Geometrija I–smer - deo 4: Krive u ravni

UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Geometrija I{smer deo 4: Krive u ravni Tijana Xukilovi 3. decembar 2018

Konus Neka su i i s dve prave u prostoru koje se seku u taqki T. Kruni konus sa temenom T je povrx koja se dobija rotacijom prave i oko ose s. Rotirana prava i (u raznim poloajima) naziva se izvodnica konusa, a prava s se naziva osa konusa. i T s Slika 1: Kruni konus

Konusni presek Definicija 1.1 Konusni presek je presek konusa sa proizvo nom ravni α. Konusni preseci: krug; elipsa; hiperbola; parabola.

Konike Definicija 1.2 Konika je presek konusa sa ravni α koja NE sadri teme konusa. Teorema 1.1 U ravni α konike postoje prava d i taqka F takve da je odnos rastoja a MF d(m, d) = e = const proizvo ne taqke M konike od taqke F i prave d konstantan.

Ekscentricitet konike Definicija 1.3 Broj e 0 naziva se ekscentricitet konike,

Ekscentricitet konike Definicija 1.3 Broj e 0 naziva se ekscentricitet konike, taqka F ia,

Ekscentricitet konike Definicija 1.3 Broj e 0 naziva se ekscentricitet konike, taqka F ia, a prava d direktrisa konike.

Ekscentricitet konike Definicija 1.3 Broj e 0 naziva se ekscentricitet konike, taqka F ia, a prava d direktrisa konike. Ekscentricitet odreuje tip konike: za e = 0 { krug; za 0 < e < 1 { elipsa; za e = 1 { parabola; za e > 1 { hiperbola.

Primeri konika u prirodi Slika: Orbite planeta Sunqevog sistema 1. Keplerov zakon: Tela Sunqevog sistema se kreu oko Sunca po konici, a Sunce se nalazi u ii te konike.

Primeri konika u prirodi Slika: Orbite planeta Sunqevog sistema Da li Sunce miruje? Xta utiqe na orbitu planete?

Primeri konika u prirodi Slika: Orbite planeta Sunqevog sistema Da li Sunce miruje? Xta utiqe na orbitu planete? Xta je to retrogradni Merkur (u fizici)?

Primeri konika u prirodi Slika: Orbite planeta Sunqevog sistema Da li Sunce miruje? Xta utiqe na orbitu planete? Xta je to retrogradni Merkur (u fizici)? YouTube

Primeri konika u prirodi Slika: Orbite planeta Sunqevog sistema Da li Sunce miruje? Xta utiqe na orbitu planete? Xta je to retrogradni Merkur (u fizici)? Koji astronomski objekti u naxem Sunqevom sistemu imaju skoro paraboliqne puta e?

Primeri konika u prirodi Slika: Orbite planeta Sunqevog sistema Da li Sunce miruje? Xta utiqe na orbitu planete? Xta je to retrogradni Merkur (u fizici)? Koji astronomski objekti u naxem Sunqevom sistemu imaju skoro paraboliqne puta e? Odgovor: na primer, Halejeva komenta (e 0.995)

Primeri konika u prirodi Puta a kosog hica je parabola.

Primeri konika u prirodi Puta a kosog hica je parabola. Senka krunog predmeta na ravan zid je konika.

Primeri konika u prirodi Puta a kosog hica je parabola. Senka krunog predmeta na ravan zid je konika. Sunqeva senka vrha xtapa u toku dana je konika. Slika: Most Sunqani sat", Kalifornija

Krug y M(x, y) C(x 0, y 0) φ Slika 4: Krug sa centrom u taqki C(x 0, y 0 ) i polupreqnikom r x

Jednaqine kruga u ravni i prostoru y z O x y x 2 + y 2 = 1 x x 2 + y 2 = 1 Slika 5: Krug Slika 6: Cilindar

Jednaqine kruga u ravni i prostoru y z z = 0 O x y x 2 + y 2 = 1 x x 2 + y 2 = 1 Slika 5: Krug Slika 6: Cilindar krug

Implicitna i parametarska jednaqina kruga Implicitna jednaqina kruga: (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2.

