Pripremni kamp - Avala, 1-7. februar Zadaci za samostalan rad (pripremio Duxan uki ) Algebra 1. Realni brojevi a, b, c zadovoljavaju (a+b)(b+c)(c

Слични документи
Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA 10. mart Pr

rjeshenja.dvi

1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1

homotetija_ddj.dvi

Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 1.

24. REPUBLIQKO TAKMIQE E IZ MATEMATIKE UQENIKA SRED IH XKOLA REPUBLIKE SRPSKE Ba a Luka, 22. april ZADACI PRVI RAZRED 1. Dat je razlomak 2a27, g

REXENjA ZADATAKA RPUBLIQKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 1. Ako su A i B neprazni podskupovi ravni α, takvi da je A B =

Kvadratna jednaqina i funkcija 1. Odrediti sve n N takve da jednaqina x3 + 7x 2 9x + 1 x 2 bar jedno celobrojno rexee. = n ima 2. Ako za j-nu ax 2 +bx

Particije prirodnog broja druga-0.1 verzija: Duxan uki 1 Uvod Particija prirodnog broja n je predstavljanje n u obliku zbira nekoliko prirodn

DELjIVOST Ceo broj a je deljiv celim brojem b 0 ako postoji ceo broj q takav da je a = b q. U tom sluqaju kaжemo i da b deli a. b a oznaqava da b deli a

1996_mmo_resenja.dvi

32zadatka_2014_IMO-pripreme_ddj.dvi

1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu 3XB T + XA = B, pri qemu

Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Iracionalne jednaqine i nejednaqine Zlatko Lazovi 29. mart 2017.

Okruzno2007ZASTAMPU.dvi

Pelova jednaqina verzija 2.1: Duxan uki 0 Uvod Qesto smo se sretali sa linearnim diofantskim jednaqinama, i ovakve jednaqine znamo da rexav

PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla

res_gradsko_2010.dvi

rumunija0107.dvi

Математика 1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) средњи ниво А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ }

GEOMETRIJA 2 zadaci po kojima se dre vebe PODUDARNOST 1. (Sreda linija trougla) Ako su B 1 i C 1 sredixta dui CA i BA trougla ABC, onda su prave BC i

Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) : ; б) : (

Trougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa

58. Federalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola

Математика основни ниво 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Броје

ALGEBRA 2 ZORAN PETROVI Predavanja za xkolsku 2014/15 godinu

Министарство просвете, науке и технолошког развоја ДРУШТВО МАТЕМАТИЧАРА СРБИЈЕ Општинско такмичење из математике ученика основних школа III

os07zup-rjes.dvi

untitled

Test iz Linearne algebre i Linearne algebre A qetvrti tok, U zavisnosti od realnog parametra λ rexiti sistem jednaqina x + y + z = λ x +

kolokvijum_resenja.dvi

Математика напредни ниво 1. Посматрај слике, па поред тачног тврђења стави слово Т, а поред нетачног Н. а) A B б) C D в) F E г) G F д) E F ђ) D C 2. О

Analiticka geometrija

Nermin Hodzic, Septembar, Slicnost trouglova 1 Notacija: - A, B, C su uglovi kod vrhova A, B, C redom. -a, b, c su stranice trougla suprotne vrh

MAT-KOL (Banja Luka) XXV (1)(2019), DOI: /МК A ISSN (o) ISSN (o) JOŠ JEDAN DO

{ Rexe a Tipovi zadataka za drugi kratki test { 1. Odrediti normalizovanu jednaqinu prave p koja sadri taqku P (2, 1) i qiji je normalni vektor # «n p

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА

ПРИРОДА И ЗНАК РЕШЕЊА 2 b ax bx c 0 x1 x2 2 D b 4ac a ( сви задаци су решени) c b D xx 1 2 x1/2 a 2a УСЛОВИ Решења реална и различита D>0 Решења реалн

1. Počevši iz vrha šiljastokutnog trokua povučena je visina kojoj je točka A 1 nožište na nasuprotnoj stranici. Iz točke A 1 povučena je okomica na je

Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Srdjan Vukmirović, Tijana Šukilovic, Marijana Babić januar Teorijska pitanja

Аутор овог документа је Петар Аврамовић. Слободно га можете читати, размењивати, копирати, штампати али само као цео документ. у циљу сазнавања нечег

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 28. veljače AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJER

Nermin Hodzic, Septembar, Inverzija 1 Notacija: -Preslikavanje I(A) = A 1,za koje vrijedi OA OA 1 = r 2, i tacka A 1 se nalazi na zraki OA,naziv

Талесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су a и b две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да

Ministarstvo znanosti i obrazovanja Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1

Natjecanje 2016.

JEDNAKOSTI I JEDNAČINE,

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta Poreč, 29. ožujka Zadatak A-1.1. Ana i Vanja stoje zajedno kraj željezničke

Zadaci iz Nacrtne geometrije za pripremu apsolvenata Srdjan Vukmirović 27. novembar Projektivna geometrija 1.1 Koordinatni pristup 1. (Zadatak

Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Tijana Šukilović, Miloš Antić, Nenad Lazić 19. decembar Teorijska pitanja 1. V

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja)

PRAVILA ZA POLAGANjE ISPITA IZ NUMERIQKE ANALIZE U TOKU SEMESTRA 1. Ispit se sastoji iz pismenog i usmenog dela. Pismeni deo ispita je eliminatoran. 2.

