SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Edita Kulović STRUKTURE IZRAČUNLJIVOSTI Diplomski rad Voditelj rada: doc.

Транскрипт

1 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Edita Kulović STRUKTURE IZRAČUNLJIVOSTI Diplomski rad Voditelj rada: doc. dr. sc. Zvonko Iljazović Zagreb, rujan 2016.

2 Ovaj diplomski rad obranjen je dana u sastavu: pred ispitnim povjerenstvom 1., predsjednik 2., član 3., član Povjerenstvo je rad ocijenilo ocjenom. Potpisi članova povjerenstva:

3 Sadržaj Sadržaj iii Uvod 1 1 Rekurzivne funkcije s realnim vrijednostima Klasična izračunljivost Rekurzivne funkcije s cjelobrojnim vrijednostima Rekurzivne funkcije s racionalnim vrijednostima Rekurzivne funkcije s realnim vrijednostima Rekurzivno prebrojivi skupovi 15 3 Izračunljivi metrički prostori 23 4 Strukture izračunljivosti Kardinalnost skupa rekurzivnih brojeva Separabilne strukture izračunljivost Efektivna potpuna omedenost Bibliografija 47 iii

4 Uvod S pojmom izračunljivosti susreli smo se na istoimenom kolegiju gdje smo se bavili s rekurzivnim funkcijama oblika f : N k Ñ N, za neki k ě 1. U ovom radu proširujemo pojam rekurzivnosti na funkcije s realnim vrijednostima. Takoder nas zanima na koji način proširiti pojam izračunljivosti na metričke prostore. U prvom poglavlju se prisjećamo pojma rekurzivne funkcije f : N k Ñ N te dajemo neke primjere takvih funkcija. Dan je pregled teorema i propozicija koji se rade na kolegiju Izračunljivost, a koji su potrebni za daljnje razumijevanje grade u ovom radu. Pojam rekurzivne funkcije proširujemo na funkcije s kodomenama u Z, Q, R. Dokazujemo da su zbroj, apsolutna vrijednost i umnožak takvih funkcija takoder rekurzivne funkcije. Pojam rekurzivno prebrojivih skupova definiramo u drugom poglavlju. Dokazujemo na koji način djelovanje rekurzivne funkcije utječe na rekurzivno prebrojive skupove. Tako je dokazano da su praslika i slika, po rekurzivnoj funkciji, rekurzivno prebrojivog skupa takoder rekurzivno prebrojivi skupovi. Pojmove izračunljivog metričkog prostora, izračunljive točke i izračunljivog niza uvodimo u trećem poglavlju. Promatramo euklidsku metriku d na R te na prirodan način uvodimo niz α takav da je pr, d, αq izračunljiv metrički prostor. Dokazujemo da je x izračunljiva točka u pr, d, αq ako i samo ako je x rekurzivan broj. U četvrtom poglavlju razradujemo pojam iz naslova diplomskog rada, dakle definiramo što su strukture izračunljivosti, efektivni separirajući nizovi, separabilne strukture izračunljivosti i sl. Dokazujemo da je skup svih rekurzivnih brojeva prebrojiv, a takoder i da je skup svih rekurzivnih funkcija f : N k Ñ R prebrojiv. Centralno mjesto u ovom poglavlju ima teorem u kojem se tvrdi da postoji jedinstvena separabilna struktura izračunljivosti na metričkom prostoru pr0, 1s, dq, pri čemu je d euklidska metrika. Na kraju se dotičemo pojma omedenosti u metričkim prostorima te definiramo kada je izračunljiv metrički prostor efektivno potpuno omeden. 1

5

6 Poglavlje 1 Rekurzivne funkcije s realnim vrijednostima 1.1 Klasična izračunljivost Definicija Funkciju Z : N Ñ N definiranu sa Zpxq 0 nazivamo nul-funkcija. Funkciju S c: N Ñ N definiranu sa S cpxq x`1 nazivamo funkcija sljedbenika (eng. successor). Neka je n P N zt0u i k P t1,..., nu. Funkciju I n k : Nn Ñ N definiranu sa I n k px 1,..., x n q x k nazivamo projekcija na k-tu koordinatu. Funkcije Z, Sc i I n k pn P Nzt0u, k ď nq nazivamo inicijalne funkcije. Definicija Neka su k, n P Nz t0u, te S 1,..., S n Ď N k. Neka su g 1 : S 1 Ñ N,..., g n : S n Ñ N. Neka je T Ď N n, te f : T Ñ N. Definiramo k-mjesnu funkciju h sa: hp x q» f pg 1 p x q,..., g n p x qq. (1.1) Tada kažemo da je funkcija h definirana pomoću kompozicije funkcija f, g 1,..., g n. Napomena Za funkciju kažemo da je mjesnosti k, k P N z t0u ukoliko za njezinu domenu S vrijedi S Ď N k. Oznaka» koju smo koristili u (1.1) nam znači da je funkcija h definirana na svim onim x P N k za koje definicija ima smisla, odnosno domena te funkcije je S t x P S 1 X... X S n pg 1 p x q,..., g n p x qq P Tu. 3

7 4 POGLAVLJE 1. REKURZIVNE FUNKCIJE S REALNIM VRIJEDNOSTIMA Definicija Neka je n P Nz t0u, S Ď N n, T Ď N n`2, f : S Ñ N, g: T Ñ N. Definiramo (n+1)-mjesnu funkciju h sa: hp0, x 1,..., x n q» f px 1,..., x n q (1.2) hpy ` 1, x 1,..., x n q» gphpy, x 1,..., x n q, y, x 1,..., x n q (1.3) Za funkciju h kažemo da je dobivena primitivnom rekurzijom funkcija f i g. Definicija Neka je n P Nz t0u te g: N n`1 Ñ N. Definiramo S tpx 1,..., x n q P N n Dy P N tako da je gpx 1,..., x n, yq 0u Neka je f : S Ñ N funkcija definirana sa: Pišemo i f px 1,..., x n q µyr gpx 1,..., x n, yq 0 s. f px 1,..., x n q» µyr gpx 1,..., x n, yq 0 s, x P N n. (1.4) Pri tome µyrgp x, yq 0s označava najmanji y takav da vrijedi gp x, yq 0. Za funkciju f kažemo da je dobivena primjenom µ -operatora na funkciju g. Napomena Funkcija g iz prethodne definicije ne mora biti totalna, naime u (1.4) smo koristili oznaku» koja znači da je funkcija f definirana na svim onim x P N n za koje definicija ima smisla. Konkretno, kada je g: S g Ñ N, S g N k`1, tada je skup S na kojem je funkcija f definirana jednak S tpx 1,..., x n q P N n Dy P N tako da je gpx 1,..., x n, yq 0, gpx 1,..., x n, zq je definirano za sve z ď yu Definicija Najmanja klasa funkcija koja sadrži inicijalne funkcije, te je zatvorena za kompoziciju, primitivnu rekurziju i primjenu µ-operatora naziva se klasa parcijalno rekurzivnih funkcija. Za funkciju f : S Ñ N kažemo da je totalna ukoliko je S N k za neki k P N zt0u. Kažemo da je funkcija rekurzivna ukoliko je parcijalno rekurzivna i totalna. Primjer Sljedeće funkcije su rekurzivne (dokaz se može naći u [1]): 1. N 2 Ñ N, px, yq ÞÑ x ` y, 2. N 2 Ñ N, px, yq ÞÑ x y, 3. N 2 Ñ N, px, yq ÞÑ x 9 y oduzimanje # 0, x ď y x y, x ą y, ovu funkciju nazivamo modificirano

