Uloga topolo²kih svojstava konguracijskog prostora u vi²e esti im sustavima identi nih estica Grgur imuni Mentor: prof. dr. sc. Hrvoje Buljan Fizi ki

Величина: px
Почињати приказ од странице:

Download "Uloga topolo²kih svojstava konguracijskog prostora u vi²e esti im sustavima identi nih estica Grgur imuni Mentor: prof. dr. sc. Hrvoje Buljan Fizi ki"

Транскрипт

1 Uloga topolo²kih svojstava konguracijskog prostora u vi²e esti im sustavima identi nih estica Grgur imuni Mentor: prof. dr. sc. Hrvoje Buljan Fizi ki odsjek, PMF, Bijeni ka c. 32, Zagreb (Dated: 19. sije nja 2017.) U ovom seminaru prikazane su osnovne tehnike za razmatranje topolo²kih svojstava zikalnih sustava. Te tehnike su zatim primijenjene na sistem dviju raspoznatljivih estica te sistem dviju neraspoznatljivih estica kako bi se objasnila uloga topolo²ke strukture konguracijskog prostora sustava u statistici koja opisuje vi²e esti ne sustave. I. UVOD Sve danas poznate estice mogu e je podijeliti u dvije skupine: fermione i bozone. Fermionska, odnosno bozonska priroda estica u vi²e esti nim sustavima. Gledaju i kvantnomehani ki istovrsne estice nije mogu e razlikovati ²to dovodi do simetrizacija vi²e esti nih bozonskih valnih funkcija, odnosno antisimetrizacije vi²e esti nih fermionskih valnih funkcija. Pri tome bozonski sustavi slijede Bose- Einsteinovu statistiku, a fermionski sustavi Fermi- Diracovu statistiku. Iako su sve estice u prirodi ili fermioni ili bozoni, ograni avanjem nekih stupnjeva slobode, mogu e je posti i druga ije pona²anje. Tako npr. u dvije dimenzije moºe do i do anyonskog pona²anja estica. U ovom slu aju prilikom zamjene dvije identi ne estice, valna funkcija poprima proizvoljnu faznu razliku (kod bozona je ona jednaka 1, a kod fermiona -1). Anyoni su prvi puta eksperimnetalno otkriveni u kvantnom Hallovom efektu te se danas provode istraºivanja u kojima bi se otkrili i drugi, eksperimentalno ostvarivi sistemi u kojima dolazi do pojave anyona. Jedna mogu nost njihove realizacije bi bila u dvodimenzinalnim sistema kao ²to je slu aj kod kvantnog Hallovog efekta. Jo² jedna mogu nost bi bila u traºenju interakcije mežu esticama u trodimnzionalnim sustavima gdje bi ta interakcija dovela do anyonskog pona²anja estica. U ovom seminaru ispitujemo topolo²ka svojstva identi nih estica (u sistemima s dvije estice). Pri tome prvo dajemo pregled osnovnih matemati kih pojmova i rezultata koji su nam potrebni te zatim ih primijennjujemo na sistem dviju estica. Pri tome odvojeno razmatramo slu aj raspoznatljivih estica i neraspoznatljivih estica. II. KLASE HOMOTOPIJE Neka je X glatka mnogostrukost te a, b X. Glatku funkciju q : [0, 1] X, takvu da je q(0) = a i q(1) = b nazivamo putom u X. Nadalje, neka je P skup svih putova u X. Tada deniramo funkcije s, t : P X tako da je s(q) = q(0) i t(q) = q(1). Funkcija s nam daje po etnu to ku puta q, a funkcija t zavr²nu to ku puta q. Neka su q, q P dva puta u X s istim rubnim to kama, tj. s(q) = s(q ) i t(q) = t(q ). Kaºemo da su putovi q i q homotopni ako je jedan put mogu e neprekidno deformirati u drugi, tj. ako postoji glatka funkcija F : [0, 1] [0, 1] X takva da je F (t, 0) = a, F (t, 1) = b, F (0, t) = q(t) i F (1, t) = q (t). Homotopnost puteva pretstavlja relaciju ekvivalencije na skupu P ²to zna i da je skup P mogu e podijeliti na klase ekvivalencije koje u ovom slu aju nazivamo klasama homotopije. Klasu homotopije kojoj pripada put q emo ozna avati s [q]. Budu i su rubne to ke svih puteva u jednoj klasi homotopije jednake, mogu e je pro²iriti domenu funkcija s, t tako da djeluju na klase homotopije, tj. tako da je s([q]) = s(q) i t[q]) = t(q). Neka je x X te q x konstantan put u X s vrijednosti u to ki x. Drugim rije ima, za sve t [0, 1] je q x (t) = x. Tada emo za klasu homotopije [q x ] koristiti oznaku [x]. Neka su q, q P dva puta u X takva da je t(q) = s(q ). Tada moºemo denirati novi put qq P na sljede i na in: ( ) 1 ( qq (t) = q(2t)θ 2 t + q (2t 1)θ t q ) (1) 2 za sve t [0, 1]. Pri tome je s(qq ) = s(q) i t(qq ) = t(q ). Konstrukcija puta qq iz puteva q i q pretstavlja operaciju u skupu P koju emo nazivati mnoºenjem puteva. To mnoºenje nije komutativno niti je denirano izmežu proizvoljna dva puta, ali je asocijativno. Ono takožer posjeduje i svojstvo inverznog elementa [4], tj. za svaki q P postoji q 1 P takav da je (qq 1 )(p) = s(q) te (q 1 q)(p) = t(q) za sve p [0, 1]. Nadalje, mno- ºenje puteva mogu e je pro²iriti na mnoºenje klasa homotopije tako da je [q][q ] = [qq ]. Skup svih klasa homotopije s navedenim mnoºenjem pretstavlja al-

2 2 gebarsku strukturu koju nazivamo fundamentalnim grupoidom i ozna avamo s Π(X, X). Neka su a, b X. Skup Π(X, a) = {[q] q P, s(q) = t(q) = a} zajedno s operacijom mnoºenja klasa homotopije pretstavlja grupu koju nazivamo fundamentalnom grupom u to ki a. Takožer deniramo i skup Π(X, a, b) = {[q] q P, s(q) = a, t(q) = b}. Mnoºenje u ovom skupu nije denirano osim u slu aju a = b ali tada ponovno dobivamo fundamentalnu grupu u to ki a. Fundamentalne grupe u razli itim to kama od X nisu nezavisne ako su te to ke povezane nekim putom. Neka su a, b X te q P put takav da je s(q) = a i t(q) = b. Ako je [l] Π(X, a), tada je [q 1 lq] Π(X, b). Na taj na in [q] inducira homomorzam izmežu fundamentalnih grupa Π(X, a) i Π(X, b): ( [l], [k] Π(X, a)) [q 1 lkq] = [q 1 lq][q 1 kq] (2) Analogno tome, [q 1 ] inducira homomorzam izmežu navedenih fundamentalnih grupa, ali u suprotnu stranu iz ega slijedi da su promatrani homorzmi zapravo izomorzmi. ²tovi²e, izomorzmi izmežu fundamentalnih grupa Π(X, a) i Π(X, b) inducirani razli itim klasama homotopije nisu nezavisni. Neka je p P takav da je s(p) = a i t(p) = b. Tada za sve [l] Π(X, a) vrijedi: [p 1 lp] = [p 1 q][q 1 lq][q 1 p] (3) Budu i je [p 1 q] Π(X, b), posljednji izraz pretstavlja unutarnji izomorzam u fundamentalnoj grupi Π(X, b). III. AMPLITUDA VJEROJATNOSTI Neka je zadan kvantni sistem s konguracijskim prostorom X. Pri tome pretpostavljamo da je X povezan putevima. Ukoliko je X jednostavno povezan putevima, tada je amplituda vjerojatnosti prijelaza iz to ke a u trenutku t a u to ku b u trenutku t b dana izrazom: K(b, t b ; a, t a ) = D{x(t)} exp S{x(t)} (4) gdje je reducirana Planckova konstanta, a S{x(t)} akcija sistema za putanju x(t). Ukoliko konguracijski prostor X nije jednostavno povezan putevima, tj. ako u X postoji vi²e od jedne klase homotopije, onda je amplituda vjerojatnosti jednaka ([1], [2]): K(b, t b ; a, t a ) = χ([q]) K [q] (b, t b ; a, t a ) [q] Π(X,a,b) (5) gdje je χ za sada neodrežena funkcija iz Π(C, C) u C n, a K [q] parcijalna amplituda vjerojatnosti denirana kao integral po putevima ograni en na klasu homotopije [q]: K [q] (b, t b ; a, t a ) = = D{x(t) [x(t)] = [q]} exp S(x(t)) (6) Primijetimo da smo ovdje koristili klasu homotopije [x(t)] putanje sistema, iako po ranije navedenoj de- niciji to moºemo napraviti samo za puteve ograni- ene na interval [0, 1]. Stoga uvodimo reparametrizaciju putanje na sljede i na in: q(t) = ((t b t a )t + t a ) (7) pri emu je t [0, 1]. Tada je [x(t)] = [q]. Amplituda vjerojatnosti (5) prikazana je kao suma po fundamentalnom grupoidu. Tu sumu mogu e je preoblikovati u sumu po fundamentalnoj grupi u nekoj to ki x 0. Neka je a X te C : X P funkcija takva da je C(a)(0) = x 0 te C(a)(1) = a. Sada je mogu e uspostaviti vezu izmežu fundamentalne grupe Π(X, x 0 ) u to ki x 0 i fundamentalnog grupoida. Naime, za to ke a, b X deniramo funkciju f ab : Π(X, x 0 ) Π(X, a, b) takvu da je f ab (α) = [C 1 (a)]α[c(b)] za sve α Π(X, x 0 ).(8)Deniramo li i funkcije: χ(α) = χ(f ab (α)) (9) K α (b, t b ; a, t a ) = K f ab(α) (b, t b ; a, t a ), (10) izraz (5) postaje: K(b, t b ; a, t a ) = α Π(X,x 0) χ(α)k α (b, t b ; a, t a ) (11) Funkcija f uva grupnu operaciju fundamentalnog grupoida: f ab (α)f bc (β) = f ac (αβ) (12) te stoga ona pretstavlja lokalni inverz homomorzma g : Π(X, X) Π(X, x 0 ) za koji je: te je stoga: g([q]) = [C(s([q]))][q][C 1 (t([q]))] (13) g(f ab )(α) = α (14) f s([q])t([q]) (g([q])) = [q]. (15) Neka je x c (t) klasi na putanja sistema od to ke a u trenutku t a do to ke b u trenutku t b. Ta klasi na

