diplomski završno v2

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ema Šimo ERGODSKI TEOREM I STACIONARNI PROCESI Diplomski rad Voditelj rada: Doc.dr.sc. Vjekoslav Kovač Zagreb, ruja, 206

Ovaj diplomski rad obraje je daa u sastavu: pred ispitim povjerestvom., predsjedik 2., čla 3., čla Povjerestvo je rad ocijeilo ocjeom. Potpisi člaova povjerestva:. 2. 3.

Sadržaj Sadržaj iii Uvod 2 Osovi pojmovi i potrebi rezultati 3 2 Preslikavaja koja čuvaju mjeru i pojam ergodičosti 6 2. Stacioari procesi............................. 6 2.2 Trasformacije koje čuvaju mjeru...................... 2.3 Ivarijati skupovi i ergodičost...................... 6 2.4 Ivarijate slučaje varijable....................... 20 3 Ergodski teorem 27 3. Ergodski teorem............................... 27 3.2 Korolari ergodskog teorema......................... 32 3.3 Slučaji procesi i ergodski teorem..................... 37 4 Subaditivi ergodski teorem 45 5 Primjee ergodskih teorema 55 Bibliografija 57 iii

Uvod U teoriji vjerojatosti, klasiča ergodski teorem se može shvatiti kao poopćeje jakog zakoa velikih brojeva: prosjek gleda kroz duži vremeski period (vremeski prosjek) je jedak očekivaoj vrijedosti (prostori prosjek), uz odredee pretpostavke a izove slučajih varijabli koje promatramo. U ovom diplomskom radu ćemo dati defiicije pojma stacioarosti i ergodičosti iza slučajih varijabli te ćemo dokazati klasiča Birkhoff- Hičiov ergodski teorem te ergodski teorem za stacioare procese. Osim toga, uvest ćemo pojam subaditivosti te dokazati subaditivi ergodski teorem. Rad završavamo sa primjeama ergodskih teorema. Rad započijemo Poglavljem koje sadrži kratki pregled pojmova i rezultata iz teorije mjere i teorije vjerojatosti koji su am potrebi u daljjim razmatrajima. Uvodimo pojam slučajog procesa te produkta prebrojivo mogo vjerojatosih prostora, koji proizlazi iz teorema Ioescu Tulcea. Nadalje, avodimo teorem iz kojeg slijedi Kolmogorovljeva kostrukcija koja am omogućava rad sa koordiatim reprezetativim slučajim procesom te dajemo iskaze klasičih Kolmogorovljevih rezultata: Kolmogorovljev zako 0- te Kolmogorovljev jaki zako velikih brojeva. Nadalje, u Poglavlju 2 defiiramo pojam stacioarosti slučajog procesa i dajemo primjere stacioarih procesa, uključujući Markovljeve lace, te rezultate koji am daju dovolje uvjete za stacioarost. Takoder pokazujemo da trasformacija stacioarog procesa izmjerivom fukcijom čuva stacioarost. Uvodejem pojma trasformacije koja čuva mjeru dolazimo do defiicije pomaka ar te dokaza tvrdje da pomak čuva vjerojatosu mjeru koja je pridružea koordiatoj reprezetaciji stacioarog procesa. Pojam ivarijatog skupa u odosu a trasformaciju koja čuva mjeru as vodi prema dokazu tvrdje da je familija svih ivarijatih skupovaσ-algebra, što je ključa tvrdja prije defiicije ergodičke trasformacije koja čuva mjeru. Defiirat ćemo i gotovo siguro ivarijata skup i pokazati da uvijek postoji ivarijata skup koji mu je gotovo siguro jedak. Nadalje, uvodimo pojam ivarijate slučaje varijable u odosu a trasformaciju koja čuva mjeru i dajemo uže i dovolje uvjete za ivarijatost slučaje varijable. Dokazujemo i vezu izmedu ergodičosti trasformacije koja čuva mjeru i ivarijatih slučajih varijabli. Pomoću Fourierovih redova ćemo pokazati da je rotacija kružice ergodska trasformacija, ali samo za iracioale kuteve. Poglavlje završavamo tehičkim rezultatom

SADRŽAJ 2 o tome kako trasformacije koje čuvaju mjeru e utječu a očekivaje slučaje varijable, tj. očekivaje slučaje varijable je jedako očekivaju slučaje varijable kompoirae sa trasformacijom koja čuva mjeru. U Poglavlju 3, prije dokaza klasičog ergodskog teorema, dokazujemo maksimala ergodski teorem. Iz jega, za trasformaciju T koja čuva mjeru a vjerojatosom prostoru (Ω,F,P) i slučaju varijablu X a istom vjerojatosom prostoru koja je apsoluto i- tegrabila, pokazujemo da su vremeski prosjek lim k=0 X(T k ) i prostori prosjek, što je uvjeto očekivaje od X u odosu aσ-algebru svih ivarijatih skupova u odosu a T, jedaki gotovo siguro. Taj rezultat se aziva Birkhoff-Hičiov ergodski teorem i ključa je dio ovog diplomskog rada. Pošto se radi o važom teoremu, iz jega izlaze razi korolari i tvrdje, a primjer, ako je T ergodička trasformacija, uvjeto očekivaje iz ergodskog teorema postaje očekivaje slučaje varijable X. Zaimljiv je i korolar za eegativu slučaju varijablu X koja ema koačo očekivaje i kako tada vremeski prosjek ije koača. Uz to, pokazat ćemo da kovergecija iz ergodskog teorema vrijedi i u sredjem reda. Pošto smo već prije uveli pojmove koordiatog reprezetativog procesa i trasformacije pomaka, defiirat ćemo ivarijata dogadaj i ivarijatu slučaju varijablu a zadaom vjerojatosom prostoru. Iz ergodskog teorema će tada slijediti teorem o kovergeciji gotovo siguro iza ( k= X k, N), za dai stacioara proces (X, N) za koji vrijedi E X <+. Nadalje, defiiramo ergodski stacioara proces te korolar prethodog teorema za ergodski proces. Dokazujemo i par tvrdji vezae uz ergodičost stacioarog procesa: trasformacija izmjerivom fukcijom čuva svojstvo ergodičosti, iz ezavisih i jedako distribuiraih slučajih varijabli je ergodski proces,... Posljedica tih tvrdji i korolara o kovergeciji prosjeka ergodskog procesa je jaki zako velikih brojeva. Poglavlje 4 sadrži Liggettovu verziju Kigmaova dokaza subaditivog ergodskog teorema u četiri koraka te dokaz da klasiča ergodski teorem slijedi iz tog mogo općeitijeg rezultata. Rad završavamo Poglavljem 5 koje sadrži primjere korišteja ergodskih teorema. Weylov ekvidistribucijski teorem ećemo dokazati, ali ćemo pokazati kako se o koristi u odredivaju distribucije prvih zameaka potecija broja 2 (Befordov zako). Promatramo i jedostava primjer filtriraja: a cjelobrojoj mreži uz 2 gledamo brziu prijeosu poruke po bridovima do zadae točke.

Poglavlje Osovi pojmovi i potrebi rezultati Defiicija.0.. Neka je (Ω,F) izmjeriv prostor te eka je X slučaja varijabla a (Ω,F), za svako N. FamilijaX=(X, N) aziva se slučaji proces (sa diskretim vremeom). Neka su dai izmjerivi prostori (Ω j,f j ), j N, te eka jeω = j=ω j = {ω = (ω,ω 2,...) : ω j Ω j, j =, 2,...}. Za proizvolja N, izmjeriv pravokutik u j=ω j je skup A A, gdje je A j F j, za svako j =, 2,...,. Skupove A j, j=, 2,...,, azivamo straice pravokutika A A. Najmajaσ-algebra defiiraa familijom svih izmjerivih pravokutika aziva se produktσ-algebrif,f 2,...,F i ozačava se sa F j =σ{a A : A j F j, j=, 2,...,}. j= Defiicija.0.2. Neka je N proizvolja te eka je da proizvolja izmjeriv pravokutik B j=f j. Izmjeriv cilidar sa bazom B je skup B Ωdefiira sa: B ={ω Ω:(ω,...,ω ) B }. Familiju svih izmjerivih cilidara uωozačavat ćemo saf 0 te je oa algebra skupova a Ω. Kažemo da je izmjeriv cilidar izmjeriv pravokutik ako mu je baza oblika B = j= B j j=f j, gdje je A j F j, j=, 2,...,. Familija svih koačih uija medusobo disjuktih izmjerivih pravokutika uωje algebra skupova aω. Kažemo da je izmjeriv pravokutik Borelov pravokutik ako su mu sve straice baze Borelovi skupovi ur. Defiiramo j=f j =σ(f 0 ) i j=f j azivamo produktσ-algebrif j, j N. Produktσ-algebriF j, j N, je jedakσ-algebri geeriraoj svim izmjerivim pravokuticima. Neka jer = NR, skup svih realih fukcija defiiraih an. Tada jeb produktaσ-algebra geeriraa ar u smislu prijašjih defiicija, tj.b jeσ-algebra geeri- 3