8 1.1. KLASIČNA IZRAČUNLJIVOST 5 4. N 2 Ñ N, px, yq ÞÑ # t x u, y 0 y x, y 0, 5. N 2 Ñ N, px, yq ÞÑ ostpx, yq, tj. funkcijska vrijednost u px, yq je ostatak pri dijeljenju x sa y, 6. p: N Ñ N, i ÞÑ pi ` 1q-vi prost broj, $ & eksponent s kojim broj p i ulazi u rastav od 7. E : N 2 Ñ N, Epx, iq x na proste faktore, x ě 1 % 0, x 0 # 8. sg: N Ñ N, sgpxq 0, x 0 1, x ě 1, # 9. sg: N Ñ N, sgpxq 1, x 0 0, x ě 1,, 10. ϕ: N 2 Ñ N, ϕpa, bq a b. Definicija Za skup S Ď N k kažemo da je rekurzivan skup ako je njegova karakteristična funkcija rekurzivna. Propozicija Neka je k ě 1, te neka su S i T rekurzivni podskupovi od N k. Tada su i S c, S X T i S Y T takoder rekurzivni skupovi. Propozicija Neka su f, g: N k Ñ N rekurzivne funkcije. Tada su rekurzivne i funkcije f ` g, f g: N 2 Ñ N Propozicija Neka su n, k P Nz t0u. Neka su F 1,..., F n : N k Ñ N rekurzivne funkcije. Neka su S 1,..., S n Ď N k rekurzivni skupovi tako da za svaki x P N k postoji točno jedan i P t1,..., nu tako da je x P S i. Neka je f : N k Ñ N funkcija definirana sa: $ & F 1 p x q, ako je x P S 1 f p x q... % F n p x q, ako je x P S n Tada je f rekurzivna funkcija. Dokazi navedenih propozicija se mogu naći u [1].

9 6 POGLAVLJE 1. REKURZIVNE FUNKCIJE S REALNIM VRIJEDNOSTIMA 1.2 Rekurzivne funkcije s cjelobrojnim vrijednostima Propozicija Neka je k P Nz t0u te neka je f : N k Ñ Z. Tada postoje rekurzivne funkcije a, b: N k Ñ N tako da je f p x q p 1q ap x q bp x x P N k (1.5) ako i samo ako postoje rekurzivne funkcije g, h: N k Ñ N tako da je f p x q gp x q hp x x P N k. (1.6) Dokaz. Pretpostavimo da postoje rekurzivne funkcije a, b: N k Ñ N tako da vrijedi (1.5). Definiramo funkcije g i h na sljedeći način: " bp x q, ako je ap x q paran gp x q 0, ako je ap x q neparan " 0, ako je ap x q paran hp x q bp x q, ako je ap x q neparan Trivijalno se vidi da je funkcija f 1 p x q gp x q hp x q jednaka funkciji f. Prema propoziciji dovoljno je pokazati da je skup A t x P N k ap x q je neparanu rekurzivan da bi funkcije g i h bile rekurzivne. Karakteristična funkcija skupa A je # 1, ako je ap x q neparan χ A p x q 0, ako je ap x q paran odnosno, χ A p x q ostp ap x q, c 2 pi n 1p x qq q, (1.7) gdje je c 2 konstantna funkcija s vrijednošću 2. Iz jednakosti (1.7) se lako vidi da je karakteristična funkcija skupa A rekurzivna jer je dobivena primjenom kompozicije na rekurzivne funkcije ost, a, c 2 I n 1. Dakle, funkcije g i h su rekurzivne. Pretpostavimo sada da postoje rekurzivne funkcije g, h: N k Ñ N tako da je f p x q gp x q hp x q. Želimo iskazati funkcije a i b pomoću funkcija g i h, a takoder i pokazati da su rekurzivne. Definirajmo skup S t x P N k gp x q ě hp x qu, i funkcije a i b na sljedeći način: # 0, ako je x P S ap x q 1, inače # gp x q hp x q, ako je x P S bp x q hp x q gp x q, inače

10 1.2. REKURZIVNE FUNKCIJE S CJELOBROJNIM VRIJEDNOSTIMA 7 Prema propoziciji dovoljno je pokazati da je skup S rekurzivan da bi funkcije a i b bile rekurzivne. Karakteristična funkcija skupa S izgleda ovako: χ S p x q sgp hp x q gp x qq, tj. ona je nastala primjenom kompozicije na rekurzivne funkcije sg i B, gdje je B nastala kompozicijom modificiranog oduzimanja, h i g. Dakle χ S je rekurzivna funkcija i S je rekurzivan skup. Za tako definirane funkcije a i b vrijedi (1.5). Definicija Neka je k P Nzt0u. Za funkciju f : N k Ñ Z kažemo da je rekurzivna ako postoje a, b: N k Ñ N rekurzivne funkcije tako da se f može zapisati u obliku: f p x q p 1q ap x q bp x x P N k. Uočimo da je prema propoziciji funkcija f rekurzivna ako i samo ako postoje funkcije g, h: N k Ñ N koje su rekurzivne tako da je f p x q gp x q hp x x P N k. Propozicija Neka su f 1, f 2 : N k sljedeće funkcije Ñ Z rekurzivne funkcije. Tada su rekurzivne i f 1 ` f 2 : N k Ñ Z (1.8) f 1 f 2 : N k Ñ Z (1.9) Dokaz. Budući su zapisi (1.5) i (1.6) ekvivalentni koristiti ćemo onaj koji je pogodniji za dokazivanje ove propozicije. Funkcije f 1 i f 2 su rekurzivne pa prema propoziciji postoje g 1, h 1 : N k Ñ N i g 2, h 2 : N k Ñ N koje su rekurzivne tako da je: f 1 g 1 h 1, f 2 g 2 h 2. Dalje raspisujemo: p f 1 ` f 2 qp x q f 1 p x q ` f 2 p x q g 1 p x q h 1 p x q ` g 2 p x q h 2 p x q pg 1 p x q ` g 2 p x qq ph 1 p x q ` h 2 p x qq Kako su g 1, g 2 rekurzivne, tako je i njihov zbroj g 1 ` g 2 : N k Ñ N rekurzivna funkcija. Analogno, zaključujemo da je h 1 ` h 2 : N k Ñ N rekurzivna funkcija. Označimo sa gp x q g 1 p x q ` g 2 p x q, i hp x q h 1 p x q ` h 2 p x q. Tada je f 1 ` f 2 g h.

11 8 POGLAVLJE 1. REKURZIVNE FUNKCIJE S REALNIM VRIJEDNOSTIMA Zapisali smo f 1 ` f 2 u obliku (1.6), pri čemu su g i h rekurzivne, prema tome f 1 ` f 2 je rekurzivna funkcija. Za drugi dio tvrdnje koristit ćemo zapis (1.5). Dakle, f 1 p x q p 1q a 1p x q b 1 p x q f 2 p x q p 1q a 2p x q b 2 p x q, gdje su a 1, b 1, a 2, b 2 : N k Ñ N rekurzivne funkcije. Raspisujemo, p f 1 f 2 qp x q p 1q a 1p x q b 1 p x q p 1q a 2p x q b 2 p x q p 1q a 1p x q`a 2 p x q b 1 p x qb 2 p x q Funkcija a : N k Ñ N, ap x q a 1 p x q`a 2 p x q je rekurzivna, a takoder i b : N k Ñ N, bp x q b 1 p x q b 2 p x q. Dakle, p f 1 f 2 qp x q p 1q ap x q bp x q je rekurzivna funkcija. 1.3 Rekurzivne funkcije s racionalnim vrijednostima Definicija Neka je k P Nzt0u. Za funkciju f : N k Ñ Q kažemo da je rekurzivna ako postoje rekurzivne funkcije a, b, c: N k Ñ N, pri čemu je cp x q x P N k, tako da se f može zapisati u obliku: f p x q p 1q ap x q bp x q cp x x P Nk. (1.10) Propozicija Neka su f 1, f 2 : N k sljedeće funkcije Ñ Q rekurzivne funkcije. Tada su rekurzivne i f 1 ` f 2 : N k Ñ Q f 1 f 2 : N k Ñ Q Dokaz. Kako je f 1 rekurzivna funkcija, postoje rekurzivne funkcije a 1, b 1, c 1 : N k Ñ N takve da je c 1 p x q 0, i f 1 p x q p 1q a 1p x q b 1 p x q c 1 p x x P Nk. Jednako zaključujemo i za funkciju f 2 i zapisujemo je u obliku: f 2 p x q p 1q a 2p x q b 2 p x q c 2 p x x P Nk.

