1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K. Elementi a k K su koeficijenti polinoma P (x). Ako je a n 0, za polinom P (x) kažemo da je stepena n i to označavamo sa dgp (x) = n. Koeficijent a n 0 je vodeći ili najstariji koeficijent polinoma P (x). Ako je a n = 1, polinom P (x) se naziva monični polinom. Skup svih polinoma ne višeg stepena od n po promenljivoj x označavamo sa P n [x]. Teorema 1. Za svaki polinom P (x) i svaki nenula-polinom Q(x) postoje jedinstveni polinomi S(x) i R(x) takvi da važi jednakost k=0 P (x) = S(x)Q(x) + R(x), pri čemu je R(x) nula-polinom ili dgr(x) < dgq(x). Polinom S(x) se naziva količnik, a polinom R(x) ostatak pri deljenju polinoma P (x) polinomom Q(x). U slučaju da važi P (x) = S(x)Q(x), kažemo da polinom Q(x) deli polinom P (x) i pišemo Q(x) P (x). Teorema 2. (Bezuov stav) Ostatak pri deljenju polinoma P (x) sa x a jednak je P (a). Za element a K kažemo da je nula polinoma P (x) ako je P (a) = 0. U tom slučaju, na osnovu Bezuovog stava, imamo tj. P (x) je deljiv polinomom x a. Neka je, nadalje, K = R ili K = C. Polinom P (x) = S(x)(x a), P (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 sa kompleksnim koeficijentima a 0, a 1,..., a n i a n 0 ima n kompleksnih nula x 1, x 2,..., x n i važi P (x) = a n (x x 1 )(x x 2 ) (x x n ).
2 Broj a je nula reda (višestrukosti) k, k N, polinoma P (x) ako i samo ako je (x a) k P (x) i (x a) k+1 P (x). Nule višestrukosti 1 nazivaju se proste nule. Teorema 3. (Vietove formule) Neka je P (x) polinom sa kompleksnim koeficijentima stepena n P (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 (a n 0) i x 1, x 2,...,x n nule polinoma P (x). Tada važi x 1 + x 2 + + x n = a n 1 a n, x 1 x 2 + x 1 x 3 + + x n 1 x n = a n 2 a n, x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + + x n 2 x n 1 x n = a n 3 a n,. x 1 x 2 x n = ( 1) n a 0 a n. Ako su koeficijenti polinoma P (x) realni brojevi, takav polinom zovemo realni polinom. Teorema 4. Ako je z i kompleksna nula reda k i realnog polinoma P (x), tada je i z i takod e njegova kompleksna nula istog reda. Teorema 5. (Teorema o racionalnim nulama) Neka je P (x) realni polinom sa celobrojnim koeficijentima P (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 (a k Z, a 0 a n 0). Ako je p/q, p, q Z, NZD(p, q) = 1, nula polinoma P (x), tada p a 0 i q a n. Realan ili kompleksan polinom P (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 (a n 0) je Hurvicov polinom ili H-polinom ako sve njegove nule x k (k = 1,..., n) imaju osobinu Re x k < 0. Teorema 6. Realni polinom P (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 (a 0 > 0) je H-polinom ako i samo ako je
a 1 a 0 0 0 0 a 3 a 2 a 1 a 0 0 Dk n = a 5 a 4 a 3 a 2 0 > 0,. a 2k 1 a 2k 2 a 2k 3 a 2k 4 a k za k = 1, 2,..., n, gde je a j = 0 za j > n. 3 Zadaci 1. Odrediti a, b R tako da polinom P (x) = 6x 4 7x 3 + ax 2 + 3x + 2 bude deljiv sa Q(x) = x 2 x + b. Rešenje: Deljenjem polinoma P (x) sa Q(x) dobijamo količnik S(x) = 6x 2 x + (a 6b 1) i ostatak R(x) = (a 5b + 2)x + 2 b(a 6b 1). Da bi polinom P (x) bio deljiv sa Q(x) potrebno je da R(x) bude nula-polinom, odakle dobijamo sistem jednačina a 5b + 2 = 0, 2 b(a 6b 1) = 0. Rešenja datog sistema jednačina su (a, b) {( 12, 2), ( 7, 1)}. 