za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0 Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 Odjel za matematiku Sveučilište u Osijeku Seminarski rad iz Matematičkog praktikuma Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0
Definicija Neka je f : [a, b] R neprekidna funkcija na segmentu [a, b] R. Svaki kompleksni broj ξ, koji je rješenje jednadžbe nazivamo nultočkom funkcije f. f (x) = 0, Ograničimo se na realne nul-točke ξ R : f (ξ) = 0 Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0
Definicija Neka je f : [a, b] R neprekidna funkcija na segmentu [a, b] R. Svaki kompleksni broj ξ, koji je rješenje jednadžbe nazivamo nultočkom funkcije f. f (x) = 0, Ograničimo se na realne nul-točke ξ R : f (ξ) = 0 Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0
Definicija Neka je f : [a, b] R neprekidna funkcija na segmentu [a, b] R. Svaki kompleksni broj ξ, koji je rješenje jednadžbe nazivamo nultočkom funkcije f. f (x) = 0, Ograničimo se na realne nul-točke ξ R : f (ξ) = 0 Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0
Teorem 1 Neka je funkcija f neprekidna na intervalu I = [a, b] te neka na rubovima intervala prima suprotne vrijednosti (tj. neka je f (a) f (b) < 0), onda postoji barem jedna točka ξ I, za koju vrijedi f (ξ) = 0. Nadalje ako je, prva derivacija f stalnog predznaka na intervalu I, onda je to i jedina nultočka funkcije f na intervalu I. D. Jukić, R. Scitovski, Matematika I, Odjel za matematiku, Sveučilište u Osijeku, Osijek, 2000. Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0
Postupak traženja realne nul točke: 1 Separirati interval I = [a, b], u kome funkcija f ima nultočku: f (a)f (b) < 0; 2 Nekom iterativnom metodom odrediti aproksimaciju nultočke ξ s unaprijed zadanom točnošću Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0
Postupak traženja realne nul točke: 1 Separirati interval I = [a, b], u kome funkcija f ima nultočku: f (a)f (b) < 0; 2 Nekom iterativnom metodom odrediti aproksimaciju nultočke ξ s unaprijed zadanom točnošću Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0
Postupak traženja realne nul točke: 1 Separirati interval I = [a, b], u kome funkcija f ima nultočku: f (a)f (b) < 0; 2 Nekom iterativnom metodom odrediti aproksimaciju nultočke ξ s unaprijed zadanom točnošću Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0
Neka je I = [a, b] interval u kome se nalazi jedinstvena nultočka neprekidne i dovoljno glatke funkcije f za koju je f (x) 0, x I. Izaberimo početnu aproksimaciju x 0 I i razvijmo funkciju f u Taylorov red u okolini točke x 0 i zadržimo se na linearnom članu: f 1 (x) := f (x 0 ) + (x x 0 )f (x 0 ) Jednadžba tangente na graf funkcije u točki (x 0, f (x 0 )) Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0
Neka je I = [a, b] interval u kome se nalazi jedinstvena nultočka neprekidne i dovoljno glatke funkcije f za koju je f (x) 0, x I. Izaberimo početnu aproksimaciju x 0 I i razvijmo funkciju f u Taylorov red u okolini točke x 0 i zadržimo se na linearnom članu: f 1 (x) := f (x 0 ) + (x x 0 )f (x 0 ) Jednadžba tangente na graf funkcije u točki (x 0, f (x 0 )) Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0
Neka je I = [a, b] interval u kome se nalazi jedinstvena nultočka neprekidne i dovoljno glatke funkcije f za koju je f (x) 0, x I. Izaberimo početnu aproksimaciju x 0 I i razvijmo funkciju f u Taylorov red u okolini točke x 0 i zadržimo se na linearnom članu: f 1 (x) := f (x 0 ) + (x x 0 )f (x 0 ) Jednadžba tangente na graf funkcije u točki (x 0, f (x 0 )) Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0
x f (x) 200 100 1 2 3 4 5 x f 1 (x) f 1 (x) = f (x 0 ) + (x x 0 )f (x 0 ) = 0 x 1 = x 0 f (x 0) f (x 0 ) Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0
x f (x) 200 100 1 2 3 4 5 x f 1 (x) f 1 (x) = f (x 0 ) + (x x 0 )f (x 0 ) = 0 x 1 = x 0 f (x 0) f (x 0 ) Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0
x f (x) 200 100 1 2 3 4 5 x f 1 (x) f 1 (x) = f (x 0 ) + (x x 0 )f (x 0 ) = 0 x 1 = x 0 f (x 0) f (x 0 ) Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0
x f (x) 200 100 1 2 3 4 5 x f 1 (x) f 1 (x) = f (x 0 ) + (x x 0 )f (x 0 ) = 0 x 1 = x 0 f (x 0) f (x 0 ) Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0