12 1.3. REKURZIVNE FUNKCIJE S RACIONALNIM VRIJEDNOSTIMA 9 Neka su definirane funkcije P 1, P 2 : N k Ñ Z na sljedeći način: P 1 p x q p 1q a 1p x q b 1 p x q c 2 p x q, P 2 p x q p 1q a 2p x q b 2 p x q c 1 p x q. Prema propoziciji P 1 je rekurzivna funkcija kao umnožak p 1q a 1p x q b 1 p x q i c 2 p x q. Analogno zaključujemo da je P 2 rekurzivna. Pišemo, p f 1 ` f 2 qp x q P 1p x q`p 2 p x q c 1 p x q c 2 p x q, Dakle, u brojniku se nalazi zbroj rekurzivnih funkcija N k Ñ Z, i prema to je rekurzivna funkcija. Prema propoziciji zaključujemo da se u nazivniku nalazi rekurzivna funkcija kao umnožak dviju rekurzivnih funkcija c 1, c 2 : N k Ñ N. Sve zajedno f 1 ` f 2 : N k Ñ Q je rekurzivna funkcija. Pogledajmo raspis funkcije za drugu tvrdnju: Definirajmo p f 1 f 2 qp x q p 1q a 1p x q b 1 p x q c 1 p x q p 1qa 2p x q b 2 p x q c 2 p x q (1.11) p 1q pa 1p x q`a 2 p x qq b 1 p x q b 2 p x q c 1 p x q c 2 p x q (1.12) ap x q a 1 p x q ` a 2 p x q, bp x q b 1 p x q b 2 p x q, cp x q c 1 p x q c 2 p x q. Prema propoziciji su navedene funkcije rekurzivne kao funkcije N k Ñ N. Dakle, zaključujemo da je funkcija f 1 f 2 : N k Ñ Q, p f 1 f 2 qp x q p 1q ap x q bp x q cp x x P Nk. rekurzivna. Sljedeća propozicija je dana bez dokaza jer se njezina istinitost lako vidi. Propozicija Ako je f : N k Ñ Q rekurzivna, tada su rekurzivne i funkcije f, f : N k Ñ Q.

13 10 POGLAVLJE 1. REKURZIVNE FUNKCIJE S REALNIM VRIJEDNOSTIMA 1.4 Rekurzivne funkcije s realnim vrijednostima Definicija Za x P R kažemo da je rekurzivan broj ako postoji f : N Ñ Q rekurzivna funkcija tako da vrijedi x f pxq ă 2 P N. Za niz px i q ipn realnih brojeva kažemo da je rekurzivan ako postoji rekurzivna funkcija F : N 2 Ñ Q tako da je x i Fpi, kq ă 2 kq P N 2. Primjer Neka je x P R rekurzivan broj. Tada je i broj x rekurzivan. Naime, iz x f pxq ă 2 k slijedi p xq p f pxqq ă 2 k odakle direktno slijedi tvrdnja. Definicija Neka je n P N z t0u. Za f : N n Ñ R kažemo da je rekurzivna funkcija ako postoji rekurzivna funkcija F : N n`1 Ñ Q tako da je f p x q Fp x, kq ă 2 x P N P N. (1.13) Za funkciju F kažemo da je rekurzivna aproksimacija funkcije f. Primjer Svaka rekurzivna funkcija N k Ñ Q, k ě 1 je rekurzivna i kao funkcija N k Ñ R. Naime, stavimo Fp x, iq f pxq. Dobili smo f pxq Fpx, iq 0 ă 2 i. Slobodnijim riječima bismo rekli: kada bismo rekurzivnu funkciju N k Ñ Q gledali kao funkciju N k Ñ R njezina rekurzivna aproksimacija je ona sama. Primjer Ako je f : N k Ñ R rekurzivna funkcija tada je f p x q rekurzivan broj za svaki x P N k. Naime, neka je F : N k`1 Ñ Q rekurzivna aproksimacija funkcije f. Neka je za svaki x P N k definirana funkcija H : N Ñ Q, Hpiq Fpx, P N. Funkcija H je rekurzivna i vrijedi f p x q Hpiq ă 2 i. Time je tvrdnja dokazana. Definicija Neka je f : N k Ñ N n funkcija takva da vrijedi f p x q p f 1 p x q,..., f n p x x P N k. Za f 1,..., f n : N k Ñ N kažemo da su komponentne funkcije od f. Funkcija f je rekurzivna ukoliko su rekurzivne njezine komponentne funkcije f 1,..., f n.

14 1.4. REKURZIVNE FUNKCIJE S REALNIM VRIJEDNOSTIMA 11 Napomena Neke od činjenica koje direktno proizlaze iz gornje definicije su nabrojene u ovoj napomeni, a biti će nam od koristi pri dokazivanju nekih budućih propozicija. 1. Ako su g: N n Ñ N i f : N k Ñ N n rekurzivne, tada je rekurzivna i njihova kompozicija g f : N k Ñ N pg f qp x q gp f p x qq gp f 1 p x q,..., f n p x qq, (1.14) gdje su f 1,..., f n rekurzivne kao komponentne funkcije od f. 2. Ako su g: N n Ñ N m i f : N k Ñ N n rekurzivne, tada je rekurzivna i njihova kompozicija g f : N k Ñ N m pg f qp x q gp f p x qq pg 1 p f p x qq,..., g m p f p x qqq ppg 1 f qp x q,..., pg m f qp x qq, gdje su g 1,..., g m rekurzivne kao komponentne funkcije od g. 3. Ako su g: N k Ñ Q i f : N n Ñ N k rekurzivne, tada je rekurzivna i njihova kompozicija g f : N n Ñ Q. Naime, g se može napisati u obliku gp x q p 1q ap x q bp x q cp x x P Nk. Za x P N n, slijedi pg f qp x q p 1q ap f p x qq bp f p x qq cp f p x qq Propozicija Neka je n P N z t0u te neka su f 1, f 2 : N n Ñ R dvije rekurzivne funkcije. Tada je i funkcija f 1 ` f 2 : N n Ñ R rekurzivna. Nadalje, funkcije f 1, f 1 : N 2 Ñ R su rekurzivne. Dokaz. Prema definiciji postoje rekurzivne funkcije F 1, F 2 : N n`1 Ñ Q tako da vrijedi f 1 p x q F 1 p x, kq ă 2 x P N P N. f 2 p x q F 2 p x, kq ă 2 x P N P N. Definirajmo funkciju ˆFp x, kq F 1 p x, kq ` F 2 p x, kq. Računamo p f 1 ` f 2 qp x q ˆFp x, kq f 1 p x q F 1 p x, kq ` f 2 p x q F 2 p x, kq ď f 1 p x q F 1 p x, kq ` f 2 p x q F 2 p x, kq ď 2 2 k

15 12 POGLAVLJE 1. REKURZIVNE FUNKCIJE S REALNIM VRIJEDNOSTIMA Skoro smo dobili ono što se po definiciji traži za realnu funkciju da bi bila rekurzivna. Još samo da malo naštimamo. Neka je Fp x, kq ˆFp x, k ` 1q. Da dokažemo da je ova funkcija rekurzivna koristit ćemo pomoćnu funkciju g: N n`1 Ñ N n`1, gp x, kq p x, k ` 1q. Funkcija g je rekurzivna u smislu definicije 1.4.6, naime njezine su komponentne funkcije ili inicijalne ( I n`1 1,..., In n`1 ), ili kompozicije inicijalnih (S c I n`1 n`1 ) pa time i rekurzivne. Prema napomeni je Fp x, kq p ˆF gqp x, kq rekurzivna kao kompozicija dviju rekurzivnih funkcija. Uvjerimo se još da vrijedi nejednakost (1.13): p f 1 ` f 2 qp x q Fp x, kq p f 1 ` f 2 qp x q ˆFp x, k ` 1q f 1 p x q F 1 p x, k ` 1q ` f 2 p x q F 2 p x, k ` 1q ď f 1 p x q F 1 p x, k ` 1q ` f 2 p x q F 2 p x, k ` 1q ď 2 2 pk`1q 2 k Našli smo rekurzivnu aproksimaciju funkcije f 1 ` f 2, odnosno pokazali smo da je rekurzivna. Neka je F 1 rekurzivna aproksimacija od f 1, tada vrijedi što je ekvivalentno s f 1 p x q F 1 p x, kq ă 2 P x P N k, p f 1 p x qq p F 1 p x, kqq ă 2 P x P N k. Funkcija F 1 je rekurzivna prema 1.3.3, odnosno F 1 je rekurzivna aproksimacija od f 1. Dakle, f 1 je rekurzivna funkcija. Nadalje, vrijedi f 1 p x q F 1 p x, kq ď f 1 p x q F 1 p x, kq ă 2 P x P N k, odnosno F 1 je rekurzivna aproksimacija od f 1. Propozicija Neka su f : N n Ñ R, g: N m Ñ N n rekurzivne funkcije. Tada je f g: N m Ñ R rekurzivna funkcija.