3 3 putanja odrežena je principom minimalne akcije, tj. to je ona putanja za koju akcija sistema: S{x(t)} = tb t a L(x(t), ẋ(t), t) dt (16) postaje ekstremalna, tj. δs{x c (t)} = 0. Ovaj uvjet se ne mijenja ako akciji S dodamo proizvoljnu funkciju ζ([x(t)]). Ta funkcija ζ nije u potpunosti odrežena te je povezana sa funkcijom χ u izrazu (5) za amplitudu vjerojatnosti: ( i exp ) (S{x(t)} + ζ([x(t)])) χ([x(t)]) exp ( i S{x(t)} = ) (17) Budu i da ukupna amplituda vjerojatnosti mora po- ²tivati Feynmannova pravila za kombiniranje amplituda, a posljednji faktor u izrazu (17) takožer po- ²tuje ta pravila, isto mora vrijediti i za χ. Stoga je: χ([q][p]) = χ([q]) χ([p]) (18) ²to zna i da je χ reprezentacija fundamentalnog grupoida, a iz toga slijedi da je χ reprezentacija fundamentalne grupe. Kao ²to smo ve ranije rekli, fundamentalne grupe u to kama a i b su izomorfne pri emu su izomorzmi inducirani putevima izmežu tih to aka, a razli iti izomorzmi su povezani izrazom (3). Ako su fundamentalne grupe Abelove, tada za sve l Π(X, a) vrijedi: Izaberimo jednu klasu homotopije [p 0 ] izmežu a i b. Tada svaku klasu homotopije [q] izmežu tih to- aka moºemo povezati s klasom homotopije iz fundamentalne grupe u to ki a pomo u preslikavanja [q] [qp 1 0 ]. Tada je: χ([q]) = χ([qp 1 0 ]) χ([p 0]) (22) Na prvi pogled izgleda kao da za svaki par to aka a i b moºemo izabrati reprezentaciju fundamentalnog grupoida biranjem vrijedosti χ([p 0 ]). Ali to ipak nije slu aj zbog ograni enja koja se javljaju kao posljedica grupoidne strukture izmežu razli itih parova to aka. Stoga je potrebno koristiti druga iji pristup. Biramo proizvoljnu to ku x 0 u konguracijskom prostoru. Tada vrijedi: χ([q]) = χ([c(a) 1 ][C(a)][q][C(b) 1 ][C(b)]) = χ([c(a) 1 ])χ([c(a)qc(b) 1 ]) χ([c(b)]) (23) Dakle, dovoljno je izabrati vrijednost χ([c(x)]) za sve x X za neke (proizvoljno) odrežene x 0 i C. Pogledajmo ²to e se dogoditi za neki drugi izbor funkcije C (bez da mijenjamo x 0 ). Ozna imo tu novu funkciju s C. Tada je: χ([c (a)qc (b) 1 ]) = χ([c (a)c(a) 1 ])χ([c(a)c (a) 1 ])χ([c(a)qc(b) 1 ]). (24) Stoga postoji funkcija δ(a, b) takva da je: χ ([q]) = e iδ(a,b) χ([q]). (25) Dakle, izbor funkcije C odgovara izboru globalne faze u amplitudi vjerojatnosti. [ p 1 lp ] = [p 1 q][q 1 lq][q 1 p] = [p 1 q][q 1 p][q 1 lq] = [q 1 lq], (19) IV. SUSTAV DVIJU RASPOZNATLJIVIH ƒestica gdje su p, q Π(X, a, b). Stoga svi putevi induciraju isti izomorzam izmežu Abelovih fundamentalnih grupa. Isti zaklju ak vrijedi i ako je χ jednodimenzionalna reprezentacija fundamentalne grupe: χ([p 1 lp]) = χ([p 1 q])χ([q 1 lq])χ([q 1 p]) = χ([p 1 q])χ([q 1 p])χ([q 1 lq]) = χ([q 1 lq]) (20) tovi²e, u ovom posljednjem slu aju vrijedi: χ([q 1 lq]) = χ([q 1 ])χ([l]) χ([q]) = χ([q 1 ]) χ([q])χ([l]) = χ([l]) (21) ²to zna i da je dovoljno izabrati reprezentaciju fundamentalne grupe samo u jednoj to ki. U nastavku emo pretpostavljati da radimo isklju ivo s jednodimenzionalnim reprezentacijama. Promatramo sustav dvije raspoznatljive estice u prostoru R 2. Konguracijski prostor ovog sustava je R 2 R 2. Ako je (r 1, r 2 ) R 2 R 2 gdje je r 1, r 2 R 2, tada r 1 pretstavlja koordinate prve estice, a r 2 koordinate druge estice. Umjesto ove parametrizacije, pogodnije je uvesti novu parametrizaciju konguracijskog prostora izraºenu preko centra mase sustava: R = m 1r 1 + m 2 r 2 m 1 + m2 i relativnog poloºaja estica: (26) r = r 2 r 1. (27) Pri tome su m 1 i m 2 mase estica. Nadalje, pretpostavljamo da ne postoji interakcija mežu esticama ukoliko je r 0, dok za r = 0 postoji beskona no jaka odbojna interakcija mežu esticama.

