MAT-KOL (Bj Luk) XIII()(007), Elemer riu ekim ekremlim rolemim dr Koić-Jeremić Uriičko-Grđeviki fkule Bj Luk Ekreme vrijedoi ojediih fukcij mogu e odredii i e ovj jihovih ivod. Z mldog memičr redjoškolc koriije je d omeue roleme rješv elemerim meodm, jer mu oe roširuju ogled memičku meodologiju, rvijju logičko mišljeje i oogćuju memičku kuluru. Veliki roj ekremlih rolem može e rikldim dojekm riješii i elemerim uem. Ovdje ćemo vei i doki rješeje vžog kovog ošeg dk ekremim, e oki jegovu rimjeu u elemerom rješvju dk mkimumom i miimumom. Tv. oši dk ekremim i jegovo rješeje ćemo iki u oliku eoreme. Ov eorem je jko kori, jer e učeik redje škole ek u čevrom rredu ureće ojmom ivod i meodm diferecijlog rču. U doku ćemo koriii ou ejedko imeđu rimeičke i geomerijke redie rojev ežim: ( ) Teorem : () Ako je co., d je jveć moguć vrijedo ir ( > > 0, k, ) k 0,k,, oigu oe vrijedoi,,, koje je 47
48 () Ako je koo, d doiže voju jmju vrijedo. Dok: N oovu ejedkoi ( ) i doijmo : K Dkle, je uvijek mje ili jedko od koe K, u lučju kd je, je jedko koi K. To či d u ovom oljedjem lučju im jveću vrijedo. Zi, ko je ( R), odvde immo d vrijedi: ; ; (), je u om lučju ( ). Tkođe, i () je ; ;, će i oljedje ejedčie vrijedii ljedeće: K j. vrijedi jedko, odkle ključujemo d, i,, doiže voju jveću vrijedo.
49 () Dok je lič doku od (): ( ) ( ) ( ) L Dkle, je uvijek veće ili jedko od koe L, u lučju kd je je jedko koi L. To či d u ovom oljedjem lučju im jmju vrijedo. lič vrđej vže i u lučju kd umjeo roivod oji ir reciročih vrijedoi / k ili kvdr k koeficijeim. omoću Teoreme ćemo rješvi ljedeće dke. rimjer : Od vih rouglov dog oim odredii oj koji im jveću ovršiu. Rješeje: ovrši rougl čije u dužie ric,,c ioi ) )( )( ( c gdje je c (-oluoim rougl). im jveću vrijedo kd i ) )( )( ( c. Kko je ir čiilc c l, ovrši je jveć kd u vi čiioci jedki (Teorem -oši dk ekremim) j. kd je c j. c. Dkle, od vih rouglov dog oim jveću ovršiu im jedkorič rougo. rimjer : U lou olurečik R uii kvdr jveće remie. Rješeje: Nek u dimeije kvdr,,, d je () 4R i remi kvdr V. V doiže mkimum kd i V, rem
Teoremi V će ii jveće ko), i () immo R. odoo (jer je ir 4R 4R odoo, Dkle, ržei kvdr je kock ivice R 8 čij je remi V R. 9 rimjer : Od vih vljk uiih u du kuu ći oj čiji omoč im jveću ovršiu. Rješeje: omrćemo oi rejek kue (l.. ) C Trouglovi ABC i CEG u liči, vrijedi roorcij: H : (H-h) : E G odkle je H (H-h)() h gdje je H vii rougl ABC i jeme C, h je vii uiog vljk, AB je rečik oove kue, je rečik oove vljk. A l. B I jedčie () možemo irii viiu vljk: H ( ) h..(4) ovrši omoć vljk je M π h,, kd u M i (4) uvrimo h, doićemo H ( ) M π.(5) Kvdr fukcij u rojiku oiže voju jveću vrijedo u jemeu j. H, odkle je. U om lučju je h. H II či ovršiu omoć i (5) možemo i ovko ii: M π ( ). πh ošo je ko, ir ( ), je kođe ko, i Teoreme ključujemo d će roivod ( ) ii mkiml, odkle doijmo. Dkle, jveću ovršiu omoć imće oj vljk čiji je olurečik oove jedk olovii olurečik oove kue, vii vljk jedk olovii viie kue. 50
