Sigali i sustavi Auditore vežbe 6. Jedadžbe diferecia Koriste se u opisu diskretog sustava modelom s ulazo-izlazim variablama. Određivae odziva sustava svodi se a problem rešavaa edadžbi diferecia. Načie rešavaa edadžbi diferecia ilustrirat ćemo primerima. Klasiči ači rešavaa Rešee ehomogeih liearih edadžbi diferecia općeito se dobiva kao zbro:. rešea homogee edadžbe h koeg određue struktura edadžbe te. partikularog rešea p koeg određue fukcia pobude.
Zadatak. Rieši homogeu edadžbu diferecia uz počete uvete i. Jedadžbu zadovolava fukcia. Uvrštavaem u zadau edadžbu dobivamo karakterističu edadžbu Zadatak. - karakterističa edadžba Sređivaem dobivamo: Trivialo rešee e, dok etrivialo rešee traži:, ± Zadatak. - karakterističa edadžba Netriviala rešea karakterističe edadžbe azivau se vlastite frekvecie. ±,, Jedadžbu zadovolavau izovi,. Rešee homogee edadžbe diferecia za različite i dobivamo u obliku: h 6
7 Zadatak. - određivae kostati Kostate i se određuu a temelu pozavaa početih uveta i. Početi uveti su i. Tada vriedi: h h 6, 8 Zadatak. - koačo rešee Opće rešee edadžbe Z, Z, 6 e Uz počete uvete i rešee e 9 Zadatak. Nađi opće rešee homogee edadžbe diferecia Karakterističa edadžba e odoso
Zadatak. - karakterističa edadžba Karakterističa edadžba e trećeg reda. Sređivaem dobivamo: Tada su vlastite frekvecie sustava,, Zadatak. - karakterističa edadžba Ovde se radi o višestruko vlastito vriedosti dvostruko, pa e homogeo rešee oblika: h Zadatak. Nađi opće rešee homogee edadžbe diferecia Karakterističa edadžba e odoso
Zadatak. - karakterističa edadžba Rešavaem ove kvadrate edadžbe dobivamo rešea, ± Rešea možemo apisati preko modula i argumeta kao e e Zadatak. - opće rešee Opće rešee e prema tome h e e e e Ekspoeciale fukcie možemo apisati i pomoću fukcia si i cos: si cos si cos si cos h e e Zadatak. - koačo rešee Uvodimo ove kostate A i B A B Koačo rešee e tada si cos B A modul vlastite frekvecie faza vlastite frekvecie
Određivae homogeog rešea edostruka reala vlastita frekvecia k-struka reala vlastita frekvecia kougirao-kompleksi par kuta ±φ i modula k-struki kougiraokompleksi par kuta ±φ i modula h h k k h A cosφ B siφ h cosφ A A k A k siφ B B k B k 6 Određivae partikularog rešea Naveći bro pobuda zaimlivih za aalizu diskretih sustava dade se predstaviti ili aproksimirati izovima oblika polioma ili komplekse ekspoeciale. To e razlog da se metoda eodređeih koeficieata koristi u aalizi sustava zbog ee edostavosti. 7 Zadatak. Rieši edadžbu diferecia x uz pobudu za x iače te uz počete uvete i 8 6
Zadatak. - homogea edadžba Potrebo e riešiti ehomogeu edadžbu, za Kada rešavamo ehomogeu edadžbu prvo rešavamo odgovarauću homogeu edadžbu, a oda metodom eodređeih koeficieata tražimo partikularo rešee. Odgovarauća homogea edadžba e, za 9 Zadatak. - homogea edadžba Karakterističa edadžba edadžbe, za e Vlastite frekvecie su i Homogeo rešee e oblika h Zadatak. - partikularo rešee Određivae partikularog rešea:. Pobuda e složea i predstavla umožak polioma prvog reda i ekspoecialog iza.. Za pobudu poliomom -tog reda partikularo rešee će biti poliom -tog reda.. Za ekspoecialu pobudu partikularo rešee ima oblik komplekse ekspoeciale. Za ašu pobudu x za partikularo rešee bi izgledalo ovako: p A B 7