x n+1 = x n f (x n) f, n = 0, 1, 2,..., (x n ) Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0
Teorem 2 Neka funkcija f : I R ima neprekidnu drugu derivaciju na intervalu I = [a, b]. Neka je nadalje, f (a) f (b) < 0, a prva (f ) i druga (f ) derivacija funkcije f na intervalu I imaju stalan predznak. Tada, ako je x 0 I izabran tako da bude f (x 0 ) f (x 0 ) > 0, niz definiran s x n+1 = x n f (xn) f konvergira prema jedinstvenom rješenju ξ jednadžbe f (x) = 0. (xn) Pri tome vrijedi ocjena pogreške aproksimacije ξ x n M 2 2m 1 (x n x n 1 ) 2, gdje je m 1 = min x I f (x), M 2 = max x I f (x), a metoda ima kvadratnu brzinu konvergencije, tj. vrijedi ξ x n+1 M 2 2m 1 (ξ x n) 2. Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0
R. Scitovski, Numerička matematika, Odjel za matematiku, Sveučilište u Osijeku, Osijek, 2000 D. Kincaid,W. Cheney, Numerical Analysis, Brooks/Cole Publishing Company, New York, 1996. R. Plato, Concise Numerical Mathematics, American Mathematical Society, Providence, 2003. Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0
R. Scitovski, Numerička matematika, Odjel za matematiku, Sveučilište u Osijeku, Osijek, 2000 D. Kincaid,W. Cheney, Numerical Analysis, Brooks/Cole Publishing Company, New York, 1996. R. Plato, Concise Numerical Mathematics, American Mathematical Society, Providence, 2003. Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0
Primjer 1. S točnošću ɛ = 0.00005 (4 signifikantne decimale) treba odrediti pozitivnu nultočku funkcije f (x) = e x + x 2 2. 4 3 2 1-2 -1 1 2-1 -2-1 1 2-1 x e x + x 2 2 x e x x 2 x 2 4 3 2 1-2 Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0
Jednadžba f (x) = 0 ima dva rješenja; Prvo rješenje nalazi se u I 1 = [ 1, 0]; Drugo rješenje nalazi se u I 2 = [1, 2] f (x) = e x + 2x rastuća funkcija na I 2 m 1 = f (1) 1.6 f (x) = e x + 2 padajuća funkcija na I 2 M 2 = f (1) 2.4. f (2) f (2) > 0 x 0 = 2 Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0
Jednadžba f (x) = 0 ima dva rješenja; Prvo rješenje nalazi se u I 1 = [ 1, 0]; Drugo rješenje nalazi se u I 2 = [1, 2] f (x) = e x + 2x rastuća funkcija na I 2 m 1 = f (1) 1.6 f (x) = e x + 2 padajuća funkcija na I 2 M 2 = f (1) 2.4. f (2) f (2) > 0 x 0 = 2 Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0
Jednadžba f (x) = 0 ima dva rješenja; Prvo rješenje nalazi se u I 1 = [ 1, 0]; Drugo rješenje nalazi se u I 2 = [1, 2] f (x) = e x + 2x rastuća funkcija na I 2 m 1 = f (1) 1.6 f (x) = e x + 2 padajuća funkcija na I 2 M 2 = f (1) 2.4. f (2) f (2) > 0 x 0 = 2 Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0
Jednadžba f (x) = 0 ima dva rješenja; Prvo rješenje nalazi se u I 1 = [ 1, 0]; Drugo rješenje nalazi se u I 2 = [1, 2] f (x) = e x + 2x rastuća funkcija na I 2 m 1 = f (1) 1.6 f (x) = e x + 2 padajuća funkcija na I 2 M 2 = f (1) 2.4. f (2) f (2) > 0 x 0 = 2 Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0
Jednadžba f (x) = 0 ima dva rješenja; Prvo rješenje nalazi se u I 1 = [ 1, 0]; Drugo rješenje nalazi se u I 2 = [1, 2] f (x) = e x + 2x rastuća funkcija na I 2 m 1 = f (1) 1.6 f (x) = e x + 2 padajuća funkcija na I 2 M 2 = f (1) 2.4. f (2) f (2) > 0 x 0 = 2 Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0
Jednadžba f (x) = 0 ima dva rješenja; Prvo rješenje nalazi se u I 1 = [ 1, 0]; Drugo rješenje nalazi se u I 2 = [1, 2] f (x) = e x + 2x rastuća funkcija na I 2 m 1 = f (1) 1.6 f (x) = e x + 2 padajuća funkcija na I 2 M 2 = f (1) 2.4. f (2) f (2) > 0 x 0 = 2 Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0
n x n g 0 f (x n ) 0 2 1.334585 2.135336 1 1.4475 0.206462 0.330339 2 1.3233 0.010823 0.017316 3 1.3160 0.000037 0.000060 Tablica 1 Tijek iterativnog procesa Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0
D. Jukić, R. Scitovski, Matematika I, Odjel za matematiku, Sveučilište u Osijeku, Osijek, 2000. D. Kincaid,W. Cheney, Numerical Analysis, Brooks/Cole Publishing Company, New York, 1996. R. Plato, Concise Numerical Mathematics, American Mathematical Society, Providence, 2003. R. Scitovski, Numerička matematika, Odjel za matematiku, Sveučilište u Osijeku, Osijek, 2000 Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0