UNIVERZITET U NIXU PRIRODNO-MATEMATIQKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU KLASIQNI GEOMETRIJSKI PROBLEMI MASTER RAD Mentor : Student : Prof. dr Milan Z

UNIVERZITET U NIXU PRIRODNO-MATEMATIQKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU KLASIQNI GEOMETRIJSKI PROBLEMI MASTER RAD Mentor : Student : Prof. dr Milan Zlatanovi Dejan Spasi Nix, 2016.

Temu diplomskog rada predloжio je Prof. dr Milan Zlatanovi. Koristim priliku da se na ovom mestu najsrdaqnije zahvalim profesoru Milanu Zlatanovi u na ukazanoj struqnoj pomo i i savetima u toku izrade ovog diplomskog rada. Ovom prilikom жelim da se zahvalim i svojoj porodici, posebno roditeǉima na bodreǌu i na potpunom razumevaǌu tokom studija. Student : Dejan Spasi

Sadrжaj Uvod 3 1 Kvadratura kruga 3 1.1 Drevne kvadrature................... 5 1.2 Hipokratove lunule.................. 7 1.3 Antifon i Brison.................. 9 1.4 Kvadratrisa...................... 11 1.5 Arhimedova spirala................. 16 1.6 Pribliжne vrednosti broja π........... 19 1.7 Numeriqke kvadrature................ 20 1.8 Konstrukcija Koqanskog............... 21 2 Udvostruqeǌe kocke 23 2.1 Hipokratovo rexeǌe Delskog problema..... 24 2.2 Arhitina konstrukcija................ 24 2.3 Menehmeov dokaz.................... 30 3 Trisekcija ugla 33 3.1 Kratka istorija geometrije kroz problem trisekcije ugla....................... 34 3.2 Egipatska geometrija................. 34 3.3 Vavilonska geometrija................ 35 3.4 Grqka geometrija................... 35 3.5 Helenistiqka geometrija.............. 36 3.6 Konstrukcije pomo u leǌira i xestara..... 38 3.7 Rexeǌe pomo u xestara i leǌira sa oznaqenom duжinom......................... 39 3.8 Pribliжne konstrukcije............... 41 3.9 Dokaz nemogu nosti rexeǌa............. 42 3.10 Morlijevi trouglovi................. 43 3.11 Nada naivnih nematematiqara........... 44 3.12 Upornost naivnih nematematiqara........ 45 3.13 Rexeǌe i razoqareǌe maturanta Milutina Milankovi a......................... 45 3.14 Nemogu nosti leǌira i xestara.......... 46 3.15 Rexeǌe trisekcije ugla korix eǌem kvadratrise 48 3.16 Mehaniqka rexeǌe trisekcije ugla....... 48 3.17 Rexeǌe korix eǌem konusnih preseka..... 52 2

Uvod U toku razvoja matematike, koja je nesumǌivo jedna od najstarih nauka uopxte, javǉali su se u ǌoj razni problemi od kojih su neki rexeni potpuno, neki delimiqno, a neki jox uvek qekaju svoja konaqna rexeǌa. Ovi problemi postali su poznati upravo po tome xto su se ǌima bavili ne samo amateri i laici, ve i najve- i matematiqki umovi mnogih razdobǉa. Svako rexeǌe ili sam pokuxaj rexavaǌa jednog takvog problema mnogo su doprinosili razvoju matematiqih ideja ili su qak podstakli stvaraǌe novih matematiqkih disciplina. Kroz istoriju matematike javǉali su se raznovrsni problemi, a verovatno e tako biti i u budu e. Ovde emo se ograniqiti samo na neke probleme koji su oduvek zaokupǉali paжǌu svih ǉubiteǉa matematike. Upozna emo najpre tri osnovna klasiqna problema u geometriji. To su problemi iz doba antike kojima su se bavili jox stari grci i koji su vixe od dve hiǉade godina qekali svoje rexeǌe, a poznati su pod imenom : kvadratura kruga (konstruisati kvadrat qija je povrxina jednaka povrxini datog kruga) udvostruqeǌe kocke (konstruisati kocku qija je zapremina jednaka dvostrukoj zapremini date kocke) i trisekcija ugla (podeliti proizvoǉan ugao na tri jednaka dela). Znaqaj ovih problema je u tome xto se oni ne mogu taqno geometrijski rexiti pomo u konaqnog broja konstrukcija pravih linija i kruжnica. Tek polovinom 19. veka dobijen je dokaz da nijedan od ovih problema nije rexiv. 1 Kvadratura kruga Najpoznatiji antiqki matematiqki problem je problem kvadrature kruga. To je skra eni naziv za problem koji se najqex e opisuje reqenicom : Konstruisati kvadrat iste povrxine kao dati krug. Pravi je izazov uz pomo xestara i leǌira pokuxavaju i konaqno mnogo puta konstruisati kvadrat iste povrxine kao dati krug. 3

Kako je povrxina kvadrata P kvadrata = a 2, a povrxina kruga P kruga = r 2 π, tada iz jednakosti povrxina a 2 = r 2 π proizilazi da je a = r π. Slika 1.1. Rexeǌe problema kvadrature kruga xestarom i leǌirom zahteva konstrukciju broja π, i nemogu nost rexeǌa sledi iz toga xto je π transcedentni broj, a ne algebarski i zbog toga je ǌegova konstrukcija nemogu a. Lambert 1 je 1768. godine pretpostavio da je π transcedentan, kada je pokazao ǌegovu iracionalnost, qak i pre nego xto je dokazano postojaǌe transcedentnih brojeva. Lindeman 2 je uspeo tek 1882. godine da dokaжe da π nije algebarski ve transcedentan broj, tj. da ne postoji koren polinoma sa racionalnim koeficijentima. ǋegove metode dokazivaǌa bile su sliqne onima koje je devet godina ranije koristio Qarls Hermit 3 da bi dokazao da je e transcedentan broj. 1. Johann Heinrich Lambert (1728-1777) je bio xvajcarski matematiqar i fiziqar. 2. F erdinand von Lindemann (1852-1939) je bio nemaqki matematiqar. 3. Charles Hermite (1822-1901) bio je francuski matematiqar. 4

1.1 Drevne kvadrature Jedan od najstarijih i najznaqajnijih saquvanih matematiqkih spisa je Rajndov papirus nazvan po Henriju Rajndu 4 koji ga je kupio u Luksortu 1858. godine. Ahmes 5 ga je napisao oko 1650. godine p.n.e., ali neki matematiqari smatraju da se Rajndov papirus zasniva na radu koji doseжe qak do 3400. godine p.n.e. U Rajndovom papirusu, Ahmes daje pravilo za konstrukciju kvadrata qija je povrxina pribliжno jednaka povrxini kruga. To pravilo se sastoji u oduzimaǌu 1 preqnika kruga i konstrukcije 9 kvadrata od 8 preqnika kruga. Kako ovo nije bila prava geometrijska konstrukcija, sa druge strane kao takva ona nam pokazuje 9 da se za problem kvadrature kruga znalo jox na samom poqetku matematike. Ovakvom konstrukcijom za π je dobijeno 3.1605. Slika 1.2. Zaista, ako je pribliжna vrednost P 0 = d 2, te je pribliжna vrednost broja π jednaka 4. Zatim, ako povrxinu kvadrata umaǌimo za qetiri kvadrata A 1 qija je stranica d, tada e pribliжna 6 vrednost povrxine kruga biti P 0 = d 2 4 ( ) 2 d = 8 6 9 d2. Odavde sledi da je π 3.555. Sa druge strane ako novodobijenu povrxinu umaǌimo za osam kvadrata A 2 qija je stranica d 9, tada 4. Henry Rhind (1833-1863) je bio xkotski pravnik i egiptolog. 5. Ahmes je bio egipatski kievnik. 5

e pribliжna vrednost povrxine kruga biti P 0 = 8 9 d2 8 ( ) 2 d = 9 ( ) 2 8 d 2. 9 Odavde sledi da je π = 4 ( 8 9 )2 = 3.1605. Anaksagora 6 iz Klazomene koji je rođen oko 500. godine stare ere je prvi matematiqar koji je pokuxavao da rexi problem kvadrature kruga. Plutarh, u svom spisu O progonstvu u kojem texi jednog prijateǉa koji je bio prognan na neko ostrvo Egejskog mora, kaжe : Ne postoji mesto koje qoveku moжe da oduzme sre u, niti ǌegovu pamet. Zaista, Anaksagora je pisao o kvadraturi kruga dok je bio u zatvoru. Problem je postao veoma popularan ubrzo posle ovog, međutim ne samo među mali broj mateamtiqara, ve i xire, na xta nam ukazuje odlomak iz Aristofanovih Ptica (414.p.n.e.), u kojem astronom Meton 7 poznat po otrki u kruga kaжe : Tad uzmem leǌir i xestar i izmerim, i krug se u kvadrat pretvorio. Ovaj stih, se nije odnosio na problem kvadrature kruga, ve na podelu kruga na qetiri podudarna dela. Posle Anaksagore kvadraturom kruga bavili su se : Onopida, Hipia, Hipokrat, Antifon i Brison. Onopidi se prepisuju dve teoreme : 1. Konstrukciju normale na datu pravu iz date taqke koja ne pripada toj pravoj ; 2. Konstrukciju prave od date taqke na datoj pravoj, koja sa datom pravom zahvata ugao. Hit veruje da je znaqaj ovih rezultata bio u tome xto je Onopida po prvi put izneo ravansku konstrukciju, tj. konstrukciju samo uz pomo xestara i leǌira. Ne postoji zapisi da je Onopida pokuxao da izvrxi kvadraturu kruga ravanskim metodama. Ipak, zanimǉiva je qiǌenica da Grci nisu izvodili pogrexne dokaze prilikom kvadrature kruga ravanskim metodama. Na жalost, sa druge strane kasniji matematiqari nisu sledili dobre primere koje su pokazali drevni Grci i zaista su mnogi netaqno tvrdili da imaju dokaz uz pomo xestara i leǌira. 6. Anaxagoras (oko 500-428 p.n.e.) je bio grqki filozof i matematiqar. Za ega se kae da je on prvi qovek koji je filozofiju doneo u Atinu. 7. M eton (iveo u V veku p.n.e.) je bio starogrqki matematiqar i astronom koji je otkrio da je 19 solarnih godina skoro jednako 6940 dana. 6