2. Odrediti a, b R tako da je polinom P (x) = x 3 + ax 2 + bx 15 deljiv sa (x + 2)(x 3), a zatim razviti P (x) po stepenima binoma (x 2). Rešenje: Da bi polinom P (x) bio deljiv sa (x+2)(x 3) treba da važi P ( 2) = P (3) = 0. Iz ovih uslova dobijamo sistem linearnih jednačina 4a 2b = 23, 9a + 3b = 12, odakle je a = 3/2 i b = 17/2. Da bismo razložili polinom P (x) po stepenima x 2, formiramo Hornerovu šemu: 2 1 3/2 17/2 15 1 7/2 3/2 18 1 11/2 19/2 1 15/2 1
4 Sada je x 3 + 3 2 x2 17 2 x 15 = 1(x 2)3 + 15 2 (x 2)2 + 19 (x 2) 18. 2 3. Odrediti ostatke pri deljenju polinoma P (x) = x 2009 3x 2008 + x 1009 3x 1008 + x + 3 polinomima x + 1, x 3 i (x + 1)(x 3). Rešenje: Ostatak pri deljenju polinoma P (x) sa x + 1 prema Bezuovom stavu jednak je P ( 1) = 6. Ostatak pri deljenju polinoma P (x) sa x 3 jednak je P (3) = 6. Neka je S(x) količnik pri deljenju polinoma P (x) sa (x+1)(x 3), a R(x) = ax+b ostatak. Tada je x 2009 3x 2008 + x 1009 3x 1008 + x + 3 = (x + 1)(x 3)S(x) + ax + b. Ako u ovoj jednačini stavimo da je x = 1, a zatim x = 3 dobićemo sistem jednačina a + b = 6, 3a + b = 6, čije je rešenje a = 3, b = 3. Stoga je ostatak pri deljenju polinoma P (x) sa (x + 1)(x 3) polinom R(x) = 3x 3. 4. Ako je ostatak deljenja polinoma P (x) stepena n 2 binomom x 3 jednak 4, a ostatak deljenja binomom x 2 jednak 2, odrediti ostatak deljenja polinoma P (x) polinomom (x 2)(x 3). Rešenje: Neka je ostatak pri deljenju polinoma P (x) sa (x 2)(x 3) polinom R(x) = ax + b. Tada je P (x) = (x 2)(x 3)S(x) + ax + b, gde je S(x) polinom stepena n 2. Prema Bezuovom stavu je P (3) = 4 i P (2) = 2. Kako je P (3) = 3a + b, a P (2) = 2a + b, dobijamo sistem linearnih jednačina čije je rešenje a = 2, b = 2. Dakle, traženi ostatak je R(x) = 2x 2.
5. Polinom P (x) pri deljenju sa x i daje ostatak 1, a pri deljenju sa x 2 daje ostatak 5. Odrediti ostatak pri deljenju polinoma P (x) sa (x 2 + 1)(x 2). Rešenje: Prema Bezuovom stavu je P (i) = 1 i P (2) = 5. Ako je ostatak pri deljenju polinoma P (x) sa (x 2 + 1)(x 2) polinom R(x) = ax 2 + bx + c, tada je P (x) = (x 2 + 1)(x 2)S(x) + ax 2 + bx + c. Kako je P (i) = a + bi + c i P (2) = 4a + 2b + c, dobijamo sistem linearnih jednačina čije je rešenje a = 6/5, b = 0, c = 1/5, pa je traženi ostatak R(x) = 6/5x 2 1/5. 5 6. Odrediti koeficijente a, b, c, d R tako da polinom P (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d pri deljenju sa x 1 daje ostatak 10, pri deljenju sa x + 1 ostatak 4, pri deljenju sa x + 2 ostatak 8, a pri deljenju sa x daje ostatak 2. Rešenje: Na osnovu Bezuovog stava je: P (1) = 10, P ( 1) = 4, P ( 2) = 8 i P (0) = 2, pa dobijamo sledeći sistem linearnih jednačina a + b + c + d = 10, a + b c + d = 4, 8a + 4b 2c + d = 8, d = 2. Rešavanjem datog sistema linearnih jednačina, na primer Gausovim metodom eliminacije, dobijamo a = 4, b = 5, c = 1 i d = 2, pa je P (x) = 4x 3 + 5x 2 x + 2. 7. Odrediti koeficijente a, b, c R, tako da polinom P (x) = x 3 + ax 2 + bx + c bude deljiv sa x + i, a pri deljenju sa x + 2 daje ostatak 10. Predstaviti polinom P (x) u faktorisanom obliku. Rešenje: Kako binom x + i deli P (x), to je x = i nula polinom P, tj.