POGLAVLJE. OSNOVNI POJMOVI I POTREBNI REZULTATI 4 raa familijom svih Borelovih cilidara ur. KolekcijuB azivamoσ-algebra Borelovih skupova ur. Zbog prijašjih tvrdji slijedi da jeb jedakaσ-algebri geeriraoj familijom svih Borelovih pravokutika ur. Teorem.0.3. (Ioescu Tulcea) Neka su (Ω j,f j ), j N, izmjerivi prostori i eka suω= j=ω j if= j=f j. Neka je zadaa vjerojatostp af i eka je za svako j N i svako (ω,...,ω j ) Ω Ω j zadaa vjerojatostp j+ (ω,...,ω j ; ) af j+. Pretpostavimo da je za svako j N i za svako fikso C F j+ P j+ (ω,...,ω j ; C) ( j k= F k,b)-izmjerivo preslikavaje. Za proizvoljo N i proizvolja -dimezioala izmjeriv cilidar B j=f j defiiramo: P (B )= P (dω ) P 2 (ω ; dω 2 ) P (ω,...,ω 2 ; dω ) Ω Ω 2 Ω χ B (ω,...,ω )P (ω,...,ω ; dω ). Ω Tako defiiraa fukcijap je vjerojatost a j=f j. Tada postoji jedistvea vjerojatostpaf takva da se za svako N vjerojatostppodudara sa vjerojatošćup a -dimezioalim izmjerivim cilidrima, tj. vrijedi: P(ω Ω:(ω,...,ω ) B )=P (B ), za sve Nisve B Dokaz se može proaći u [6]. F j. Korolar.0.4. Neka su (Ω j,f j,p j ), j N, vjerojatosi prostori i eka suω= F= j=f j. Tada postoji jedistvea vjerojatostpaf takva da vrijedi: P(ω Ω:ω A,ω 2 A 2,...,ω A )= P j (A j ), j= j= j=ω j i za sve N i sve A j F j. Vjerojatosu mjerupazivamo produkt vjerojatostip j, j N, i ozačavamo sap= j=p j. Vjerojatosi prostor (Ω,F,P) azivamo produkt vjerojatosih prostora (Ω j,f j,p j ), j N. Zadja dva rezultata povlače Kolmogorovljevu kostrukciju koja am omogućava da svaki slučaja proces možemo zamjeiti sa jegovim koordiatim reprezetativim procesom koji ima jedaku distribuciju kao polazi proces. Teorem.0.5. Neka je (F, N) proizvolja iz vjerojatosih fukcija distribucije a R. Tada postoji vjerojatosi prostor (Ω,F,P) te iz (X, N) ezavisih slučajih varijabli aωtakvih da vrijedi F X = F, za svako N.

POGLAVLJE. OSNOVNI POJMOVI I POTREBNI REZULTATI 5 Teorem.0.6. (Borel-Catellijeva lema) Neka je (A, N) iz dogadaja a vjerojatosom prostoru (Ω,F,P). Ako vrijedi da je =P(A )<+, tada jep(lim sup A )=0. Dokaz se može proaći u [6]. Neka je (X, N) iz slučajih varijabli a (Ω,F,P). Za N defiiramo σ(x, X +,...)=σ X k (B) ajmajuσ-algebru aωuodosu a koju su sve slučaje varijable X, X +,... izmjerive. Tada je F = σ(x, X +,...) = repaσ-algebra iza (X, N). Repi dogadaji su elemetiσ-algebref. Fukcija f :Ω R je repa fukcija ako je (F,B)-izmjeriva. Teorem.0.7. (Kolmogorovljev zako 0-) Neka je (X, N) iz ezavisih slučajih varijabli. Tada je vjerojatost svakog repog dogadaja 0 ili, a svaka repa fukcija je gotovo siguro kostata. Dokaz se može proaći u [6]. Propozicija.0.8. Očekivaje slučaje varijable X postoji (koačo je) ako i samo ako je =P( X )<+. Teorem.0.9. (Kolmogorovljev jaki zako velikih brojeva) Neka je (X, N) iz ezavisih jedako distribuiraih slučajih varijabli. Tada iz ( j= X j, N) kovergira gotovo siguro prema koačom limesu ako i samo ako postoji EX (koačo je) i u tom slučaju vrijedi: k= lim X j = EX j= gotovo siguro. Dokaz se može proaći u [6].

Poglavlje 2 Preslikavaja koja čuvaju mjeru i pojam ergodičosti 2. Stacioari procesi Defiicija 2... Neka je (X, N) slučaja proces a vjerojatosom prostoru (Ω,F,P). Kažemo da je to stacioara proces ako za svako k 0vrijedi: (X k+, X k+2,...) D = (X, X 2,...), to jest: P((X, X 2,...) B)=P((X k+, X k+2,...) B), za svako B B. Pošto je distribucija procesa odredea fukcijama distribucije svih koačo-dimezioalih slučajih vektora, defiicija stacioarosti je ekvivaleta: P(X x,..., X x )=P(X k+ x,..., X k+ x ) i to za sve x,..., x R i za svaki k 0 cijeli broj. Posebo slijedi da su sve jedodimezioale fukcije distribucije slučajih vektora jedake: P(X x)=p(x k x), za svako k=, 2,... i za svaki x R. Primjer 2..2. Svaki iz (X, N) ezavisih i jedako distribuiraih slučajih varijabli je stacioara proces. Primjer 2..3. Slučaja proces (X, N 0 ) je Markovljev laac a vjerojatosom prostoru (Ω,F,P) ako vrijedi: P(X + A X, X,..., X 0 )=P(X + A X ) 6

POGLAVLJE 2. PRESLIKAVANJA KOJA ČUVAJU MJERU I POJAM ERGODIČNOSTI 7 za svako 0isvako A B. Neka su vjerojatosti prijelaza dae sa: p(x, A)=P(X + A X = x), za svaki N, za svaki A B i za svaki x R i stacioarom distribucijomπ: π(a)= π(dx)p(x, A). Ovo je vremeski homoge Markovljev laac. Ako X 0 ima distribucijuπ, tada je X 0, X,... stacioara iz. Naime, eka je k N proizvolja i eka je B B proizvolja - dimezioala izmjeriv pravokutik: B ={(x, N) R : x B,..., x B }, za eke B,..., B B. Tada iz Markovljevog svojstva, defiicije uvjete vjerojatosti i defiicije -dimezioalog izmjerivog pravokutika slijedi: P((X 0, X,...) B )=P(X 0 B,..., X B ) =P(X B X 2 B,..., X 0 B )P(X 2 B,..., X 0 B ) =P(X B X 2 B )P(X 2 B X 3 B 2,..., X 0 B ) P(X 3 B 2,..., X 0 B ) Iz defiicije vjerojatosti prijelaza slijedi: = =P(X B X 2 B ) P(X B 2 X 0 B )P(X 0 B ). (2.) P(X j B j+ X j B j )=P(X j+k B j+ X j+k B j ), za svako j=,...,. Iz defiicije stacioare distribucije imamo: Tada iz formule (2.) slijedi: P(X 0 B)=P(X k B), za svako k 0 i za svako B B. P((X 0, X,...) B )=P(X +k B X 2+k B ) P(X k+ B 2 X k B )P(X k B ). Vraćajem uatrag kao u (2.) dobivamo: P((X 0, X,...) B )=P((X k, X k+,...) B ).

POGLAVLJE 2. PRESLIKAVANJA KOJA ČUVAJU MJERU I POJAM ERGODIČNOSTI 8 Familija izmjerivih pravokutika čiiπ-sistem koji geerira produktuσ-algebrub. Kako je familija izmjerivih skupova a kojoj se podudaraju vjerojatosti uvijek Dykiova klasa, familija koja sadrži skupova za koje vrijedi jedakost vjerojatosti sadrži i Dykiovu klasu geerirau sa gore spomeutim π-sistemom. Po Dykiovom teoremu slijedi da je Dykiova klasa geeriraa π-sistemom ekvivaleta σ-algebri geeriraoj tim π-sistemom pa slijedi tvrdja o jedakosti za sve elemeteσ-algebreb. Time smo pokazali da je svaki vremeski homoge Markovljev laac stacioara proces. Sljedeći primjer je primjer Markovljevog laca koji ije stacioara. Primjer 2..4. Neka je (X, N) Markovljev laac sa skupom staja S = {0, } te matricom prijelaza: [ ] 0 P=. 0 Neka je početa distribucija ovog laca daa sa: π=[ 0]. Stoga laac poprima vrijedosti (X 0, X, X 2,...)=(0,, 0,...) sa vjerojatošću te vrijedosti (X 0, X, X 2,...)=(, 0,,...) sa vjerojatošću 0. To očito ije stacioara proces, već sa pomakom za jeda e dobivamo isto distribuira proces kao početi. Primjer 2..5. (Rotacija kruga) Neka jeω=[0,,f=b([0, ) ip=λ Lebesguova mjera a [0,. Neka jeθ 0, i za 0 eka je: X (ω)=(ω+θ) mod x mod = x x. Neka je ako je (x+θ) mod A, p(x, A)= 0 iače. Tada je to poseba slučaj Primjera 2..3. Propozicija 2..6. Proces X, X 2,... je stacioara ako su procesi X, X 2,... i X 2, X 3,... jedako distribuirai.