4 4 To zna i da konguracijski prostor moºemo ograni- iti na X = R 2 (R 2 \{0}) gdje je prvi faktor u X prostor centra mase sustava, a drugi faktor prostor relativnog poloºaja. Budu i je R 2 jednostavno povezan putevima, dovoljno promatrati ²to se dogaža s relativnim poloºajem estica. Amplituda vjerojatnosti za propagaciju relativnog poloºaja je tada jednaka: A{r(t)} = χ([r(t)]) Dr(t) exp S{r(t)} (28) pri emu je χ reprezentacija fundamentalnog grupoida prostora R 2 \{0}. Zbog jednostavnosti, umjesto navedenog prostora moºemo promatrati prostor C\{0}. Proizvoljna to ka promatranog prostora tada ima oblik re iθ gdje je r 0, te θ [0, 2π. Neka je x 0 = 1. Fundamentalna grupa u to ki x 0 se satoji od klasa homotopije zatvorenih puteva koji prolaze kroz x 0. Pri tome za svaki zatvoreni put q koji prolazi kroz x 0 je mogu e odrediti broj n(q) Z koji pretstavlja broj obilazaka tog puta oko to ke 0. Budu i da nijedan put nije mogu e neprekidno transformirati kroz to ku 0, putevi s razli itim brojem n se nalaze u razli itim klasama homotopije. Dakle, fundamentalna grupa je izomorfna grupi (Z, +). Stoga kao reprezentaciju fundamentalne grupe biramo: χ([q]) = e in([q])φ (29) za neki φ [0, 2π]. Sada trebamo izbarati reprezentaciju fundamentalnog grupoida. Deniramo funkciju C(re iθ )(t) = r t e itθ za t [0, 1]. Nadalje, biramo reprezentaciju χ preko njenog djelovanja na C(re iθ ): χ([c(re iθ )]) = e iφθ/(2π). (30) Promotrimo put q takav da je s(q) = re iω te t(q) = re iω. Iz (23) slijedi: χ([q]) = χ 1 ([C(re iω )]) χ([c( re iω )]) χ([c(re iω )qc( re iω )]) (31) Iako faktori u ovom produktu ovise o izboru r i ω, ukupni rezultat ne ovisi te dobivamo χ([q]) = e iφ/2 ²to pretstavlja fazu u amplitudi vjerojatnosti koja dolazi od zamijene estica u smjeru obrnutom od kazaljke na satu. Zamijenimo li estice u suprotnom smjeru, dobili bi fazu e iφ/2. To na vrijednost parametra φ ovisi o vrsti estica koje promatramo. U slu aju φ = 0 faza koja dolazi od zamijene estica je jednaka 1 i ne ovisi o smjeru u kojem zamijenjujemo estice (bozonsko pona²anje). Drugi grani ni slu aj je φ = 2π ²to daje fazu -1 prilikom zamijene estica, ponovno neovisno o smjeru kojim zamjenjujemo estice (fermionsko pona²anje). Za sve ostale vrijednosti φ faza koju dobiva amplituda vjerojatnosti ovisi o smjeru kojim zamijenjujemo estice (anyonsko pona²anje). V. SUSTAV DVIJU NERASPOZNATLJIVIH ƒestica Promotrimo sada sistem dvije neraspoznatljive estice u ravnini. Kao i prije, ponovno pretpostavljamo da ne postoji interakcija mežu esticama ukoliko je r 0, dok za r = 0 postoji beskona no jaka odbojna interakcija mežu esticama. Za svaku amplitudu vjerojatnosti A u slu aju neraspoznatljivih estica imamo dvije pripadne amplitude vjerojatnosti za analogni slu aj s raspoznatljivim esticama. U jednoj od tih amplituda dolazi do permutacije estica, a u drugoj ne. Neka je A 1 amplituda u kojoj ne dolazi do permutacije, a A 2 amplituda u kojoj ne dolazi do permutacije. Ukupna amplituda je tada jednaka: A = A 1 ± A 2 (32) gdje + i ozna avaju bozone i fermione, respektivno. Ovaj izraz na prvi pogled dopu²ta isklju ivo bozonsko i fermionsko pona²anje. Ali amplitude A 1 i A 2 su dane izrazom (28) ²to zna i da A 2 dobiva dodatnu fazu φ/2 u odnosu na A 1 iz ega slijedi mogu nost anyonskog pona²anja. tovi²e, mogu e je i da se fermioni u ovakvom dvodimenzionalnom sustavu pona²aju kao bozoni i obratno. Na temelju analize dvodimenzionalnog sustava, mogu e je zaklju iti ²to e se dogoditi ako se estice nalaze u n-dimenzionalnom prostoru za n > 2. Glavna razlika koja tada nastaje je druga ija fundamentalna grupa. Naime, tada je svaki zatvoreni put mogu e neprekidno transformirati u to ku ²to zna i da je fundamentalna grupa jednaka trivijalnoj grupi (sadrºi samo jedan element). Iz toga slijedi da ne dolazi do pojave relativne faze izmežu amplituda A 1 i A 2 pa estice koje su originalno fermioni (bozoni) se mogu pona²ati jedino kao fermioni (bozoni). VI. ZAKLJUƒAK U ovom seminaru prou ena je uloga topolo²ka svojstava konguracijskog prostora vi²e esti nih sustava u statistici koju slijede ti sustavi. Pokazano je da u trodimenzionalnim i vi²edimenzionalnim sustavima estice slijede isklju ivo bozonsku, odnosno fermionsku statistiku. S druge strane, u dvodimenzionalnim sustavima, statistika koju slijede estice moºe biti fermionska, bozonska ili anyonska te pri tome to ne ovisi o statistici koju bi slijedile te estice

5 5 u vi²edimenzionalnim sustavima (dok bi, za razliku od toga, dvije iste estice po²tivale istu statistiku u trodimenzionalnom i etverodimenzionalnom prostoru). Nadalje, pojava anyona u dvodimnzionalnim sustavima je posljedica isklju ivo topolo²kih svojstava konguracijskog prostora promatranog sustava. To zna i da ukoliko ºelimo dobiti anyone u trodimenzionalnim sustavima, interakcija izmežu estica mora biti takva da rastavi konguracijski prostor na nekoliko dijelova (sumu nekoliko mnogostrukosti) od kojih e barem neki biti dvodimenzionalni te ne e biti jednostavno povezani. [1] M. G. G. Laidlaw and C. DeWitt-Morette. Feynman functional integrals for systems of indistinguishable particles. Phys. Rev. D, 3(6): , doi: /PhysRevD [2] M. G. G. Laidlaw. Quantum Mechanics in Multiply Connected Spaces. PhD thesis, University of North Carolina at Chapel Hill, [3] E. H. Spanier. Algebraic Topology. Springer-Verlag, [4] P. J. Higgins. Notes on Categories and Groupoids. Van Nostrand Reinhold Company, [5] L. S. Schulman. A path integral for spin. Phys. Rev., 176(5): , doi: / PhysRev

LINEARNA ALGEBRA 2 Popravni kolokvij srijeda, 13. velja e Zadatak 1. ( 7 + 5=12 bodova) Zadan je potprostor L = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) C 4 : x 1

LINEARNA ALGEBRA 2 Popravni kolokvij srijeda, 13. velja e Zadatak 1. ( 7 + 5=12 bodova) Zadan je potprostor L = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) C 4 : x 1 Zadatak 1. ( 7 + 5=12 bodova) Zadan je potprostor L = {(x 1, x 2, x, x 4 ) C 4 : x 1 + x 2 + x = 0, x 1 = 2x 2 } unitarnog prostora C 4 sa standardnim skalarnim produktom i vektor v = (2i, 1, i, ) C 4.

Више

3. Neprekinute funkcije U ovoj to ki deniramo neprekinute funkcije. Slikovito, graf neprekinute funkcije moºemo nacrtati a da ne diºemo olovku s papir

3. Neprekinute funkcije U ovoj to ki deniramo neprekinute funkcije. Slikovito, graf neprekinute funkcije moºemo nacrtati a da ne diºemo olovku s papir 3. Neprekinute funkcije U ovoj to ki deniramo neprekinute funkcije. Slikovito, graf neprekinute funkcije moºemo nacrtati a da ne diºemo olovku s papira. Neprekinute funkcije vaºne su u teoriji i primjenama.