1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan

PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA RAČUNARSKE NAUKE Utorak, godine PRIJEMNI ISPIT IZ INFORMATIKE 1. Koja od navedenih ekste

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 28. veljače razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI

Microsoft Word - 6ms001

Skripte2013

VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

Microsoft Word - O nekim klasicnim kvadratnim Diofantovim jednacinama.docx

1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K.

СТЕПЕН појам и особине

My_P_Trigo_Zbir_Free

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN Odrediti

Konstrukcija i analiza algoritama Nina Radojičić februar Analiza algoritama, rekurentne relacije 1 Definicija: Neka su f i g dve pozitivne fun

My_ST_FTNIspiti_Free

Pripreme 2016 Indukcija Grgur Valentić lipanj Zadaci su skupljeni s dva predavanja na istu temu, za učenike od prvog do trećeg razreda i za MEMO

(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)

Matematika 1 - izborna

СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за векто

Rokovi iz Matematike 1 za studente Fakulteta za fiziqku hemiju Ivan Dimitrijevi, Tijana Xukilovi 1. Rexiti jednaqinu z 4 + i 1 i+1 = 0. MATEMATIKA 1 {

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.

PRVI KOLOKVIJUM Odrediti partikularno rexee jednaqine koje zadovo ava uslov y(0) = 0. y = x2 + y 2 + y 2xy + x + e y 2. Odrediti opxte rexee

Шифра ученика: Укупан број бодова: Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ и технолошког РАзвоја ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСП

Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine

MATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29

My_P_Red_Bin_Zbir_Free

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА у = kх + n А утврди 1. Које од наведених функција су линеарне: а) у = 2х; б) у = 4х; в) у = 2х 7; г) у = 2 5 x; д)

MAT-KOL (Banja Luka) Matematički kolokvijum XIV(3)(2008), DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE Dr Šefket Arslanagić 1 i Alija Miminagić 2

1 Ministarstvo za obrazovanje, nauku i mlade KS ISPITNI KATALOG ZA EKSTERNU MATURU U ŠKOLSKOJ 2016/2017. GODINI MATEMATIKA Stručni tim za matematiku:

Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3

Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMAT

LOKALNI EKSTREMUMI FUNKCIJE TRI PROMENLjIVE Rexeni primeri i zadaci za veжbu Dragan ori Funkcije tri promenljive Funkcija f : X R, gde je X R 3 otvoren

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА школска 2013/

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВН

Univerzitet u Nixu Prirodno-matematiqki fakultet Departman za matematiku Tenzorska analiza u teoriji relativnosti Master rad Mentor: Prof. Dr Ljubica V

Microsoft Word - 15ms261

gt3b.dvi

Analiticka geometrija

Univerzitet u Nixu Prirodno - matematiqki fakultet Departman za matematiku Karakterizacije geodezijskih preslikavanja Rimanovih prostora (MASTER RAD) M

Microsoft Word - NULE FUNKCIJE I ZNAK FUNKCIJE.doc

Microsoft Word - Rjesenja zadataka

Microsoft Word - z4Ž2018a

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i

18 1 DERIVACIJA 1.3 Derivacije višeg reda n-tu derivaciju funkcije f označavamo s f (n) ili u Leibnizovoj notaciji s dn y d x n. Zadatak 1.22 Nadite f

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 29. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (

Транскрипт:

Pripremni kamp - Avala, 1-7. februar 013. Zadaci za samostalan rad (pripremio Duxan uki ) Algebra 1. Realni brojevi a, b, c zadovoljavaju (a+b)(b+c)(c+a) = abc i (a 3 +b 3 )(b 3 +c 3 )(c 3 +a 3 ) = a 3 b 3 c 3. Dokazati da je abc = 0.. Na i sve funkcije f : R R takve da za sve x, y R vaжi f(xy) xf(y). 3. Definiximo a 0 = 013 i a n+1 = a n a n +1 za n = 1,,.... Dokazati da je [a 1000] = 1013. 4. Neka su x 1, x,..., x n realni brojevi u intervalu [0, 1]. Odrediti najve u mogu u vrednost izraza x 1 (1 x ) + x (1 x 3 ) + + x n (1 x 1 ). 5. Koliko puta funkcija f(x) = cos x cos x cos x 3 cos x 009π 009 menja znak na intervalu [0, ]? 6. Ako su a, b, c pozitivni brojevi sa abc 1, dokazati da je 1+a 1+b + 1+b 1+c + 1+c 1+a a + b + c. 7. Neka su a 1, a,..., a n nenegativni realni brojevi i neka je a 1 + a + + a k k za svako k. Dokazati da je a 1 + a + + a n 1 4 (1 + 1 + + 1 n ). 8. Postoje li brojevi a, b, c razliqiti od nule takvi da za svako n > 3 moжe da se nađe polinom oblika x n + + ax + bx + c sa taqno n (ne obavezno razliqitih) celih nula? Geometrija 9. Dat je romb ABCD i taqke M i N na duжima AC i BC redom tako da je DM = MN. Prava DN seqe AC u P, a prava DM seqe AB u R. Dokazati da je DP = P R. 10. U qetvorougao ABCD upisan je krug sa centrom O, pri qemu je OA = 5, OB = 6, OC = 7 i OD = 8. Ako su M i N sredixta dijagonala AC i BD redom, odrediti odnos OM/ON. 11. Neka su M i N redom sredixta stranica AB i AC trougla ABC, a D podnoжje visine iz A. Opisani krugovi trouglova BDN i CDM seku se u taqki P D. Dokazati da prava P D polovi duж MN. 1. Taqka M unutar konveksnog qetvorougla ABCD je takva da su AM B i CM D jednakokraki trouglovi sa uglovima kod M jednakim 10. Dokazati da postoji taqka N takva da su trouglovi BNC i DNA jednakostraniqni. 13. Neka je P taqka unutar oxtrouglog trougla ABC takva da je P AB = P CA i P AC = P BA. Ako je D sredixte duжi AB, dokazati da je AP D = ACB. 14. U trouglu ABC, simetrala ugla kod C seqe stranicu AB u C 1. Normala iz C 1 na pravu BC seqe opisani krug trougla u taqki K (na suprotnoj strani prave BC u odnosu na C 1 ). Normala iz C na AK seqe AB u taqki L. Dokazati da prava KL sadrжi sredixte luka AB (koji ne sadrжi C). 15. Oznaqimo sa O i I redom centre opisanog i upisanog kruga trougla ABC. Spolja pripisani krug ω a dodiruje produжetke stranica AB i AC redom u K i M, a stranicu BC u N. Pretpostavimo da sredixte P duжi KM leжi na opisanom krugu trougla. Dokazati da su taqke O, I i N kolinearne. 16. U trouglu ABC, simetrale unutraxnjih uglova kod A i B seku naspramne stranice u D i E redom. Dokazati da je DE (3 8)(AB + BC + CA). Na i uglove trougla u kome vaжi jednakost.

