ако се реализовао било који исход. Немогућ догађај означавамо са и =. Сви случајни догађаји, као подсупови скупа припадају партитивном скупу P(). Међутим, у теорији вероватноће се у општем случају разматра ужа класа догађаја него што је партитивни скуп, а то је -алгебра. Дефиниција 1.4.1: Фамилија подскупова скупа је -алгебра ако важи: 1) ; 2) ; 3),,. Од посебног значаја су Борелове -алгебре над R и R и дефинишу се као: B = {[, ),, R, }; B = {[, ) = [, ) [, ) [, ),, R,, = 1, }. Ако је -алгебра над скупом, тада је (, ) мерљив простор и на њему ћемо дефинисати меру, односно вероватноћу. Дефиниција 1.4.2: Функција која слика -алгебру у скуп реалних бројева R је вероватноћа ако је: 1) () = 1 (нормираност); 2) за сваки је () 0 (ненегативност); 3) ако,,, при чему је = кад год је, тада је ( ) = ( ) (-адитивност). Дакле, вероватноћа је ненегативна, нормирана и -адитивна мера на простору (, ). Уређена тројка (,, ) назива се простор вероватноће. Знамо да је ( ) = 0 и да се вероватноћа налази између 0 и 1. Дефиниција 1.4.3: Случајна променљива је пресликавање из у R које има особине да је: 1) финитно (коначно) у смислу да { : () = ± } = 0; 2) -мерљиво, тј. ( B ) () = { : () }. За случајну променљиву природно је дефинисати функцију (), R такву да је () = (, ). 10

15 Увод Дефиниција 1.4.4: Функција расподеле случајне променљиве је реална функција која се дефинише као () = (, ) = { : () < }, R. Теорема 1.4.1: Функција расподеле (), R случајне променљиве има особине: ( ) () = ( + h) () 0, R, h > 0; ( ) ( ) = 0, (+ ) = 1; ( ) R,, ( ) = (). Основни типови случајних променљивих су оне које имају дискретну расподелу и оне које имају апсолутно-непрекидну расподелу. Дефиниција 1.4.5: Случајна променљива је дискретног типа ако постоји пребројив скуп R такав да је { R } = (R ) = 1. У овом случају расподела се задаје најпре на елементима скупа R. Ако је R = {,, }, онда се задаје = ( ), N, при томе је = 1. Затим, B расподела се задаје као () = :. Дефиниција 1.4.6: Случајна променљива је апсолутно-непрекидног типа ако постоји ненегативна интеграбилна функција (), R таквa да је а ( B ) () = (). Специјално, ако је = (, ) тада је () = (, ) = (), при чему је 1 = (+ ) = (). Функција се назива густина расподеле случајне променљиве. У тачкама непрекидности функције важи да је () = (), R. Ако је пребројив, онда је () = 0. а Дефиниција 1.4.7: Математичко очекивање случајне променљиве која је дискретног типа се дефинише као =. Дефиниција 1.4.8: Математичко очекивање случајне променљиве апсолутнонепрекидног типа са густином расподеле (), R се дефинише као при чему се захтева да је = () <. (), 11

16 Глава 2 Преференце и корисност Преференце и корисност 2.1. Преференце Нека је, подскуп Еуклидског простора, потрошачки скуп. Претпоставимо да је он затворен и конвексан скуп осим ако није другачије наглашено. За потрошача претпостављамо да има преференце на потрошачким пакетима у тако да он може упоредити и рангирати различите робе доступне на тржишту. Када напишемо, подразумевамо "потрошач мисли да је пакет довољно добар као и пакет, тј. преферира барем толико колико и ". Желимо да преференце одређују скуп пакета. Стога, морамо претпоставити да задовољавају следећа стандардна својства. Комплетност: За све и из, или је или је или обоје. Рефлексивност: За свако из,. Транзитивност: За све, и из, ако и, онда. Прва претпоставка каже да се могу упоређивати свака два пакета, друга је тривијална и каже да је сваки потрошачки пакет исти као и он сам, а трећа захтева да је избор потрошача конзистентан. Ова релација описује "слабу преференцу"; а можемо дефинисати и строгу преференцу : и истовремено није. читамо као " преферирамо више него ". Слично томе, дефинишемо појам индиферентности за ако и само ако и и читамо " је индиферентно за, тј. подједнако су преферирани". Дату релацију често приказујемо графички, као што је приказано на слици 1. Скуп свих потрошачких пакета који су индиферентни једни за друге називамо крива индиферентности. За дводимензионални случај, нагиб криве индиферентности у једној тачки мери маргиналну стопу супституције између роба и. За L-димензионални случај, маргинална стопа супституције између две робе је нагиб индиферентне површине, мерен у одређеном правцу. 12

