Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA 10. mart Pr

Слични документи
Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 1.

1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1

rjeshenja.dvi

Kvadratna jednaqina i funkcija 1. Odrediti sve n N takve da jednaqina x3 + 7x 2 9x + 1 x 2 bar jedno celobrojno rexee. = n ima 2. Ako za j-nu ax 2 +bx

homotetija_ddj.dvi

1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu 3XB T + XA = B, pri qemu

Okruzno2007ZASTAMPU.dvi

Pripremni kamp - Avala, 1-7. februar Zadaci za samostalan rad (pripremio Duxan uki ) Algebra 1. Realni brojevi a, b, c zadovoljavaju (a+b)(b+c)(c

REXENjA ZADATAKA RPUBLIQKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 1. Ako su A i B neprazni podskupovi ravni α, takvi da je A B =

24. REPUBLIQKO TAKMIQE E IZ MATEMATIKE UQENIKA SRED IH XKOLA REPUBLIKE SRPSKE Ba a Luka, 22. april ZADACI PRVI RAZRED 1. Dat je razlomak 2a27, g

DELjIVOST Ceo broj a je deljiv celim brojem b 0 ako postoji ceo broj q takav da je a = b q. U tom sluqaju kaжemo i da b deli a. b a oznaqava da b deli a

Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Iracionalne jednaqine i nejednaqine Zlatko Lazovi 29. mart 2017.

1996_mmo_resenja.dvi

{ Rexe a Tipovi zadataka za drugi kratki test { 1. Odrediti normalizovanu jednaqinu prave p koja sadri taqku P (2, 1) i qiji je normalni vektor # «n p

res_gradsko_2010.dvi

GEOMETRIJA 2 zadaci po kojima se dre vebe PODUDARNOST 1. (Sreda linija trougla) Ako su B 1 i C 1 sredixta dui CA i BA trougla ABC, onda su prave BC i

PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla

Trougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa

Particije prirodnog broja druga-0.1 verzija: Duxan uki 1 Uvod Particija prirodnog broja n je predstavljanje n u obliku zbira nekoliko prirodn

Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) : ; б) : (

Pelova jednaqina verzija 2.1: Duxan uki 0 Uvod Qesto smo se sretali sa linearnim diofantskim jednaqinama, i ovakve jednaqine znamo da rexav

untitled

Математика 1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) средњи ниво А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ }

rumunija0107.dvi

32zadatka_2014_IMO-pripreme_ddj.dvi

58. Federalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola

Министарство просвете, науке и технолошког развоја ДРУШТВО МАТЕМАТИЧАРА СРБИЈЕ Општинско такмичење из математике ученика основних школа III

Test iz Linearne algebre i Linearne algebre A qetvrti tok, U zavisnosti od realnog parametra λ rexiti sistem jednaqina x + y + z = λ x +

Математика основни ниво 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Броје

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА

Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Srdjan Vukmirović, Tijana Šukilovic, Marijana Babić januar Teorijska pitanja

1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan

Zadaci iz Nacrtne geometrije za pripremu apsolvenata Srdjan Vukmirović 27. novembar Projektivna geometrija 1.1 Koordinatni pristup 1. (Zadatak

Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3

kolokvijum_resenja.dvi

VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E

Математика напредни ниво 1. Посматрај слике, па поред тачног тврђења стави слово Т, а поред нетачног Н. а) A B б) C D в) F E г) G F д) E F ђ) D C 2. О

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN Odrediti

ПРИРОДА И ЗНАК РЕШЕЊА 2 b ax bx c 0 x1 x2 2 D b 4ac a ( сви задаци су решени) c b D xx 1 2 x1/2 a 2a УСЛОВИ Решења реална и различита D>0 Решења реалн

Rokovi iz Matematike 1 za studente Fakulteta za fiziqku hemiju Ivan Dimitrijevi, Tijana Xukilovi 1. Rexiti jednaqinu z 4 + i 1 i+1 = 0. MATEMATIKA 1 {

PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA RAČUNARSKE NAUKE Utorak, godine PRIJEMNI ISPIT IZ INFORMATIKE 1. Koja od navedenih ekste

ALGEBRA 2 ZORAN PETROVI Predavanja za xkolsku 2014/15 godinu

os07zup-rjes.dvi

Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Tijana Šukilović, Miloš Antić, Nenad Lazić 19. decembar Teorijska pitanja 1. V

Талесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су a и b две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да

Microsoft Word - 24ms241

PRAVILA ZA POLAGANjE ISPITA IZ NUMERIQKE ANALIZE U TOKU SEMESTRA 1. Ispit se sastoji iz pismenog i usmenog dela. Pismeni deo ispita je eliminatoran. 2.