16 1.4. REKURZIVNE FUNKCIJE S REALNIM VRIJEDNOSTIMA 13 Dokaz. Prema definiciji realne rekurzivne funkcije slijedi da postoji rekurzivna funkcija F : N n`1 Ñ Q tako da vrijedi Dakle, za svaki x P N m i svaki k P N vrijedi f p x q Fp x, kq ă 2 x P N P N. f pgp x qq Fpgp x q, kq ă 2 k. Definiramo funkciju H : N m`1 Ñ Q, na sljedeći način: Hp x, kq Fpgp x q, x P N P N. Dovoljno je pokazati da je H rekurzivna da bi funkcija f g bila rekurzivna. Funkcija g je rekurzivna, pa po definiciji postoje rekurzivne funkcije g 1,..., g n : N m Ñ N tako da je gp x q pg 1 p x q,..., g n p x q. Sada možemo pisati H F Γ, Γ: N m`1 Ñ N n`1, Γp x, kq pgp x q, kq pg 1 p x q,..., g n p x q, kq. Funkcija Γ je rekurzivna jer su njezine komponentne funkcije rekurzivne (g 1 Π,..., g n Π, gdje je Π: N m`1 Ñ N m projekcija na prvih m koordinata, i projekcija na m+1-koordinatu I m`1 m`1 ). Dakle, H je kompozicija dviju rekurzivnih funkcija, prema napomeni zaključujemo da je rekurzivna. Do sada smo dokazali neka lijepa svojstva rekurzivnih funkcija, kao npr. zbroj dviju rekurzivnih funkcija nam daje rekurzivnu funkciju. Možemo tako dalje postavljati pitanja vezana uz rekurzivnost. Npr. ako je px i q rekurzivan niz u R, mora li skup ti P N x i 0u biti rekurzivan? Ne mora. Ipak nećemo konstruirati protuprimjer jer nije baš jednostavno. Ako je f : N n Ñ R rekurzivna funkcija skup t x P N n f p x q 0u ipak ne mora biti rekurzivan. U sljedećem primjeru ćemo pokazati da je za neke rekurzivne funkcije skup svih argumenata za koje je funkcijska vrijednost jednaka nuli, ipak rekurzivan. Primjer Neka je f : N n Ñ Q rekurzivna, tada je i skup S t x P N n f p x q 0u rekurzivan. Prema definiciji racionalne rekurzivne funkcije, f zapisujemo u obliku gdje su a, b, c rekurzivne funkcije. Tada je f p x q p 1q ap x q bp x x P Nn cp x q S t x P N n bp x q 0u, odnosno karakteristična funkcija tog skupa je χ S p x q sgpbp x qq kompozicija rekurzivnih funkcija sg, b. Dakle, skup S je rekurzivan skup.

17

18 Poglavlje 2 Rekurzivno prebrojivi skupovi Definicija Neka je S Ď N k. Kažemo da je S rekurzivno prebrojiv skup ako je S H ili ako postoji rekurzivna funkcija f : N Ñ N k tako da je S f pnq. Primjer N k je rekurzivno prebrojiv skup. Konstruirajmo rekurzivnu funkciju f : N Ñ N k tako da vrijedi f pnq N k. Neka je f pxq pepx, 1q,..., Epx, kqq. Ta funkcija je rekurzivna jer su njezine komponentne funkcije rekurzivne (vidi primjer 1.1.8). Pokažimo da je surjekcija. Neka je a pa 1,..., a n q P N k proizvoljan. Neka je x p a pa k. Tada je f pxq a. k Propozicija Neka je S Ď N k rekurzivan. Tada je S rekurzivno prebrojiv. Dokaz. Ako je S H tada je tvrdnja trivijalno ispunjena. Neka je sada S H. Tada postoji s 0 P S. Neka je f : N Ñ N k rekurzivna surjekcija (postoji prema primjeru ). Definirajmo funkciju g: N Ñ N k sa: # f pxq, ako je x P T gpxq s 0, inače, gdje je T tx P N f pxq P S u. Karakteristična funkcija skupa T jednaka je χ T pxq χ S p f pxqq, dakle rekurzivna kao kompozicija rekurzivnih funkcija. Stoga je T rekurzivan skup. Nadalje, komponente funkcije od g su rekurzivne prema propoziciji , a tada je rekurzivna i funkcija g. Očito je gpnq S. Slijedi da je S rekurzivno prebrojiv skup. Propozicija Neka su k, n ě 1, neka je S rekurzivno prebrojiv skup u N k te neka je h: N k Ñ N n rekurzivna funkcija. Tada je hps q rekurzivno prebrojiv skup. 15

19 16 POGLAVLJE 2. REKURZIVNO PREBROJIVI SKUPOVI Dokaz. Ako je S H tada je i hps q H, dakle tvrdnja trivijalno vrijedi. Neka je sada S H. Tada postoji rekurzivna funkcija f : N Ñ N k tako da je f pnq S. Funkcija h f : N Ñ N n je rekurzivna i vrijedi ph f qpnq hps q. Dakle hps q je rekurzivno prebrojiv skup. Teorem Neka su k, n ě 1, T Ď N k`n rekurzivno prebrojiv skup i S Ď N k skup koji ima sljedeće svojstvo: za svaki x P N k vrijedi Tada je S rekurzivno prebrojiv. x P S ô D y P N n tako da je p x, y q P T. Dokaz. Definirajmo funkciju p na sljedeći način p: N k`n Ñ N k, ppx 1,..., x k, x k`1,..., x k`n q px 1,..., x n q. Vrijedi: S pptq. Skup T je rekurzivno prebrojiv, funkcija p je rekurzivna jer su njezine komponentne funkcije rekurzivne (projekcije na prvih n koordinata). Prema propoziciji skup S je rekurzivno prebrojiv. Iz primjera smo vidjeli da ako je funkcija f : N k Ñ Q rekurzivna da je tada nužno rekurzivan i skup t x P N k f p x q 0u. Neke od posljedica su 1. g, f : N k Ñ Q rekurzivne ñ t x P N k f p x q gp x qu je rekurzivan skup. 2. g, f : N k Ñ N rekurzivne ñ t x P N k f p x q gp x qu je rekurzivan skup. Naime, u prvom slučaju traženi skup možemo zapisati u obliku t x P N k f p x q gp x q 0u. Kako je funkcija f g: N k Ñ Q rekurzivna kao zbroj dvije rekurzivne funkcije, tada se možemo pozvati na primjer i reći da je traženi skup rekurzivan. U drugom slučaju funkciju f možemo zapisati u obliku f p x q p 1q 0 f p x q i promatrati kao 1 funkciju N k ÝÑ Q. Jednako tako promatramo i funkciju g. Tada za skup iz 2 upotrijebimo tvrdnju 1. Lema Neka su f, g: N k Ñ N n rekurzivne funkcije. Tada je rekurzivan skup. S t x P N k f p x q gp x qu Dokaz. Neka su f 1,..., f n komponentne funkcije od f, a g 1,..., g n komponentne funkcije od g. Tada skup S možemo prikazati kao presjek konačno mnogo rekurzivnih skupova: S t x P N k f 1 p x q g 1 p x qu X... X t x P N k f n p x q g n p x qu. Znamo da je presjek rekurzivnih skupova takoder rekurzivan prema propoziciji , dakle S je rekurzivan skup.

