TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje izmeñu dve tače Ao su nam date tače A( x, y i B( x, y, onda rastojanje izmeñu njih računamo po formuli d( A, B ( x x + ( y y Primer. Odrediti dužine stranica trougla čija su temena A(,, B(4, i C(,5 C(,5 d(a,c d(b,c A(, d(a,b B(4, Da vas ne zbuni, nema veze da li ćete obeležiti d(a,b ili d(b,a jer je rešenje isto. d( A, B ( x x + ( y y d A B (, (4 + ( 9+ 0 d A C (, ( + (5 0+ 6 4 d B C (, ( 4 + (5 9+ 6 5. Deljenje duži u datoj razmeri Ao je tača M ( xλ, yλ unutrašnja tača duži AB, gde je A( x, y i B( x, y i ao je data razmera AM AM : MB λ to jest ( λ, u ojoj tača M deli duž AB, onda se oordinate tače M računaju po MB obrascima x + λx y + λ y M ( x, y x i y + λ + λ λ λ λ λ M ( x, y A( x, y B( x, y λ λ
. Sredina duži Ao je tača M ( x, y sredina duži AB ( A( x, y i B( x, y onda se njene oordinate računaju po formuli s s Primer. Izvesti formule za oordinate težišta trougla! x + x y + y M ( x, y x i y s s s s M ( x, y s A( x, y B( x, y Da se podsetimo, težište se nalazi u preseu težišnih duži i težište deli težišnu duž u odnosu :. C( x, y s A*( x*, y* A( x, y B( x, y Najpre ćemo naći oordinate tače A*( x*, y * ao sredinu duži BC. x + x y + y A*( x*, y* x* i y* C( x, y T ( x, T yt A x + x y + y *(, A( x, y B( x, y Dalje ćemo isoristiti formulu za deljenje duži u datoj razmeri, gde je AT : TA* : x + x x + ( y + y y + ( T ( x, y x + i y + x+ x+ x y+ y+ y T T T T
4. Površina trougla preo oordinata temena Nea su A( x, y, B( x, y i C( x, y temena datog trougla ABC odreñena pomoću naznačenih oordinata u odnosu na pravougli oordinatni sistem xoy, tada je površina trougla data obrascem x ( y y + x( y y + x ( y y može i preo determinante( naravno, o je upoznat sa njihovim izračunavanjem x y x y x y Apsolutna vrednost je tu da nam obezbedi da rešenje ne bude negativno, jer površina ne može biti negativan broj. Primer. Izračunati površinu trougla ABC ao je A(-, ; B(8,- i C(,8 x ( y y + x( y y + x( y y ( 8 + 8(8 + ( ( ( 0 + 8 5 + ( + 0 + 40 + 5 75 P 7,5
PRAVA i opšti ( implicitni obli je ax+ by+ c 0 ii esplicitni obli je y x+ n Ovaj obli nam je najbitniji jer se oristi u mnogim formulama. U njemu je : - oeficijent pravca (, gde je α ugao oji prava gradi sa pozitivnim smerom x ose n - je odseča na y - osi Kao preći iz opšteg u esplicitni obli? ax+ by+ c 0 sve sa y ostavimo levo a ostale prebacimo desno by ax c sad sve podelimo sa b a c y x b b a c Odavde je i n b b Primer 4. Pravu 7x+y + 0 prebaciti u esplicitni obli i naći i n 7x+ y+ 0 sve sa y ostavimo levo a ostale prebacimo desno y 7x sad sve podelimo sa 7 y x 7 Odavde je i n x y iii + je segmentni obli m n m je odseča na x osi n je odseča na y osi y n O m x 4
Primer 5. U jednačini px+ ( p+ y 8 0 odrediti parametar p, tao da prava gradi dva puta veći odseča na apscisnoj osi nego na ordinatnoj osi. Prava gradi dva puta veći odseča na apscisnoj osi nego na ordinatnoj osi, znači m Sredimo datu jednačinu prave da bi iz nje mogli da pročitamo m i n. px+ ( p+ y 8 0 px+ ( p+ y 8 sve podelimo sa 8 px ( p+ y + oslobodimo x i y 8 8 x y 8 8 + odavde je m i n 8 8 p p+ p p+ Sad ovo zamenimo u m n m n 8 8 p p+ 8 6 p p+ 6 p 8( p+ 6 p 8p+ 8 6 p 8 p 8 8 p 8 p iv x cosϕ+ y sinϕ p je normalni obli jednačine prave y n O p ϕ x U ovoj jednačini je : p je normalno rastojanje od oordinatnog početa (0,0 do naše prave ϕ je ugao oji rastojanje p gradi sa pozitivnim smerom x ose 5
