Microsoft Word - Repetitorij vjerojatnosti i statistike (verzija 1.8.)
|
|
- Tadija Savnik
- пре 5 година
- Прикази:
Транскрипт
1 REPETITORIJ VJEROJATNOSTI I STATISTIKE ZA STUDENTE ELEKTROTEHNIKE prpremo: mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač erecezraa autorzraa verzja
2 Sadržaj PREDGOVOR OSNOVE KOMBINATORIKE Permutacje kombacje. Bom teorem OSNOVE DISKRETNE TEORIJE VJEROJATNOSTI Operacje s događajma Neke posebe relacje među događajma Kors dettet Vjerojatost. Vjerojatos prostor Neka korsa svojstva vjerojatost Klasča vjerojatos prostor Geometrjska vjerojatost Uvjeta vjerojatost Nezavsost događaja Potpu sustav događaja. Formula potpue vjerojatost. Bayesova formula Beroulljeva shema OSNOVE OPISNE (DESKRIPTIVNE) STATISTIKE Modaltet jhove frekvecje Sredje vrjedost DISKRETNE SLUČAJNE VARIJABLE Dskreta jedolka slučaja varjabla dskreta jedolka razdoba Boma slučaja varjabla boma razdoba Possoova slučaja varjabla Possoova razdoba Geometrjska slučaja varjabla geometrjska razdoba Hpergeometrjska slučaja varjabla hpergeometrjska razdoba NEPREKIDNE (KONTINUIRANE) SLUČAJNE VARIJABLE Neprekda jedolka slučaja varjabla eprekda jedolka razdoba Ekspoecjala slučaja varjabla ekspoecjala razdoba Normala slučaja varjabla ormala razdoba Čebševljeva ejedakost za eprekde slučaje varjable. Pravlo 3 σ Grač teorem u Beroulljevoj shem DODATAK Pregled ekh MATLAB-ovh fukcja koje se korste u vjerojatost statstc Pregled ekh fukcja MS Excel-a koje se korste u vjerojatost statstc POPIS KORIŠTENIH OZNAKA POPIS TABLICA KAZALO POJMOVA LITERATURA mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač
3 PREDGOVOR Ovaj astav materjal amjeje je studetma. gode stručoga studja elektrotehke a Tehčkom veleučlštu u Zagrebu kao pomoć prgodom polagaja psaog djela spta z predmeta. Tekst je psa tako da redosljed tematskh cjela odgovara redosljedu obrade th cjela u avedeom predmetu. Rad boljeg razumjevaja obrađee materje, osm matematčkh formula postupaka, čje se pozavaje provjerava a sptu, avedee su teorjske čjece. To u kojem slučaju e zač da ovaj materjal može zamjet astave materjale prema kojma se održavaju predavaja audtore vježbe, ego mu je osova svrha poslužt kao korsta podsjetk a defcje, svojstva formule koj se a sptu možda zaborave. Ugoda m je dužost zahvalt svma koj su a blo koj ač pomogl u astajaju ovog astavoga materjala. Tu poajprje mslm a dekaa Tehčkoga veleučlšta u Zagrebu mr.sc. Goraa Malčća, všega predavača, a pročelka Elektrotehčkoga odjela Tehčkog veleučlšta u Zagrebu dr.sc. Krešmra Meštrovća, prof. vsoke škole. Posebo zahvaljujem kolegama Mad Orlć Bachler Luk Marohću a korsm prmjedbama prjedlozma, te svm studetma koj su svojm ptajma a astav kozultacjama zravo utjecal a sadržaj kvaltetu ove verzje teksta. Pokude za sve prežvjele eamjere pogreške, kojh u tekstu esumjvo ma ako všestrukh korektura, preuzmam sključvo a sebe. Uaprjed zahvaljujem svma koj me obavjeste o svakoj uočeoj pogrešk l ekom drugom propustu. Svm korscma ovoga astavoga materjala želm uspješo koršteje. U Zagrebu, lstopada 08. Boja Kovačć mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 3
4 . OSNOVE KOMBINATORIKE Teorem. (pravlo jedakost (bjekcje)) Neka su S T koač skupov. Tada je card( S) = card( T ) ako samo ako postoj bjekcja među skupovma S T. Teorem. (prcp zbroja) Neka su N S,..., S koač, u parovma dsjukt skupov (tj. vrjed ekvvalecja ( S S ) ( j) koača vrjed: = ). Tada je skup j S : = S = = = card( S) card( S ). Teorem 3. (teorem o uzastopom prebrojavaju) Neka su N S,..., S koač skupov. Tada je Kartezjev umožak Sk : = S... S koača skup vrjed: k = card Sk = card( Sk ). k = k = Neka su,.. Permutacje kombacje. Bom teorem. r N k {,,..., }. Neka je S { a a } =,..., blo koj -čla skup. Permutacja (bez poavljaja) skupa S je blo koja bjekcja toga skupa u samoga sebe. Ekvvaleto, permutacja skupa S je svaka uređea -torka koja sadrž sve elemete toga skupa. Ukupa broj svh međusobo razlčth permutacja skupa S jedak je: P Napomea: Dogovoro se uzma 0! =. =!. Pretpostavmo da smo od svh elemeata skupa S formral strukturu A tako da se u A elemet a pojavljuje točo k puta, elemet a pojavljuje točo k puta,, elemet a pojavljuje točo Neka je = k puta, pr čemu je k { 0} N, za svak =,,...,. m : = k. Kažemo da smo a taj ač formral m-čla multskup A a S. Permutacja multskupa A je svaka uređea m-torka koja sadrž sve elemete toga multskupa. (Za tu permutacju kažemo da je permutacja s poavljajem skupa S.) Ukupa broj svh razlčth permutacja multskupa A jedak je: mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 4
5 Broj m k,..., k P k! m m! : = : = =. (!) ( k!) k,..., k = m k,..., k k = = azva se multom koefcjet. k permutacja (bez poavljaja) skupa S je blo koja uređea k torka međusobo razlčth elemeata toga skupa. Ukupa broj svh razlčth k permutacja skupa S jedak je: k! P(, k) = ( ) =. ( k)! = 0 r permutacja s poavljajem skupa S je blo koja uređea r torka u kojoj se a svakoj pozcj (kompoet) može pojavt svak elemet toga skupa. Ukupa broj svh razlčth r permutacja s poavljajem skupa S jedak je: r P(, r) =. k kombacja (bez poavljaja) skupa S je blo koj k čla podskup toga skupa. Ukupa broj svh razlčth k kombacja skupa S jedak je: ( )... ( k + ) C(, k) = : =. k k! Broj azva se bom koefcjet čta: e povrh ka. k r-kombacja s poavljajem skupa S je blo koj r-čla multskup a S. Ukupa broj svh razlčth r kombacja s poavljajem skupa S jedak je: + r : = C(, r) =. r r Teorem 4. (eka svojstva bomh koefcjeata bom teorem) Za sve k, N takve da je k za sve x, y C vrjede sljedeće jedakost:. = =. 0 ( )!. =, =,..., =. k k! ( k)! 3. = = = +. k k k k k k 4. (boma formula) ( x + y) = x y. = 0 mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 5
6 . OSNOVE DISKRETNE TEORIJE VJEROJATNOSTI Slučaj pokus je svak pokus čj shod je uaprjed zada. Svak moguć shod takvoga pokusa azva se elemetar događaj uobčajeo ozačava s ω. Skup svh elemetarh događaja azva se prostor elemetarh događaja ozačava s Ω. Kao shod slučajoga pokusa javlja se točo jeda elemet skupa Ω. Algebra događaja je famlja F podskupova skupa Ω koja ma sljedeća svojstva: A., Ω F. A. ( A, B F ) ( A B F ). ( C F ) A3. ( A F ) A : = Ω \ A. Elemet algebre F azvaju se događaj. Praza skup azva se emoguć događaj, a skup Ω (promatra kao elemet algebre F) sgura događaj.. Zbroj događaja: A + B : = A B ;.. Operacje s događajma Iterpretacja: stovremeo se dogodo barem jeda od događaja A B;. Umožak događaja: A B : = A B ; Iterpretacja: stovremeo se dogode događaj A događaj B. 3. Razlka događaja: A B : = A \ B ; Iterpretacja: događaj A se dogodo, al se stovremeo događaj B je dogodo.. Neke posebe relacje među događajma. Događaj A povlač događaj B ako vrjed A B.. Događaj A B su jedak ako vrjed A = B. 3. Događaj A B su dsjukt l međusobo sključv ako vrjed A B =. C 4. Događaj A azva se događaj suprota događaju A. O će se dogodt ako samo ako se A e dogod..3. Kors dettet Za blo koje događaje A, B, C F vrjede sljedeće jedakost: C. A B = A B. mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 6
7 C ( A ) C. = A. C C C 3. ( A + B) = A B. (prva de Morgaova formula) C C C 4. ( A B) = A + B. (druga de Morgaova formula) 5. A ( B + C) = A B + A C. 6. ( A + B) ( A + C) = A + B C..4. Vjerojatost. Vjerojatos prostor Vjerojatost a algebr F je svako preslkavaje P : F [ 0, ] sa svojstvma: P. P( ) = 0, P( Ω ) =. ( ) ( ) P. ( A B) P( A) P( B). (mootoost) P3. ( A B = ) P( A + B) = P( A) + P( B). (adtvost) Uređea trojka (Ω, F, P) azva se vjerojatos prostor. Ovso o broju elemeata skupa Ω, taj prostor može bt koača l beskoača..5. Neka korsa svojstva vjerojatost Neka je (Ω, F, P) vjerojatos prostor. Za blo koje A, B, C F vrjede sljedeće jedakost:. P( A + B) = P( A) + P( B) P( A B). C. P( A + B) = P( A) + P( B A ). C 3. P( A) = P( A B ) + P( A B). C 4. P( A ) = P( A). 5. P( A + B + C) = P( A) + P( B) + P( C) P( A B) P( A C) P( B C) + P( A B C)..6. Klasča vjerojatos prostor Klasča vjerojatos prostor je svak koača vjerojatos prostor (Ω, F, P) u kojemu za svak A F vrjed: Ako je Ω = { ω ω } = card( A) ukupa broj povoljh shoda za A P( A ) = =. card( Ω) ukupa broj mogućh shoda,...,. P( ω ) = =, =,...,. card( Ω). P( ω ) =., oda vrjede jedakost: mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 7