17 Преференце и корисност Слика 1. Преференце у две димензије За дати потрошачки пакет, нека је () = { : } скуп свих пакета на или изнад криве индиферентности кроз и назива се скуп горњих контура на ; () = { : } је скуп свих пакета изнад криве индиферентности кроз и назива се скуп строго горњих контура на ; () = { : } је скуп свих пакета на или испод криве индиферентности кроз и назива се скуп доњих контура на ; а () = { : } је скуп свих пакета испод криве индиферентности кроз и он се назива скуп строго доњих контура на. Наведимо сада још неке претпоставке о преференцама потрошача; као што су на пример. Непрекидност: За свако из, горњи и доњи контурни скупови () и () су затворени. Из тога следи да су строго горњи и строго доњи контурни скупови, () и (), отворени скупови. Ова претпоставка је неопходна како би се искључило одређено прекидно понашање; кажемо да ако је ( ) низ потрошачких пакета који су сви барем добри као пакет, и ако овај низ конвергира неком пакету, је барем добар као. Најважнија последица непрекидности је: ако је строго преферирано за и ако је скуп који је довољно близу, тада мора бити строго префериран за. Пример (Лексикографски поредак): Занимљив редослед преференце је тзв. Лексикографски поредак дефинисан на R, базиран на абецедном поретку. Дефинише се следеће: ако и само ако постоји, 1, тако да је = за < и > или ако = за свако = 1,,. У суштини лексикографски поредак упоређује компоненте на време, почевши од прве, и одређује поредак базиран на првом путу када се пронађе друга компонента, вектор са већом компонентом је рангиран највише. Међутим, лексикографски поредак није непрекидан нити чак ни горње полунепрекидан, тј. скуп горњих контура није затворен. Ово се лако може видети за дводимензионални случај узимајући у обзир горњу контурну кореспонденцију за = (1, 1), то јест, скуп (1, 1) = { : (1, 1)} као што је приказано на слици 2. Јасно је да није затворен, јер граница скупа испод (1, 1) није садржана у скупу. 13

18 Преференце и корисност x x 1 Слика 2: Скуп преференца за лексикографски поредак Постоје још две претпоставке, наиме, монотоност и конвексност, често се користе да гарантују добро понашање функције потражње потрошача. Прво даjмо различите типове монотоности које се користе у потрошачкој теорији. Слаба монотоност: Ако је онда је. Монотоност: Ако је >, онда је. Строга монотоност: Ако је и, онда je. Слаба монотоност каже да "све што је више, не може бити лошије", што осигурава да је роба "добра", али не и "лоша". Монотоност каже да ако је количина неке робе строго већа од количине неке друге робе онда је она строго боља. Строга монотоност каже да ако је количина неке робе виша од количине неке друге робе и различита од неке друге робе, онда је она строго боља. Друга претпоставка која је слабија од било какве монотоности или строге монотоности је следећа: Локална незасићеност: Нека је дато неко и неко > 0. Тада постоји неки пакет са < такав да. Незасићеност: Нека је дато неко, онда постоји неки пакет тако да. Напомена 2.1.1: Монотоност преференца може се тумачити као жеље појединаца за робом: што више, то боље. Локална незасићеност каже да се увек може учинити мало боље, чак и ако се ограничи само на мале промене у потрошачком пакету. Дакле, локална незасићеност значи да су жеље појединаца неограничене. Требало би да потврдимо да (строга) монотоност подразумева локалну незасићеност, а локална незасићеност подразумева незасићеност, али не и обрнуто. Сада дајмо различите типове особина конвексности које се користе у теорији потрошача. Строга конвексност: Нека су, тако да. Тада следи да + (1 ) за свако 0 < < 1. 14

19 Преференце и корисност x 2 x x" {x: u(x) = u * } x' x 1 Слика 3: Строга конвексност криве индиферентности Конвексност: Нека су, тако да. Тада следи да + (1 ) за свако 0 < 1. Слаба конвексност: Нека су, тако да. Тада следи да + (1 ) за свако 0 1. x 2 x' x x 1 Слика 4: Линеарна крива индифернтности је конвексна, али није строго конвексна. x 2 x x 1 Слика 5: Густа крива индиферентности је слабо конвексна, али није конвексна. Напомена 2.1.2: Конвексност преференца имплицира да људи желе да мењају своје потрошње (потрошач преферира просеке у односу на екстремне вредности), те се конвексност може посматрати као формални израз основне мере економских тржишта за промене. Имајмо на уму да конвексне преференце могу имати криве индиферентности које показују "равне тачке", док строго конвексне преференце имају 15