20 17 Propozicija Neka su S i T rekurzivno prebrojivi skupovi. Tada su skupovi S Y T, S X T rekurzivno prebrojivi. Dokaz. Ako je barem jedan od skupova S i T prazan skup, tada je S X T H. Tada je S X T rekurzivno prebrojiv po definiciji. Neka su f, g: N Ñ N k rekurzivne funkcije tako da vrijedi f pnq S i gpnq T. Definirajmo funkcije α, β 1, β 2 : N k`2 Ñ N k sa Definiramo skupove Γ 1 i Γ 2 sa αp x, i, jq x β 1 p x, i, jq f piq β 2 p x, i, jq gp jq. Γ 1 tp x, i, jq P N k`2 αp x, i, jq β 1 p x, i, jqu, Γ 2 tp x, i, jq P N k`2 αp x, i, jq β 2 p x, i, jqu. Funkcije α, β 1, β 2 su rekurzivne, pa prema lemi slijedi da su skupovi Γ 1 i Γ 2 rekurzivni. Nadalje, definiramo skup Γ tp x, i, jq P N k`2 x f piq, x gp jqu. Vrijedi Γ Γ 1 X Γ 2, pa je Γ rekurzivan skup kao presjek dva rekurzivna skupa. Dalje zaključujemo x P S X T ô Di, j P N takvi da je p x, i, jq P Γ Skup Γ je rekurzivan, pa je prema rekurzivno prebrojiv. Dakle, prema teoremu skup S X T je rekurzivno prebrojiv. Tvrdnju za S Y T dobivamo analogno. Propozicija Neka su k, n ě 1, f : N k Ñ N n rekurzivna funkcija, S Ď N n rekurzivno prebrojiv. Tada je f 1 ps q rekurzivno prebrojiv skup. Dokaz. Ako je S H tvrdnja je jasna. Pretpostavimo zato S H. Kako je S rekurzivno prebrojiv tada postoji rekurzivna funkcija g: N Ñ N n tako da je S gpnq. Uzmimo proizvoljan x P N k. Vrijedi x P f 1 ps q ô f p x q P S ô Dy P N, f p x q gpyq. Dakle, x P f 1 ps q ako i samo ako postoji y P N tako da je f p x q gpyq. Definiramo skup T tp x, yq P N n`1 f p x q gpyqu. Sada tvrdnju možemo zapisati ovako : x P f 1 ps q ô Dy P N tako da je p x, yq P T.

21 18 POGLAVLJE 2. REKURZIVNO PREBROJIVI SKUPOVI Želimo pokazati da je skup T rekurzivno prebrojiv, jer tada ćemo prema teoremu dobiti da je skup f 1 ps q rekurzivno prebrojiv. No, skup T je i više od toga, on je rekurzivan. Naime, T tp x, yq P N n`1 f p x q gpyqu tp x, yq P N n`1 Fp x, yq Gp x, yqu, gdje su F, G : N k`1 Ñ N n definirane sa Fp x, yq f p x q, Gp x, yq gpyq. Funkcija f je rekurzivna pa postoje komponentne funkcije f 1,... f n koje su rekurzivne. Takoder je funkcija g rekurzivna pa postoje komponentne funkcije g 1,..., g n koje su rekurzivne. Dakle, možemo pisati Fp x, yq p f 1 ppp x, yqq,..., f n ppp x, yqqq, gdje je p: N k`1 Ñ N k projekcija na prvih k koordinata. Dakle, F je rekurzivna funkcija. Zapišimo sada kako izgleda funkcija G Gp x, yq pg 1 pi k`1 k`1 p x, yqq,..., g npi k`1 k`1p x, yqqq. Zaključujemo da je i G rekurzivna funkcija. Dakle, skup T je rekurzivan, pa je i rekurzivno prebrojiv. Prema teoremu skup f 1 ps q je rekurzivno prebrojiv. Najprije dajemo iskaz i dokaz pomoćne leme koja će nam biti od koristi u dokazu sljedećeg teorema. Lema Neka je skup T Ď N k`1 rekurzivan takav da x P N k Dy P N takav da je p x, yq P T. (2.1) Tada postoji rekurzivna funkcija h: N k Ñ N takva da vrijedi Dokaz. Definirajmo funkciju h na sljedeći način: p x, hp x qq P x P N k. (2.2) hp x q µyr p x, yq P T s. Uočimo da je zbog (2.1) funkcija h totalna. Nadalje, pripadnost skupu T možemo izraziti pomoću njegove karakteristične funkcije χ T. Funkciju h zapisujemo na sljedeći način: hp x q µyr sgpχ T p x, yqq 0 s. Odavde se jasno vidi da je funkcija h rekurzivna i da vrijedi (2.2).

22 19 Teorem Neka su k, n ě 1 te S Ď N k`n rekurzivno prebrojiv skup takav da za svaki x P N k postoji y P N n tako da je p x, yq P S. Tada postoji rekurzivna funkcija f : N k Ñ N n takva da vrijedi p x, f p x qq P x P N k. Dokaz. Jer je S rekurzivno prebrojiv skup, postoji rekurzivna funkcija g: N Ñ N k`n takva da je S gpnq. Neka je p: N k`n Ñ N k projekcija na prvih k-koordinata, i q: N k`n Ñ N n projekcija na zadnjih n-koordinata. Vrijedi: Dakle, x P N k ñ D y P N n takav da je p x, yq P S ñ Dz P N takav da je p x, yq gpzq ñ x ppgpzqq. Definiramo skup T tp x, zq P N k`1 rekurzivan. Iz (2.3) x P N k Dz P N takav da je x ppgpzqq. (2.3) x ppgpzqqu. Prema lemi taj skup x P N k Dz P N takav da je p x, zq P T. Iz pomoćne leme slijedi da postoji rekurzivna funkcija h: N k Ñ N takva da vrijedi p x, hp x qq P x P N k. Slijedi, ñ ñ x ppgphp x x P N k p x, qpgphp x qqqq gphp x x P N k p x, qpgphp x qqq P x P N k Definiramo traženu funkciju f : N k Ñ N n, sa f p x q qpgphp x qqq. Funkcije q, g i h su rekurzivne, pa je i f rekurzivna. Lema Neka je f : N k Ñ Q rekurzivna. Tada je skup S t x P N k f p x q ą 0u rekurzivan. Dokaz. Funkcija f se može zapisati na sljedeći način f p x q p 1q ap x q bp x q cp x x P Nk, pri čemu su funkcije a, b, c: N k Ñ N rekurzivne i vrijedi cp x q x P N k. Tada vrijedi f p x q ą 0 ô ap x q P 2N, bp x q 0 ô Ap x q : sgp χ 2N pap x qqq 0, Bp x q : sgpbp x qq 0