8 .7. Geometrjska vjerojatost Ako su Ω A Ω ograče zmjerv podskupov skupa vjerojatost događaja A deframo formulom: m( A) P( A) = m( Ω ), R, za ek N, oda gdje je m tzv. Lebesqueova mjera (u daljjem tekstu: mjera) a skupu vjerojatost azvamo geometrjska vjerojatost. R. Takvu Za = mjera blo kojega tervala jedaka je razlc gorje doje grace toga tervala. Za = mjera skupa jedaka je površ toga skupa. Za = 3mjera skupa jedaka je volumeu toga skupa. Posebo, vrjede sljedeće tvrdje:. m( { a} ) = 0, a R.. Mjera blo koje ravske krvulje u je ul. 3. Mjera blo koje ravske plohe u R (pr. pravac, kružca, elpsa td.) jedaka 3 R (pr. sfera, plašt kocke td.) jedaka je ul..8. Uvjeta vjerojatost Neka je (Ω, F, P) vjerojatos prostor. Neka su A, B F. Vjerojatost događaja A uz uvjet da se dogodo događaj B (tzv. uvjeta vjerojatost) defraa je formulom: Općeto, vrjed formula: P( A B) P( A B) : =. P( B) k k k k = k = = N P A = P A A,..9. Nezavsost događaja Neka je (Ω, F, P) vjerojatos prostor. Kažemo da su događaj A, B F ezavs ako vrjed jedakost: P( A B) = P( A) P( B). mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 8
9 Općeto, za događaja A,..., A kažemo da su ezavs ako za svak epraza skup I {,..., } vrjed jedakost: P A = P( A ). I I Npr. tr događaja A, A A 3 su ezavsa ako vrjede jedakost: P( A B) = P( A) P( B), P( A C) = P( A) P( C), P( B C) = P( B) P( C), P( A B C) = P( A) P( B) P( C)..0. Potpu sustav događaja. Formula potpue vjerojatost. Bayesova formula Neka je (Ω, F, P) vjerojatos prostor. Kažemo da je koača skup događaja { } A = A,..., A potpu sustav događaja ako vrjed:. A F, =,...,.. A A =, za sve j. 3. A = Ω. = 4. P( A ) =. = j Elemete skupa A azvamo hpoteze. Neka je (Ω, F, P) vjerojatos prostor. Neka su A { A A } događaja B F. Tada vrjed formula potpue vjerojatost: P( B) = P( A ) P( B A ). = =,..., potpu sustav Iz ove formule sljed da za jezu prmjeu treba zat vjerojatost svake hpoteze odgovarajuće uvjete vjerojatost događaja B. Obrato, ako treba zračuat vjerojatost ostvaraja svake pojede hpoteze uz uvjet da se dogodo događaj B, oda prmjejujemo Bayesovu formulu: P( A B) P( A ) P( B A ) P( A B) = =, =,...,. P( B) P( A ) P( B A ) j= j j mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 9
10 .. Beroulljeva shema. Beroulljeva shema je vjerojatos model -terostrukoga poavljaja slučajoga pokusa koj ma točo dva moguća shoda: uspjeh euspjeh. Ako je p vjerojatost pojavljvaja uspjeha u svakom slučajom pokusu, oda je vjerojatost p k da se u ukupo pokusa pojav točo k uspjeha jedaka: k k pk = p ( p), N, k = 0,,...,. k Za velke ove se vjerojatost mogu račuat pomoću odgovarajućh gračh teorema (vdjet strace. 30.). mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 0
11 3. OSNOVE OPISNE (DESKRIPTIVNE) STATISTIKE 3.. Modaltet jhove frekvecje Neka je y, y,..., y koača (e)umerčk z podataka dobveh mjerejem određeoga statstčkoga oblježja. Svak elemet toga za azva se modaltet prpadoga statstčkoga oblježja. Prroda broj azva se dulja statstčkoga za. Pretpostavmo da se u zu y, y,..., y pojavljuje točo k razlčth modalteta. Ozačmo te modaltete s x,..., x k. Sljedeće defcje vrjede za svak =,..., k. Apsoluta frekvecja f modalteta x jedaka je ukupom broju pojavljvaja dotčoga modalteta u zadaom statstčkom zu. Relatva frekvecja r modalteta formulom: f r = 00 [%]. x skazuje se u postotcma defra Pretpostavmo da je z y, y,..., y dobve mjerejem kvattatvoga l kvaltatvoga redosljedoga oblježja. Tada su svaka dva razlčta modalteta međusobo usporedva. Zbog toga možemo pretpostavt da su sv međusobo razlčt modaltet x,..., x k ozače tako da vrjed: Apsoluta frekvecja veće od x x... x k. f > modalteta x jedaka je zbroju apsoluth frekvecja svh modalteta jedakh l većh (boljh) od x : f > = x j x Apsoluta frekvecja maje od f < modalteta x jedaka je zbroju apsoluth frekvecja svh modalteta jedakh l majh (slabjh) od x : f < = x j x Apsolute frekvecje veće od / maje od tvore kumulatve zove apsoluth frekvecja. f f j j.. Relatva frekvecja veće od r > defra formulom: modalteta x skazuje se u postotcma mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač
12 > f r > = 00 [%]. Relatva frekvecja maje od r < defra formulom: < f r < = 00 [%]. modalteta x skazuje se u postotcma Relatve frekvecje veće od maje od tvore kumulatve zove relatvh frekvecja. Ako je broj razlčth modalteta relatvo velk, podatke je pogodo gruprat u (e)prave zatvoree razrede. Zatvore razred je svak terval oblka a, b R. Ako zatvoree razrede možemo poredat u z a, b ], b, c ], c, d ],, ] oda takve razrede azvamo prav razred. U suprotom, tj. ako zmeđu blo kojh dvaju uzastoph razreda užo postoj razmak, razred su eprav l omal. Neka je zada razred a, b ]. Broj a azvamo doja graca razreda, broj b gorja graca razreda, broj h : = b a šra razreda l razreda šra, a broj a + b s : = sreda razreda l razreda sreda. Osm tablčo, modaltete jhove apsolute/relatve frekvecje podeso je prkazat grafčk pr. strukturm krugom, jedostavm stupcma, strukturm stupcma sl. Polgo apsoluth frekvecja je otvorea polgoala crta dobvea spajajem uređeh parova točaka ( x, f ) ( x+, f+ ) u rav, za svak =,..., k. Aalogo se defra polgo relatvh frekvecja. Hstogram je površsk grafko kojega tvor koača z zatvoreh pravokutka. Dulje osovcâ th pravokutka odgovaraju šrama pravh razreda. Površe th pravokutka jedake su apsolutm/relatvm frekvecjama dotčh razreda. 3.. Sredje vrjedost Nz umerčkh podataka pogodo je opsvat tzv. sredjm vrjedostma. Sredje vrjedost djele se a potpue (zračuavaju se korštejem svh elemeata umerčkoga za) položaje (zračuavaju se korštejem položaja elemeata uutar umerčkoga za). Potpue sredje vrjedost su artmetčka sreda, geometrjska sreda harmojska sreda. Formule za zraču th vrjedost z egruprah podataka, odoso procjeu z gruprah podataka avedee su u tablc 4. (vdjet stracu 6.) mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač
13 U položaje sredje vrjedost ubrajamo mod percetle. Mod je modaltet s ajvećom apsolutom/relatvom frekvecjom. O je jeda sredja vrjedost koju je moguće određvat za kvaltatva za kvattatva oblježja. Zavso o broju modova, razdobe djelmo a umodale (maju jedstve mod), bmodale (maju točo dva razlčta moda) multmodale (maju barem tr razlčta moda). Ako su podac grupra u m N pravh razreda, za procjejvaje moda ajprje treba zračuat korgrau apsolutu /relatvu frekvecju svakoga razreda. Ta frekvecja dobje se djeljejem orgale frekvecje razreda orgale razrede šre: corr f f =, s corr r r, = s za svak =,..., m. Potom se odred razred s ajvećom korgraom frekvecjom. Taj razred azva se modal razred. Tada se mod procjejuje prema formul: b a Mo = L + s, b ( a + c) gdje su Mo mod, L doja graca modaloga razreda, b korgraa frekvecja modaloga razreda, a korgraa frekvecja razreda koj eposredo prethod modalom razredu, c korgraa frekvecja razreda koj eposredo sljed za modaloga razreda, a s razreda šra modaloga razreda. Napomea: Ako su podac grupra u prave razrede jedakh šra, je potrebo račuat korgrae frekvecje. U tom slučaju su korgrae frekvecje jedake orgalm frekvecjama razreda. Percetl su položaje vrjedost koje djele umerčk z a 00 jedakobrojh djelova. Prtom l t percetl P l ma svojstvo da ukupo l % člaova za je veće od P l, odoso da (00 l)% člaova za je maje od P l. Formule za zračuavaje percetla z egruprah podataka, odoso procjeu a temelju podataka gruprah u prave razrede avedee su u tablc. mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 3
14 Tablca. Određvaje percetla z (e)gruprah podataka Percetl Izraču z egruprah podataka Procjea z podataka gruprah u razrede P l y, ako je djeljv sa 00, l 00 Pl = y l + y l, ako je djeljv sa l < fg P 00 l = L + h f g Napomea: Ako su podac grupra u točo m pravh razreda, ajprje treba formrat kumulatv z apsoluth frekvecja maje od. Potom treba odredt prv čla toga za koj obuhvaća ukupo l podataka. Tom člau odgovara razred L, L. Broj g N je red broj toga razreda u uzlazo sortraom poretku svh m [ ] razreda, dok je s : = L L prpada razreda šra. Za l { 0,0,...,90} govormo o declma.. decl je 0. percetl,. decl je 0. percetl td. Za l { 5,50,75} govormo o kvartlma.. l doj kvartl je 5. percetl,. kvartl l medja je 50. percetl, a 3. l gorj kvartl je 75. percetl. Formule za zraču svh trju kvartla z (e)gruprah podataka avedee su u tablc 5. (vdjet stracu 7.) Reprezetatvost pojede sredje vrjedost skazuje se pomoću odgovarajućh mjera raspršeja (dsperzje). Mjere raspršeja djele se a apsolute relatve. Apsolute mjere raspršeja su raspo varjacje, terpercetl, sredje apsoluto odstupaje, varjaca (dsperzja) stadarda devjacja (stadardo odstupaje). Relatve mjere raspršeja su koefcjet kvartle devjacje koefcjet varjacje. Raspo varjacje (ozaka: R) je razlka ajveće ajmaje vrjedost umerčkoga za. Iterpercetl je razlka blo kojh dvaju percetla P l P l uz uvjet l l. O ozačava raspo varjacje sredšjh ( l l )% člaova za. Za l = 75 l = 5 dobva se terkvartl umerčkoga za. I q. O ozačava raspo varjacje sredšje polovce člaova mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 4