Kombinatorika 17. Kvadrat stranice podeljen na jediniqne kvadrate moжe se nacrtati crtanjem tri kvadrata: dva naspramna ugaona i veliki kvadrat. Koliko je najmanje kvadrata potrebno nacrtati da bi se dobio kvadrat stranice n podeljen na jediniqne kvadrate? 18. Iz kvadratne table 01 01 iseqeno je jedno jediniqno polje. Dokazati da je ostatak table mogu e poploqati L-trominima (tj. figurama oblika ). 19. Dato nam je 1 kutija i dovoljan broj crvenih, plavih i belih kuglica. Жelimo da stavimo po jednu kuglicu u svaku kutiju tako da je, za svaku kuglicu, bar jedna od susednih iste boje. Na koliko naqina se ovo moжe uqiniti? 0. U jednom koraku moжemo da izmenimo skup S X = {1,,..., n} na jedan od slede ih naqina: (i) ubacimo 1 ako 1 S; (ii) izbacimo n ako n S; ili (iii) izbacimo r i ubacimo r + 1 ako je r takvo da r S i r + 1 S. Pretpostavimo da postoji niz od n 1 koraka u kojem od skupa dolazimo do skupa {n}, usput prolaze i kroz svaki podskup skupa X taqno jednom. Dokazati da je n + 1 stepen dvojke. 1. U unutraxnjosti konveksnog 100-ugla odabrano je k taqaka, k 50. Dokazati da se moжe odabrati k temena 100-ugla tako da njima određen k-tougao sadrжi svih k taqaka u svojoj unutraxnjosti.. Mogu li se svi celi brojevi podeliti u tri disjunktna skupa tako da, za svako n Z, brojevi n, n 6 i n + 3 6 leжe u tri razliqita skupa? 3. Na teniskom turniru uqestvuje 14 igraqa i svaka dva igraju taqno jedan meq. Trojku igraqa (a, b, c) zovemo trouglom ako je a pobedio b, b pobedio c i c pobedio a. Koliko najvixe trouglova moжe biti na ovom turniru? 4. Posmatrajmo sve podskupove skupa {1,,..., n} koji ne sadrжe dva uzastopna broja, i za svaki od njih izraqunajmo njegov proizvod elemenata. Dokazati da je zbir kvadrata ovih proizvoda jednak (n + 1)! 1. Teorija brojeva 5. Rexiti jednaqinu 4 a + 5 b + 6 c = 7 d u skupu nenegativnih celih brojeva. 6. Na i sve prirodne brojeve k za koje jednaqina x(x + k) = y(y + 1) ima rexenja u skupu prirodnih brojeva. 7. Za dati prirodan broj n odrediti nzd( ( ( n 1), n ) (,..., n n 1) ). 8. Da li postoji permutacija (a 1, a,..., a 013 ) brojeva 1,,..., 013 takva da je a i a j a j a k za sve 1 i < j < k 013? 9. Funkcija f : N N je određena induktivno sa f(1) = 1, f() = i f(n + 1) = f(n + 1 f(n)) + f(n f(n 1)) za n. Na i sve n za koje je f(n) = 0. 30. Na i sve prirodne brojeve n koji se mogu predstaviti u obliku n = a bc + b a, b, c prirodni brojevi. ca + c ab, gde su 31. Dat je prirodan broj n. Ceo broj a > n je takav da se među brojevima a+1, a+,..., a+n nalazi sadrжalac svakog od brojeva n + 1, n +,..., n + n. Dokazati da je a > n 4 n 3. 3. Dokazati da postoji beskonaqno mnogo parova razliqitih prostih brojeva (p, q) takvih da p q 1 1 i q p 1 1.