POGLAVLJE 2. PRESLIKAVANJA KOJA ČUVAJU MJERU I POJAM ERGODIČNOSTI 9 Dokaz. Pretpostavimo da (X, X 2,...) D = (X 2, X 3,...), to jest da vrijedi: P((X, X 2,...) B)=P((X 2, X 3,...) B), za sve B B. Defiiramo X k = X k+, k=, 2,... Očito slijedi: P((X, X 2,...) B)=P(X, X 2,...) B), za sve B B (2.2) tj. X, X 2,... ima jedaku distribuciju kao X, X 2,... Iz pretpostavke tada slijedi da X 2, X 3,... ima jedaku distribuciju kao X, X 2,... pa iz defiicije od (X, N) i (2.2) slijedi da X, X 2,... i X 3, X 4,... imaju jedaku distribuciju. Dokaz za proizvolja N slijedi idukcijom. Pretpostavimo da za eki N vrijedi: (X +, X +2,...) D = (X, X 2,...). Tada defiiramo da je X k = X +k, k =, 2,... Po pretpostavci idukcije X, X 2,... i X, X 2,... su jedako distribuirai, a po pretpostavci propozicije slijedi da su X, X 2,... i X 2, X 3,... jedako distribuirai. Stoga slijedi: (X +2, X +3,...) D = (X, X 2,...) pa tvrdja slijedi za svaki N, to jest (X, N) je stacioara proces. Poekad promatramo procese..., X 2, X, X 0, X, X 2,..., to jest (X, Z). To je proces koji ima beskoačo mogo opažaja u beskoačoj prošlosti i beskoačoj budućosti. Takav proces je stacioara ako: P(X x,..., X x )=P(X k+ x,..., X k+ x ) i to za sve x,..., x Riza sve k Z. Propozicija 2..7. Za zadai jedostrai stacioari proces X, X 2,... postoji dvostrai stacioari proces..., ˆX, Xˆ 0, Xˆ,... takav da ˆ X, ˆ X 2,... i X, X 2,... imaju istu distribuciju. Dokaz. Po Kolmogorovljevoj kostrukciji, da bismo defiirali tražei proces, dovoljo je zadati suglasu familiju koačo-dimezioalih fukcija distribucije koje odgovaraju procesu..., ˆX, Xˆ 0, Xˆ,... Defiiramo: P( ˆX m x m,..., ˆX x )=P(X x m,..., X +m+ x ),

POGLAVLJE 2. PRESLIKAVANJA KOJA ČUVAJU MJERU I POJAM ERGODIČNOSTI 0 za x m,..., x R i za sve m, N. Po Kolmogorovljevoj kostrukciji slijedi da postoji slučaji proces čije su ovo koačo-dimezioale fukcije distribucije te je ovo očito stacioara proces pošto je X, X 2,... stacioara proces po pretpostavci. Po tome kako smo defiirali taj proces slijedi da su Xˆ, Xˆ 2,... i X, X 2,... jedako distribuirai. Propozicija 2..8. Neka je (X, N) stacioara slučaji proces i eka jeϕ :R R izmjeriva fukcija u paruσ-algebri (B,B). Defiiramo proces Y, Y 2,... sa Y k =ϕ(x k, X k+,...), za sve k=, 2,... Tada je Y, Y 2,... takoder stacioara slučaji proces. Dokaz. Za svaki k Ndefiiramoϕ k :R R sa ϕ k (x, x 2,...)=ϕ(x k, x k+,...). Stoga su fukcije Y k :R R iz iskaza propozicije dae sa: Y k =ϕ k (X, X 2,...) za svaki k N. To su očito slučaje varijable jer vrijedi: Y k (B)=[ϕ k (X, X 2,...)] (B) = (X, X 2,...) (ϕ k (B)) } {{ } B, za sve B B pošto je po pretpostavciϕb -izmjeriva fukcija. Za skup A={=(x, N) R : (ϕ (),ϕ 2 (),...) B)}, B B vrijedi A B jer suϕ (),ϕ 2 (),... slučaje varijable. Iz defiicije skupa A i slučajih varijabli Y, Y 2,... slijedi { R : (Y (), Y 2 (),...) B}={ R : (X (), X 2 (),...) A} (2.3) { R : (Y 2 (), Y 3 (),...) B}={ R : (X 2 (), X 3 (),...) A} (2.4) i to za sve B B. Pošto je (X, N) stacioara proces slijedi: P((X, X 2,...) A)=P((X 2, X 3,...) A), za sve A B pa pošto za svaki B B možemo kostruirati skup A B, iz (2.3) i (2.4) slijedi: P((Y, Y 2,...) B)=P((Y 2, Y 3,...) B), za sve B B pa stoga iz Propozicije 2..6 slijedi da je (Y, N) stacioara proces.

POGLAVLJE 2. PRESLIKAVANJA KOJA ČUVAJU MJERU I POJAM ERGODIČNOSTI Korolar 2..9. Neka je (X, N) iz ezavisih i jedako distribuiraih slučajih varijabli i eka jeϕ :R R izmjeriva fukcija u paruσ-algebri (B,B). Defiiramo proces Y, Y 2,... sa: Y k =ϕ(x k, X k+,...), za sve k=, 2,... Tada je Y, Y 2,... stacioara slučaji proces. Dokaz. Svaki iz ezavisih i jedako distribuiraih slučajih varijabli je stacioara proces pa tvrdja slijedi iz Propozicije 2..8 Primjer 2..0. (Beroullijev pomak) Neka jeω=[0,,f=b([0, ) ip=λ Lebesguova mjera a [0,. Neka je Y 0 (ω)=ω i Y (ω)=(2y (ω)) mod, za sve. Iz Propozicije 2..8 slijedi da je to stacioara proces. Naime, eka je X 0, X,... iz ezavisih i jedako distribuiraih slučajih varijabli takav da: P(X i = 0)=P(X i = )=, za sve i=0,, 2,... 2 Neka je g :R R izmjeriva fukcija defiiraa sa: g(x)= x i+ 2 (i+), i=0 pri čemu je x= i=0 x i 2 (i+) biari zapis broja x [0,. Tada je Y k = g(x k, X k+,...), k N 0, stacioara proces po Propoziciji 2..8. 2.2 Trasformacije koje čuvaju mjeru Pretpostavimo da a vjerojatosom prostoru (Ω, F, P) imamo defiirau trasformaciju T :Ω Ω. Kažemo da je T izmjeriva ako vrijedi T (A)={ω Ω:T(ω) A} F, za sve A F. Defiicija 2.2.. Kažemo da izmjeriva trasformacija T : Ω Ω čuva mjeru ako vrijedi P(T (A))=P(A), za sve A F.

POGLAVLJE 2. PRESLIKAVANJA KOJA ČUVAJU MJERU I POJAM ERGODIČNOSTI 2 Za izmjerivost trasformacije T je dovoljo provjeriti T (C) F, za sve C C, gdje jef =σ(c) te jecπ-sistem skupova aω. Stoga je, zbog Dykiovog teorema, dovoljo provjeriti: P(T (C))=P(C), za sve C C kako bismo pokazali da je T trasformacija koja čuva mjeru. Primjer 2.2.2. (Veriži razlomci) Neka je T(x)= x x, x 0, te A(x)= x. Sa a = A(T (x)), =0,, 2,... defiiramo veriži razlomak realog broja x: x=a 0 + a + a 2 + a 3 + Tada T čuva mjeru µ : B( 0, ) [0, + defiirau sa: µ(a)= dx log 2 + x Dovoljo je provjeriti da jeµ(t (I))=µ(I), za I iterval u 0,. Neka je I = a, b proizvolja poditerval od 0,. Tada je: T (I)=T ( a, b ) ={y 0, : a< y < b} y + = b+, a+ =} {{ } medusobo disjukti A Stoga slijedi: + µ(t ( a, b ))=µ b+, a+ = ( ) = µ b+, a+ = (σ aditivost)

POGLAVLJE 2. PRESLIKAVANJA KOJA ČUVAJU MJERU I POJAM ERGODIČNOSTI 3 = a+ dx log 2 + x = log 2 = log 2 = b+ [log = ( + a+ ) ( log + ) ] b+ [log(a++) log(a+) log(b++)+log(b+)] = = log 2 lim N N [log(a++) log(a+) log(b++)+log(b+)] = = a++ N [log(b+) log(a+)+ lim log ] log 2 N } {{ b++ N} (eprekidost logaritamske fukcije) = log 2 [log(b+) log(a+)] = log 2 b a dx + x =µ( a, b ) a++n log lim N b++n =log =0 pa smo pokazali da je T trasformacija koja čuva mjeruµ. Pomoću trasformacija koje čuvaju mjeru možemo geerirati veliki broj slučajih procesa. Primjer 2.2.3. Neka je X slučaja varijabla a vjerojatosom prostoru (Ω, F, P). Neka je T :Ω Ω trasformacija koja čuva mjeru. Iz defiicije slijedi da je to izmjeriva fukcija. Defiiramo proces: X (ω)=x(ω), X 2 (ω)=x(t(ω)), X 3 (ω)=x(t 2 (ω)),. X (ω)=x(t (ω))=x (T(ω)), N. Ako je X (ω) izmjerea vrijedost u treutku, tada je X (ω) mjereje te iste vrijedosti, ali ako koraka tj. ω T (ω) je iteracija ako koraka. Ituitivo je jaso da distribucija iza X, X 2,... e ovisi o treutku u kojem ga krećemo promatrati jer se X (ω) dobiva iz X (ω) kao X (T (ω)), uz pretpostavku da defiiramo da je T 0 (ω)=ω idetiteta.

