Microsoft Word - Rakočević prelom 9.doc

Транскрипт

1 UDK :624.42/.46 Primleo Proraču sastavleih sloevitih ploča Maria Rakočević Kluče rieči sastavlea sloevita ploča, proraču, aprezae, deformacia, dvostruki trigoometriski red, teoria sloeva M. Rakočević Izvori zastvei rad Proraču sastavleih sloevitih ploča Prikaza e proraču aprezaa i deformacia slobodo osloee sastavlee sloevite ploče provede primeom dvostrukih trigoometriskih redova u parcialo teorii sloeva. Za simetriči i atimetriči raspored sloeva prikazaa e promea aprezaa u karakterističim presecima ploče. Prikaza e uteca broa člaova reda a maksimalu vriedost progiba, kao i uteca broa sloeva a maksimale vriedosti progiba, ormalih i posmičih aprezaa u presecima. Ke words lamiated composite plate, aalsis, stress, strai, double trigoometric series, theor of laers M. Rakočević Origial scietific paper Aalsis of lamiated composite plates The stress ad strai aalsis of freel supported lamiated composite plates, coducted usig double trigoometric series i partial theor of laers, is preseted. The chage of stress at tpical plate sectios is preseted for the smmetric ad atismmetric dispositio of laers. The ifluece of the umber of members i a series o a maimum deflectio value, ad the ifluece of the umber of laers o maimum deflectio values, for ormal ad shear stresses i sectios, is preseted. Mots clés plaue composite multicouche, aalse, cotraite, déformatio, série double trigoométriue, théorie des couches Ключевые слова сборная слоистая панель, расчет, напряжение, деформация, двойной тригонометрический ряд, теория слоев Schlüsselworte zusammegesetzte Schichtplatte, Berechug, Spaug, Verformug, zweifache trigoometrische Reihe, Theorie der Platte M. Rakočević Ouvrage scietifiue origial L'aalse des plaues composites multicouches L'aalse cotraite-déformatio des plaues composites multicouches libremet appuées, coduite à l'aide des séries trigoométriues doubles das la théorie partielle des couches, est présetée. Le chagemet de cotraite das les sectios tpiues de la plaue est préseté pour la dispositio smétriue et atismétriue des couches. L'ifluece du ombre des membres de la série sur la valeur maimale de déflectio est idiuée, et l'ifluece du ombre des couches sur valeurs maimales de déflectio est présetée pour les cotraites ormales et tagetielles das les sectios. M. Ракочевич Opигинальная научная работа Расчет сборных слоистых плит Приведен расчет напряжения и деформаций свободно прислоненной сборной слоистой плити, проведенный с применением двойных тригонометрических рядов в парциальной теории слоев. Для симметричных и несимметричных распорядков слоев показано изменение напряжения в характерных сечениях плити. Показано влияние числа членов ряда на максимальную величину прогиба, а также влияние количества слоев на максимальные величины прогиба, нормальных и разрезных напряжений в сечениях. M. Rakočević Wisseschaftlicher Origialbeitrag Berechug zusammegesetzter Schichtplatte Dargestellt ist die Berechug der Spauge ud Verformuge frei gelagerter zusammegesetzter Schichtplatte, durchgeführt mit Awedug zweifacher trigoometrischer Reihe i der partiale Theorie der Platte. Für die smmetrische ud atimetrische Aordug der Schichte ist die Äderug der Spauge i charakteristische Platteuerschitte dargestellt. Dargestellt ist der Eifluss der Azahl der Reiheglieder auf de maimale Wert der Durchbiegug, sowie der Eifluss der Azahl der Schichte auf die maimale Werte der Durchbiegug ud Normal- ud Schubspauge i de Querschitte. Autor: Doc. dr. sc. Maria Rakočević, dipl. ig. građ., Građeviski fakultet Uiverziteta Cre Gore, Podgorica GRAĐEVINAR 63 (2) 9/,