6 P ( i) = 0 ( i) 3 + a( i) 2 + b( i) + c = 0 i a ib + c = 0 c a + i(1 b) = 0 { a = c, b = 1. (0.1) S obzirom da je ostatak pri deljenju P (x) sa x+2 jednak 10, na osnovu Bezuovog stava to je P ( 2) = 10 8 + 4a 2b + c = 10. Zamenom (0.1) u poslednju jednakost dobijamo vrednosti koeficijenata Polinom P tada glasi a = c = 4. P (x) = x 3 + 4x 2 + x + 4 = x 2 (x + 4) + x + 4 = (x 2 + 1)(x + 4) i u faktorisanom obliku. 8. Odrediti polinom P (x) = x 3 + ax 2 + bx + c (a, b, c R) koji ima nulu x = i 2, a pri deljenju sa (x 2) daje ostatak 6. Rešenje: Kako je P (x) realni polinom, on ima i konjugovanu nulu i 2, pa je, dakle, deljiv faktorom (x i 2)(x + i 2) = x 2 + 2. Deljenjem polinoma P (x) sa x 2 + 2 dobijamo količnik S(x) = x + a i ostatak R(x) = (b 2)x + c 2a. Iz uslova da je R(x) nula-polinom sledi b = 2 i c = 2a. Dalje, prema Bezuovom stavu imamo P (2) = 6, tj. a = 3. Dakle, traženi polinom je P (x) = x 3 3x 2 + 2x 6. 9. Naći ostale nule polinoma P (x) = x 3 + a 2 x + 10a 3 (a R) ako se zna da je jedna nula a(1+2i), a da se pri deljenju polinoma P (x) sa (x a) dobija ostatak 12. Rešenje: Druga nula polinoma P (x) je x 2 = x 1 = a(1 2i), pa je polinom P (x) deljiv sa (x a(1 + 2i))(x a(1 2i)) = x 2 2ax + 5a 2. Kako je (x 3 + a 2 x + 10a 3 ) : (x 2 2ax + 5a 2 ) = x + 2a, to je treća nula datog polinoma x 3 = 2a. Dalje, na osnovu uslova zadatka je P (a) = 12, tj. 12a 3 = 12, odakle je a = 1. Dakle, nule polinoma P (x) su: x 1 = 1 2i, x 2 = 1 + 2i i x 3 = 2.
7 10. Odrediti a, b R tako da polinom P (x) = 4x 4 20x 3 + ax 2 + bx 15 ima jednu nulu x 1 = 2 i, a zatim odrediti sve nule polinoma P (x). Rešenje: Budući da je P (x) realni polinom, njegova druga nula je x 2 = 2 + i. Dakle, polinom P (x) je deljiv sa (x (2 i))(x (2 + i)) = x 2 4x + 5. Kako je P (x) = (x 2 4x + 5)(4x 2 4x + a 36) + (4a + b 124)x 5a + 165, to je (4a + b 124)x 5a + 165 nula-polinom, pa je 4a + b 124 = 0, 5a + 165 = 0. Dakle, a = 33, b = 8. Druge dve nule polinoma P (x) su rešenja kvadratne jednačine 4x 2 4x 3 = 0, pa dobijamo x 3 = 1 2, x 4 = 3 2. 11. Dat je polinom P (x) = 3x 4 + px 3 + qx 2 + 4x 2 (p, q R). Odrediti p i q tako da je x 1 = 1 + i jedna nula polinoma P (x), a zatim odrediti ostale nule polinoma P (x). Rešenje: Druga nula polinoma P (x) je x 2 = 1 i, pa je polinom P (x) deljiv sa (x (1 + i))(x (1 i)) = x 2 2x + 2. Kako je P (x) = (x 2 2x + 2)(3x 2 + (p + 6)x + (2p + q + 6)) + (2p + 2q + 4)x 4p 2q 14, to je 2p + 2q + 4 = 0, 4p 2q 14 = 0, odakle je p = 5 i q = 3. Druge dve nule polinoma P (x) su rešenja kvadratne jednačine 3x 2 + x 1 = 0, te je x 3 = 1 6 ( 1 ) 13, x 4 = 1 ( 1 + ) 13. 6