Више

Sveu ili²te J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveu ili²ni preddiplomski studij matematike Nata²a Galiot Algebarska struktura grupa Zavr²

Sveu ili²te J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveu ili²ni preddiplomski studij matematike Nata²a Galiot Algebarska struktura grupa Zavr² Sveu ili²te J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveu ili²ni preddiplomski studij matematike Nata²a Galiot Algebarska struktura grupa Zavr²ni rad Osijek, 2017. Sveu ili²te J. J. Strossmayera

Више

Seminar peti i ²esti U sljede a dva seminara rije²avamo integrale postavljene u prosturu trostruke integrale. Studenti vjeºbom trebaju razviti sposobn

Seminar peti i ²esti U sljede a dva seminara rije²avamo integrale postavljene u prosturu trostruke integrale. Studenti vjeºbom trebaju razviti sposobn Seminar peti i ²esti U sljede a dva seminara rije²avamo integrale postavljene u prosturu trostruke integrale. Studenti vjeºbom trebaju razviti sposobnost vizualizacije dijela prostora i skiciranja dvodimenzionalnih

Више

Seminar 13 (Tok funkcije) Obavezna priprema za seminar nalazi se na drugoj stranici ovog materijala. Ove materijale obražujemo na seminarima do kraja

Seminar 13 (Tok funkcije) Obavezna priprema za seminar nalazi se na drugoj stranici ovog materijala. Ove materijale obražujemo na seminarima do kraja Seminar 13 (Tok funkcije) Obavezna priprema za seminar nalazi se na drugoj stranici ovog materijala. Ove materijale obražujemo na seminarima do kraja semestra. Potrebno predznanje Ovaj seminar saºima sva

Више

Studij Ime i prezime Broj bodova MATEMATIKA 2 1. dio, grupa A 1. kolokvij 12. travnja Kolokvij se sastoji od dva dijela koja se pi²u po 55 minut

Studij Ime i prezime Broj bodova MATEMATIKA 2 1. dio, grupa A 1. kolokvij 12. travnja Kolokvij se sastoji od dva dijela koja se pi²u po 55 minut 1. dio, grupa A 1. kolokvij 12. travnja 2019. Kolokvij se sastoji od dva dijela koja se pi²u po 55 minuta. Od pomagala su dopu²teni ravnala, trokuti, kutomjer i ²estar. Svaki zadatak se mora pisati na

Више

Matrice. Algebarske operacije s matricama. - Predavanje I

Matrice. Algebarske operacije s matricama. - Predavanje I Matrice.. Predavanje I Ines Radošević inesr@math.uniri.hr Odjel za matematiku Sveučilišta u Rijeci Matrice... Matrice... Podsjeti se... skup, element skupa,..., matematička logika skupovi brojeva N,...,

Више

Račun smetnje i Greenove funkcije «Napredna kvantna fizika» Ivo Batistić Fizički odsjek, PMF Sveučilište u Zagrebu predavanja 2010 Pregled predavanja

Račun smetnje i Greenove funkcije «Napredna kvantna fizika» Ivo Batistić Fizički odsjek, PMF Sveučilište u Zagrebu predavanja 2010 Pregled predavanja Račun smetnje i Greenove funkcije «Napredna kvantna fizika» Ivo Batistić Fizički odsjek, PMF Sveučilište u Zagrebu predavanja 2010 Pregled predavanja Račun smetnje Greenove funkcije Wickov teorem Različite

Више

UAAG Osnovne algebarske strukture 5. Vektorski prostori Borka Jadrijević

UAAG Osnovne algebarske strukture 5. Vektorski prostori Borka Jadrijević Osnovne algebarske strukture 5. Vektorski prostori Borka Jadrijević Osnovne algebarske strukture5. Vektorski prostori 2 5.1 Unutarnja i vanjska množenja Imamo dvije vrste algebarskih operacija, tzv. unutarnja

Више

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori n

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori n 1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja 2018. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) (a) (2 boda) Definirajte (općenitu) vanjsku mjeru. (b) (2 boda) Definirajte

Више

Slide 1

Slide 1 0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: :: Neke fizikalne veličine poput indeksa loma u anizotropnim sredstvima ovise o iznosu i smjeru, a nisu vektori. Stoga se namede potreba poopdavanja. Međutim, fizikalne veličine,

Више

Skripte2013

Skripte2013 Chapter 2 Algebarske strukture Preslikivanje f : A n! A se naziva n-arna operacija na skupu A Ako je n =2, kažemo da je f : A A! A binarna operacija na A Kažemo da je operacija f arnosti n, u oznaci ar

Више

Microsoft Word - predavanje8

Microsoft Word - predavanje8 DERIVACIJA KOMPOZICIJE FUNKCIJA Ponekad je potrebno derivirati funkcije koje nisu jednostavne (složene su). Na primjer, funkcija sin2 je kompozicija funkcija sin (vanjska funkcija) i 2 (unutarnja funkcija).

Више

My_ST_FTNIspiti_Free

My_ST_FTNIspiti_Free ИСПИТНИ ЗАДАЦИ СУ ГРУПИСАНИ ПО ТЕМАМА: ЛИМЕСИ ИЗВОДИ ФУНКЦИЈЕ ЈЕДНЕ ПРОМЕНЉИВЕ ИСПИТИВАЊЕ ТОКА ФУНКЦИЈЕ ЕКСТРЕМИ ФУНКЦИЈЕ СА ВИШЕ ПРОМЕНЉИВИХ 5 ИНТЕГРАЛИ ДОДАТАК ФТН Испити С т р а н а Лимеси Одредити

Више

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET FIZIČKI ODSJEK Katja Kustura SLOBODNA EKSPANZIJA ANYONA Diplomski rad Zagreb, 2016.

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET FIZIČKI ODSJEK Katja Kustura SLOBODNA EKSPANZIJA ANYONA Diplomski rad Zagreb, 2016. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET FIZIČKI ODSJEK Katja Kustura SLOBODNA EKSPANZIJA ANYONA Diplomski rad Zagreb, 2016. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET FIZIČKI

Више

Zajedni ki sveu ili²ni poslijediplomski doktorski studij matematike Sveu ili²ta u Zagrebu, Sveu ili²ta J. J. Strossmayera u Osijeku, Sveu ili²ta u Rij

Zajedni ki sveu ili²ni poslijediplomski doktorski studij matematike Sveu ili²ta u Zagrebu, Sveu ili²ta J. J. Strossmayera u Osijeku, Sveu ili²ta u Rij Zajedni ki sveu ili²ni poslijediplomski doktorski studij matematike Sveu ili²ta u Zagrebu, Sveu ili²ta J. J. Strossmayera u Osijeku, Sveu ili²ta u Rijeci i Sveu ili²ta u Splitu Jurica Peri Nova metoda

Више

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 29. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 29. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. ( MJERA I INTEGRAL. kolokvij 9. lipnja 018. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni! 1. (ukupno 6 bodova Neka je (, F, µ prostor s mjerom, neka je (f n n1 niz F-izmjerivih funkcija

Више

Sadrºaj 1 Uvod 2 2 Prikupljanje i organizacija podataka Populacija i uzorak Izvori podataka

Sadrºaj 1 Uvod 2 2 Prikupljanje i organizacija podataka Populacija i uzorak Izvori podataka Sadrºaj 1 Uvod 2 2 Prikupljanje i organizacija podataka 5 2.1 Populacija i uzorak............................. 5 2.2 Izvori podataka............................... 6 2.3 Tipovi varijabli...............................

Више

2.7 Taylorova formula Teorem 2.11 Neka funkcija f : D! R; D R m ; ima na nekoj "-kugli K(T 0 ; ; ") D; T 0 x 0 1; :::; x 0 m neprekidne derivacije do

2.7 Taylorova formula Teorem 2.11 Neka funkcija f : D! R; D R m ; ima na nekoj -kugli K(T 0 ; ; ) D; T 0 x 0 1; :::; x 0 m neprekidne derivacije do 2.7 Taylorova formula Teorem 2.11 Neka funkcija f : D! R; D R m ; ima na nekoj "-kugli K(T 0 ; ; ") D; T 0 x 0 1; :::; x 0 m neprekidne derivacije do ukljucivo (n + 1) vog reda, n 0; onda za svaku tocku

Више

I Jednadžbe magnetostatike Odzivne funkcije Rješavanje jednadžbi II Energija polja TDM relacije #5 Makroskopska magnetostatika I Makroskopske jednadžb

I Jednadžbe magnetostatike Odzivne funkcije Rješavanje jednadžbi II Energija polja TDM relacije #5 Makroskopska magnetostatika I Makroskopske jednadžb #5 Makroskopska magnetostatika I Makroskopske jednadžbe magnetostatike II Termodinamički potencijali predavanja 20** Jednadžbe magnetostatike Magnetske odzivne funkcije Rješavanje jednadžbi magnetostatike

Више

Primjena neodredenog integrala u inženjerstvu Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