15 Formule za zraču sredjega apsolutoga odstupaja, varjace stadarde devjacje z (e)gruprah podataka avede su u tablc 6. (vdjet stracu 8.) Koefcjet kvartle devjacje V q jedak je omjeru terkvartla I q zbroja prvoga trećega kvartla: V q Q = Q Q. + Q 3 3 Taj koefcjet se terpretra kao teztet varjablteta sredšje polovce statstčkoga za. Korst se u slučajevma kad je medja reprezetatvja sredja vrjedost od artmetčke srede. Jeda od krterja za terpretacju tezteta varjablteta skazaoga koefcjetom kvartle devjacje avede je u tablc. Tablca. Skala tezteta varjablteta koefcjeta kvartle devjacje V q terpretacja vrlo slab relatvo slab umjere relatvo jak jak Koefcjet varjacje V jedak je kolčku stadarde devjacje artmetčke srede skazaom u postotcma: σ V = 00 [%]. x O predstavlja relatvo prosječo odstupaje vrjedost umerčkoga za od artmetčke srede za. Prmjejuje se u slučajevma kad je artmetčka sreda dobar reprezetat umerčkoga za. Jeda od krterja za terpretacju varjablteta za skazaoga koefcjetom varjacje avede je u tablc 3. Tablca 3. Skala tezteta varjablteta koefcjeta varjacje V [%] terpretacja vrlo slab relatvo slab umjere relatvo jak jak Teorem 6. (Čebševljevo pravlo u opsoj statstc) Neka je ( x ) koača z vrjedost kvattatvoga oblježja. Neka su x σ redom prpada artmetčka sreda, odoso stadarda devjacja. Tada se za svak prroda broj k > u segmetu x k σ, x + k σ alaz ajmaje 00 k % člaova za ( x ). mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 5
16 Korolar. (posljedce Čebševljeva pravla) a) U segmetu x σ, x + σ alaz se ajmaje 75% člaova za. b) U segmetu x 3 σ, x + 3 σ alaz ajmaje 89% člaova za. Za usporedbu razorodh umerčkh zova korst se stadardzrao oblježje. Neka je ( x ) z vrjedost kvattatvoga oblježja. Neka su x σ redom prpada artmetčka sreda, odoso stadarda devjacja. Tada je z stadardzrah vrjedost toga oblježja z ( z ) čj je opć čla da pravlom: z x x σ k k =. Stadardzacja vrjedost umerčkoga oblježja se občo provod kod zračuavaja vrjedost fukcje razdobe vjerojatost ormale slučaje varjable (vdjet strace 8. 3.). Tablca 4. Određvaje potpuh sredjh vrjedost sredja vrjedost artmetčka sreda geometrjska sreda zraču z egruprah podataka y = y + y y y = = G = y... y y procjea z podataka gruprah u razrede f s f s x = = m m = m f s m f f fm G = s = s s ( ) ( )... ( m ) = harmojska H = = sreda y y y = y H = = m f f fm f s s s s m = Napomea: Prlkom grupraja u razrede pretpostavlja se da su podac grupra u točo m pravh razreda. Velče f s ozačavaju apsolutu frekvecju, odoso sredu -toga razreda, za svak =,..., m. Prtom vrjed jedakost: m = f =. mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 6
17 Tablca 5. Određvaje položajh sredjh vrjedost sredja vrjedost. (doj) kvartl. kvartl (medja) 3. (gorj) kvartl zraču z egruprah podataka y, ako je djeljv s 4; 4 Q = ( y + y ), ako je djeljv s Me y + = Q = + +, ako je epara; ( y y ), ako je para. y, ako je djeljv s 4; 3 4 Q3 = ( y3 + y3 ), ako je djeljv s procjea z podataka gruprah u razrede < fg Q 4 = L + h f < f g Me = L + h f 3 < f g Q 4 3 = L + h f g g g Napomea: Prlkom grupraja u razrede pretpostavlja se da su podac grupra u točo m pravh razreda. Tada ajprje treba formrat kumulatv z apsoluth frekvecja maje od. Potom treba odredt prv čla toga za koj obuhvaća ukupo 4 podataka (u slučaju dojega kvartla), podataka (u slučaju medjaa), 3 odoso 4 podataka (u slučaju gorjega kvartla). Tom člau odgovara razred L, L. Broj g N je red broj toga razreda u uzlazo sortraom poretku svh m [ ] razreda, dok je s : = L L prpada razreda šra. mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 7
18 Tablca 6. Određvaje mjera raspršeja (dsperzje) mjera raspršeja zraču z egruprah podataka procjea z podataka gruprah u razrede sredje apsoluto odstupaje y k k = MAD = y y MAD x = m = f s x varjaca m m ( y y) y f ( s x) f s = = = = σ σ = = ( y) = = ( x) stadarda m m y y y f ( s x) f s σ = = = = σ = = devjacja ( ) ( y) = = Napomea: Prlkom grupraja u razrede pretpostavlja se da su podac grupra u točo m pravh razreda. Velče f s ozačavaju apsolutu frekvecju, odoso sredu -toga razreda, za svak =,..., m. Prtom vrjed jedakost: m = f =. ( x) U praks se vrlo često podac prkazuju tablčo tako da se u tablc avedu sv modaltet x jhove apsolute frekvecje f, za =,..., k. U tom slučaju za određvaje mjera z tablca treba prmjet formule z trećega stupca dotče tablce (tj. račuat kao da su podac grupra u razrede). Prtom u svakoj pojedoj formul: ukupa broj razreda m treba zamjet ukupm brojem modalteta k, razredu sredu s treba zamjet modaltetom x. Napomea: Položaje mjere z tablca. 5. je moguće određvat a aaloga ač. Za određvaje th mjera je ajpodesje razgruprat podatke, odoso formrat orgal z egruprah podataka. mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 8
19 4. DISKRETNE SLUČAJNE VARIJABLE Neka je (Ω, F, P) vjerojatos prostor. Neka je S koača l prebrojv podskup skupa R. (Najčešće uzmamo da je S Z.) Dskreta slučaja varjabla je svako preslkavaje X : Ω S takvo da za svak s S vrjed relacja: { ω ω } A : = Ω : X ( ) = s F. s Kažemo da je skup S slka dskrete slučaje varjable X. Pšemo: R( X ) = S. Ne stakemo l drugačje, u daljjem tekstu ovoga poglavlja pretpostavljamo da je X dskreta slučaja varjabla čja je slka skup S. Svakom s S jedozačo je prdruže broj p : = P( A ). Kratko pšemo: p = P( X = s). s Zbog toga je svaka varjabla X jedozačo određea svojom tablcom razdobe (dstrbucje): X s s... s... p p... p.... Fukcja vjerojatost varjable X je fukcja f : S [ 0, ] defraa pravlom: f ( s) = p s. Osovo svojstvo fukcje vjerojatost je: s S s f ( s) =. Fukcja razdobe vjerojatost varjable X je fukcja F : S [ 0, ] defraa pravlom: gdje je f fukcja vjerojatost.. P( X < s) = F( s) p.. P( X s) = + p F( s). 3. P( X > s) = F( s). F( s) P( X s) f ( x) = =, x s Korsa svojstva fukcje razdobe vjerojatost s s Matematčko očekvaje l, kraće, očekvaje E( X ) varjable X je vjerojatos aalogo težske artmetčke srede defra pravlom: s mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 9
20 E( X ) = s p. s S Varjaca V ( X ) stadarda devjacja σ ( X ) varjable X defrae su pravlma: V X s p E X σ ( X ) = V ( X ). s ( ) ( ) = s ( ), s S Neka su A S g : A R. Tada je g( X ) također slučaja varjabla. Njeza slka je skup S { g s s S } : ( ) : =, a tablca razdobe: g X g( s ) g( s )... g( s )... p p... p... ( ). U skladu s tm, za blo koju varjablu X, te a, b R takve da je a 0 vrjed: ( ) ( ) ( ). V ( X ) = E( X ) E( X ) = E X E( X ).. V ( a X + b) = a V ( X ). 3. σ ( a X + b) = a σ ( X ). Teorem 7. (Čebševljev teorem za dskrete slučaje varjable) Neka je X dskreta slučaja varjabla s očekvajem E( X ) stadardom devjacjom σ. Tada za svak α > 0 vrjed ejedakost: P( X [ E( X ) α σ, E( X ) + α σ ]) >. α mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 0
21 4.. Dskreta jedolka slučaja varjabla dskreta jedolka razdoba Kažemo da je varjabla X jedolka dskreta slučaja varjabla ako postoj S = s,..., s takav da je R( X ) = S ako vrjed: koača skup { } P( X = k) =, k S. Pšemo: X U( ) kažemo da X ma jedolku razdobu. Očekvaje, varjaca stadarda devjacja varjable X U( ) su redom da formulama: + E( X ) =, V ( X ) =, 3 ( ) σ ( X ) = Boma slučaja varjabla boma razdoba Neka je X slučaja varjabla koja ozačava broj ukupa broj uspjeha u terostrukom poavljaju slučajoga pokusa modelraoga Beroulljevom shemom (vdjet stracu 0.) Tada kažemo da je X boma slučaja varjabla s parametrma p. Pšemo: X B(, p) kažemo da varjabla X ma bomu razdobu. Slka varjable X je skup { 0,,..., }. Fukcja vjerojatost varjable X je daa pravlom: k k P( X = k) = p ( p), k = 0,...,. k Očekvaje, varjaca stadarda devjacja varjable X B(, p) su redom da formulama: E( X ) = p, V ( X ) = p ( p), σ ( X ) = p ( p). mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač
22 4.3. Possoova slučaja varjabla Possoova razdoba Possoova slučaja varjabla je prklada za ops slučajh pokusa u kojma vrjede sljedeće pretpostavke (tzv. Possoov model):. Događaj su međusobo ezavs.. Vjerojatost da će se ek događaj dogodt barem dvaput u dovoljo malom prostorom l vremeskom tervalu je praktčk zaemarva. 3. Vjerojatost događaja je sta u dovoljo malm međusobo jedakm prostorm l vremeskm tervalma. Kažemo da je varjabla X Possoova slučaja varjabla s parametrom λ > 0 R( X ) = N 0 ako je prpada fukcja vjerojatost daa pravlom: ako je { } k λ λ { } P( X = k) = e, za k N 0. k! Pšemo: X Po( λ) kažemo da X ma Possoovu razdobu s parametrom λ. Očekvaje, varjaca stadarda devjacja varjable X Po( λ) su redom da formulama: E( X ) = V ( X ) = λ, σ ( X ) = λ. Za velke vrjedost broja male vrjedost vjerojatost p bomu razdobu B(, p ) možemo dobro aproksmrat Possoovom razdobom s parametrom Preczje, vrjed sljedeća tvrdja. λ = p. Teorem 8. (Possoov teorem) Neka je X B(, p). Ako stovremeo +, p 0 p λ = cost., oda vrjed aproksmacja: k k k λ λ p ( p) e. k k! Ovaj teorem se često korst u sljedećem oblku. Teorem 9. Neka su 0 prroda broj vrjed aproksmacja: k ( p) p P( X = k) e. k! 0 p 0,. Neka je X B(, p). Tada mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač
23 4.4. Geometrjska slučaja varjabla geometrjska razdoba Pretpostavmo da ek slučaj pokus koj ma točo dva shoda (uspjeh euspjeh) zvodmo sve dok se prv put e dogod uspjeh. Neka je p vjerojatost pojave uspjeha u svakom slučajom pokusu. Neka je X slučaja varjabla koja ozačava ukupa broj poavljaja pokusa sve do pojave uspjeha (uračuavajuć pokus čj je shod uspjeh). Varjablu X azvamo geometrjska slučaja varjabla s parametrom p. Pšemo: X G( p) kažemo da X ma geometrjsku razdobu. Slka varjable X je skup N. Njeza fukcja vjerojatost je daa pravlom: P X k p p k k ( = ) = ( ), N. Prpada fukcja razdobe vjerojatost F : [ 0, ] Iz defcje fukcje F sljed: F( k) = ( p) k. N je daa pravlom: k P( X k) = ( p), k P( X > k) = ( p), k N. Očekvaje, varjaca stadarda devjacja varjable X G( p) su redom da formulama: E( X ) =, p p V ( X ) =, p p σ ( X ) =. p Geometrjska razdoba može se karakterzrat sljedećm temeljm svojstvom. Teorem 0. Neka je X slučaja varjabla čja je slka skup N. Tada je X geometrjska slučaja varjabla ako samo ako za sve k, l N vrjed: P( X = k + l X > k) = P( X = m). Kažemo da geometrjska slučaja varjabla ma svojstvo zaboravljaja. mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 3
24 4.5. Hpergeometrjska slučaja varjabla hpergeometrjska razdoba Pretpostavmo da u skupu od N elemeata jh točo M ma oblježje (svojstvo) O (pr. škart elemet, elemet. kategorje sl.). Iz promatraoga skupa odaberemo uzorak od elemeata. Neka je X slučaja varjabla koja ozačava kolko od th elemeata z uzorka ma oblježje O. Varjablu X azvamo hpergeometrjska slučaja varjabla s parametrma N, M. Pšemo: X H ( N, M, ) kažemo da X ma hpergeometrjsku razdobu. Slka varjable X H ( N, M, ) je skup S = { k Z { + M N} k { M } } Prpada fukcja vjerojatost je daa pravlom: M N M k k P( X = k) =, k S. N : max 0, m,. Očekvaje, varjaca stadarda devjacja varjable X H ( M, m, ) su redom da formulama: M E( X ) =, N M ( N M ) ( N ) V ( X ) =, N ( N ) M ( N M ) ( N ) σ ( X ) =. N N Napomea: U slučaju velkoga broja elemeata osovoga skupa (N) relatvo maloga broja elemeata uzorka (M) hpergeometrjska slučaja varjabla X H ( M, m, ) može se dobro aproksmrat bomom slučajom varjablom X B, M. N mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 4
25 5. NEPREKIDNE (KONTINUIRANE) SLUČAJNE VARIJABLE Neka je (Ω, F, P) vjerojatos prostor eka je S R eprebrojv skup. (S je ajčešće otvore/poluotvore/poluzatvore/zatvore terval, uja takvh tervala sl.) Svaku slučaju varjablu X : Ω S takvu da je R( X ) = S azvamo eprekda (koturaa) slučaja varjabla. Ne stakemo l drugačje, u ovom poglavlju pretpostavljamo da je X eprekda slučaja varjabla. Za svaku varjablu X vrjed: P( X = s) = 0, s S. Varjabla X zadaje se svojom fukcjom gustoće vjerojatost. Preczje, f : R 0, koja ma sljedeća fukcja gustoće vjerojatost varjable X je fukcja [ ] svojstva:. f ( x) 0, x R.. P( a X b) = f ( x) d x f ( x) dx =. b a Fukcja f određuje vjerojatost da varjabla X poprm prozvolju vrjedost z ekoga tervala. Fukcja razdobe vjerojatost varjable X je fukcja F : [ 0, ] pravlom: x F( x) = f ( t) d t. R defraa Fukcja F određuje vjerojatost da varjabla X poprm vrjedost e veću od x. Preczje, vrjed jedakost: Fukcja F ma sljedeća svojstva :. lm F( x) =. x +. lm F( x) = 0. x ' F( x) = P( X x) = P( X < x). 3. P( a X b) = P( a < X b) = P( a X < b) = P( a < X < b) = F( b) F( a). 4. F ( x) = f ( x), x R. mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 5
26 Očekvaje, varjaca stadarda devjacja varjable X defra su redom formulama: + E( X ) = x f ( x) d x, + + V ( X ) = ( x E( X )) f ( x) d x = x f ( x) d x ( E( X )), σ ( X ) = V ( X ). Neka korsa svojstva očekvaja, varjace stadarde devjacje varjable X su:. ( ) ( ) ( ) ( ) V ( X ) = E X E( X ) = E X E( X ).. Neka su A S, g : A R Y = g(x). Tada je Y eprekda slučaja varjabla čje je očekvaje dao pravlom: + E( Y ) = g( x) f ( x) d x. 3. Neka su a, b R takv da je a 0. Neka je Y = a X + b. Tada je Y eprekda slučaja varjabla čj su očekvaje, varjaca stadarda devjacja redom da zrazma: E( Y ) = a E( X ) + b, V ( Y ) = a V ( X ), σ ( Y ) = a σ ( X ). 5.. Neprekda jedolka slučaja varjabla eprekda jedolka razdoba Neka je X eprekda slučaja varjabla takva da je R( X ) [ a, b] =, za eke a, b R, a < b. Kažemo da je X eprekda jedolka slučaja varjabla ako je jeza f : R 0, daa pravlom: fukcja gustoće vjerojatost [ ], za x [ a, b] ; f ( x) = b a 0, ače. Pšemo: X U( a, b) kažemo da X ma eprekdu jedolku razdobu s parametrma a b. Prpada fukcja razdobe vjerojatost F : [ 0, ] pravlom: R je daa mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 6
27 0, za x < a; x a F( x) =, za x [ a, b] ; b a, za x > b. Neka je X U( a, b). Očekvaje, varjaca stadarda devjacja varjable X su redom da formulama: a + b E( X ) =, ( b a) V ( X ) =, 3 σ ( X ) = ( b a) Ekspoecjala slučaja varjabla ekspoecjala razdoba Neka je X eprekda slučaja varjabla takva da je R( X ) = [ 0, +. Neka je a > 0. Kažemo da je X ekspoecjala slučaja varjabla ako je jeza fukcja gustoće f : R 0, daa pravlom: vjerojatost [ ] a x a e, za x > 0; f ( x) = 0, za x 0. Pšemo: X Ex( a) kažemo da X ma ekspoecjalu razdobu. Prpada fukcja razdobe vjerojatost F : [ 0, ] R je daa pravlom: a x e, za x > 0, F( x) = 0, za x 0. Očekvaje, varjaca stadarda devjacja varjable X Ex( a) su redom da zrazma: E( X ) = σ ( X ) =, a V ( X ), = a Može se pokazat da ekspoecjala varjabla X Ex( a) ma tzv. svojstvo zaboravljaja, tj. da za sve s, t > 0 vrjed: P( X > s + t X > t) = P( X > s). mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 7
28 5.3. Normala slučaja varjabla ormala razdoba Neka je X eprekda slučaja varjabla takva da je R( X ) =R. Neka su µ R σ > 0 kostate. Kažemo da je X ormala slučaja varjabla ako je jeza fukcja gustoće vjerojatost f : [ 0, ] R daa formulom: µ Pšemo: X N ( µ, σ ) ( x µ ) σ f ( x) = e. σ π kažemo da X ma ormalu razdobu s parametrma σ. Prpadu fukcju razdobe vjerojatost F je moguće zapsat aaltčk (pomoću zatvoree formule), pa se jeze vrjedost određuju prblžo umerčkm metodama. Očekvaje, varjaca stadarda devjacja varjable X N ( µ, σ ) da zrazma: E( X ) = µ, V X = σ σ ( X ) = σ. ( ), su redom Posebo, za µ = 0 σ = dobvamo stadardu l jedču ormalu slučaju varjablu. Pšemo: X N ( 0, ) kažemo da X ma stadardu l jedču ormalu razdobu. Prpada fukcja gustoće te varjable je fukcja f : R 0, defraa formulom: [ ] x f ( x) = e. π Njeza fukcja razdobe vjerojatost ozačava se s prkazae su u tablc 8. (vdjet stracu 3.) * F. Vrjedost te fukcje Račuaje vrjedost fukcje razdobe vjerojatost slučaje varjable (, ) X N µ σ svod se a račuaje vrjedost fukcje razdobe vjerojatost slučaje X µ varjable Y = N(0,). Varjablu Y azvamo stadardzraa ormala σ varjabla. mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 8
29 Neka su Neka korsa svojstva ormale slučaje varjable * F F redom fukcja razdobe vjerojatost varjable X N ( µ, σ ) X µ odoso varjable Y = N(0,). Tada vrjede sljedeće tvrdje. σ. P( X µ x) = P( X x), x R.. P( X µ x) = P( X x), x R. 3. Ako su a, b R takv da je 4. Ako su a, b R takv da je * ( ) ( ) P X a F b, oda vrjed: µ a σ b. * ( ) ( ) P X a F b, oda vrjed: µ a σ b. * 5. Ako su a, b R takv da je P( X a) F ( b), oda vrjed: µ a + σ b. * 6. Ako su a, b R takv da je P( X a) F ( b), oda vrjed: µ a + σ b *. F( x) F., x µ = σ b µ a µ P a X b P a X b P a X b P a X b F F σ σ * *. ( < < ) = ( < ) = ( < ) = ( ) =. * *. F ( x) = F ( x), x Čebševljeva ejedakost za eprekde slučaje varjable. Pravlo 3 σ Teorem. (Čebševljev teorem za eprekde slučaje varjable) Neka je X eprekda slučaja varjabla čje je očekvaje E( X ) < +. Tada za svak ε > 0 vrjed ejedakost: Ova ocjea može se poboljšat. Teorem. Neka su X N ( µ, σ ) Korolar. (pravlo 3 σ [ µ 3 σ, µ 3 σ ] V ( X ) P( X E( X ) ε ). ε k N. Tada vrjed: * ( µ σ ) P X < k = F ( k). ) Neka je X N ( µ, σ ) + alaz ukupo 99.73% svh vrjedost varjable X.. Tada se u segmetu mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 9
30 5.5. Grač teorem u Beroulljevoj shem Uz određee uvjete bomu razdobu možemo aproksmrat ormalom razdobom. Preczje, vrjede sljedeć grač teorem. Teorem 3. (lokal de Movrè Laplaceov teorem) Neka su p 0, ( X ) N z bomh slučajh varjabl X B(, p). Tada za dovoljo velke N vrjed: ( k p) p ( p) P( X = k) e, k N. π p ( p) Teorem 4. (tegral de Movrè Laplaceov teorem) Neka su p 0, ( X ) N z bomh slučajh varjabl X B(, p). Tada za sve a, b R takve da je a b vrjed: * b p * a p P( a X b) F F. p ( p) p ( p) Napomea: Umjesto aproksmacje u teoremu 4. često se korst bolja aproksmacja: * b + p a p * P( a X b) F F. p ( p) p ( p) mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 30