Rexenja 1. Pretpostavimo da je abc 0. Deljenjem druge jednakosti prvom dobijamo (a ab + b )(b bc + c )(c ca + a ) = a b c. S druge strane, vaжi x + y xy xy + xy, tj. x xy + y xy, uz jednakost ako i samo ako je x = y. Sledi da je (a ab+b )(b bc+c )(c ca+a ) ab bc ca = a b c, i da jednakost vaжi samo ako je a = b = c. Međutim, tada iz 8a 3 = (a+b)(b+c)(c+a) = abc = a 3 sledi a = 0, pa je opet abc = 0.. Kao prvo, f(0) xf(0), tj. (x 1)f(0) 0 za sve x, odakle je f(0) = 0. Oznaqimo f(1) = A i f( 1) = B. Iz uslova zadatka je f(x) xf(1) = Ax i f( x) xf( 1) = Bx za sve x. S druge strane, iz A = f(x 1 x ) 1 x f(x) i B = f( x 1 x ) 1 x f( x) za x > 0 dobijamo Ax f(x) i Bx f( x). Odavde sledi f(x) = Ax i f( x) = Bx za x > 0. Pri tom iz f(1) 1 f( 1) dobijamo A B. Prema tome, f(x) = { Ax za x 0, i Bx za x < 0, gde je A B. Dokaжimo da sve ovakve funkcije zadovoljavaju uslov zadatka: (1) za x, y 0 je f(xy) = Axy = yf(x); () za x, y < 0 je xy 0 i f(xy) = Axy Bxy = yf(x); (3) za x 0 > y je xy 0 i f(xy) = Bxy Axy = yf(x); i (4) za x < 0 y je xy 0 i f(xy) = Bxy = yf(x). 3. Iz uslova zadatka je a n+1 = a n 1 + 1 a n +1, odakle je a 1000 = a 0 1000 + 999 1 n=0 a n +1. Odavde odmah sledi da je a 1000 > 1013; xta vixe, a n > 1013 za n 999, pa je a 1000 1013 = 999 1 n=0 a n +1 < 1000 1013 < 1. 4. Oznaqimo dati izraz sa I = I(x 1,..., x n ). Ako fiksiramo sve promenljive osim x i, I postaje linearna funkcija po x i, i prema tome uzima maksimalnu vrednost za x i = 0 ili x i = 1. Ovako moжemo pretpostaviti bez smanjenja opxtosti da su svi x i {0, 1}. Sabirak x i (1 x i+1 ) je jednak 1 za (x i, x i+1 ) = (1, 0), a u suprotnom je nula. Sledi da je vrednost I jednaka broju parova uzastopnih qlanova (1, 0) u nizu (x 1, x,..., x n, x 1 ). Kako su svi takvi parovi međusobno disjunktni, njih moжe biti najvixe [ n ], te je I [ n ]. Ova vrednost se dostiжe npr. ako je x 1 = x 3 = = 1 i x = x 4 = = 0. 5. Zbog neprekidnosti funkcije f(x), ona moжe da promeni znak samo tamo gde uzima vrednost 0, a to su taqke x n = nπ za n = 0, 1,,..., 009. Funkcija cos x m menja znak samo u taqkama x (k+1)m, k Z. To znaqi da je broj kosinusa u zapisu f(x) koji menjaju znak u taqki x n jednak broju neparnih delilaca broja n. Pri tom f(x) menja znak u x n ako i samo je broj tih delilaca neparan. Ako napixemo n = k n 1, n 1, broj neparnih delilaca broja n jednak je broju svih delilaca broja n 1, a on je neparan ako i samo ako je n 1 kvadrat. Sledi da f(x) menja znak samo u taqkama x n za koje je n ili n/ potpun kvadrat. Takvih brojeva n ima taqno [ [ 009]+ Dakle, odgovor je 75. 6. Data nejednakost je ekvivalentna sa 3 (1 + a) + (1 + b) + (1 + c) 1+a (1+a)b 1+b + (1+b)c 1+c + (1+c)a 1+a (1 + a)b 1 + b + 009 ] = 44+31 = 75. 1+b 1+b 1+c 1+c 1+a =. Međutim, ovo odmah sledi iz nejednakosti između sredina: (1 + b)c 1 + c + (1 + c)a (1 + a)b 1 + a 3 (1 + b)c (1 + c)a 3 1 + b 1 + c 1 + a = 3 3 abc 3. 7. Oznaqimo s k = a 1 + a + + a k. Dato nam je s k k, a izraz koji treba oceniti je S = s 1 + (s s 1 ) + + (s n s n 1 ) = s 1 s 1 s + s s s 3 + + s n 1 s n 1 s n + s n.

