Matematika 2

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 / 45 Sadržaj: Sadržaj Tablično integriranje Očigledna supstitucija Supstitucija Supstitucija u odredenom integralu 3 Kombiniranje parcijalne integracije i supstitucije u odredenom integralu Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 / 45

Ciljevi učenja Ciljeve učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji zadaci Kombiniranje gornjih tehnika Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 3 / 45 Tablično integriranje f (x) x f (x)dx ln x + c x a x ;a a+ a+ + c sinx cosx + c cosx sinx + c tgx + c cos x ctgx + c sin x b x bx lnb + c e x e x + c a x arcsin( x a ) f (x) f (x)dx a +x a x a ln a+x a arctg( x a )+c a x + c ln(x + x x + a )+c +a x a shx chx sh x ch x ln(x + x a )+c chx + c shx + c cthx + c thx + c Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 4 / 45

Tablično integriranje Zadaci Zadatak. Odredite sljedeće integrale: ( (a) x 3 + x 7 )dx x ( x /3 + 5 ) dx x Rj. (c) xdx. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 5 / 45 Tablično integriranje Zadaci Zadatak. Odredite sljedeće integrale: ( (a) cosx 3 ) cos dx x 5sin 3 x + 4 sin dx x (c) π sinx dx. 3 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 6 / 45

Tablično integriranje Zadaci Zadatak 3. Odredite sljedeće integrale: ( ) (a) 3 4 + x + 7 x dx ( ) + 3 dx 5 x 4 + x (c) 4x dx dx (d) x +. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 7 / 45 Tablično integriranje Zadaci Zadatak 4. Odredite sljedeće integrale: ( (a) 3 x + 3 x) dx 5e 3x dx (c) x dx (d)odredite površinu na slici desno. e x Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 8 / 45

Tablično integriranje Zadaci Zadatak 5. Odredite sljedeće integrale: (a) π ( 3x + sinx e x) dx ( ) 3 x + dx x (c)odredite površinu na slici desno. sin x π cos x Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 9 / 45 Tablično integriranje Zadaci Rješenje : Zad. (a) x 4 x 4 x + c. 3 5 x 5/3 + 5ln x + c. (c) 4 3. Rješenje : (a) sinx 3tgx + c. 5cosx 4ctgx + c. (c) 3. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 / 45

Tablično integriranje Zadaci Rješenje 3: (a) 3 arctg( x 3 )+ ln 7+x 7 7 x + c. arcsin( x 5 )+3ln(x + x + 4)+c. ) (c) (x ln + x 4 + c. (d) π 4. Rješenje 4: (a) ln3 3x + ln3 3x + c. 5 3 e3x + c. (c) ln. (d) e e. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 / 45 Tablično integriranje Zadaci Rješenje 5: (a) π 3 + 5 e π. 3 4 + π. (c) P = π 4 (cosx sinx)dx =. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 / 45

Očigledna supstitucija Očigledna supstitucija Ako je u = u(x) onda je PRIMJER. x x dx =? f (u(x)) du dx dx = f (u)du Rješenje: x xdx= = 3 (x ) 3 + c. u=x du dx =x = u du dx dx = udu = 3 u3/ + c = Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 3 / 45 Očigledna supstitucija Primjer. sin x cosx dx=? Rješenje: sin x cosx dx= sin 3 x 3 + c. u=sinx du dx =cosx = u du dx dx = u du = u3 3 + c = Standardnija procedura: sin x cosx dx= u=sinx du=cosxdx = u du = u3 3 + c = sin3 x + c. 3 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 4 / 45

Očigledna supstitucija Zadatak 6. Izračunajte sljedeće integrale: (a) cos x sinx dx (c) (d) (e) e x + e x dx e x dx + ex x 3 x 4 + dx x cos(x 3 )dx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 5 / 45 Očigledna supstitucija Rješenje 6: (a) cos x sinx dx= t=cosx dt= sinxdx dt=sinxdx ln( + e x )+c (t = + e x ) (c) arctg(e x )+c (t = e x ) (d) 4 ln(x 4 + )+c (t = x 4 + ) (e) 3 sin(x 3 )+c (t = x 3 ) = t dt = t3 3 +c = cos3 x 3 +c. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 6 / 45