POGLAVLJE 2. PRESLIKAVANJA KOJA ČUVAJU MJERU I POJAM ERGODIČNOSTI 4 Propozicija 2.2.4. Neka je X slučaja varijabla a vjerojatosom prostoru (Ω, F, P) i eka je T :Ω Ωtrasformacija koja čuva mjeru. Tada je iz stacioara iz slučajih varijabli. X (ω)=x(t (ω)), ω Ω, =, 2... (2.5) Dokaz. Prvo pokažimo da je X slučaja varijabla, za sve N. Za proizvolja Borelov skup B B vrijedi: X (B)={ω Ω:X (ω ) B}, gdje jeω = T (ω), za sveω Ω ={ω Ω:X(T (ω)) B}, po (2.5) = (X(T )) (B) = (T ) (X (B)) F, } {{ } F gdje zadja jedakost slijedi iz čijeice da je X slučaja varijabla a vjerojatosom prostoru (Ω,F,P) te čijeice da je T izmjerivo preslikavaje, za sve N. Naime, po pretpostavci je T trasformacija koja čuva mjeru pa je to izmjerivo preslikavaje, a kompozicija izmjerivih preslikavaja je izmjerivo preslikavaje. Pokažimo stacioarost iza X, X 2,... Za svaki B B defiiramo skup: A={ω Ω:(X (ω), X 2 (ω),...) B}. Pošto je (X, N) slučaja proces slijedi da je o (F,B )-izmjeriv pa je stoga A F. Iz defiicije (2.5) slijedi A={ω Ω:(X(ω), X(T(ω)), X(T 2 (ω)),...) B}, za sve B B. Aalogo defiiramo skup: te vrijedi A B i A ={ω Ω:(X 2 (ω), X 3 (ω),...) B}, za sve B B A ={ω Ω:(X(T(ω)), X(T 2 (ω)),...) B}, za sve B B. Iz defiicije skupova A i A te svojstava praslike slijedi: T (A))=T ((X, X(T), X(T 2 ),...) (B)) = (X(T), X(T 2 ), X(T 3 ),...) (B) = A, za sve B B.

POGLAVLJE 2. PRESLIKAVANJA KOJA ČUVAJU MJERU I POJAM ERGODIČNOSTI 5 Pošto je T trasformacija koja čuva mjeru vrijedip(t (A))=P(A) pa stoga iz prethode jedakosti slijedi: P((X 2, X 3,...) B)=P((X } {{ }, X 2,...) B), za sve B B } {{ }. A =T (A) A Slijedi da su X, X 2,... i X 2, X 3,... jedako distribuirai pa po Propoziciji 2..6 slijedi da je X, X 2,... stacioara iz. U smislu distribucije, svaki stacioara slučaja proces možemo prikazati pomoću eke trasformacije koja čuva mjeru. Naime, ako je (X, N) proizvolja stacioara slučaji proces, pomoću Kolmogorovljeve kostrukcije dolazimo do vjerojatosog prostora (R,B, ˆP) te koordiatog reprezetativog procesa ( ˆX, N) a tom vjerojatosom prostoru za koji vrijedi: ˆX ()= x, =(x, N) R. Taj proces ima jedake koačo-dimezioale distribucije kao početi proces. Defiicija 2.2.5. Na izmjerivom prostoru (R,B ) defiiramo pomak S :R R sa Iz defiicije slijedi: S (x, x 2,...)=(x 2, x 3,...), (x, N) R. ˆX ()= ˆX (S ()), =(x, N) R, za sve N. Propozicija 2.2.6. Trasformacija pomaka S :R R S (x, x 2,...)=(x 2, x 3,...), (x, N) R je izmjeriva fukcija u odosu aσ-algrebub i ako je X, X 2,... stacioara proces, tada S čuva vjerojatosu mjeru ˆP pridružeu koordiatom reprezetativom procesu. Dokaz. Vrijedi: B =σ(f 0 ), gdje jef 0 algebra izmjerivih Borelovih pravokutika ur. Neka je N proizvolja te eka je C F 0 proizvolja -dimezioala Borelov pravokutik tj. C={(x, N) R : x B,..., x B },

POGLAVLJE 2. PRESLIKAVANJA KOJA ČUVAJU MJERU I POJAM ERGODIČNOSTI 6 gdje su B,..., B B. Slijedi S (C)={(x, N) R : S (x, x 2,...) C} ={(x, N) R : (x 2, x 3,...) C} (defiicija od S ) ={(x, N) R : x 2 B, x 3 B 2,..., x + B } (defiicija od C) ={(x, N) R : x R, x 2 B, x 3 B 2,..., x + B } } {{ } izmjerivi pravokutik F 0 σ(f 0 )=B pa je SB -izmjeriva fukcija. Pretpostavimo da je X, X 2,... stacioara proces. Neka je N proizvolja te eka je C F 0 proizvolja -dimezioala Borelov pravokutik, to jest Tada slijedi: C={(x, N) R : x B,..., x B }. ˆP(S (C))= ˆP({(x, N) R : S (x, x 2,...) C}) = ˆP({(x, N) R : (x 2, x 3,...) C}) = ˆP({(x, N) R : x 2 B,..., x + B }) = ˆP( ˆX 2 B,..., ˆX + B ) (defiicija koordiatog procesa) = ˆP( ˆX B,..., ˆX B ) (stacioarost koordiatog procesa) = ˆP({(x, N) R : x B,..., x B }) = ˆP({(x, N) R : (x, x 2,...) C}) = ˆP(C). Tada iz koače aditivosti vjerojatosti ˆP slijedi ekvivaleta tvrdja za algebru koačih uija medusobo disjuktih izmjerivih Borelovih pravokutika. Iz Dykiovog teorema slijedi jedakost aσ-algebri geeriraoj tom algebrom, a to je upravob. Slijedi da S čuva mjeru ˆP. 2.3 Ivarijati skupovi i ergodičost Neka je T trasformacija koja čuva mjeru a vjerojatosom prostoru (Ω,F,P). Defiicija 2.3.. Skup A F je ivarijata u odosu a trasformaciju T ako vrijedi T (A)=A. Ako je A ivarijata skup, tada T preslikava skup A u jega samog. Idukcijom slijedi da ako je skup A ivarijata u odosu a trasformaciju T, tada je taj skup ivarijata i u odosu a trasformaciju T, za sve N.

POGLAVLJE 2. PRESLIKAVANJA KOJA ČUVAJU MJERU I POJAM ERGODIČNOSTI 7 Propozicija 2.3.2. Familija T ivarijatih skupova u odosu a trasformaciju T koja čuva mjeru jeσ-algebra. Dokaz. Defiiramo familiju ivarijatih skupova u odosu a trasformaciju T koja čuva mjeru: T={A F : T (A)=A}. Pokažimo da jetσ-algebra.. Pošto je F i po defiiciji praslike vrijedi T ( )=, slijedi da je T. 2. Neka je A T. Tada vrijedi da je T (A)=A. Pošto jefσ-algebra, slijedi da je A c F. Po defiiciji komplemeta i svojstvima praslike slijedi: A c ={ω Ω:ω A}={ω Ω:ω T (A)}=(T (A)) c = T (A c ) pa slijedi da je A c T. 3. Neka je (A, N) T. Slijedi da je A F, za sve N i T (A )=A, za sve N. Pošto jef σ-algebra, slijedi N A F. Tada iz svojstava praslike i defiicije ivarijatog skupa vrijedi: T A = T (A )= A. Slijedi da je N A T. N N N Stoga jetσ-algebra. Defiicija 2.3.3. Neka je T trasformacija koja čuva mjeru a vjerojatosom prostoru (Ω,F,P). Kažemo da je trasformacija T ergodska ili ergodiča ako za svaki ivarijata skup A T vrijedip(a)=0 ili. Defiiramo da je dogadaj A F gotovo siguro ivarijata ako vrijedi: P(A T (A))=0. Familija svih gotovo siguro ivarijatih dogadaja u odosu a trasformaciju T adopujuje familiju svih ivarijatih dogadajat a vjerojatosom prostoru (Ω,F,P). Propozicija 2.3.4. Neka je A F gotovo siguro ivarijata skup. Tada postoji skup A F koji je ivarijata (A T ) takav da vrijedi P(A A )=0.

