Nastavno pismo 3

Слични документи
Microsoft Word - predavanje8

(Microsoft Word doma\346a zada\346a)

1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O

Microsoft Word - 24ms221

Jednadžbe - ponavljanje

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

Microsoft Word - IZVODI ZADACI _I deo_.doc

(Microsoft Word - MATB - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja)

PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(l

Microsoft Word - 12ms121

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

Zadaci s pismenih ispita iz matematike 2 s rješenjima MATEMATIKA II x 4y xy 2 x y 1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln

(Microsoft Word - MATA - ljeto rje\232enja)

Microsoft Word - 24ms241

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)

Microsoft Word - 12ms101

MAT A MATEMATIKA viša razina MATA.45.HR.R.K1.28 MAT A D-S

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine

NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

Neodreeni integrali - Predavanje III

Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

Microsoft Word - 15ms261

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred)

(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)

MATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29

Microsoft Word - Rjesenja zadataka

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Karolina Novaković Derivacija funkcije i prim

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 28. siječnja AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA,

Microsoft Word - 6ms001

Uvod u obične diferencijalne jednadžbe Metoda separacije varijabli Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler

MATEMATIKA - MATERIJALI Sadržaj Matematika 1 3 Kolokviji drugi kolokvij,

Sveučilište u Splitu Fakultet prirodoslovno-matematičkih znanosti i odgojnih područja Zavod za fiziku Pripremni tečaj za studente prve godine INTEGRAL

Microsoft Word - PARNOST i NEPARNOST FUNKCIJE.PERIODICNOST

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN Odrediti

Newtonova metoda za rješavanje nelinearne jednadžbe f(x)=0

Mate_Izvodi [Compatibility Mode]

Microsoft Word - IZVODI ZADACI _2.deo_

Matematika 1 - izborna

VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E

C2 MATEMATIKA 1 ( , 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. (15 b

MAT-KOL (Banja Luka) XXIV (2)(2018), DOI: /МК S ISSN (o) ISSN (o) Klasa s

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

Hej hej bojiš se matematike? Ma nema potrebe! Dobra priprema je pola obavljenog posla, a da bi bio izvrsno pripremljen tu uskačemo mi iz Štreberaja. D

18 1 DERIVACIJA 1.3 Derivacije višeg reda n-tu derivaciju funkcije f označavamo s f (n) ili u Leibnizovoj notaciji s dn y d x n. Zadatak 1.22 Nadite f

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja)

Skalarne funkcije više varijabli Parcijalne derivacije Skalarne funkcije više varijabli i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler

(Microsoft Word vje\236ba - LIMES FUNKCIJE.doc)

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

Dvostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

Microsoft Word - Mat-1---inicijalni testovi--gimnazija

vjezbe-difrfv.dvi

PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla

Microsoft Word - 09_Frenetove formule

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

SFERNA I HIPERBOLIČKA TRIGONOMETRIJA IVA KAVČIĆ1 I VEDRAN KRČADINAC2 1. Uvod Osnovna zadaća trigonometrije je odredivanje nepoznatih veličina trokuta

1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

Microsoft Word - DIOFANTSKE JEDNADŽBE ZADACI docx

Gajo Vučinić

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja)

Microsoft Word - z4Ž2018a

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, RAČUNARSTVA I INFORMACIJSKIH TEHNOLOGIJA Diplomski studij DESKTOP APLIKACIJA

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

Matematika 2

Algebarski izrazi (4. dio)

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, RAČUNARSTVA I INFORMACIJSKIH TEHNOLOGIJA Sveučilišni studij VEKTORSKA FUNKCIJ

NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički SLOBODNO I PRISILNO TITRANJE

Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0611_horvatH.doc

ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) Malo kompleksne analize i osnovni teorem algebre Ljiljana Arambašić, Maja Horvat Saže

My_ST_FTNIspiti_Free

Analiticka geometrija

MAT B MATEMATIKA osnovna razina MATB.38.HR.R.K1.20 MAT B D-S

1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu 3XB T + XA = B, pri qemu

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan osnovna razina - rje\232enja)

Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu Elementarne funkcije i preslikavanja u analizi Master rad Mentor: dr Miodrag Mateljević Student: Marija Vu

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)

ANALITIČKA GEOMETRIJA 275 ANALITIČKA GEOMETRIJA, grana geometrije u kojoj se geometrijski objekti istražuju metodama matematičke analize. Obično se po

CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup priro

Konstruktivne metode u geometriji prema predavanjima profesora Vladimira Voleneca verzija: 12. lipnja 2019.