1.2 Hipokratove lunule Hipokrat je bio grqki matematiqar i astronom, koji je жiveo od 470. do 400. godine p.n.e. Rođen je na ostrvu Hios i ǌegovo prvo zanimaǌe bilo je trgovina. Dok je boravio u Atini i sa tamnoxǌim matematiqarima razgovarao, zavoleo je matematiku i vremenom postao jedan od glavnih i ceǌenijih matematiqarima. Smatra se i da je na Hiosu, Hipokrat bio đak Onopide. Hipokrat je bio prvi qovek koji je koristio konstrukciju xestarom i leǌirom da bi izvrxio kvadraturu kruga. ǋegova ideja je bila da podeli krug na delove koji su oblika polumeseca. Ako bi to stvarno bilo mogu e i ako bi mogla da se izraquna povrxina svakog takvog dela, onda bi povrxina celog kruga bila poznata. Plutarh navodi da je : Neki Hipokrat sa Hiosa, trgovac, naixao je na gusarski brod i izgubio sve xto je imao, pa je doxao u Atinu da tuжi gusare, i kako je dugo vremena boravio u Atini radi tuжbe, uqio je od filozofa i postigo toliko znaǌe u geometriji da je pokuxao na i kvadraturu kruga. Pri tim pokuxajima rexio je problem kvadrature lunula (polumesec dobijen od dva polukruga) i time pokazao da krivolinijski lik moжe biti jednak pravolinijskom. Iako je Hipokrat kvadrira pojedine lunule, on nije pokazao da se svaka lunula moжe kvadrirati. Posebno interesantno da lunula koju je on kvadrirao korix eǌem ravanske konstrukcije kvadrata qija je povrxina jednaka povrxini određene lunule, ali i da krug nije mogao kvadrirati korix eǌem tih metoda. To naravno predstavǉa logiqan zakǉuqak jer bi u tom sluqaju Hipokrat rexio problem kvadrature kruga. Prvi podaci o Hipokratovim lunulama dolaze od Aleksandra iz Afrodizije u Kariji. On je bio savremenik Septimije Severa (193-211 godine) i u to doba najznaqajniji komentator Aristotelovih dela. On je dao interpretaciju kvadrature lunula u dva sluqaja. U Simplikijevim komentarima Aristotelove Fizike zapisani su Aleksandrovi citati kao i segmenti Eudemove Istorije geometrije o Hipokratovim lunulama. Hipokratov dokaz koristi tri prelimenarna tvrđeǌa : 1. Pitagorinu teoremu (a 2 + b 2 = c 2.) ; 2. Ugao nad polukrugom je prav ugao ; 3. Povrxine dva kruga se odnose kao kvadrati nad ǌihovim preqnicima. 7

Ako je dat jednakokrako pravougli trougao, zbir povrxina lunula određenih od polukruga na hipotenuzi i polukruga na katetama je jednaka povrxini trougla. Neka je AB preqnik kruga kome je D sredixte a AC i BC ivice kvadrata koji je upisan u taj krug. Nad ivicom AC kao nad preqnikom opisan je polukrug AEC. Poveжu se taqke C i D. Kako je AB 2 = 2AC 2 a krugovi se, kao i ǌihovi polukrugovi, odnose kao kvadrati nad ǌihovim preqnicima, sledi da je Takođe je : Odakle sledi : P (polukrugaacb) = 2P (polukrugaaec). P (polukrugaacb) = 2P (segmentaadc). P (polukrugaaec) = P (segmentaacd). Oduzimaǌe zajedniqkog odseqka AF C sa leve i desne strane jednakosti dobija se da je : P (lunuleaecf ) = P ( ADC) pri qemu je izvrxena kvadratura lunule. Slika 1.3. Kvadratura lunula 8

Neka od Hipokratovih tadaxǌih saznaǌa koja su primeǌivana u pojedinim dokazima su i : Konstrukcija pravilnog xestougla ; U pravilnom xestouglu kvadrat nad dijagonalom je qetiri puta ve i od kvadrata nad stranicom. Hipokratu su takođe bila poznata i slede a znaǌa : Odnos između upisanih uglova i lukova u krugu ; Princip sliqnosti : povrxine sliqnih figura su proporcionalne kvadratima homologih stranica. Konstrukcija opisanog kruga oko trougla jednakokrakog trapeza ; Pitagorina teorema za pravougli trougao i ǌeno uopxeteǌe za tupougle i oxtrougle trouglove. Hipokrata izdvaja od ostalih matematiqara visok stepen strogosti u svojim dokazima kao i vextina demonstrativne tehnike. Pri konstrukciji lunula on se nije zadovoǉavao da samo sa crteжa nexto bude jasno kao npr. da je spoǉaxǌa granica ve a od unutraxǌe on koristi i tadaxǌi matematiqki aparat da to i dokaжe. Hipokratove lunule su znaqajne jer je pokazana kvadratura krivolinijskih geoemtrijskih likova, kao i ǌegova ideja redukcije problema udvostruqeǌa kocke i konstrukciju sredǌih proporcionala. ǋegovi Elementi su inspirisali Euklida da prikupi tadaxǌa geometrijska znaǌa i sistematski ih izloжi u svojim neprevaziđenim Elementi. 1.3 Antifon i Brison Antifon i Brison zajedno su dali ideje (dokaze) vezane za kvadraturu kruga, koje su se pokazale veoma vaжnim za budu i razvoj matematike. O Antifonovom pokuxaju da rexi problem kvadrature kruga, saznajemo od Temistija i Simplikija. Antifon prvo konstruixe kvadrat (pravilni poligon) upisan u krug, a onda konstruixe jednakokrake trouglove qije su osnovice strane kvadrata a naspramna temena se nalaze na maǌem luku (luk qija je visina maǌa). Time je on dobio pravilan osmougao, poligon sa udvostruqenim brojem strana. Nastavǉaju i postupak, Antifon je mislio da e u jednom trenutku konstruisati poligon qija je povrina jednaka povrxini kruga, a kako zna da konstruixe kvadrat iste povrxine kao i poligon, on time zavrxava svoju ideju konstrukcije (Slika 1.4.). 9

Slika 1.4. Aleksandar iz Afrodizije je pokazao da je ǌegova pretpostavka netaqna. Aleksandar je primetio da prava moжe da dotakne krug samo u jednoj taqki, a zatim Eudem prime uje da je duж neograniqeno deǉiva. Ako je povrxina kruga neograniqeno deǉiva, onda se postupkom koji je Antifon opisao, konstrukcijom pravilnih poligona sa sve ve im brojem strana, nikada ne e iskoristiti cela povrxina kruga. Brison je doxao generaciju posle Antifona i iskoristio ǌegovu ideju. Prema Aleksandru, Brison je upisao kvadrat u krug i opisao drugi oko kruga, i pritom posmatrao kvadrat između ǌih (Aleksandar ne govori kako je konstrukcija tekla). Brison prime uje da je sredǌi kvadrat maǌi od spoǉaxǌeg a ve i od unutraxǌeg dok je krug takođe maǌi od spoǉaxǌeg kvadrata a ve i od unutrxeǌeg, i zakǉuquje da su krug i sredǌi kvadrat jednaki. Ovaj ǌegova zakǉuqak je netaqan, jer ako na primer uzmemo brojeve 8 i 9, oni su zajedno maǌi od 10 a ve i od 7, ali nisu jednaki (Slika 1.5.). Xto se tiqe sredǌeg kvadrata, neki smatraju da je to aritmetiqka sredina upisanog i opisanog kvadrata, a neki pak da je geometrijska sredina. I jedna i druga pretpostavka izgleda da su posledica nesporazuma, jer prema diskusijama starijih tumaqa, nigde nije jasno zapisano xta za Brisona predstavǉa sredǌi kvadrat. Ali, vrlo vaжne su Mistijeve izjave da je Brison utvrdio da je krug maǌi od svih opisanih i ve i od svih upisanih poligona, i da je pretpostavǉena aksioma taqna iako je malo qudna za geometriju. 10

Slika 1.5. 1.4 Kvadratrisa Hipija iz Elide (жiveo je u V veku p.n.e.) uvodi krivu u ciǉu rexavaǌa problema trisekcije ugla, koju je kasnije Lajbnic 8 nazvao kvadratrisom. Menehmeovom 9 bratu, Dinostratu se prepisuje prva uspexna demonstracija upotrebe kvadratrise na konstrukciju kvadrature kruga. Opis Hipijine kvadratise moжe se na i kod Paposa Aleksandrijskog 10, u IV kǌizi ǌegovog Zbornika. Papos je opisao naqin konstrukcije kvadratrise (Slika 1.6.). Pretpostavimo da je dat kvadrat ABCD i da je u ǌemu upisana qetvrtina kruga BED sa centrom u A. 8. Gottf ried Leibniz (oko 378 320 p.n.e.) bio je nemaqki filozof i pronalazaq koji je dao znaqajan doprinos u optici i mehanici. 9. M enehmo (oko 378 320 p.n.e.) je bio starograqki matematiqar kome se prepisuje otkrie elipse, parabole i hiperbole. 10. P appus of Alexandria (290-350) bio je grqki matematiqar i pisac Matematiqkog zbornika u 8 kiga, u kojima su saquvana dostignua starih grqkih matematiqara i astronoma, kao i radovi samog Paposa. 11

Slika 1.6. Pretpostavimo da preqnik kruga uniformno rotira oko A od pozicije AB do pozicije AD i da se u isto vreme duж BC ravnomerno pomera ka AD, ostaju i sve vreme ǌoj paralelna. Na kraju kretaǌa, i duж AB i duж BC poklopi e se sa duжi AD. Prilikom kretaǌa duжi AB i BC se seku, pa skup ǌihovih preseqnih taqaka određuje jednu krivu, tj. kvadratrisu. Neka su neke od tih preseqnih taqaka taqke F i L. Osobina ove krive je : BAD : EAD = BED : ÊD = AB : F H. Drugim reqima, ako za prave AD i AB uzmemo da su x i y osa, da je AD = AB = 1, F (x, y) i za duжinu luka ÊD uzmemo α ima emo da je : π 2 : α = 1 : F H π 2 : α = 1 : y Iz ove proporcije dobijamo da je α = y π, a kako je y = tgα, sledi 2 x da je jednaqina kvadratrise : y = x tg(y π 2 ). Primena kvadratrise u rexavaǌu problema kvadrature kruga je mnogo teжa nego pri trisekciji ugla, jer zahteva poznavaǌe koordinata taqke G preseka kvadratrise sa duжi AD. U narednom delu emo detaǉnije opisati ovu problematiku. U međuvremenu, pretpostavimo da kvadratrisa seqe AD u taqki G, i dokaza emo da vaжi relacija BED : AB = AB : AG. 12