Formula za prelaza iz opšteg u normalni obli je : ax+ by+ c ax+ by+ c 0 0 ± a + b ali pazimo, ispred orena uzimamo zna suprotan od znaa broja c. Primer 6. Svedi jednačinu 4x y +5 0 na normalni obli. 4x y+ 5 4x y+ 5 0 0 ( minus ispred orena jer je c5 4 + 4x y+ 5 4x y+ 5 4 0 0 x+ y 0 a odavde je : 5 5 5 5 4 p, cos ϕ, sin ϕ 5 5 v Prava roz taču A( x, y sa oeficijentom pravca je : y y ( x x y y vi Prava roz tače A( x, y i B( x, y je : y y ( x x x x y y Primećujete da je onda x x Kaav može biti meñusoban položaj dve prave u ravni? Mogu da se seu Taču presea nalazimo rešavajući sistem od te dve jednačine! Ao posmatramo prave y x+ n i y x+ n onda je ugao pod ojim se seu dat formulom: + Ao se te dve prave seu pod pravim uglom, onda je ( uslov normalnosti Mogu da budu paralelne Prave y x+ n i y x+ n su paralelne ao je ( uslov paralelnosti 6
Primer 7. Data su temena trougla A(-5,-, B(7,6, C(5,4. Odrediti: a jednačinu stranice AB b jednačinu visine h c c ugao od temena A a Upotrebićemo formulu za jednačinu prave roz dve tače( A i B C(5,4 A(-5, B(7,6 y y y y ( x x x x 6 ( y ( ( x ( 5 7 ( 5 6+ y+ ( x+ 5 7+ 5 8 y+ ( x+ 5 y+ ( x+ 5 y x+ 5 0 6 y x+ 4 y x+ b C(5,4 h c A(-5, B(7,6 7
Jednačinu visine h c ćemo naći ao jednačinu prave roz jednu taču C( 5,4 a njen oeficijent pravca mora da zadovoljava uslov normalnosti sa pravom AB. Koeficijent pravca prave AB : 4 y x+ je. Naša prava je normalna na AB, pa je : y y ( x x y 4 ( x 5 5 y x+ + 4 y x+ c Ugao od temena A je ustvari ugao izmeñu pravih AB i AC. Čim nam traže nei ugao oristimo obrazac + C(5,4 α A(-5, B(7,6 Iz prave AB već imamo oeficijent pravca. Ne moramo tražiti celu jednačinu prave AC već samo njen oeficijent pravca. y y A(-5,-, C(5,4 menjamo u x x y x y x 4 ( 5 ( 5 6 0 5 8
+ 5 + 5 5 6 + 5 5 5 α arctg Pramen pravih Ao su A x+ B y+ C 0 i A x+ B y+ C 0 jednačine dveju pravih oje se seu u tači O, tada je : A x+ B y+ C + λ( A x+ B y+ C 0 jednačina pramena pravih sa centrom u tači O. A x+ B y+ C 0 A x+ B y+ C 0 O Znači, da bi opisali pramen pravih, potrebne su nam dve prave iz tog pramena. 9
Odstojanje tače A( x, y od prave ax+ by+ c 0 dato je formulom: d ax+ by+ c a + b Primer 8. U pramenu pravih x+ y+ 4 + λ( x y 0 odrediti pravu čije odstojanje od tače P(,- iznosi 0. Najpre prepaujemo jednačinu pramena: x+ y+ 4 + λ( x y 0 x+ y+ 4+ λx λ y λ 0 upaujemo one uz x, pa uz y, pa slobodne... ( + λ x+ ( λ y+ 4 λ 0 Odavde možemo videti da je a + λ, b λ Sad uzimamo formulu za rastojanje tače od prave d ax+ by+ c a + b d 0 0 ( + λ + ( λ ( + 4 λ ( + λ + ( λ 5 + 5 4+ λ + 6λ+ 4 λ 4+ 4λ+ λ + 4λ+ 4λ 5λ+ 5 λ Odavde sredjivanjem dobijamo dva rešenja: λ 9 λ 0 Kad ova rešenja vratimo u pramen x+ y+ 4 + λ( x y 0 dobijamo tražene prave: x y + 0 x + 8 y +67 0 0