Implicitna i parametarska jednaqina kruga Implicitna jednaqina kruga: (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2. Parametarska jednaqina kruga: x = x 0 + r cos θ, y = y 0 + r sin θ, θ [0, 2π), θ je ugao izmeu vektora poloaja taqke i pozitivnog dela x-ose.

Brzina i ubrza e y α (t) = #«v (t) α(t) α (t) = #«a (t) Slika 7: Brzina i ubrza e r x α(t) = (r cos t, r sin t), t [0, 2π). Kruno kreta e konstantnom ugaonom brzinom: t { vreme; #«v = α (t) { brzina; #«a = α (t) { ubrza e; #«F = m #«a { centripetalna sila. Predava a profesora Voltera Levina sa MIT-a (YouTube)

Elipsa y b F2 a F1 x Slika 8: Elipsa Kanonska jednaqina elipse: x 2 a 2 + y2 = 1, a > b > 0. b2

Elementi elipse a > b > 0 { poluose elipse;

Elementi elipse a > b > 0 { poluose elipse; F 1 (c, 0), F 2 ( c, 0), c = a 2 b 2 { ie elipse;

Elementi elipse a > b > 0 { poluose elipse; F 1 (c, 0), F 2 ( c, 0), c = a 2 b 2 { ie elipse; d 1 : x = a e, d 2 : x = a { direktrise elipse; e

Elementi elipse a > b > 0 { poluose elipse; F 1 (c, 0), F 2 ( c, 0), c = a 2 b 2 { ie elipse; d 1 : x = a e, d 2 : x = a { direktrise elipse; e e = c { ekscentricitet elipse. a

Elementi elipse a > b > 0 { poluose elipse; F 1 (c, 0), F 2 ( c, 0), c = a 2 b 2 { ie elipse; d 1 : x = a e, d 2 : x = a e { direktrise elipse; e = c a { ekscentricitet elipse. za a = b elipsa je krug!

Fokusne osobine elipse Teorema 1.2 Zbir rastoja a proizvo ne taqke elipse od enih ia je konstantan: MF 1 + MF 2 = 2a. T2(b) A2 M A1 F2 O F1(c) T1(a) d2 d1 Slika 9: Zbir rastoja a taqke elipse od enih ia Fokusne osobine elipse

Primeri Primer 1 Ako je ekscentricitet Marsa e = 0.0934 i rastoja e izmeu ia 2c 0.2847AJ (1AJ = 1.5 10 8 km), odrediti najma e (perihel) i najvee (afel) rastoja e Marsa od Sunca. Kolike su ove vrednosti za Zem u? Za koju planetu Sunqevog sistema je razlika ove dve vrednosti maksimalna?

Parametarska jednaqina elipse Parametarska jednaqina elipse: x = a cos θ, y = b sin θ, θ [0, 2π), a, b su poluose elipse, ali θ NIJE ugao izmeu vektora poloaja taqke i pozitivnog dela x-ose.

Hiperbola d 2 y d 1 F 2 a b F 1 x Slika 10: Hiperbola Kanonska jednaqina hiperbole: x 2 a 2 y2 b 2 = 1.

Elementi hiperbole a, b > 0 { poluose hiperbole;

Elementi hiperbole a, b > 0 { poluose hiperbole; F 1 (c, 0), F 2 ( c, 0), c = a 2 + b 2 { ie hiperbole;

Elementi hiperbole a, b > 0 { poluose hiperbole; F 1 (c, 0), F 2 ( c, 0), c = a 2 + b 2 { ie hiperbole; d 1 : x = a e, d 2 : x = a { direktrise hiperbole; e

Elementi hiperbole a, b > 0 { poluose hiperbole; F 1 (c, 0), F 2 ( c, 0), c = a 2 + b 2 { ie hiperbole; d 1 : x = a e, d 2 : x = a { direktrise hiperbole; e e = c { ekscentricitet hiperbole; a

Elementi hiperbole a, b > 0 { poluose hiperbole; F 1 (c, 0), F 2 ( c, 0), c = a 2 + b 2 { ie hiperbole; d 1 : x = a e, d 2 : x = a e { direktrise hiperbole; e = c a { ekscentricitet hiperbole; a 1 : y = b a x, a 2 : y = b x { asimptote hiperbole. a