Pretpostavimo suprotno, ako prethodna relacija nije jednaka AB : AG, onda mora biti jednaka AB : AK, gde jeak ili ve e ili maǌe od AG. Razmotrimo ih ponaosob : 1. Neka je AK > AG, konstruiximo krug sa centrom u A i polupreqnikom AK (kvadrant KF L) koji seqe kvadratrisu u F i AB u L. Presek AF sa polukrugom qiji je centar A a polupreqnik AD oznaqimo sa E i konstruiximo normalu iz F na AD (Slika 1.7.). Slika 1.7. odakle sledi da je BED : AB = AB : AK = BED : LF K, AB = LF K. Ali, na osnovu osobine kvadratrise je AB : F H = BED : ÊD = LF K : F K. Kako je AB = LF K, dobijamo da je F H = F K xto je nemogu e. Dakle, AK nije ve e od AG. 2. Neka je AK > AG. Kao i u prvom sluqaju konstruiximo krug sa centrom u A i polupreqnikom AK (kvadrant KML). Konstruiximo normalu u K na AD i ǌen presek sa kvadratrisom oznaqimo sa F, a presek AF sa kvadrantima oznaqimo sa M i E (Slika 1.8.). 13

Slika 1.8. Analogno prvom sluqaju AB = LMK Iz osobine kvadratrise, sledi da je AB : F K = BED : DE = LMK : MK. Kako je AB = LMK, dobijamo da je F K = KM xto je nemogu e, pa AK nije ni maǌe od AG. Kako AK nije ni maǌe ni ve e od AG, onda je jednako, pa vaжi relacija BED : AB = AB : AG. Ovaj dokaz se pripisuje Dinostratu, ako ne i samom Hipiji koji je definisao kvadratrisu. Vratimo se sada na taqku G. Kako su na kraju uniformnog kretaǌa, pokretne duжi AB i BC istovetne sa AD, nije jasno kako se dobija taqka G. Uz pomo analitiqke geometrije iz jednaqine kvadratrise dobijamo da je presek kvadratrise sa x osom x = y tg(y π) = 2 π α sin α cos α 2 π, 2 kad α 0. Dakle, AG = 2. Ovo vaжi ako i samo ako je π BED : AB = AB : AG, 14

xto smo mi ve dokazali. Pokaжimo sada kako se vrxi kvadratura kruga. Uz pomo kvadratrise konstruixemo duж AG = 2 π i pretpostavimo da nam je dat polupreqnik r, kruga qiju kvadraturu vrximo. Ako je AG uzeta za x osu i y osa u A normalna na AG onda sa R(r, 0) i R (0, r) oznaqimo taqke preseka kruga(a, r) sa x i y osom. Neka je U(0, u) taqka u kojoj prava, u taqki R paralelna pravoj koja sadrжi taqke G i R, seqe y osu. Na osnovu sliqnosti (Talesove teoreme), bi e 2 π : r = r : u. Ako je C(c, 0) taqka u kojoj x osa seqe krug kojem su dijametralno suprotne taqke B(0, 1) i U (0, 2u), onda je 2u : c = c : 1. Iz prve relacije imamo da je 2u = r 2 π, a iz druge c 2 = 2u, odakle sledi da je c 2 = r 2 π, pa je AC traжena ivica kvadrata, za dati polupreqnik kruga (A, r) (slika 1.9.). 15

Slika 1.9. 1.5 Arhimedova spirala Arhimed je rođen u Sirakuzi na Siciliji oko 287. godine p.n.e. Spiralu je prvi otkrio Konon, ali je Arhimed pokazao ǌene brojne osobine među kojima je primena na problem kvadrature kruga. U svom delu O spiralama, daje nam opis spirale : Neka poluprava Ox 1 ravnomerno rotira oko fiksirane taqke O dok se taqka M takođe kre e duж ove poluprave polaze i od taqke O (koordinatni poqetak). Kriva koju opisuje ova taqka nazivamo spiralom. Polarna jednaqina krive je oqigledno ρ = aθ, gde je a neki realan broj a θ = 0 je poluprava. 16

Slika 1.10. Pretpostavimo da tangenta iz bilo koje taqke P spirale preseca pravu normalnu na polupreqnik OP, u taqki T. Tada je OT polarna podtangenta. Takođe, Arhimed dokazuje jednakost da, ako je ρ radius vektor taqke P, onda je OT = ρ2 a. Ako je P na n-tom obrtu spirale, poluprava e se zarotirati, recimo, za ugao 2(n 1)π + θ. Dakle ρ = a{2(n 1)π + θ}, i OT = ρ2 a = ρ{2(n 1)π + θ}. Arhimed dakle, жeli da kaжe da, ako je ρ obim kruga polupreqnika OP (= ρ), i ako ovaj krug seqe poqetnu polupravu u taqki K, OT = (n 1)p + KP, gde je KP unapred izmereno. Ako je P na kraju n-tog obrtaja spirale, ovo dovodi do OT = n(obim kruga polupreqnika OP ), a ako 17

je P na kraju prvog obrtaja, OT = obim kruga polupreqnika OP. U delu Mereǌe kruga, Arhimed je dokazao da je povrxina kruga jednaka povrxini pravouglog trougla, qije su katete jednake polupreqniku i obimu kruga. Dakle, povrxina kruga polupreqnika OP jednaka je povrxini OP T. U nastavku emo opisati dokaz kvadrature : konstruiximo jediniqni krug sa sredixtem O, a zatim u ǌemu spiralu koja qini jedan pun obrt pre nego xto preseqe krug u taqki P. Iz taqke preseka se konstruixe tangenta na spiralu i ǌen presek sa normalom u O na OP oznaqimo sa T. Sada je OT = π. Opixe se krug sa centrom u S i polupreqnikom ST da bi se izraqunao koren iz π. Sa tom stranicom se konstruixe kvadrat jednake povrxine kao i krug (Slika 1.11.). Slika 1.11. 18

1.6 Pribliжne vrednosti broja π Vrednost broja π je bila poznata u nekom obliku jox od davnih vremena. Vavilonski matematiqari u XIX veku p.n.e., koristili su kao π = 25 3.125. Egipatski pisac Ahmes je za vrednost broja 8 π dobio 3.1605. Arhimed, upisuju i u krug i opisuju i oko ǌega pravilne poligone od 96 strana, i raqunaju i ǌihove obime, dobija aproksimaciju 3 1 > π > 3 10 (mereǌe kruga). Kasnije je, dobio jox bliжu 7 71 aproksimaciju. Na жalost, brojevi koji stoje u Grqkom tekstu su netaqni, doǌa granica je data kao odnos a gorǌa granica kao odnos 211875 : 67441(= 3.141635), 197888 : 62351(= 3.17277), tako da je data doǌa granica ve a od prave vrednosti, a gorǌa granica je ve a od prethodne gorǌe granice 3 1. Znaqajne ispravke 7 od strane Tanerije (211875 je zamenio sa 211872, a 197888 sa 195882) daju boǉu vrednost, naime ili 1958882 62351 > π > 211872 67441 3.1416016 > π > 3.1415904.. Jox jedna druga ispravka (umesto 67441 se uzima 67444, a umesto 197888 se uzima 195888) daje : ili 1958888 62351 > π > 211875 67444 3.141697... > π > 3.141495... Ako bilo koji od ova dva predloga predstavǉa taqan broj, aritmetiqka sredina dve granice daje izvanredno blisku aproksimaciju 3.141596. Ptolomej 11 daje vrednost obima kruga prema ǌegovom preqniku izraжenu preko xezdesetih delova, tj. 3 + 8 + 30 ili 3.1416. On 60 60 2 11. Claudius P tolem ( oko 83 161 godine posle Hrista) je bio starogrqki matematiqar, geograf i astronom. 19

uoqava da je ovo skoro isto kao aritmetiqka sredina Arhimedovih granica 3 1 i 3 10. To je, međutim taqnije od ove sredine, i 7 71 Ptolomej je bez sumǌe ǌegovu vrednost uqinio nezavisnom. Imao je osnovu za izraqunavaǌe spremnu za uvođeǌe u svoju Tabelu tetiva. Ova tabela daje duжine tetiva krugova obuhva ene lukom od 1, 2 1, 1 1,i tako daǉe. Tetive su izraжene u stodvadesetim delovima duжine preqnika. Ako bi jedan od tih delova bio obeleжen 2 kao 1 p, tetiva obuhva ena uglom od 1 je u Tabeli izraжena u ovoj meri i ǌenim xezdesetim delovima dakle, 1 p 2 50. Kako ugao od 1 u centru kruga određuje stranu pravilnog poligona od 360 strana upisanog u taj krug, obim ovog poligona je 360 puta 1 p 2 50 ili, kako je 1 p 1 = 120.deopreqnika, obim poligona izraжen u delovima preqnika je 3 puta 12 50, xto je 38 30, xto je Ptolomejeva predstava broja π. Grk qije se ime ne zna, dao je jox precizniji dokaz o jox bliжoj proceni od Ptolomejeve. Indijski matematiqar Ariabhata 12 u svojoj kǌizi Lekcije za raqunaǌe, kaжe : Broj 100 saberi sa 4 ; pomnoжi sumu sa 8 ; saberi sa jox sa 62000 i to (xto imamo), podelimo sa 20000, dobija se pribliжna duжina kruжne linije kruga ; on dobija 62832 ili 3.1416 kao vrednost broja π. 20000 1.7 Numeriqke kvadrature Ovo je metoda u kojoj se π aproksimira nekim razlomkom ili algebarskom vrednox u do neke жeǉene taqnosti, pa se pristupa konstrukciji takvog broja. Aproksimacija poǉskog svextenika Koqanskog (oko 1685. godine) smatra se jednom od najboǉih π 40 3 2 3. Ramanudжan 13 (1913.godine) opisao je konstrukciju za π 355 133. Dikson 14 je 1991. godine dao konstrukciju u kojoj je π 6 5 (1+ϕ), gde je ϕ zlatni presek i π 4 + (3 tg30 ) 2. 12. Aryabhata (476-550) bio je jedan od glavnih matematiqara astronoma u Indiji. 13. Srinivasa Ramanujan (1887-1920) je bio indijski matematiqar. 14. Leonard Eugene Dickson (1874-1954) je bio Ameriqki matematiqar koji je prvi poqeo da istrauje apstraktnu algebru. 20