Microsoft Word - IZVOD FUNKCIJE.doc

s2.dvi

Microsoft Word - Pripremni zadatci za demonstrature

Elementarna matematika 1 - Oblici matematickog mišljenja

Rokovi iz Matematike 1 za studente Fakulteta za fiziqku hemiju Ivan Dimitrijevi, Tijana Xukilovi 1. Rexiti jednaqinu z 4 + i 1 i+1 = 0. MATEMATIKA 1 {

Matematika horvát nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 1712 ÉRETTSÉGI VIZSGA május 8. MATEMATIKA HORVÁT NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Marinela Bockovac Inverzija u ravnini i primjene Diplomski rad Osijek, 2018.

Natjecanje 2016.

Primjena neodredenog integrala u inženjerstvu Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

Транскрипт:

Nastavno pismo Matematika Gimnazija i strukovna škola Jurja Dobrile Pazin Obrazovanje odraslih./. Robert Gortan, pro. Derivacije.

Tablica sadržaja 7. DERIVACIJE... 7.. PRAVILA DERIVIRANJA... 7.. TABLICA OSNOVNIH DERIVIRACIJA... 7.. DERIVACIJA SLOŽENE FUNKCIJE... 5 7.. DERIVACIJA INVERZNE FUNKCIJE... 5 7.5. JEDNADŽBA TANGENTE I NORMALE U TOČKI KRIVULJE... 6

7. DERIVACIJE 7.. PRAVILA DERIVIRANJA DERIVACIJA KONSTANTE C DERIVACIJA UMNOŠKA KONSTANTE I FUNKCIJE ( C ) C DERIVACIJA ZBROJA I RAZLIKE FUNKCIJA ( ± g) ± g DERIVACIJA PRODUKTA FUNKCIJA ( g) g + g g g DERIVACIJA KVOCJENTA FUNKCIJA g g 7.. TABLICA OSNOVNIH DERIVIRACIJA a n e n n log a ln a ln a ctg e ln a tg cos sin sin cos - sin cos Primjer. Deriviraj ( ) + + ( ) + + + + + + + + 6 + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) prema tablici derivacija Primjer. Deriviraj () sin + ln tg log () ( sin + ln tg log ) ( sin ) + ( ln ) ( tg) ( log ) cos + cos ln prema tablici derivacija Primjer. Deriviraj ( ) ( sin + )( cos )

( ) (( sin + )( cos ) ) ( sin + ) ( cos ) + ( sin + ) ( cos ) ( cos + ) ( cos ) + ( sin + ) ( sin ) cos cos sin sin prema pravilima derivacija i tablici derivacija ( ) ( ) + Primjer. Deriviraj ( ) + ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin + Primjer 5. Deriviraj ( ) cos sin + ( sin + ) ( cos ) ( sin + ) ( cos ) ( ) cos ( cos ) ( cos + ) ( cos ) ( sin + ) ( sin ) ( cos ) 6cos 6 cos i tablici derivacija cos + 6sin ( cos ) + sin ( cos ) ( cos ) i tablici derivacija + sin + sin cos 6 + sin cos ZADACI ZA VJEŽBU:. Zadane su unkcije ( ) + 5 i g ( ) 5 +. ( ) Odredi : a) ( ( ) + g( ) ) b) ( ( ) g( ) ) c) ( ( ) g( ) ) d) g( ) 7. Zadane su unkcije ( ) cos + log cos i g () log +. Odredi : ( ) a) ( ( ) + g( ) ) b) ( ( ) g( ) ) c) ( ( ) g( ) ) d) g( ). Zadane su unkcije ( ) + 5 i g( ). a) Rješi jednadžbu ( ( ) ) ( g( ) ) b) Rješi nejednadžbu ( ( ) ) +