Fokusne osobine hiperbole Teorema 1.3 Apsolutna vrednost razlike rastoja a proizvo ne taqke hiperbole od enih ia je konstantan: MF 1 MF 2 = 2a. Fokusne osobine hiperbole

Parametrizacija hiperbole y x Slika 11: Parametrizacija hiperbole x = +a cosh φ, y = b sinh φ, φ R x = a cosh φ, y = b sinh φ, φ R

Parabola Posledica 1.1 Svaka taqka M parabole je jednako uda ena od ie i od direktrise parabole. d y p 2 p 2 F x Slika 12: Parabola y 2 = 2px, p > 0 Definicija parabole

Elementi parabole y 2 = 2px, p > 0 p { parametar parabole; ( ) p F 2, 0 { ia parabole; d : x = p 2 { direktrisa parabole; o { osa parabole (ovde: x-osa); T { teme parabole (ovde: O).

Parametrizacija parabole Standardna parametrizacija: x = t2, y = t, t R, 2p Jednaqina kosog hica Primer 2 Pokazati da su svake dve parabole meusobno sliqne.

Jednaqina kosog hica y α (0) #«g A h φ 0 α (t) α(t) α (t) Slika 13: Kosi hitac x x(t) = (v 0 cos φ 0 )t, t 0 y(t) = g 2 t2 + (v 0 sin φ 0 )t + h, t 0, v 0 { poqetna brzina; h { visina; φ 0 { ugao (u odnosu na tlo); g { gravitaciono ubrza e.

Kosi hitac Za koji ugao φ 0 se dostie najvea da ina/visina? Xta se dexava kada je v 0 = 0? y φ0 = 5π, ymax = 4.67m 12 φ0 = π, ymax = 3.75m 3 φ0 = π, ymax = 2.50m 4 φ0 = π, ymax = 1.25m 6 φ0 = π, ymax = 0.33m 12 5.00m Slika 14: Kosi hici sa poqetnom brzinom v 0 = 10 m s, 8.66m 10.0m za uglove φ 0 = kπ 12, k = 1,..., 5 x

Primeri kosog hica Sport: Projectile motion in sport MIT eksperiment: Monkey and a gun Fontane: The Mathematical Tourist

Primeri Primer 3 Koxarkax visine 1.85m treba da ubaci loptu u kox sa sa linije slobodnog baca a (4.5m). Obruq je na visini 3.05m. Pod kojim poqetnim uglom treba izbaciti loptu da bi se postigao pogodak? Za poqetnu brzinu izbaqaja lopte uzeti 7m/s. Koliko se me a potrebna poqetna brzina izbaqaja ako se izvodi skok-xut sa iste uda enosti pod tim uglom? Pretpostavimo da je odraz 1m. Uzeti da je gravitaciono ubrza e g 10m/s 2.

Zakon odbija a svetlosti Svetlost se odbija od glatke povrxine tako da je upadni ugao zraka svetlosti jednak odbojnom uglu. ogledalo zrak svetlosti φ φ Slika 15: Zakon odbija a svetlosti

Optiqka osobina elipse Teorema 1.4 Svetlosni zrak koji izvire iz ie elipse i odbija se od elipse, prolazi kroz drugu iu elipse. t T N M F 2 t F1 F2 F1 F2 Slika 16: Optiqka osobina elipse Eliptiqki bilijar

Optiqka osobina hiperbole Teorema 1.5 Svetlosni zrak koji izvire iz ie hiperbole i odbija se od hiperbole, kolinearan je sa drugom iom hiperbole. y F 2 T F 1 x Slika 17: Optiqka osobina hiperbole

Optiqka osobina parabole Teorema 1.6 Svetlosni zrak koji izvire iz ie parabole odbija se od parabole paralelno enoj osi. d y t M R Q O F x Slika 18: Optiqka osobina parabole

Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Primer paraboliqke antene Slika: Svemirska stanica Venera I, Muzej kosmonautike, Moskva

Krive drugog reda Definicija 1.4 Kriva drugog reda je skup taqaka ravni qije koordinate (x, y) zadovo avaju jednaqinu drugog stepena: a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 33 = 0.