1.8 Konstrukcija Koqanskog Prvi deo :Konstrukcija vrednosti broja π (Slika 1.12.). Slika 1.12. Konstruiximo krug sa centrom u B i polupreqnikom BC = 1 i preqnike AC i OJ koji su normalni jedan na drugi. Na pravoj, koja je u C normalna na AC nanesimo 3 segmenta CD = DE = EF = 1. Konstruiximo, zatim, luk sa centrom u J i polupreqnikom JB, i presek luka sa krugom (B, BC) oznaqimo sa G i K. Ugao ABG jednak je 30. Presek BG sa pravom koja je u A normalna na AC je H. Duж F H je jednaka π. Zaista, neka je IH normalna na CF. Iz ABH imamo da je tg30 = AH AB, a kako je AB = 1 onda je AH = 0.57735. Na osnovu konstrukcije znamo da je HI = AC = 2, a IF = CF CI = CF AH = 3 0.57735 = 2.42265. Iz Pitagorine teoreme, primeǌene na HDF, dobijamo da je HF 2 = HI 2 + IF 2 = 4 + 2.42265 2 = 9.86923, odakle je HF = 3.141533. Duжinu HF moжemo odrediti i kao rastojaǌe dve taqke H( 3, 1) 3 i F (3, 1) : 3 40 HF = (3 3 )2 + (1 ( 1)) 2 = 3 2 3 = 3.141533. 21

Drugi deo : Konstrukcija broja π (Slika 1.13.). Slika 1.13. U prvom delu, dobili smo da je HF = π. Produжimo, sada, HF do M tako da je HM = 1. Neka je Q sredixte duжi MF. Konstruiximo krug sa centrom Q i polupreqnikom QM, a zatim pravu koja je u H normalna na HF i ǌen presek sa krugom oznaqimo sa L. Dobijana duж LH = π. Zaista, LHM i F HL su sliqni, pa iz ǌihove sliqnosti sledi da je LH : HM = HF : HL, odakle je LH 2 = HM F H. Kako je HM = 1, F H = π, dobijamo da je LH = π. Dakle, povrxina kvadrata LP NH qija je strana jednaka π, pribliжno je jednaka povrxini kruga sa centrom u H i polupreqnikom HM = 1. 22

2 Udvostruqeǌe kocke Problem udvostruqeǌa kocke se jox naziva i Delski problem, jer potiqe od legende koja kaжe da je u Atini oko 430. godine pre nove ere harala kuga, pa su zbog toga Atiǌani, traжe i pomo, otixli u poznato proroqixte u Delosu. Tamo su dobili odgovor da e pobediti kugu samo ako uspeju udvostruqiti oltar Apolonu, koji je bio u obliku kocke. Naivno su prixli problemu, Atiǌani su udvostruqili svaku stranicu kocke, koja je predstavǉala oltar, međutim tako su dobili oltar osam puta ve e zapremine od polaznog. Kuga je nastavila harati gradom, budi i da nisu ispunili zahteva proroqanstva. Ovu legendu zapisao je Teon iz Smirne. O ovom problemu postoji i druga legenda, zapisana od strane Eutociusa, u komentaru Arhimedova dela O kugli i vaǉku, koja kaжe da je kraǉ Minos imao жeǉu udvostruqiti grob pesnika Glaukasa, koji je bio kockastog oblika. Ukoliko dati problem posmatramo na algebarski naqin, pri qemu duжinu stranice zadate kocke oznaqimo sa a, problem se svodi na rexavaǌe jednaqine x = 3 2a, xto je duжina stranice traжene kocke. Bez smaǌeǌa opxtosti dovoǉno je posmatrati problem udvostruqeǌa kocke stranice jediniqne duжine, pa tada ostaje problem konstrukcije 3 2. Ovaj problem se sastoji u određivaǌu ivice kocke koja ima dva puta ve u zapreminu od zadate kocke. To znaqi da elementarnim putem treba konstruisati veliqinu x koja je rexeǌe jednaqine x 3 2a 3 = 0 tj. veliqinu x = 3 2 gde je a zadata duж. To je naravno nemogu e. Međutim, mnogim generacijama matematiqara taj problem je zadavao velike brige, sve dok opet Gaus nije dokazao da je nemogu e ovaj problem rexiti elementarnim putem. Prouqavaǌe ovog problema dovelo je do otkri a mnogih krivih i ǌihovih osobina. Nikomed je doxao do rexeǌa pomo u konhoide (krive 4.reda), dok je Dioklo isto uqinio pomo u cikloide (krive 3.reda). Postoje, naravno, i aproksimativna rexeǌa problema udvostruqeǌa kocke koja su dali Apolonije iz Perge i Heron iz Aleksandrije. 23

2.1 Hipokratovo rexeǌe Delskog problema Za rexeǌe Delskog problema, kako je utvrdio Hipokrat sa Hiosa, dovoǉno je na i dve sredǌe proporcionale za dve zadate duжi. Međutim, ako su a i b dve zadate duжi dovoǉno je na i x i y, ǌihove dve sredǌe proporcionale, takve da je a : x = x : y = y : b da bi se rexio problem udvostruqeǌa kocke. Ovo vidimo iz slede e jednakosti : a 3 x = a 3 x x y y b = a b. Sada, ako je a ivica kocke i ako je zadat odnos a : b, tada e i odnos zapremina kocki ivica a i x biti jednak zadatom odnosu. Analognom ovom vaжi y 3 b = y 3 b x y a x = a b, tako da je odnos zapremina kocki kojima su ivice y i b jednak zadatom odnosu a : b. Poseban sluqaj traжeǌa dve sredǌe proporcionale je kada je odnos duжina a i b jednak 2 : 1, tj. kada je duжina ivice a dvostruko ve a od duжine b. Tada je zapremina kocke ivice a dvostruko ve a od zapremine kocke ivice x, zapremina kocke sa ivicom y bi e dvostruko ve a od zapremine kocke sa ivicom b. Na ovaj naqin, kako je utdvrdio Hipokrat sa Hiosa, problem udvostruqeǌa kocke sveden je na konstrukciju dveju sredǌih proporcionala. Eutokije o ovome svedoqi da je Hipokrat tu texko u pretvorio u drugu ne maǌu texko u. 2.2 Arhitina konstrukcija Arhita je rođen u Tarantu, oko 428 godine, gde je odrastao i umro između 360. i 350. godine stare ere. Pripadao je mlađoj generaciji pitagorejaca. Aristotel navodi da je najverovatnije bio Filolajev uqenik, mada ga Eudem, tretira i kao vaжnog nezavisnog mislioca koje je uspeho da rexi jedan od tri antiqka problema u predplatonovom vremenu : udvostruqeǌe kocke, i to konstrukcijom sredǌih proporcionala Hipokrata sa Hiosa. 24

Slika 2.1. Arhitina konstrukcija Arhitina konstrukcija (Slika 2.1.) polazi od pravouglog ADK, sa pravim uglom kod temena K. Taqka I je podnoжje normale iz taqke K na AD, a taqka M podnoжje normale iz I na AK. Tada, iz sliqnosti trouglova ADK, AKI, i AIM vaжi proporcija AD AK = AK AI = AI AM, a iz ovoga sledi, prema zakǉuqku Hipokrata sa Hiosa (Slika 2.2.), da je AD AM = AI 2 AM 2. Slika 2.2. Sredǌe proporcionale Hipokrata sa Hiosa 25

Neka je AM ivica zadate kocke. Tada je odnos zapremina kocki qije su ivice AI i AM jednak zadatom odnosu AD : AM. U posebnom sluqaju kada je duж AD dvostruko ve a od duжi AM, zapremina kocke qija je ivica AI je dvostruko ve a od zapremine kocke sa ivicom AM. Da bi se rexio problem udvostruqeǌa kocke potrebno je konstruisati taqku I na duжi AD kada su zadate duжi AD i AM. Prava potexko a bila je u konstrukciji sliqnih trouglova ADK, AKI, AIM. Izborom taqke I na duжi AD određeni su poloжaji taqaka K i M i to tako xto taqka K pripada polukrugu qiji je preqnik AD i pritom je KI normalno na AD a M je podnoжje normale iz taqke I na duж AK. Ako se taqka I kre e po duжi AD od taqke D ka taqki A, tada i AM opada od AD do nule, pa je zbog toga u jednom trenutku, AM podudarna nekoj unapred zadatoj duжi g, maǌoj od AD. Slika 2.3. Izgled Arhitine konstrukcije Taj trenutak kada je AM podudarna zadatoj duжi g Arhita traжi na slede i naqin : on ravan ADK postavǉa tako da bude upravna na ravan fiksiranog kruga k koje je AD preqnik, a potom ADK rotira oko prave i koja je u taqki A upravna na horizontalnoj ravni. Sredixte tog kruga je taqka A. Neka je krug l 26

opisan oko AD K, Arhita prime uje da se neprekidnom rotacijom ovog kruga oko prave i, dobija povrxi nekog torusa τ. Kako osa i rotacije u taqki A dodiruje krug l, svi meridijani tog torusa sadrжa e taqku A, pa e ǌegov unutraxǌi polupreqnik biti nula. Slika 2.4. Poluvaǉak i torus Dopuxtaju i osnu rotaciju ADK oko prave i, Arhita pretpostavǉa da je taqka I taqka preseka rotiraju e duжi AD i horizontalnog kruga k i prime uje da je tada taqka K pripada pravoj koja je u taqki I normalna na ravni kruga k. Stoga ona pripada cilindru σ qije izvodnice sadrжe taqke horizontalnog kruga i upravne si na ravan tog kruga. Slika 2.5. Prostorna kriva s koja predstavǉa presek cilindra i torusa 27