Očigledna supstitucija Zadatak 7. Ako je f (x)dx = F (x)+c, koliko je: (a) f (x)dx f (x 4)dx (c) f (3x + )dx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 7 / 45 Očigledna supstitucija Rješenje 7: (a) F (x) + c F (x 4)+c (c) F (3x+) 3 + c Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 8 / 45

Očigledna supstitucija Sljedeći zadaci se često koriste u primjenama. Zadatak 8. Izračunajte sljedeće integrale: (a) sin xdx cos xdx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 9 / 45 Očigledna supstitucija Rješenje 8: (a) Koristimo se poznatim trigonometrijskim identitetom sin x = cos(x) sin xdx = ( cos(x))dx = dx x sin(x) + c 4 Koristimo se identitetom cos(x)dx = cos xdx = = x + sin(x) 4 + c cos x = + cos(x) ( + cos(x))dx = dx + cos(x)dx = Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 / 45

Supstitucija SUPSTITUCIJA Integral h(x)dx, pomoću supstitucije, izračunavamo sljedećim koracima: (a) Odaberemo novu varijablu u = g(x) i uvrstimo ju u integral (uz du = g (x)dx): h(x)dx = h(x) du g (x) Iz h(x) g (x) funkciju od u tj. pokušamo eliminirati x tako da h(x) h(x) g (x) = f (u). Dakle, h(x) du g (x) = g (x) f (u)du prepoznamo kao (c) f (u)du je sada jednostavniji integral u kojem, nakon izračunavanja, zamjenimo nazad u = g(x). Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 / 45 Supstitucija Primjer 3. x 3 + 3 (x 4 dx =? + x) Rješenje: (a) Stavimo u = x 4 + x. Dakle du =(4x 3 + )dx: x 3 + 3 x 3 (x 4 + x) dx = + 3 du u (4x 3 + ) U integralu kraćenjem se eliminira x x 3 + 3 u du 4(x 3 + 3) = 4 u du (c) 4 u du = u 4 + c = (x 4 + x) + c = 4 4(x 4 + x) + c Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 / 45

Supstitucija Zadatak 9. Izračunajte sljedeće integrale: x + (a) x + x + dx e x x dx Zadatak. lnx + (a) dx x cosϕ + sinϕ dϕ Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 3 / 45 Supstitucija Zadatak. Izračunajte sljedeće integrale: sin(lnt) (a) dt t (c) e y dy + ey x + x 4 dx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 4 / 45

Supstitucija Rješenje 9: (a) = e x + c (t = x ) x + x + x + dx = t=x +x+ dt=(x+)dx Rješenje : dx= (x+) dt t dt = t + c == x + x + + c (a) 3 (lnx + ) 3 + c (t = lnx + ) ln + sinϕ + c (t = + sinϕ) Rješenje : (a) cos(lnt)+c (u = lnt) ln( + ey ) (u = + e y ) (c) arctg(x ) (u = x ) x + = dt t (x + ) = Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 5 / 45 Supstitucija u odredenom integralu SUPSTITUCIJA U ODREDENOM INTEGRALU Ako integral h(x)dx supstitucijom u = g(x) prelazi u integral f (u)du onda vrijedi: b a h(x)dx = g g(a) Veza medu granicama integrala je dana sa x a b u g(a) g f (u)du Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 6 / 45

Supstitucija u odredenom integralu Primjer 4. Izračunajte integral Rješenje: e x e x + dx = u=e x + du=e x dx x u +e e x e x + dx +e = u du =(lnu) +e = ln ( ) + e Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 7 / 45 Supstitucija u odredenom integralu Zadatak. Izračunajte sljedeće integrale: (a) (c) π 8 cos(4x)dx t t + dt e x dx + ex Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 8 / 45

Supstitucija u odredenom integralu Rješenje : (a) (c) π 8 cos(4x)dx = t t + dt = e x dx = + ex t=4x dt=4dx x π 8 t π u=t + du=tdt t u u=e x du=e x dx x u e = = π e = cost dt 4 = ) (sint π 4 = 4. du u = 3 (u3/ )= 3 ( 8 ) + u du = arctgu e = arctge π 4. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 9 / 45 PARCIJALNA INTEGRACIJA Stavimo u = f (x), v = g(x) v Sa površina sa slike desno iščitavamo vezu: udv + vdu = uv udv vdu u Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 3 / 45