POGLAVLJE 2. PRESLIKAVANJA KOJA ČUVAJU MJERU I POJAM ERGODIČNOSTI 8 Dokaz. Defiiramo A = T (A) =0 te stavimo da je T 0 (A)=A. Pokažimo da je A gotovo siguro ivarijata skup. Po defiiciji od A vrijedi T (A ) = T (A). Iz svojstava praslike, razlike skupova, =0 uije skupova, defiicije skupa A te čijeice da ako je T trasformacija koja čuva mjeru, tada je i T, za sve N, trasformacija koja čuva mjeru slijedi: A \T (A)= T (A) \ T (A) =0 =0 (T (A)\T (A)) Aalogo dobivamo: = = =0 (T (A)\T (T (A))) =0 (T (A\T (A))). =0 T (A )\A = T (A) \ T (A) =0 =0 (T (A)\T (A)) = =0 (T (T (A)\A)). =0 Sada iz defiicije simetriče razlike, skupa A, svojstava praslike iσ-subaditivosti i mootoosti vjerojatosti slijedi: P(A T (A )) P (T (A\T (A))) (T (T (A)\A)) =0 P(T ((A\T (A)) (T (A)\A))) } {{ } =0 F = P((A\T (A)) (T (A)\A)). } {{ } =0 =0 jer je A g.s. ivarijata

POGLAVLJE 2. PRESLIKAVANJA KOJA ČUVAJU MJERU I POJAM ERGODIČNOSTI 9 Stoga iz eegativosti vjerojatosti slijedi da jep(a T (A ))=0 pa po defiiciji slijedi da je A gotovo siguro ivarijata skup. Sljedeće ćemo pokazati da je A=A gotovo siguro, tj. da vrijedip(a A )=0. Iz defiicije simetriče razlike skupova, razlike skupova i uije slijedi: A A = (A\A ) (A \A) = A\ T (A) T (A) \A =0 =0 (A\T (A)) (T (A)\A) =0 =0 = (A T (A)). Tada iz mootoosti vjerojatosti iσ-subaditivosti slijedi: P(A A ) P A T (A) =0 P(A T (A)) } {{ } =0 =0 jer je A g.s. ivarijata =0 pa iz eegativosti vjerojatosti slijedi da jep(a A )=0tj. A=A gotovo siguro. Pokažimo da je T (A ) A : T (A )=T T (A) =0 = T (A) T (A)=A. Sljedeće defiiramo skup A sa: =0 =0 A = T (A ). =0 Pokažimo da je A=A gotovo siguro tj. P(A A )=0. Pošto je A=A gotovo siguro slijedi da jep(a A )=P(A A ) pa iz svojstava razlike, uije i mootoosti te

POGLAVLJE 2. PRESLIKAVANJA KOJA ČUVAJU MJERU I POJAM ERGODIČNOSTI 20 σ-subaditivosti vjerojatosti slijedi: P(A A )=P T (A ) \A A \ T (A ) =0 =0 P (T (A )\A A \T (A )) =0 P(T (A )\A A \T (A )) } {{ } =0 =0 jer je A g.s. ivarijata pa iz eegativosti vjerojatosti slijedi da jep(a A )=0tj. A=A gotovo siguro. Preostaje pokazati da je A ivarijata u odosu a trasformaciju T tj. da vrijedi T (A )=A. Pokažimo da je T (A ) A : T (A )=T T (A ) =0 = T (T (A )) } {{ } =0 A T (A )=A. =0 Obrato: T (A )=T T (A ) = =0 T (A ) =0 =0 T (A )=A pa tvrdja slijedi. 2.4 Ivarijate slučaje varijable Defiicija 2.4.. Neka je X slučaja varijabla a vjerojatosom prostoru (Ω, F, P) te eka je T : Ω Ω trasformacija koja čuva mjeru. Kažemo da je X ivarijata slučaja varijabla ako vrijedi: X(ω)=X(T(ω)), za sveω Ω.

POGLAVLJE 2. PRESLIKAVANJA KOJA ČUVAJU MJERU I POJAM ERGODIČNOSTI 2 Propozicija 2.4.2. X je ivarijata slučaja varijabla u odosu a trasformaciju T koja čuva mjeru ako i samo ako je XT -izmjeriva slučaja varijabla, gdje jet σ-algebra ivarijatih skupova u odosu a T tj.t={a F : T (A)=A}. Dokaz. Pretpostavimo da je X ivarijata slučaja varijabla. Tada za proizvolja x R vrijedi: X (, x])={ω Ω:X(ω), x]} ={ω Ω:X(T(ω)), x]} (X ivarijata) = (X(T)) (, x]) = T (X (, x])). Stoga je X (, x]) ivarijata skup u odosu a trasformaciju T pa slijedi da je X (, x]) T, za sve x R. Stoga je XT -izmjeriva fukcija. Obrato, eka je X T -izmjeriva slučaja varijabla. Pokazat ćemo da je to ivarijata slučaja varijabla Lebesguovom idukcijom. I Neka je X(ω)=χ A (ω), za sveω Ω i za proizvolja A T. Tada vrijedi: X(T(ω))=χ A (T(ω)) 0, T(ω) A 0,ω T (A) = =, T(ω) A,ω T (A) 0,ω A = ( slijedi iz A T ),ω A =χ A (ω) = X(ω), za sveω Ω. Slijedi da je X ivarijata slučaja varijabla. II Neka je X jedostava, T -izmjeriva slučaja varijabla. Slijedi da X ima sljedeći prikaz: X= x k χ Ak gdje su x,..., x R te A,..., A T medusobo disjukti skupovi. k=

POGLAVLJE 2. PRESLIKAVANJA KOJA ČUVAJU MJERU I POJAM ERGODIČNOSTI 22 Tada slijedi: X(T(ω))= = x k χ Ak (T(ω)) k= x k χ Ak (ω) (prema I) k= = X(ω), za sveω Ω pa slijedi da je X ivarijata slučaja varijabla. III Neka je X eegativa, T -izmjeriva slučaja varijabla. Tada postoji rastući iz (X, N) eegativih, jedostavih,t -izmjerivih slučajih varijabli takvih da vrijedi: X= lim X. (2.6) Slijedi da je (X T, N) rastući iz eegativih, jedostavih,t -izmjerivih slučajih varijabli takvih da vrijedi: X T=lim (X T). (2.7) Izmjerivost slijedi iz čijeice da je T T -izmjerivo preslikavaje i da je kompozicija dva izmjeriva preslikavaja poovo izmjerivo preslikavaje. Slijedi: X(T(ω))= lim X (T(ω)) (2.7) Slijedi da je X ivarijata slučaja varijabla. = lim X (ω) ( prema II) = X(ω), za sveω Ω. (2.6) IV Neka je X proizvoljat -izmjeriva slučaja varijabla. X se može prikazati kao X= X + X gdje su X + i X eegative,t -izmjerive slučaje varijable. Iz III slijedi: X(T(ω))=X + (T(ω)) X (T(ω))=X + (ω) X (ω)=x(ω), za sveω Ω. Slijedi da je X ivarijata slučaja varijabla. Propozicija 2.4.3. Neka je T trasformacija koja čuva mjeru a vjerojatosom prostoru (Ω,F,P). T je ergodska ako i samo ako je svaka ivarijata slučaja varijabla X aω gotovo siguro kostata.

POGLAVLJE 2. PRESLIKAVANJA KOJA ČUVAJU MJERU I POJAM ERGODIČNOSTI 23 Dokaz. Pretpostavimo da je T ergodska trasformacija koja čuva mjeru. Tada za svako A Tvrijedi da jep(a)= 0 ili. Neka je X proizvolja ivarijata slučaja varijabla aω. Iz prethode propozicije slijedi da je XT -izmjeriva. Stoga je{x x} T, za sve x R. Pošto je T ergodska trasformacija slijedi da jep(x x) = 0 ili, za sve x R, pa iz defiicije fukcije distribucije slijedi da je F X (x)= 0 ili, za sve x R. Neka je (x, N) iz urkoji raste prema+. Pošto je{x }= {X x } i to je rastući iz dogadaja, iz eprekidosti vjerojatosti u odosu a rastući iz dogadaja slijedi: P(X ) = limp(x x } {{ } ). } {{ } F X ( )= F X (x ) Neka je x 0 = if{x :P(X x )=}. Tada jep(x 0 < X x 0)=P(X x 0 ) P(X x 0 )= 0=, za sve N, zbog defiicije ifimuma. Slijedi: P(X=x 0 )=P {x 0 < X x 0} = (eprekidost vjerojatosti u odosu a padajući iz dogadaja) = limp(x 0 < X x 0) = } {{ } =, za sve N pa slijedi da je X gotovo siguro kostata. Obrato, pretpostavimo da je svaka ivarijata slučaja varijabla a Ω gotovo siguro kostata. Neka je A T proizvoljo. Defiiramo slučaju varijablu: X(ω)=χ A (ω), ω Ω. Ovo je T -izmjeriva slučaja varijabla pa je po prethodoj propoziciji X ivarijata slučaja varijabla. Tada po pretpostavci slijedi da je X gotovo siguro kostata pa pošto je X defiiraa kao karakterističa fukcija skupa A slijedip(a)= 0 ili te je stoga T ergodska trasformacija. Iz dokaza propozicije slijedi: Propozicija 2.4.4. T je ergodska trasformacija ako i samo ako je svaka ograičea ivarijata slučaja varijabla gotovo siguro kostata Općeito je teško pokazati da je daa trasformacija ergodska. =

