homotetija_ddj.dvi

Homotetija verzija.0: 16.10.016. uxan uki efinicija. Homotetija H O,k sa centrom O i koeficijentom k je preslikavanje ravni koje slika svaku taqku X u taqku X takvu da je OX = k OX. Homotetiju zovemo pozitivnom ako je k > 0, i negativnom ako je k < 0. Homotetija je transformacija sliqnosti, tj. slika neke figure je njoj sliqna figura. Kao takva, homotetija slika prave u prave i krugove u krugove, xto znaqi da quva kolinearnost i koncikliqnost, kao i paralelnost i konkurentnost pravih. Ona takođe quva uglove i odnose između duжina. Ukratko, homotetija quva sve osim veliqine. H O,0.6 () = H O, 0.8 () = O ko homotetija sa centrom O slika taqku u, onda se centar O nalazi na pravoj. Ovo jednostavno svojstvo emo qesto koristiti. T.1. ko su trouglovi i takvi da je, i, onda su oni homotetiqni ili podudarni. Prave, i konkurentne u centru homotetije ili paralelne. okaz. ko se nikoje dve od pravih,, ne seku, tvrđenje je trivijalno. Pretpostavimo bez smanjenja opxtosti da se i seku u taqki O. Homotetija sa centrom O koja slika taqke, u, redom slika u taqku 1 takvu da je 1 i 1, pa je 1, xto dokazuje tvrđenje. Primer. U trouglu, ortocentar H, teжixte T i centar opisanog kruga O leжe na jednoj pravoj (Ojlerova prava). okaz. Neka su 1, 1, 1 redom sredixta stranica,,. Taqka O je ortocentar trougla 1 1 1. Homotetija sa centrom T i koeficijentom 1 slika trougao u 1 1 1, pa zato slika ortocentar H trougla u ortocentar O trougla 1 1 1, dakle H,T,O su na pravoj i HT = TO. Kompozicija dve homotetije takođe je homotetija. Slede e tvrđenje daje vezu između centara dve homotetije i njihove kompozicije. T.. Neka su H 1 i H homotetije sa centrima O 1 i O redom. ko je O centar homotetije H = H H 1, onda su taqke O 1,O i O kolinearne. okaz. Oznaqimo sa λ 1 i λ redom koeficijente homotetija H 1 i H. Neka je proizvoljna taqka u ravni, = H 1 () i = H () = H(). Taqke O 1,O i O redom leжe na stranicama, i trougla. Pri tom je O 1 = λ 1, O = λ i O = 1 O 1 O O λ 1λ, dakle O 1 O O = 1, i po Menelajevoj teoremi O 1,O i O su na pravoj. O 1 O O 1

Slede e tvrđenje je direktna posledica prethodnog. T.3 (Monжova teorema). ati su krugovi k 1,k i k 3 u ravni. Spoljaxnje zajedniqke tangente k i k 3 seku se u 1 ; analogno se definixu i 3. Tada su taqke 1, i 3 kolinearne. k 1 Tvrđenje vaжi i ako se dve od tri taqke 1,, 3 definixu kao preseci unutraxnjih zajedniqkih tangenti. k k 3 okaz. Neka su H 1 i H homotetije sa centrima 1 i koje slikaju k u k 3 i k 3 u k 1, re- 1 3 dom. Homotetija H H 1 koja slika k u k 1 ima centar u 3. Iz prethodne teoreme sledi tvrđenje. Posledica. Neka krugovi γ 1 i γ iznutra dodiruju krug γ u taqkama i. Tada se spoljaxnje tangente krugova γ 1 i γ seku na pravoj. Zadaci 1. Krugovi k 1 i k se dodiruju spolja u taqki P, a njihove spoljaxnje zajedniqke tangente seku se u taqki Q. Prava kroz taqku Q seqe krug k 1 u taqkama i, a krug k u taqkama i, uz raspored taqaka Q. okazati da je P = 90.. ati su krugovi k 1 i k polupreqnika r 1 i r koji se dodiruju u taqki P. Odrediti najve u mogu u povrxinu trougla PQR kome je teme Q na krugu k 1, a teme R na k. 3. Krug γ 1 iznutra dodiruje krug γ u taqki. Tetiva kruga γ dodiruje γ 1 u taqki. okazati da je =. 