DM

Слични документи
JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 5. svibnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori n

Microsoft Word - MATRICE ZADACI III deo.doc

Auditorne vjezbe 6. - Jednadzbe diferencija

Osječki matematički list 13 (2013), 1-13 O nultočkama polinoma oblika x n x 1 Luka Marohnić Bojan Kovačić Bojan Radišić Sažetak U članku se najprije z

Title

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 28. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (

UNIVERZITET U ZENICI

Popoviciujeva nejednakost IZ NASTAVNE PRAKSE Popoviciujeva nejednakost Radomir Lončarević 1 Rumunjski matematičar Tiberie Popoviciu ( ) doka

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)

SREDNJA ŠKOLA MATEMATIKA

Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Neki zadaci sa vebi iz Analize 1 Zlatko Lazovi 21. april verzija 2.1 (zadaci sa oznakom * nisu raeni

Auditorne vjezbe 6. - Jednadzbe diferencija

1 I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2 Onaj koji cijeni praksu bez teorijskih osnova sličan je moreplovcu koji ulazi u brod bez krme i busole n

Skripte2013

6-8. ČAS Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije,. Takođe

Microsoft Word LA-Matr-deter-03-sed

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, ožujka razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DR

Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: min c T x Ax = b x 0 x Z n Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica

1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K.

PowerPoint Presentation

diplomski završno v2

Microsoft Word - Metoda neodredjenih koeficijenata

BTE14_Bruno_KI

AV13-OE2_stručni TRANSFORMATOR mr.sc. Venco Ćorluka 13. TRANSFORMATOR Realni transformator sa željeznom jezgrom Odnosi u transformatoru: U I N ; ( ) (

My_P_Red_Bin_Zbir_Free

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN Odrediti

Microsoft Word - ELEMENTARNE FUNKCIJE.doc

Microsoft Word - 26ms441

Microsoft Word - 11ms201

Konstrukcija i analiza algoritama Nina Radojičić februar Analiza algoritama, rekurentne relacije 1 Definicija: Neka su f i g dve pozitivne fun

Microsoft Word - INTEGRALI.doc

ПРИРОДА И ЗНАК РЕШЕЊА 2 b ax bx c 0 x1 x2 2 D b 4ac a ( сви задаци су решени) c b D xx 1 2 x1/2 a 2a УСЛОВИ Решења реална и различита D>0 Решења реалн

Test iz Linearne algebre i Linearne algebre A qetvrti tok, U zavisnosti od realnog parametra λ rexiti sistem jednaqina x + y + z = λ x +

3. КРИВОЛИНИЈСКИ ИНТЕГРАЛ

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 29. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (

Програмирај!

PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla

Crna Gora Uprava za šume Broj : 2446 Pljevlja, godine U G O V O R O KORIŠĆENJU ŠUMA U DRŽAVNOJ SVOJINI PRODAJOM DRVETA U DUBEĆEM STANJU, U

MAT KOL (Banja Luka) ISSN (p), ISSN (o) Vol. XX (2)(2014), PELLOVA JEDNAČINA I PITAGORIN

1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1

OSNOVNA ŠKOLA, VI RAZRED MATEMATIKA

07jeli.DVI

Microsoft Word - TAcKA i PRAVA3.godina.doc

Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Iracionalne jednaqine i nejednaqine Zlatko Lazovi 29. mart 2017.

PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA RAČUNARSKE NAUKE Utorak, godine PRIJEMNI ISPIT IZ INFORMATIKE 1. Koja od navedenih ekste

Microsoft Word - PLANIMETRIJA.doc

MLADI NADARENI MATEMATIČARI Marin Getaldic Uvod u nejednakosti Nejednakosti su područje koje je u velikoj mjeri zastupljeno na matematički

Matrice. Algebarske operacije s matricama. - Predavanje I

P1.1 Analiza efikasnosti algoritama 1

SKRIPTE EKOF 2019/20 skripteekof.com Lekcija 1: Brojevni izrazi Lekcija 1: Brojevni izrazi Pregled lekcije U okviru ove lekcije imaćete priliku da nau