Krive drugog reda Definicija 1.4 Kriva drugog reda je skup taqaka ravni qije koordinate (x, y) zadovo avaju jednaqinu drugog stepena: a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 33 = 0. Koliko god prethodna jednaqina izgledala komplikovano, moe se pokazati da ona geometrijski opisuje elipsu, hiperbolu, parabolu ili neku jednostavnu degenerisanu" krivu.

Svoe e krive na kanonski oblik Teorema 1.7 Za svaku krivu drugog reda, datu u ortonormiranom reperu Oe, postoji novi ortonormirani reper Qf, iste orijentacije, u kom ona ima taqno jednu od sledeih jednaqina: (E) (H) x 2 a 2 x 2 a 2 y 2 b + y 2 2 = 1, (elipsa) b 2 = 1, (hiperbola) (P ) y 2 = 2px, (parabola)

Svoe e krive na kanonski oblik Teorema 1.7 (D1) (D2) (D3) x 2 a 2 x 2 + y 2 2 = 1, (prazan skup ili imaginarna elipsa) b + y 2 2 = 0, (taqka) b a 2 x 2 a 2 y 2 b 2 = 0, (dve prave koje se seku) (D4) x 2 = a 2, (dve paralelne prave) (D5) x 2 = 0, ( dvostruka" prava) (D6) x 2 = a 2 (prazan skup). gde je p > 0, a, b > 0 i a b za (E), (D1), (D2) i (D3).

Svoe e krive na kanonski oblik y x y y O φ x x Slika 20: Svoe e elipse na kanonski oblik Q translacija rotacija

Svoe e krive na kanonski oblik translacijom y y F (0, p) 0 x d : y = p F (x 0, y 0 + p) d : y = y 0 p (x 0, y 0) x Slika 21: Translacija parabole x = x + x 0, y = y + y 0

Svoe e krive na kanonski oblik rotacijom x = cos φ x sin φ y, y = sin φ x + cos φ y cos 2φ cot 2φ = sin 2φ = a 11 a 22, φ 2a 12 cot 2φ cos 2φ = + 1 + cot 2 2φ cos φ = + [ 0, π ) 2 1 + cos 2φ, sin φ = + 2 1 cos 2φ 2

Primer: Rotacija hiperbole y y x O φ x Slika 22: Hiperbola xy = 1

Krive drugog reda u projektivnoj ravni Jednaqina krive drugog reda u homogenim koordinatama: Γ : a 11 x 2 1 + a 22 x 2 2 + a 33 x 2 3 + 2a 12 x 1 x 2 + 2a 13 x 1 x 3 + 2a 23 x 2 x 3 = 0. Vektorski zapis: gde je X = x 1 x 2 x 3, G = X t GX = 0, a 11 a 12 a 13 a 12 a 22 a 23 a 13 a 23 a 33 = G t.

Klasifikacija krivih u projektivnoj ravni Ovalne krive x 2 1 + x 2 2 x 2 3 = 0. u Γ Slika 23: Elipsa Γ u = { }

Klasifikacija krivih u projektivnoj ravni Ovalne krive x 2 1 + x 2 2 x 2 3 = 0. P Q Γ u Slika 23: Hiperbola Γ u = {P, Q } P, Q { pravci asimptota hiperbole

Klasifikacija krivih u projektivnoj ravni Ovalne krive x 2 1 + x 2 2 x 2 3 = 0. S Γ u Slika 23: Parabola Γ u = {S } S { pravac ose parabole

Klasifikacija krivih u projektivnoj ravni Ovalne krive x 2 1 + x 2 2 x 2 3 = 0. Prazan skup (nula kriva) x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = 0. u Γ Slika 23: Nula kriva Γ u = { }

Klasifikacija krivih u projektivnoj ravni Ovalne krive x 2 1 + x 2 2 x 2 3 = 0. Prazan skup (nula kriva) x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = 0. Taqka x 2 1 + x 2 2 = 0.

Klasifikacija krivih u projektivnoj ravni Ovalne krive x 2 1 + x 2 2 x 2 3 = 0. Prazan skup (nula kriva) x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = 0. Taqka x 2 1 + x 2 2 = 0. Dve prave x 2 1 x 2 2 = 0.