4. Podudarnikrugovi ω 1 i ω iznutra dodiruju krug ω redomutaqkama i. Odabrana je taqka na ω. Prave i ponovo seku ω 1 i ω u i redom. okazati da je. 5. at je paralelogram. Krug k a dodiruje stranice i, a krug k c dodiruje stranice, i krug k a spolja u taqki M. okazati da je M na dijagonali. 6. (a) U trouglu, upisani krug ω dodiruje u, a pripisani krug ω a preko puta dodiruje u E. okazati da taqka F dijametralno suprotna taqki u ω leжi na pravoj E. (b) ko je M sredixte i I centar ω, dokazati da prava MI polovi. 7. U trouglu upisani krug i pripisani krug naspram imaju centre I i I a, a dodiruju stranicu u taqkama i a, redom. okazati da se prave I a i I a seku na visini trougla iz temena. 8. Kvadrat PQRS je upisan u krug. Tangente iz taqke van kruga seku PR u taqkama K i L, a prave Q i S redom seku PR u M i N. okazati da je KM = LN. 9. Trougao u kome je = upisan je u krug k. Krug ω iznutra dodiruje krug k i dodiruje stranice i redom u P i Q. okazati da je centar upisanog kruga trougla sredixte duжi PQ. 10. Trougao je takav da je + =. okazati da taqka, sredixta M i N stranica i i centri upisanog i opisanog kruga I i O, redom, leжe na jednom krugu k. Takođe dokazati da je IT tangenta na k, gde je T teжixte trougla.

11. Krugovi ω 1 i ω sa centrima O 1 i O redom seku se u taqkama K i K. Jedna zajedniqka tangenta dodiruje ω 1 i ω u P 1 i P, a druga u Q 1 i Q, redom. Neka su M 1 i M redom sredixta P 1 Q 1 i P Q. okazati da je O 1 KO = M 1 KM. 1. at je trapez sa paralelnim stranicama >. Taqke K i L redom na stranicama i su takve da je K K = L L. Taqke P i Q na duжi KL su takve da je P = i Q =. okazati da su taqke,,p,q koncikliqne. 13. Tri kruga jednakih polupreqnika prolaze kroz taqku O i leжe unutar trougla. Svaki od tih krugova dodiruje po dve stranice trougla. okazati da taqka O i centri opisanog i upisanog kruga trougla leжe na jednoj pravoj. 14. ata su qetiri kruga γ,γ a,γ b,γ c jednakih polupreqnika ρ unutar trougla. Krug γ a dodiruje i, γ b dodiruje,, a γ c dodiruje,, i svaki od tih krugova dodiruje γ. ko su r i R polupreqnici upisanog i opisanog kruga, odrediti ρ. 15. U nejednakokrakom trouglu 1 3, a i oznaqava stranicu nasuprot temenu i. Za i = 1,,3, M i je sredixte stranice a i, T i taqka dodira upisanog kruga sa a i, a S i taqka simetriqna taqki T i u odnosu na simetralu ugla u temenu i. okazati da se prave M 1 S 1,M S i M 3 S 3 seku u jednoj taqki. 16. at je krug γ u unutraxnjosti trougla. Krug γ a dodiruje stranice i i spolja dodiruje γ u taqki 1 tako da je bliжe krugu γ a nego krugu γ; analogno se definixu krugovi γ b,γ c i taqke 1, 1. okazati da prave 1, 1 i 1 imaju zajedniqku taqku. 17. U nejednakostraniqnom trouglu upisani krug dodiruje stranice,, redom u taqkama,e,f. Taqke P,Q,R redom su podnoжja visina iz,e,f u trouglu EF. okazati da se prave P,Q i R seku u taqki na Ojlerovoj pravoj trougla EF. 18. Upisani krug trougla dodiruje stranice,, redom u taqkama,e,f. okazati da centri opisanog i upisanog kruga i ortocentar EF leжe na istoj pravoj. 19. (Paskalova teorema) Neka su,,,,e,f taqke na krugu. Prave i E seku se u L, prave i EF u M, a i F u N. okazati da su taqke L,M,N kolinearne. 