Zadatak 6 (Mirko, elektrotehnička škola) Rješenje 6 Odredite sup S, inf S, ma S i min S u skupu R ako je S = { R } a b = a a b + b a b, c < 0 a c b c. ( ), : 5. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Za broj 0 kažemo da je nultočka (korijen) funkcije f ako vrijedi f ( ) = 0. Neka je U univerzalni skup, te A i B proizvoljni skupovi koji su podskupovi skupa U. Tada je: A B unija skupova A i B, A B = { U : A ili B} unija skupova A i B, A B A U B Unija dva ili više skupa je skup koji se sastoji od svih elemenata zadanih skupova. A B presjek skupova A i B, U : A i B presjek skupova A i B, A B = { } A B A B Presjek dva ili više skupa je skup koji se sastoji od zajedničkih elemenata zadanih skupova. Za neprazan skup S R kažemo da je odozgo ograničen, ako postoji bar jedan realan broj M takav da je M za svako S. Svaki broj M sa navedenim svojstvom zove se majoranta (gornja ograda, gornja međa) skupa S. Ako skup S nije odozgo ograničen kažemo da je odozgo neograničen. Realan broj s zove se supremum nepraznog odozgo ograničenog skupa S R, ako s ima ova dva svojstva: ) s je majoranta od S, tj. s za svako S ) s je najmanja majoranta od S, tj. ako je a R i a < s, onda postoji bar jedan element S takav da je a <. Supremum skupa S označava mo sup S. Ako je s S supremum se zove maksimum ili najveća vrijednost, ma S. Primjer sup a, b = ma a, b = b, sup a, b = b [ ] [ ] ] ] sup a, b = ma a, b = b, sup a, b = b
Za neprazan skup S R kažemo da je odozdo ograničen, ako postoji bar jedan realan broj i takav da je i za svako S. Svaki broj i sa navedenim svojstvom zove se minoranta (donja ograda, donja međa) skupa S. Ako skup S nije odozdo ograničen kažemo da je odozdo neograničen. Realan broj i zove se infimum nepraznog odozdo ograničenog skupa S R, ako i ima ova dva svojstva: ) i je minoranta od S, tj. i za svako S ) i je najveća minoranta od S, tj. ako je a R i a > i, onda postoji bar jedan element S takav da je a >. Infimum skupa S označavamo inf S. Ako je i S infimum se zove minimum ili najmanja vrijednost, min S. Primjer inf a, b = min a, b = a, inf a, b = a [ ] [ ] ] Za nejednadžbu oblika f ( ) g ( ) vrijedi: Riješimo nejednadžbu Prvi slučaj inf a, b = a, inf a, b = min a, b = a ( ) ( ) f g f ( ) 0 f ( ) ( g ( ) ) ili. g ( ) 0 g ( ) 0 5. ( ) ( ) f 0 0 5 f ( ) g ( ). g 0 5 0 5 - Rješenje je skup S = [, 5 ]. Drugi slučaj f ( ) ( g ( ) ) ( 5) 5 f g g ( ) 0 5 0 0 + 5 + 0 5 0 + 8 0 5 5 5 + 8 0 / ( ) + 8 0. 5 5 Trebamo riješiti nejednadžbu + 8 0. Odredimo najprije nultočke ove funkcije. 5 +
a =, b =, c = 8 + 8 = 0 + 8 = 0 b ± b 4 a c a =, b =, c = 8, = a ± 4 8 9, ±, ± = =, = 8 8 = = = ± = 4, =. + 4 4 = 7 = = = Nakon toga skiciramo graf.,5,5,5 0,5 0,5 -,5 4 4 5 6 7 8 9 0-7 -,5 Vidimo da graf leži ispod osi na dijelu od prve nultočke do druge nultočke. Taj skup zapisujemo, = [ 4, 7 ]. Gledamo presjek skupova 5. 4 7 - Rješenje je skup 4 5 S = Konačan skup rješenja S je unija skupova S i S. Vrijedi: Vježba 6 Rezultat: [ 5, 7 ]. [ ] [ ] [ ] S = S S S =, 5 5, 7 S =, 7 rubovi uključeni. inf S = min S = S = [, 7 ]. sup S = ma S = 7 7 +