23 20 POGLAVLJE 2. REKURZIVNO PREBROJIVI SKUPOVI Sada skup S možemo zapisati na ovaj način: S t x P N k Ap x q 0u X t x P N k Bp x q 0u. Funkcija A je rekurzivna kao kompozicija funkcija sg i χ 2N a koje su rekurzivne, a B je rekurzivna kao kompozicija rekurzivnih funkcija sg i b. Prema primjeru skup S je presjek dva rekurzivna skupa, a prema takav skup je takoder rekurzivan. Teorem Neka je f : N k Ñ R rekurzivna funkcija. Tada je Ω t x P N k f p x q ą 0u rekurzivno prebrojiv skup. Dokaz. Ako je f p xq ď x P N k tada je Ω prazan skup pa je rekurzivno prebrojiv po definiciji. Funkcija f je rekurzivna, pa postoji rekurzivna aproksimacija F : N k`1 Ñ Q takva da je f p x q Fp x, lq ă 2 x P N P N. (2.4) Neka je x P N k takav da vrijedi f p x q ą 0. Tada postoji l P N takav da je Iz (2.4) slijedi Zbrojimo li nejednakosti (2.5) i (2.6) dobijamo f p x q ą 2 2 l. (2.5) Fp x, lq f p x q ą 2 l. (2.6) Fp x, lq ą 2 l. (2.7) Obratno, pretpostavimo da vrijedi (2.7) za neke x P N k i l P N. Iz (2.4) slijedi nejednakost f p x q Fp x, lq ą 2 l. (2.8) Zbrojimo li sada nejednakosti (2.7) i (2.8) dobijamo da je f p x q ą 0. Zaključujemo sljedeće x P Ω ô f p x q ą 0 ô Dl P N takav da je Fp x, lq ą 2 l (2.9) Kako je F rekurzivna funkcija, tada je prema lemi skup tp x, lq P N k`1 Fp x, lq 2 l ą 0u rekurzivan pa prema tome i rekurzivno prebrojiv. Dakle, iz (2.9) slijedi da je Ω rekurzivno prebrojiv skup. Korolar Neka su f, g: N k Ñ R rekurzivne funkcije. Tada je skup Ω t x P N k f p x q ă gp x qu rekurzivno prebrojiv.

24 21 Dokaz. Definiramo funkciju h: N k Ñ R sa hp x q gp x q f p x q. Dakle, h g ` p 1q f. Očito za svaki x vrijedi f p x q ă gp x q ô hp x q ą 0. Stoga je Ω t x P N k hp x q ą 0u. Prema teoremu skup Ω je rekurzivno prebrojiv.

25

26 Poglavlje 3 Izračunljivi metrički prostori Definicija Neka je X neprazan skup te d : X ˆ X Ñ R funkcija tako da vrijedi sljedeće: 1q dpx, yq ě y P X dpx, yq 0 ô x y 2q dpx, yq dpy, y P X 3q dpx, yq ď dpx, zq ` dpz, y, z P X. Tada za d kažemo da je metrika na skupu X, a za uredeni par px, dq kažemo da je metrički prostor. Primjer Neka je d : R ˆ R Ñ R, dpx, yq x y. Tada je d metrika na R. a) dpx, yq ě 0 dpx, yq 0 ô x y 0 ô x y 0 ô x y b) dpx, yq x y y x dpy, xq c) dpx, yq x y x z ` z y ď x z ` z y dpx, zq ` dpz, yq. Za d kažemo da je euklidska metrika na R. 2. Neka je n P N te d : R n ˆ R n Ñ R funkcija definirana sa: dppx 1,..., x n q, py 1,..., y n qq b px 1 y 1 q 2 `... ` px n x n q 2. Može se dokazati da je d metrika na R n (za dokaz vidi [8]). Za d kažemo da je euklidska metrika na R n. 23

27 24 POGLAVLJE 3. IZRAČUNLJIVI METRIČKI PROSTORI Definicija Neka je px, dq metrički prostor, x 0 P X i r ą 0. Definiramo Kpx 0, rq tx P X dpx, x 0 q ă ru. Za Kpx 0, rq kažemo da je otvorena kugla oko x 0 radijusa r u metričkom prostoru px, dq. Primjer Neka je d euklidska metrika na R, x 0 P R i r ą 0. Tada je Naime, za svaki x P R vrijedi Kpx 0, rq xx 0 r, x 0 ` ry. dpx, x 0 q ă r ô x x 0 ă r ô r ă x x 0 ă r ô x 0 r ă x ă x 0 ` r. Definicija Neka je px, dq metrički prostor te S Ď X. Kažemo da je S gust skup u metričkom prostoru px, dq ako za svaki x P X i za svaki ɛ ą 0 postoji s P S tako da je dpx, sq ă ɛ. Uočimo: ako je px, dq metrički prostor, onda je X gust skup u px, dq. Primjer Q je gust skup u metričkom prostoru pr, dq, gdje je d euklidska metrika na R. Naime, neka su x P R i ɛ ą 0. Tada postoji q P Q tako da je x ă q ă x ` ɛ, slijedi q P xx ɛ, x ` ɛy, prema primjeru je dpq, xq ă ɛ. 2. Neka je n P N te d euklidska metrika na R n. Tada je Q n gust skup u metričkom prostoru pr n, dq. Uzmimo x P R n, x px 1,..., x n q, i ɛ ą 0. Slijedi, postoje q 1,..., q n P Q tako da je x 1 q 1 ă ɛ? n,..., x n q n ă ɛ? n. Neka je q pq 1,..., q n q. Tada je dpx, qq ă ɛ. Definicija Za metrički prostor px, dq kažemo da je separabilan ako postoji prebrojiv skup gust u px, dq. Neka je je px, dq metrički prostor te px n q niz u X. Kažemo da je px n q gust niz u px, dq ako je skup tx n n P Nu gust u px, dq. Očito vrijedi: metrički prostor px, dq je separabilan ako i samo ako postoji gust niz u px, dq. Definicija Neka je px, dq metrički prostor te neka je α pα n q gust niz u px, dq. Za uredenu trojku px, d, αq kažemo da je izračunljiv metrički prostor ako je funkcija N 2 Ñ R, pi, jq ÞÑ dpα i, α j q rekurzivna.

28 25 Neka je px, d, αq izračunljiv metrički prostor. Neka je x P X. Kažemo da je x izračunljiva točka u px, d, αq ako postoji rekurzivna funkcija f : N Ñ N tako da je dpx, α f pkq q ă 2 P N. Neka je px i q niz u X. Kažemo da je px i q izračunljiv niz u px, d, αq ako postoji rekurzivna funkcija f : N 2 Ñ N tako da je dpx i, α f pi,kq q ă 2 kq P N 2. Neka je px, d, αq izračunljiv metrički prostor. Tada je α očito izračunljiv niz u px, d, αq. Primjer Neka je pr, dq metrički prostor gdje je d euklidska metrika. Definirajmo funkciju α: N Ñ Q sa αpiq p 1q Epi,2q Epi, P N. Epi, 1q ` 1 Funkcija α je rekurzivna. Pokažimo da je i surjekcija. Neka je q P Q proizvoljan. Možemo ga zapisati u obliku q p 1q c a, za neke a, b, c P N. b ` 1 Tada je αpxq q za x 2 a 3 b 5 c. Dakle, Q Impαq. Skup Q je gust u pr, dq prema primjeru , odnosno niz pα i q ipn je gust u pr, dq. Funkcija H : N 2 Ñ Q, Hpi, jq α i α j je rekurzivna kao zbroj rekurzivnih funkcija α I 2 1 i α I2 2. Tada je funkcija N2 Ñ Q, pi, jq ÞÑ dpα i, α j q Hpi, jq rekurzivna prema propoziciji 1.3.3, a prema primjeru je rekurzivna i kao funkcija N 2 Ñ R. Dakle, pr, d, αq je izračunljiv metrički prostor. Propozicija Neka je pr, d, αq izračunljiv metrički prostor iz primjera Neka je px i q niz u R. Tada je px i q izračunljiv niz u pr, d, αq ako i samo ako je px i q rekurzivan niz u R, tj. rekurzivan kao funkcija N Ñ R. Dokaz. Pretpostavimo da je px i q izračunljiv niz u pr, d, αq, tada postoji rekurzivna funkcija f : N 2 Ñ N takva da je dpx i, α f pi,kq q ă 2 k P N. Po definiciji funkcije d to znači x i α f pi,kq ă 2 k P N. (3.1)