20 Преференце и корисност криве индиферентности које су строго заобљене. Строга конвексност преференце подразумева неокласичну претпоставку "смањења маргиналних стопа супституције" између две робе као што је приказано на слици 6. x 2 x 1 x ' x 0 x 2 x 1 Слика 6: Маргинална стопа супституције се смањује када се потрошња робе 1 повећава Функција корисности Лакше је радити са преференцама које могу бити представљене функцијама корисности; то јест, функцијом : R таква да је ако и само ако је () (). У наставку ћемо навести неке примере функција корисности. Пример (Коб-Даглас функција корисности): Функција корисности која се често користи у илустративне и емпиријске сврхе је Коб-Даглас функција корисности, (,,, ) = са > 0, = 1,,. Ова функција корисности представља релацију преференце која је непрекидна, строго монотона и строго конвексна у R. Пример (Линеарна функција корисности): Функција корисности која описује савршену супституцију између роба је линеарна функција корисности, (,,, ) = са 0 за свако = 1,, и > 0 за најмање. Ова функција корисности представља релацију преференце која је непрекидна, монотона и конвексна у R. Пример (Леонтиеф функција корисности): Функција корисности која описује савршену допуну између роба је Леонтиеф функција корисности, (,,, ) = min{,,, } 16

21 Преференце и корисност са 0 за свако = 1,, и > 0 за најмање. Ово представља преференцу да се све робе користе заједно како би се повећала корисност потрошача. Ова функција корисности представља релацију преференце која је такође непрекидна, монотона и конвексна у R. Не могу све релације преференце бити представљене функцијама корисности, али се може показати да било која (горња полу-) непрекидна релација преференце може бити представљена помоћу (горње полу-) непрекидне функције корисности. Сада наводимо слабију верзију ове тврдње. Следећа пропозиција показује постојање функције корисности када је релација преференце непрекидна и строго монотона. Теорема (Постојање функције корисности): Претпоставимо да је релација преференце непрекидна и строго монотона. Тада постоји непрекидна функција корисности : R R која представља ту релацију преференце. Улога функције корисности је да ефикасно бележи основни редослед преференце. Актуелне нумеричке вредности за у суштини немају значења; значајан је само знак разлика у вредности за између две тачке. Стога, функција корисности је често веома згодан начин описивања преференца, али не треба дати било какву психолошку интерпретацију. Једина релевантна карактеристика функције корисности је њена особина поретка. Конкретно, можемо показати да је функција корисности јединствена само у оквиру произвољне, строго растуће трансформације. Теорема (Инваријантност функције корисности за монотоне трансформације): Ако () представља неке преференце и : R R је строго монотоно растућа функција, тада (()) представља тачно одређене преференцe. Доказ. Ово је зато што (()) (()) ако и само ако је () (). Ова теорема инваријантности је корисна у многим аспектима. На пример, можемо је користити да поједноставимо израчунавање извођења функције потражње од максимизације корисности. Функцију корисности такође можемо користити за проналажење маргиналне стопе супституције робе. Нека је (,, ) функција корисности. Претпоставимо да повећамо количину добра ; како потрошач мора променити своју потрошњу добра, како би одржао константну корисност? Нека су и диференцијали од и. Према претпоставци, промена у корисности мора бити нула, тако да Стога је () + () = 0 17

22 Преференце и корисност () = () што даје маргиналну стопу супституције између роба и и дефинише се као количник маргиналне корисности и маргиналне корисности. Напомена 2.2.1: Маргинална стопа супституције не зависи од функције корисности која је одабрана да представља основне преференце. Да бисмо ово доказали, нека је () монотона трансформација корисности. Маргинална стопа супституције за ову функцију корисности је = () () () () = () () Важна својства релације преференце могу се лако проверити испитивањем функције корисности. Особине су сумиране у следећoj пропозицији. Пропозиција 2.2.1: Нека је релација преференце представљена функцијом корисности : R. Тада: (1) Релација преференце је строго монотона ако и само ако је функција корисности строго монотона. (2) Релација преференце је непрекидна ако и само ако је функција корисности непрекиднa. (3)Релација преференце је слабо конвексна ако и само ако је функција корисности квази-конкавна. (4) Релација преференце је строго конвексна ако и само ако је функција корисности строго квази-конкавна. Имајмо на уму да је функција квази-конкавна ако за било које, () и () имплицира да ( + (1 )) за свако са 0 < < 1. Функција је строго квазиконкавна ако за било које () и () имплицира да ( + (1 )) > за свако са 0 < < 1. 18

23 Глава 3 Теорија очекиване корисности Теорија очекиване корисности 3.1. Лутрија Први задатак је да опишемо скуп избора са којим се суочава потрошач. Замислимо да избори са којима се суочавају потрошачи имају облик лутрије. Претпоставимо да постоји стања. Повезана са сваким стањем је вероватноћа која представља вероватноћу да ће се стање појавити и пакет робе представља цену или награду која ће бити освојена ако се стање јавља, где имамо 0 и = 1. Награде могу бити новац, пакети робе, или чак и додатне лутрије. Лутрија је означена са. На пример, за два стања, добија се лутрија (1 ) што значи: "потрошач добија награду са вероватноћом и награду са вероватноћом (1 )." Већина ситуација које укључују понашање под ризиком могу се ставити у овај лутријски оквир. Лутрије су често графички представљене лепезом могућности као што је приказано на слици 7. Слика 7: Лутрија. Сложена лутрија је приказана на слици 8. Ова лутрија је између две награде: лутрија између x и y и сноп z. q x x p 1-q y pq p(1-q) y 1-p 1-p z z а) Оригинал б) Еквивалент Слика 8: Сложена лутрија. 19