Zadatak 6 (Mirko, elektrotehnička škola) 5 5 Odredite sup S, inf S, ma S i min S u skupu R ako je S = R : <. Rješenje 6 n a c a d b c n =, =, a < b, c < 0 a c > b c, a 0, a R. b d b d Za broj 0 kažemo da je nultočka (korijen) funkcije f ako vrijedi f ( ) = 0. Neka je U univerzalni skup, te A i B proizvoljni skupovi koji su podskupovi skupa U. Tada je: A B unija skupova A i B, A B = { U : A ili B} unija skupova A i B, A B A U B Unija dva ili više skupa je skup koji se sastoji od svih elemenata zadanih skupova. Za neprazan skup S R kažemo da je odozgo ograničen, ako postoji bar jedan realan broj M takav da je M za svako S. Svaki broj M sa navedenim svojstvom zove se majoranta (gornja ograda, gornja međa) skupa S. Ako skup S nije odozgo ograničen kažemo da je odozgo neograničen. Realan broj s zove se supremum nepraznog odozgo ograničenog skupa S R, ako s ima ova dva svojstva: ) s je majoranta od S, tj. s za svako S ) s je najmanja majoranta od S, tj. ako je a R i a < s, onda postoji bar jedan element S takav da je a <. Supremum skupa S označava mo sup S. Ako je s S supremum se zove maksimum ili najveća vrijednost, ma S. Primjer sup a, b = ma a, b = b, sup a, b = b [ ] [ ] ] ] sup a, b = ma a, b = b, sup a, b = b Za neprazan skup S R kažemo da je odozdo ograničen, ako postoji bar jedan realan broj i takav da je i za svako S. Svaki broj i sa navedenim svojstvom zove se minoranta (donja ograda, donja međa) skupa S. Ako skup S nije odozdo ograničen kažemo da je odozdo neograničen. Realan broj i zove se infimum nepraznog odozdo ograničenog skupa S R, ako i ima ova dva svojstva: ) i je minoranta od S, tj. i za svako S ) i je najveća minoranta od S, tj. ako je a R i a > i, onda postoji bar jedan element S takav da je a >. Infimum skupa S označavamo inf S. Ako je i S infimum se zove minimum ili najmanja vrijednost, min S. Primjer 4
[ ] [ ] ] inf a, b = min a, b = a, inf a, b = a inf a, b = a, inf a, b = min a, b = a Riješimo nejednadžbu: 5 5 5 5 5 5 5 5 < < 0 < 0 < 0 5 5 5 5 0 / ( ) + < > 0. Primijetimo da je nazivnik uvijek pozitivan broj za svaki realan broj različit od nule. Budući da je razlomak pozitivan, slijedi i brojnik mora biti pozitivan: 5 + 5 > 0. Trebamo riješiti tu nejednadžbu. Odredimo najprije nultočke ove funkcije. a =, b = 5, c = 5 5 + 5 = 0 5 + 5 = 0 b ± b 4 a c a =, b = 5, c = 5, = a 5 ± 5 4 5 5 5 0 5 5, ±, ± = =, = Nakon toga skiciramo graf. 5 5 =.8. 5 + 5 =.6 -,5 0,5 + + + - 4 5-0,5 5-5 5 + 5 - Vidimo da graf leži iznad osi na dijelu od do prve nultočke i na dijelu od druge nultočke do +. Taj skup zapisujemo Vrijedi: 5 5 5 + 5 S =,, + inf S ne postoji, min S ne postoji sup S ne postoji, ma S ne postoji. 5
Vježba 6 Rezultat: Zadatak 6 (Mirko, elektrotehnička škola) Rješenje 6 Konstruiraj graf funkcije f ( ) = + + [ ] 4 4 4 4, 4, 8. a = a, a 0, a + b = a + a b + b, a b = a a b + b. ( ) Neka su A i B dva skupa. Funkcija ili preslikavanje sa skupa A u skup B je pravilo (zakon) f koje svakom elementu A jednoznačno pridružuje neki element B. Skup A zove se područje definicije ili domena, a skup B područje vrijednosti ili kodomena funkcije f. Ako je realna funkcija zadana formulom, onda je njezina prirodna domena skup svih realnih brojeva za koje formula ima smisla. Područje definicije (domena) funkcije f ( ) = je 0 ili 0, +. Za realni broj njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj koji određujemo na ovaj način:, 0 =, < 0. Ako je broj pozitivan ili nula, tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Za svaki, 0, vrijedi =. Ako je negativan broj, njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj koji je pozitivan. Za svaki, < 0, je =. Zakon distribucije množenja prema zbrajanju. Preoblikujemo zadanu funkciju. a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. f ( ) = + 4 4 + 4 4 f ( ) = 4 + 4 4 + 4 + 4 4 4 + 4 f = 4 + 4 + + 4 4 + ( ) f = 4 + + 4 f = 4 + + 4. Primijetimo da na segmentu [ 4, 8 ] vrijedi: 4 + > 0 4 0. Zato možemo pisati: f = 4 + + 4 f = 4 + + 4 + ( ) f = 4 + 4 f = 4 + 4 + ( ) 4 4 ( ) f = + + f = 4. 6
4 konstanta 0 4 5 6 7 8 9 Vježba 6 Rezultat: Zadatak 64 (Roberta, srednja škola) Zadana je funkcija f ( ) = +. Dokažite da je za sve 0 zadovoljena relacija f ( ) = f. Rješenje 64 a n n a a n,, b a d b a b = n n = =, a =. b b c b c c c d f ( ) = + f f = + = + f = + f f f = + = + = + f f ( ). = Vježba 64 5 Zadana je funkcija f ( ) = 5 +. Dokažite da je za sve 0 zadovoljena relacija f ( ) = f. Rezultat: Dokaz analogan. 7
Zadatak 65 (Ana, ekonomska škola) Odredi funkciju f() ako je f ( a ) = b, gdje su a i b realni brojevi različiti od nule. b a A. f ( ) = a b B. f ( ) = C. f ( ) = D. f ( ) = a b a b Rješenje 65 b a a = b. c c zamjena b b f ( a ) = b a = f ( ) = b f ( ) = f ( ) =. a a a = a Odgovor je pod B. Vježba 65 Odredi funkciju f() ako je f ( b ) = a, gdje su a i b realni brojevi različiti od nule. b a A. f ( ) = a b B. f ( ) = C. f ( ) = D. f ( ) = a b a b Rezultat: C. Zadatak 66 (Ante, srednja škola) Rješenje 66 Koliko je f(, b) + f(b, ), ako je zadana funkcija f ( ) Zakon distribucije množenja prema zbrajanju. 8, =? A. B. C. D. 0 a b a b =. n n n a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Odgovor je pod A. Vježba 66 b b f (, b) + f ( b, ) = f (, ) = = + = + = b b b ( b) b b b = = = =. b b b b Koliko je f(, a) + f(a, ), ako je zadana funkcija f ( ), =? A. B. C. D. 0
Rezultat: A. Zadatak 67 (Ante, srednja škola) Rješenje 67 Dokažite da je kompozicija polinoma prvog stupnja polinom prvog stupnja. Linearna funkcija (polinom prvog stupnja) je realna funkcija zadana jednadžbom f() = a + b, a 0. Graf linearne funkcije u pravokutnom koordinatnom sustavu je pravac = a + b. Kompozicija funkcija: f g = f g, g f = g f. Zakon distribucije množenja prema zbrajanju. ( )( ) ( ( )) ( )( ) ( ( )) a ( b + c) = a b + a c a b + a c = a ( b + c) Neka su zadane funkcije Tada je:,. f = a + b, g = c + d, gdje su a, b, c, d R. ( g f )( ) = g ( f ( ) ) = g ( f ( ) ) = c f ( ) + d = c ( a + b) + d = a c + b c + d. Ili ovako: g f = g f = g f = g a + b = c a + b + d = a c + b c + d ( )( ) ( ( )) ( ( )). Stavimo li da je: dobijemo To je opet polinom prvog stupnja. Vježba 67 Rezultat: Zadatak 68 (Vanja, srednja škola) A = a c, B = b c + d, ( g f )( ) = A + B. Je li krivulja prikazana na slici graf funkcije = f()? C T Rješenje 68 9