8 12. Dat je polinom P (x) = 8x 4 + 12x 3 + 10x 2 + 27x 18. Ako je jedna nula polinoma P (x) oblika x 1 = ai (a R), naći sve nule polinoma P (x). Rešenje: Druga nula polinoma P (x) je x 2 = ai, pa je polinom P (x) deljiv polinomom (x ai)(x + ai) = x 2 + a 2. Kako je P (x) = (8x 2 + 12x + 10 8a 2 )(x 2 + a 2 ) + (27 12a 2 )x (10 8a 2 )a 2 18, to je a 2 = 9/4, pa je a = ±3/2. Druge dve nule polinoma P (x) su nule kvadratne jednačine 8x 2 + 12x 8 = 0. Dakle, nule polinoma P (x) su: x 1 = 3 2 i, x 2 = 3 2 i, x 3 = 2, x 4 = 1 2. 13. Odrediti a R tako da je proizvod dve nule polinoma P (x) = x 3 + ax 2 11x + 5 jednak 1, a zatim predstaviti P (x) u faktorisanom obliku. Rešenje: Neka su x 1, x 2 i x 3 nule polinoma P (x). Vietove formule za dati polinom glase: x 1 + x 2 + x 3 = a, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = 11, x 1 x 2 x 3 = 5. Ako je x 1 x 2 = 1, to iz treće jednačine sledi x 3 = 5, pa je x 1 + x 2 = a 5. Kako je x 1 x 2 + (x 1 + x 2 )x 3 = 11, to je 1 + 5( a 5) = 11, odakle je a = 3. Rešavanjem sistema jednačina x 1 + x 2 = 2, x 1 x 2 = 1, dobijamo Sada je x 1 = 1 2, x 2 = 1 + 2. P (x) = (x + 1 + 2)(x + 1 2)(x 5).
9 14. Odrediti koeficijente a, b, c, d R polinoma P (x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d ako se zna da je zbir njegovih nula jednak 2, proizvod jednak 1 i da polinom P (x) pri deljenju sa x 2 daje ostatak 5, a sa x + 1 ostatak 8. Predstaviti polinom P (x) u faktorisanom obliku. Rešenje: Označimo sa x 1, x 2, x 3 i x 4 nule polinoma P (x). Na osnovu uslova zadatka i Vietovih formula imamo x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = a = 2, x 1 x 2 x 3 x 4 = d = 1, pa je a = 2 i d = 1. Dalje, na osnovu Bezuovog stava je P (2) = 5 i P ( 1) = 8, tj. 16 + 8a + 4b + 2c + d = 5, 1 a + b c + d = 8. Koristeći nad ene koeficijente a i d, rešavanjem prethodnog sistema jednačina dobijamo b = 2 i c = 2, pa je P (x) = x 4 2x 3 + 2x 2 2x + 1. Na osnovu teoreme o racionalnim nulama, jedine potencijalne racionalne nule polinoma P (x) su ±1. Proverom vidimo da je P (1) = 0. Da bismo utvrdili da li je broj 1 dvostruka nula polinoma P (x), iskoristićemo Hornerovu šemu: 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 Sada je P (x) = (x 1) 2 (x 2 + 1) = (x 1) 2 (x + i)(x i). 15. Odrediti polinom P (x) četvrtog stepena sa realnim koeficijentima koji ima dvostruku realnu nulu 2, kompleksnu nulu 1 2i i za koji važi P ( 3) = 20. Rešenje: Iz uslova zadatka je x 1 = 2, x 2 = 2, x 3 = 1 2i, x 4 = 1 + 2i, pa je P (x) = a(x + 2) 2 (x 1 + 2i)(x 1 2i) = a(x 4 + 2x 3 + x 2 + 12x + 20). Kako je P ( 3) = 20a = 20, to je a = 1, pa je traženi polinom P (x) = x 4 + 2x 3 + x 2 + 12x + 20.