24 Теорија очекиване корисности Направићемо неколико аксиома о перцепцији потрошача о лутријама отворених за њега. А1 (Сигурност). 1 (1 1). Добијање награде са вероватноћом један је једнака тој награди. А2 (Независност реда). (1 ) (1 ). Потрошач не размишља о редоследу описивања лутрије њега само занимају награде и вероватноће освајања тих награда. А3 (Састављање). ( (1 ) ) (1 ) () (1 ). Само је нето вероватноћа примања награде битна. То је фундаметална аксиома која се користи за смањивање сложених лутрија - одређивањем укупних вероватноћа повезаних са својим компонентама. Ова аксиома се понекад назива "редукција сложених лутрија". Под овим претпоставкама можемо дефинисати L, простор лутрије доступан потрошачу. Претпоставља се да потрошач има преференце на овом лутријском простору: дате су било које две лутрије, он може бирати између њих. Чињеница да лутрија има само два исхода није рестриктивна јер смо дозволили исходе даље лутрије. Ово нам омогућава да конструишемо лутрије са произвољним бројем награда сједињавањем две наградне лутрије као што је приказано на слици 8. На пример, претпоставимо да желимо да представимо ситуацију са три награде x, y и z где је вероватноћа добијања сваке награде једна трећина. Смањивањем сложених лутрија, ова лутрија је еквивалентна лутрији Према горњој Аксиоми за састављање (А3), потрошач брине само за мрежу обухваћене вероватноће, тако да је ово заиста еквивалентно оригиналној лутрији Очекивана корисност Под мањим додатним претпоставкама, теорема која се односи на постојање функције корисности се може применити да би се показало да постоји непрекидна функција корисности која описује преференце потрошача; то јест, (1 ) (1 ) ако и само ако ( (1 ) ) > ( (1 ) ). 20

25 Теорија очекиване корисности Наравно, ова функција корисности није јединствена; било која монотона трансформација би такође учинила. Под неким додатним хипотезама можемо наћи одређену монотону трансформацију функције корисности која има врло згодну особину, очекивану корисност: ( (1 ) ) = () + (1 )(). Особина очекиване корисности каже да је корисност лутрије очекивање користи од својих награда и таква функција очекиване корисности назива се фон Нojман- Моргенштерн функција корисности. Да бисмо имали функцију корисности са горе наведеном погодном особином, потребне су нам додатне аксиоме: А4 (Непрекидност). Скупови { [0, 1]: (1 ) } и { [0, 1]: (1 ) } су затворени за све,, L. Аксиомa 4 наводи да је релација преференце непрекидна у односу на вероватноћу. А5 (Строга независност). подразумева (1 ) (1 ). Кажемо да су лутрије са индиферентним наградама индиферентне. Да бисмо избегли неке техничке детаље направићемо још две претпоставке. А6 (Ограниченост). Постоји нека најбоља лутрија и нека најгора лутрија. За свако L,. А7 (Монотоност). Лутрија (1 ) је преферирана за (1 ) ако и само ако је >, односно (1 ) (1 ) >. Аксиома А7 се може извести из других аксиома. Кажемо само да ако се у једној лутрији између најбоље награде и лошијег наградног материјала одлучимо за ово друго, то мора бити зато што даје већу вероватноћу да добијемо најбољу награду. Под овим претпоставкама можемо навести главну теорему. Теорема (Теорема очекиване корисности): Ако (L, ) задовољава аксиоме 1-7, постоји функција корисности дефинисана на L која задовољава особину очекиване корисности: ( (1 ) ) = () + (1 )(). Доказ: Дефинишимо () = 1 и () = 0. Да бисмо пронашли корисност произвољне лутрије, ставимо () = где је дефинисана са (1 ) (1) У овој конструкцији потрошач је индиферентан према и бира игру између најбољих и најгорих исхода који дају вероватноћу најбољем исходу. Да бисмо били сигурни да је ово добро дефинисано, морамо проверити две ствари. 21