31 6. DODATAK Tablca 7. Tablca ekh stadardh atdervacja Fukcja f Stadarda atdervacja F a a x x, + x + x a, a > 0 e a x, a 0 l a x a a x e a s( a x), a 0 cos( a x), a 0 cos( a x) a s( a x) a Formula za djelomču (parcjalu) tegracju: u dv = u v v du Neka osova svojstva tegrala: ( ) a f ( x) d x = a f ( x) d x. f ( x) ± g( x) d x = f ( x) d x ± g( x) d x, Newto-Lebzova formula: b f ( x) d x = F( b) F( a), gdje je F stadarda atdervacja fukcje f. a Neprav tegral: b b f ( x) dx = lm f ( x) dx a a b f ( x) dx = lm f ( x) dx b + a, + a L'Hôptal Beroulljevo pravlo: f ( x ) f lm lm ( x = ) x c ' g( x) x c g ( x) ' mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 3
32 Tablca 8. Tablca vrjedost fukcje razdobe vjerojatost * F varjable X N (0, ) x , Uputa za prmjeu tablce: Zameku jedca zameku desetk treba proać u recma, dok zameku stotk treba proać u stupcma. Npr. F * (.3) očta se a presjeku retka. stupca 0.03: Vrjedost fukcje Npr. F * (.3) = * F za x [ 3,0 dobju se korštejem svojstva: * * F x F x x [ ] ( ) = ( ), 0, 3. * * F (.3) = F (.3) = = mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 3
33 6.. Pregled ekh MATLAB-ovh fukcja koje se korste u vjerojatost statstc Fukcja Začeje bar crtaje jedostavh stupaca barh crtaje jedostavh redaka betacdf fukcja razdobe vjerojatost beta slučaje varjable betav verz fukcje razdobe vjerojatost beta slučaje varjable betapdf fukcja gustoće beta slučaje varjable betastat očekvaje varjaca beta slučaje varjable bocdf fukcja razdobe vjerojatost bome slučaje varjable bov verz fukcje razdobe vjerojatost bome slučaje varjable bopdf fukcja gustoće bome slučaje varjable bostat očekvaje varjaca bome slučaje varjable cdf fukcja razdobe vjerojatost određee slučaje varjable expcdf fukcja razdobe vjerojatost ekspoecjale slučaje varjable expv verz fukcje razdobe vjerojatost ekspoecjale slučaje varjable exppdf fukcja gustoće ekspoecjale slučaje varjable expstat očekvaje varjaca ekspoecjale slučaje varjable factoral fukcja! geocdf fukcja razdobe vjerojatost geometrjske slučaje varjable geov verz fukcje razdobe vjerojatost geometrjske slučaje varjable geomea geometrjska sreda za podataka geopdf fukcja gustoće geometrjske slučaje varjable geostat očekvaje varjaca geometrjske slučaje varjable harmmea harmojska sreda za podataka hst crtaje hstograma (egrupra podac) hstc crtaje hstograma (podac grupra u razrede) hygecdf fukcja razdobe vjerojatost hpergeometrjske slučaje varjable hygev verz fukcje razdobe vjerojatost hpergeometrjske slučaje varjable hygepdf fukcja gustoće hpergeometrjske slučaje varjable hygestat očekvaje varjaca hpergeometrjske slučaje varjable cdf verz fukcje razdobe vjerojatost određee slučaje varjable qr terkvartl za podataka kurtoss koefcjet zaobljeost za podataka mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 33
34 Fukcja mad max mea meda m mode momet choosek ormcdf ormv ormpdf ormstat pdf perms posscdf Začeje sredje apsoluto odstupaje za podataka ajveć elemet za podataka artmetčka sreda za podataka; očekvaje eke slučaje varjable medja za podataka ajmaj elemet za podataka mod za podataka sredšj momet za podataka bom koefcjet k fukcja razdobe vjerojatost ormale slučaje varjable verz fukcje razdobe vjerojatost ormale slučaje varjable fukcja gustoće ormale slučaje varjable očekvaje varjaca ormale slučaje varjable fukcja gustoće vjerojatost određee slučaje varjable sps svh permutacja ekoga skupa vrjedost vjerojatost Possoove slučaje varjable possov verz fukcje razdobe vjerojatost Possoove slučaje varjable posspdf posstat prctle quatle rage skewess std tabulate tedrak udcdf udcdf udv udpdf udstat var zscore fukcja gustoće vjerojatost Possoove slučaje varjable očekvaje varjaca Possoove slučaje varjable percetl za podataka kvatl za podataka raspo varjacje za podataka koefcjet asmetrje za podataka stadarda devjacja za podataka l eke slučaje varjable tablčo grupraje podataka rag modalteta fukcja razdobe vjerojatost dskrete jedolke slučaje varjable fukcja razdobe vjerojatost eprekde jedolke slučaje varjable verz fukcje razdobe dskrete/eprekde jedolke slučaje varjable fukcja gustoće vjerojatost dskrete/eprekde jedolke slučaje varjable očekvaje varjaca dskrete jedolke slučaje varjable varjaca za podataka l eke slučaje varjable stadardzraa vrjedost mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 34
35 6.. Pregled ekh fukcja MS Excel-a koje se korste u vjerojatost statstc Fukcja Začeje AVEDEV sredje apsoluto odstupaje za egruprah podataka AVERAGE artmetčka sreda egrupraoga za podataka BETADIST fukcja razdobe vjerojatost beta slučaje varjable BINOMDIST fukcja razdobe vjerojatost bome slučaje varjable COMBIN bom koefcjet EXPONDIST fukcja razdobe vjerojatost ekspoecjale slučaje varjable FACT fukcja! FACTDOUBLE fukcja!! GEOMEAN geometrjska sreda egrupraoga za podataka HARMEAN harmojska sreda egrupraoga za podataka HYPGEOMDIST fukcja razdobe vjerojatost hpergeometrjske slučaje varjable KURT koefcjet zaobljeost egrupraoga za podataka MAX ajveća vrjedost u egrupraom zu podataka MEDIAN medja egrupraoga za podataka MIN ajmaja vrjedost u egrupraom zu podataka MODE mod egrupraoga za podataka MULTINOMIAL multom koefcjet NORMDIST fukcja razdobe vjerojatost ormale slučaje varjable NORMINV verz fukcje razdobe vjerojatost ormale slučaje varjable NORMSDIST fukcja razdobe vjerojatost stadarde ormale slučaje varjable NORMSINV verz fukcje razdobe vjerojatost stadarde ormale slučaje varjable PERCENTILE percetl egrupraoga za podataka PERMUT ukupa broj k-permutacja -člaoga skupa POISSON fukcja razdobe vjerojatost Possoove slučaje varjable PROB vjerojatost da ek broj prpada određeom tervalu QUARTILE kvartl egrupraoga za podataka RANK rag modalteta SKEW koefcjet asmetrje egrupraoga za podataka STANDARDIZE stadardzraa vrjedost STDEV stadarda devjacja uzorka podataka STDEVP stadarda devjacja cjele populacje podataka mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 35
36 Fukcja VAR VARP varjaca uzorka podataka Začeje varjaca cjele populacje podataka mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 36
37 POPIS KORIŠTENIH OZNAKA Ozaka := defra se N Z R C card skup prrodh brojeva skup cjelh brojeva Začeje skup realh brojeva skup kompleksh brojeva apsoluta vrjedost praza skup kardal broj skupa podskup skupa prav podskup skupa presjek skupova uja skupova \ razlka skupova C komplemet skupa a, b otvore terval, tj. { x R : a < x < b} a, b ] poluotvore terval, tj. { x R : a < x b} [ a, b poluzatvore terval, tj. { x R : a x < b} [ a, b ] segmet, tj. { x R : a x b} = = x x x zbroj x x umožak x... x ajmaj cjel broj jedak l već od x Kartezjev umožak skupova! umožak prvh prrodh brojeva P(, k) broj k-permutacja -člaoga skupa k! k multom koefcjet = = k,..., ( k!) k = k... ( k + ) bom koefcjet k! C(, k ) broj k-kombacja s poavljajem -člaoga skupa mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 37
38 Ozaka f f < f > r r < r > x Mo Q Q Q 3 R I q V q MAD Var σ V E D * F Začeje apsoluta frekvecja modalteta x apsoluta frekvecja maje od modalteta x apsoluta frekvecja veće od modalteta x relatva frekvecja modalteta x relatva frekvecja maje od modalteta x relatva frekvecja veće od modalteta x artmetčka sreda umerčkoga za mod za. l doj kvartl. kvartl l medja 3. l gorj kvartl raspo varjacje za terkvartl koefcjet kvartle devjacje sredje apsoluto odstupaje varjaca (dsperzja) stadarda devjacja koefcjet varjacje (matematčko) očekvaje prroda domea fukcje fukcja gustoće stadarde ormale razdobe mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 38
39 POPIS TABLICA. Tablca. Izračuavaje percetla z (e)gruprah podataka 4. Tablca. Skala tezteta varjablteta koefcjeta kvartle devjacje 5 3. Tablca 3. Skala tezteta varjablteta koefcjeta varjacje 5 4. Tablca 4. Određvaje potpuh sredjh vrjedost 6 5. Tablca 5. Određvaje položajh sredjh vrjedost 7 6. Tablca 6. Određvaje mjera raspršeja (dsperzje) 8 7. Tablca 7. Tablca ekh stadardh atdervacja 3 8. Tablca 8. Tablca vrjedost fukcje razdobe vjerojatost stadarde ormale slučaje varjable 3 mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 39
40 KAZALO POJMOVA algebra događaja 6 apsoluta frekvecja - "maje od" - "veće od" - korgraa 3 - kumulatv z Beroulljeva shema 0 boma razdoba boma slučaja varjabla - fukcja vjerojatost - očekvaje - slka - stadarda devjacja - varjaca bom koefcjet 5 Čebševljeva ejedakost 9 Čebševljevo pravlo u opsoj statstc 5 de Morgaove formule 6 decl 4 dskreta jedolka slučaja varjabla - očekvaje - stadarda devjacja - varjaca dskreta slučaja varjabla 9 - fukcja razdobe vjerojatost 9 - fukcja vjerojatost 9 - očekvaje 0 - stadarda devjacja 0 - tablca razdobe 9 - varjaca 0 događaj 6 - elemetar 6 - emoguć 6 - sgura 6 - suprota 6 mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 40
