Konstrukcija i analiza algoritama vežbe 10 Nina Radojičić 15. decembar Algoritamske strategije - podeli pa vladaj (divide and conquer) Ova stra

Транскрипт

1 Konstrukcija i analiza algoritama vežbe 10 Nina Radojičić 15. decembar Algoritamske strategije - podeli pa vladaj (divide and conquer) Ova strategija rekurzivno razbija problem na 2 ili više potproblema dok oni ne postanu dovoljno jednostavni da se mogu direktno rešiti. Rešenja potproblema se kombinuju da bi se dobilo rešenje početnog problema. Korektnost strategije se obično pokazuje matematičkom indukcijom, a složenost se dobija rešavanjem diferencnih jednačina. Primeri podeli-pa-vladaj algoritama su FFT, kviksort, sortiranje spajanjem, Euklidov algoritam, binarna pretraga itd. 1.1 Kviksort Složenost ovog algoritma je u najgorem sluǎju O(n 2 ) (kada se za pivot bira uvek najmanji element što je slučaj i u algoritmu koji je ovde naveden). U praksi se koristi algoritam koji za pivot biva proizvoljan (random) element niza i tada je prosečna složenost algoritma O(n log n). Dodatan memorijski prostor koji se koristi je veličine O(1). Napomena: Kada se ispituje složenost algoritma sortiranja izračunava se broj poredenja tokom njegovog izvršavanja. Algoritam Razdvajanje (X, Levi, Desni) Ulaz X (niz), Levi (leva granica niza), Desni (desna granica niza) Izlaz indeks S takav da je X[i] X[S] za sve i S i X[j] > X[S] za sve j > S pivot = X[Levi]; L = Levi; D = Desni; while L < D while X[L] pivot && L D L = L + 1; if L > Desni L = Desni; while X[D] > pivot && D Levi D = D 1; if L < D zameni X[L], X[D]; S = D; zameni X[Levi], X[S]; return S; Algoritam Q Sort (X, Levi, Desni) Ulaz X, leva i desna granica dela niza koji se sortira Izlaz sortirani deo niza X if Levi < Desni S = Razdvajanje(X, Levi, Desni); Q sort(x, Levi, S 1); Q sort(x, S + 1, Desni); 1

2 Algoritam Kviksort (X, n) Ulaz X (niz od n brojeva) Izlaz sortirani niz X Q sort(x, 1, n); 1. Algoritmom Kviksort prikazati postupak sortiranja brojeva 8, 11, 5, 14, 3, 9, 10, 2, 12, 1, 15, 7, 6, 4, 13. Rešenje: (pivoti su podebljani) (zamenjeni 11 i 4) (zamenjeni 14 i 6) (zamenjeni 9 i 7) (zamenjeni 10 i 1; L pokazuje na br. 12, D na br. 2) (zamenjeni 8 i 2) (bira se pivot za prvu polovinu niza - do broja 8) (zamenjeni 4 i 1; L pokazuje na br. 5, D na br. 1) (zamenjeni 2 i 1) (bira se pivot za podniz od 5 do 4) (zamenjeni 6 i 4) (zamenjeni 5 i 3) 7 6 (bira se pivot za podniz 7, 6) 6 7 (zamenjeni 7 i 6) (bira se pivot za podniz 12,...,13) (zamenjeni 15 i 11) (zamenjeni 12 i 9) (bira se pivot za podniz 9, 10, 11, nema promena) (bira se pivot za podniz 14, 15, 13) (zamenjeni 15 i 13) (zamenjeni 14 i 13) Prepisivanjem zadnjeg broja u svakoj koloni dobija se sortirani niz. Formulacija algoritma je preuzeta iz profesorove knjige. U knjizi se nalazi primer sortiranja još jednog niza. 1.2 Sortiranje spajanjem (Merge sort) Sortiranje spajanjem koristi strategiju podeli pa vladaj za sortiranje niza brojeva. I danas se ovaj algoritam koristi u bibliotekama mnogih programskih jezika. Početni poziv algoritma je Merge sort (X, 0, n-1) Algoritam Merge sort (Sortiranje spajanjem)(x, l, r) Ulaz niz X i njegove granice l i r Izlaz sortirani niz X if l < r m = (l + r)/2 Merge_sort(X, l, m) Merge_sort(X, m + 1, r) Merge(X, l, m, r) Algoritam Merge(X, l, m, r) Ulaz niz X i granice sortiranih podnizova koje treba spojiti: l, m i m + 1, r Izlaz sortirani niz X iskopiraj X[l..m] na pozicije l..m niza Y i = l, j = m+1, k = l 2