rimjer 4: Od vih kuij e okloc olik rvouglog rleloied i de ovršie, ći dimeije kuije mkimle remie. Rješeje: Očimo rice kuije j. rvouglog rleloied,,. ovrši je o i vrijedi. I Košijeve ejedkoi (ejedko imeđu rimeičke i geomerijke redie) lijedi: Zremi kuije je V j. V 4 4 odkle je V. Dkle, mkiml remi e oiže ( Teorem ), jer je ir ko, je,. d je, odvde lijedi : ;. rimjer 5: Koj od rvilih čevororih irmid iom očom ivicom im jveću remiu? Rješeje: Očimo ivicu oovi. D Td je H / (i rvouglog AD) ko. Zremi irmide je V B H /, je jveć kd je H ( H ) V H C odoo A B 5
je d H ËH H j. H Kd H uvrimo u (6) doićemo d je Dkle, remi rvile čevorore irmide je jveć 4 ioi V. 7 i rimjer 6: I rvougoe mele loče re irdii korio rejekom olik jedkokrkog re, ko d ovrši rejek ude mkiml. Rješeje: Ako je du`i krk re, du`i kr}e oovice, d je co. ovrši rejek je ( ) h ( ) ( ) ( ) ( ) l. h Z fkore deoj ri vži: () () (-) 4 co. Dkle, je jveće : 5
( ) ( ) odkle je, o je coα α 60 Tre doije ovj či je, rem ome, doj olovi rvilog šeougl. d ćemo, ekoliko rimjer, oki rimjeu v.ošeg dk ekremim j. eoreme rigoomerijke fukcije: rimjer 7: Odredii mkimum fukcije: 4 π i i 0 < < 4 Rješeje: Kko je i i i ( i ) (7) i kko je ir i i ko, vidimo d ir deoj ri jedčie (7) oiže mkimlu vrijedo i i j. i i vrijedo 0 45 0 45. Zključujemo d d fukcij oiže mkimlu i vrijedo ioi: 5 m 4. rimjer 8: Odredii mkimum fukcije π i co 0 < < (>0, >0) Rješeje: Nišimo du fukciju ovko (i ) (co ). rem Teoremu. fukcij oiže mkimlu vrijedo (jer je i co ) j. i co 5
i co i doijmo ko~o d je co i ( i ), ko ređivj i ; co m. rimjer 9: Odredii ekreme vrijedoi fukcije : g cg ( 0 < < π ) π π Rješeje: D fukcij je defii, π,. Kko je g cg, d fukcij orim miimum g cg odoo g. (Teorem ()). Odvde ključujemo d g j. g j. π fukcij orim mkimum, 4 π fukcij orim miimum. 4 rimjer 0: Oko loe olurečik R oii rvu kru`u kuu jmje remie. Rješeje: rem okm lici, gdje je AB r, C h, α u uglovi oovici, čk O (cer fere) e li imerli uuršjeg ugl kod jeme r A. I ΔAO limo d je cgα r R cgα. I ΔAC je R h gα h r gα r C O A α B i oljedje jedkoi, ko ređivj, doijmo R h, g α 54
R π je remi kue V. Fukcij V doiže jmju g α ( g α ) g α g α im jve}u vrijedo. Kko je vrijedo od kd ( ) g α > 0, g α > 0 0 < α < π / 4 i g α g α, o rem Teoremi, g α g α doiže jveću vrijedo ko je g α g α, odkle ir ( ) je g α, odoo g α. Odvde lijedi d je r R i h 4R. Lierur: [] V.Devide: Zirk elemerih, li ežih memičkih dk, Memičk ilioek 44, Zvod udžeike i v redv rije, Beogrd [] I.Feö: Elemer rešej ekih ekremih rolem, Uvođeje mldih u uči rd VI, Memičk ilioek 4, Zvod idvje udžeik ocijliičke Reulike rije, Beogrd, 969. [] J.Acel: Nejedkoi i jihov rime u elemerom rešvju dk mkimumom i miimumom, Uvođeje mldih u uči rd I, Memčk ilioek 8, Zvod idvje udžeik Nrode Reulike rije, Beogrd, 96. [4].Škreli: Elemero određivje mkimum i miimum fukcij; Nv memike i fiike VI, ve drušv memičr i fiičr Jugolvije, Beogrd, 957. [5]. Škreli: Elemero određivje mkimum i miimum fukcij; U: B.Đerimović: O elemerim meodm određivj ekremih vrijedoi fukcij, Nv memike i fiike VI -4, ve drušv memičr i fiir Jugolvije, Beogrd, 957. [6] Олег Мушкаров, Лъчезар Сторнов: ЕКСТРЕМАЛНИ ЗАДАЧИ В ГЕОМЕТРИЯТА, Държавно издателство "Народна просвета", София, 989. [7] Mr Miomir Ađić: Rješvje ekremlih dk elemerim uem, I, Nv memike, - (XLVII), Beogrd, 00. 55