Je li krivulja graf funkcije možemo provjeriti pomoću vertikalnog testa. Treba naći presjeke vertikalnog pravca i krivulje. Krivulja predstavlja graf funkcije = f() ako ne postoji niti jedan vertikalni pravac koji krivulju siječe u više od jedne točke. A A A B B DA NE NE A A A B C B D Vježba 68 Rezultat: NE DA NE Zadatak 69 (Sanja, gimnazija) Rješenje 69 Odredi realnu funkciju f iz jednakosti ( ) Zakon distribucije množenja prema zbrajanju. f = +. a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c..inačica zamjena f ( ) = + = t f ( t) = ( t + ) + f ( t) = t + = t + Vježba 69.inačica ( ) [ t = ] ( ) f t = t + f = +. f = + f = + + f = + + ( ) ( ) [ ] ( ) f = + f = +. Odredi realnu funkciju f iz jednakosti ( ) Rezultat: f ( ) = +. f + =. 0
Zadatak 70 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f iz jednakosti ( ) Rješenje 70 f + = +. a b = a a b + b, a + b = a + a b + b..inačica zamjena f ( + ) = + + = t f ( t) = ( t ) + ( t ) f ( t) = t t + + t = t Vježba 70 f t = t t + t f t = t t = f =..inačica ( ) + ( ) [ ] ( ) f + = + f + = + + f + = + + f + = + f =. ( ) ( ) [ + ] ( ) Odredi realnu funkciju f iz jednakosti ( ) Rezultat: ( ) f =. f =. Zadatak 7 (Ivan, gimnazija) Za afinu funkciju :, ( ) vrijedi f ( α β ) α f ( ) β f ( ) f R R f = a + b te realne brojeve α i β za koje je α + β 0 + = + ako i samo ako je α + β =. Rješenje 7 Zakon distribucije množenja prema zbrajanju. Budući da je f afina funkcija slijedi: a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. ( α β ) ( α β ) α β α β f + = a + + b = a + a + b = a + a + b = Vježba 7 uvjet = = ( ) a α + a β + α + β β b = a α + a β + α α b + β + = b = ( a α α b) ( a β β b) α ( a b) β ( a b) metoda = grupiranja = + + + = + + + = Rezultat: ( ) β ( ) = α f + f.
Zadatak 7 (Ante, srednja škola) vrijednosti. Rješenje 7 Funkciju f ( ) 0, ako je 0 = napišite pomoću jedne formule koristeći oznaku apsolutne, ako je > 0 Za realni broj njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj koji određujemo na ovaj način:, 0 =, < 0. Ako je broj pozitivan ili nula, tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Za svaki, 0, vrijedi =. Ako je negativan broj, njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj koji je pozitivan. Za svaki, < 0, je =. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a = b n b, n 0, n. Zadanu funkciju ovako preoblikujemo f ( ) = ( + ). Provjera! = 0 ( ) ( ) f ( ) ( ) = f = = + Vježba 7 vrijednosti. f ( ) = 0 f ( ) = 0 = > 0 f ( ) = ( + ) f ( ) = f ( ) = ( + ) Funkciju f ( ) Rezultat: f ( ) = ( ) f ( ) = f ( ) =., ako je 0 = napišite pomoću jedne formule koristeći oznaku apsolutne 0, ako je > 0 Zadatak 7 (Marija, maturantica) Ako je f + a = + odredite f a. Rješenje 7 Sve je jasno!.
zamjena f ( + a) = + + a = t f ( t) = ( t a) ( t a) +. = t a Ovdje je t nova varijabla. Sada ponovno uvedemo zamjenu t = a. zamjena f ( t) = ( t a) ( t a) + f ( a) = ( a a) ( a a) + t = a f a = a a +. Vježba 7 Rezultat: ( ) Zadatak 74 (Marija, maturantica) Ako je f + a = + + a odredite f a. Rješenje 74 Sve je jasno! zamjena f ( + a) = + + a + a = t f ( t) = ( t a) + t a + a f ( t) = ( t a) + t a + a = t a f ( t) = ( t a) + t. Ovdje je t nova varijabla. Sada ponovno uvedemo zamjenu t = a. Vježba 74 Rezultat: zamjena f ( t) = ( t a) + t f ( a) = ( a a) + a t = a f a = a + a. Zadatak 75 (Marija, maturantica) a Ako je f ( + a) = + + a odredite f. Rješenje 75 Sve je jasno! zamjena f ( + a) = + + a + a = t f ( t) = ( t a) + t a + a f ( t) = ( t a) + t a + a = t a f ( t) = ( t a) + t.