POGLAVLJE 2. PRESLIKAVANJA KOJA ČUVAJU MJERU I POJAM ERGODIČNOSTI 24 Primjer 2.4.5. Neka jeω=[0,,f=b([0, ) ip=λ Lebesguova mjera a [0,. Za daoθ [0, defiiramo trasformaciju T koja čuva mjeru sa: T(x)=(x+θ) mod. Pokazat ćemo da je T ergodska trasformacija akoθ Q. Neka je f proizvolja Borelova fukcija a [0, koja je ivarijata u odosu a T i f L 2 ([0, ]): f 2 (x)dλ(x)<+. Promatramo Fourierov red fukcije f (x)= + = c e 2πix, gdje su Fourierovi koeficijeti dai sa c = f 0 (x)e 2πix dλ(x), za svako N 0. Za Fourierove koeficijete fukcije f T vrijedi: c = f (x+θ)e 2πix dλ(x) 0 {y= x+θ, dλ(y)=dλ(x)} = 0 f (y)e 2πiy e 2πiθ dλ(y) = e 2πiθ c, za sve N. Pošto je f ivarijata fukcija u odosu a T vrijedi f (x)= f (T(x)), za sve x R, pa usporedivajem Fourierovih koeficijeata obije strae dobivamo: c ( e 2πiθ )=0, za sve Z te je stoga c = 0 ili e 2πiθ =, za sve Z. Pošto jeθ Q, vrijedi da je e 2πiθ = samo za =0 pa je c = 0, za sve 0. Pošto je f L 2 ([0, ]), iz teorema o jedistveosti koeficijeata Fourierovog reda slijedi f= c 0 gotovo siguro. Tada iz Propozicije 2.4.3 slijedi da je T ergodska trasformacija. Propozicija 2.4.6. Neka je T trasformacija koja čuva mjeru a (Ω,F,P) i eka je X slučaja varijabla aω. Tada vrijedi: EX=E[X T] u smislu da X ima očekivaje ako i samo ako X T ima očekivaje i očekivaja su im jedaka. Dokaz. Tvrdju ćemo dokazati Lebesguovom idukcijom po X.

POGLAVLJE 2. PRESLIKAVANJA KOJA ČUVAJU MJERU I POJAM ERGODIČNOSTI 25 I Neka je X=χ A, za A F. Slijedi da je EX=P(A). Pošto je X T=χ T (A) i T je trasformacija koja čuva mjeru slijedi: E[X T]=P(T (A)) =P(A)=EX. II Neka je X jedostava slučaja varijabla. Tada se X može prikazati kao: X= x k χ Ak k= gdje su x,..., x R i A,..., A F medusobo disjukti skupovi. Slijedi da je X T= k= x k χ T (A k ). Tada iz defiicije očekivaja jedostave slučaje varijable slijedi: E[X T]= = x k P(T (A k )) k= x k P(A k ) (prema I) k= = EX. III Neka je X eegativa slučaja varijabla. Tada postoji rastući iz (X, N) eegativih jedostavih slučajih varijabli takvih da vrijedi X= lim X. Slijedi da je ((X T), N) rastući iz eegativih jedostavih slučajih varijabli takav da je X T=lim (X T) pošto je TF -izmjeriva fukcija. Tada iz Lebesguovog teorema o mootooj kovergeciji slijedi: E[X T]=E[lim (X T)] = lim E[X T] = lim EX (prema II) = E[lim X ]=EX.

POGLAVLJE 2. PRESLIKAVANJA KOJA ČUVAJU MJERU I POJAM ERGODIČNOSTI 26 IV Neka je X proizvolja slučaja varijabla. Tada se X može prikazati kao X + X, gdje su X + i X eegative slučaje varijable. Iz III slijedi: EX + < E[X + T]<+ EX < E[X T]<+. Stoga EX ima očekivaje ako i samo ako E[X T] ima očekivaje i vrijedi: EX=EX + EX = E[X + T] E[X T] (prema III) = E[X T].

Poglavlje 3 Ergodski teorem 3. Ergodski teorem Da bi dokazali klasiča ergodski teorem, prvo ćemo dokazati sljedeći rezultat: Teorem 3... (Maksimali ergodski teorem) Neka je T :Ω Ω trasformacija koja čuva mjeru a vjerojatosom prostoru (Ω,F,P) i eka je X slučaja varijabla a Ω takva da je E X < +. Za svako ω Ω defiiramo: Tada vrijedi: S k (ω)=x(ω)+ X(T(ω))+ + X(T k (ω)), k=,..., M (ω)=max{0, S (ω),...,s (ω)}, za svako N. {M >0} XdP 0, za svako N. Dokaz. Neka je Nproizvolja. Iz defiicije M slijedi: Stoga vrijedi: S k (ω) M (ω), za svako k i za svakoω Ω. S k (T(ω)) M (T(ω)), za svako k iza svakoω Ω. Za svako k=,..., i za svakoω Ω trivijalo slijedi: X(ω)+ M (T(ω)) X(ω)+S k (T(ω)) = S k+ (ω) pa dobivamo: X(ω) S k+ (ω) M (T(ω)). 27

POGLAVLJE 3. ERGODSKI TEOREM 28 Posebo, X(ω) S (ω) M (T(ω)) jer iz defiicija skupova S i M slijedi da je X(ω)= S (ω) i M (ω) 0. Slijedi: pa dobivamo: X(ω) S k+ (ω) M (T(ω)), za sve k=0,,..., i sveω Ω Iz mootoosti itegrala slijedi: XdP {M >0} X(ω) max{s (ω),...,s (ω)} M (T(ω)), ω Ω. {M >0} [max{s,...,s } M (T)]dP (a skupu{m N > 0} vrijedi max{s,...,s }= M ) = [M M (T)]dP {M >0} [M M (T)]dP Ω = M dp M (T)dP. (3.) Ω Ω M je slučaja varijabla pošto je kompozicija slučaje varijable X, izmjerive fukcije T i eprekidih fukcija. M ima očekivaje (koje je koačo) jer iz ejedakosti trokuta, mootoosti očekivaja, svojstava sume i maksimuma i Propozicije 2.4.6 slijedi: E M =E max{0, S,...,S W} E S + + E S = E X + E X+X(T) + + E X+X(T)+ + X(T ) E X +( ) E X(T) + + E X(T }{{}} {{ } ) <+. } {{ } <+ =E X <+ =E X <+ Sada iz (3.) i Propozicije 2.4.6 slijedi: XdP EM EM (T)=0. {M >0} Sljedeće ćemo dokazati Birkhoff-Hičiov ergodski teorem. Teorem 3..2. (Ergodski teorem) Neka je T :Ω Ω trasformacija koja čuva mjeru a vjerojatosom prostoru (Ω,F,P). Ako je X slučaja varijabla a Ω koja je apsoluto itegrabila (E X < + ), tada vrijedi: lim X(T k )=E[X T ] k=0 gotovo siguro.

POGLAVLJE 3. ERGODSKI TEOREM 29 Dokaz. Za svako ω Ω defiiramo: Pokazujemo: S k (ω)=x(ω)+ X(T(ω))+ + X(T k (ω)), k=,..., M (ω)=max{0, S (ω),...,s (ω)}, za svako N. S lim = E[X T ] Prvo ćemo tvrdju pokazati za slučaj E[X T ] = 0. X= lim S. Za svakiǫ> 0 možemo defiirati skup: D ǫ ={ X>ǫ}. Slučaja varijabla X je ivarijata u odosu a T: S (T(ω)) X(T(ω))=lim S + (ω) X(ω) = lim S + (ω) + = lim + } {{ } X(ω) }{{} lim gotovo siguro. X(ω) } {{ } =0 Defiiramo slučaju varijablu = X(ω), za sveω Ω. Stoga iz Propozicije 2.4.2 slijedi da je D ǫ T, za sveǫ> 0. Za proizvoljaǫ> 0 defiiramo slučaju varijablu X = (X ǫ)χ Dǫ. Zbog pretpostavke teorema vrijedi: Za svakoω Ω defiiramo: E X E Xχ Dǫ + E ǫχ Dǫ E X +ǫp(d ǫ ) E X +ǫ<+. }{{} S k (ω)=x (ω)+ X (T(ω))+ + X (T k (ω)), k=,..., M (ω)=max{0, S (ω),...,s (ω)}, za svako N. Po maksimalom ergodskom teoremu slijedi: X dp 0, za sve N. {M >0} Za svako N defiiramo dogadaj F ={M> 0}={max k S k > 0}. Sada je (F, N) rastući iz dogadaja koji u uiji daje dogadaj F={supS k > 0}. k