Klasifikacija krivih u projektivnoj ravni Ovalne krive x 2 1 + x 2 2 x 2 3 = 0. Prazan skup (nula kriva) x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = 0. Taqka x 2 1 + x 2 2 = 0. Dve prave x 2 1 x 2 2 = 0. Dvostruka" prava x2 1 = 0.

Bezijerove krive Definicija 2.1 Neka su P 0, P 1... P n, n 2 taqke ravni. Bezijerova kriva stepena n je: ( ) n n n α n (t) = t i (1 t) n i P i = Bi n (t)p i, t [0, 1]. i i=0 Taqke P i nazivaju se kontrolne taqke, a polinomi B i (t) Bernxtajnovi polinomi ili bazne funkcije. Poligonska linija P 0 P 1... P n se zove kontrolna poligonska linija. i=0

Bezijerove krive na prozivo nom intervalu t [0, 1]: α n (t) = n i=0 ( ) n t i (1 t) n i P i = i n Bi n (t)p i. i=0

Bezijerove krive na prozivo nom intervalu t [0, 1]: u [a, b]: α n (t) = α n (u) = n i=0 ( ) n t i (1 t) n i P i = i n i=0 ( n i ) (u a b a n Bi n (t)p i. i=0 ) i ( ) b u n i P i. b a

Bezijerove krive 2. i 3. stepena P 1 P 2 P 1 P 2 P 3 P 0 P 0 Slika 23: Bezijerove krive stepena 2 i 3 Kriva 2. stepena odreena je sa tri kontrolne taqke: α 2 (t) = (1 t) 2 P 0 + 2t(1 t)p 1 + t 2 P 2, t [0, 1];

Bezijerove krive 2. i 3. stepena P 1 P 2 P 1 P 2 P 3 P 0 P 0 Slika 23: Bezijerove krive stepena 2 i 3 Kriva 2. stepena odreena je sa tri kontrolne taqke: α 2 (t) = (1 t) 2 P 0 + 2t(1 t)p 1 + t 2 P 2, t [0, 1]; Kriva 3. stepena odreena je sa qetiri kontrolne taqke: α 3 (t) = (1 t) 3 P 0 + 3t(1 t) 2 P 1 + 3t 2 (1 t)p 2 + t 3 P 3, t [0, 1].

Matriqna reprezentacija Bezijerove krive α 2 (t) = (1, t, t 2) 1 0 0 2 2 0 1 2 1 P 0 P 1 P 2. Primer 4 Izvesti formule matriqne reprezentacije kubne Bezijerove krive.

Osobine deg α n = n.

Osobine deg α n = n. α n (0) = P 0, α n (1) = P n.

Osobine deg α n = n. α n (0) = P 0, α n (1) = P n. Tangentni vektor u P 0 je # «P 0 P 1, a u P n je # «P n 1 P n.

Osobine deg α n = n. α n (0) = P 0, α n (1) = P n. Tangentni vektor u P 0 je # «P 0 P 1, a u P n je # «P n 1 P n. P k P k + #«v : ᾱ n (t) = α n (t) + B n,k (t) #«v.

Osobine deg α n = n. α n (0) = P 0, α n (1) = P n. Tangentni vektor u P 0 je # «P 0 P 1, a u P n je # «P n 1 P n. P k P k + #«v : ᾱ n (t) = α n (t) + B n,k (t) #«v. Osobina nenegativnosti.

Osobine deg α n = n. α n (0) = P 0, α n (1) = P n. Tangentni vektor u P 0 je # «P 0 P 1, a u P n je # «P n 1 P n. P k P k + #«v : ᾱ n (t) = α n (t) + B n,k (t) #«v. Osobina nenegativnosti. Osobina konveksnog omotaqa.

Osobine deg α n = n. α n (0) = P 0, α n (1) = P n. Tangentni vektor u P 0 je # «P 0 P 1, a u P n je # «P n 1 P n. P k P k + #«v : ᾱ n (t) = α n (t) + B n,k (t) #«v. Osobina nenegativnosti. Osobina konveksnog omotaqa. Osobina ma e varijacije.