10 16. Odrediti polinom P (x) = x 3 + ax 2 + bx + c, čije su nule 2x 1, 2x 2 i 2x 3 ako se zna da su x 1, x 2 i x 3 nule polinoma Q(x) = x 3 2x + 2013. Rešenje: Vietove formule za polinom Q(x) su x 1 + x 2 + x 3 = 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = 2, x 1 x 2 x 3 = 2013, a za polinom P (x) 2x 1 + 2x 2 + 2x 3 = a, 2x 1 2x 2 + 2x 1 2x 3 + 2x 2 2x 3 = b, 2x 1 2x 2 2x 3 = c. Jednostavno se dobija a = 0, b = 8, c = 16104, pa je P (x) = x 3 8x + 16104. 17. Odrediti λ R tako da za nule x 1 i x 2 polinoma P (x) = x 3 x 2 + λx + 6 važi x 1 x 2 = 2. Naći sve nule polinoma P (x). Rešenje: Iz Vietovih formula za polinom P (x) imamo x 1 + x 2 + x 3 = 1, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = λ, x 1 x 2 x 3 = 6. Iz uslova x 1 x 2 = 2 i treće jednačine sledi x 3 = 3. Sada iz prve jednačine dobijamo x 1 + x 2 = 4, pa je x 1 = 2 2, x 2 = 2 + 2. Konačno je λ = x 1 x 2 + (x 1 + x 2 )x 3 = 2 + 4( 3) = 10. 18. Odrediti koeficijente a, b R, a > 0, polinoma P (x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + a 2 x 6 ako je zbir dve nule tog polinoma 3, a proizvod druge dve 3.
Rešenje: Neka je x 1 + x 2 = 3 i x 3 x 4 = 3. Za dati polinom Vietove formule glase: Iz datih uslova, (4) i (1) sledi: Iz (3) imamo redom: 11 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = a, (0.2) x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 4 + x 2 x 3 + x 2 x 4 + x 3 x 4 = b, (0.3) x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + x 1 x 3 x 4 + x 2 x 3 x 4 = a 2, (0.4) x 1 x 2 = 2, x 3 + x 4 = a 3. x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + x 1 x 3 x 4 + x 2 x 3 x 4 = a 2, x 1 x 2 (x 3 + x 4 ) + x 3 x 4 (x 1 + x 2 ) = a 2, x 1 x 2 x 3 x 4 = 6. (0.5) 2( a 3) 3 3 = a 2, a 2 2a 15 = 0. Rešenja ove kvadratne jednačine su a 1 = 3 i a 2 = 5, pa je, s obzirom na uslov zadatka, a = 5. Sada je x 3 + x 4 = 8, pa iz (2) imamo redom: tj. b = 25. x 1 x 2 + x 1 (x 3 + x 4 ) + x 2 (x 3 + x 4 ) + x 3 x 4 = b, 2 + (x 1 + x 2 )(x 3 + x 4 ) 3 = b, 3 ( 8) 1 = b, 19. Odrediti polinom P (x) = x 3 +ax 2 +bx+c čije su nule x 1 +x 2, x 1 +x 3, x 2 +x 3, gde su x 1, x 2 i x 3 nule polinoma Q(x) = x 3 2x 2 3. Rešenje: Vietove formule za polinom Q(x) su a za polinom P (x) x 1 + x 2 + x 3 = 2, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = 0, x 1 x 2 x 3 = 3,