3 while i <= m && j <= r, X[k++] = (Y[i] < X[j])? Y[i++] : X[j++] // Ulazi se u samo jednu od naredne 2 petlje while i <= m, X[k++] = Y[i++] /* Naredni deo koda nije potreban. Zasto? while j <= r, X[k++] = X[j++] */ Sortiranje spajanjem je jako stabilan algoritam i ima vremensku složenost O(n log n), a prostornu O(n). Primetimo da se u algoritmu Merge kopira samo polovina niza X u niz Y. 3

4 2. Sortirati spajanjem niz brojeva 38, 27, 43, 3, 9, 82, 10. REŠENJE: 3. Sortirati spajanjem niz brojeva 11, 4, 14, 3, 9, 10, 2, 12, 1, 15, 7, 6, 5, 13. REŠENJE: Jednačine zasnovane na dekompoziciji U slučaju kada se obrada ulaza veličine n svodi na a obrada ulaza veličine n b i potrebno je izvršiti još c nk koraka, jednačina izgleda ovako: T (n) = at ( n b ) + c nk gde je a, b, c, k 0, b 0 i dato je T (1). 4

5 Master teorema: Rešenje gornje jednačine je: O(n log b a ), T (n) = O(n k log n), O(n k ), a > b k a = b k a < b k Dokaz: pri odredivanju složenosti za dati problem koristi se rekurzivno stablo. Svaki čvor ovog stabla predstavlja jedan rekurzivni poziv, pri čemu koren predstavlja prvi rekurzivni poziv. Na nivou j nalazi se a j čvorova a veličina ulaza je n b. Broj koraka koji se izvrši na nivou j (bez koraka u rekurzivnim podpozivima) je a j c ( n j b ) k = c n k ( a ) j. U j b k svakom sledećem nivou veličina ulaza se smanjuje tako što se deli sa b. Zato je broj nivoa u stablu log b n. Iz prethodne dve činjenice sledi da je ukupan broj koraka: T (n) = log b n j=0 c n k ( a log b n b k )j = c n k ( a b k )j U dokazima se koristi i jednakost: 1 + r + r r p = rp+1 1 r 1 j=0 = 1 rp+1 1 r, gde je r = a. Slučajevi: b k 1. Koristi se da za r > 1 važi 1 + r + r r p r p r r 1. Ako uvedemo oznaku za konstantu c 2 = r onda zamenom p = log b n dobijamo: log b n j=0 r j r log b n r r 1 r 1, = ( a ) log b k b n c 2 = alog b n c n k 2 gde je pa je T (n) c n k alog b n c n k 2 = c 3 a log b n. Pošto važi da je a log b n = n log b a (može se proveriti logaritmovanjem leve i desne strane za osnovu b), sledi da je složenost u O notaciji O(n log b a ). Broj a log b n je broj listova u rekurzivnom stablu, tj. u ovom slučaju se najviše posla obavlja u listovima rekurzivnog stabla. 2. Direktno sledi iz vrednosti sume. U ovom slučaju se ista količina posla obavlja na svakom nivou rekurzivnog stabla. 3. Važi da je r < 1 pa je prethodna suma manja od konstante 1 1 r odakle direktno sledi da je broj koraka c 1 n k. U ovom slučaju najviše posla se obavlja u korenu rekurzivnog stabla. 4. Za sledeće algoritme napisati jednačinu koja predstavlja složenost tih algoritama (broj koraka je broj uporedivanja u algoritmu), i izračunati složenost tih algoritama u O notaciji: a) binarna pretraga b) kviksort (pod pretpostavkom da pivot uvek razdvaja niz na dva jednaka dela) c) sortiranje spajanjem (merge sort) REŠENJE: a) T (n) = T ( n 2 ) + c, koristeći master teoremu dobijamo da je složenost O(log n). b) T (n) = 2T ( n 2 ) + c n, koristeći master teoremu dobijamo da je složenost O(n log n). c) isto kao pod b) 5. Izračunati složenost u O notaciji algoritama čija se složenost izračunava pomoću sledećih rekurentnih relacija: a) T (n) = 5T ( n 2 ) + c n2 b) T (n) = 27T ( n 3 ) + n3 c) T (n) = 5T ( n 2 ) + 5 n3 REŠENJE: a) O(nlog 2 5 ) b) O(n 3 log n) c) O(n 3 ) 5