Ovdje je t nova varijabla. Sada ponovno uvedemo zamjenu Vježba 75 Rezultat: a t =. zamjena a a a f ( t) = ( t a) + t a f = a +. t = Zadatak 76 (Mirko, obrtnička škola) Rješenje 76 Grafički prikažite + = + u koordinatnom sustavu. Za realni broj njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj koji određujemo na ovaj način:, 0 =, < 0. Ako je broj pozitivan ili nula, tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Za svaki, 0, vrijedi =. Ako je negativan broj, njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj koji je pozitivan. Za svaki, < 0, je =. Da bi umnožak bio jednak nuli, dovoljno je da jedan faktor bude jednak nuli. a b = 0 a = 0 ili b = 0 il i a = b = 0. Koordinatne osi i ravninu R R dijele na četiri područja koje nazivamo kvadranti. U prvom kvadrantu nalaze se točke kojima su obje koordinate pozitivni brojevi. U drugom kvadrantu nalaze se točke kojima su apscise negativni brojevi, a ordinate pozitivni brojevi. U trećem kvadrantu nalaze se točke kojima su obje koordinate negativni brojevi. U četvrtom kvadrantu nalaze se točke kojima su apscise pozitivni brojevi, a ordinate negativni brojevi. Točke koje su na osi imaju koordinate (, 0). Točke koje su na osi imaju koordinate (0, ). II. I. < 0, > 0 > 0, > 0 < 0, < 0 III. > 0, < 0 IV. Zadatak razdijelimo u četiri koraka. 4
Prvi korak 0, = + = + + = + = = 0, = = /: = simetrala I. kvadranta jer su i veći ili jednaki nuli Drugi korak 0, = + = + + = + = = 0 = 0. < 0, = Rješenja su točke (0, ) za < 0. To je negativni dio osi. Treći korak < 0, = + = + = + = + 0 = = 0. 0, = Rješenja su točke (, 0) za < 0. To je negativni dio osi. Četvrti korak < 0, = + = + = = 0 = 0. < 0, = Dobili smo istinitu jednakost. Rješenje su sve točke (, ) za < 0 i < 0. To je treći kvadrant. Vježba 76 Rezultat: Zadatak 77 (Lu, gimnazija) Odredite ( ) ( ) ( ) Rješenje 77 h = f g + f 4 ako je f =, a g = 5. A. h = 4 4 + 7 B. h = 4 7 C. h = 4 4 D. h = 4 4 + 4 5
Množenje zagrada Kompozicija funkcija: n m n m a = a, a a = a +. ( a + b) ( c + d ) = a c + a d + b c + b d. ( f g)( ) = f ( g ( ) ), ( g f )( ) = g ( f ( ) ). ( ) ( )( ) ( 4) ( ) ( ( )) ( 4) ( ) ( ( )) ( 4) f ( ) = ( ) h( ) = g ( ) ( g ( ) ) + 4 ( 4 ) h( ) = g ( ) ( g ( ) ) + 4 h( ) = g ( ) ( g ( ) ) + 8 h( ) = g ( ) ( g ( ) ) + 8 g ( ) = 5 h = f g + f h = f g + f h = f g + f Odgovor je pod D. Vježba 77 h = 5 5 + 8 h = 5 7 + 8 h = 4 4 0 + 5 + 8 h = 4 4 + 4. Odredite ( ) ( ) ( ) Rezultat: C. h = f g + f 0 ako je f =, a g = 5. A. h = 4 4 B. h = 7 C. h = 4 4 + 5 D. h = 4 + 4 Zadatak 78 (Doc, maturant gimnazije) Odredite sve vrijednosti realnoga parametra k za koje funkcija f ( ) vrijednosti manje od 5. Rješenje 78 6 k + = ima + + a < b, c > 0 a c < b c, a < b, c < 0 a c > b c, a 0, a R. a b a + b a > 0 a < 0 ( a + b) = a + a b + b, + =, a b < 0 ili. n n n b < 0 b > 0 Zakon distribucije množenja prema zbrajanju. Jednadžba oblika a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. a + b + c = (a 0, b i c su realni brojevi) naziva se kvadratna jednadžba. Svaki broj (realan ili kompleksan) koji zadovoljava tu jednadžbu naziva se rješenje kvadratne jednadžbe. Diskriminanta kvadratne jednadžbe a + b + c = 0 je broj D = b 4 a c. Ako je D > 0, jednadžba ima dva realna rješenja. 0,