41 događaj - dsjukt 6 - ezavs 8, 9 - operacje s događajma 6 dulja statstčkoga za ekspoecjala slučaja varjabla 7 - fukcja gustoće 7 - fukcja razdobe vjerojatost 7 - očekvaje 7 - stadarda devjacja 7 - varjaca 7 formula - Bayesova 9 - potpue vjerojatost 9 geometrjska slučaja varjabla 3 - fukcja razdobe vjerojatost 3 - fukcja vjerojatost 3 - očekvaje 3 - slka 3 - stadarda devjacja 3 - varjaca 3 hpoteze 9 hpergeometrjska slučaja varjabla 4 - fukcja razdobe vjerojatost 4 - fukcja vjerojatost 4 - očekvaje 4 - slka 4 - stadarda devjacja 4 - varjaca 4 hstogram k-kombacja - bez poavljaja 5 - s poavljajem 5 k-permutacja - bez poavljaja 5 - s poavljajem 5 mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 4
42 kvartl - doj 4, 7 - gorj 4, 7 medja 4, 7 mjere raspršeja 4 - apsolute 4 - relatve 4 mod 3 multom koefcjet 5 multskup 4 modaltet oblježja eprekda jedolka slučaja varjabla 6 - fukcja gustoće 6 - fukcja razdobe vjerojatost 6, 7 - očekvaje 7 - stadarda devjacja 7 - varjaca 7 eprekda slučaja varjabla 5 - fukcja gustoće vjerojatost 5 - fukcja razdobe vjerojatost 5 - očekvaje 6 - stadarda devjacja 6 - varjaca 6 ormala slučaja varjabla 8 - fukcja gustoće 8 - očekvaje 8 - stadardzraa 8 - stadarda devjacja 8 - varjaca 8 percetl 3, 4 permutacja - bez poavljaja 4 - multskupa 4 - s poavljajem 4 Possoov model Possoova slučaja varjabla mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 4
43 - očekvaje - stadarda devjacja - varjaca polgo apsoluth/relatvh frekvecja potpu sustav događaja 9 teorem - bom 5 - Čebševljev za dskrete slučaje varjable 0 - Čebševljev za eprekde slučaje varjable 9 - tegral de Movrè-Laplaceov 30 - lokal de Movrè-Laplaceov 30 - o uzastopom prebrojavaju 4 - Possoov pravlo 3 σ 9 pravlo jedakost (bjekcje) 4 prcp zbroja 4 prostor elemetarh događaja 6 raspo varjacje 4 razdoba - bmodala 3 - boma - dskreta jedolka - ekspoecjala 7 - geometrjska 3 - hpergeometrjska 4 - multmodala 3 - eprekda jedolka 6, 7 - ormala 8 - Possoova - stadarda ormala 8 - umodala 3 relatva frekvecja - "maje od" - "veće od", - korgraa 3 - kumulatv z mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 43
44 slučaja varjabla - dskreta 9 - eprekda 5 slučaj pokus 6 sreda - artmetčka 3, 6 - geometrjska 3, 6 - harmojska 3, 6 sredje apsoluto odstupaje 4, 8 sredje vrjedost - položaje 3 - potpue stadardzrao oblježje 6 stadarda devjacja 4, 8 stadarda (jedča) ormala slučaja varjabla 8 - fukcja gustoće 8 - očekvaje 8 - stadarda devjacja 8 - varjaca 8 svojstvo zaboravljaja 3, 7 varjaca 4, 8 vjerojatos prostor 7 - klasča 7 vjerojatost 7 - defcja 7 - geometrjska 7 - uvjeta 8 zatvore razred - doja graca - gorja graca - eprav - prav - sreda - šra mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 44
45 LITERATURA. N. Sarapa: Teorja vjerojatost, Školska kjga, Zagreb, 00.. M. Bešć, N. Šuvak: Uvod u vjerojatost statstku, Odjel za matematku Sveučlšta u Osjeku, Osjek, N. Elezovć: Dskreta vjerojatost, Elemet, Zagreb, N. Elezovć: Slučaje varjable, Elemet, Zagreb, Ž. Pauše: Uvod u matematčku statstku, Školska kjga, Zagreb, S. Suljagć:, tera skrpta, Tehčko veleučlšte u Zagrebu, Zagreb, D. Velja: Kombatora dskreta matematka, Algortam, Zagreb, 00. mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 45
SveuĊilište u Rijeci
Sveučlšte u Rjec Fakultet za meadžmet u turzmu ugostteljstvu SVEUĈILIŠI PREDDIPLOMSKI STUDIJ»Poslova ekoomja u turzmu hoteljerstvu» Prručk z predmeta S T A T I S T I K A Šra kolegja: PST00 ECTS bodov:
ВишеJMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 5. svibnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori n
1. (ukupo 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 5. svibja 2017. (Kjige, bilježice, dodati papiri i kalkulatori isu dozvoljei!) (a) (2 boda) Defiirajte općeitu vajsku mjeru i izmjerivi skup obzirom a dau
ВишеKlasični linearni regresioni model
Klasč lear regreso model (KLRM) - jedostav - Zorca Mladeovć Ključe teme Postavka pretpostavke KLRM Svojstva ocea parametara u KLRM Elemet statstčkog zaključvaja u KLRM Predvđaje u KLRM Ekoomsk fakultet,
Више12-7 Use of the Regression Model for Prediction
P r c e Pojam Aalza treda Sezoska cklča kompoeta Ideks brojev Vremeske serje Pojam Vremeske serje predstavljaju z mjereja jede promjeljve kroz vrjeme. Aalza vremeskh serja astoj da otkrje razumje regularost
ВишеJMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 28. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (
MJER I ITEGRL 2. kolokvij 28. lipja 29. (Kjige, bilježice, dodati papiri i kalkulatori isu dozvoljei!). (ukupo 6 bodova) eka je (, F, µ) prostor mjere. (a) ( bod) Što to zači da je izmjeriva fukcija f
ВишеOsječki matematički list 13 (2013), 1-13 O nultočkama polinoma oblika x n x 1 Luka Marohnić Bojan Kovačić Bojan Radišić Sažetak U članku se najprije z
Osječki matematički list 3 03), -3 Luka Marohić Boja Kovačić Boja Radišić Sažetak U člaku se ajprije za svaki priroda broj pokazuje da poliom π x) = x x ima jedistveu pozitivu realu ultočku ϕ. Zatim se
ВишеTitle
. Numerički izovi i redovi Često u svakodevom govoru koristimo termie iz i red, a da pri tome i e razmišljamo o jihovom kokretom začeju. Kada kažemo iz, podrazumijevamo skupiu objekata uredeih po pricipu
ВишеPowerPoint Presentation
Strojo učeje 4 II do Lear model omslav Šmuc PMF, Zagreb, 03 7//3 S: Strojo učeje Leare metode Regresja Osov pojmov Ulaz vetor varjabl egl. attrbutes, features: =,,, d Broj ulazh varjabl: d Izlaza l clja
ВишеDM
CHAPTER. KOMBINATORNA PREBRAJANJA.4 Rekurete relacije izova.5 Geeratore fukcije Ako je broji iz zadat rekuretom relacijom, kao alat za rešavaje uvodimo pojam geeratore fukcije. Geeratora fukcija iza je
ВишеMicrosoft PowerPoint - FER_nastupno_predavanje_Kopriva
Sadržaj Sljepo razdvajaje sgala aalzom ezavsh kompoeata Što je sljepo razdvajaje sgala: ICA vs. PCA ear statčk problem Ivca Koprva ear damčk problem 9. studeog 007. Kjge, Web strace, J. V. Stoe, Idepedet
ВишеAuditorne vjezbe 6. - Jednadzbe diferencija
Sigali i sustavi Auditore vježbe 6. Jedadžbe diferecija Koriste se u opisu diskretog sustava modelom s ulazo-izlazim varijablama. Određivaje odziva sustava svodi se a problem rješavaja jedadžbi diferecija.
Више1 I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2 Onaj koji cijeni praksu bez teorijskih osnova sličan je moreplovcu koji ulazi u brod bez krme i busole n
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Oaj koji cijei praksu bez teorijskih osova sliča je moreplovcu koji ulazi u brod bez krme i busole e zajući kuda se plovi. ( LEONARDO DA VINCI ) P r e d a v a
ВишеSadržaj 1 Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora Diskretan slučajan vektor
Sadržaj Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora 2 Diskretan slučajan vektor Funkcija distribucije slučajnog vektora 2 4 Nezavisnost slučajnih vektora 2 5 Očekivanje slučajnog vektora 6 Kovarijanca
ВишеMARKOVLJEVI LANCI Prvi kolokvij 28. studenog Zadatak 1. (a) (5 bodova) Za Markovljev lanac (X n ) i njegovo stanje i S neka T (n) i u stanje i.
Zadatak. (a) (5 bodova) Za Markovljev lanac (X n ) njegovo stanje S neka T (n) u stanje. Dokaºte da za svak n N vrjed P (T (n) < ) = f n, ozna ava n-to vrjeme povratka pr emu je f := P (T () < ). (Napomena:
ВишеPitanje
Mašsk fakultet Nš Ispta ptaja-sstem 50 PREDMET: SIMULACIJE LOGISTIČKIH PROCESA 00/0.. Šta je Smulacja? Smulacja je postupak mtraja operacja stvarh procesa koj se dešavaju u prrod. Blo da su uraďee ručo
ВишеKORELISANOST REZULTATA MERENJA
Grđevsk fkultet Osek geoeju geoformtku PROSTIRANJE SLUČAJNIH GREŠAKA U MODELIMA MERENJA Teorj grešk geoetsk merej Verj 00409 Prof r Brko Božć, plgeož SADRŽAJ ZAKONI PRENOSA GREŠAKA MERENJA grešk fukcje
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)
. C. Prva ejedakost ije istiita. Dijeljejem očite ejedakosti 5 > 7 strogo pozitivim 5 7 brojem 7 dobivamo ejedakost > =. 7 7 Druga ejedakost ije istiita. Razlomci i imaju jedake brojike (oi izose 5 7 ),
ВишеDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, ožujka razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DR
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 8. 30. ožujka 019. 5. razred - rješeja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE
ВишеDean Učkar UDK Jelena Nikolić Izvorni znanstveni rad Original scientific paper SML MODEL I HRVATSKO TRŽIŠTE KAPITALA SML MODEL AND CROATIAN CA
Dea Učkar UDK 336.761 Jelea Nkolć Izvor zastve rad Orgal scetfc paper SL ODEL I HRVATSKO TRŽIŠTE KAPITALA SL ODEL AND CROATIAN CAPITAL ARKET ABSTRACT Through ths research the authors tested the possblty
Вишеknjiga.dvi
1. Vjerojatnost 1. lgebra dogadaja......................... 1 2. Vjerojatnost............................. 9 3. Klasični vjerojatnosni prostor................. 14 4. eskonačni vjerojatnosni prostor...............