6 2 Algoritamske strategije - bektreking Bektreking algoritmi tragaju za svim rešenjima nekog problema. Najpoznatiji problem ove vrste je problem osam kraljica (dama). Ovi algoritmi su posebno korisni kada se lako mogu odbaciti mnoge mogućnosti za rešenja. Neki probliemi koji se rešavaju na ovaj način su rešavanje ukrštenica, slagalica, Sudokua. Ovi algoritmi nalaze se u osnovi logičkih programskih jezika, npr. Prologa. 6. Napisati funkciju u C-u koja na ulazu prima dva celobrojna niza A i B, oba dimenzije n, i na izlaz štampa sve moguće nizove dimenzije n koji na i-toj poziciji imaju ili broj A[i] ili broj B[i], i čija se svaka dva uzastopna člana razlikuju najviše za 5. Npr. za nizove A: B: na ekran treba da se odštampa REŠENJE 1 - gruba sila, LOŠE (neefikasno) rešenje: void mesavina (int a[], int b[], int c[], int i, int n) int j; if (i == n) for (j=0; j<n-1; j++) if (abs(c[j] - c[j+1]) > 5) break; if (j == n-1) for (j=0; j<n; j++) printf("%d ",c[j]); printf("\n"); else c[i] = a[i]; mesavina (a, b, c, i+1, n); c[i] = b[i]; mesavina (a, b, c, i+1, n); REŠENJE 2 - korišćenje odsecanja, DOBRO (efikasnije) rešenje: void mesavina (int a[], int b[], int c[], int i, int n) int j; if (i == n) for (j=0; j<n; j++) printf("%d ",c[j]); printf("\n"); else if (i==0 abs (a[i] - c[i-1]) <= 5) // odsecanje c[i] = a[i]; mesavina (a, b, c, i+1, n); if (i==0 abs (b[i] - c[i-1]) <= 5) // odsecanje c[i] = b[i]; mesavina (a, b, c, i+1, n); 6

7 Bolje je da se kad god je to moguće uradi odsecanje, tj. da se ne izvršavaju oni rekurzivni pozivi koji ne mogu da dovedu do rešenja. 7. Napisati C program koji za datu sumu S i dati niz v koji sadrži vrednosti novčanica pronalazi sva rešenja za rasitnjavanja sume S. Pretpostaviti da svake novčanice ima proizvoljno mnogo. U čemu je razlika ovog zadataka i zadatka rešavanog tehnikom pohlepnog algoritma? Rešenje:Naredni kod u.c fajlu #include <stdio.h> int s; /* novcani iznos koji treba razbiti */ int n; /* broj razlicitih novcanica */ int v[10]; /* vrednosti novcanica/apoena */ int x[10]; /* kolicina pojedinih apoena */ void pisi() int i; printf("\nrazmena: \n"); for(i=0; i<n; i++) printf("%d dinara:%d puta ", v[i],x[i]); printf("\n"); void razmeni(int k, int s) //k = redni broj apoena //s = tekuca suma za rasitnjavanje int i; if(k>=n) if(s==0) pisi(); else // i oznacava broj apoena k koje koristimo u sumi for(i=0; i<=s/v[k]; i++) x[k]=i; razmeni(k+1, s-i*v[k]); main() int i; printf("unesite sumu i broj novcanica\n"); scanf("%d%d",&s,&n); printf("\nunesite vrednost za %d novcanica\n",n); for(i=0; i<n;i++) scanf("%d",&v[i]); 7

8 razmeni(0,s); 8. Dat je niz celih brojeva a[0]...a[n-1] i ceo broj S. Napisati program koji postavlja operatore + - * / u izrazu (...(a[0]?a[1])?a[2])...)?a[n-1] tako da vrednost izraza bude S. Naći sva rešenja. Dat je C program (bez f-je ispisa). int s; /* vrednost izraza */ int n; /* broj operanada */ int jeste; /*indikator 0/1 da li vrednost izraza je s*/ int a[50]; /* vrednosti operanada izraza */ int z[50]; /* niz operatora izraza */ void racunaj(int k, int ts) //k = redni broj primenjen operacije //ts = tekuca suma izraza if(k==n-1) if(ts==s) pisi(); jeste=1; else /*formiranje operatora unutar izraza */ z[k]= + ; racunaj(k+1, ts+a[k+1]); z[k]= - ; racunaj(k+1, ts-a[k+1]); z[k]= * ; racunaj(k+1, ts*a[k+1]); if(a[k+1]!=0) z[k]= / ; racunaj(k+1, ts/a[k+1]); main() int i; printf("unesite vrednost izraza i broj operanada izraza\n"); scanf("%d%d",&s,&n); printf("\nunesite vrednost za %d operanada\n",n); for(i=0; i<n;i++) scanf("%d",&a[i]); jeste=0; racunaj(0,a[0]); if (!jeste) printf("\nnema resenja\n"); 9. Napisati program koji rešava igru Moj broj. Rešenje:Program koje uglavnom nalazi dobro rešenje problema. 8