Microsoft Word - EKSTREMNE VREDNOSTI I MONOTONOST FUNKCIJE.doc

Слични документи
INDUSTRIJSKO INŽENJERSTVO ISPIT IZ Matematike u industrijskom inženjerstvu, Diskutovati po a, b R i rešiti sistem linearnih jednačina a

Microsoft Word - NULE FUNKCIJE I ZNAK FUNKCIJE.doc

Microsoft Word - Ispitivanje toka i grafik funkcije V deo

Microsoft Word - SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNACINA,zadaci.doc

Microsoft Word - IZVODI ZADACI _2.deo_

Mate_Izvodi [Compatibility Mode]

Microsoft Word - ELEMENTARNE FUNKCIJE.doc

Microsoft Word - IZVODI ZADACI _I deo_.doc

Microsoft Word - KVADRATNA FUNKCIJA.doc

My_ST_FTNIspiti_Free

My_P_Trigo_Zbir_Free

Microsoft Word - PARNOST i NEPARNOST FUNKCIJE.PERIODICNOST

No Slide Title

Kontinuirani sustavi

Microsoft Word - GRAFICI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA-II deo.doc

Microsoft Word - ASIMPTOTE FUNKCIJA.doc

Microsoft Word - BROJNI REDOVI zadaci _II deo_.doc

Microsoft Word - Algebra i funkcije- napredni nivo doc

Microsoft Word - Integrali vi deo

Microsoft Word - 4.Ucenik razlikuje direktno i obrnuto proporcionalne velicine, zna linearnu funkciju i graficki interpretira n

СТЕПЕН појам и особине

Microsoft Word - IZVODI ZADACI _4. deo_

Microsoft Word - ASIMPTOTE FUNKCIJE.doc

1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1

Microsoft Word - 1. REALNI BROJEVI- formulice

1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu 3XB T + XA = B, pri qemu

Hej hej bojiš se matematike? Ma nema potrebe! Dobra priprema je pola obavljenog posla, a da bi bio izvrsno pripremljen tu uskačemo mi iz Štreberaja. D

Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 1: Brojevni izrazi Pregled lekcije U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće: osnovni pojmovi o

Microsoft Word - ADICIONE FORMULE.doc

SKRIPTE EKOF 2019/20 skripteekof.com Lekcija 1: Brojevni izrazi Lekcija 1: Brojevni izrazi Pregled lekcije U okviru ove lekcije imaćete priliku da nau

Kvadratna jednaqina i funkcija 1. Odrediti sve n N takve da jednaqina x3 + 7x 2 9x + 1 x 2 bar jedno celobrojno rexee. = n ima 2. Ako za j-nu ax 2 +bx

PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(l

Microsoft Word - PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI.doc

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА

My_P_Red_Bin_Zbir_Free

Seminar 13 (Tok funkcije) Obavezna priprema za seminar nalazi se na drugoj stranici ovog materijala. Ove materijale obražujemo na seminarima do kraja

Microsoft Word - KRIVOLINIJSKI INTEGRALI zadaci iii deo.doc

Zadaci s pismenih ispita iz matematike 2 s rješenjima MATEMATIKA II x 4y xy 2 x y 1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln

Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3

Algebarski izrazi (4. dio)

Neprekidnost Jelena Sedlar Fakultet građevinarstva, arhitekture i geodezije Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 1 / 14

Betonske i zidane konstrukcije 2

Microsoft Word - 15ms261

6-8. ČAS Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije,. Takođe

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) : ; б) : (

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN Odrediti

Microsoft Word - MATRICE ZADACI III deo.doc

Microsoft Word - predavanje8

М А Т Е М А Т И К А Први разред (180) Предмети у простору и односи међу њима (10; 4 + 6) Линија и област (14; 5 + 9) Класификација предмета према свој

Microsoft Word - 6ms001

Matematika 1 - izborna

Microsoft Word - KUPA-obnavljanje.doc

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)

Analiticka geometrija

kvadratna jednačina - zadaci za vežbanje (Vladimir Marinkov).nb 1 Kvadratna jednačina 1. Rešiti jednačine: a x 2 81 b 2 x 2 50 c 4 x d x 1

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i

Орт колоквијум

Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0802.doc

Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: min c T x Ax = b x 0 x Z n Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica

Microsoft Word - 12ms101

ЕКОНОМСКИ ФАКУЛТЕТ УНИВЕРЗИТЕТА У ПРИШТИНИ КОСОВСКА МИТРОВИЦА

PowerPoint Presentation

ПРИРОДА И ЗНАК РЕШЕЊА 2 b ax bx c 0 x1 x2 2 D b 4ac a ( сви задаци су решени) c b D xx 1 2 x1/2 a 2a УСЛОВИ Решења реална и различита D>0 Решења реалн

Neodreeni integrali - Predavanje III

MatematikaRS_2.pdf

9. : , ( )

Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu Elementarne funkcije i preslikavanja u analizi Master rad Mentor: dr Miodrag Mateljević Student: Marija Vu

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)

Процена максималних вредности годишње температуре ваздуха у Бањалуци

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i

Microsoft Word - VEROVATNOCA II deo.doc

СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за векто

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА у = kх + n А утврди 1. Које од наведених функција су линеарне: а) у = 2х; б) у = 4х; в) у = 2х 7; г) у = 2 5 x; д)

Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Iracionalne jednaqine i nejednaqine Zlatko Lazovi 29. mart 2017.

PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA RAČUNARSKE NAUKE Utorak, godine PRIJEMNI ISPIT IZ INFORMATIKE 1. Koja od navedenih ekste

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL završni ispit 6. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1.

Microsoft Word - IZVOD FUNKCIJE.doc

Natjecanje 2016.

CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup priro

Jednadžbe - ponavljanje

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja)

Орт колоквијум

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori n

Zadatak 3.1 Navesti kineti~ke jedna~ine za sistem sa ~etiri nivoa, predstavljen na slici, uzimaju}i u obzir da je brzina neradijacionih prelaza S32 i

Microsoft Word - integrali IV deo.doc

Microsoft Word - PRIMENA INTEGRALA.doc

Microsoft PowerPoint - jkoren10.ppt

Microsoft Word - Drugi razred mesecno.doc

1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K.

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Vietove formule. Rastavljanje kvadratnog trinoma na lenear\205)

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРА

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

Algebarska topologija VAN KAMPENOV TEOREM Algebarska topologija VAN KAMPENOV TEOREM 10. Slobodni produkt grupa Slobodni produkt grupa 3 VA

Microsoft PowerPoint - 09 PEK EMT Optimizacija 4 od 4-Algoritam (2012).ppt [Compatibility Mode]

(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)

Microsoft Word JEDINICE ZA MERENJE-formulice

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

Транскрипт:

EKSTREMNE VREDNOSTI I MONOTONOST FUNKCIJE EKSTREMNE VREDNOSTI su maksimum i (ili minimum funkcij. Nadjmo prvi izvod i izjdnačimo ga sa 0, 0. Ršnja t jdnačin,,... ( naravno ako ih im mnjamo u počtnu funkciju da dobijmo,,... Dobijn tačk M(, ; M (, ;... su kstrmn vrdnosti funkcij. MONOTONOST FUNKCIJE j rašćnj i opadanj funkcij. U intrvalima ( naravno ako ih im gd j > 0 funkcija RASTE. U intrvalima ( naravno ako ih im gd j < 0 funkcija OPADA.. Odrditi kstrmn vrdnosti i intrval monotonosti funkcija: b Ršnj: Posao nam j dakl da nañmo prvi izvod! u u v v u Ovo j izvod količnika pa idmo po formuli v v ( ( ( ( ( ( ( ( [( ( ] [ ( ( ( Sad prvi izvod izjdnačavamo sa 0. ] Zapamtit da uvk brojilac izjdnačavamo sa 0 jr smo s u oblasti dfinisanosti vć ogradili da u imniocu nij 0.