26 Теорија очекиване корисности 1) Постоји ли? Скупови { [0, 1]: (1 ) } и { [0, 1]: (1 ) } су затворени и непрекидни због аксиома непрекидности и ограничености (А4 и А6), и свака тачка у [0, 1] је у једном или другом од ова два скупа. Како је јединични интервал повезан, мора бити неких у оба, а то ће бити само жељени. 2) Да ли је јединствен? Претпоставимо да су и два различита броја и сваки задовољава (1). Онда један мора бити већи од другог. По аксиоми монотоности А7, лутрија која даје већу вероватноћу да добије најбољу награду не може бити индиферентна према оној која даје мању вероватноћу. Стога је јединствен и је добро дефинисана. Затим проверавамо да ли има особину очекиване корисности. То произлази из неких једноставних смена: (1 ) [ (1 ) ] (1 ) (1 ) + (1 ) 1 (1 ) [() + (1 )()] [1 () (1 )()] Смена 1 користи аксиому строге независности (А5) и дефиницију. Смена 2 користи аксиому састављања (А3), која каже да је само нето вероватноћа добијања или битна. Смена 3 користи конструкцију функције корисности. Из конструкције функције корисности следи ( (1 ) ) = () + (1 )() Коначно, доказујемо да је функција корисности. Претпоставимо да је. Тада је () = тако да је (1 ) () = тако да је (1 ) На основу аксиоме монотоности (А7), мора бити () > (). 22

27 Теорија очекиване корисности 3.3. Јединственост функције очекиване корисности Показали смо да постоји функција очекиване корисности : L R. Наравно, свака монотона трансформација за такође ће бити функција корисности која описује понашање избора потрошача. Али да ли ће таква монотона трансформација очувати очекивану корисност? Да ли описана конструкција карактерише функцију очекиване корисности у сваком случају? Није тешко видети то, ако је ( ) функција очекиване корисности која описује неке потрошаче, тада је ( ) = ( ) + где је > 0; то јест, било која линеарна трансформација функције очекиване корисности је такође функција очекиване корисности. Тада је јасно ( (1 ) ) = ( (1 ) ) + = [() + (1 )()] + = () + (1 )(). Није тешко показати обратно: да ли било која монотона трансформација за која има особину очекиване корисности мора бити линеарна трансформација. Другим речима: Теорема (Јединственост функције очекиване корисности): Функција очекиване корисности је јединствена према линеарној трансформацији. Доказ: Према горе наведеним примедбама, потребно је само показати, ако монотона трансформација чува особину очекиване корисности, она мора бити линеарна трансформација. Нека је : R R монотона трансформација за која има особину очекиване корисности. Тада је или ( (1 ) ) = () + (1 )(()), (() + (1 )()) = () + (1 )(()), a ово је еквивалентно дефиницији линеарне трансформације. 23

28 Теорија очекиване корисности 3.4. Друге ознаке за очекивану корисност Доказали смо теорему очекиване корисности за случај где постоје два исхода за лутрије. Као што је раније речено, врло је једноставно проширити овај доказ на случај коначног броја исхода коришћењем сложених лутрија. Ако је исход усвојен са вероватноћом за = 1,, очекивана корисност ове лутрије је једноставно ( ). (2) У зависности од неких мањих техничких детаља, теорема очекиване корисности такође важи и за непрекидне расподеле вероватноће. Ако је () функција густине вероватноће дефинисана за исход, тада очекивана корисност ове игре може бити написана као ()(). (3) Ове случајеве можемо подвести помоћу оператора очекивања. Нека је случајна променљива која узима вредности означене са. Тада је функција корисности за такође случајна променљива, (). Очекивање ове случајне променљиве () је једноставно очекивана корисност повезана с лутријом. У случају дискретне случајне променљиве, () је дато у (2), а у случају непрекидне случајне променљиве () је датo у (3) Хипотеза о очекиваној корисности Нека је простор функција расподеле вероватноће и нека је релација преференце на. Тада, ако је онда је непрекидна функција расподеле вероватноће. Такође, знамо да увек важи: () (). Да одредимо аналогну дефиницију за функцију расподеле вероватноће, потребна нам је циљна функција која испуњава хипотезу о очекиваној корисности (EUH expected utility hypothesis): Дефиниција 3.5.1: : R R задовољава хипотезу о очекиваној корисности ако постоји тако да () = ()() где је реализација (непрекидне) случајне променљиве, ( ); () = () је Риманова интеграбилна густина и. 24

29 Теорија очекиване корисности Напомена 3.5.1: Ако је дискретна случајна променљива користимо уместо у горњој дефиницији. Теорема 3.5.1: је фон Нојман-Моргенштерн () функција корисности ако и само ако задовољава хипотезу о очекиваној корисности (EUH). Напомена 3.5.2: Ова нотација никако није стандардна; На пример, је оно што је Мас- Колел, Винстон и Грин нaзивају Бернулијева функција корисности; они додељују ознаку корисност где () = [()]. Дефиниција 3.5.2: Аксиома непрекидности: Ако је и онда. Дефиниција 3.5.3: на задовољава аксиому независности ако редослед преференце две расподеле остаје непромењен конвексним комбинацијама сваке од њих са трећом расподелом, то јест, + (1 ) + (1 ). Сада можемо дефинисати релацију преференце за аналогно оној која се дефинише на робном простору: Пропозиција 3.5.1: Ако на задовољава редослед и аксиоме непрекидности и независности, онда постоји : R таквo да: () (); (4) Ако (0,1) и,, онда: ( + (1 )) = () + (1 )(); (5) и постоји : R R која задовољава EUH. (6) Дефинисаћемо ову релацију преференце и на простору случајних променљивих. Нека је (,, ) простор вероватноће и L простор случајних променљивих. Тада можемо дефинисати на L са: ( ) ( ) (()) (()). 25