Dakle, taqka K opisuje prostornu krivu s koja se dobija u preseku dveju provrxi : cilindra σ i torusa τ. Kako je AMI prav a ravan AD K upravna na horizontalnu ravan kruga k, taqka M pripada e sferi kojoj je AD preqnik. Kako je, pri tome, AM ivica zadate kocke, podudarna nekoj duжi g, taqka M e pripadati i sferi sa sredixtem u taqki A i polupreqnikom g malo. Stoga ona pripada krugu q preseka ovih dveju sfera. U posebnom sluqaju konstrukcije dvostruke proporcionala, kada je potrebno rexiti problem udvostruqeǌa kocke, duж AD je dvostruko ve a od duжi AM, pa su stoga ove dve sfere podudarne i sredixte jedne pripada e drugoj. Slika 2.6. Krug q kao direktrisa konusa i trougao qijom rotacijom nastaje konus Budu i da su taqke A, M i K kolinearne, one e pripadati konusu κ sa temenom A kojem je direktrisa krug q koji se dobija u preseku dveju sfera. Slika 2.7. Torus τ iz koga je izvađen polucilindar i konus κ 28

Slika 2.8. Konstrukcija taqke K koja se dobija u preseku polucilindra, torusa i konusa Slika 2.9. Konstrukcija taqaka I,D,M Stoga je taqka K presek prostorne krive s i konusa κ, tj. presek jednog konusa, jednog cilindra i jednog torusa. Odredivxi taqku K, koja predstavǉa kǉuqno mesto ove konstrukcije, Arhita je mogao da odredi taqke I i M. Ovim je rexen problem udvostruqeǌa kocke. Slika 2.10. Svi elementi Arhitine konstrukcije dvostrukih proporcionala 29

Smelost i maxta ove veliqanstvene konstrukcije ogleda se u tome xto on predviđa presek u taqki K rotiraju eg kruga (torus), polucilindra i rotiraju eg trougla (konus). Ovo rexeǌe je u osnovi kinematiqno. Xtavixe, Arhita se ne ustruqava da koristi princip neprekidnosti kada određuje trenutak kada je duж AM koja opada od AD do nule, podudarna datoj duжi g maǌoj od AD, pretpostavǉaju i da e neprekidna promenǉiva koja je najpre ve a, a potom maǌa od date vrednosti, u jednom momentu biti ǌoj jednaka. Mi zaista ne znamo xta je navelo Arhitu da proizvede ovaj neverovatan podvig prostorne imaginacije, u ciǉu konstrukcije sredǌih proporcionala i time rexavaǌa problema udvostruqeǌa kocke. Kriva koja predstavǉa presek poluvaǉka i torusa je prva prostorna kriva, tj. kriva koja ne leжi u jednoj ravni, u istoriji matematike. Ova kriva danas se naziva Arhitinom krivom. Vrednost Arhitinog rexeǌa problema udvostruqeǌa kocke prevazilazi oblast matematike. Iako nije mehaniqko samo po sebi, rexeǌe je od ogromnog znaqaja za mehaniku jer omogu ava ne samo da se pomo u ǌega duplira kocka, ve da se izgradi telo koje ve e ili maǌe od datog tela u bilo kom odnosu. Dakle, rexeǌe omogu ava izgradǌu maxina na bazi radnog modela. 2.3 Menehmeov dokaz Menehmo (380-320 godine p.n.e.) rođen je u Alopokoneji u Trakiji (sadaxǌoj Turskoj) bio je brat poznatog geoemetra Dinostrata. Prvi je u pokuxaju da rexi Delski problem otkrio krive koje e kasnije biti poznate kao elipsa, parabola i hiperbola koje su dugo bile poznate kao Menehmove krive. Bio je prijateǉ Platona 15 i Eudoksov 16 uqenik i kako je bio poznat kao veliki nastavnik geometrije bio je postavǉen za uqiteǉa Aleksandra Velikog. ǋegovo rexeǌe problema pronađeno je u Eutokijevoj antologiji Komentari o Arhimedovim sferama i cilindrima. Naqin na koji on definixe elipsu, parabolu i hiperbolu je interesantan jer bira ravan upravnu na jednoj izvodnici konusa, pa u zavisnosti od toga da li je ugao konusa pri ǌegovom vrhu 15. P laton (427-347 p.n.e.) bio je neizmerno uticajan starogrqki filozof i besednik, Sokratov uqenik i osnivaq Akademije u Atini. 16. Eudoks (408-355 p.n.e.) je bio grqki matematiqar, astronom i nauqnik, jedan od Platonovih uqenika. 30

oxtar, prav ili tup, presek ravni i konusa naziva elipsom, parabolom ili hiperbolom. Problemi koji se odnose na konusne preseke postaju poznati posle Apolonija iz Perge i postaju jedna od najrazvijenijih problematika matematike. Menehmo takođe polazi od rezultata Hipokrata sa Hiosa koji je prethodno pomenut i koji rexeǌe Delskog problema redukuje na konstrukciju dveju sredǌih proporcionala x i y zadatih duжi a i b takvih da je : a x = x y = y b i za sluqaj udvostruqeǌa kocke a 3 x 3 = ( a x ) ( x y ) ( y ) = a 2a 2a = 1 2. Menehmo je predstavio dve metode gde pokazuje kako pomenute krive dovode do rexeǌa problema dupliraǌa kocke. Ako je tada je Ako je tada je i ako je tada je x y = y b y 2 = bx. a x = x y x 2 = ay a x = y b xy = ab. Prve dve jednaqine predstavǉaju parabolu dok je tre a hiperbola. Menehmovo prvo rexeǌe koristi presek parabole i hiperbole, a drugo dve parabole. Ako pretpostavimo da je problem rexen, te da je ON = x i P N = y, a ON i P N dve upravne prave, iz pretpostavǉenih proporcija sledi da je x 2 = ay i xy = ab. 31

Slika 2.11. Menehmova konstrukcija Dakle, zakǉuqujemo da taqka P pripada jednoj paraboli kojoj je teme O, i jednoj hiperboli qije su asimptote prave ON i OM xto znaqi da se taqka P moжe konstruisati kao presek jedne parabole i jedne hiperoble. Sliqno tome, kako je y 2 = bx, taqku P je mogu e konstruisati i kao presek dve parabole. Iako je Menehmova konstrukcija sasvim teorijska jer se u ǌoj ne pomiǌe nikakvo sredstvo za konstrukciju, ve samo definicija konusnih preseka, malo je verovatno da je on imao bilo kakvu ideju o relaciji između krivih i jednaqina. Ne postoji ni jedan dokaz o postojaǌu simboliqkog predstavǉaǌa nepoznate osim u goemetrijskom smislu. 32

3 Trisekcija ugla Trisekcija ugla potiqe iz 4. veka p.n.e. i predstavǉa problem konstruktivnog nalaжeǌa tre ine zadatog ugla. Zanimǉivo je da su Grci uoqili ovaj problem pri gradǌi svojih hramova, spomenika, te ornamenata, qije se ukraxavaǌe svodilo na trisekciju određenih uglova. Ovaj zadatak koji spada u najstarije matematiqke probleme, potiqe od grqkog filozofa Hipije iz Elide (4. veka.p.n.e.), a sastoji se u tome da se zadani ugao podeli na tri jednaka dela (ugla) elementarnim putem (pomo u leǌira i xestara). Ovim problemom bavili su se mnogi matematiqari među ǌima i Arhimed, ali ga ipak nisu uspeli rexiti. Stari Grci su na mnoge naqine nastojali izvrxiti trisekciju ugla elementarnim putem, ali kako nisu uspevali, pokuxali su rexiti problem pomo u raznih krivih. Između ostalih, to je uspelo i Nikomedu pomo u konhoide. U novije doba taj su problem pomo u krivih drugog reda rexili Dekar i Klero. Ipak, tek je Gaus dokazao da je trisekciju nemogu e rexiti upotrebom samo leǌira i xestara. Taj se problem naime svodio na jednaqinu tre eg stepena oblika x 3 3ax 2 3x + a = 0, koja se ne moжe svesti na jednaqine niжeg stepena. To znaqi da se odgovaraju a geometrijska konstrukcija ne moжe izvesti elementarno. Uz trisekciju ugla pomenimo i stari problem podele kruga na jednake delove (konstrukcije pravilnog poligona). Taj problem se najverovatnije javio pre nekoliko hiǉada godina, kada su se ǉudi prvi put sreli sa problemom pravǉeǌa toqka. Naime, ve su Vavilonci umeli dosta dobro aproksimativno razdeliti kruжnicu na sedam jednakih delova, a Grci su znali elementarno geometrijski razdeliti kruжnicu na n = 2, 3, 4, 5, 6, 8 i 12 jednakih delova, ali ǌihovi pokuxaji da to isto uqine za n = 7, 9, 11, 13... nisu uspeli. I mnogi kasnije pokuxaji da se kruжnica elementarno razdeli na n jednakih delova ostali su uzaludni, sve dok konaqno Gaus krajem 18. veka nije dokazao da je taj problem mogu e elementarno konstruktivnim putem rexiti samo za neke posebne sluqajeve broja n. 33