POGLAVLJE 3. ERGODSKI TEOREM 30 Iz defiicije skupova D ǫ, F i defiicije slučajih varijabli X i X slijedi: F={sup S k > 0}= S {sup } k k k k > 0 { } S k = sup k k >ǫ D ǫ. Stoga je F D ǫ. S druge strae, iz defiicije slučaje varijable X slijedi da je sups k X. Stoga za k proizvoljaω D ǫ ={ X>ǫ} slijedi da je sups k (ω) X(ω)>ǫ. Tada jeω Fpa imamo k D ǫ = F. Pošto je (X χ F, N) rastući iz eegativih slučajih varijabli koji kovergira prema slučajoj varijabli X χ F, slijedi: X dp X dp, kada +. F F Naime, iz Lebesguovog teorema o mootooj kovergeciji slijedi: lim X dp= lim E[X χ F ] F = E[lim X χ F ] = E[X χ F ]= F (LTMK) X dp. Pošto je X dp 0, za sve N, slijedi da je F F X dp 0, što povlači X dp 0. D ǫ Medutim, vrijedi da je: X dp= XdP ǫdp D ǫ D ǫ D ǫ = E[X T ] dp ǫp(d D ǫ } {{ } ǫ ) (defiicija uvjetog očekivaja) =0 = }{{} ǫ P(D ǫ ). <0 Stoga iz eegativosti vjerojatosti slijedi da jep(d ǫ )=0, za sveǫ> 0, pa dobivamo da je X 0 gotovo siguro. S Aalogo za slučaju varijablu X vrijedi lim 0 gotovo siguro te ozačimo X= lim S S = lim. Slijedi da je X 0 gotovo siguro što povlači da je X 0 gotovo

POGLAVLJE 3. ERGODSKI TEOREM 3 siguro. Stoga dobivamo da vrijedi: 0 lim S lim S 0 gotovo siguro pa po teoremu o sedviču i defiiciji limesa slijedi: 0=E[X T ]=lim S = lim S = lim S gotovo siguro. Pokažimo da tvrdja vrijedi za proizvolju slučaju varijablu E[X T ]. Defiiramo Y = X E[X T ]. Tada je Y slučaja varijabla i iz svojstava uvjetog očekivaja slijedi: pa po prethodo dokazaom vrijedi: EY= EX E[E[X T ]]=EX EX= 0 lim Y(T k )=0 k=0 gotovo siguro. Pošto je: lim k=0 Y(T k )= lim k=0 X(T k ) lim E[X(T k ) T ] preostaje pokazati da je E[X(T k ) T ]=E[X T ], za svako k N 0. Po defiiciji uvjetog očekivaja i Propoziciji 2.4.6, za proizvoljo D T imamo: E[X(T k ) T ]dp= X(T k )dp Slijedi tražea tvrdja pa je stoga: D D = E[X(T k )χ D ] (D T T k (D)=D) = E[Xχ D ] = XdP= D D k=0 E[X T ]dp. lim X(T k )=E[X T ] k=0 gotovo siguro.

POGLAVLJE 3. ERGODSKI TEOREM 32 3.2 Korolari ergodskog teorema Korolar 3.2.. Neka je T :Ω Ω ergodička trasformacija koja čuva mjeru a vjerojatosom prostoru (Ω, F, P). Neka je X slučaja varijabla a Ω za koju vrijedi E X < +. Tada vrijedi: lim X(T k )=EX gotovo siguro. k=0 Dokaz. Iz ergodskog teorema slijedi: lim X(T k )=E[X T ] k=0 Preslikavaje T je ergodičko pa vrijedi da je: gotovo siguro. P(A)=0ili, za svako A T. Pokazat ćemo da sut iσ(x)=x (B) ezaviseσ-algebre. Neka su A T i B B proizvolji. Ako jep(a)=0, slijedi: P(X (B) A) P(A)=0 pa je po teoremu o sedviču i eegativosti vjerojatosti slijedip(x (B) A)=0, što je jedakop(x (B))P(A). Ako jep(a)=, slijedi: P(X (B)) P(X (B) A)= P((X (B)) c A c ) = P(X (B c )) P(A c ) +P(X }{{} (B c ) A c ) } {{ } =0 =0 = P(X (B c )) =P(X (B)) pa slijedi da jep(x (B) A)=P(X (B)), što je jedakop(x (B))P(A). Pošto sut iσ(x)=x (B) ezaviseσ-algebre, slijedi: E[X T ] = EX gotovo siguro pa je stoga: lim X(T k )=EX gotovo siguro. k=0

POGLAVLJE 3. ERGODSKI TEOREM 33 Korolar 3.2.2. Neka je T :Ω Ω ergodička trasformacija koja čuva mjeru a vjerojatosom prostoru (Ω, F, P). Neka je X eegativa slučaja varijabla a Ω za koju vrijedi EX = +. Tada vrijedi: lim X(T k )=+ gotovo siguro. Dokaz. Za proizvolja α > 0 i svako ω Ω defiiramo: X(ω), X(ω) α, X α (ω)= 0, iače. Vrijedi: E X α α<+. Tada iz Korolara 3.2. imamo: k=0 EX α = lim lim X α (T k ) k=0 X(T k ) gotovo siguro (3.2) k=0 jer je X α X i limes iferior je mootoa fukcija. Pustimoαu+ pa stoga X α X. Pošto je (X α,α>0) rastući iz eegativih slučajih varijabli, iz Lebesguovog teorema o mootoj kovergeciji slijedi: Tada iz (3.2) imamo: lim EX α=e[ lim X α ]=EX=+. α α lim EX α lim α X(T k ) k=0 gotovo siguro pa slijedi: + lim k=0 X(T k ) lim X(T k ) + gotovo siguro. k=0 Tada iz teorema o sedviču i defiicije limesa slijedi: lim X(T k )=+ gotovo siguro. k=0

POGLAVLJE 3. ERGODSKI TEOREM 34 Općeito, ako X ije eegativa slučaja varijabla, iz E X =+ e mora slijediti da prosjeci divergiraju gotovo siguro. Neka je A F proizvolja te defiiramo: X(ω)=χ A (ω),ω Ω. Tada je X slučaja varijabla aωivrijedi da je E X <+. Ako je T ergodička trasformacija koja čuva mjeru, tada iz Korolara 3.2. slijedi: lim χ A (T k )=P(A) k=0 gotovo siguro. Gorju sumu možemo protumačiti kao prosječa broj točakaω, T(ω), T 2 (ω),... u skupu A pa je stoga za gotovo svaku početu točkuωasimptotski prosjek točakaω, T(ω), T 2 (ω),... u skupu A upravo jedakp(a). Pretpostavimo da je Ω i topološki prostor, tj. zadaa je familija otvoreih podskupova od Ω. Posebo ima smisla pojam okolie točke iz Ω. Takoder pretpostavimo da svaka točka ima prebrojivu bazu okolia, tako da se kovergecija u Ω može okarakterizirati izovima. Kažemo da je A gust skup uωako za svakiω Ω i svaku otvoreu okoliu N odωtakvu da jep(n)>0postoji barem jeda točka iz A koja je u N. Neka jeω Ωproizvolja i eka je N F takav da jeω N ip(n)>0 te vrijedi: lim χ N (T k )=P(N) k=0 gotovo siguro. Tada je: lim χ N (T k (ω))>0 za sveωiz skupa koji ima vjerojatost. Stoga postoji 0 Ntakav da je: k=0 χ N (T k (ω))>0, za sve 0 k=0 pa je stoga siguro eka od točakaω, T(ω), T 2 (ω),... u skupu N. Slijedi da je{ω, T(ω), T 2 (ω),...} gust skup uω. Korolar 3.2.3. Neka je T :Ω Ω ergodička trasformacija koja čuva mjeru u odosu a vjerojatose prostore (Ω,F,P ) i (Ω,F,P 2 ). Tada je ilip =P 2 ili sup ip 2 ortogoale mjere u smislu da postoji skup A T takav da vrijedi: P (A)=, P 2 (A c )=.

POGLAVLJE 3. ERGODSKI TEOREM 35 Dokaz. Pretpostavimo da jep P 2. Tada postoji B F takav da jep (B) P 2 (B). Defiiramo X(ω)=χ B (ω),ω Ω. Tada iz Korolara 3.2. slijedi: lim X(T k )=P (B) k=0 gotovo siguro. Ozačimo skup točaka za koje se dogada gorja kovergecija sa A. Iz defiicije kovergecije gotovo siguro slijedi da jep (A)=. Medutim, iz Korolara 3.2. takoder slijedi: lim X(T k )=P 2 (B) gotovo siguro. k=0 Pošto je kovergecija gotovo siguro gotovo siguro jedistvea ip (B) P 2 (B), slijedi da se gorja kovergecija dogada a skupu A c i vrijedip 2 (A c )=. Korolar 3.2.4. Uz pretpostavke ergodskog teorema vrijedi: lim E X(T k ) E[X T ] = 0 tj. X(T k ) k=0 k=0 L E[X T ], kada. Dokaz. Bez smajeja općeitosti možemo pretpostaviti da je E[X T ] = 0. Defiiramo V = k=0 X(T k ), N. Iz ergodskog teorema slijedi: lim V = 0 gotovo siguro. Iskažimo Egorovljev teorem koji ćemo koristiti u astavku dokaza: Teorem 3.2.5. (Egorovljev teorem) Neka je (Ω,F,µ) prostor s mjerom i eka je E F takav da jeµ(e)<+. Neka su ( f, N) i f reale fukcije defiirae a E koje suf -izmjerive i za koje vrijedi: lim f = f gotovo siguro. Tada za svakiǫ> 0 postoji B F, B E, takav da jeµ(b)<ǫ i iz ( f, N) kovergira uiformo prema f a E\B.