ВишеI
DETALJNI IZVEDBENI NASTAVNI PLAN PREDMETA Naziv predmeta Studijski program Godina 2 Status predmeta Web stranica predmeta Mogućnost izvođenja nastave na engleskom jeziku Bodovna vrijednost i način izvođenja
ВишеI
DETALJNI IZVEDBENI NASTAVNI PLAN PREDMETA Naziv predmeta Studijski program Godina 2 Status predmeta Web stranica predmeta Mogućnost izvođenja nastave na engleskom jeziku Bodovna vrijednost i način izvođenja
ВишеI
DETALJNI IZVEDBENI NASTAVNI PLAN PREDMETA Naziv predmeta Studijski program Godina 3 Status predmeta Web stranica predmeta/mudri Mogućnost izvođenja nastave na engleskom jeziku Bodovna vrijednost i način
ВишеI
DETALJNI IZVEDBENI NASTAVNI PLAN PREDMETA Naziv predmeta Studijski program Godina 3 Status predmeta Web stranica predmeta/mudri Mogućnost izvođenja nastave na engleskom jeziku Bodovna vrijednost i način
ВишеAV3-OE2-stručni PRIJELAZNE POJAVE Dr.sc. Venco Ćorluka 3. PRIJELAZNE POJAVE 3.1.Prijelazne pojave u mreži s otporom i induktivitetom Serijski spoj otp
3. PIJAZN POJAV 3.1.Prjelazne pojave u mrež s oporom ndukveom Serjsk spoj opora ndukvea: Naponska jednadžba: ; d u u (3.1) Sruja kroz : 1e (3.) Napon na ndukveu: d u e (3.3) Napon na oporu: u u 1 e nergja
ВишеPopoviciujeva nejednakost IZ NASTAVNE PRAKSE Popoviciujeva nejednakost Radomir Lončarević 1 Rumunjski matematičar Tiberie Popoviciu ( ) doka
IZ NASTAVNE PRAKSE Radomir Ločarević Rumujski matematičar Tiberie Popoviciu (906. 975.) dokaao je 965. poatu ejedakost i područja kovekse aalie (vidi [.]), koja ima primjee, medu ostalim, u brojim adatcima
ВишеUNIVERZITET U ZENICI
8 GRUPA A UNIVERZITET U ZENICI MAŠINSKI FAKULTET PISMENI ISPIT IZ MATEMATIKE Riješiti matriču jedačiu: ( A+ B) AX = A, gdje matrice A i B zadovoljavaju: A =, B = y + z Naći tačku simetriču tački M(,-,)
ВишеSVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Zvonko Iljazović Zagreb, rujan, 2015. Ovaj diplomski
ВишеMicrosoft Word - Trigonometrijski oblik kompleksnog broja.doc
Trgonometrjsk oblk kompleksnog broja Da se podsetmo: Kompleksn broj je oblka je realn deo, je magnarn deo kompleksnog broja, - je magnarna jednca, ( Dva kompleksna broja su jednaka ako je Za broj _ je
ВишеMicrosoft Word PRCE.doc
Iva Prce * Domiika Crjac ** Martia Crjac *** POMORSKO OSIGURANJE ISSN 0469-655 (11-16) NEIZVJESNOST PARAMETARA U OSIGURANJU Ucertaity of parameters i isurace policy UDK 519.16 Prethodo priopćeje Prelimiary
ВишеAuditorne vjezbe 6. - Jednadzbe diferencija
Sigali i sustavi Auditore vežbe 6. Jedadžbe diferecia Koriste se u opisu diskretog sustava modelom s ulazo-izlazim variablama. Određivae odziva sustava svodi se a problem rešavaa edadžbi diferecia. Načie
ВишеJMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 29. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (
MJERA I INTEGRAL. kolokvij 9. lipnja 018. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni! 1. (ukupno 6 bodova Neka je (, F, µ prostor s mjerom, neka je (f n n1 niz F-izmjerivih funkcija
ВишеUniverzitet u Ni²u Prirodno matemati ki fakultet Departman za matematiku Linearni regresioni modeli i problemi njihove primene Master rad Student: Mil
Uverztet u N²u Prrodo matemat k fakultet Departma za matematku Lear regreso model problem jhove prmee Master rad Studet: Mla Nkol Metor: dr Aleksadar Nast N², oktobar 2014. 2 Sadrºaj Predgovor....................................
ВишеZadatak 1 U tablici se nalaze podaci dobiveni odredivanjem bilirubina u 24 uzoraka seruma (µmol/l):
Zadatak 1 U tablici se nalaze podaci dobiveni odredivanjem bilirubina u 4 uzoraka seruma (µmol/l): 1.8 13.8 15.9 14.7 13.7 14.7 13.5 1.4 13 14.4 15 13.1 13. 15.1 13.3 14.4 1.4 15.3 13.4 15.7 15.1 14.5
ВишеSlide 1
Statistička analiza u hidrologiji Uvod Statistička analiza se primenjuje na podatke osmatranja hidroloških veličina (najčešće: protoka i kiša) Cilj: opisivanje veze između veličine i verovatnoće njene
Више1. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE I, PRVI DIO - GRUPA A 24. listopada (i) Napi²ite formulu za determinantu i inverz op e matrice drugog reda, te nave
1 KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE I, PRVI DIO - GRUPA A 4 lstopada 011 1 () Nap²te formulu a determnantu nver op e matrce drugog reda, te navedte uvjet ( ) 3 7 1 11 1 3 () Provjerte je l matrca B = 1 3 1 5 nverna
ВишеUvod u statistiku
Uvod u statistiku Osnovni pojmovi Statistika nauka o podacima Uključuje prikupljanje, klasifikaciju, prikaz, obradu i interpretaciju podataka Staistička jedinica objekat kome se mjeri neko svojstvo. Svi
Више07jeli.DVI
Osječki matematički list 1(1), 85 94 85 Primjena karakterističnih funkcija u statistici Slobodan Jelić Sažetak. U ovom radu odred ene su funkcije distribucije aritmetičke sredine slučajnog uzorka duljine
ВишеMicrosoft Word - 26ms441
Zdtk 44 (Ktri, mturtic) Dijelimo li bombo osmero djece tko d svko dijete dobije jedki broj bombo, ostt će epodijelje bombo Kd bismo toj djeci dijelili 5 bombo tko d svko dijete dobije jedki broj bombo,
ВишеSkalarne funkcije više varijabli Parcijalne derivacije Skalarne funkcije više varijabli i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler
i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler Jednadžba stanja idealnog plina uz p = nrt V f (x, y, z) = xy z x = n mol, y = T K, z = V L, f == p Pa. Pritom je kodomena od f skup R, a domena je Jednadžba
ВишеElementarna matematika 1 - Oblici matematickog mišljenja
Oblici matematičkog mišljenja 2007/2008 Mišljenje (psihološka definicija) = izdvajanje u čovjekovoj spoznaji odre denih strana i svojstava promatranog objekta i njihovo dovo denje u odgovarajuće veze s
Више(Microsoft Word - 1. doma\346a zada\346a)
z1 1 Izračunajte z 1 + z, z 1 z, z z 1, z 1 z, z, z z, z z1 1, z, z 1 + z, z 1 z, z 1 z, z z z 1 ako je zadano: 1 i a) z 1 = 1 + i, z = i b) z 1 = 1 i, z = i c) z 1 = i, z = 1 + i d) z 1 = i, z = 1 i e)
ВишеNo Slide Title
Statistika je skup metoda za uređivanje, analiziranje i grafičko prikazivanje podataka. statistika???? Podatak je kvantitativna ili kvalitativna vrijednost kojom je opisano određeno obilježje (svojstvo)
Више314 STATISTIČKA KONTROLA KVALITETE - STATISTIKA sustavna upotreba tih metoda započela poslije prvoga svjetskog rata. Nagli razvoj tih metoda ostvaren
314 STATISTIČKA KONTROLA KVALITETE - STATISTIKA sustava upotreba tih metoda započela poslije prvoga svjetskog rata. Nagli razvoj tih metoda ostvare je za vrijeme drugoga svjetskog rata, pogotovo u razdoblju
ВишеUAAG Osnovne algebarske strukture 5. Vektorski prostori Borka Jadrijević
Osnovne algebarske strukture 5. Vektorski prostori Borka Jadrijević Osnovne algebarske strukture5. Vektorski prostori 2 5.1 Unutarnja i vanjska množenja Imamo dvije vrste algebarskih operacija, tzv. unutarnja
ВишеJMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL završni ispit 6. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1.
MJERA I INTEGRAL završni ispit 6. srpnja 208. (Knjige bilježnice dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!). (8 bodova) Kao na predavanjima za d N sa P d : a b ] a d b d ] : a i b i R a i b i za i
ВишеIZBORNO NATJECANJE ZA IMC - RJEŠENJA Zadatak 1. Odredite sve polinome f i g s realnim koeficijentima koji zadovoljavaju jednakost (f(x))
IZBORNO NATJECANJE ZA IMC - RJEŠENJA 7. 06. 017. Zadata 1. Odredte sve polnome f g s realnm oefcjentma oj zadovoljavaju jednaost (f(x)) 3 (g(x)) = 1, x R. Rješenje. Pretpostavmo da je deg f = n > 0, tada
ВишеSveučilište u Zagrebu
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA SEMINAR Osnovna svojstva kompleksnh mreža njhova prmjena Đan Glavnć 1.02 Vodtelj: Mr.sc. Mle Škć Zagreb, 05, 2007. Sadržaj 1. Uvod...1 2. Uvod
ВишеHej hej bojiš se matematike? Ma nema potrebe! Dobra priprema je pola obavljenog posla, a da bi bio izvrsno pripremljen tu uskačemo mi iz Štreberaja. D
Hej hej bojiš se matematike? Ma nema potrebe! Dobra priprema je pola obavljenog posla, a da bi bio izvrsno pripremljen tu uskačemo mi iz Štreberaja. Donosimo ti primjere ispita iz matematike, s rješenjima.