Ako je D = 0, jednadžba ima jedno dvostruko realno rješenje. Ako je D < 0, jednadžba ima kompleksno konjugirana rješenja. Ako je a > 0 i D < 0, vrijedi a + b + c > 0. k + ( ) 5 k + 5 f < < < 5 / ( + + ) + + + + ( ) k + < 5 + + k + < 5 + 5 + 5 k + 5 5 5 < 0 4 k 5 4 < 0 4 k 5 4 < 0 / 4 + k + 5 + 4 > 0 ( ) 4 + k + 5 + 4 > 0. ( ) Zadanu nejednakost mogli smo pomnožiti trinomom + + jer je pozitivan za svaki realan broj. Uvjerimo se! + + = + + + = + + + = + + > 0. 4 4 4 4 Kvadratna nejednadžba a + b + c > 0 je istinita ako je a > 0 i D < 0. 4 + k + 5 + 4 > 0 vodeći je koeficijent a = 4 > 0 pa je ona istinita za U kvadratnoj nejednadžbi ( ) svaki realan broj ako je diskriminanta kvadratne jednadžbe ( ) 4 + k + 5 + 4 > 0 strogo manja od nule. 4 + ( k + 5) + 4 = 0 b 4 a c < 0 ( k + 5) 4 4 4 < 0 a = 4, b = k + 5, c = 5 k + 0 k + 5 64 < 0 k + 0 k 9 < 0 k + k k 9 < 0 k k + k + < 0 k + k < 0. Postoje dva slučaja..slučaj k + > 0 k > ( k + ) ( k ) < 0 < k < k,. k < 0 k <.slučaj k + < 0 k < ( k + ) ( k ) < 0. k > 0 k > Vježba 78 Rezultat: 7
Zadatak 79 (Maturant, elektrotehnička škola) Istraživanje je pokazalo da se broj jedinka neke životinjske vrste periodički mijenja. Broj 7 π jedinka f(t) procjenjuje se prema formuli f ( t) = A sin B t + D gdje je t broj godina 4 proteklih od početka mjerenja. Najmanje jedinka te životinjske vrste bilo je 5 godina nakon početka mjerenja kada je prebrojano 00 jedinka. Nakon toga broj jedinka je rastao u iduće 4 godine te je najviše jedinka te životinjske vrste bilo 9 godina nakon početka mjerenja kada je prebrojano 90 jedinka. Koliki će prema toj procjeni biti broj jedinka te životinjske vrste 8 godina nakon početka mjerenja? A. 680 B. 750 C. 80 D. 90 Rješenje 79 Maksimalna vrijednost funkcije sinus je, a minimalna vrijednost. f = A sin B + D je sinusoida. Graf funkcije Broj A naziva se amplituda funkcije f. π Koeficijent B regulira periodičnost funkcije f. Temeljna perioda funkcije f je T =. B Graf funkcije f ( ) = A sin ( B ) + D dobivamo translacijom grafa funkcije g ( ) A sin ( B ) 8 = u smjeru osi za D. Za realni broj njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj koji određujemo na ovaj način:, 0 =, < 0. Ako je broj pozitivan ili nula, tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Za svaki, 0, vrijedi =. Ako je negativan broj, njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj koji je pozitivan. Za svaki, < 0, je =. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Uz pretpostavku da su A i D pozitivni realni brojevi funkcija ( ) 7 π maksimalnu vrijednost kada je sin B t = 4 f ma = A + D f ma = A + D 7 π minimalnu vrijednost kada je sin B t = 4 ( ) f =. min A + D f = min A + D Maksimalna i minimalna vrijednost funkcije f je zadana pa vrijedi: 7 π f t = A sin B t + D imat će: 4 A + D = fma fma = 90 A + D = 90 metoda suprotnih A + D = f min f min = 00 A + D = 00 koeficijenata Računamo A. D = 0 D = 0 /: D = 60.