1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan

My_P_Trigo_Zbir_Free

Microsoft Word - 15ms261

314 STATISTIČKA KONTROLA KVALITETE - STATISTIKA sustavna upotreba tih metoda započela poslije prvoga svjetskog rata. Nagli razvoj tih metoda ostvaren

Талесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су a и b две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да

Analiticka geometrija

9. : , ( )

Matematika 1 - izborna

Konstrukcija linearnih višekoračnih metodi Postoje tri važne familije višekoračnih metoda: Adamsovi metodi Adams-Bashfortovi metodi kod kojih je ρ(w)

Analiticka geometrija

RSS RSS Really Simple Syndication - veoma jednostavno povezivanje - Predstavlja jednostavan način za auto atsko preuzi a je želje ih informacija sa Va

Konstrukcija i analiza algoritama vežbe 10 Nina Radojičić 15. decembar Algoritamske strategije - podeli pa vladaj (divide and conquer) Ova stra

Универзитет у Нишу Природно-математички факултет Увод у рачунарство Број индекса 200 II домаћи задатак 1. За прекидачку функцију ff(xx 1, xx 2, xx 3 )

Microsoft Word - IZVOD FUNKCIJE.doc

kvadratna jednačina - zadaci za vežbanje (Vladimir Marinkov).nb 1 Kvadratna jednačina 1. Rešiti jednačine: a x 2 81 b 2 x 2 50 c 4 x d x 1

Microsoft Word - ASIMPTOTE FUNKCIJA.doc

Задатак 4: Центрифугална пумпа познате карактеристике при n = 1450 min -1 пребацује воду из резервоара A и B у резервоар C кроз цевовод приказан на сл

Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3

Microsoft PowerPoint - STABILNOST KONSTRUKCIJA 2_18 [Compatibility Mode]

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja)

Microsoft Word - predavanje8

Microsoft Word - Ispitivanje toka i grafik funkcije V deo

Microsoft Word PRCE.doc

ФАКУЛТЕТ ОРГАНИЗАЦИОНИХ НАУКА

Kein Folientitel

Microsoft Word - 6ms001

My_ST_FTNIspiti_Free

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.

Particije prirodnog broja druga-0.1 verzija: Duxan uki 1 Uvod Particija prirodnog broja n je predstavljanje n u obliku zbira nekoliko prirodn

Slide 1

MATEMATIČKA ANALIZA I primjeri i zadaci Ante Mimica 8. siječnja 2010.

Teorija skupova - blog.sake.ba

Microsoft Word - NULE FUNKCIJE I ZNAK FUNKCIJE.doc

Mate_Izvodi [Compatibility Mode]

Crna Gora Uprava za šume Broj : 2523 Pljevlja, godine U G O V O R O KORIŠĆENJU ŠUMA U DRŽAVNOJ SVOJINI PRODAJOM DRVETA U DUBEĆEM STANJU, U

Diferenciranje i integriranje pod znakom integrala math.e Vol math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Diferenciranje i integriranje pod

Dvostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

Microsoft Word - Repetitorij vjerojatnosti i statistike (verzija 1.8.)

Microsoft Word - AIDA2kolokvijumRsmerResenja.doc

Neprekidnost Jelena Sedlar Fakultet građevinarstva, arhitekture i geodezije Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 1 / 14

Microsoft Word - IZVODI ZADACI _4. deo_

Dinamičko programiranje Primer 1: Za dati niz naći njegov najduži neopadajući podniz. Defnicija: podniz nekog niza je niz koji se dobija izbacivanjem

Microsoft Word - 12ms121

MAT-KOL (Banja Luka) XXV (1)(2019), DOI: /МК A ISSN (o) ISSN (o) JOŠ JEDAN DO

Орт колоквијум

Транскрипт:

CHAPTER. KOMBINATORNA PREBRAJANJA.4 Rekurete relacije izova.5 Geeratore fukcije Ako je broji iz zadat rekuretom relacijom, kao alat za rešavaje uvodimo pojam geeratore fukcije. Geeratora fukcija iza je formali stepei red čiji su koeficijeti člaovi datog iza. Na taj ači brojom izu pridružujemo eprekidu fukciju. Defiicija 5 Neka je {a } N =(a,a,a,...) broji iz. Za formali stepei red X A(z) = a z, = kažemo da je geeratora fukcija iza {a }. Kažemo da je stepei red formali, zato što se e razmatraju vredosti argumeta i fukcije, već se samo posmatraju operacije a stepeim redovima, koje se defiišu uz pomoć operacija a jihovim koeficijetima. U tom smislu, kovergecija tih redova ije relevata. Ako iz (a,a,a,...) sadrži koačo mogo elemeata različitih od ule, oda je geeratora fukcija poliom. Primer broji iz geeratora fukcija zatvorea forma (,,,...) (,,,...) (3,,,,...) 3+z + z 3+z + z (,,,...) +z + z +... z (,,,...) z + z z 3 +... +z Zatvoreu formu za iz (,,,...) možemo izvesti a sledeći ači: ( z)( + z + z +...) = +z +z +z 3 +... z z z 3... ( z)( + z + z +...) = Odatle je +z + z +...= z. Primetimo da je u pitaju geometrijski red koji kovergira za z < i jegova suma je u tom slučaju z. Kao što smo već aglasili, vredosti argumeta z se e razmtraju, a shodo tome i kovergecija reda. Operacije ad geeratorim fukcijama. Neka su A(z) i B(z) redom geeratore fukcije izova (a,a,a,...) i (b,b,b,...). skaliraje ca(z) =(ca,ca,ca,...)

.5. GENERATORNE FUNKCIJE deso pomeraje z k A(z) =(,,...,,a {z },a,...) k sabiraje A(z)+B(z) = X (a + b )z možeje A(z) B(z) = X a j b j z j= difereciraje (A(z)) = @ X a z A = X ( + )a + z = X a z Primer Kako bismo odredili iz čija je zatvorea forma geeratore fukcije ( z), iskoristićemo možeje redova. ( z) = z z = X z X z = X @ A z = X + )z j= ( Možemo zaključiti da je a = + opšti čla iza čja je geeratora fukcija ( z). Defiicija 5 Neka je k eegativa priroda broj, a u proizvolja reala broj. u Uopštei biomi koeficijet, u ozaci k, je defiisa sa u u (u )... (u k+) = k! ako je k> k ako je k =. Sada možemo pokazati da važi uopštea bioma formula. Fukcija (+z) u je geeratora fukcija iza ( u, u, u,...). Teorema 5 (uopštea bioma formula) Neka je u proizvolja reala broj. Tada je ( + z) u = X u z. Zadatak 53 Rešiti rekuretu relaciju a = 3 a = a +,

CHAPTER. KOMBINATORNA PREBRAJANJA Rešeje: Neka je A(z) = P a z. Možejem jedakosti a = a + sa z dobijamo: a z = a z + z,. Sumirajem svih levih i desih straa, dobijamo X z a z = X a z + X, X a z a = z X a z + z X, A(z) a = z X a z + z @ X z A z, z A(z)+3=zA(z)+z z, z A(z)+3=zA(z)+ ( z), ( z z)a(z) = ( z) 3 z 3, A(z) = ( z) 3 z, A(z) =z X + X z z, A(z) = X ( + )( + ) X z + z, A(z) = X ( + ) X z z, A(z) = X ( + ) 3 z, A(z) = X ( )( + 3) z ( )(+3) ) a() =,