12 (x 1 + x 2 ) + (x 1 + x 3 ) + (x 2 + x 3 ) = a, (x 1 + x 2 )(x 1 + x 3 ) + (x 1 + x 2 )(x 2 + x 3 ) + (x 1 + x 3 )(x 2 + x 3 ) = b, (x 1 + x 2 )(x 1 + x 3 )(x 2 + x 3 ) = c. Imamo a = 2(x 1 + x 2 + x 3 ) = 4. Dalje je b = (x 1 + x 2 )(x 1 + x 3 ) + (x 1 + x 2 )(x 2 + x 3 ) + (x 1 + x 3 )(x 2 + x 3 ) = (2 x 3 )(2 x 2 ) + (2 x 3 )(2 x 1 ) + (2 x 2 )(2 x 1 ) = 12 4(x 1 + x 2 + x 3 ) + x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = 12 4 2 = 4. Konačno je c = (x 1 + x 2 )(x 1 + x 3 )(x 2 + x 3 ) = (2 x 3 )(2 x 2 )(2 x 1 ) = 8 + 4(x 1 + x 2 + x 3 ) 2(x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ) + x 1 x 2 x 3 = 3. 20. Neka su x 1, x 2, x 3 nule polinoma P (x) = x 3 2x + 2013. Ako su x 2 1, x2 2, x2 3 nule polinoma Q(x) = x 3 + ax 2 + bx + c, odrediti koeficijente a, b, c R. Rešenje: Vietove formule za polinom P (x) su a za polinom Q(x) x 1 + x 2 + x 3 = 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = 2, x 1 x 2 x 3 = 2013, x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = a, x 2 1x 2 2 + x 2 1x 2 3 + x 2 2x 2 3 = b, x 2 1x 2 2x 2 3 = c. Ako kvadriramo prvu jednačinu od prve tri jednačine, dobijamo x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + 2(x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ) = 0, odakle je a 4 = 0, pa je a = 4. Ako kvadriramo drugu jednačinu od prve tri, imamo
13 x 2 1x 2 2 + x 2 1x 2 3 + x 2 2x 2 3 + 2(x 2 1x 2 x 3 + x 1 x 2 2x 3 + x 1 x 2 x 2 3) = 4, tj. odnosno x 2 1x 2 2 + x 2 1x 2 3 + x 2 2x 2 3 + 2x 1 x 2 x 3 (x 1 + x 2 + x 3 ) = 4, b + 2 0 = 4, pa je b = 4. Konačno, ako kvadriramo treću od prve tri jednačine, dobijamo pa je c = 2013 2. x 2 1x 2 2x 2 3 = 2013 2, 21. Neka su α, β i γ nule polinoma P (x) = x 3 + 2x 2 3x 4. Odrediti polinom Q(x) = x 3 + ax 2 + bx + c čije su nule α + 1, β + 1 i γ + 1. Rešenje: Vietove formule za polinom P (x) su a za polinom Q(x) α + β + γ = 2, αβ + αγ + βγ = 3, αβγ = 4, (α + 1) + (β + 1) + (γ + 1) = a, (α + 1)(β + 1) + (α + 1)(γ + 1) + (β + 1)(γ + 1) = b, (α + 1)(β + 1)(γ + 1) = c. Sada je Dalje je a = (α + β + γ) 3 = 1. b = αβ + αγ + βγ + 2(α + β + γ) + 3 = 4. Konačno je pa je Q(x) = x 3 x 2 4x. c = (αβγ + αβ + αγ + βγ + α + β + γ + 1) = 0,
14 22. Odrediti polinom P (x) = x 3 + ax 2 + bx + c čije su nule 1 α, 1 β i 1 γ i γ nule polinoma Q(x) = x 3 4x 2 + 6x 9. ako su α, β Rešenje: Vietove formule za polinom Q(x) su a za polinom P (x) Sada je α + β + γ = 4, αβ + αγ + βγ = 6, αβγ = 9, 1 α + 1 β + 1 γ = a, 1 1 α β + 1 1 α γ + 1 1 β γ = b, 1 1 1 α β γ = c. αβ + αγ + βγ a = αβγ b = α + β + γ αβγ = 4 9, c = 1 αβγ = 1 9. = 2 3, Traženi polinom je P (x) = x 3 2/3x 2 + 4/9x 1/9. 23. Odrediti realni parametar λ tako da je jedan koren jednačine x 3 7x + λ = 0 dva puta veći od drugog. Rešenje: Neka je x 1 = 2x 2. Kako je x 1 + x 2 + x 3 = 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = 7, x 1 x 2 x 3 = λ, to je x 3 = 3x 2, pa iz druge jednačine dobijamo x 2 2 = 1. Za x 2 = 1 je λ = 6, a za x 2 = 1 je λ = 6. 24. Odrediti vrednost realnog parametra λ u jednačini 2x 3 x 2 7x + λ = 0 ako je zbir dva korena ove jednačine jednak 1.