Po A-G nejednakosti, za svako k = 1,..., n 1 vaжi k+1 k s k s ks k+1 + k k+1 s k+1 0, uz jednakost ako je s k s k+1 = k k+1 ovih nejednakosti dobijamo ( S ( )s 1 + (primetite kako smo izabrali koeficijente!). Sabiranjem 1 + 3 ) s + + ( ) ( n + n s n 1 + 1 n 1 ) n 1 s n n. Imaju i u vidu da je s k k i > 1 4 + 1 4n, traжena nejednakost e odmah slediti ako dokaжemo da je k 1+ k+1 k 1 4k, xto se direktno dokazuje. 8. Pretpostavimo da za svako n postoji takav polinom P n (x). Po Vijetovim formulama, a, b, c su celi brojevi i proizvod nula polinoma P n je ±c. Kako se c moжe rastaviti na proizvod celih brojeva razliqitih od ±1 na samo konaqno mnogo naqina, neko razlaganje e se ponoviti, tj. postoje polinomi P m i P n (m > n) qije se nule razlikuju samo u broju nula jednakih ±1. Zbirovi reciproqnih vrednosti nula P m i P n su jednaki b c, ali oni se razlikuju samo u sabircima jednakim ±1; sledi da qinilaca x 1 i x+1 u rastavljanju koliqnika P m(x) P n (x) ima jednak broj, tj. P m (x) = (x 1) d (x + 1) d P n (x) = (x 1) d P n (x). Kako je (x 1) d = x d + ( 1) d 1 dx + ( 1) d, upoređivanjem koeficijenata u P m i (x 1) d P n dobijamo c = ( 1) d c (odavde d) i a = ( 1) d a + ( 1) d 1 dc = a dc, xto je nemogu e jer su c, d 0. 9. Kako je M taqka preseka simetrale ugla DCN i stranice DN, ona leжi na opisanom krugu CDN, tj. qetvorougao CDMN je tetivan. Sada je RMN = DCN = 180 RBN, dakle B, R, M, N su na krugu. Osim toga, 180 MP N = CMN + DNM = CDN + DCM = CDN + MCN = CDM = MBC, pa je i P na krugu BRMN. Sada iz AP R = MBR = ADM zakljuqujemo da je P na opisanom krugu ADR, i to (zbog DAP = P AR) u sredixtu luka DR, odakle je DP = P R. 10. Neka upisani krug dodiruje AB, BC, CD, DA redom u taqkama E, F, G, H, i neka su P, Q, R, S redom sredixta duжi HE, EF, F G, GH. Qetvorougao P QRS je paralelogram, pa P R i QS imaju zajedniqko sredixte K. Taqka P leжi na OA i OAE OEP, odakle je OA/OE = OE/OP, tj. OP = r, gde je r polupreqnik upisanog kruga. Analogno je OR = r OC koeficijentom sliqnosti OA OC r Prema tome, OM ON OA OA OC, pa je OR/OA = OP/OC = r, tj. trouglovi ORP i OAC su sliqni sa. Zato je i OM = OA OC r OK; analogno, ON = OB OD r OK. = OA OC OB OD = 48 35. 11. Prava P D je radikalna osa krugova k 1 (BDN) i k (CDM), pa je dovoljno pokazati da sredixte K duжi MN ima jednaku potenciju u odnosu na oba kruga. Neka krugovi k 1 i k ponovo seku pravu MN u taqkama P i Q. Tada su P BDN i QCDM cikliqni trapezi, pa je P B = DN = CN i QC = DM = BM, dakle P BCN i QCBM su paralelogrami i P N = MQ = BC, tj. P K = KQ. Sada je potencija taqke K u odnosu na oba kruga jednaka KP KN = KQ KM. 1. Neka se dijagonale AC i BD seku u E. Rotacijom oko M za 10, trougao AMC se slika u trougao BMD, pa je AC = BD i ( AC, BD) = AEB = 10, tj. AED = 60. Posmatrajmo taqku N na krugu AED takvu da je AN D jednakostraniqan. Zbog NAC = NDB i AC = DB, trouglovi ANC i DNB su podudarni, pa je NB = NC i NBD = NCA, odakle su taqke B, C, E, N na krugu i BNC = BEC = 60, dakle i BN C je jednakostraniqan. Drugo rexenje. Konstruiximo jednakostraniqne trouglove AND i BN C ka unutraxnjosti qetvorougla. Direktna izometrija I = R M,10 R N,60 ima obrtni ugao 180 i slika taqku A preko taqke D u C, pa je to centralna simetrija u odnosu na sredixte K duжi AC. Sliqno, i izometrija I = R M,10 R N,60 je centralna simetrija u odnosu na K (jer slika C preko B u A), odakle sledi da je N N.

