EKSTREMNE VREDNOSTI I MONOTONOST FUNKCIJE EKSTREMNE VREDNOSTI su maksimum i (ili minimum funkcij. Nadjmo prvi izvod i izjdnačimo ga sa 0, 0. Ršnja t jdnačin,,... ( naravno ako ih im mnjamo u počtnu funkciju da dobijmo,,... Dobijn tačk M(, ; M (, ;... su kstrmn vrdnosti funkcij. MONOTONOST FUNKCIJE j rašćnj i opadanj funkcij. U intrvalima ( naravno ako ih im gd j > 0 funkcija RASTE. U intrvalima ( naravno ako ih im gd j < 0 funkcija OPADA.. Odrditi kstrmn vrdnosti i intrval monotonosti funkcija: b Ršnj: Posao nam j dakl da nañmo prvi izvod! u u v v u Ovo j izvod količnika pa idmo po formuli v v ( ( ( ( ( ( ( ( [( ( ] [ ( ( ( Sad prvi izvod izjdnačavamo sa 0. ] Zapamtit da uvk brojilac izjdnačavamo sa 0 jr smo s u oblasti dfinisanosti vć ogradili da u imniocu nij 0.
0 0 0 ( Sad ovu vrdnost mnjamo u počtnu funkciju : 0 0 f (0 M (0, Dobili smo tačku kstrma! Za sad n znamo da li j ma ili min. Za monotonost funkcij trbamo da ršimo njdnačin: > 0 ( rast i < 0 (opad Postavljamo sbi pitanj: ( slično kao kod znaka funkcij Od čga nam zavisi znak prvog izvoda? Pogldajmo još jdnom prvi izvod: (. Izraz ( > 0 uvk ( zbog kvadrat pa n utič na razmatranj znaka. Zaključujmo da nam znak prvog izvoda zavisi samo od -. Dakl: > 0 za > 0 < 0... rast < 0 za < 0 > 0... opada Na skici bi to izgldalo: E sad smo sigurni da j naša tačka M (0, maksimum! b ( ( ( ( ( ( ( ( 8 ( 8 ( (
Izjdnačavamo prvi izvod sa 0. 8 0 8 0 ( Da rеšimo ovu kvadratnu jdnačinu: 6 b± b ac 8± 8 8 8 0, a Ob vrdnosti vraćamo u počtnu jdnačinu ( 6 ( 6 6 9 M ( 6, 9 6 ( ( M (, Za monotonost razmišljamo od čga nam zavisi znak prvog izvoda! 8 ( a kako ( > 0 uvk, znači da nam znak zavisi samo od 8. Kao i uvk kad imamo kvadratnu njdnačinu koristimo da : Kvadratni trinom ima znak broja a svuda osim izmdju nula! Znači da funkcija rast za > 0 za (, 6 (, Funkcija opada < 0 za ( 6, Sad nam nij tško da kažmo da j : Tačka M ( 6, 9 j tačka maksimuma Tačka M (, j tačka minimuma.
. Odrditi kstrmn vrdnosti i intrval monotonosti funkcija: b v 5 ln ln Ršnj: 5 (5 ( ( (5 ( ( (5 izvlačimo - kao zajdnički isprd zagrad ( ( ( 5 7 Sada ovo izjdnačavamo sa 0. ( 0 7 0 0 ali znamo da j > 0 pa zaključujmo da ova funkcija nma kstrmn vrdnosti! Dalj razmišljamo od čga nam zavisi znak prvog izvoda... Kako j ( 0 > uvk i > 0 ostaj nam da znak zavisi samo od 7. Zaključujmo da j funkcija opadajuća stalno! b ( ( ( ( ( ( [ ]
Odavd j 0 0 a ršnja ov kvadratn jdnačin su Ov vrdnosti vraćamo u počtnu funkciju : ( M (, ( 6 6 M (, Za odrdjivanj monotonosti opt koristimo znanj iz II godin srdnj da: Kvadratni trinom ima znak broja a svuda osim izmdju nula! Odavd zaključujmo da: > 0 za (, rast < 0 za (, (, opada Onda j tačka M (, tačka minimuma a tačka 6 M (, tačka maksimuma. v ln ln (ln ln (ln(ln ln ln (ln ln ln ln ln pa j ln ln Očigldno j da nmamo kstrmnih vrdnosti jr j u brojiocu samo -. Iz oblasti dfinisanosti funkcij bi našli da j ( ( znaku prvog izvoda: ln 0 > 0 D f (0, (, a to nam govori o > 0 ln > 0 znak zavisi samo od - a onda j funkcija stalno opadajuća! 5
. Odrditi kstrmn vrdnosti i intrval monotonosti funkcija: b ln v arc tg Ršnj: Pazit, ovd s radi o izvodu složn funkcij: ( ( 0 0 ( ( Tačka kstrma j dakl M (,. Kako j > 0 uvk, znak nam zavisi od, pa j: > 0 za > 0 > (, rast < 0 za < 0 < (, opada Sad znamo da j tačka M (, minimum dat funkcij. 6
7 b ln ovd pazimo, jr j ( izvod količnika! ( ( ( ( ( skratimo po - ( koj j različito od 0 još iz domn ( ( Jasno j da funkcija nma kstrmn vrdnosti.da ispitamo monotonost trba nam tablica. E sad, ako malo razmislimo, vidimo da s ova tablica poklapa sa tablicom za oblast dfinisanosti: (, f D Znači da j funkcija RASTUĆA na clom domnu! Ovo j ono što mi pokušavamo da vas naučimo: Svaka tačka u ispitivanju toka funkcij priča svoju priču i nšto ta priča znači na grafiku ali su opt sv tačk u ispitivanju povzan i n mogu jdna bz drug.
8 v arc tg Još jdna složna funkcija, pa izvod radimo pažljivo. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( pokratimo (- srdimo malo... ( ( Jasno j da nma kstrma a kako j uvk pozitivan, funkcija j stalno rastuća!