.5. GENERATORNE FUNKCIJE 3 Zadatak 54 Odrediti broj rešeja jedačie x + x + x = 9 ako je x,x,x 3 N i 3 apple x apple 6 i 4 apple x apple 7 i 5 apple x 3 apple 8. Rešeje. Posmatrajmo proizvod tri polioma p(x) =(x 3 + x 4 + x 5 + x 6 )(x 4 + x 5 + x 6 + x 7 )(x 5 + x 6 + x 7 + x 8 ), ukojimasuekspoetiodx redom dozvoljee vredosti za x,x i x 3. Dati proizvod je jedak p(x) = x3 ( x 4 ) x4 ( x 4 ) x5 (x x 4 ) x x x = x ( x 4 ) 3 ( x) 3 = x ( 3x 4 +3x 8 x ) X + = (x 3x 6 +3x x 4 ) X + x x Koeficijet uz x 9 dobijamo možejem x sa + x za =7imožejem 3x 6 sa + x za =3,štoje 9 5 3 = 36 3 = 6. Zadatak 55 Koristeći geeratore fukcije, odrediti broj euređeih izbora od m elemeata iz skupa A = {a,...,a }, ako se elemeti e mogu poavljati (broj kombiacija bez poavljaja od elemeata klase m). Ueuređeimizborimaelemeata(bezpoavljaja),svakiod elemeata je ili izabra tačo jedom ili ije izabra. Ekspoeti polioma ( + x) pokazuju da li je eki elemet izabra ili ije.. Tako ćemo posmatrati proizvod takvih polioma ( + x)( + x)...( + x). Broj izbora od k elemeata oda odgovara koeficijetu uz x k. Prema biomoj formuli, posmatrai proizvodpolioma jedak je ( + x) = X x m, m applemapple odakle je broj kombiacija od elemeata klase m jedak m.

4 CHAPTER. KOMBINATORNA PREBRAJANJA Zadatak 56 Koristeći geeratore fukcije, odrediti broj euređeih izbora od m elemeata iz skupa A = {a,...,a }, ako se elemeti mogu poavljati (broj kombiacija sa poavljajem od elemeata klase m). Ako je u euređeim izborima eozvoljeo poavljaje elemeata, oda se svaki elemet može poavljati,,... puta, što odgovara ekspoetima polioma ( + x + x +...). Posmatraćemo proizvod takvih polioma p(x) = (+x + x +...) ( + x + x +...)...( + x + x +...) = (+x + x +...) = =( x) ( x) = X ( ) m x m = X + m x m. m m m Za svako apple m apple koeficijet uz x m odgovara broju kombiacija sa poavljajem od elemeata klase m. Zadatak 57 Neka je apple apple m. Koristeći geeratore fukcije, odrediti broj izbora m elemeata iz skupa A = {a,...,a }, ako se elemeti mogu poavljati i od svake vrste je izabra bar jeda elemet. Rešeje. Posmatrajmo proizvod polioma p(x) =(x + x + x 3 +...)(x + x + x 3 +...)...(x + x + x 3 +...) ukojimaekspoetiodx u i-toj zagradi ( apple i apple ) odgovarajubrojumogućih kopija elemeta a i uizboru.sadaje x p(x) = = x x ( x) = x ( x) = x X + l x l l l = X + l x +l l l Ako uvedemo smeu m = + l, odaje p(x) = X m m m odakle je koeficijet uz x m jedak m m. x m

.5. GENERATORNE FUNKCIJE 5 Zadatak 58 Koristeći geeratore fukcije, dokazati idetitet za svako N. + Rešeje. Posmatraćemo idetitet +...+ = ( + x) ( + x) =(+x). Prema biomoj formuli, koeficijet uz x urazvojustepeabioma( + x) jedak je. Ako posmatramo poliom p(x) sa leve strae i primeimo biomu formulu, dobijamo p(x) = + x + x +...+ x + x + x +...+ x mx = @ m m A x m j m j m= j= Koeficijet uz x tada dobijamo za = m, atoje j= j Zadatak 59 Napisati otvorei oblik za Rešeje. Treba prvo primetiti da je +z j. +z 3z 3z = 5 Razvijajem u otvorei oblik dobijamo +z 3z +z + 3 5 3z = X z + 3 X ( ) 3 z 5 5 = X Zadatak 6 Rešiti rekuretu relaciju 5 z + X 3 5 ( ) 3 z = X ( ) 3 + + + z. 5 a = a =9 a 6a +9a =,.