13. Neka je Q taqka simetriqna taqki P u odnosu na D. Zbog QBA = P AB = P CA i QAB = P BA = P AC, trouglovi QAB i P AC su sliqni, pa je AQ AP = AB AC, xto zajedno sa QAP = BAC daje sliqnost trouglova AQP i ABC. Odavde je AP D = AP Q = ACB. 14. Kako je CKC 1 = 90 BCK = 90 LAK = CLC 1, taqke C 1, C, K, L leжe na krugu. Sada je AKL = 90 KLC = 90 KC 1 C = C 1 CB = 1 C = 1 AKB, pa je KL simetrala ugla AKB i prolazi kroz sredixte luka AB. 15. Za AB = AC, tvrđenje je trivijalno, pa zato pretpostavljamo da je AB AC, tj. KM BC. Oznaqimo sa R polupreqnik opisanog kruga, a sa I a i r a centar i polupreqnik ω a. Zbog AK = AM, prava AP je simetrala ugla BAC, pa je P sredixte luka BC opisanog kruga. Tada je P I = P I a, pa je P centar kruga BICI a nad preqnikom II a. Odatle je P I a = P B = R sin α. S druge strane, I akp = I a KP = α i I ap K = 90, pa je P I a = r a sin α. Odavde je r a = R, tj. I a N = P O. Kako je I a N P O, duж P O je srednja linija u troulu II a N, dakle O je sredixte duжi IN. 16. Neka prava kroz sredixte M duжi DE seqe stranice CB i CA u P i Q redom. Pokaжimo da je DE P Q. Pretpostavimo bez smanjenja opxtosti da je CA CB. Lako se pokazuje da je CDE > CP Q, pa postoji taqka P na zatvorenoj duжi MP takva da je MP D = MEQ. Taqke D, E, P, Q leжe na nekom krugu sa centrom O i polupreqnikom r, pri qemu je OM DE. Ako je N podnoжje normale iz O na P Q, vaжi ONM = 90, pa je ON OM i odatle DE = 4(r OM ) 4(r ON ) = P Q P Q. Izraqunajmo sada P Q. Ako oznaqimo AB = c, BC = a, CA = b, imamo da je CE CA = a a+c, CD CB = b b+c i P Q AB = ( 1 CE CA + ) ( ) CD CB, dakle P Q = 1 ac a+c + bc b+c. Kako je (a + c)(a + c) = a + 3ac + c (3 + 8)ac i analogno (b + c)(b + c) (3 + 8)bc, dobijamo DE P Q 1 ( b + c 3 + 8 + a + c ) 3 + = (3 8)(a + b + c). 8 Jednakost vaжi kada je c = a = b, tj. kada su uglovi 45, 45, 90. 17. Neka je n 3. Posmatrajmo stranice jediniqnih kvadrata sa po taqno jednim krajem na stranici velikog kvadrata. Ovakvih duжi ima 4(n 1), i svaki kvadrat koji nacrtamo moжe da pokrije najvixe dve od tih duжi. Zato nam je potrebno bar (n 1) kvadrata. Ovaj broj se moжe dosti i na slede i naqin. Nacrtajmo sve kvadrate stranica n 1, n,..., [ n ] + 1 sa jednim temenom u temenu velikog kvadrata. Jox za n docrtajmo dva kvadrata stranice n sa po jednim temenom u naspramnim temenima velikog kvadrata. Ovako smo nacrtali ukupno n kvadrata koji zadovoljavaju uslove. 18. Ako tvrđenje iz zadatka vaжi za tablu stranice n 6, onda vaжi i za tablu stranice n + 6. Ovo sledi iz qinjenice da se, ako se iz kvadrata stranice n + 6 iseqe kvadrat stranice n, ostatak moжe pokriti pravougaonicima 3, od kojih se svaki sastoji od dva L-trimina. Ostaje da pokaжemo tvrđenje za n = 8. Izrezano polje pripada jednom od ugaonih kvadrata 4 4. Ostatak table se poploqava kao na slici, pa se tvrđenje ovako svodi na sluqaj n = 4. Sliqno svodimo sluqaj n = 4 na trivijalan sluqaj n =... n n (n + 6) (n + 6) 8 8 Sada tvrđenje za n = 01 sledi jednostavnom indukcijom. 19. Oznaqimo sa a n broj traжenih rasporeda u n kutija. Radi kra eg zapisa, kuglicu u k-toj kutiji zovemo kuglicom k. Ako ima n kutija, kuglice n 1 i n moraju da budu iste boje. Razlikujemo dva sluqaja. (i) Kuglice n i n 1 su iste boje. Tada raspored kuglica od 1 do n 1 zadovoljava uslove, a boja kuglice n je jednoznaqno određena. Ovakvih rasporeda ima a n 1.......