2 Proraču sloevitih ploča Teoriski modeli Sastavlee ploče, sa sloevima koi ose u različitim smerovima u ravii ploče, pokazuu izrazito aizotropo poašae. Za određivae realog staa aprezaa i deformacia potrebo e rabiti teorie koe proraču provode a razii sloa ili razii vlako/osova masa []. M. Rakočević Theor Third-order Plate Theor grubu kostatu pretpostavku posmika po deblii ploče ublažavau upotrebom polioma višeg reda (kvadratog, kubog), (slika 3.). Slika 3. Teoria posmika višeg reda Slika. CLPT klasiča teoria Slika 2. FSDT teoria posmika Proraču i teoriske raščlambe sastavleih sloevitih ploča mogu se provesti primeom ekvivaletih edosloih teoria (ESL-Euivalet Sigle-laer Lamiate Theor [2], [3]. ESL teorie promatrau sloevitu ploču kao statički ekvivaleta eda slo. edosloo teorii pripadau klasiča teoria i posmiče teorie prvoga, drugoga i višeg reda. Naedostavia e ESL teoria klasiča teoria sloevitih ploča (CLPT-Classical Lamiated Plate Theor koa e zasovaa a primei Kirchoffove teorie ploča (slika.). Ova se teoria primeue za proraču homogeih takih ploča. Za umereo debele i debele sloevite ploče s velikim stupem aizotropie, rešee dobiveo primeom ove teorie e zadovolava er se u proraču e uvodi posmik. Sledeća edosloa teoria hierarhiski e teoria posmika prvog reda (FSDT-First Order Shear Deformatio Theor (slika 2.), koa e astala zbog ograičeosti CLPT teorie. FSDT teoria uvodi kostato klizae po deblii ploče. Teorie posmika višeg reda (Secod-order Plate Slika 4. GLPT teoria sloeva Za proraču sloevitih sastavleih ploča primeue se opća teoria sloeva (GLPT- Geeralized Laerwise Plate Theor, (slika 4.), koa promatra sloeve ploče [4]. U ovisosti o usvoeom polu pomaka, odoso polu primarih variabli, u teorii sloeva defiirau se parciala teoria sloeva (Partial Laerwise Theor i potpua teoria sloeva (Full Laerwise Theor. Opća teoria sloeva temeli se a idei Redda a osovi koe se pomaci mogu prikazati kao kombiacia koordiata u ravii i fukcie koordiate po deblii: u v I = U I φ ( I = I = VI φ ( w I = m I = WI ψ ( I = () Kompoete pomaka kod edosloih teoria mogu se dobiti kao speciala sluča pomaka defiiraih izrazima (). Ako se usvoi da e w = cost, odoso da su kompoete pomaka okomito a raviu ploče kostate po deblii dobiva se, kao speciala sluča GLPT teorie, parciala teoria sloeva [5]. Nako usvoeog pola pomaka odabrae teorie defiirau se veze pomaka i deformacia, a ako toga i veze 82 GRAĐEVINAR 63 (2) 9/,

3 M. Rakočević Proraču sloevitih ploča deformacia i aprezaa u ovisosti o usvoeim fizikalim karakteristikama materiala, sve u promatraom koordiatom sustavu (. edadžbe teorie dobivau se primeom pricipa virtualih pomaka. Odabir teorie za aalizu aprezaa i deformacia sloevitih složeih ploča ovisi o zahtievao točosti i ekoomičosti. Ako se aalizirau take ploče aekoomičie e primieiti edu od ESL teoria, dok se za debele i umereo debele ploče preporučuu teorie sloeva. edadžbe avedeih teoria mogu se rešavati aalitički ili umerički. Aalitička se rešea traže u obliku fukcia [6], [7] koima se defiirau primare variable odgovarauće teorie. Primeom umeričkih metoda mogu se dobiti približa rešea, a aviše primeivaa umerička metoda u aalizi sloevitih kompozitih ploča est metoda koačih elemeata (Fiite elemets methods) [8], [9]. Numerička rešea primarih variabli dobivau se za uapried određee točke, ili preseke ploče, u ravii i/ili po deblii ploče oviso o usvoeom matematičkom modelu. U aalizi točosti umeričkih rešea aalitička se rešea mogu upotreblavati za usporedbe. U ovom e radu prikazao aalitičko rešee dobiveo primeom dvostrukih trigoometriskih redova za slobodo osloeu sloevitu ploču apregutu a saviae. 