Primjena neodredenog integrala u inženjerstvu Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2 Primjena neodredenog integrala u inženjerstvu Matematika 2 Erna Begović Kovač, 2019. Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2 http://matematika.fkit.hr Uvod Ako su dvije veličine x i y povezane relacijom

Више

Funkcije strukture protona Sebastian Horvat Mentor: prof. dr. sc. Kre²imir Kumeri ki Sveu ili²te u Zagrebu, PMF Fizi ki odsjek Saºetak Krenuv²i od dub

Funkcije strukture protona Sebastian Horvat Mentor: prof. dr. sc. Kre²imir Kumeri ki Sveu ili²te u Zagrebu, PMF Fizi ki odsjek Saºetak Krenuv²i od dub Funkcije strukture protona Sebastian Horvat Mentor: prof. dr. sc. Kre²imir Kumeri ki Sveu ili²te u Zagrebu, PMF Fizi ki odsjek Saºetak Krenuv²i od dubokog neelasti nog raspr²enja i partonskih distribucijskih

Више

handout.dvi

handout.dvi 39 Poglavlje 4 Lieve grupe 4.1 Kontinuirane grupe - Konačne grupe imaju binarnu operaciju (tablicu množenja) koja zadovoljava četiri aksioma. - elementima pridružujemo operatore REPs i IREPS moćni teoremi

Више

Microsoft Word _Vipnet_komentar_BSA_final.doc

Microsoft Word _Vipnet_komentar_BSA_final.doc Zagreb, 21.11.2011. Hrvatska agencija za poštu i elektroni ke komunikacije Juriši eva 13 HR-10 000 ZAGREB PREDMET: Javna rasprava - Prijedlog odluke kojom se HT-u odre uju izmjene i dopune Standardne ponude

Више

1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan

1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan 1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan jednačinom oblika: a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2

Више

Uvod u obične diferencijalne jednadžbe Metoda separacije varijabli Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler

Uvod u obične diferencijalne jednadžbe Metoda separacije varijabli Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler Primjer Deriviranje po x je linearan operator d dx kojemu recimo kao domenu i kodomenu uzmemo (beskonačnodimenzionalni) vektorski prostor funkcija

Више

Gravitacija kao specijalna relativistička teorija polja Jelena Filipović Fizički odsjek, PMF, Sveučilište u Zagrebu

Gravitacija kao specijalna relativistička teorija polja Jelena Filipović Fizički odsjek, PMF, Sveučilište u Zagrebu Gravitacija kao specijalna relativistička teorija polja Jelena Filipović Fizički odsjek, PMF, Sveučilište u Zagrebu Uvod Svojstva gravitacije dugodosežna interakcija graviton je bezmasena čestica statička

Више

Univerzitet u Ni²u Prirodno - matemati ki fakultet Departman za matematiku KLASTER ANALIZA U STATISTIƒKOM ZAKLjUƒIVANjU Master rad Student: Katarina M

Univerzitet u Ni²u Prirodno - matemati ki fakultet Departman za matematiku KLASTER ANALIZA U STATISTIƒKOM ZAKLjUƒIVANjU Master rad Student: Katarina M Univerzitet u Ni²u Prirodno - matemati ki fakultet Departman za matematiku KLASTER ANALIZA U STATISTIƒKOM ZAKLjUƒIVANjU Master rad Student: Katarina M. Krsti Mentor: Prof. dr Aleksandar S. Nasti br. indeksa

Више

m3b.dvi

m3b.dvi 7 VEKTORI U svijetu oko nas lako ćemo prepoznati mnoge veličine čija se vrijednost izražava brojem. To su, na primjer, duljina, površina, obujam, temperatura, tlak, masa, energija, specifična gustoća:::

Више

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL završni ispit 6. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1.

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL završni ispit 6. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. MJERA I INTEGRAL završni ispit 6. srpnja 208. (Knjige bilježnice dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!). (8 bodova) Kao na predavanjima za d N sa P d : a b ] a d b d ] : a i b i R a i b i za i

Више

Microsoft Word - van sj Zakon o privrednoj komori -B.doc

Microsoft Word - van sj  Zakon o privrednoj komori -B.doc ZAKON O PRIVREDNOJ KOMORI BR KO DISTRIKTA BiH Na osnovu lana 23 Statuta Br ko Distrikta Bosne i Hercegovine ( Slu beni glasnik Br ko Distrikta BiH broj 1/00) Skup tina Br ko Distrikta na vanrednoj sjednici

Више

gt3b.dvi

gt3b.dvi r t. h en m le w.e w w 7 VEKTORI U svijetu oko nas lako ćemo prepoznati mnoge veličine čija se vrijednost izražava brojem. To su primjerice duljina, površina, obujam, temperatura, tlak, masa, energija,

Више

Sveu ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveu ili²ni preddiplomski studij matematike Ira tivi Zanimljivi brojevi Zavr²ni rad Osije

Sveu ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveu ili²ni preddiplomski studij matematike Ira tivi Zanimljivi brojevi Zavr²ni rad Osije Sveu ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveu ili²ni preddiplomski studij matematike Ira tivi Zanimljivi brojevi Zavr²ni rad Osijek, 2019. Sveu ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel

Више

1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu 3XB T + XA = B, pri qemu

1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu 3XB T + XA = B, pri qemu 1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE 1 0.0.01. Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu XB T + XA = B, 1 4 pri qemu je A = 6 9 i B = 1 1 0 1 1. 4 4 4 8 1. Data je prava q : {

Више

ФАКУЛТЕТ ОРГАНИЗАЦИОНИХ НАУКА

ФАКУЛТЕТ  ОРГАНИЗАЦИОНИХ  НАУКА Питања за усмени део испита из Математике 3 I. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ 1. Појам диференцијалне једначине. Пикарова теорема. - Написати општи и нормални облик диференцијалне једначине првог реда. - Дефинисати:

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 1. A. Svih pet zadanih razlomaka svedemo na najmanji zajednički nazivnik. Taj nazivnik je najmanji zajednički višekratnik brojeva i 3, tj. NZV(, 3) = 6. Dobijemo: 15 1, 6

Више

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka) 1. D. Svedimo sve razlomke na jedinstveni zajednički nazivnik. Lako provjeravamo da vrijede rastavi: 85 = 17 5, 187 = 17 11, 170 = 17 10, pa je zajednički nazivnik svih razlomaka jednak Tako sada imamo:

Више

ANALITIČKA GEOMETRIJA Željka Milin Šipuš i Mea Bombardelli verzija Uvod i povijesni osvrt Analitička geometrija bavi se proučavanjem (klasične)

ANALITIČKA GEOMETRIJA Željka Milin Šipuš i Mea Bombardelli verzija Uvod i povijesni osvrt Analitička geometrija bavi se proučavanjem (klasične) ANALITIČKA GEOMETRIJA Željka Milin Šipuš i Mea Bombardelli verzija 1.0 1 Uvod i povijesni osvrt Analitička geometrija bavi se proučavanjem (klasične) euklidske geometrije ravnine i prostora koristeći algebarske

Више

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petar Bakić GEOMETRIJA SHEMA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Go

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petar Bakić GEOMETRIJA SHEMA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Go SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petar Bakić GEOMETRIJA SHEMA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Goran Muić Zagreb, srpanj 2014. Ovaj diplomski rad obranjen

Више

Σ Ime i prezime, JMBAG: ELEMENTARNA GEOMETRIJA prvi kolokvij studenog Napomene: Kolokvij ima ukupno 5 zadataka, svaki zadatak vr

Σ Ime i prezime, JMBAG: ELEMENTARNA GEOMETRIJA prvi kolokvij studenog Napomene: Kolokvij ima ukupno 5 zadataka, svaki zadatak vr 1 2 3 4 5 Σ Ime i prezime, JMBAG: ELEMENTARNA GEOMETRIJA prvi kolokvij - 24. studenog 2017. Napomene: Kolokvij ima ukupno 5 zadataka, svaki zadatak vrijedi 7 bodova. Vrijeme rje²avanja je 120 minuta. Odmah

Више

ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) Malo kompleksne analize i osnovni teorem algebre Ljiljana Arambašić, Maja Horvat Saže

ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) Malo kompleksne analize i osnovni teorem algebre Ljiljana Arambašić, Maja Horvat Saže ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) 57 66 Malo kompleksne analize i osnovni teorem algebre Ljiljana Arambašić, Maja Horvat Sažetak Cilj je ovog rada približiti neke osnovne pojmove