3.1 Kratka istorija geometrije kroz problem trisekcije ugla Zajedno sa teorijom brojeva, geometrija je predstavǉala jednu od dve oblasti grqke matematike. Klasiqna geometrija je akcenat stavǉala na konstrukcije pomo u leǌira i xestara. Pe inski ǉudi su prvi saquvali tragove poqetaka geometrije, uspeli su otkriti tupe trouglove u antiqkoj dolini Inda i Vavilonu oko 3000 p.n.e. Rana geometrija je bila kolekcija empirijski otkrivenih principa koji su se odnosili na duжine, uglove, povrxine i zapremine, a qiji je razvoj bio motivisan praktiqnim potrebama geodezije, građevinarstva, astronomije i razliqitih zanata. Među ǌima se nalazi i neki iznenađuju e sofisticirani princip koje bi moderni matematiqar texko mogao da dokaжe bez upotrebe analize. Na primer, i Egip ani i Vavilonci su poznavali verzije Pitagorine teoreme jox 1500 godine pre Pitagore ; Egip ani su poznavali formulu za zapreminu zarubǉene pravilne qetvorostrane piramide ; Vavilonci su imali trigonometrijske tablice i znali su vrednost 2 na pet decimala. 3.2 Egipatska geometrija Stari Egip ani su znali da pribliжno izraqunavaju povrxinu kruga kao : ( P kruga = R 8 ) 2, R dijametar 9 Ovaj metod se koristio u 50. problemu iz Ahmesovog papirusa za izraqunavaǌe povrxine kruga. Ova pretpostavka daje π 4 ( ) 2 8, (= 3.160493...), 9 sa grexkom od 0.63. Ova prednost je malo loxija od Vavilonskih proraquna (π 25 = 3.125, gde je grexka 0.53), ali inaqe nije prevaziđena sve do Arhimedove aproksimacije 211875/67441 = 3.14163, 8 qija je grexka oko 0.01. Interesantno je da je Ahmes znao za modernu 22 aproksimaciju za π, ali je i daǉe koristio tradicionalnu vrednost 256 prilikom izraqunavaǌa zapremine cilindra u 7 81 hekratima (stara Egipatska mera za zrnevǉe, hleb i pivo). 34

S druge strane, u 48. problemu se koristio kvadrat stranice 9, koji je podeǉen mreжom 3 3. Konstruisan je neregularni osmougao povrxine 63 uz pomo dijagonala ugaonih kvadrata mreжe, xto daje drugu vrednost za π od 3.111. Ova dva problema zajedno pokazuju da se egipatska aproksimacija za π kretala između 3.11 i 3.16. 3.3 Vavilonska geometrija Vavilonci su obim kruga raqunali kao troustruki dijametar, a povrxinu kao dvanaestinu kvadrata oblika kruga, xto bi bilo taqno ako bi se uzelo da je π pribliжno jednako 3. Zapreminu cilindra su raqunali kao proizvod povrxine osnove i visine, dok su zapreminu zarubǉene kupe ili pravilne qetvorostrane piramide pogrexno raqunali kao proizvod visina i polovine zbira povrxina osnova. Pitagorina teorema je takođe bila poznata Vaviloncima, dok je skoro iskopana tablica u kojoj je za π korix- ena vrednost 25 8. 3.4 Grqka geometrija Za starogrqke matematiqare, geometrija je bila kraǉica ǌihovih nauka, postiжu i kompletnost i savrxenost metoda kao nijedna druga oblast ǌihovog znaǌa. Tales (635 543 p.n.e.) iz Mileta (sada u jugozapadnoj Turskoj) smatra se ocem grqke filozofije i najstarijim evropskim filozofom. On je napisao empirijske i direktne dokaze pet geometrijskih tvrđeǌa, mada ovi dokazi nisu saquvani. Kao matematiqar poznat je po Talesovoj teoremi. Sa druge strane mogu e da je Pitagora (582 496 p.n.e.), koji je жiveo u Joniju bio Talesov uqenik. Iako je tvrđeǌe iz ǌegove teoreme bilo poznato i ranije, on je verovatno prvi koji je dao ǌegov kompletan dokaz. Oko sebe je okupio grupu uqenika koja je prouqavala matematiku, muziku i filozofiju i zajedno su otkrili ve inu od onoga xto se iz geometrije danas uqi u osnovnoj xkoli. Pored toga, otkrili su postojaǌe nesamerǉivih duжina i iracionalnih brojeva. Platon (427 347 p.n.e.) je bio najceǌenijim filozofom Grqke, koji je iznad vrata svoje quvene xkole napisao Neka ne ulazi onaj ko ne zna geometriju. Iako on sam nije bio matematiqar, ǌegovo mixǉeǌe o matematici je bilo vrlo uticajno. Matematiqari su 35

stoga prihvatili ǌegovo ubeđeǌe da geometrija ne treba da koristi druga oruđa osim xestara i leǌira nikada instrumente za mereǌe, kao sto su leǌir sa oznakama ili uglomer, jer su to instrumenti zanatlije i nisu dostojni nauqnika. Ovo pravilo dovelo je do dubokih istraжivaǌa konstrukcija mogu ih samo sa leǌirom i xestarom i tri klasiqna konstruktivna problema : 1. Kako pomo u leǌira i xestara podeliti ugao na tri jednaka dela ; 2. Konstruisati kocku qija je zapremina dvostruko ve a od date kocke i 3. konstruisati kvadrat qija je povrxina jednaka povrxini datog krug. Dokazi nemogu nosti ovih konstrukcija, iako nađeni tek u 19.veku, iznedrili su vaжne principe o strukturi sistema realnih brojeva. Aristotel (384 322 p.n.e.), je Platonov najve i uqenik, koji je napisao traktat o metodama zakǉuqivaǌa u deduktivnim dokazima. 3.5 Helenistiqka geometrija Slika 3.1. Euklid Euklid (oko 325 265 p.n.e.) iz Aleksandrije, qesto se smatrao sinonimom za geometriju. ǋegovi Elementi geometrije (poznatije u skra enom obliku Elementi) u 13 kǌiga su jedan od 36

najvaжnijih i najuticajnijih kǌiga u istoriji matematike. Euklid je geometriju zasnovao kao aksiomatski sistem, u kome se sve teoreme(taqna tvrđeǌa) dokazuju iz malog broja aksioma. Elementi poqiǌu definicijama pojmova, osnovnim geoemetrijskim principima(zvanim i postulati) i opxtim kvantitativnim principima(zvanim zajedniqke ideje ), iz kojih se ostatak geometrije izvodi logiqkim zakǉuqivaǌem. ǋegovih pet postulata su : 1. Bilo koje dve taqke se mogu spojiti pravom. 2. Bilo koja duж se moжe produжiti u pravu. 3. Za bilo koju duж, moжe se nacrtati krug sa duжi kao polupreqnikom i centrom u jednom kraju duжi. 4. Svi pravi uglovi su međusobno jednaki. 5. Ako dve prave u ravni seqe tre a prava (zvana transverzala), i ako unutraxǌi uglovi između dve prave i transverzale koji leжe sa iste strane transferzale zajedno imaju maǌe od dva prava ugla, onda e se sa te strane transferzale te dve prave se i, ako ih produжimo dovoǉno dugo. Elementi takođe zadrжe slede ih pet zajedniqkih ideja : 1. Stvari koje su jednake istoj stvari jednake su i među sobom. 2. Ako su jednaki delovi dodati jednakim delovima, onda su i celine jednake. 3. Ako se jednaki delovi oduzmu od jednakih delova, onda su i ostaci jednaki. 4. Stvari koje su podudarne jedna drugoj su jednake jedna drugoj. 5. Celo je ve e od bilo kog dela. Bojer u kǌizi Euklid iz Aleksandrije napisao : Euklidovi Elementi nisu samo najranije znaqajno delo starogrqke matematike koje je doxlo do nas, ve i najuticajnija kǌiga svih vremena. Prvo xtampano izdaǌe Elemenata se pojavilo u Veneciji i to je bila jedna od prvih xtampanih matematiqkih kǌiga. Proceǌuje se da su od tada Elementi odxtampani u preko hiljadu izdaǌa. Verovatno nijedna druga kǌiga, sem Biblije, ne moжe imati toliko mnogo izdaǌa, i sigurno je da nijedno drugo matematiqko delo nije imalo uticaj koji bi se mogao porediti sa Elementima. Arhimed (287 212 p.n.e.) iz Sirakuze na Siciliji, koja je tada bila grqki grad drжava, se qesto smatra najve im starogrqkim 37

matematiqarem i ponekad qak smatra jednim od trojice najve ih matematiqara uopxte (zajedno sa ǋutnom i Gausom). Qak i da nije bio matematiqar, ostao bi upam en kao veliki fiziqar, pronalazaq i inжeǌer. U svojoj matematici, razvio je metode vrlo sliqne koordinatonom sistemu u analitiqkoj geometriji i graniqne procese integralnog raquna. Jedini element koji mu je nedostajao za zasnivaǌe ovih oblasti je bila efikasna algebarska notacija kojom bi izrazio svoje koncepte. Nakon Arhimeda, Helenistiqka matematika je poqela da opada. Postojalo je jox nekoliko matematiqkih umova tog vremena, ali je zlatno dobra geometrije proxlo. Proklu(410-485 n.e.), autor Komentar prve kǌige Euklida, je bio jedan od posledǌih vaжnih liqnosti u Helenistiqkoj geometriji. Bio je vrhunski geoemetar, ali vaжnije, bio odliqan komentator dela koja su postojala pre ǌega. Ve ina tih dela danas nije saquvana i poznata su nam samo kroz ǌegove komentare. 3.6 Konstrukcije pomo u leǌira i xestara Leǌir i xestar u geometrijskoj konstrukciji nemaju prvenstveno karakter tehniqkog, nego u prvom redu logiqkog sredstva. U XIX veku postalo je poznato da se svaka geometrijska konstrukcija koja se moжe izvesti leǌirom i xestarom moжe i izvesti i samo xestarom. Ova qiǌenica poznata je pod nazivom Maskeronijeva 17 teorema. Koriste i samo xestar i neoznaqeni leǌir, grqki matematiqari su pronaxli naqine kako da podele duж na proizvoǉan broj jednakih delova, da crtaju paralelne prave, da nađu simetralu ugla, da nacrtaju neke od regularnih poligona i da konstruixu kvadrat koji ima povrxinu jednaku ili dvostruko ve u od povrxine datog poligona. Međutim, tri osnovna geometrijska problema ostala su nerexiva. Na neki naqin, trisekcija ugla je najmaǌe popularan od ova tri problema. U vreme starih Grka dupliraǌe kocke je bilo najpopularniji problem, dok je u novije vreme kvadratura kruga postala najpopularniji problem, naroqito među matematiqarima amaterima. Postoji nekoliko razloga zaxto se problem trisekcije ugla razlikuje od druga dva problema. 17. Lorenco M askeroni (1750-1800) je bio italijanski matematiqar koji je 1790 godine izraqunao Ojlerovu konstantu na 32 decimale. 38