2 Primea parciale teorie sloeva u proračuu ploče a saviae Promatra se pravokuta sloevita ploča u pravokutom koordiatom sustavu ( uz uvođee pretpostavke da ploča sadrži N ortotropih sloeva koi su orietirai proizvolo u ravii ploče (. Svaki od sloeva sadrži vlaka koa ose samo u edom smeru. U parcialo teorii sloeva pretpostavla se da su kompoete pomaka proizvole točke ploče defiirae sa: u( = u( + U v( = v( + V w( = w( (2) u, v i w - kompoete pomaka točaka srede ravie ploče U, V - dodati pomaci točaka po deblii ploče. Dodati se pomaci reducirau a sledeći ači: U = u ψ ( V = v ψ ( (3) - bro čvorova po deblii ploče u i v - vriedosti pomaka po deblii ploče (, ) ψ ( - eprekiute, opće iterpolaciske fukcie koe zadovolavau uvet ψ ( ), za,. Za liearu iterpolaciu bro čvorova po deblii ploče e za eda veći od broa sloeva (slika 4.). U tom slučau iterpolaciska fukcia ψ, uzduž dvau susedih sloeva, prikazue se liearim fukciama: z z ψ () = 2 z, z < z < z z z φ z = (4) z ( ) = + z ψ < < 2 z, z z z+ z+ z gde e z položa -tog čvora po deblii ploče. Primeom pricipa virtualih pomaka dobivau se edadžbe saviaa sloevite ploče u parcialo teorii sloeva: N + N N + N Q, + Q + (5) N, + N Q N + N, Q ( N, N, N ) = (,, ) ( Q, Q ) = (, ) ( N, N, N ) = (,, ) ψ ( ( Q, Q ) = (, ) z z z dz (,,, ) z z z ψ, z dz dz dz (6), - kompoete vektora aprezaa - opterećee okomito a raviu ploče. GRAĐEVINAR 63 (2) 9/,

4 Proraču sloevitih ploča Za -ti ortotropi slo veze kompoeata aprezaa i deformacia dae su sa: M. Rakočević Za slobodo osloeu ploču graiči uveti defiirai su kako sliedi: Q Q2 = Q 6 z z gde su sloa. Qi Q2 Q22 Q26 Q6 Q6 Q66 Q44 Q45 Q 45 Q 55 γ γ γ z z ε ε (7) - reducirae krutosti tog ortotropog Kada se veze (7) ubace u izraze za uutare sile (6), uz uzimae u obzir pretpostavleog pola pomaka (2) i (3) kao i veza deformacia i pomaka, dobivau se edadžbe koima se defiirau veze sila i pomaka [5], [6], [7]. Nači određivaa reducirae krutosti svakog sloa kao i koeficieti krutosti sloevite ploče A, B i, koi i i I D i su potrebi za proraču sila, određuu se a ači koi e prikaza u radu []. Dokazue se da krutosti sloevite ploče ovise o deblii ploče, mehaičkim karakteristikama sloeva i položau sloeva u odosu a sredu raviu. 3 Aalitičko rešee za slobodo osloeu pravokutu ploču Pretpostavla se da pravokuta slobodo osloea sloevita ploča ima N ortotropih sloeva čia su vlaka orietiraa u smeru osi i odoso čia vlaka zatvarau kutove i 9. Raspored sloeva po deblii ploče može biti proizvola. Za avedeu orietaciu sloeva, iz uveta ortogoalosti dobiva se da su krutosti sloevite ploče A 6 = A 26 = A 45 = B 6 = B 26 = B 45 = D I 6 = D I 26 = D I 45 =. U skladu s avedei kada se veze sila i pomaka uvrste u uvete ravoteže (5) dobia se sustav od edadžbi oblika: za =,...,, gde e bro čvorova. Au, + A2v, + A66 A2u, + A22v, + A66 A55w, + A44w, + = Bu, + B2v, + B66 Bu, + B22v, + B66 + v, ) + [ B u, + B v, + B + v, )] v = w = V u = w = U = N = N = N = N, a ;,, b ;, (9) Te graiče uvete zadovolavau sledeće trigoometriske fukcie (Navierovo rešee): u = X m cos α si β v = Ym si α cos β w = Wm siα si β U = Rm cos α si β V = Sm si α cos β mπ α = a π ; β =,..., b () Opterećee koe delue okomito a raviu ploče također se prikazue trigoometriskim fukciama u obliku dvostrukog Furierova reda: Q si α si β + v, ) + [ B2u, + B22v, + B66 + v, )] [ B55u, + B44v, ] + I I I I I + v, B55w, + [ Du, + D2v, + D66 + v, D55u ] I I I I I + v, ) B44w, + [ D2u, + D22v, + D66 + v, D44v ] 2 66 = () m Q m koeficieti koi ovise o vrsti opterećea. Za svaki Furierov par ( ) dobiva se sustav edadžbe s isto toliko epozatih koeficieata (8) X Y W Rm i S m. Kada se dobivea rešea uvrste u () dobiu se vriedosti epozatih pomaka. Nako određivaa fukcie ukupih pomaka, za pretpostavlei bro parova ( ), određuu se fukcie deformacie, a ako toga i kompoete aprezaa za proizvolu točku sloevite ploče: 822 GRAĐEVINAR 63 (2) 9/,

5 M. Rakočević Proraču sloevitih ploča Posmiča aprezaa uutar sloeva u ravii ( i ( začaa su za debele ploče i ploče koe sadrže eke od oblika delamiacie. Za određivae ovih aprezaa u radu se rabio aproksimativi postupak proračua s pretpostavleom paraboličom raspodelom uzduž promatraog sloa []: ( = ( = = Q z z () z = N() z f + N2() z f2 + N3() z f3 () z = N () z f + N ( f + N () z f z [ { Qα ( Xm + Rmφ ( ) + Q2 β ( Ym + Sm ] } [ { Q2α ( Xm + Rmφ ( ) + Q22 β ( Ym + Sm ] } { [ β ( Xm + Rmφ ( ) + α ( Ym + Smφ ] } (3) - koordiata lokaloga koordiatog sustava -tog sloa ploče fi, fi, i =,2,3 - epozati koeficieti koi predstavlau posmiča aprezaa z i z a kraevima i u sredii promatraog sloa N (, N 2 ( i N 3 ( - edodimeziske kvadrate iterpolaciske fukcie. Za određivae epozatih koeficieata f i, fi za svaki od posmičih aprezaa potrebo e apisati 3N edadžbi koe se određuu iz sledećih uveta: posmiča aprezaa u gorem i doem vlaku ploče imau vriedost ula aprezaa imau edake vriedosti a vezama sloeva zadovole e uvet o prosečim vriedostima posmičih aprezaa za svaki slo = φ ( ) siα siβ Prikazae vriedosti aprezaa dobivee su primeom φ ( ) siα siβ ( ) cosα siβ (2) autoričia programa u Fortrau ANSLACOP [5] zasovaog a primei dvostrukih redova u rešavau problema saviaa sloevite ploče prema parcialo teorii sloeva. Promatrae su točke u ravii ( s koordiatama A =,5662 (a/2); B =,894338(a/2). Karakterističa aprezaa prikazaa su u točkama ploče: = ( A, A, ; ( A, A, = ( B, A ; = ( A, B z z, = ; z z, zadovolee su vriedosti dobivee iz kostitutivih edadžbi. 4 Numerički primer Promatra se kvadrata ploča dimezia a a, deblie h,25 a, sa sloevima koi aizmeičo zatvarau kutove o i 9 o. Materiale karakteristike svih sloeva su iste: E /E 2 = 25, E 2 =, G 2 = G 23,5, G 23,2, ν 2 = ν 3,25.,, z i z za ploču s atimetrič- Slika 5. Naprezaa im rasporedom sloeva o /9 o / o /9 o Vriedosti aprezaa dae su u bezdimeziskom obliku [2]: = 2 = 2 z = z s s s z = z s gde e: s = a/h, h - ukupa deblia ploče. GRAĐEVINAR 63 (2) 9/,

6 Proraču sloevitih ploča Razmatrae su ploče s N = 4 i N = 5 sloeva, atimetričog, odoso, simetričog rasporeda sloeva po deblii, opterećee ravomero raspodieleim opterećeem iteziteta (slike 5. i 6.). Vriedosti aprezaa dae su u bezdimeziskom obliku i prikazae grafički i tabličo za usvoee karakterističe preseke. M. Rakočević Kovergecia bezdimeziske vriedosti progiba u sredii trosloe ploče E w = 2 w 4 hs prikazaa e a slici 7. Slika 8. Diagram bro sloeva-progib (a/h i a/h = 4) Na slici 8. prikazaa e ovisost progiba i broa sloeva ploče za odose dulie i visie ploče a/h i a/h = 4. Pokazue se da se maksimali progib može smaiti 46,4 % za odos a/h i,95 % za odos a/h = 4 ako se zadrži ista deblia ploče, a bro sloeva uveća a. Zaklučue se da se dodavaem ovih sloeva može bito utecati a vriedost maksimalog progiba. Dodavae ovih sloeva ima smisla samo do određee graice. Slika 6. Naprezaa,, z i z za ploču sa simetričim rasporedom sloeva o /9 o / o /9 o / o 5 Aaliza rezultata Aalizom dobiveih maksimalih vriedosti pomaka okomito a raviu ploče, primeom dvostrukih trigoometriskih redova, zaklučue se da rešee brzo kovergira. Točost rešea ovisi o usvoeom brou člaova dvostrukog reda. Slika 9. Bro sloeva Slika 7. Diagram progib-bro člaova reda (trosloa ploča o/9o/o, a/h = 4) Aalizom maksimalih vriedosti aprezaa u fukcii broa sloeva zaklučue se da se povećaem broa sloeva može utecati a smaee maksimalih vriedosti aprezaa u preseku (slike 9. i.). Prikazae su i aalizirae vriedosti aprezaa u karakterističim presecima za delovae ravomero raspodieleog i 824 GRAĐEVINAR 63 (2) 9/,

7 M. Rakočević Proraču sloevitih ploča Slika. Bro sloeva Slika. Ovisost bro sloeva z siusoidalo raspodieleog opterećea u oba smera. Povećaem broa sloeva aprezaa se umauu ravomerie i s maim itezitetom kod deblih ego kod taih ploča. Kod taih se ploča vriedost aprezaa zato e miea ako dodaoga četvrtoga sloa. Maksimale vriedosti posmičih aprezaa u raviama (, ( i ( smauu se povećaem broa sloeva pri čemu e za mai bro sloeva smaee zatie (slike 9. i.). 6 Zaklučak Prikazao aalitičko rešee problema saviaa sloevitih sastavleih ploča može poslužiti kao usporedo LITERATURA rešee za umerička rešea, kao što su rešea koa se dobivau primeom metode koačih elemeata [8]. Rešee u obliku dvostrukih trigoometriskih redova edadžbi saviaa ploča zasovao a parcialo teorii sloeva stabilo e i kovergeto. Primeom aalitičkog rešea dobiva se realia promea aprezaa i deformacia po deblii debelih i umereo debelih ploča. Zaklučue se da e povećaem broa sloeva moguće zato umaiti vriedosti progiba kao i maksimale vriedosti ormalih i posmičih aprezaa u preseku. Bro sloeva za koi se dobivau umaee vriedosti aprezaa i deformacia ograiče e s gore strae. [] Redd. N.: Mechaics of Lamiated Composite Plates - Theor ad Aalsis, Departmet of Mechaical Egieerig, Teas A&M Uiversit College Statio, 997. [2] Redd. N.; Robbis D. H., r: Theories ad computatioal models for composite lamiates, America Societ of Mechaical Egieers, 994. [3] Redd. N.; Robbis D. H., r: Theories ad computatioal models for composite lamiates, Applied Mechaics Reviews vol47, o6, part, ue 994. [4] Robbis, D. r; Redd. N.: Modellig of thick composites usig a laerwise lamiate theor Iteratioal oural for Numerical Methods i Egieerig, vol36, (993). [5] Rakočević, M.: Statička aaliza sloevitih kompozitih ploča primeom metode koačih elemeata, doktorska disertacia, Građeviski fakultet Uiverziteta Cra Gora, Podgorica, 25. [6]. Rakočević, M.; Vuksaović, Đ.: Aalitical solutio of lamiated rectagular composite plates, Moograph Researches, Facult of Civil egieerig, Podgorica, str , 22. [7] Vuksaović, Đ.; Rakočević, M.: Opšta teoria lamiarih ploča aalitčko rešee za slobodo osloee ploče, Simpozium o istraživaima i primei savremeih dostiguća u ašem građeviarstvu u oblasti materiala i kostrukcia, UDIMK oktobar, 22, [8] Rakočević, M.: Naprezae u sloevitim kompozitim pločama, Građeviar 57(25), 53-59, 25. [9] Red.N.; E..Barbero, E..: A plate bedig elemet based o a geeralized lamiated plate theor Iteratioal oural for Numerical Methods i Egieerig, vol.28, (989). [] Rakočević, M.: Proraču krutosti sloevitih kompozitih ploča, Zborik radova GNP- Iteraciali aučo-struči skup građeviarstvo-auka i praksa, Žablak,Kiga.,st ,2-24.februar 26. [] Chaudhuri, R.A.; Seide, P.: A approimate semi-aaltical method for predictio of iterlamiar shear stresses i a arbitraril lamiated thick plate, Computers ad Structures, Vol.25, No.4, pp , 987. GRAĐEVINAR 63 (2) 9/,