Zadatak. - partikularo rešee Partikularo rešee e oblika p A B No budući da e frekvecia komplekse ekspoeciale edaka vlastito frekvecii sustava koa e usto i dvostruka, partikularo rešee treba pomožiti sa izom k gde e k-stupa višestrukosti vlastite frekvecie. Partikularo rešee stoga postae p A B Zadatak. - partikularo rešee Uvršteem partikularog rešea u ehomogeu edadžbu i primeom metode eodređeih koeficieata određuemo kostate A i B. Prvo odredimo p, p i p. p A B A B p A B A A A A B B B p A B A 6A A 8A B B B Zadatak. - partikularo rešee Uvrstimo p, p i p u edadžbu: A B A A A A B B B A 6A A 8A B B B Grupiraem uz poedie potecie od dobivamo: uz : A A A uz : 6A 6A B B B uz : 6A A B B 6A uz : A 8A B B 6A B 8
Zadatak. - partikularo rešee Sada odredimo koeficiete A i B. 6A 6A B Iz gorih edadžbi e A /6 i B /. Partikularo rešee e p, 6 Zadatak. - ukupo rešee Ukupo rešee e zbro homogeog i partikularog rešea:, 6 Sada e iz zadaih početih uveta i potrebo odrediti i. Rešee e ispravo samo za, te ie moguće izravo koristiti i. Moramo izračuati i da bi odredili i. 6 Zadatak. - ukupo rešee Račuamo i iz i prema : Sada određuemo i : 6 6 7 9
Zadatak. - koačo rešee Dobivamo i /. Opće rešee edadžbe e 6, Rešee uz zadae počete uvete i e, 6 8 Zadatak. Rieši edadžbu x uz supstituciu. Dakle potrebo e riešiti edadžbu x uz pobudu za x iače 9 Zadatak. Karakterističa edadžba e Rešea zamo iz prethodog zadatka. Nehomogea edadžba e x odoso Partikularo rešee e oblika p D
Zadatak. - partikularo rešee Uvršteem partikularog rešea u ehomogeu edadžbu i primeom metode eodređeih koeficieata određuemo kostate i D. Prvo odredimo p ', p ' i p '. p ' ' ' D ' ' D' ' p ' ' ' D ' ' ' A' D' D' D ' p ' ' ' D ' ' 6' ' 8 D' D' D ' Zadatak. - partikularo rešee Uvrstimo p ', p ' i p ' u edadžbu: ' D' ' ' ' ' D' D' D ' ' 6' ' 8 D' D' D ' ' ' Grupiraem uz poedie potecie od ' dobivamo: uz ' : uz ' : 6 6 D D D uz ' : 6 D D 6 uz ' : 8 D D 6 D Zadatak. - partikularo rešee Sada odredimo koeficiete i D. 6 6 D Iz gorih edadžbi e /6 i D /. Partikularo rešee e ' p ' ' ', ' 6
Zadatak. - koačo rešee Ukupo rešee sada edostavo odredimo kao zbro homogeog i partikularog rešea: ' 6 ' ' ' ' ', ' Zadatak. - kometar Uočavamo da edadžbe x x imau idetičo opće rešee, t. ekvivalete su. Prva se realizira pomoću elemeata za ediičo kašee E, druga pomoću elemeata za predikciu E! Zadatak 6. - Fiboaccievi broevi Fiboaccievi broevi {c } defiirai su rekurzivo c, c, c c c, što možemo promatrati kao edadžbu diferecia. Rieši tu edadžbu. metodom korak-po-korak. klasičim ačiom 6
Zadatak 6. - metoda korak-po-korak Račuamo svaki ovi čla c a temelu dva prethoda prema c c c,. Dobivamo,,,,, 8,,,,, 89, Običo se implemetira a račualu. log it fibboaciit { it i, c, c, c; c ; c ; c ; fori ; i < ; i { c c c; c c; c c; } /* for */ retur c ; } /* fibboaci */ 7 Zadatak 6. - klasiča ači Rešavamo edadžbu c c c Karakterističa edadžba e odoso ako sređivaa Koriei su ± ±, Rešee e oblika c 8 Zadatak 6. - klasiča ači Kostate i određuemo iz početih uveta c i c. c c Dobivamo, i koačo rešee, c, 9
Zadatak 7. Bakterie se razmožavau prema ovo shemi: svaka živi dva sata i svaki sat dae edu ovu bakteriu dakle, samo dvie tiekom života. Koliko e živo potomstvo ede bakterie ako sata, ako 8 sati i općeito ako sati od poave prve bakterie? Zadatak 7. - rešee Ozačimo sa b tražei bro Evideto vriedi b, b, b Za, b b - predstavla bro bakteria koe žive kao potomstvo bakteria živih ako - sati, a tih e s druge strae b - b b - b - Radi se o isto edadžbi diferecia kao i u prošlom zadatku Fiboaccievi broevi, ali su počete vriedosti pomakute za dva mesta uapried. b c Specialo; b c 6 768, te b 8 c 6 biliua