15 Rešenje: Za datu jednačinu Vietove formule glase: x 1 + x 2 + x 3 = 1 2, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = 7 2, x 1 x 2 x 3 = λ 2. Ako je x 1 + x 2 = 1, tada je x 3 = 1/2, pa zamenom u drugoj jednačini sistema dobijamo x 1 x 2 1 2 (x 1 + x 2 ) = 7 2. Iz ove jednačine je x 1 x 2 = 3. Tada je x 1 x 2 x 3 = 3/2, pa iz treće jednačine sledi da je λ = 3. 25. Odrediti sve vrednosti parametra a R za koje nule x 1, x 2 i x 3 polinoma P (x) = x 3 6x 2 + a zadovoljavaju relaciju (x 1 3) 3 + (x 2 3) 3 + (x 3 3) 3 = 0. Rešenje: Iz Vietovih formula za polinom P (x) imamo x 1 + x 2 + x 3 = 6, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = 0, x 1 x 2 x 3 = a. Kako su x i, i = 1, 2, 3, nule polinoma P (x), to je Razvijanjem datog izraza dobijamo x 3 i 6x 2 i + a = 0, i = 1, 2, 3. x 3 1 9x 2 1 + 27x 1 27 + x 3 2 9x 2 2 + 27x 2 27 + x 3 3 9x 2 3 + 27x 3 27 = 0. Sada je pa je Kako je 3a 3(x 2 1 + x 2 2 + x 2 3) + 27(x 1 + x 2 + x 3 ) 3 27 = 0, a = 27 (x 2 1 + x 2 2 + x 2 3). 36 = (x 1 + x 2 + x 3 ) 2 = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + 2(x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ) = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, to je a = 9.
16 26. Odrediti sve nule polinoma P (x) i njihovu višestrukost ako je 1 1 1 1 P (x) = 1 x x 2 x 3 1 x x x. 1 x x 3 x 2 Rešenje: Ako od druge, treće i četvrte vrste oduzmemo prvu vrstu i dobijenu determinantu razvijemo po prvoj koloni, imamo redom 1 1 1 1 P (x) = 0 x 1 x 2 1 x 3 1 x 1 x 2 1 x 3 1 0 x 1 x 1 x 1 = x 1 x 1 x 1 0 x 1 x 3 1 x 2 1 x 1 x 3 1 x 2 1. Dalje, ako iz svake vrste faktorišemo činilac x 1 i od druge i treće kolone oduzmemo prvu kolonu, dobijamo P (x) = (x 1) 3 1 x + 1 x 2 + x + 1 1 x x 2 + x 1 1 1 = (x 1)3 1 0 0 1 x 2 + x + 1 x + 1 1 x 2 + x x. Ako u poslednjoj determinanti faktorišemo x iz druge i treće kolone i razvijemo je po drugoj vrsti, sledi P (x) = x 2 (x 1) 3 1 1 x + 1 1 0 0 1 x + 1 1 = x2 (x 1) 3 1 x + 1 x + 1 1. Konačno je P (x) = x 2 (x 1) 3 (1 (x + 1) 2 ) = x 2 (x 1) 3 ( x 2 2x) = x 3 (x 1) 3 (x + 2). Nula polinoma x = 0 je višestrukosti 3, nula polinoma x = 1 je višestrukosti 3, a x = 2 je prosta nula. 27. Rešiti jednačinu D(x) = 0 ako je D(x) = x x x x x 2 2 2. x 2 x x x 2 x 3
Rešenje: Determinanta D(x) je polinom četvrtog stepena po promenljivoj x. Rešenja jednačine D(x) = 0 predstavljaju nule polinoma D(x). Za odred ivanje nula polinoma D(x) pogodan je faktorisani oblik. Za njegovo odred ivanje koristićemo elementarne transformacije nad vrstama i kolonama determinante D(x), posebno izvlačenje zajedničkih činilaca iz determinante. U prvom koraku oduzmemo prvu vrstu od ostalih, a zatim izvučemo zajedničke činioce iz prve, druge i treće vrste, pa dobijamo D(x) = x x x x x 2 2 2 x 2 x x x 2 x 3 = x x x x 0 2 x 2 x 2 x 0 2 x 0 0 0 2 x 0 3 x 1 1 1 1 = x(2 x) 2 0 1 1 1. 