Skripte2013

Шифра ученика: Укупан број бодова: Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ и технолошког РАзвоја ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСП

Analiticka geometrija

JEDNAKOSTI I JEDNAČINE,

Nermin Hodzic, Septembar, Slicnost trouglova 1 Notacija: - A, B, C su uglovi kod vrhova A, B, C redom. -a, b, c su stranice trougla suprotne vrh

1. Počevši iz vrha šiljastokutnog trokua povučena je visina kojoj je točka A 1 nožište na nasuprotnoj stranici. Iz točke A 1 povučena je okomica na je

Nermin Hodzic, Septembar, Inverzija 1 Notacija: -Preslikavanje I(A) = A 1,za koje vrijedi OA OA 1 = r 2, i tacka A 1 se nalazi na zraki OA,naziv

Microsoft Word - z4Ž2018a

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 28. veljače razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА у = kх + n А утврди 1. Које од наведених функција су линеарне: а) у = 2х; б) у = 4х; в) у = 2х 7; г) у = 2 5 x; д)

М А Т Е М А Т И К А Први разред (180) Предмети у простору и односи међу њима (10; 4 + 6) Линија и област (14; 5 + 9) Класификација предмета према свој

MATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29

1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i

Ministarstvo znanosti i obrazovanja Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1

Аутор овог документа је Петар Аврамовић. Слободно га можете читати, размењивати, копирати, штампати али само као цео документ. у циљу сазнавања нечег

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 28. veljače AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJER

SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.)

Microsoft Word - Domacii zadatak Vektori i analiticka geometrija OK.doc

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta Poreč, 29. ožujka Zadatak A-1.1. Ana i Vanja stoje zajedno kraj željezničke

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА школска 2013/

PRVI KOLOKVIJUM Odrediti partikularno rexee jednaqine koje zadovo ava uslov y(0) = 0. y = x2 + y 2 + y 2xy + x + e y 2. Odrediti opxte rexee

Microsoft Word - 24ms221

Geometrija I–smer - deo 4: Krive u ravni

Univerzitet u Nixu Prirodno - matematiqki fakultet Departman za matematiku Karakterizacije geodezijskih preslikavanja Rimanovih prostora (MASTER RAD) M

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

Microsoft Word - TAcKA i PRAVA3.godina.doc

Microsoft Word - KVADRATNA FUNKCIJA.doc

Рационални Бројеви Скуп рационалних бројева 1. Из скупа { 3 4, 2, 4, 11, 0, , 1 5, 12 3 } издвој подскуп: а) природних бројева; б) целих броје

Microsoft Word - mat_szerb_kz_1flap.doc

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i

3. ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ КереШго та1ег зги/иогит ез1 (Обнављање је мајка наука) Латинска сентенца (изрека) Линеарна јед

Konstrukcija i analiza algoritama Nina Radojičić februar Analiza algoritama, rekurentne relacije 1 Definicija: Neka su f i g dve pozitivne fun

Natjecanje 2016.

Pismeni dio ispita iz Matematike 1

(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)

Univerzitet u Nixu Prirodno-matematiqki fakultet Departman za matematiku Neke poznate krive u ravni i prostoru Master rad Mentor: Prof. dr Mia Stankov

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i

ТРОУГАО БРЗИНА и математичка неисправност Лоренцове трансформације у специјалној теорији релативности Александар Вукеља www.