0 0 0 ( Sad ovu vrdnost mnjamo u počtnu funkciju : 0 0 f (0 M (0, Dobili smo tačku kstrma! Za sad n znamo da li j ma ili min. Za monotonost funkcij trbamo da ršimo njdnačin: > 0 ( rast i < 0 (opad Postavljamo sbi pitanj: ( slično kao kod znaka funkcij Od čga nam zavisi znak prvog izvoda? Pogldajmo još jdnom prvi izvod: (. Izraz ( > 0 uvk ( zbog kvadrat pa n utič na razmatranj znaka. Zaključujmo da nam znak prvog izvoda zavisi samo od -. Dakl: > 0 za > 0 < 0... rast < 0 za < 0 > 0... opada Na skici bi to izgldalo: E sad smo sigurni da j naša tačka M (0, maksimum! b ( ( ( ( ( ( ( ( 8 ( 8 ( (

Izjdnačavamo prvi izvod sa 0. 8 0 8 0 ( Da rеšimo ovu kvadratnu jdnačinu: 6 b± b ac 8± 8 8 8 0, a Ob vrdnosti vraćamo u počtnu jdnačinu ( 6 ( 6 6 9 M ( 6, 9 6 ( ( M (, Za monotonost razmišljamo od čga nam zavisi znak prvog izvoda! 8 ( a kako ( > 0 uvk, znači da nam znak zavisi samo od 8. Kao i uvk kad imamo kvadratnu njdnačinu koristimo da : Kvadratni trinom ima znak broja a svuda osim izmdju nula! Znači da funkcija rast za > 0 za (, 6 (, Funkcija opada < 0 za ( 6, Sad nam nij tško da kažmo da j : Tačka M ( 6, 9 j tačka maksimuma Tačka M (, j tačka minimuma.

. Odrditi kstrmn vrdnosti i intrval monotonosti funkcija: b v 5 ln ln Ršnj: 5 (5 ( ( (5 ( ( (5 izvlačimo - kao zajdnički isprd zagrad ( ( ( 5 7 Sada ovo izjdnačavamo sa 0. ( 0 7 0 0 ali znamo da j > 0 pa zaključujmo da ova funkcija nma kstrmn vrdnosti! Dalj razmišljamo od čga nam zavisi znak prvog izvoda... Kako j ( 0 > uvk i > 0 ostaj nam da znak zavisi samo od 7. Zaključujmo da j funkcija opadajuća stalno! b ( ( ( ( ( ( [ ]

Odavd j 0 0 a ršnja ov kvadratn jdnačin su Ov vrdnosti vraćamo u počtnu funkciju : ( M (, ( 6 6 M (, Za odrdjivanj monotonosti opt koristimo znanj iz II godin srdnj da: Kvadratni trinom ima znak broja a svuda osim izmdju nula! Odavd zaključujmo da: > 0 za (, rast < 0 za (, (, opada Onda j tačka M (, tačka minimuma a tačka 6 M (, tačka maksimuma. v ln ln (ln ln (ln(ln ln ln (ln ln ln ln ln pa j ln ln Očigldno j da nmamo kstrmnih vrdnosti jr j u brojiocu samo -. Iz oblasti dfinisanosti funkcij bi našli da j ( ( znaku prvog izvoda: ln 0 > 0 D f (0, (, a to nam govori o > 0 ln > 0 znak zavisi samo od - a onda j funkcija stalno opadajuća! 5

. Odrditi kstrmn vrdnosti i intrval monotonosti funkcija: b ln v arc tg Ršnj: Pazit, ovd s radi o izvodu složn funkcij: ( ( 0 0 ( ( Tačka kstrma j dakl M (,. Kako j > 0 uvk, znak nam zavisi od, pa j: > 0 za > 0 > (, rast < 0 za < 0 < (, opada Sad znamo da j tačka M (, minimum dat funkcij. 6

7 b ln ovd pazimo, jr j ( izvod količnika! ( ( ( ( ( skratimo po - ( koj j različito od 0 još iz domn ( ( Jasno j da funkcija nma kstrmn vrdnosti.da ispitamo monotonost trba nam tablica. E sad, ako malo razmislimo, vidimo da s ova tablica poklapa sa tablicom za oblast dfinisanosti: (, f D Znači da j funkcija RASTUĆA na clom domnu! Ovo j ono što mi pokušavamo da vas naučimo: Svaka tačka u ispitivanju toka funkcij priča svoju priču i nšto ta priča znači na grafiku ali su opt sv tačk u ispitivanju povzan i n mogu jdna bz drug.

8 v arc tg Još jdna složna funkcija, pa izvod radimo pažljivo. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( pokratimo (- srdimo malo... ( ( Jasno j da nma kstrma a kako j uvk pozitivan, funkcija j stalno rastuća!