29 26 POGLAVLJE 3. IZRAČUNLJIVI METRIČKI PROSTORI Tada je funkcija N Ñ R, i ÞÑ x i rekurzivna. Pretpostavimo sada da je px i q rekurzivan niz u R, tj. da postoji rekurzivna funkcija F : N 2 Ñ Q takva da je x i Fpi, kq ă 2 k P N. (3.2) Želimo naći rekurzivnu funkciju f : N 2 Ñ N takvu da vrijedi (3.1). Za sve i, k postoji j P N takav da je Fpi, kq α j. Skup Γ tpi, j, kq Fpi, kq α j u je rekurzivan. Znamo: za svaki i, k P N postoji j P N takav da je pi, k, jq P Γ. Prema teoremu postoji rekurzivna funkcija f : N 2 Ñ N takva da vrijedi pi, k, f pi, kqq P k P N. Slijedi, Fpi, kq α f k P N. Iz (3.2) slijedi (3.1). Napomena Neka je px, d, αq izračunljiv metrički prostor i px i q izračunljiv niz u px, d, αq. Tada je x i izračunljiva točka u px, d, αq za svaki i P N. Uočimo i sljedeće: Ako je x P X, onda je x izračunljiva točka u px, d, αq ako i samo ako je niz px, x, x,... q izračunljiv u px, d, αq. Isto tako, ako je x P R, onda je x rekurzivan broj ako i samo ako je konstantna funkcija N Ñ R, i ÞÑ x rekurzivna. Korolar Neka je pr, d, αq izračunljiv metrički prostor iz primjera Neka je x P R. Tada je x izračunljiva točka u pr, d, αq ako i samo ako je x rekurzivan broj. Lema Neka je f : N k Ñ R funkcija, M ą 0 te g: N k`1 Ñ R rekurzivna funkcija takva da je f pxq gpx, iq ă M 2 x P N P N. Tada je funkcija f rekurzivna. Dokaz. Kako je M ą 0 postoji i 0 P N takav da je M 2 i 0 ă 1. Definiramo funkciju g 1 : N n`1 Ñ R sa g 1 p x, iq gp x, i ` i 0 q. Tada je f p x q g 1 p x, iq f p x q gp x, i ` i 0 q ă M 2 pi`i 0q ă 2 x P N P N. (3.3) Prema propoziciji funkcija g 1 je rekurzivna pa postoji rekurzivna funkcija G : N n`2 Ñ Q takva da vrijedi g 1 p x, iq Gp x, i, jq ă 2 x P N j P N. (3.4) Zbrojimo li nejednakosti (3.3) i (3.4), po nejednakosti trokuta možemo zaključiti: f p x q Gp x, i, jq ă 2 j ` 2 x P N j P N.

30 27 Definirajmo funkciju F : N k`1 Ñ Q na sljedeći način: Fp x, iq Gp x, i ` 1, i ` 1q. To je rekurzivna aproksimacija funkcije f, naime f p x q Fp x, iq f p x q Gp x, i ` 1, i ` 1q ă 2 i`1 ` 2 i`1 2 x P N P N. Dakle, funkcija f je rekurzivna. Propozicija Neka je px, d, αq izračunljiv metrički prostor te neka su px i q i py j q izračunljivi nizovi u px, d, αq. Tada je funkcija N 2 Ñ R, pi, jq ÞÑ dpx i, y j q rekurzivna. Iskažimo najprije lemu koja će nam biti od koristi u dokazu ove propozicije. Lema Neka je px, dq metrički prostor te neka su a, a 1, b, b 1 P X. Tada vrijedi: dpa, bq dpa 1, b 1 q ď dpa, a 1 q ` dpb, b 1 q. Dokaz. Koristeći nejednakost trokuta dobivamo: dpa, bq ď dpa, a 1 q ` dpa 1, bq ď dpa, a 1 q ` dpa 1, b 1 q ` dpb, b 1 q Iz toga slijedi, dpa, bq dpa 1, b 1 q ď dpa, a 1 q ` dpb, b 1 q. Zamijenimo li uloge a i a 1 te b i b 1 dobivamo: dpa 1, b 1 q dpa, bq ď dpa, a 1 q ` dpb, b 1 q. Sve zajedno, vrijedi dpa 1, b 1 q dpa, bq ď dpa, a 1 q ` dpb, b 1 q. Dokaz. propozicije Nizovi px i q, py j q su izračunljivi u px, d, αq, što znači da postoje rekurzivne funkcije f 1, f 2 : N 2 Ñ N takve da vrijedi dpx i, α f1 pi,kqq ă 2 k, Neka su i, j, k P N. Iz leme slijedi: dpy j, α f2 p j,kqq ă 2 j, k P N. dpx i, y j q dpα f1 pi,kq, α f2 p j,kqq ă 2 2 k.

31 28 POGLAVLJE 3. IZRAČUNLJIVI METRIČKI PROSTORI Prema lemi dovoljno je dokazati da je funkcija N 3 Ñ R, pi, j, kq ÞÑ dpα f1 pi,kq, α f2 p j,kqq rekurzivna. No ova funkcija je rekurzivna prema propoziciji jer je kompozicija funkcije N 3 Ñ N 2, pi, j, kq ÞÑ p f 1 pi, kq, f 2 p j, kqq i funkcije N 2 Ñ R, pi, jq ÞÑ dpα i, α j q (koja je rekurzivna po definiciji izračunljivog metričkog prostora). Propozicija Neka je px, d, αq izračunljiv metrički prostor te px i q niz u X. Tada je px i q izračunljiv niz u px, d, αq ako i samo ako je funkcija h: N 2 Ñ R, hpi, jq dpx i, α j q rekurzivna. Dokaz. Ako je px i q izračunljiv niz, onda je funkcija h rekurzivna prema propoziciji Obratno, pretpostavimo da je h rekurzivna funkcija. Neka su i, k P N. Tada postoji j P N takav da vrijedi dpx i, α j q ă 2 k. Dakle, za svake i, k P N postoji j P N takav da je pi, k, jq P S, pri čemu je Neka su f, g: N 3 Ñ R funkcije definirane s: S tpi, k, jq P N 3 dpx i, α j q ă 2 k u. f pi, k, jq hpi, jq gpi, k, jq 2 k Funkcija f je rekurzivna po pretpostavci, a g je čak rekurzivna kao funkcija N 3 Ñ Q (jer je N 3 Ñ N, pa, bq ÞÑ a b rekurzivna). Prema tome je g rekurzivna i kao funkcija N 3 Ñ R. Skup S sada možemo zapisati u ovom obliku S tpi, k, jq P N 3 f pi, k, jq ă gpi, k, jqu, pa iz korolara slijedi da je S rekurzivno prebrojiv. Prema teoremu postoji rekurzivna funkcija F : N 2 Ñ N takva da je Dakle, odnosno px i q je izračunljiv niz. pi, k, Fpi, kqq P k P N. dpx i, α f pi,kq q ă 2 k P N, Korolar Neka je px, d, αq izračunljiv metrički prostor, a izračunljiva točka u px, d, αq te px i q izračunljiv nizu px, d, αq. Tada je funkcija N Ñ R, i ÞÑ dpa, x i q rekurzivna. Dokaz. Neka je niz py j q definiran s y j j P N. Tada je py j q izračunljiv niz pa je funkcija N 2 Ñ R, pi, jq ÞÑ dpy j, x i q rekurzivna prema propoziciji Kompozicija ove funkcije s funkcijom N Ñ N 2, i ÞÑ pi, 0q je tražena funkcija. Time je tvrdnja korolara dokazana.