Osobine deg α n = n. α n (0) = P 0, α n (1) = P n. Tangentni vektor u P 0 je # «P 0 P 1, a u P n je # «P n 1 P n. P k P k + #«v : ᾱ n (t) = α n (t) + B n,k (t) #«v. Osobina nenegativnosti. Osobina konveksnog omotaqa. Osobina ma e varijacije. Afina invarijantnost.

Osobine deg α n = n. α n (0) = P 0, α n (1) = P n. Tangentni vektor u P 0 je # «P 0 P 1, a u P n je # «P n 1 P n. P k P k + #«v : ᾱ n (t) = α n (t) + B n,k (t) #«v. Osobina nenegativnosti. Osobina konveksnog omotaqa. Osobina ma e varijacije. Afina invarijantnost. Teorema 2.1 Bezijerova kriva stepena dva je deo parabole.

De-Kaste au algoritam Odreiva e taqke na krivoj α n (t) za neko t [0, 1]: 1 P 00 = P 0, P 01 = P 1,..., P 0n 1 = P n 1, P 0n = P n

De-Kaste au algoritam Odreiva e taqke na krivoj α n (t) za neko t [0, 1]: 1 P 00 = P 0, P 01 = P 1,..., P 0n 1 = P n 1, P 0n = P n 2 P 1i = (1 t)p 0i + tp 0i+1, i = 0,..., n 1

De-Kaste au algoritam Odreiva e taqke na krivoj α n (t) za neko t [0, 1]: 1 P 00 = P 0, P 01 = P 1,..., P 0n 1 = P n 1, P 0n = P n 2 P 1i = (1 t)p 0i + tp 0i+1, i = 0,..., n 1.

De-Kaste au algoritam Odreiva e taqke na krivoj α n (t) za neko t [0, 1]: 1 P 00 = P 0, P 01 = P 1,..., P 0n 1 = P n 1, P 0n = P n 2 P 1i = (1 t)p 0i + tp 0i+1, i = 0,..., n 1. 3 P ki = (1 t)p k 1i + tp k 1i+1, i = 0,..., n k

De-Kaste au algoritam Odreiva e taqke na krivoj α n (t) za neko t [0, 1]: 1 P 00 = P 0, P 01 = P 1,..., P 0n 1 = P n 1, P 0n = P n 2 P 1i = (1 t)p 0i + tp 0i+1, i = 0,..., n 1. 3 P ki = (1 t)p k 1i + tp k 1i+1, i = 0,..., n k 4 P n0 = (1 t)p n 1 0 + tp n 1 1

De-Kaste au algoritam Odreiva e taqke na krivoj α n (t) za neko t [0, 1]: 1 P 00 = P 0, P 01 = P 1,..., P 0n 1 = P n 1, P 0n = P n 2 P 1i = (1 t)p 0i + tp 0i+1, i = 0,..., n 1. 3 P ki = (1 t)p k 1i + tp k 1i+1, i = 0,..., n k 4 P n0 = (1 t)p n 1 0 + tp n 1 1 P n 1 0 P n 1 1 { tangenta na krivu u taqki t

De-Kaste au algoritam Primer 5 Pokazati da je de-kaste au algoritam korektan. P02 P12 P11 P21 P40 P31 P22 P41 P03 P01 P30 P50 P32 P13 P20 P23 P04 P10 P14 P00 Slika 24: De-Kaste au algoritam za krivu 5. stepena i t = 0.4 P05 Crta e krive 5. stepena

Podela krive na dva dela Krivu α delimo na dve krive α 1 i α 2 : α 1 : P 0 = P 00, P 10, P 20,... P n0 = α(t), α 2 : α(t) = P n0, P n 11, P n 22,..., P 0n = P n. P40 P30 P50 P41 P20 α1(t) α2(t) P32 P10 P23 P14 P00 P05 Slika 25: Podela krive na dva dela

Glatko spaja e krivih P 2 1 P 1 n 1 P 1 n P 2 0 Slika 26: Glatko spaja e krivih

Povea e stepena krive α n (t) : P 0,..., P n, Q 0 = P 0, Q i = ᾱ n+1 (t): i ( n + 1 P i 1 + 1 i ) P i, 1 i n, Q n+1 = P n. n + 1 Slika 27: Povea e stepena Bezijerove krive