Matematika 1 - izborna

PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred)

(Microsoft Word doma\346a zada\346a)

Microsoft Word - Matematika_emelt_irasbeli_0911_szerb.doc

Σ Ime i prezime, JMBAG: ELEMENTARNA GEOMETRIJA prvi kolokvij studenog Napomene: Kolokvij ima ukupno 5 zadataka, svaki zadatak vr

DISKRETNA MATEMATIKA

Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

Microsoft Word - Rjesenja zadataka

Univerzitet u Nixu Prirodno-matematiqki fakultet Departman za matematiku Tenzorska analiza u teoriji relativnosti Master rad Mentor: Prof. Dr Ljubica V

Mate_Izvodi [Compatibility Mode]

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

MAT-KOL (Banja Luka) XXV (1)(2019), DOI: /МК A ISSN (o) ISSN (o) JOŠ JEDAN DO

Транскрипт:

Prvi razred A kategorija 1. Za prirodan broj n oznaqimo sa x n broj koji se dobije uzastopnim zapisivanjem svih prirodnih brojeva od 1 do n jedan iza drugog (npr. x 14 = 1234567891011121314). Neka je funkcija f : N N 0 definisana na slede i naqin: f(n) je najmanji broj cifara koje treba izbaciti iz zapisa broja x n da bi novodobijeni broj bio deljiv sa 8 (dozvoljeno je izbaciti i sve cifre broja x n, pri qemu tada smatramo da je novodobijeni broj jednak nuli). Da li postoje prirodni brojevi t i n 0 takvi da za sve n N, n n 0, vaжi f(n + t) = f(n)? 2. Dat je prirodan broj k i skupovi A, B i C takvi da vaжi A B = B C = C A = 2k. Dokazati da postoji jedinstven skup D za koji vaжi A D = B D = C D = k. (Za skupove X i Y oznaqili smo X Y = (X \Y ) (Y \X), xto se naziva simetriqna razlika skupova X i Y.) 3. U pravouglom ABC taqka D je sredixte hipotenuze AB. Neka je k kruжnica opisana oko BCD, i neka je E proizvoljna taqka na kra em luku BD. Na pravoj BC uoqena je taqka F takva da je B između C i F i da pritom vaжi BEF = 2 BAF. Neka je k 1 kruжnica opisana oko CEF. Dokazati da jedna od zajedniqkih tangenata kruжnica k i k 1 prolazi kroz taqku D. 4. Dokazati da krug polupreqnika 100 s centrom u koordinatnom poqetku sadrжi manje od 31600 taqaka qije su obe koordinate celobrojne. (Smatramo da krug sadrжi neku taqku ukoliko se ona nalazi na njegovom rubu ili u njegovoj unutraxnjosti.)

Drugi razred A kategorija 1. Nikola je zamislio 4 razliqita realna broja i na tabli je zapisao proizvod svaka dva od njih (qime se na tabli naxlo 6 brojeva). Dule je izbrisao jedan od tih brojeva, nakon qega je na tabli ostalo 5 uzastopnih prirodnih brojeva. Koji je broj Dule izbrisao? 2. Za prirodne brojeve k, m i n koji ispunjavaju nejednakosti k 2 i m < n vaжi m k = 0,x1 x 2... x 9 x 1 x 2... x 9 x 1 x 2... x 9... n gde su x 1, x 2,..., x 9 neke cifre (ne nuжno razliqite), i blok x 1 x 2... x 9 se periodiqno ponavlja beskonaqno mnogo puta. Na i sve mogu e vrednosti za m k. n 3. Dat je ABC u kom je ugao kod temena A tup i AB AC. Simetrala ugla kod temena A seqe stranicu BC i opisanu kruжnicu u taqkama D i E, redom. Neka se kruжnice nad preqnicima BC i DE seku u taqkama K i L. Dokazati da taqka simetriqna taqki A u odnosu na pravu BC leжi na pravoj KL. 4. Za date prirodne brojeve b i n, Alisa i Boba igraju slede u igru. U prostoru je dato n taqaka u opxtem poloжaju (nikoje tri nisu kolinearne, nikoje qetiri nisu komplanarne), i svake dve su povezane jednom duжi. Oni naizmeniqno boje neobojene duжi najpre Alisa oboji jednu duж crveno, a zatim Boba oboji b duжi plavo, i tako dok ima neobojenih duжi. Alisa pobeđuje ako kreira crveni trougao, dok Boba pobeđuje ako se igra zavrxi, a Alisa nije kreirala crveni trougao. a) Ako vaжi b < 2n 2 3 2, dokazati da Alisa ima pobedniqku strategiju. b) Ako vaжi b 2 n, dokazati da Boba ima pobedniqku strategiju.