Integral f (x)g (x)dx računamo na sljedeći način: f (x)g (x)dx = = f (x)g(x) g(x)f (x)dx. u=f (x) du=f (x)dx dv=g (x)dx v=g(x) = uv vdu = Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 3 / 45 Primjer 5. Izračunajte integral x cosx dx. Rješenje: x }{{} u } cosx {{ dx } = u=x du=dx dv = x sinx + cosx + c. dv=cosxdx v=sinx = uv vdu = x sinx sinxdx = Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 3 / 45

Primjer 6. Izračunajte integral lnx dx. Rješenje: }{{} lnx }{{} dx u dv = x lnx = u=lnx du= x dx dv=dx v=x dx = x lnx x + c. = uv vdu =(lnx)x x xdx = Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 33 / 45 Zadatak 3. Izračunajte sljedeće integrale: (a) xe x dx x cosx dx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 34 / 45

Zadatak 4. Izračunajte sljedeće integrale: (a) (x + )sinx dx (x )e 3x dx (c) x lnx dx (d) x e 3x dx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 35 / 45 Rješenje 3: (a) xe x dx = u=x du=dx dv=e x dx v=e = xe x x e x dx = xe x e x + c x cosx dx= u=x du=xdx = x sinx x sinxdx = dv=cosxdx v=sinx = u=x du=dx dv=sinxdx v= cosx = x sinx (x( cosx)+ cosxdx)= = x sinx + x cosx cosxdx = x sinx + x cosx sinx + c Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 36 / 45

Rješenje 4: (a) (x + )cosx + sinx + c e 3x ( 3 (x ) 9) + c (c) x 3 3 ln x x 3 9 + c (d) e 3x ( x 3 x 9 + 7 ) + c Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 37 / 45 Kombiniranje parcijalne integracije i supstitucije Zadatak 5. Supstitucijom i parcijalnom integracijom izračunajte sljedeće integrale: (a) x 3 cos(x ) dx e x sinx dx (c) arcsin xdx (d) xarctg xdx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 38 / 45

Kombiniranje parcijalne integracije i supstitucije Rješenje 5: (a) x 3 cos(x )dx = t=x = t cost dt= u=t du=dt dt=xdx dv=costdt v=sint = = t sint sint dt= t sint + cost + c = x sin(x )+cos(x )+c e x sinx dx= u=e x du=e x dx dv=sinxdx v= cosx = cosx e x + e x cosx dx = u=e x du=e x dx dv=cosx dx v=sinx = cosx e x + sinxe x e x sinx dx e x sinx dx= cosx e x + sinxe x e x sinx dx= ex ( cosx + sinx)+c (c) arcsin xdx= u=arcsinx du= x dx = dv=dx v=x x x arcsinx dx = t= x x dt= x = x arcsinx + dt = x x arcsinx + t + c ==x arcsinx + x + c. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 39 / 45 Kombiniranje parcijalne integracije i supstitucije Rješenje 5: (d) xarctg xdx= x arctg x x ( + x ) = x arctg x (x arctg x)+c. u=arctg x du= +x dx dv=xdx v= x = dx ==x arctg x ( + x ) dx = Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 4 / 45

u odredenom integralu PARCIJALNA INTEGRACIJA U ODREDENOM INTEGRALU b b udv= uv b a vdu a a Zadatak 6. Izračunajte integral: e lnx dx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 4 / 45 u odredenom integralu Zadatak 7. Izračunajte površinu sa slike: y f (x) = x sin x x Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 4 / 45

u odredenom integralu Rješenje 6: e lnx dx= Rješenje 7: 3π π x sinx dx= u=lnx du= x dx dv=dx v=x = x lnx e e u=x du=dx dv=sinxdx v= cosx x dx =. x 3π = x cosx 3π + π π cosx dx= 5π. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 43 / 45 u odredenom integralu Zadatak 8. Izračunajte sljedeće integrale: 3 7 (a) x 3 dx dx x x + 3 x x + 7 dx (c) (d) tgx dx (e) π π 4 (f) ctgx dx 6x x sinx x 3 x + cosx dx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 44 / 45

u odredenom integralu Rješenje 8: (a) 7 ln3 arctg( x ) + c (c) ln(x + 7)+c (d) ln cosx + c (e) ln( ) (f) ln x 3 x + cosx + c Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 45 / 45