Више

Grupiranje podataka: pristupi, metode i primjene, ljetni semestar 2013./ Standardizacija podataka Predavanja i vježbe 8 Ako su podaci zadani

Grupiranje podataka: pristupi, metode i primjene, ljetni semestar 2013./ Standardizacija podataka Predavanja i vježbe 8 Ako su podaci zadani Grupiranje podataka: pristupi, metode i primjene, ljetni semestar 2013/2014 1 5 Standardizacija podataka Predavanja i vježbe 8 Ako su podaci zadani s više obilježja (atributa), ta se obilježja mogu međusobno

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja) 1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 9 + 7 6 9 + 4 51 = = = 5.1 18 4 18 8 10. B. Pomoću kalkulatora nalazimo 10 1.5 = 63.45553. Četvrta decimala je očito jednaka 5, pa se zaokruživanje vrši

Више

Sadržaj 1 Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora Diskretan slučajan vektor

Sadržaj 1 Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora Diskretan slučajan vektor Sadržaj Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora 2 Diskretan slučajan vektor Funkcija distribucije slučajnog vektora 2 4 Nezavisnost slučajnih vektora 2 5 Očekivanje slučajnog vektora 6 Kovarijanca

Више

IErica_ActsUp_paged.qxd

IErica_ActsUp_paged.qxd Dnevnik šonjavka D`ef Kini Za D`u li, Vi la i Gran ta SEP TEM BAR P o n e d e l j a k Pret po sta vljam da je ma ma bi la a vol ski po no - sna na sa mu se be {to me je na te ra la da pro - {le go di ne

Више

Microsoft Word - 1.Operacije i zakoni operacija

Microsoft Word - 1.Operacije i zakoni operacija 1. Operacije i zakoni operacija Neka je S neprazan skup. Operacija dužine n skupa S jeste svako preslikavanje : n n f S S ( S = S S S... S) Ako je n = 1, onda operaciju nazivamo unarna. ( f : S S ) Ako

Више

Sluzbeni glasnik Grada Poreca br

Sluzbeni glasnik  Grada Poreca br 18. Na temelju lanka 34. stavak 1. to ka 1. Zakona o komunalnom gospodarstvu ("Narodne novine" broj 36/95, 70/97, 128/99, 57/00, 129/00, 59/01, 26/03, 82/04, 110/04 i 178/04) te lanka 40. Statuta Grada

Више

Microsoft Word - 15ms261

Microsoft Word - 15ms261 Zadatak 6 (Mirko, elektrotehnička škola) Rješenje 6 Odredite sup S, inf S, ma S i min S u skupu R ako je S = { R } a b = a a b + b a b, c < 0 a c b c. ( ), : 5. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik

Више

UNIVERZITET U NI U PRIRODNO-MATEMATIƒKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU ELEMENTI BANAHOVE ALGEBRE U OBLIKU BLOK MATRICA I NJIHOVI UOP TENI INVERZI MA

UNIVERZITET U NI U PRIRODNO-MATEMATIƒKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU ELEMENTI BANAHOVE ALGEBRE U OBLIKU BLOK MATRICA I NJIHOVI UOP TENI INVERZI MA UNIVERZITET U NI U PRIRODNO-MATEMATIƒKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU ELEMENTI BANAHOVE ALGEBRE U OBLIKU BLOK MATRICA I NJIHOVI UOP TENI INVERZI MASTER RAD Stuent: Katarina Pavlovi Mentor: r Milica

Више

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 28. veljače razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 28. veljače razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI ŽUANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 8. veljače 09. 8. razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI OSTUAK RJEŠAVANJA, ČLAN OVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ OSTUAK

Више

07jeli.DVI

07jeli.DVI Osječki matematički list 1(1), 85 94 85 Primjena karakterističnih funkcija u statistici Slobodan Jelić Sažetak. U ovom radu odred ene su funkcije distribucije aritmetičke sredine slučajnog uzorka duljine

Више

I Koeficijent refleksije Površinski plazmoni II Valovodi Rezonantne šupljine Mikrovalna mjerenja #13 Raspršenje elektromagnetskih valova na kristalima

I Koeficijent refleksije Površinski plazmoni II Valovodi Rezonantne šupljine Mikrovalna mjerenja #13 Raspršenje elektromagnetskih valova na kristalima #13 Raspršenje elektromagnetskih valova na kristalima I Dipolno zračenje II Raspršenje vidljive svjetlosti i X zraka predavanja 20** Mjerenje koeficijenta refleksije Površinski plazmoni Valovodi Rezonantne

Више

MARKOVLJEVI LANCI Prvi kolokvij 28. studenog Zadatak 1. (a) (5 bodova) Za Markovljev lanac (X n ) i njegovo stanje i S neka T (n) i u stanje i.

MARKOVLJEVI LANCI Prvi kolokvij 28. studenog Zadatak 1. (a) (5 bodova) Za Markovljev lanac (X n ) i njegovo stanje i S neka T (n) i u stanje i. Zadatak. (a) (5 bodova) Za Markovljev lanac (X n ) njegovo stanje S neka T (n) u stanje. Dokaºte da za svak n N vrjed P (T (n) < ) = f n, ozna ava n-to vrjeme povratka pr emu je f := P (T () < ). (Napomena:

Више

Metoda konačnih elemenata; teorija i praktična implementacija math.e 1 of 15 Vol.25. math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Metoda konačnih

Metoda konačnih elemenata; teorija i praktična implementacija math.e 1 of 15 Vol.25. math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Metoda konačnih 1 of 15 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Metoda konačnih elemenata; teorija i praktična implementacija klavirska žica konačni elementi mehanika numerička matematika Andrej Novak Sveučilište

Више

MEHANIKA VOŽNJE - Odsek za puteve, železnice i aerodrome

MEHANIKA VOŽNJE - Odsek za puteve, železnice i aerodrome MEHANIKA VOšNJE Odsek za puteve, ºeleznice i aerodrome Prof dr Stanko Br i Doc dr Stanko ori Doc dr Anina Glumac Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god. 2018/19 Sadrºaj 1 Kotrljanje to ka bez

Више

1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O

1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O http://www.fsb.hr/matematika/ (prva zadać Vektori i primjene. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. Označite CA= a, CB= b i izrazite vektore CM i CN pomoću vektora a i b..

Више

Linearna algebra Mirko Primc

Linearna algebra Mirko Primc Linearna algebra Mirko Primc Sadržaj Poglavlje 1. Polje realnih brojeva 5 1. Prirodni i cijeli brojevi 5 2. Polje racionalnih brojeva 6 3. Polje realnih brojeva R 9 4. Polje kompleksnih brojeva C 13 5.

Више

Z A K O N O SUDSKIM VEŠTACIMA I. UVODNE ODREDBE lan 1. Ovim zakonom ure uju se uslovi za obavljanje vešta enja, postupak imenovanja i razrešenja sudsk

Z A K O N O SUDSKIM VEŠTACIMA I. UVODNE ODREDBE lan 1. Ovim zakonom ure uju se uslovi za obavljanje vešta enja, postupak imenovanja i razrešenja sudsk Z A K O N O SUDSKIM VEŠTACIMA I. UVODNE ODREDBE lan 1. Ovim zakonom ure uju se uslovi za obavljanje vešta enja, postupak imenovanja i razrešenja sudskih veštaka (u daljem tekstu: veštak), postupak upisa

Више

Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Iracionalne jednaqine i nejednaqine Zlatko Lazovi 29. mart 2017.

Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Iracionalne jednaqine i nejednaqine Zlatko Lazovi 29. mart 2017. Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu 29. mart 2017. Matematiqki fakultet 2 Univerzitet u Beogradu Glava 1 Iracionalne jednaqine i nejednaqine 1.1 Teorijski uvod Pod iracionalnim jednaqinama podrazumevaju

Више

Konacne grupe, dizajni i kodovi

Konacne grupe, dizajni i kodovi Konačne grupe, dizajni i kodovi Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) 1. veljače 2011. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 1 / 36 J. Moori, Finite Groups,

Више

Microsoft Word - 24ms241

Microsoft Word - 24ms241 Zadatak (Branko, srednja škola) Parabola zadana jednadžbom = p x prolazi točkom tangente na tu parabolu u točki A? A,. A. x + = 0 B. x 8 = 0 C. x = 0 D. x + + = 0 Rješenje b a b a b a =, =. c c b a Kako

Више

Newtonova metoda za rješavanje nelinearne jednadžbe f(x)=0

Newtonova metoda za rješavanje nelinearne jednadžbe f(x)=0 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0 Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 Odjel za matematiku Sveučilište u Osijeku Seminarski rad iz Matematičkog praktikuma Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje

Више

br [1].pdf

br [1].pdf GODINA LII (XIV) SPLIT, 11. prosinca 2006. BROJ 32 S A D R Ž A J: GRAD SPLIT GRADSKO VIJE E Stranica 1. Izmjene i dopune Programa održavanja ure enoga gra evinskog zemljišta za 2006. godinu... 2 2. Izmjene

Више

MAT KOL (Banja Luka) ISSN (p), ISSN (o) Vol. XX (2)(2014), PELLOVA JEDNAČINA I PITAGORIN

MAT KOL (Banja Luka) ISSN (p), ISSN (o) Vol. XX (2)(2014), PELLOVA JEDNAČINA I PITAGORIN MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 986 5228 (o) Vol. XX (2)(204), 59 68 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PELLOVA JEDNAČINA I PITAGORINE TROJKE Amra Duraković Bernadin Ibrahimpašić 2, Sažetak

Више

knjiga.dvi

knjiga.dvi 1. Vjerojatnost 1. lgebra dogadaja......................... 1 2. Vjerojatnost............................. 9 3. Klasični vjerojatnosni prostor................. 14 4. eskonačni vjerojatnosni prostor...............

Више

Matematika 2 za kemi are drugi kolokvij, 26. svibnja Napomene. Dopu²tena pomagala za rje²avanje kolokvija su: kalkulator, tiskane ili rukom pisa

Matematika 2 za kemi are drugi kolokvij, 26. svibnja Napomene. Dopu²tena pomagala za rje²avanje kolokvija su: kalkulator, tiskane ili rukom pisa Matematika 2 za kemi are drugi kolokvij, 26. svibnja 2018. Napomene. Dopu²tena pomagala za rje²avanje kolokvija su: kalkulator, tiskane ili rukom pisane tablice s formulama (nisu dopu²tene logaritamske

Више

Neprekidnost Jelena Sedlar Fakultet građevinarstva, arhitekture i geodezije Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 1 / 14

Neprekidnost Jelena Sedlar Fakultet građevinarstva, arhitekture i geodezije Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 1 / 14 Neprekidnost Jelena Sedlar Fakultet građevinarstva, arhitekture i geodezije Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 1 / 14 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14 Definicija. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost

Више

Skalarne funkcije više varijabli Parcijalne derivacije Skalarne funkcije više varijabli i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler

Skalarne funkcije više varijabli Parcijalne derivacije Skalarne funkcije više varijabli i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler Jednadžba stanja idealnog plina uz p = nrt V f (x, y, z) = xy z x = n mol, y = T K, z = V L, f == p Pa. Pritom je kodomena od f skup R, a domena je Jednadžba

Више

8. predavanje Vladimir Dananić 17. travnja Vladimir Dananić () 8. predavanje 17. travnja / 14

8. predavanje Vladimir Dananić 17. travnja Vladimir Dananić () 8. predavanje 17. travnja / 14 8. predavanje Vladimir Dananić 17. travnja 2012. Vladimir Dananić () 8. predavanje 17. travnja 2012. 1 / 14 Sadržaj 1 Izmjenični napon i izmjenična struja Inducirani napon 2 3 Izmjenični napon Vladimir

Више

Univerzitet u Ni²u Prirodno - matemati ki fakultet Departman za matematiku Linearni regresioni modeli u nansijama Master rad Mentor: dr Aleksandar Nas

Univerzitet u Ni²u Prirodno - matemati ki fakultet Departman za matematiku Linearni regresioni modeli u nansijama Master rad Mentor: dr Aleksandar Nas Univerzitet u Ni²u Prirodno - matemati ki fakultet Departman za matematiku Linearni regresioni modeli u nansijama Master rad Mentor: dr Aleksandar Nasti Student: Aleksandra Cvetanovi Ni², 2015. Sadrºaj

Више

Орт колоквијум

Орт колоквијум II колоквијум из Основа рачунарске технике I - 27/28 (.6.28.) Р е ш е њ е Задатак На улазе x, x 2, x 3, x 4 комбинационе мреже, са излазом z, долази четворобитни BCD број. Ако број са улаза при дељењу

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja) 1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. B. Imamo redom: 0.3 0. 8 7 8 19 ( 3) 4 : = 9 4 = 9 4 = 9 = =. 0. 0.3 3 3 3 3 0 1 3 + 1 + 4 8 5 5 = = = = = = 0 1 3 0 1 3 0 1+ 3 ( : ) ( : ) 5 5 4 0 3.

Више

Numeričke metode u fizici 1, Projektni zadataci 2018./ Za sustav običnih diferencijalnih jednadžbi, koje opisuju kretanje populacije dviju vrs

Numeričke metode u fizici 1, Projektni zadataci 2018./ Za sustav običnih diferencijalnih jednadžbi, koje opisuju kretanje populacije dviju vrs Numeričke metode u fizici, Projektni zadataci 8./9.. Za sustav običnih diferencijalnih jednadžbi, koje opisuju kretanje populacije dviju vrsta životinja koje se nadmeću za istu hranu, dx ( dt = x x ) xy

Више

Univerzitet u Nišu Prirodno-matematički fakultet Departman za matematiku Različite karakterizacije proizvoda projektora Master rad Mentor: Prof. dr. D

Univerzitet u Nišu Prirodno-matematički fakultet Departman za matematiku Različite karakterizacije proizvoda projektora Master rad Mentor: Prof. dr. D Univerzitet u Nišu Prirodno-matematički fakultet Departman za matematiku Različite karakterizacije proizvoda projektora Master rad Mentor: Prof. dr. Dragana Cvetković-Ilić Student: Miljan Ilić Niš, 2019.

Више

Microsoft Word - Izvjestaj, Matra radionice, svibanj 2011

Microsoft Word - Izvjestaj,  Matra radionice,  svibanj 2011 Sažetak radionica u okviru Matra projekta, Zagreb, svibanj, 2011. Istraživanje kompleksnih nesreća, analiziranje i učenje na temelju nesreća Prezentacijom je istaknuta potreba provo enja istrage, tko,

Више

Microsoft Word - 09_Frenetove formule

Microsoft Word - 09_Frenetove formule 6 Frenet- Serret-ove formule x : 0,L Neka je regularna parametrizaija krivulje C u prostoru parametru s ) zadana vektorskom jednadžbom: x s x s i y s j z s k x s, y s, z s C za svaki 0, L Pritom je zbog

Више

Z A K O N O JAVNIM NABAVKAMA I. OSNOVNE ODREDBE 1. Predmet zakona i definicije Predmet zakona lan 1. Ovim zakonom ure uje se planiranje javnih nabavki

Z A K O N O JAVNIM NABAVKAMA I. OSNOVNE ODREDBE 1. Predmet zakona i definicije Predmet zakona lan 1. Ovim zakonom ure uje se planiranje javnih nabavki Z A K O N O JAVNIM NABAVKAMA I. OSNOVNE ODREDBE 1. Predmet zakona i definicije Predmet zakona lan 1. Ovim zakonom ure uje se planiranje javnih nabavki, uslovi, na in i postupak javne nabavke; reguliše

Више

2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8x 2 A) (f (

2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8x 2 A) (f ( 2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8 2 A) (f () M) ; ome dena odozdol ako postoji m 2 R takav da je

Више

ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ септембар 2005

ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ септембар 2005 ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1 фебруар 1. год. 1. Пећ сачињена од три грејача отпорности R=6Ω, везана у звезду, напаја се са мреже xv, 5Hz, преко три фазна регулатора, као на слици. Угао "паљења" тиристора је

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja) 5 5: 5 5. B. Broj.5 možemo zapisati u obliku = =, a taj broj nije cijeli broj. 0 0 : 5 Broj 5 je iracionalan broj, pa taj broj nije cijeli broj. Broj 5 je racionalan broj koji nije cijeli broj jer broj