0. Trougao je upisan u krug Ω. Neka krug ω a dodiruje stranice i i iznutra dodiruje Ω u taqki T a ; analogno definixemo krugove ω b,ω c i taqke T b,t c. okazati da se prave T a,t b,t c seku u jednoj taqki, i to na pravoj FH, gde je H ortocentar i F Fojerbahova taqka trougla. 1. ata je taqka P na stranici konveksnog qetvorougla. Neka je ω upisani krug trougla P i I njegov centar. Pretpostavimo da ω dodiruje upisane krugove trouglova P i P u taqkama K i L redom. Neka se dijagonale i seku u E, a prave K i L u F. okazati da su taqke E,I i F kolinearne.. Neka je konveksan qetvorougao kod koga je =. Neka su ω 1 i ω upisani krugovi trouglova i, redom. Pretpostavimo da postoji krug ω koji dodiruje polupravu iza taqke i polupravu iza taqke, a koji istovremeno dodiruje i prave i. okazati da se spoljaxnje zajedniqke tangente krugova ω 1 i ω seku na ω. 3

Rexenja 1. Neka je H homotetija sa centrom u Q koja slika krug k 1 u krug k. Ta homotetija slika taqke i redom u i. Takođe, slika taqke P je taqka P na krugu k dijametralno suprotna taqki P. Prema tome, P P i P = PP = 90.. Homotetija sa centrom P koja slika k 1 u k slika e taqku Q k 1 u taqku Q k takvu da je PQ = r r 1 PQ. Zato je P PQR = r1 r P PQ R, gde je trougao PQ R upisan u krug k. Znamo da je povrxina trougla PQ R maksimalna kada je on jednakostraniqan, i tada je jednaka r 3 4. Sledi da je maksimalna povrxina PQR jednaka r1r 3 4. 3. Posmatrajmo homotetiju H sa centrom u koja slika ω 1 u ω. Slika prave pri homotetiji H je prava paralelna njoj koja dodiruje ω u taqki = H(). Sledi da je sredixte luka kruga ω koji ne sadrжi taqku, dakle je simetrala ugla. 4. Neka je r polupreqnik ω, a r polupreqnik ω 1 i ω. Homotetija sa centrom i koeficijentom k koja slika ω 1 u ω slika u, pa je / = k. nalogno je / = k, pa je po Talesovoj teoremi. 5. Neka je H homotetija sa centrom M koja slika k a u k c. Slika prave pri H je tangenta na k c paralelna pravoj, odakle sledi da je to prava. nalogno, H slika pravu u pravu, dakle slika taqke je, i M je na. 6. Homotetija sa centrom koja slika ω a u ω takođe slika E u taqku na ω u kojoj je tangenta paralelna sa, a to je taqka F; dakle,,e,f su kolinearne. Kao srednja linija trougla EF, prava MI je paralelna pravoj EF i zato sadrжi srednju liniju trougla E, odakle sledi tvrđenje. 7. Po prethodnom zadatku, taqka F na upisanom krugu dijametralno suprotna taqki leжi na pravoj a. Sledi da prava a I prolazi kroz sredixte visine iz temena. nalogno, prava I a prolazi kroz sredixte te visine. 8. Posmatrajmo homotetiju H sa centrom koja slika PR u tangentu na krug u taqki S; ona slika N u S. Neka H slika K,L,M u K,L,M redom. ati krug je upisan u K L i dodiruje K L u S, pa je po prethodnom zadatku K M = L S, odakle je i KM = LN po Talesovoj teoremi. 9. Neka je O centar kruga ω i neka ω dodiruje k u taqki. Sredixte I duжi PQ leжi na pravoj sa taqkama, O i. Posmatrajmo homotetiju sa centrom koja slika sredixte M stranice u taqku ; ona slika u neki trougao, pri qemu je k = koeficijent homotetije. Kako su trouglovi IP,, i PO sliqni, imamo I O = I P P O = =, pa homotetija slika I u O, tj. u centar upisanog kruga ; dakle, I je centar upisanog kruga. 