Povea e stepena krive α n (t) : P 0,..., P n, Q 0 = P 0, Q i = ᾱ n+1 (t): i ( n + 1 P i 1 + 1 i ) P i, 1 i n, Q n+1 = P n. n + 1 Slika 27: Povea e stepena Bezijerove krive

Povea e stepena krive α n (t) : P 0,..., P n, Q 0 = P 0, Q i = ᾱ n+1 (t): i ( n + 1 P i 1 + 1 i ) P i, 1 i n, Q n+1 = P n. n + 1 Slika 27: Povea e stepena Bezijerove krive

Povea e stepena krive α n (t) : P 0,..., P n, Q 0 = P 0, Q i = ᾱ n+1 (t): i ( n + 1 P i 1 + 1 i ) P i, 1 i n, Q n+1 = P n. n + 1 Slika 27: Povea e stepena Bezijerove krive

Povea e stepena krive α n (t) : P 0,..., P n, Q 0 = P 0, Q i = ᾱ n+1 (t): i ( n + 1 P i 1 + 1 i ) P i, 1 i n, Q n+1 = P n. n + 1 Slika 27: Povea e stepena Bezijerove krive

Povea e stepena krive α n (t) : P 0,..., P n, Q 0 = P 0, Q i = ᾱ n+1 (t): i ( n + 1 P i 1 + 1 i ) P i, 1 i n, Q n+1 = P n. n + 1 Slika 27: Povea e stepena Bezijerove krive

Primeri Primer 6 a) Odrediti Bezijerovu krivu α 2 (t) qije su kontrolne taqke P 0 (1, 1), P 1 ( 1, 0), P 2 (1, 1). b) Odrediti jednaqinu tangente na krivu α 2 (t) u taqki t 0 = 0.5 i pokazati da je tangenta paralelna sa pravom P 0 P 2. v) Poveati stepen krive za 1. g) Odrediti jednaqinu tangente na krivu ᾱ 3 (t) u taqki t 0 = 0.5. Da li je tangenta paralelna sa pravom P 0 P3?

Racionalne Bezijerove (RB) krive Racionalna Bezijerova kriva stepena n sa kontrolnim taqkama P 0,..., P n i teinama ω 0,..., ω n > 0 je data parametrizacijom: r n (t) = ni=0 ω i B i,n (t)p i ni=0, t [0, 1], ω i B i,n (t) gde su B i,n (t) Bernxtajnovi polinomi.

Deo kruga kao RB-kriva Primer 7 y ω 0 = ω 1 = 1, ω 2 = 2 P 2(0, 1) P 1(1, 1) O P 0(1, 0) [ Slika 28: Qetvrtina kruga: x = cos θ, y = sin θ, θ 0, π ] 2 kao RB-kriva: x = 1 t2 1 + t 2, y = 2t, t [0, 1]. 1 + t2 x

Fraktali Fraktal = geometrijski lik koji se moe razloiti na ma e delove tako da je svaki od ih, makar priblino, uma ena kopija celine. Slika: Pequj, 2011

Fraktali Fraktal = geometrijski lik koji se moe razloiti na ma e delove tako da je svaki od ih, makar priblino, uma ena kopija celine. Podela fraktala: geometrijski; algebarski; stohastiqki.

Geometrijski fraktali Geometrijski fraktal = samosliqna figura qiji se opxti oblik zadaje generatorom. Slika 29: Prve qetiri iteracije Kohove krive

Peanova kriva 1 2 3 1 3 3 4 9 2 5 8 1 6 7 0 1 2 1 3 3 Slika 30: Prve tri iteracije Peanove krive

Hilbertova kriva (1, 1) (1, 1) 2 3 (0, 0) 4 3 1 4 1 2 16 (0, 0) Slika 31: Prve tri iteracije Hilbertove krive

Primena geometrisjkih fraktala Primena: kada je potrebno linearizovati vixedimenzione podatke jer predstav aju optimalan naqin da se vixedimenzioni skupovi preslikaju na jednodimenzione nizove. Slika 32: Prve dve iteracije trodimenzione Hilbertove krive