Najpre, ne postoji jak istorijski razlog zaxto je problem uopxte poqeo da se prouqava. S obzirom da su znali kako da podele duж na proizvoǉan broj jednakih delova i kako da podele ugao na dva jednaka dela, starogrqki matematiqari su sigurno hteli da pronađu naqin da podele ugao na proizvoǉan broj jednakih delova. Kako bi to bilo mogu e, tada bi znali da konstruixu regularne poligone sa proizvoǉnim brojem stranica, xto je za tadaxǌe geoemetre sigurno bio interesantniji problem. Zatim, to je problem sasvim drugaqijeg tipa : ne moжe se kvadrirati niti jedan krug, niti se moжe duplirati bilo koja kocka. Međutim, neki uglovi se mogu podeliti na tri jednaka dela. Na primer, postoji relativno jednostavan metod za trisekciju pravog ugla (Slika 3.2.). Za dati pravi ugao CAB, konstruixe se kruжnica sa centrom u A koja duж AB seqe u taqki E. Iz taqke E kao centra, konstruixe se druga kruжnica sa istim polupreqnikom koja seqe prvu kruжnicu u taqki D. Tada je DAE jednakostraniqni trougao, tako da je ugao DAE = 60 i DAC = 30. Prema tome, ugao CAB je podeǉen na tri jednaka dela. Slika 3.2. 3.7 Rexeǌe pomo u xestara i leǌira sa oznaqenom duжinom Iako je texko dati taqan datum kada se problem trisekcije ugla prvi put pojavio, poznato je da se Hipokrat sa Hiosa (oko 470-410 p.n.e), koji je dao prvi znaqajniji doprinos rexavaǌu problema kvadrature kruga i dupliraǌa kocke, bavio takođe i problemom trisekcije ugla. On je dao priliqno jednostavan naqin trisekcije proizvoǉnog ugla (Slika 3.3.). 39

Slika 3.3. Za dati ugao CAB, konstruisati pravu iz C normalnu na pravu AB koja seqe AB u taqki D. Neka je F qetvrto teme pravougaonika CDAF. Produжiti pravu F C do taqke E, izabrane tako da prava AE seqe CD u taqki H i da je HE = 2AC tada je EAB jednak tre ini ugla CAB. Dokaz : Neka je G sredixte duжi HE, tako da je HG = GE = AC. Poxto je ECH pravi ugao, to taqka C pripada kruжnici nad HE kao preqnikom, pa je CG = HG = GE. Daǉe je EAB = CEA = ECG. Kako je AC = CG, vaжi da je CAG = CGA. Ali CGA = GEC + ECG = 2 EAB, pa je CGA = 2 CAB/3 i EAB = CAB/3. Jedan od razloga zaxto problem trisekcije ugla nije bio toliko popularan kod starogrqkih matematiqara leжi verovatno i u tome xto je gorǌu konstrukciju mogu e lako izvesti u praksi, bez obzira xto izbor taqke E nije mogu e izvesti samo pomo u neoznaqenog leǌira i xestara. Mehaniqki tip rexeǌa je slede i : na leǌiru postaviti dve taqke na rastojaǌu 2AC, zatim pomerati leǌir drжe i jednu oznaku na pravoj CD, a drugu na produжetku prave F C, sve dok leǌir ne prođe kroz taqku A. Dakle, u praksi je problem lako rexiv, iako se matematiqke taqke gledixta stari Grci nisu bili zadovoǉni mehaniqkim rexeǌima. Kao xto je Platon rekao : Zar u postupaǌu na mehaniqki naqin nismo izgubili najboǉe od geometrije... odnosno Duxa geomtrije je zanemarena i unixtena, jer se opet vra amo u svet ose aja, umesto da se uzdignemo i proжmemo veqnim i nematerijalnim slikama misli... 40

3.8 Pribliжne konstrukcije Arhimed je pronaxao sliqan metod koji je takođe koristio leǌir sa oznaqenom duжinom, dok je nexto kasnije Apolonije iz Perge (oko 262-190 p.n.e) pronaxao metod koji je za trisekciju ugla koristio osobine hiperbole. Tokom istorije je pronađeno jox dosta takvih metoda u [7] delo Roberta Jatesa, gde je opisano 15 mehaniqkih konstrukcija koje, pored xestara i neoznaqenog leǌira, koriste i druga pomo na sredstava. Samo pomo u xestara i leǌira je mogu e dati pribliжne konstrukcije. U [10] delo ima Loja nalazi se pregled tridesetak takvih konstrukcija. Ovde prenosimo jednu od ǌih, koju je prvi put opisao Mark Stark, (Slika 3.4.) a koja ima neverovatno veliku taqnost : 1. Neka je dat proizvoǉan oxtar ugao sa temenom u O; 2. Konstruisati kruжnicu sa centrom u O koja seqe krake u taqkama A i B; 3. Iz taqke A kao centra, konstruisati kruжnicu koja seqe duж AB u taqki D i prethodnu kruжnicu u taqki E, negde između rastojaǌa između A i B; 1 4 i 1 2 4. Ako duж DE prolazi kroz taqku O, onda je AOE = AOB/3; 5. Produжiti duж OA preko taqke O i oznaqiti taqku F na pravoj OA tako da je OF = 3OA; 6. Konstruisati kruжnicu sa centrom u O i polupreqnikom OF. Oznaqimo sa G onaj presek kruжnice i prabe kroz DE, koji je bliжi taqki F ; 7. Produжiti pravu kroz GO i na i presek E sa originalnom kruжniciom iz O. Tada je ugao AOE pribliжno jednak tre- ini ugla AOB. 41

Slika 3.4. Starkova konstrukcija Prava prednost ove konstrukcije je xto se moжe iterirati : ako se proces ponovi od koraka 3 koriste i AE kao polupreqnik, tada se u nekoliko koraka moжe dobiti ugao koji od tre ine ugla AOB odstupa za maǌe od 0.00000001. 3.9 Dokaz nemogu nosti rexeǌa Dokazi da se tri klasiqna starogrqka problema ne mogu rexiti samo pomo u xestara i leǌira su se pojavili tek u 19. veku. Gaus je tvrdio da se ovi problemi ne mogu rexiti, ali je prvi dokaz nemogu nosti konstrukcije dao tek Pjer Loren Vancel 18 1837 godine. U sluqaju dupliraǌa kocke, nemogu nost ko- 18. P ierre Laurent W antzel (1814-1848) bio je Francuski matematiqar. 42

nstrukcije proizilazi iz qiǌenice da se konsturkcije pomo u xestara i leǌira mogu predstaviti jednaqinama prvog i drugog reda, dok dupliraǌe kocke zahteva nalaжeǌe rexeǌa jednaqine tre eg stepena. Sliqna je situacija sa problemom trisekcije ugla, koju emo ilustrovati na primeru nemogu nosti trisekcije ugla od 60. Geometrijski problem trisekcije ugla se moжe povezati sa algebrom specifiqno, sa korenima polinoma tre eg stepena s obzirom da je cos 3θ = 4 cos 3 θ 3 cos θ. Neka je, kao i obiqno, Q poǉe racionalnih brojeva. Primetimo da su brojevi koji se mogu u jednom koraku konstruisati iz poǉa Q nule polinoma drugog stepena. Ugao π = 3 60 je konstruktibilan, ali ǌegova tre ina nije konstruktibilna. Primetimo da je cos 60 = 1. Ako bi se ovaj ugao 2 mogao podeliti na tri jednaka dela xestarom i leǌirom, tada bi minimalni polinom za cos 20 u Q bio drugog stepena. Neka je y = cos 20. Iz trigonometrijskog identiteta cos(3θ) = 4 cos 3 θ 3 cos θ imamo da je cos 60 = 1 2 = 4y3 3y. Mnoжeǌem sa 2 dobijamo 8y 3 6y 1 = 0, smenom x = 2y sledi x 3 3x 1 = 0. Neka je p(x) = x 3 3x 1. Minimalni polinom za x(samim tim i za cos 20 ) je faktor polinoma p(x). Ako bi polinom p(x) imao racionalan koren, on bi morao da bude jednak +1 ili 1, jer su najstariji i slobodan qlan jednaki ±1. Međutim ni jedan od ovih brojeva nije koren polinoma p(x) pa je on nerazloжiv u poǉu Q i minimalni polinom za cos 20 je stepena 3. Prema tome, ugao od 60 nije mogu e podeliti na tri jednaka dela xestarom i leǌirom. U opxtem sluxaju vaжi slede a Teorema : Ugao θ se moжe podeliti na tri jednaka dela xestarom i leǌirom ako i samo ako je polinom p(x) = 4x 3 3x cos θ razloжiv u ekstenziji poǉa Q(cos θ). 3.10 Morlijevi trouglovi Kako je nemogu e podeliti ugao na tri jednaka dela samo pomo u xestara i leǌira, veoma je vaжno spomenuti i jednu teoremu koja govori o odnosu između pravih koje dele uglove trouglova na tri jednaka dela. 43

Teorema, koju je 1899. godine otkrio ameriqki matematiqar Frenk Morli, tvrdi slede e : neka je dat proizvoǉni trougao i podelimo svaki od unutraxǌih uglova na tri jednaka dela. Nazovimo trimetralama prave koje ugao dele na tre ine. Tada taqke preseka parova trimetrala susednih uglova obrazuju jednakostraniqni trougao. Ovaj rezultat je tada bio iznenađuju i, da je uxao u matematiqki folklor pod imenom Morlijevo qudo. Slika 3.5. Morlijevi trouglovi 3.11 Nada naivnih nematematiqara Stari grqki matematiqari mnogo su se bavili konstruktivnim geometrijskim zadacima. Oni su mnoge probleme koje mi danas rexavamo algebarski rexavali qisto geometrijski, a pri konstrukciji su dozvoǉavali sebi samo upotrebu leǌira i xestara. Poreklo ovog uslova je u tome xto su oni smatrali pravu i krug za savrxene linije. Zato su ve u ǌihovo vreme bili uoqeni neki konstruktivni zadaci koji se na taj naqin ne mogu rexiti. Neki od tih zadataka su vremenom postali quveni, a jedan od ǌih je i problem trisekcije ugla. Međutim, ne samo mnogo quveni matematiqari, nego i mnogi slabi poznavaoci matematike pokuxavali da ga rexe, ovi posledǌi qesto i zato xto su za rexeǌe raspisivane velike nagrade. Sada se pak matematiqari ne bave vixe tim problemom. ǋime se bave jox neki put samo ǉudi koji ne znaju matematiku, pa im se qini da mogu na i rexeǌe i za ono xto je nerexivo. Izvesti, međutim, trisekciju ugla drugim instrumentima, koji crtaju druge sloжenije algebarske krive linije, mogu e je. Xestarom i leǌirom zadatak se, za proizvoǉni ugao, moжe rexiti pribliжno, i to po жeǉi velikom taqnox u. 44