30 Глава 4 Одбојност према ризику Одбојност према ризику Размотримо случај где се простор за лутрије састоји искључиво од игара са новчаним наградама. Показали смо да ако понашање потрошача приликом избора задовољава аксиоме 1-7, можемо користити функцију очекиване корисности која представља преференце потрошача на лутријама. Ово значи да можемо описати понашање потрошача у свим новчаним играма помоћу функције очекиване корисности. На пример, да бисмо израчунали потрошачеву очекивану корисност игре само погледамо (1 ), () + (1 )(). Ова конструкција је илустрована на слици 9 за =. Обратимо пажњу на то у овом примеру: потрошач преферира да добије очекивану вредност лутрије. Тада је, корисност лутрије ( (1 ) ) мања од корисности очекиване вредности лутрије, + (1 ). Овакво понашање се назива одбојност према ризику. Потрошач такође може бити склон ризику; у таквом случају, потрошач преферира лутрију на своју очекивану вредност. Слика 9: Очекивана корисност игре Ако потрошач има одбојност према ризику изнад неке области, тетива која је повучена између било које две тачке на графику његове функције корисности у овој области мора бити испод функције. Ово је еквивалентно математичкој дефиницији конкавне функције. Стога, конкавност функције очекиване корисности је еквивалентна одбојности од ризика. Наведимо сада неке дефиниције одбојности према ризику. 26

31 Одбојност према ризику Дефиниција 4.1: (одбојност према ризику I) Агент има одбојност према ризику ако је [()] ([]) или ()() ( ()). Дефиниција 4.2: (одбојност према ризику II) Агент има одбојност према ризику ако је {()} {} + (1 ) {}. Дефиниција 4.3: (одбојност према ризику III) Агент има одбојност према ризику ако је ( + (1 )) > () + (1 )(), tj. ако је његова функција корисности конкавна ( > 0 и < 0). Напомена 4.1: Ако је дегенерисана расподела (тј., ( = ) = 1), онда ( ) = (). У последњoj дефиницији, можемо ствари направити корак даље. Ако је репрезентација корисности за, тада је: {()} = ( + (1 )) (без неизвесности) {} + (1 ) {} = {} + (1 )( {} ) Апсолутна одбојност према ризику Често је погодно имати меру одбојности према ризику. Интуитивно, што је конкавнија функција очекиване корисности, већа је одбојност потрошача према ризику. Стога, мислимо да бисмо можда могли да измеримо одбојност према ризику преко другог извода функције очекиване корисности. Ова дефиниција није инваријантна за промене у функцији очекиване корисности: ако помножимо функцију очекиване корисности са 2, понашање потрошача се не мења, али наша предложена мера одбојности према ризику се мења. Међутим, ако нормализујемо други извод дељењем првим, добијамо разумну меру, познату као Ароу-Пратову меру апсолутне одбојности од ризика: Дефиниција 4.1.1: Претпоставимо да је : R R фон Нојман-Моргенштерн функција корисности кoja задовољава > 0. Taда, Ароу-Пратова мера апсолутне одбојности према ризику (АRА absolute risk aversion) за је дефинисана као: ( ) = ( ) ( ) Пример 4.1.1: Функција корисности () = показује константну ARA са коефицијентом () = ( ) =. 27

32 Одбојност према ризику Пример 4.1.2: Жена са садашњим капиталом има прилику да се клади на било који износ на појаву догађаја за који зна да ће се десити са вероватноћом. Ако уложи, она ће добити 2 ако се догоди догађај и 0 ако се не догоди. Она има константни коефицијент одбојности према ризику чија је функција корисности () = са > 0. Колико би требало да уложи? Њено коначно богатство биће + или. Стога она решава max{( + ) + (1 )( )} = max () (1 ) () Постављањем извода на нулте приносе, добијамо: Стога, 28 (1 ) =. = ln. Приметимо да ће за > 1 2 бити направљена позитивна опклада. Опклада се смањује када се коефицијент ризика повећава. Приметимо да су у овом случају резултати независни од почетног капитала - посебна карактеристика ове функције корисности. Пример (Потражња за осигурањем): Претпоставимо да потрошач у почетку има новчано богатство. Постоји вероватноћа да ће он изгубити износ, на пример, постоји вероватноћа да ће његова кућа изгорети. Потрошач може купити осигурање које ће му платити долара у случају да дође до овог губитка. Износ новца који мора платити за долара је покриће осигурања ; овде је премија по долару покривености. Колико покриће ће потрошач купити? Погледајмо проблем максимизације корисности max{( + ) + (1 )( )}. Диференцирајмо у односу на q и ставимо да је једнако нули. Тада је + (1 )(1 ) (1 ) ( ) = 0 ( + (1 ) ) ( ) = (1 ) 1 Ако дође до догађаја, осигуравајућа компанија добија долара. Ако не дође до догађаја, осигуравајућа компанија добија долара. Дакле, очекивана добит компаније је (1 ) (1 ). Претпоставимо да конкуренција у индустрији осигурања утиче да овај профит буде нула. То значи да