7.. DERIVACIJA SLOŽENE FUNKCIJE Primjer. Zadane su unkcije unkciju h() ( g)( ) h() g( ) () i g() +. Kompozicija unkcija daje novu ( ) ( + ) +. Kako deriviramo kompoziciju unkcija? h ( ) ( g( ) ) ( g( ) ) g ( ) pravilo ulančanog deriviranja ( g( ) ) ( u) g ( ), u g() y ( u) ( + ) u u() + ( u) u ( ) ( + ) u + + Primjer. Deriviraj unkciju ( ) ( ) ( ) ( + ) () u() v(u) u + (kompozicija potencije i kvadratne unkcije) + ( + ) v(u) u() u ( + ) ( + )( + ) Primjer. Deriviraj unkciju ( ) sin (kompozicija potencije, trigonometrijske unkcije i potencije) ( ) ( sin ) sin cos sin cos sin 6 POTENCIJA TRIG.FUNKCIJA POTENCIJA DVOSTRUKI.KUT 7.. DERIVACIJA INVERZNE FUNKCIJE Ako je y () i njoj inverzna unkcija g(y), tada vrijedi ( ), y () g ( y) Primjer. Zadana je unkcija (). Inverzna unkcija je ( ) () g (y) y g (y) y. Primjer. Zadana je unkcija () log a. Inverzna unkcija je ( log a ) () y loga g (y) a ln a a ln a ln a y g (y) a. 5

7.5. JEDNADŽBA TANGENTE I NORMALE U TOČKI KRIVULJE Jednadžba tangente u točki (,y ) unkcije () ima jednadžbu y y ( )( ) Normala na gra unkcije () u točki (,y ) ima jednadžbu y y ( ) ( ) Primjer. Odredi jednadžbe tangente i normale na gra unkcije () + u točki s apscisom. odredimo koordinatu točke () + te je točke T(,) odredimo derivaciju unkcije (). Koeicijent smjera tangente je k () jednadžba tangente y y k( ) je y ( ) odnosno y jednadžba normale y y ( ) je y ( ) k odnosno y + 5 Kut dviju krivulja je kut između tangenata na krivulje u njihovom sjecištu tgϕ gdje su k ( ), ( ) k koeicijenti smjera tangenata u točki presjeka (,y ) k k + k k Primjer. Odredi kut pod kojim se sijeku krivulje y i y u točki (,). odredimo koeicijente smjera tangenata prve i druge krivulje u zadanoj točki o k ( ) ( ) o ( ) ( ) k računamo k k tgϕ i kut iznosi ϕ 6 5 + k k + 6

ZADACI ZA VJEŽBU:. Deriviraj sljedeće unkcije : a. ( ) ( ) RJ: ( ) ( ) 9 b. ( ) ( + )( + ) RJ: ( ) 9 + 7 c. ( ) ( + a)( a + a ) RJ: ( ) ( ) + 8 d. ( ) RJ: ( ) e. ( ) ( ) RJ: ( ) ( + ) + ( + ). ( ) ( ) RJ: ( ) 8( ). Odredi derivacije sljedećih unkcija: a. ( ) RJ: ( ) b. ( ) tg RJ: ( ) sin + sin sin sin c. ( ) RJ: ( ) cos sin d. ( ) RJ: ( ) 5 e. ( ) sin ( cos ) cos sin ( cos ) sin sin RJ: ( ) 7 sin cos + sin.. Odredi treću derivaciju sljedeće unkcije ( ) RJ: ( ) 8sin. Odredi jednadžbu tangente i normale na parabolu + y u točki T (, y) 6. RJ: t... + y, n... y 9 7