0 1 0 0 0 2 x 0 3 x Dalje, razvijemo determinantu po trećoj vrsti i izračunamo vrednost gornje trougaone determinante na osnovu vrednosti dijagonalnih elemenata D(x) = x(2 x) 2 1 1 1 0 1 1 0 0 3 x Rešenja jednačine D(x) = 0 su = x(2 x) 2 (3 x) = x(2 x) 2 (x 3). x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = 3. 17 28. Odrediti sve nule polinoma i njihovu višestrukost. P (x) = x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 8x + 4 Rešenje: Primenićemo teoremu o racionalnim nulama. Ako je p/q racionalna nula polinoma P (x), onda p 4 i q 1. Dakle, p {±1, ±2, ±4}, q {±1} i p/q {±1, ±2, ±4}. Sada ostaje da proverimo da li je neki od ovih racionalnih brojeva nula polinoma P (x). Kako je P ( 1) = 0, pomoću Hornerove šeme ćemo proveriti da li je možda broj 1 dvostruka nula polinoma P (x). Imamo
18 Iz šeme dobijamo 1 1 2 5 8 4 1 1 4 4 0 1 0 4 0 P (x) = (x + 1) 2 (x 2 + 4). Proste nule polinoma P (x) su 2i i 2i, dok je 1 dvostruka nula. 29. U skupu C odrediti sve nule polinoma P (x) = 2x 4 7x 3 + 7x 2 14x + 6. Napisati faktorisani oblik polinoma P (x). Rešenje: Ako je p/q racionalna nula polinoma P (x), onda p 6 i q 2. Dakle, p {±1, ±2, ±3, ±6}, q {±1, ±2} i p/q { ± 1, ±2, ±3, ±6, ± 1 } 2, ±3. 2 Treba da proverimo da li je neki od ovih racionalnih brojeva nula polinoma P (x). Kako je P (3) = P (1/2) = 0, na osnovu Hornerove šeme imamo 3 2 7 7 14 6 1/2 2 1 4 2 0 2 0 4 0 Iz šeme dobijamo da su druge dve nule polinoma P (x) nule kvadratne jednačine 2x 2 + 4 = 0, pa je x 3 = i 2, x 4 = i 2. Faktorisani oblik polinoma P (x) je ( P (x) = 2 x 1 ) (x 3)(x + i 2)(x i 2). 2 30. Za koje vrednosti realnog parametra a je polinom Hurvicov? P (x) = x 4 + x 3 + ax 2 + x + 1
19 Rešenje: Iz uslova D1 4 = a 1 = 1 > 0, D2 4 = a 1 a 0 a 3 a 2 = 1 1 1 a = a 1 > 0, D3 4 a 1 a 0 0 = a 3 a 2 a 1 0 a 4 a 3 = 1 1 0 1 a 1 0 1 1 = a 2 > 0, a 1 a 0 0 0 D4 4 = a 3 a 2 a 1 a 0 0 a 4 a 3 a 2 = D3 4 = a 2 > 0, 0 0 0 a 4 dobijamo a (2, + ). 31. Za koje vrednosti realnih parametara a i b je polinom P (x) = x 4 + 2x 3 + ax 2 + x + b H-polinom? Rešenje: Neka je b > 0. Da bi polinom P (x) bio H-polinom, treba da važi D1 4 = a 1 = 1 > 0, D2 4 = a 1 a 0 a 3 a 2 = 1 b 2 a = a 2b > 0, D3 4 a 1 a 0 0 = a 3 a 2 a 1 0 a 4 a 3 = 1 b 0 2 a 1 = 2a 4b 1 > 0, 0 1 2 a 1 a 0 0 0 D4 4 = a 3 a 2 a 1 a 0 0 a 4 a 3 a 2 = D3 4 = 2a 4b 1 > 0. 0 0 0 a 4 Dobijamo sistem nejednačina b > 0, a 2b > 0, 2a 4b 1 > 0, odakle je b > 0 i a 2b > 1/2.