3.12 Upornost naivnih nematematiqara Ovaj quveni problem, koji je od vajkada zanimao matematiqare, zanima e i ubudu e bar one koji ne znaju taqno u qemu se on sastoji, ali znaju toliko da je to nexto od qega su se lomila mnoga kopǉa, pa je ipak posao ostao nesvrxen. Prvi pojam o tom problemu bar prividno je pristupaqan svakome, pa i onome koji jedva ima prve, osnovne, geoemetrijske i raqunske pojmove. Pravi smisao problema jasan je samo onima koju su dovoǉno upu eni u pitaǌa matematiqke analize, a takvi se sigurno ne e vixe ǌime baviti. U istoriji francuske Akademije nauka od 1775. godine nalazi se zapisana odluka Akademije, da vixe ne e ulaziti u ispitivaǌu rexeǌa problema kvadratura kruga, trisekcije ugla i udvajaǌe kocke, koja bi joj bila podneta ma od qije strane. U objavi, Akademija odluqno poriqe da je u Akademiji rezervisana znatna suma novca za nagradu sre nom pronalazaqu rexeǌa od tih problema, stoji od reqi do reqi ovo : Stalno se pronose glasovi da je francuska vlada odredila veliku nagradu onome koji rexi jedno od gorǌih pitaǌa. Veruju i u te laжne vesti, masa ǉudi lixeǌa svakog matematiqkog znaǌa, odaje se takvim bespredmetnim poslovima, zapuxtaju i svoje prave poslove i svoje porodiqne briga. ǋihova upornost prelazi u ludilo, koje je u toliko teжe za leqeǌe xto su pronalazaqi, koji nemaju pojma o pravom smislu problema, i koju su nesposobni da razumeju ni o qemu se radi, ubeđeni da ih je Proviđeǌe naroqito odredilo da traжe i nađu rexeǌe problema i da oni za svoje uspehe u tome imaju da zahvale jednoj vrsti inspiracije koja ne nailazi na prave nauqnike. 3.13 Rexeǌe i razoqareǌe maturanta Milutina Milankovi a Prvo nauqno otkri e i veliko razoqareǌe, naxeg velikog nauqnika svetskog glasa Milutina Milankovi a bilo je upravo rexeǌe problema trisekcije ugla. Posle mature (juna 1896) a pre odlaska na studije građevinske tehnike, oktobra meseca u Beq, imao je dosta vremena. To vreme iskoristio je da poseti rodjake i prijateǉe porodice Milankovi u Beogradu. Tom prilikom nabavio je i svesku Glas Srpske kraǉevske akademije koja je te godine izaxla iz xtampe. U toj svesci Glasa naxao je opxirnu raspravu akademika ǈubomira Kleri a pod naslovom 45

Traktoriograf i konstruisaǌe Ludolfovog broja π i osnovice e prirodnih logaritama. U tom radu je bilo na korektan naqin pokazano da se klasiqni problem rektifikacija (odnosno kvadratura) kruga, istina samo upotrebom xestara i leǌira ne moжe rexiti, ali sa drugim instrumentima, ǌegovim traktoriografom koji crta traktrise, transcedentne krive, to moжe posti i. Milankovi kaжe u svojim Uspomenama : Ve sam taj naslov me жivo zainteresovao, jer sam, i sa uskim znaǌem sredǌoxkolske matematike, mogao da xvatim o qemu se u toj raspravi radi, tim pre xto me je moj profesor Vari ak liqno obavestio o neqem xto nije smatrao interesantnim za ostale moje drugove. To obavexeteǌe se odnosilo na tri quvena stara problema. Bilo je ve dokazano da se ni jedan od ovih problema ne moжe rexiti samo xestarom i leǌirom, tj. da se ne moжe nikako svesti samo na crtaǌe pravih linija i krugova. Kleri je pokazao da se za problem kvadratura kruga to moжe posti i crtaǌem traktrise. Na Milankovi a je to uqinilo veliki utisak ; qak i samo upoznavaǌe sa jednim novim instrumentom, jer on do tada osim xestara i leǌira druge nije poznavao. Stoga je sebi postavio zadatak da na neki naqin rexi trisekciju ugla koja je lakxi problem kako on kaжe. On je razmixǉaju i o tome u svojoj baxti na drvenoj klupi nacrtao rexeǌe traжenog problema. Međutim, nesre a je bila u tome xto je taj problem ve bio rexen na isti naqin, xto on, naravno nije znao. Milankovi je problem trisekcija ugla rexio u istom onom smislu u kojem je Kleri rexio problem kvadratura kruga pomo u krive koja se zove konhoida. 3.14 Nemogu nosti leǌira i xestara U elementarnoj geometriji ne postoji algoritam kojim bi se, u opxtem sluqaju, moglo odrediti koji se konstruktivni zadatak moжe rexiti pomo u leǌira i xestara, a koji ne. Odgovor na ovo pitaǌe dobija se primenom analitiqke geometrije uz teoriju algebarskih jednaqina. Analiziraju i elementarne konstrukcije, lako je uvideti da se svaki konstruktivni problem moжe svesti na određivaǌe traжenih taqaka, polaze i od datih taqaka u figuri. Svaka nova taqka u procesu konstrukcije dobija se u bilo u preseku dve prave, bilo u preseku prave i kruga, ili u preseku dva kruga. Prave u analitiqkoj geometriji predstavǉaju se linearnim jednaqinama oblika (1) ax + by + c = 0, a krugovi jednaqinama drugog stepena oblika (2) x 2 + y 2 + dx + ey + f = 0. 46

Prema tome, pronalaжeǌe koordinata novih taqaka svodi se na rexavaǌe sistema od dve jednaqine, od kojih je svaka bilo tipa (1), bilo tipa (2). Analitiqkim rexavaǌem problema trisekcije ugla dobija se (poznata) trigonometrijska jednaqina cos α = 4 cos 3 α 3 3 cos α 3, koja zamenom cos α = a i cos α = x prelazi u algebarsku jednaqinu 3 (3) 4x 3 3x a = 0. Moжe se pokazati da se ova kubna jednaqina (3) za proizvoǉnu vrednost a, tj. ugla α ne moжe razloжiti na sistem od dve jednaqine, tipa (1) i (2). To znaqi da nije mogu e pomo u xestara i leǌira podeliti ugao na tri jednaka dela. Kada je ugao α = 90 2 n gde je n = 1, 2, 3... jednaqina (3) se moжe razloжiti na jednaqine tipa (1) i (2), tj. trisekcija se moжe izvrxiti pomo u xestara i leǌira. Godine su prolazile a da niko nije uspeo da rexi ove na oko sasvim jednostavne probleme. Matematiqari su poqeli da pomixǉaju na to da se problem uopxte ne moжe rexiti pa su se pojavili prvi dokazi takve tvrdǌe. Trebalo je, međutim, da prođu 22 veka da bi 1837. godine u jednom francuskom matematiqkom qasopisu bio objavǉan prvi matematiqki rigurozan dokaz da se svaki ugao ne moжe podeliti na tri dela, tvorac ovog dokaza je Pjer Loren Vancel. Matematiqari su, naravno, opseжno proveravali Vancelov rad i pronaxli mu samo jednu zamerku : dokaz je, primetili su, veoma sloжen i texko ga je prevesti na obiqan jezik. Ovaj problem je verovatno najmaǌe quven od sva tri problema Antiqke Grqke. Problem trisekcije zadatog ugla je verovatno jedan sa najvixe pogrexnih dokaza xto je savrxeno normalno jer je dokazano da je takva podela nemogu a korix eǌem leǌira i xestara. 47

3.15 Rexeǌe trisekcije ugla korix eǌem kvadratrise Hipia iz Elise je bio među prvima koji je pokuxao da rexi ovaj problem. Kvadratrisa predstavǉa skup taqaka (BF IH) koji nastaje presekom dve linije koje se pomeraju, AE (polupreqnik kruga AB) i prave B C koja je paralelna pravoj BC i pomera se u pravcu AD. Slika 3.6. Kvadratrisa Neka je EAD taj koji treba da bude podeǉen na tri jednaka dela. Neka je F taqka preseka strane AE i kvadratrise i neka je JK = 1 F K. Konstruisati pravu parelenu AD koja prolazi kroz 3 K. Neka je presek ove prave i kvadratrise taqka I, tada je ugao GAD tre ina ugla EAD. 3.16 Mehaniqka rexeǌe trisekcije ugla Jedan od razloga zaxto je ovaj problem bio maǌe privlaqan antiqkim matematiqarima je taj xto je rexeǌe bilo jednostavno pronađeno korix eǌem mehaniqkim pomagala, pa samim tim nije zadovoǉavao znatiжeǉnost koja proizilazi iz nemogu nosti rexeǌa koja postoji kod prethodna dva problema. Arhimedovo rexeǌe moжe se smatrati jednim od prvih mehaniqkih rexeǌe problema. 48

Slika 3.7. Arhimedov dokaz Neka je dat ugao AOB, ako se produжi prava OA u oba pravca i konstruixe polukrug sa centrom u O i polupreqnikom OA tako da je C taqka preseka polukruga i produжene prave OA. Leǌir se obeleжi sa dvema taqkama E, D qiji je razmak jednak duжi AO, tj. polupreqniku. Leǌir se pomera tako da taqka E leжi na pravoj OA, taqka D je na polukrugu i leǌir prolazi kroz taqku B. Tada je DE = OA = OB = OD. Kako su OBD i DOE jednakokraki, tada su DEO = DOE = α i OBD = ODB = 2α. Slika 3.8. Verzija Arhimedovog dokaza Ovo se lako dokazuje korix eǌem teoreme o spoǉaxǌim uglovima u trouglu gde znamo da je spoǉaxǌi ugao u trouglu jednak zbiru dva nesusedna ugla. Tada je DEO + DOE = ODB i tada je OBD = ODB = 2α 49