6 CHAPTER. KOMBINATORNA PREBRAJANJA Rešeje: Neka je A(z) = P a z. Možejem jedakosti a 6a +9a, sa z dobijamo: a z 6a z +9a z =,. Sumirajem svih levih i desih straa, dobijamo X a z 6 X a z +9X a z =. (.) Primeićemo sledeće trasformacije suma: P a z = A(z) a a z = A(z) 9z P a z = z P a z = z P a z P = z(a(z) a )=z(a(z) ) a z = z P a z = z P a z = z A(z) Zameom u jedačiu (.), dobijamo X a z 6 X a z +9X a z =, A(z) 9z =6z(A(z) ) 9z A(z), ( 6z +9z )A(z) =+3z +3z, A(z) = 6z +9z = +3z ( 3z) = ( 3z) +3z ( 3z) Imajući u vidu da važe sledeće trasformacije: = ( )( 3)...( +)! =( ) + =( ) ( + ) ( 3z) = P ( 3z) = P ( ) ( + )( ) 3 z = P + )3 ( z Sada je jedačia (.) ekvivaleta sa A(z) = X ( + )3 z +3z X, A(z) = X, A(z) = X, A(z) = X ( + )3 z + X ( + )3 z + X ( + )3 z + X ( + )3 z ( + )3 + z + 3 z 3 z, A(z) = X (( + )3 + 3 )z = X + )3 ( z ) a =( + )3,

.5. GENERATORNE FUNKCIJE 7 Zadatak 6 Valida lozika je iz cifara dužie koja ima para broj ula. Kostruisati i rešiti rekuretu relaciju koja defiiše iz {a } N, gde je a broj validih loziki dužie. Rešeje. Neka je A(z) = P a z. Tada važi sledeći iz jedakosti: X a + X a = 8a + a = a z = 8X a z + X a z = 8z X z a z + z X z +A(z) = 8z X a z + z X z +A(z) = 8zA(z)+z z ( 8z)A(z) = z + +A(z) = 8zA(z)+z z 9z A(z) = ( 8z)( z) = 8z + z A(z) = @ X 8 z + X z A A(z) = @ X 8 + A. Odatle je a = 8 +. Zadatak 6 Na koliko ačia se može platiti izos od diara ako je a raspolagaju 6 ovčaica od diara, 5 od diara i 4 od 5 diara? Rešeje. Ako sa x,x,x 3 ozačimo redom količiu plaćeu ovčaicama od, i 5 diara, oa važi x + x + x 3 = x {,,, 3, 4, 5, 6} x {,, 4, 6, 8, } x 3 {, 5,, 5, }

8 CHAPTER. KOMBINATORNA PREBRAJANJA p(x) = (+x + x + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) ( + x + x 4 + x 6 + x 8 + x ) ( + x 5 + x + x 5 + x ) =...+ (x 6 x 5 )+x (x x + x )+x (x 4 x 5 ) +x 3 (x 8 x )+x 4 (x x 5 ) +x 5 (x 6 x )+x 6 (x x 5 + x 5 )+... =...+9x +... Napomea: Dato rešeje je koriso ako se pri rešavaju koristi softver za možeje polioma, zato što obezbeđuje da se e izostavi eki slučaj. Ako se zadatak rešava "peške", oda se rešavaje svodi samo a kombiatoro rezoovaje. Korišćeje geeratorih fukcija e olakšava rešavaje ovog zadatka. Zadatak 63 Izračuati ( ) i. i i= Rešeje. Posmatraćemo idetitet ( x) ( + x) =( x ). Prema biomoj formuli, dobijamo l= i= ( ) i x i i j= x j = j lx! ( ) i x l = i i i= ( ) m m m= ( ) m m m= x m x m Posmatraćemo sa leve strae čla za koji je l =. Ako je epara broj, oda je koeficijet uz x sa dese strae jedak iodatle je ( ) i =. i i i= Ako je para broj, oda sa dese strae dobijamo čla koji sadrži x ako uzmemo m = itadaje ( ) i =( ) i i=