POGLAVLJE 3. ERGODSKI TEOREM 36 Dokaz se može proaći u [2]. Stoga slijedi da za svakoǫ > 0 postoji A F takvo da jep(a) ǫ i (V, N) uiformo kovergira prema 0 a A c. Stoga a A c vrijedi da je lim V = 0 lim V =0. Iskažimo obrutu Fatouvu lemu: Teorem 3.2.6. (Obruta Fatouva lema) Neka je ( f, N) iz realih izmjerivih fukcija defiiraih a izmjerivom prostoru (Ω,F,µ). Ako postoji eegativa itegrabila fukcija g aωtakva da je f g, za sve N, tada vrijedi: lim f dµ lim f dµ. Tada slijedi: pa je stoga lim E V =0a A c. Iz te čijeice i defiicije V slijedi: Ω 0 lim E V χ A c E[lim( V χ A c ) ]=0 } {{ } =0 lim E V =lim = lim lim Ω Ω V dp V dp A k=0 A X(T k ) dp. Za proizvolja N > 0 imamo: X(T k ) dp= X(T k ) dp+ X(T k ) dp A A { X(T k ) >N} A { X(T k ) N} X(T k ) dp+ N dp (mootoost itegrala) A { X(T k ) >N} A = X(T k ) dp+ NP(A) A { X(T k ) >N} = E[ X(T k ) χ A { X(T k ) >N}]+ NP(A) E[ X(T k ) χ { X(T k ) >N}]+ NP(A) = E[ X χ { X >N} ]+ NP(A)= { X >N} X dp+ NP(A). (Propozicija 2.4.6)

POGLAVLJE 3. ERGODSKI TEOREM 37 Stoga za proizvoljaǫ> 0 i proizvolja N> 0 vrijedi: lim E V X dp+ NP(A). }{{} { X >N} ǫ Sada iz proizvoljostiǫ> 0 slijedi da ako pustimo N u beskoačost dobivamo: X dp= lim E[ X χ { X >N} ] N lim N { X >N} = E[ lim N X χ { X >N} ]=0. (LTDK) Zadju jedakost smo dobili iz čijeica da je E X <+ pa je stogap( X =+ )=0 te iz Lebesguovog teorema o domiiraoj kovergeciji primjejeog a iz ( X χ { X >N}, N N). Slijedi da je lim E V 0 pa po teoremu o sedviču imamo da je lim E V =0. Tada poovo iz teorema o sedviču i defiicije limesa dobivamo: pa tvrdja slijedi. lim E V =0 3.3 Slučaji procesi i ergodski teorem Neka je (X, N) slučaji proces a vjerojatosom prostoru (Ω,F,P). Njemu pridružujemo koordiati reprezetativi proces ( ˆX, N) a vjerojatosom prostoru (R,B, ˆP) koji ima jedake koačo-dimezioale distribucije kao početi proces. Defiiramo trasformaciju pomaka S :R R sa: S (x, x 2,...)=(x 2, x 3,...). Slijedi da se reprezetativi proces može prikazati kao: ˆX ()= ˆX (S ()), =(x, N) R, za sve N te iz Propozicije 2.2.6 slijedi da je S preslikavaje koje čuva mjeru. Iz ergodskog teorema i Korolara 3.2. slijedi: ako je S ergodska trasformacija koja čuva mjeru a vjerojatosom prostoru (R,B, ˆP), tada vrijedi: lim k=0 lim ˆX (S k )=EX gotovo siguro i u sredjem reda k=0 ˆX k = EX gotovo siguro i u sredjem reda.

POGLAVLJE 3. ERGODSKI TEOREM 38 Ako je S ergodska trasformacija, ista tvrdja će vrijediti i za origiala proces (X, N) pošto kovergecija gotovo siguro i u sredjem reda ovise samo o distribuciji procesa, a origiali proces i koordiati reprezetativi proces imaju jedake koačo-dimezioale distribucije. Stoga ćemo sve tvrdje vezae uz ivarijatost i ergodičost formulirati u termiima origialog procesa (X, N) bez korišteja koordiatog reprezetativog procesa. Ozačimo sax=(x, N) slučaji proces kojeg promatramo. To je preslikavaje sa Ω ur. Za operator pomaka S i proizvolja B B vrijedi: {X S (B)}=X (S (B)) ={ω Ω:X(ω) S (B)} ={ω Ω:S (X(ω)) B} ={ω Ω:S (X (ω), X 2 (ω),...) B} ={ω Ω:(X 2 (ω), X 3 (ω),...) B}. Defiicija 3.3.. Dogadaj A F je ivarijata ako postoji B B takav da za svako vrijedi: A={(X, X +,...) B}. SaT ozačavamo familiju svih ivarijatih dogadaja A F. Napomea 3.3.2. Provjeravajem defiicijeσ-algebre, iz čijeice da jeb σ-algebra i osovih svojstava komplemeta i uije, slijedi da jetσ-algebra. Defiicija 3.3.3. Kažemo da je slučaja varijabla Z a vjerojatosom prostoru (Ω,F,P) ivarijata ako postoji slučaja varijabla (tj. fukcija)ϕa (R,B ) takva da vrijedi: Z=ϕ(X, X +,...), za sve. Lebesguovom idukcijom se lako pokaže da je Z ivarijata slučaja varijabla ako i samo ako jet -izmjeriva (dokaz aaloga dokazu Propozicije 2.4.2). Prvo ćemo dokazati jedu tehičku propoziciju koju ćemo koristiti u dokazu ergodskog teorema za stacioare procese. Propozicija 3.3.4. Neka jexslučaja proces a (Ω,F,P) i eka jex slučaja proces a (Ω,F,P ) te eka su ti procesi jedako distribuirai, tj. P(X B)=P (X B), za svako B B. Tada zab -izmjerivu fukcijuϕvrijedi: ϕ(x)dp = ϕ(x )dp Ω Ω

POGLAVLJE 3. ERGODSKI TEOREM 39 u smislu da jeda od itegrala postoji ako i samo ako postoji drugi i vrijedosti su im jedake. Dokaz. Tvrdju ćemo dokazati Lebesguovom idukcijom poϕ. I Neka jeϕ=χ A, za A B. Tada vrijedi: χ A (X)=χ X (A) iχ A (X )=χ (X ) (A). Slijedi: ϕ(x)dp = χ A (X)dP= Ω Ω χ X (A)dP Ω =P(X A)=P (X A) (pretpostavka) = χ A (X )dp = ϕ(x )dp. Ω Ω II Neka jeϕ= k= x k χ Ak, gdje su x,..., x reali brojevi i A,..., A B medusobo disjukti skupovi. Slijedi: ϕ(x)dp = x k χ Ak (X)dP Ω = = Ω k= x k k= Ω χ Ak (X)dP (liearost itegrala) x k χ Ak (X Ω )dp (prema I) k= = Ω x k χ Ak (X )dp = ϕ(x )dp. Ω k= III Neka jeϕproizvolja eegativab -izmjeriva fukcija. Tada postoji rastući iz (ϕ, N) eegativih jedostavihb -izmjerivih fukcija takvih da vrijedi: ϕ= lim ϕ. Slijedi da su (ϕ (X), N) i (ϕ (X ), N) rastući izovi eegativih jedostavih B -izmjerivih fukcija takvih da vrijedi: ϕ(x)= limϕ (X) ϕ(x )= limϕ (X ).

POGLAVLJE 3. ERGODSKI TEOREM 40 Tada iz Lebesguovog teorema o mootooj kovergeciji i II slijedi: ϕ(x)dp = lim ϕ (X)dP Ω Ω = lim ϕ (X)dP= lim ϕ (X Ω )dp Ω = limϕ (X )dp = ϕ(x )dp. Ω Ω IV Neka jeϕproizvoljab -izmjeriva fukcija. Tada vrijedi da jeϕ=ϕ + ϕ, gdje su ϕ + iϕ eegativeb -izmjeriva fukcije. Iz III i defiicije itegrala slijedi da lijevi itegral u tvrdji postoji ako i samo ako postoji desi itegral i vrijedi: ϕ(x)dp = ϕ + (X)dP ϕ (X)dP Ω Ω Ω = ϕ + (X )dp ϕ (X )dp Ω Ω = ϕ(x )dp. Ω Teorem 3.3.5. Neka je (X, N) stacioara proces a vjerojatosom prostoru (Ω,F,P), eka jetσ-algebra ivarijatih dogadaja izf te eka je E X <+. Tada vrijedi: lim X k = E[X T ] k= gotovo siguro. Dokaz. Ozačimo sax=(x, N) aš stacioara proces te defiiramo pripadi koordiati reprezetativi proces a (R,B, ˆP) sa: ˆX k ()= x k, za =(x, N) R. Tada iz ergodskog teorema slijedi da iz ( ˆX k= k, N) kovergira gotovo siguro, pa zbog jedakosti koačo-dimezioalih distribucija reprezetativog i origialog procesa slijedi: lim X k = Y gotovo siguro, k= za eku slučaju varijablu Y. Želimo pokazati da je Y = E[X T ]. Ozačimo S = k= X k, za svaki, te S stavimo da je Y= lim. Za proizvolja y R slijedi da je dogadaj{y< y} ivarijata po