10. Neka je sredixte luka opisanog kruga koji ne sadrжi. entar I je na pravoj i vaжi = = I. Na osnovu Ptolomejeve teoreme u qetvorouglu imamo = ( +) =, odakle je = = I, tj. I je sredixte tetive, odakle sledi OI = 90. Prema tome, taqke M,N i I leжe na krugu k nad preqnikom O. Krug k je homotetiqan krugu sa centrom homotetije i koeficijentom 1, a I je sredixte luka MN, pa je tangenta u I na k paralelna pravoj. Kako je ah a = [] = (a + b + c)r = 3ar, rastojanje od T do prave je jednako 1 3 h a = r, dakle IT je paralelno sa i dodiruje k. 4

11. Primetimo da je O 1 KO = M 1 KM ekvivalentno sa O 1 KM 1 = O KM. Neka je S taqka preseka zajedniqkih tangenti. P 1 L P Homotetija sa centrom u S koja slika K ω 1 u ω slika K u L. Iz SO 1 P 1 SP 1 M 1 imamo SK SL = SP1 = SO S 1 SM 1, O 1 M 1 O M xto znaqi da su O 1,L,K,M 1 koncikliqne. Q Zato je O 1 KM 1 = O 1 LM 1 = O KM. Q 1 1. Neka je E taqka preseka pravih i. Homotetija H sa centrom E, koja slika taqke i redom u i, slika taqku L i K, xto znaqi da su taqke E, L, K kolinearne. Neka se pri toj homotetiji taqka Q slika u Q. Kako je Q = Q = 180 P, qetvorougao PQ je tetivan. Sledi da je (u orijentisanim uglovima) 180 QP = EQ = EQ = P = 180 P P = P = P. Q 13. Neka su O a,o b,o c centri ovih krugova koji odgovaraju temenima,,, redom. Prave O a,o b i O c su simetrale uglova trougla i seku se u centru upisanog kruga I. Stranice trougla O a O b O c su paralelne stranicama trougla, dakle O a O b O c je slika pri homotetiji H sa centrom I. Kako H slika centar O opisanog kruga O a O b O c u centar S opisanog kruga, taqke I,O,S su kolinearne. 14. Neka su S a,s b,s c,s,i,o redom centri γ a,γ b,γ c,γ i upisanog i opisanog kruga ω,ω trougla, redom. Trougao S a S b S c je homotetiqan trouglu sa koeficijentom sliqnosti r ρ r. entar ove homotetije je presek pravih S a,s b,s c, a to je I. Ista homotetija slika Ω (polupreqnika R) u opisani krug S a S b S c (polupreqnika ρ jer je SS a = SS b = SS c = ρ), pa je r ρ r = R Rr ρ. Odavde dobijamo ρ = R+r. 15. Taqke S 1,S,S 3 su na upisanom krugu. Oznaqimo sa XY orijentisani luk XY. Lukovi T S 1 i T 1 T 3 su jednaki jer su simetriqni 3 u odnosu na simetralu 1. nalogno je i T 3 T = S T 1. Odavde je T 3 S 1 = T 3 T + T S 1 = S T 1 + T 1 T 3 = S T 3. Sledi da je S T 1 S 1 S paralelno 1, pa je paralelno i pravoj M 1 M. Sliqno je S 1 S 3 M 1 M 3 i S S 3 M M 3. T S 1 Poxto M 1 M M 3 i S 1 S S 3 nisu podu- 1 T 3 darni (nemaju iste polupreqnike opisanih krugova), oni su homotetiqni, i prave M i S i prolaze kroz centar homotetije. 16. Posmatrajmo tri homotetije H a, H b i H c sa centrima u 1, 1, 1 redom koje slikaju γ a, γ b i γ c u γ. Oznaqimo = H a (), = H b () i = H c (); pri tom γ c 1, 1 i 1. Obe homotetije H a i H b slikaju pravu u tan- 1 gentu kruga γ paralelnu pravoj, pa je X γ γ ; analogno, i a 1 1 γ b. To znaqi da su trouglovi i homotetiqni, sa centrom X u pre- seku pravih, i. Sledi da prave 1, 1, 1 prolaze kroz X. K S 3 L Q P E 5