(ii) Kuglica n nije iste boje kao n 1, ali je iste boje kao n 3. Tada raspored kuglica od 1 do n zadovoljava uslove, a boju kuglica n 1 i n moжemo da odaberemo na dva naqina (iste su boje, i razliqite od kuglice n ). Zato ovakvih rasporeda ima a n. Sledi da je a n = a n 1 + a n za n > 3. Pri tom je a = a 3 = 3. Odavde direktno izraqunavamo a 1 = 049. Uopxte, a n = n 1 + ( 1) n. 0. U svakom koraku, zbir elemenata skupa S se pove ava za 1 ili smanjuje za n, dakle, pove ava se za 1 po modulu n + 1. Kako se iz praznog skupa posle n koraka ponovo dobija prazan skup, sledi da je n 0 (mod n + 1), tj. n + 1 n, xto znaqi da je n + 1 stepen dvojke. 1. Oznaqimo dati 100-ugao sa P = P 1 P... P 100. Za k = tvrđenje je taqno: ako su A 1, A date taqke, onda prava seqe neke dve stranice a i b mnogougla P; ove dve stranice određuju qetvorougao koji sadrжi obe taqke. Pretpostavimo da tvrđenje vaжi za neko k i neka je dato k + 1 taqaka A 1, A,..., A k+1. Po indukcijskoj pretpostavci, postoji k-ugao P k = P i1 P i... P ik (i 1 < < i k ) koji sadrжi taqke A 1,..., A k. Ako P k sadrжi A k+1, tvrđenje trivijalno vaжi i za k + 1. U suprotnom, A k+1 leжi u jednom od najvixe k mnogouglova koje stranice P k odsecaju od P; neka je to (bez smanjenja opxtosti) mnogougao odseqen stranicom P i1 P i. Neka prava P i1 A k+1 seqe stranicu P j P j+1 100-ugla P. Tada (k + )-ugao P i1 P j P j+1 P i... P ik sadrжi sve taqke A i, i = 1,..., k + 1.. Za dato n, brojevi n 64, n, n + 79 pripadaju razliqitim podskupovima. Po uslovu zadatka za n 64 i n + 79, dobijamo da su n 64, n 18, n + 665, odnosno n + 665, n + 79, n + 1458, u razliqitim podskupovima. Sledi da n + 665 nije u istom podskupu ni sa n 64 ni sa n + 79, pa mora da leжi u podskupu koji sadrжi n. To znaqi da su sva tri podskupa periodiqna po modulu 665. Dalje, n+64 i n+79 su u istom podskupu, pa po uslovu zadatka imamo da su n 64, n, n+64 u tri razliqita podskupa; na isti naqin, n, n+64, n+18 su u razliqitim podskupovima, xto znaqi da su n 64 i n + 18 u istom podskupu, tj. podskupovi su periodiqni i po modulu 19. Kako je (19, 665) = 1, zakljuqujemo da svaki od tri podskupa ima period 1, xto je nemogu e. 3. Ukupno ima ( ) 14 3 = 364 trojki; prebroja emo one koje nisu trouglovi. Oznaqimo sa ai broj pobeda i-tog igraqa; zbir a 1 + + a 14 je jednak ( ) 14 = 91. Ako trojka igraqa nije trougao, onda je jedan od ta tri igraqa ( pobednik ) pobedio druga dva. Tako trojki koje nisu trouglovi, a u kojima je pobednik a i, ima taqno ( a i ) (. To daje ukupno S = ai ) i trojki koje nisu trouglovi. Broj trouglova je maksimalan onda kada je S minimalno (uz uslov a i = 91). Kako je ( a i 1) ( + aj+1) ( = ai ) ( + aj ) (ai a j 1) za a i a j > 1, zbir S je najmanji kada se svi a i razlikuju za najvixe 1, tj. kada je među njima po sedam jednakih 6 i 7: tada je S = 7 ( ( 6 ) + 7 7 ) = 5, pa imamo 364 5 = 11 trouglova. Taj broj se zaista moжe dosti i, npr. kada je i-ti igraq pobedio igraqe i + 1,..., i + 6 za i = 1,,..., 14 (indeksi su po modulu 14). Tada po sedam igraqa ima 6 i 7 pobeda. 4. Oznaqimo traжeni zbir sa s n. Za n = 1, direktno proveravamo da je s n = (n + 1)! 1. Neka je n >. Zbir po onim podskupovima skupa {1,..., n} koji ne sadrжe n jednak je s n 1. Zbir po podskupovima razliqitim od {n} koji sadrжe n (i ne sadrжe n 1) jednak je n s n. Zato je s n = s n 1 + n s n + n, i tvrđenje se dokazuje jednostavnom indukcijom. 5. Za c > 0, po modulu 3 jednaqina se svodi na 1 + b + 0 1, tj. b 0 (mod 3) xto je nemogu e. Dakle, c = 0. Ako je sada a > 0, leva strana je parna, a desna neparna, opet kontradikcija, pa mora da bude a = 0. Data jednaqina se svodi na 5 b + = 7 d. Ako je b > 1, imamo 7 d (mod 5). Međutim, mogu i ostaci 7 d pri deljenju sa 5 su samo ±7 i ±1, pa tada nema rexenja. Ostaje jedino sluqaj b 1, i tada kao jedino rexenje imamo (a, b, c, d) = (0, 1, 0, 1).