ВишеKonacne grupe, dizajni i kodovi
Konačne grupe, dizajni i kodovi Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) 1. veljače 2011. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 1 / 36 J. Moori, Finite Groups,
ВишеMatrice. Algebarske operacije s matricama. - Predavanje I
Matrice.. Predavanje I Ines Radošević inesr@math.uniri.hr Odjel za matematiku Sveučilišta u Rijeci Matrice... Matrice... Podsjeti se... skup, element skupa,..., matematička logika skupovi brojeva N,...,
ВишеZadci za I razred za sve smerove
Zdc I rred sve smerove Isptt d l je tutologj sledeć sk formul p q p q Odredt proporcje Šest uček ured školsko dvoršte d Z kolko d uček vršlo st poso? U l lkoholog pć m l vode Kolko u stom pću m procet
ВишеMicrosoft PowerPoint - 07 PEK EMT Optimizacija 2 od 4-Tolerancije (2012).ppt [Compatibility Mode]
Oseg u kome se alazi vredost odziva aziva se toleracia odziva F < F < F i 2... m i i i F i Fi Doa toleracia odziva Gora toleracia odziva Izračuavae toleracia i Fi Fi < 0 za Fi > 0 Doi rirašta odziva Δ
ВишеSVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Igor Sušić LOKALNA IZRAČUNLJIVOST Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Igor Sušić LOKALNA IZRAČUNLJIVOST Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Zvonko Iljazović Zagreb, lipanj 015. Ovaj diplomski
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja)
1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 9 + 7 6 9 + 4 51 = = = 5.1 18 4 18 8 10. B. Pomoću kalkulatora nalazimo 10 1.5 = 63.45553. Četvrta decimala je očito jednaka 5, pa se zaokruživanje vrši
ВишеDvostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2
vostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, 2019. Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2 http://matematika.fkit.hr Uvod vostruki integral je integral funkcije dvije varijable. Oznaka: f
ВишеNeodreeni integrali - Predavanje III
Neodredeni integrali Predavanje III Ines Radošević inesr@math.uniri.hr Odjel za matematiku Sveučilišta u Rijeci Neodredeni integrali Neodredeni integral Tablični integrali Metoda supstitucije Metoda parcijalne
ВишеSeminar peti i ²esti U sljede a dva seminara rije²avamo integrale postavljene u prosturu trostruke integrale. Studenti vjeºbom trebaju razviti sposobn
Seminar peti i ²esti U sljede a dva seminara rije²avamo integrale postavljene u prosturu trostruke integrale. Studenti vjeºbom trebaju razviti sposobnost vizualizacije dijela prostora i skiciranja dvodimenzionalnih
ВишеNeprekidnost Jelena Sedlar Fakultet građevinarstva, arhitekture i geodezije Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 1 / 14
Neprekidnost Jelena Sedlar Fakultet građevinarstva, arhitekture i geodezije Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 1 / 14 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14 Definicija. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)
1. D. Prirodni brojevi su svi cijeli brojevi strogo veći od nule. je strogo negativan cijeli broj, pa nije prirodan broj. 14 je racionalan broj koji nije cijeli broj. Podijelimo li 14 s 5, dobit ćemo.8,
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan osnovna razina - rje\232enja)
I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. B. Broj je cijeli broj, tj. pripada skupu cijelih brojeva Z. Skup cijelih brojeva Z je pravi podskup skupa racionalnih brojeva Q, pa je i racionalan broj. 9 4 je očito broj
ВишеMatematika 1 - izborna
3.3. NELINEARNE DIOFANTSKE JEDNADŽBE Navest ćemo sada neke metode rješavanja diofantskih jednadžbi koje su drugog i viših stupnjeva. Sve su te metode zapravo posebni oblici jedne opće metode, koja se naziva
Више(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)
. B. Zapišimo zadane brojeve u obliku beskonačno periodičnih decimalnih brojeva: 3 4 = 0.7, = 0.36. Prvi od navedenih četiriju brojeva je manji od 3 4, dok su treći i četvrti veći od. Jedini broj koji
ВишеTest iz Linearne algebre i Linearne algebre A qetvrti tok, U zavisnosti od realnog parametra λ rexiti sistem jednaqina x + y + z = λ x +
Test iz Linearne algebre i Linearne algebre A qetvrti tok, 2122017 1 U zavisnosti od realnog parametra λ rexiti sistem jednaqina x + y + z = λ x + λy + λ 2 z = λ 2 x + λ 2 y + λ 4 z = λ 4 2 Odrediti inverz
ВишеMicrosoft Word - 15ms261
Zadatak 6 (Mirko, elektrotehnička škola) Rješenje 6 Odredite sup S, inf S, ma S i min S u skupu R ako je S = { R } a b = a a b + b a b, c < 0 a c b c. ( ), : 5. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik
ВишеMicrosoft Word - MATRICE ZADACI III deo.doc
MATRICE ZADACI ( III DEO) SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI MATRICE Postupak tražeja sopstveih vredosti je sledeći: i) Za datu kvadratu matricu ( recimo matricu A) odredimo matricu A λi, gde je I
ВишеPRIMER 1 Sračunati nastavak centrično zategnutog štapa, u svemu prema skici. Štap je pravougaonog poprečnog preseka b/h = 14/22 cm, a opterećen je sil
PRIER 1 Srčuti stv cetričo ztegutog štp, u svemu prem sici. Štp je prvougoog poprečog prese b/h = 14/ cm, optereće je silom Zd = 116 N (stlo + sredjetrjo opt.). Nstv izvesti s dve drvee podvezice debljie
ВишеMatematika 2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 / 45 Sadržaj: Sadržaj Tablično integriranje Očigledna supstitucija Supstitucija Supstitucija u odredenom integralu 3 Kombiniranje parcijalne integracije
ВишеVerovatnoća - kolokvijum 17. decembar Profesor daje dva tipa ispita,,,težak ispit i,,lak ispit. Verovatnoća da student dobije težak ispit je
Verovatnoća - kolokvijum 17. decembar 2016. 1. Profesor daje dva tipa ispita,,,težak ispit i,,lak ispit. Verovatnoća da student dobije težak ispit je 0.8. Ako je ispit težak, verovatnoća da se prvo pitanje
Више(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)
1. D. Svedimo sve razlomke na jedinstveni zajednički nazivnik. Lako provjeravamo da vrijede rastavi: 85 = 17 5, 187 = 17 11, 170 = 17 10, pa je zajednički nazivnik svih razlomaka jednak Tako sada imamo:
ВишеELEKTROTEHNIČKI FAKULTET OSIJEK Osnove električnih strojeva
ELEKTOTEHNIČKI FAKULTET OSIJEK Osove električih strojeva Vježba br 4 ASINKONI MOTO Studet: Grupa: KONSTUKCIJA I NATISNA LOČICA 1 UVOD 1 1 Osovi dijelovi asikroog motora Mehaički: kućište, osovia, ležaji
ВишеŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 28. veljače razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI
ŽUANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 8. veljače 09. 8. razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI OSTUAK RJEŠAVANJA, ČLAN OVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ OSTUAK
ВишеDJEČJI VRTIĆ TROGIR TROGIR Trogir, Klasa: UP/I /19-01/1 Urbroj Na temelju članka 1a, 20. i 35. stavka 1. podstavk
DJEČJI VRTIĆ TROGIR TROGIR Trogir, 24. 04. 2019. Klasa: UP/I-034-01-01/19-01/1 Urbroj. 2184-17-19-1 Na temelju članka 1a, 20. i 35. stavka 1. podstavka 4. Zakona o predškolskom odgoju i obrazovanju (NN
Вишеdiplomski završno v2
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ema Šimo ERGODSKI TEOREM I STACIONARNI PROCESI Diplomski rad Voditelj rada: Doc.dr.sc. Vjekoslav Kovač Zagreb, ruja, 206 Ovaj
ВишеPLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred)
PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred) Učenik prvog razreda treba ostvarit sljedeće minimalne standarde 1. SKUP REALNIH BROJEVA -razlikovati brojevne skupove i njihove
ВишеMicrosoft Word - Rjesenja zadataka
1. C. Svi elementi zadanoga intervala su realni brojevi strogo veći od 4 i strogo manji od. Brojevi i 5 nisu strogo veći od 4, a 1 nije strogo manji od. Jedino je broj 3 strogo veći od 4 i strogo manji
ВишеMicrosoft Word - Pripremni zadatci za demonstrature
poglavlje: KOMPLEKSNI BROJEVI Napomena: U svim zadacima koristi se skraćena oznaka: cis ϕ := cos ϕ + i sin ϕ. 1 3 z1 = x y i, z = 3 3 i 1 i z 3 = z Odredite x, y R tako da vrijedi jednakost z 1 = z. 1.
ВишеBTE14_Bruno_KI
s više procesih jediica F = 100 kg/mi w KClF = 0,2 w vodef = 0,8 =? w KCl =? w vode =? 1 2 1 V =? w vodev =1,0 C =? w KClC = 0,33 w vodec = 0,67 3 B =? w KClB = 0,5 w vodeb = 0,5 P =? w KClP = 0,95 w vodep
ВишеMicrosoft Word - diplomski1.doc
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA DIPLOMSKI RAD br. 1633 Zaštta teksta dgtalnm vodenm žgom Thana Poljak Vodtelj: Marn Golub Zagreb, studen, 2007 1. Uvod U današnje vrjeme postoj
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja)
1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. B. Imamo redom: 0.3 0. 8 7 8 19 ( 3) 4 : = 9 4 = 9 4 = 9 = =. 0. 0.3 3 3 3 3 0 1 3 + 1 + 4 8 5 5 = = = = = = 0 1 3 0 1 3 0 1+ 3 ( : ) ( : ) 5 5 4 0 3.
ВишеDISKRETNA MATEMATIKA
DISKRETNA MATEMATIKA Kombinatorika Permutacije, kombinacije, varijacije, binomna formula Ivana Milosavljević - 1 - 1. KOMBINATORIKA PRINCIPI PREBROJAVANJA Predmet kombinatorike je raspoređivanje elemenata
ВишеOsnovni pojmovi teorije verovatnoce
Osnovni pojmovi teorije verovatnoće Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2019 Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 1 / 13 Verovatnoća i statistika:
ВишеJMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori n
1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja 2018. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) (a) (2 boda) Definirajte (općenitu) vanjsku mjeru. (b) (2 boda) Definirajte
ВишеNumerička matematika 11. predavanje dodatak Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2019, 11. p
Numerička matematika 11. predavanje dodatak Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 1/46 Sadržaj predavanja dodatka
ВишеAV13-OE2_stručni TRANSFORMATOR mr.sc. Venco Ćorluka 13. TRANSFORMATOR Realni transformator sa željeznom jezgrom Odnosi u transformatoru: U I N ; ( ) (
3. TRANFORATOR Reali trasformator sa željezom jezgrom Odosi u trasformatoru: U N ; ( ) (3-) U U VA U N Rade sage a primaru i trošilu: P U cos( ); P U cos( ) ( W) (3-) Gubici trasformatoru: U Pg PCu PFe
Више2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8x 2 A) (f (
2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8x 2 A) (f (x) M) ; ome dena odozdol ako postoji m 2 R takav da
ВишеMATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29
MATEMATIKA viša razina MAT9.HR.R.K.4.indd 9.9.5. ::9 Prazna stranica 99.indd 9.9.5. ::9 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri
Више1. Počevši iz vrha šiljastokutnog trokua povučena je visina kojoj je točka A 1 nožište na nasuprotnoj stranici. Iz točke A 1 povučena je okomica na je
1. Počevši iz vrha šiljastokutnog trokua povučena je visina kojoj je točka A 1 nožište na nasuprotnoj stranici. Iz točke A 1 povučena je okomica na jednu od preostale dvije stranice i njezino nožište na
ВишеMicrosoft Word Q19-078
. Naučno-stručn skup sa međunarodnm učešćem QUALIY 209, Neum, B&H, 4-6 jun 209. SEPENI MODEL REGRESIJE: ODREĐIVANJE KOEFICIJENAA MODELA POWER REGRESSION MODEL: PARAMEERS DEERMINAION Alma Žga, Dr. Sc. Anel
Више(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)
I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. C. Zadani broj očito nije niti prirodan broj niti cijeli broj. Budući da je 3 78 3. = =, 00 5 zadani broj možemo zapisati u obliku razlomka kojemu je brojnik cijeli broj
ВишеMicrosoft Word LA-Matr-deter-03-sed
III -23- MATRICE Defiicije:. Neka je N k = {,2,.,., k} N, k N, tada svako preslikavaje A: N m xn K, (, m N), () gdje je K običo eko polje, azivamo matricom A formata (ili tipa) (m, ) iz polja K. Tu čijeicu
ВишеPlanovi prijema za numeričke karakteristike kvaliteta
U N I V E Z I T E T U B E O G A D U F A K U L T E T O G A N I Z A C I O N I H N A U K A Kontrola valteta (osnovne aademse studje) Stablnost procesa numerče ontrolne arte 1. U određenm vremensm ntervalma
ВишеPEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla
PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla, 3. mart/ožujak 019. godine Prirodno-matematički fakultet
ВишеIstraživanje kvalitete zraka Slavonski Brod: Izvještaj 3 – usporedba podataka hitnih medicinskih intervencija za godine i
Služba za medicinsku informatiku i biostatistiku Istraživanje kvalitete zraka Slavonski Brod: Izvještaj 3 usporedba podataka hitnih medicinskih intervencija za 1.1.-31.8.2016. godine i 1.1.-31.8.2017.
ВишеGeneralizirani trag i normalne forme za logiku interpretabilnosti Vedran Čačić PMF Matematički odsjek Sveučilište u Zagrebu Dubrovnik radiona Sustavi
Generalizirani trag i normalne forme za logiku interpretabilnosti Vedran Čačić PMF Matematički odsjek Sveučilište u Zagrebu Dubrovnik radiona Sustavi dokazivanja 28. lipnja 2012. Zašto logika interpretabilnosti?
ВишеIRL201_STAR_sylab_ 2018_19
Detaljni izvedbeni nastavni plan za kolegij: Statistika i analiza znanstvenih podataka Akademska godina: 2018/2019 Studij: Diplomski sveučilišni studiji: Biotehnologija u medicini, Istraživanje i razvoj
Више