17. Prave PQ,QR,RP su paralelne stranicama,, redom, pa su trouglovi i P QR homotetiqni, sa centrom homotetije u nekoj taqki X. Ta homotetija slika i upisane krugove ovih trouglova jedan u drugi, a njihovi centri su centar I upisanog kruga (ujedno i centar opisanog kruga EF) i ortocentar EF. 18. Oznaqimo sa O i I redom centre opisanog i upisanog kruga, i sa V ortocentar EF. Neka su P,Q,R redom podnoжja visina iz,e,f u trouglu EF. Kao u prethodnom zadatku, trouglovi E R PQR i su homotetiqni; neka je X X P V centar homotetije H koja slika u I Q PQR. entar upisanog kruga PQR je O V. Homotetija H slika I u V, pa su taqke X, V, I kolinearne, tj. X je na Ojlerovoj F pravoj l trougla EF. Takođe, H slika O u centar opisanog kruga PQR, xto je Ojlerov centar trougla EF, odakle sledi da i O leжi na l, qime je tvrđenje dokazano. 19. Neka prave i EF ponovo seku krug FN u taqkama G i H redom. Lema. ati su krugovi ω 1 i ω koji se seku u i, i taqke i na ω 1. ko prave i redom seku ω u E E i F, tada je EF. N okaz. Radimo sa orijentisanim uglovima: EF = F = = L M, i otuda EF. Na osnovu leme je E GH, E HN i F NG. Trouglovi NGH i LE imaju H paralelne stranice, xto znaqi da su homotetiqni, pa su G, EH i LN konkurentne, i to upravo u taqki G EH = M. 0. Oznaqimo sa ω i φ redom upisani i Ojlerov krug. Neka je M centar pozitivne homotetije koja slika ω u Ω. Na osnovu teoreme 3 za krugove ω,ω i ω a, taqke,t a i M su kolinearne, dakle prave T a,t b,t c se seku u M. entri homotetija za parove krugova (φ,ω), (φ,ω) i (Ω,ω) su redom H,F,M, odakle po T.3 sledi M FH. 1. Oznaqimo sa J centar kruga k koji dodiruje prave,, u poluravni određenoj pravom u kojoj je qetvorougao, i sa ω a i ω b krugove upisane u P i P. Neka je F centar negativne homotetije koja slika ω u k. entri negativne i pozitivne homotetije koji slikaju ω a u ω i k redom su K i, odakle po T.3 sledi F K; analogno F L. Sledi da je F F, dakle prava IJ kroz centre krugova ω i k sadrжi F. Iz uslova da su tangentne duжi iz P na ω i ω a jednake dobijamo da je P = J ω P, dakle qetvorougao P ima F upisan qetvorougao ω d. Neka je X centar I pozitivne homotetije koja slika ω a u ω. L ω K E b ω Na osnovu teoreme 3 za krugove ω a,ω d i a ω, taqka X leжi na pravoj. S druge strane, T.3 za krugove ω a,ω i k nam daje P kolinearnost taqaka X,,E, gde je E centar pozitivne homotetije koja slika ω u k. Odatle E ; analogno E, pa sledi E E. akle, prava IJ sadrжi i taqku E, xto je kraj dokaza.. Neka ω dodiruje prave,,, redom u taqkama K,L,M,N. Tada je + = +N N = K N = L M = +M M = +. To znaqi da, 6 k G

ako sa P i Q oznaqimo dodirne taqke ω 1 i ω redom sa, vaжi P = + + = = Q. rugim reqima, pripisani krug ω b naspram u dodiruje upravo u Q. P ω 1 Posmatrajmo homotetiju H sa centrom P Q ω koja slika ω b u ω i oznaqimo T = Q H (Q). Na osnovu velikog zadatka, taqka P dijametralno suprotna taqki P na ω 1 leжi na pravoj Q, a taqka Q dijametralno ω b suprotna taqki Q na ω leжi na ω T P. Tangente u P, Q i T na ω 1,ω i ω M redom paralelne su pravoj. Sledi da N K L homotetija sa centrom koja slika ω u ω slika taqku Q u T, pa su taqke T,,Q,P kolinearne. Znaqi, prave P Q i PQ se seku u taqki T, pa kako je PP QQ, taqka T je centar homotetije koja slika ω 1 u ω, odakle sledi tvrđenje. eograd, 014-016 7