6. Mnoжenjem sa 4 i dodavanjem k dobijamo k 1 = (x + k) (y + 1) = a b = uv, gde je u = a b, v = a + b, tj. x = u+v k i y = v u 1. Pokaza emo da rexenje (x, y) u N postoji ako i samo ako je k = 1 ili k 4. Za k = 1 svaki par (x, y) je trivijalno rexenje. Za k = i k = 3 jednaqina postaje a b = 3, odnosno a b = 8, qije je jedino rexenje (a, b) = (, 1), odnosno (3, 1). U oba sluqaja je y = 0, dakle tada nemamo rexenja. Za parno k 4 dovoljno je uzeti u = 1 i v = k 1, tj. (x, y) = ( k 4 k, k 4 1). Za neparno k 5 uzimamo u = i v = k 1 i dobijamo (x, y) = ( k 4k+3 8, k 9 8 ). 7. Oznaqimo traжeni NZD sa d. Po uslovu zadatka, d n. Pretpostavimo da je d > 1 i da je p prost delilac broja d. Neka je n = p k n 1, p n 1. Ako je n 1 > 1, onda broj ( ) n p = k p k p k (n 1 1)+i i=1 i nije deljiv sa p, jer brojioci razlomaka pk (n 1 1)+i i nakon skra ivanja nisu deljivi sa p, kontradikcija. Prema tome, d = 1 ako n nije stepen broja p. Za n = p k je ( p k m) = p k m m 1 i=1 p k i i. Nakon skra ivanja, brojioci i imenioci razlomaka i nisu deljivi sa p, pa je stepen p u kanonskom razvoju ( p m) k jednak stepenu p u p k m. p k i Sledi da p ( p k m ) za 1 m < p k i da p ( p k p k 1 ), pa je u ovom sluqaju d = p. 8. Dokaza emo indukcijom da za svako n N postoji permutacija brojeva 1,,..., n sa traжenim svojstvom. Za n = 1, to je trivijalno. Neka je n = m, m N. Po induktivnoj pretpostavci postoji permutacija (a 1,..., a m ) brojeva 1,..., m sa traжenim svojstvom. Pokaжimo da je tada (b 1,..., b n ) = (a 1,..., a m, a 1 1,..., a m 1) жeljena permutacija brojeva 1,..., n. Zaista, ako je b i b j = b j b k za i < j < k, onda po konstrukciji b i, b j, b k ne mogu da budu svi parni ili svi neparni, pa sledi da je b i paran i b k neparan, ali tada b j = b i+b k nije ceo broj. Za n = m 1 uslov zadovoljava permutacija koja se dobije kad se iz odgovaraju e permutacije za m izbrixe element m. Ovim je indukcija zavrxena. 9. Prvih nekoliko vrednosti funkcije f su 1,,, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 8. Dokaza emo indukcijom po n da vaжi (za k N) (1 ) n + 1 { f(n) n i ( f(n ) f(n) = k + 1) + k 1 za k n < k+1 1, k za n = k+1 1. Za n ovo je trivijalno. Pretpostavimo da vaжi za 1,,..., n 1 i da je k + n k+1. Iz x+1 f(x) x za x < n sledi n f(n 1), n 1 f(n ) [ k 1, k 1). Primenom ( ) nekoliko puta dobijamo f(n) = f(n f(n 1)) + f(n 1 f(n )) = f(n k 1 f(n k )) + f(n k 1 1 f(n k 1)) = f(n k + 1 f(n k )) + k + f(n k f(n k 1)) + k = f(n k + 1) + k 1. Odavde je n n k +1+ k 1 f(n) n k + + k 1 > n+1, qime je dokazano i (1 ). Najzad, ako je k 1 n k + 1, koriste i rekurentnu formulu i ( ) direktno izraqunavamo f u taqkama k 1, k, k + 1, k 1 + 1, k 1 + i indukcija je gotova. Ako je f(n) = 0, onda je 0 n 1 1, pa je f(n 0 + 1) = 19 ili n = 1 1. Nastavljaju i ovaj postupak, nalazimo da je f(n) = 0 1 1 n 1 1. 30. Jednaqina iz zadatka je ekvivalentna sa a + b + c = nabc. Za dato n, posmatrajmo rexenje (a, b, c) u N sa najmanjim zbirom a + b + c, i neka je a b c. Kako je (a, b, nab c) takođe rexenje te jednaqine (kao kvadratne po c), zbog nab c = a +b c > 0 mora biti a +b c c, tj. b a + b c. Odavde je a + b + c < bc + bc + bc 4abc, pa je n < 4. Za n = nema rexenja. Zaista, na osnovu prethodnog bi u najmanjem rexenju moralo da bude a = 1, bar jedan od b, c je paran, pa 4 b + c + 1, xto je nemogu e. Za n = 1 i n = 3 ima rexenja: to su, na primer, redom (3, 3, 3) i (1, 1, 1).

31. Neka je a i (n + i) sadrжalac broja n + i među brojevima a + 1,..., a + n. Zbog a > n je a 1 1. Primetimo da ne moжe da vaжi a 1 a a n - u suprotnom bi bilo n 1 a n (n + n) a 1 (n + 1) a 1 (n 1), xto je nemogu e. Zato je a i > a i+1 za neko i, a tada je n 1 a i (n + i) a i+1 (n + i + 1) a i (n + i) (a i 1)(n + i + 1) = n + i + 1 a i, dakle a i n n + 3. To znaqi da je a + n (n n + 3)(n + i) > n (n n + 3), odakle sledi a > n 4 n 3. 3. Za n N, n > 1, odaberimo proizvoljne proste delioce p n + 1 i q n+1 + 1. Poredak dvojke po modulu p je n+1, odakle n+1 p 1. Xta vixe, po Ojlerovom kriterijumu je p 1 ( p ) = ( 1) p 1 8 = 1 (mod p), pa n+1 p 1, tj. n+ p 1. Analogno, n+3 q 1. Sada oqigledno p n+1 1 q 1 i q n+ 1 p 1 1. Drugo rexenje. Koristi emo neke poznate osobine ciklotomiqnih polinoma: n-ti ciklotomiqni polinom Φ n (x) = 0 k<n (x e ikπ n ) je moniqan polinom stepena φ(n) sa celim (k,n)=1 koeficijentima koji deli x n 1. Pokazuje se da, ako je a Z i p prost delilac Φ n (a), onda ili p n, ili je poredak δ p (a) broja a po modulu p jednak n (dakle, n p 1). Pri tom, ako p n, onda p 1 Φ n (a). Odavde sledi da, ako je Φ n (a) > n, onda Φ n (a) ima bar jedan prost delilac p sa δ p (a) = n p 1. Za n 7 je Φ n () > n. Posmatrajmo proizvoljan prost broj p > 7 takav da je p ±1 (mod 8). Broj Φ p 1 () p ima bar jedan prost delilac q sa p 1 q 1, odakle p p 1 1 q 1 1. Po Ojlerovom kriterijumu je p 1 1 (mod p), tj. δ p () p 1, i zato je q p. Kako q Φ p 1 () p 1 1, par (p, q) zadovoljava uslove zadatka.