Tre i razred A kategorija 1. Neka su a, b i c realni brojevi za koje vaжi b < 0 i ab = 9c. Dokazati da jednaqina ima tri realna i razliqita rexenja. x 3 + ax 2 + bx + c = 0 2. U oxtrouglom ABC, taqke D i E su redom podnoжja normala iz ortocentra na simetrale unutraxnjeg i spoljaxnjeg ugla kod temena A. Dokazati: BDC + BEC = 180. 3. Na i sve parove prirodnih brojeva (x, y) takve da xy 2 + 1 x 2 + y 3. 4. Dato je n pravih u ravni, n > 2, takvih da nikoje dve nisu paralelne i nikoje tri se ne seku u istoj taqki. Ove prave dele ravan na disjunktne oblasti (među kojima ima konaqnih i beskonaqnih). Kaza emo da je red neke oblasti broj pravih koje sadrжe neki deo ruba te oblasti. Dokazati da je broj oblasti reda 3 bar za 4 ve i od broja oblasti reda strogo ve eg od 4.

Qetvrti razred A kategorija 1. Odrediti sve vrednosti realnog parametra a za koje jednaqina a2 ax2 2 a+x2 = 32 u skupu realnih brojeva ima taqno dva rexenja i da se ona razlikuju za 2. 2. Za okruglim stolom sede n igraqa i igraju slede u igru. Svako od njih drжi po jedan papir na kom treba da napixe jednu reqenicu, i potom prosledi svoj papir igraqu koji se nalazi k 1 mesta udesno. Svaki igraq na dobijeni papir potom treba nexto da nacrta, i prosledi papir igraqu koji se nalazi k 2 mesta udesno. Igraqi potom na dobijeni papir treba da napixu po jednu reqenicu i proslede papir igraqu koji se nalazi k 3 mesta udesno itd. (U i-tom koraku svaki igraq treba da napixe jednu reqenicu ako je i neparno, odnosno da nexto nacrta ako je i parno, i potom da prosledi papir igraqu koji se nalazi k i mesta udesno.) Jedan krug igre se zavrxava nakon n koraka, pri qemu u poslednjem koraku igraqi ne prosleđuju papir dalje (nego samo napixu odnosno nacrtaju nexto). Krug se smatra validnim ako je na kraju igre svaki igraq pisao ili crtao taqno po jednom na svakom od postoje ih n papira. a) Igraqi жele da odigraju jedan validan krug igre, na takav naqin da tokom tog kruga svaki igraq taqno po jednom prosleđuje papir svakom od preostalih igraqa. Za koje vrednosti n je mogu e odabrati (n 1)-orku parametara (k 1, k 2,..., k n 1 ) da ovo bude ispunjeno? b) Igraqi жele da odigraju dva validna kruga igre, na takav naqin da ukupno tokom ta dva kruga svaki igraq taqno po jednom prosleđuje svoju reqenicu svakom od preostalih igraqa, i taqno po jednom prosleđuje svoj crteж svakom od preostalih igraqa. Za koje vrednosti n je mogu e odabrati (n 1)-orke parametara (k 1, k 2,..., k n 1 ) za prvi i drugi krug (ne nuжno iste za oba kruga) da ovo bude ispunjeno? 3. U unutraxnjosti zadatog pravilnog n-tougla A 1 A 2... A n odrediti geometrijsko mesto taqaka M za koje vaжi MA 1 A 2 + MA 2 A 3 + + MA n 1 A n + MA n A 1 = (n 2)π. 2 4. Dokazati da postoji samo konaqan broj stepena dvojke sa zbirom cifara manjim od 2018.