Више

Algebarske strukture Boris Širola

Algebarske strukture Boris Širola Algebarske strukture Boris Širola UVOD Cilj ovog kratkog uvoda je prvo, neformalno, upoznavanje sa pojmovima i objektima koji su predmet proučavanja ovog kolegija, od kojih je centralan pojam algebarske

Више

Energetski pretvarači 1 Februar zadatak (18 poena) Kondenzator C priključen je paralelno faznom regulatoru u cilju kompenzacije reaktivne sna

Energetski pretvarači 1 Februar zadatak (18 poena) Kondenzator C priključen je paralelno faznom regulatoru u cilju kompenzacije reaktivne sna 1. zadatak (18 poena) Kondenzator C priključen je paralelno faznom regulatoru u cilju kompenzacije reaktivne snage osnovnog harmonika. Induktivnost prigušnice jednaka je L = 10 mh, frekvencija mrežnog

Више

ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) Generalizirani Apolonijev problem Antonija Guberina, Nikola Koceić Bilan Sažetak Apol

ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) Generalizirani Apolonijev problem Antonija Guberina, Nikola Koceić Bilan Sažetak Apol ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) 67 91 Generalizirani Apolonijev problem Antonija Guberina, Nikola Koceić Bilan Sažetak Apolonijev problem glasi: Konstruiraj kružnicu koja dodiruje

Више

Službeni list Europske unije L 186 Hrvatsko izdanje Zakonodavstvo Svezak srpnja Sadržaj I. Zakonodavni akti UREDBE Uredba (EU) 2019/1148

Službeni list Europske unije L 186 Hrvatsko izdanje Zakonodavstvo Svezak srpnja Sadržaj I. Zakonodavni akti UREDBE Uredba (EU) 2019/1148 Službeni list Europske unije L 186 Hrvatsko izdanje Zakonodavstvo Svezak 62. 11. srpnja 2019. Sadržaj I. Zakonodavni akti UREDBE Uredba (EU) 2019/1148 Europskog parlamenta i Vije a od 20. lipnja 2019.

Више

7. predavanje Vladimir Dananić 14. studenoga Vladimir Dananić () 7. predavanje 14. studenoga / 16

7. predavanje Vladimir Dananić 14. studenoga Vladimir Dananić () 7. predavanje 14. studenoga / 16 7. predavanje Vladimir Dananić 14. studenoga 2011. Vladimir Dananić () 7. predavanje 14. studenoga 2011. 1 / 16 Sadržaj 1 Operator kutne količine gibanja 2 3 Zadatci Vladimir Dananić () 7. predavanje 14.

Више

(Microsoft Word vje\236ba - LIMES FUNKCIJE.doc)

(Microsoft Word vje\236ba - LIMES FUNKCIJE.doc) Zadatak Pokažite, koristeći svojstva esa, da je ( 6 ) 5 Svojstva esa funkcije u točki: Ako je k konstanta, k k c c c f ( ) L i g( ) M, tada vrijedi: c c [ f ( ) ± g( ) ] c c f ( ) ± g( ) L ± M c [ f (

Више

Microsoft PowerPoint - Prvi tjedan [Compatibility Mode]

Microsoft PowerPoint - Prvi tjedan [Compatibility Mode] REAKTORI I BIOREAKTORI PODJELA I OSNOVNI TIPOVI KEMIJSKIH REAKTORA Vanja Kosar, izv. prof. KEMIJSKI REAKTOR I KEMIJSKO RAKCIJSKO INŽENJERSTVO PODJELA REAKTORA I OPĆE BILANCE TVARI i TOPLINE 2 Kemijski

Више

s2.dvi

s2.dvi 1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skupovibrojeva.... Skup kompleksnih brojeva................................. 6. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva..................... 9 4. Kompleksno konjugirani

Више

Oblikovanje i analiza algoritama 4. predavanje Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb OAA 2017, 4. pr

Oblikovanje i analiza algoritama 4. predavanje Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb OAA 2017, 4. pr Oblikovanje i analiza algoritama 4. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb OAA 2017, 4. predavanje p. 1/69 Sadržaj predavanja Složenost u praksi

Више

Natjecanje 2016.

Natjecanje 2016. I RAZRED Zadatak 1 Grafiĉki predstavi funkciju RJEŠENJE 2, { Za, imamo Za, ), imamo, Za imamo I RAZRED Zadatak 2 Neka su realni brojevi koji nisu svi jednaki, takvi da vrijedi Dokaži da je RJEŠENJE Neka

Више

P R E D L O G ZAKON O IZMENAMA I DOPUNAMA ZAKONA O IGRAMA NA SRE U lan 1. U Zakonu o igrama na sre u ( Službeni glasnik RS, br. 88/11 i 93/12-dr. zako

P R E D L O G ZAKON O IZMENAMA I DOPUNAMA ZAKONA O IGRAMA NA SRE U lan 1. U Zakonu o igrama na sre u ( Službeni glasnik RS, br. 88/11 i 93/12-dr. zako P R E D L O G ZAKON O IZMENAMA I DOPUNAMA ZAKONA O IGRAMA NA SRE U lan 1. U Zakonu o igrama na sre u ( Službeni glasnik RS, br. 88/11 i 93/12-dr. zakon), u lanu 2. stav 2. re : prire uju zamenjuje se re

Више

2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8x 2 A) (f (

2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8x 2 A) (f ( 2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8x 2 A) (f (x) M) ; ome dena odozdol ako postoji m 2 R takav da

Више

C2 MATEMATIKA 1 ( , 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. (15 b

C2 MATEMATIKA 1 ( , 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. (15 b C2 MATEMATIKA 1 (20.12.2011., 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. 2. Izračunajte osjenčanu površinu sa slike. 3. Automobil

Више

9. : , ( )

9.  :  ,    ( ) 9. Динамика тачке: Енергиjа, рад и снага (први део) др Ратко Маретић др Дамир Мађаревић Департман за Техничку механику, Факултет техничких наука Нови Сад Садржаj - Шта ћемо научити (1) 1. Преглед литературе

Више

по пла ве, ко ја је Од лу ком Вла де о уки да њу ван ред не си ту а ци је на де лу те ри то ри је Ре пу бли ке Ср би је ( Слу жбе ни гла сник РС, број

по пла ве, ко ја је Од лу ком Вла де о уки да њу ван ред не си ту а ци је на де лу те ри то ри је Ре пу бли ке Ср би је ( Слу жбе ни гла сник РС, број по пла ве, ко ја је Од лу ком Вла де о уки да њу ван ред не си ту а ци је на де лу те ри то ри је Ре пу бли ке Ср би је ( Слу жбе ни гла сник РС, број 63/14) оста ла на сна зи, осим за оп шти не Ма ли

Више

Univerzitet u Sarajevu Prirodno-matemati ki fakultet Odsjek za ziku I ciklus studija Op²ti smjer/ Teorijska zika HATD (ODVAJANJE IZNAD PRAGA VI EG RED

Univerzitet u Sarajevu Prirodno-matemati ki fakultet Odsjek za ziku I ciklus studija Op²ti smjer/ Teorijska zika HATD (ODVAJANJE IZNAD PRAGA VI EG RED Univerzitet u Sarajevu Prirodno-matemati ki fakultet Odsjek za ziku I ciklus studija Op²ti smjer/ Teorijska zika HATD (ODVAJANJE IZNAD PRAGA VI EG REDA) U BICIRKULARNOM LASERSKOM POLJU ZAVR NI RAD Mentor:

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja) 1. C. Interval, tvore svi realni brojevi strogo manji od. Interval, 9] tvore svi realni brojevi strogo veći od i jednaki ili manji od 9. Interval [1, 8] tvore svi realni brojevi jednaki ili veći od 1,

Више

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Zvonko Iljazović Zagreb, rujan, 2015. Ovaj diplomski

Више

MAT-KOL (Banja Luka) XXIV (2)(2018), DOI: /МК S ISSN (o) ISSN (o) Klasa s

MAT-KOL (Banja Luka) XXIV (2)(2018), DOI: /МК S ISSN (o) ISSN (o) Klasa s MAT-KOL (Banja Luka) XXIV (2)(2018), 141-146 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm DOI: 10.7251/МК1803141S ISSN 0354-6969 (o) ISSN 1986-5828 (o) Klasa subtangentnih funkcija i klasa subnormalnih krivulja

Више