D = 60 A + D = 90 Dakle, funkcija ima oblik A + 60 = 90 A = 90 60 A = 0. 7 π f ( t) = 0 sin B t + 60. 4 π Još treba odrediti koeficijent B. Temeljna perioda T funkcije f je T =. B Primijetimo vremenski interval između najmanje i najveće vrijednosti funkcije f iznosi 4 godine. To je polovica temeljne periode funkcije f. π π B π 4 = T 4 = T / 8 = T 8 = 8 = / B =. B B 8 4 Funkcija glasi: Sada je π 7 π f ( t) = 0 sin t + 60. 4 4 π 7 π f ( 8) = 0 sin 8 + 60 4 4 Odgovor je pod C. Vježba 79 9 ( ) f 8 = 89.0 80. Istraživanje je pokazalo da se broj jedinka neke životinjske vrste periodički mijenja. Broj 7 π jedinka f(t) procjenjuje se prema formuli f ( t) = A sin B t + D gdje je t broj godina 4 proteklih od početka mjerenja. Najmanje jedinka te životinjske vrste bilo je 5 godina nakon početka mjerenja kada je prebrojano 00 jedinka. Nakon toga broj jedinka je rastao u iduće 4 godine te je najviše jedinka te životinjske vrste bilo 9 godina nakon početka mjerenja kada je prebrojano 90 jedinka. Koliki će prema toj procjeni biti broj jedinka te životinjske vrste 0 godina nakon početka mjerenja? A. 400 B. 650 C. 40 D. 9 Rezultat: D. Zadatak 80 (Anita, bivša srednjoškolka) funkcije? Zadana je funkcija f ( ) ( ) sin 4 + =. Koji je interval slika (skup svih vrijednosti) te
Rješenje 80 A. 0, + B., 6 C., 4 D., + 4 n a = n, a b, c > 0 a c b c, a b, c R a + c b + c. a f = sin B ima: Funkcija najmanju vrijednost najveću vrijednost. Funkcija ( ) f = je rastuća funkcija. < <, < f ( ) < f ( ). Neka su A i B dva skupa. Funkcija ili preslikavanje sa skupa A u skup B je pravilo (zakon) f koje svakom elementu A jednoznačno pridružuje neki element B. Skup A zove se područje definicije ili domena, a skup B područje vrijednosti ili kodomena funkcije f. S pojmom kodomene povezan je skup zvan slika funkcije. Sliku funkcije možemo shvatiti kao najmanju od svih mogućih kodomena funkcije. Slika funkcije f sastoji se od svih B za koje postoji A takav da je f() =. Slika funkcije je skup na koji funkcija f preslikava svoju domenu. Skup vrijednosti (slika funkcije) R f je projekcija grafa na os ordinata..inačica Zadana funkcija f ( ) ( ) sin 4 + = imat će: najmanju vrijednost za sin (4 ) = i iznosit će ( ) f + min f + min f = = min = f min = min f = 4 najveću vrijednost za sin (4 ) = i iznosit će Interval slika je Odgovor je pod B..inačica + + 4 fma = fma = fma = fma = 6. Krenimo od očiglednih nejednakosti., 6 4 ( ) ( ) / ( 4 ) ( ) ( ) ( ) sin 4 sin 4 sin sin 4 / + + sin 4 + + sin 4 + 4. ( ) potenciramo sin 4 + 4 sin ( 4 ) + 4 / s bazom ( ) ( ) sin 4 + sin 4 + 6 6 ( ) 6 ( ), 6. f f 4 4 4 Odgovor je pod B. 0
Vježba 80 Zadana je funkcija f ( ) ( ) sin + =. Koji je interval slika (skup svih vrijednosti) te funkcije? A. 0, + B., 8 C., 4 D., + Rezultat: B.