Prvi razred B kategorija 1. Dat je ABC za koji vaжi AB = AC = 18 i BC = 4. Uoqena je kruжnica k polupreqnika 7 koja prolazi kroz taqke B i C, a pritom se njen centar, taqka O, nalazi unutar ABC. Iz taqke A su povuqene tangente na k koje je dodiruju u taqkama N i M. Na i povrxinu qetvorougla OMAN. 2. Rexiti sistem: xy x + y = 2 3 ; yz y + z = 6 5 ; zx z + x = 3 4. 3. Na koliko naqina je tablicu 3 3 mogu e popuniti elementima skupa {10, 3, 2018} ako zbir brojeva u svakoj vrsti, svakoj koloni i na obe dijagonale mora biti deljiv sa 3? 4. Odrediti sve trojke (x, y, z) celih brojeva za koje vaжi: x 2 + xy + yz = y 2 + yz + zx = z 2 + zx + xy = 2017 + 2018 2018. 5. Postoji li trougao kome je polupreqnik opisane kruжnice 2018, a koji se moжe smestiti u krug polupreqnika 60?

Drugi razred B kategorija 1. Na raspolaganju su nam xtapi i duжina 1, 2,..., 12, pri qemu od svakog xtapi a imamo dovoljan broj komada. Potrebno je odabrati qetiri xtapi a (ne nuжno razliqitih duжina) od kojih se moжe sastaviti tangentni qetvorougao qiji je obim 24. Na koliko naqina je ovo mogu e uraditi? 2. Tetive kruжnice AB i CD se seku pod pravim uglom. Poznate su duжine tetiva AD = 60 i BC = 25. Izraqunati polupreqnik te kruжnice. 3. Rexiti jednaqinu: x 3 + 7 x = x 2 10x + 23. 4. Ako kompleksni brojevi z 1 i z 2 ispunjavaju jednakosti z 1 + 2i = 2 i z 2 + 1 i = 1, odrediti najve u mogu u vrednost izraza z 1 + z 2. 5. Odrediti sve prirodne brojeve n i proste brojeve p za koje je p 2 + 7 n potpun kvadrat.

Tre i razred B kategorija 1. Rexiti nejednaqinu: 2. Rexiti jednaqinu: log 9x 3x + log 3x 2 9x 2 < 5 2. sin x = È sin 2 3x sin 2 2x. 3. Da li postoji broj oblika 200... 0018 (gde se nule pojavljuju proizvoljan broj puta) koji se moжe predstaviti kao proizvod nekoliko (dva ili vixe) uzastopnih prirodnih brojeva? 4. U ravni biramo n taqaka takvih da je skup svih rastojanja između parova ovih taqaka {1, 2, 3,..., n(n 1) 2 } (dakle, svaka od ovih vrednosti se pojavljuje taqno jednom kao rastojanje između neke dve od uoqenih taqaka). Da li je ovo mogu e posti i za: a) n = 4; b) n = 5? 5. Dat je ABC, i uoqena je kruжnica γ koja sadrжi taqku A, dodiruje kruжnicu opisanu oko ABC, i dodiruje pravu BC u taqki D, pri qemu je B između C i D. Ako vaжi BAC = π arcsin 35, BC = 70 i BD = 10, odrediti polupreqnik 37 kruжnice γ.

Qetvrti razred B kategorija 1. Rexiti sistem: x 2 y 2 = 16; 3xy 2 + x 3 = 260. 2. Dat je pravougli ABC, C = 90, za qije stranice a = BC, b = CA i c = AB vaжi c 2 (3a + b) = 4a 3. Odrediti uglove u ABC. (Rexenje izraziti u obliku eksplicitnih brojevnih vrednosti.) 3. Odrediti koliko ima funkcija f : {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} takvih da za sve x {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} vaжi f(f(x)) = x. 4. Odrediti sve uređene trojke (a, b, c) realnih brojeva takvih da funkcija f : R R, zadata sa f(x) = sin(ax 2 + bx + c), bude parna. (Za funkciju f kaжemo da je parna akko za sve x vaжi f(x) = f( x).) 5. Odrediti koliko jednaqina y 3 + x 2 y + 2xy 2 + x 2 + 3xy + 2y 2 + 3x + y + 2 = 0 ima celobrojnih rexenja (x, y) za koja vaжi x 20 i y 18.