33 Одбојност према ризику (1 ) + (1 ) = 0, из ког следи да је =. Под претпоставком нултог профита, осигуравајућа компанија наплаћује фер премију: трошак полисе је управо његова очекивана вредност, тако да је =. Убацивањем овог у услове првог реда за максимизацију корисности налазимо ( + (1 ) ) ( ) = (1 ) 1 = 1 ( + (1 ) ) = ( ). Ако је потрошач строго одбојан према ризику, тако да () < 0, онда наведена горња једначина подразумева + (1 ) = из које следи да је =. Тако ће се потрошач у потпуности осигурати против губитка L. Овај резултат кључно зависи од претпоставке да потрошач не може утицати на вероватноћу губитка. Ако акције потрошача утичу на вероватноћу губитка, осигуравајућа друштва могу само да понуде делимично осигурање, тако да ће потрошачи и даље имати подстицај да буду опрезни Прилог: избор портфолија Нека је дат проблем избора канонског портфолија са једним ризичним (Y), једним без ризика (r) и нека је почетни капитал дефинисан као: max () = max [( + ( ))] (7) тако да 0. Пропозиција : Претпоставимо да постоји интервал (0, ) на ком је тачно следеће: за сваки (0, ), [] и [ ( + ( ))] < 0, што подразумева да 0 < () < за (0, ). Осим тога, претпоставимо да је ( ) < 0. Ако је = arg max [( + ( ))], онда: 1) ( ) не опада () 0 2) ( ) не расте () 0 29

34 Одбојност према ризику 3) ( ) је константна () = 0. Напомена : Обратимо пажњу да ако ( ) расте и ( ) не опада тада (()) не опада. Доказ: Доказујемо 1), a 2) и 3) следе на основу 1). Прво запазимо да 0 < () < ограничење се не везује и имамо унутрашње решење (тј. у било ком Кан-Такер 1 систему > 0 и > 0). Дакле, ( ) = 0 (0, ) и је функција од, тј., = (). Посматрајмо max ( ) = max [( + ( ))] = max + ( ). На основу ФОЦ-а 2 је + ( )( ) = 0 па диференцирањем овог израза по добијамо: + ( )( ) + ( ) = 0 + ( )( ) + + ( )( ) = 0 + ( )( ) + ( )( ) = Сада, обратимо пажњу да је у претходном изразу именилац позитиван јер је ( ) < 0 и нужно ( ) > 0. Због тога бројилац одређује знак израза, па означимо са: () = + ( ) где је реализација случајне променљиве. Како () строго расте и ( ) не опада (из 1)) имамо да (()) не опада. Стога, по дефиницији неопадајуће функције је: () (())[ ] 0 ()( ) (())( ) и приметимо да je () = + ( ) = и да је Ароу-Пратова мера апсолутне одбојности према ризику ( ) = ( ) па је: ( ) 1 У математичкој оптимизацији Кан-Такер услови су неопходни услови за решeње у нелинеарном програмирању, под условом да су испуњени неки услови регуларности. 2 Услов првог реда (First-order condition) - неопходан услов релативног екстремума (максимум или минимум) је да извод првог реда буде нула, тј. () = 0. 30

35 Одбојност према ризику () () ( ) () ( ) () + ( )( ) () () (())( ) + ( )( ) () () + ( )( ) према ФОЦу и стога 0. + ( )( ) 0 Пример : Претпоставимо да је () =. Тада je које можемо записати као [( + ( ))] = [ exp ( ( + ( )))] exp ( )[ exp ( ( ))] тако да је ван очекивања и стога је () = Упоредна одбојност према ризику Ароу-Пратова мера је разумна интерпретација локалне одбојности према ризику: један агент има већу одбојност према ризику од других, ако је спреман да прихвати мање малих ризика. Међутим, у многим околностима желимо глобалну меру одбојности према ризику - тј. желимо рећи да један агент има већу одбојност према ризику од других за све нивое богатства. Који су природни начини да се изрази ово стање? Први прихватљив начин да се формализује идеја да агент са функцијом корисности ( ) има већу одбојност према ризику него агент са функцијом корисности ( ) је да захтева ( ) ( ) > ( ) ( ) за све нивое богатства. То једноставно значи да агент 2 има виши степен одбојности према ризику од агента 1 свуда. Записаћемо то у следећој дефиницији. 31

36 Одбојност према ризику Дефиниција 4.2.1: Агент 2 има одбојност према ризику барем као агент 1 ако: ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ). Још један разумaн начин формализирања појма да агент 2 има већу одбојност према ризику од агента 1 јесте да је функција корисности агента 2 "више конкавна" од функције корисности агента 1. Прецизније, кажемо да је функција корисности агента 2 конкавна трансформација функције корисности агента 1; тј. постоји нека растућа, строго конкавна функција ( ) таква да је =. Тешко је изабрати између ова два веродостојна тумачења шта би могло да значи да један агент "глобално више ризикује" од другог. Срећом, није неопходно то учинити: ове две дефиниције су еквивалентне! Показаћемо то у следећој теореми. Теорема 4.2.1: (Прат; Економетрија, 1964) Нека су ( ) и ( ) C тако да је ( ) > 0. Тада следе еквиваленти ( ) ( ) ( ) ( ) постоји конкавна растућа C функција ( ) таква да је = (А) (B) Доказ: (B) (A): Претпоставимо да је () = () где је ( ) растућа конкавна функција (тј. важи ( ) > 0 и ( ) < 0). Тада је: () = () () () = ()[ ()] + () (). Дељењем друге једначине првом добијамо: односно јер је ( ) > 0, ( ) < 0 и ( ) > 0. Сада је односно () () = ()[ ()] + () () () () () () () () = () () 0 () () () () () 32

37 Одбојност према ризику () () () (). (А) (B): Показаћемо да ако важи (А), онда постоји растућа конкавна функција ( ) таква да је () = ( ()). Сада, како је ( ) > 0 то је ( ) инверзна, тј. () = = (). Стога хоћемо да покажемо да је: () = () = () = () и да важи ( ) > 0 и ( ) < 0. Посматрајмо најпре (): Како је () = () (). = () = () = () () () 1 = () (и имајмо на уму да је > 0 () > 0 ) па заменом добијамо јер је ( ) > 0. Дакле > 0. Сада, нека је () = () () Коначно, приметимо да је па је 0. па је онда () = () () > 0 () = () () () () () () = ( ()) = () () () () () () () = ( ()) ( ()) 0. 33

38 Одбојност према ризику Прилог: избор портфолија Пропозиција : Претпоставимо да се два агента са идентичним богатством суочавају са истим проблемом као у (7) и нека је: () = [ ( + ( ))] (8) тако да 0 за = 1, 2 са > 0 и < 0. Ако је 0 за свако, онда важи () (). Доказ: Како је () конкавна за свако довољно је показати да је ( ) 0. Да покажемо ово, посматрајмо ( ) = [ ( + ( ))] = + ( ) = + ( ) Диференцирањем по добијамо: ( ) = + ( ) + ( )( ). Сада, како је < 0 и > 0 следи да + ( ) није растућа. Тада је па + ( ) [ ()]( ) 0 + ( )( ) [ ()]( ) Сада помножимо обе стране са + ( ): онда узмемо очекивања + ( )( ) + ( ) [ ()]( ) + ( ) + ( )( ) + ( ) [ ()]( ) + ( ) и приметимо онда да је ( ) + ( ) = ( ) = 0 на основу ФОЦ-а за проблем агента 1. Због тога: + ( )( ) + ( ) 0 34

39 Одбојност према ризику узимајући у обзир да је конкавна, подразумева се. ( ) Прилог: осигурање Теорема (Јенсенова неједнакост): Ако је конкавна функција и случајна променљива, онда () (()). Доказ: Ово доказујемо у случају диференцијабилне конкавне функције. Таква функција има својство да у свакој тачки, () < ( ) + ( )( ). Нека је очекивана вредност случајне променљиве и узмимо очекивања сваке стране овог израза. Имамо из којег следи () < () + ()( ) = (), () < () = (). Претпоставимо да агент има богатство у периоду и у периоду + 1 појављује се оштећење износа са вероватноћом. Очекивано богатство без осигурања је: ( ) + (1 ) = + =. С друге стране, ако агент купи осигурање са премијом, његово очекивано богатство је исто без обзира да ли се штета јавља или не: ( + ) + (1 )( ) = + + = Сада, ако осигуравајућа друштва нуде покриће на "фер премији" онда = и = тако да ако је () = ( ()) (тј., је оно што Мас-Колел, Винстон и Грин називају представљање функције корисности ) проблем канонског осигурања агента је стога формулисано као: max ( ) = ( ) + (1 ) () Сада, дефинишимо губитак агента 1 као случајну променљиву са нултим очекивањем = 0 и дефинишимо () као максимални износ богатства од ког би агент 1 одустао да би избегао суочавање са случајном променљивом. Ова премија се може записати као () = [ ( )]. 35