32 Poglavlje 4 Strukture izračunljivosti Definicija Neka je px, dq metrički prostor te neka je S skup nizova u X koji ima sljedeća svojstva: 1. px i q, py j q P S povlači da je funkcija N 2 Ñ R, pi, jq ÞÑ dpx i, y j q rekurzivna. 2. ako je px j q P S, f : N 2 Ñ N rekurzivna funkcija te py i q niz u X takav da je onda je py i q P S. dpy i, x f pi,kq q ă 2 k P N, Tada za S kažemo da je struktura izračunljivosti na metričkom prostoru px, dq. Definicija Neka je px, d, αq izračunljiv metrički prostor. Označimo sa S α skup svih nizova koji su izračunljivi u px, d, αq. Propozicija Neka je px, d, αq izračunljiv metrički prostor. Tada je S α struktura izračunljivosti na px, dq. Dokaz. Svojstvo 1. iz definicije strukture izračunljivosti slijedi iz propozicije Dokažimo svojstvo 2. Neka je px j q P S α i neka je f : N 2 Ñ N rekurzivna funkcija. Pretpostavimo da je py i q niz u X tako da vrijedi dpy i, x f pi,kq q ă 2 k P N. (4.1) Budući da je px j q izračunljiv niz u px, d, αq postoji rekurzivna funkcija F : N 2 Ñ N takva da vrijedi: dpx j, α Fp j,kq q ă 2 j, k P N. Posebno, za sve i, k P N vrijedi dpx f pi,kq, α Fp f pi,kq,kq q ă 2 k. (4.2) 29

33 30 POGLAVLJE 4. STRUKTURE IZRAČUNLJIVOSTI Iz (4.1) i (4.2) slijedi dpy i, α Fp f pi,kq,kq q ă 2 2 k P N. (4.3) Definiramo F 1 ovako: F 1 pi, kq Fp f pi, k ` 1q, k ` 1q. Očito je F 1 rekurzivna funkcija, a prema (4.3) vrijedi: dpy i, α F 1 pi,kqq ă 2 k P N. Dakle, py i q P S α. Dokazali smo da je S α struktura izračunljivosti. Propozicija Neka je S struktura izračunljivosti na metričkom prostoru px, dq. Neka je px i q P S, te neka je f : N Ñ N rekurzivna funkcija. Tada je px f piq q ipn P S. Dokaz. Želimo pokazati da postoji F : N 2 Ñ N rekurzivna funkcija tako da vrijedi dpx f piq, x Fpi,kq q ă 2 k P N. Tada će po 2. iz definicije strukture izračunljivosti slijediti da je px f piq q ipn P S. Definiramo F ovako: Fpi, kq f piq. F je rekurzivna i vrijedi dpx f piq, x Fpi,kq q 0 ă 2 k P N. Definicija Neka je px, dq metrički prostor te neka je α niz u X. Kažemo da je α efektivan separirajući niz u px, dq ako je α gust u px, dq te ako je funkcija N 2 Ñ R, pi, jq ÞÑ dpα i, α j q rekurzivna. Dakle, α je efektivan separirajući niz u px, dq ako i samo ako je px, d, αq izračunljiv metrički prostor. Definicija Neka je px, dq metrički prostor te neka su α, β efektivni separirajući nizovi u px, dq. Kažemo da su α i β ekvivalentni i pišemo α β ako je α izračunljiv niz u izračunljivom metričkom prostoru px, d, βq. Propozicija Neka je px, dq metrički prostor te neka su α i β efektivni separirajući nizovi takvi da je α β. Tada je β α.

34 31 Dokaz. Iz pretpostavke da su α i β izračunljivi nizovi u px, d, βq slijedi da je funkcija N 2 Ñ N, pi, jq ÞÑ dpβ i, α j q rekurzivna. Prema propoziciji je β izračunljiv niz u px, d, αq. Dakle, vrijedi β α. Propozicija Neka je px, dq metrički prostor te neka su α i β efektivni separirajući nizovi u px, dq. Tada je α β ako i samo ako je S α S β. Dokaz. Pretpostavimo da vrijedi α β. Neka je px i q P S α. Tada je px i q izračunljiv niz u px, d, αq, pa postoji rekurzivna funkcija F 1 : N 2 Ñ N takva da je dpx i, α F1 pi,kqq ă 2 k P N. Nadalje, α P S β, a znamo da je S β struktura izračunljivosti. Prema svojstvu 2. iz definicije strukture izračunljivosti je px i q P S β, tj. S α Ď S β. Zbog prethodne propozicije je β α, odnosno prema upravo dokazanom S β Ď S α, pa slijedi S α S β. Obratno, neka je S α S β. Niz α je izračunljiv u px, d, αq, odnosno α P S α, tj. α P S β a to upravo znači da je α izračunljiv u px, d, βq. Dakle α β. Korolar Neka je px, dq metrički prostor. Relacija je relacija ekvivalencije na skupu svih efektivnih separirajućih nizova u px, dq. Dokaz. Refleksivnost relacije je očita. Simetričnost slijedi iz dokazane propozicije , a trazitivnost dobijemo iz sljedećeg: α β ñ S α S β β γ ñ S β S γ ñ S α S γ ñ α γ. Zapravo smo sva tri svojstva mogli dobiti iz zadnje propozicije. Primjer Neka je px, dq metrički prostor te neka je a P X. Neka je px i q niz u X definiran s x i a za svaki i P N. Neka je S tpx i qu. Tada je S struktura izračunljivosti na px, dq. Očito je svojstvo 1. iz definicije strukture izračunljivosti zadovoljeno. Pretpostavimo da je py i q niz u X te f : N 2 Ñ N rekurzivna funkcija takva da vrijedi Fiksirajmo i P N. Tada vrijedi dpy i, x f pi,kq q ă 2 k P N. dpy i, aq ă 2 P N. Stoga je dpy i, aq 0, pa je y i a. Dakle, py i q px i q, pa je py i q P S. Time smo dokazali svojstvo 2.

35 32 POGLAVLJE 4. STRUKTURE IZRAČUNLJIVOSTI Definicija Neka je px, dq metrički prostor te neka je S struktura izračunljivosti na px, dq. Kažemo da je S separabilna struktura izračunljivosti na px, dq ako postoji gust niz px i q u px, dq takav da je px i q P S. Propozicija Neka je px, dq metrički prostor te S struktura izračunljivosti na px, dq. Tada je S separabilna struktura izračunljivosti na px, dq ako i samo ako postoji efektivan separirajući niz α u px, dq tako da je S S α. Dokaz. Ako je S S α za neki efektivan separirajući niz α, onda je α P S, pa je S separabilna struktura izračunljivosti. Obratno, pretpostavimo da je S separabilna struktura izračunljivosti, tj. da postoji α pα i q P S takav da je α gust u px, dq. Niz α je efektivan separirajući jer je gust i α P S, pa prema svojstvu 1. iz definicije vrijedi da je funkcija N 2 Ñ R, pi, jq ÞÑ dpα i, α j q rekurzivna. (Stavili smo px i q pα i q, py j q pα j q). Dokažimo da je S S α. Neka je px i q P S. Znamo da je α P S, pa prema 1. iz definicije strukture izračunljivosti vrijedi da je funkcija N 2 Ñ R, pi, jq ÞÑ dpx i, α j q rekurzivna. Prema propoziciji slijedi da je px i q izračunljiv niz u px, d, αq. Prema to je px i q P S α. Neka je px i q P S α. Tada je px i q izračunljiv niz u px, d, αq, tj. postoji rekurzivna funkcija F : N 2 Ñ N takva da je dpx i, α Fpi,kq q ă 2 k. Kako je α P S, slijedi px i q P S. Definicija Neka je px, dq metrički prostor te neka su px i q, py j q nizovi u X. Pišemo px i q py j q ako je funkcija N 2 Ñ R, pi, jq ÞÑ dpx i, y j q rekurzivna. Uočimo da je gust niz α u metričkom prostoru px, dq efektivan separirajući ako i samo ako vrijedi α α. Pišemo py i q ĺ px i q ako postoji rekurzivna funkcija F : N 2 Ñ N tako da je dpy i, x Fpi,kq q ă 2 k P N. Uz ovakve oznake, strukturu izračunljivosti S na metričkom prostoru px, dq možemo definirati kao skup nizova u X sa sljedećim svojstvima: 1. px i q py j q za sve px i q, py j q P S, 2. px i q P S i py i q ĺ px i q povlači py i q P S. Nadalje, ako je α efektivan separirajući niz u metričkom prostoru px, dq, onda je S α tpx i q px i q ĺ αu.

36 4.1. KARDINALNOST SKUPA REKURZIVNIH BROJEVA 33 Ako je px, dq metrički prostor koji ima separabilnu strukturu izračunljivosti, onda je px, dq separabilan metrički prostor. Naime, ako je S separabilna struktura izračunljivosti na px, dq onda postoji niz px i q P S tako da je px i q gust u px, dq. Primjer Neka je X H, te neka je d : X ˆ X Ñ R funkcija definirana sa # 1, x y dpx, yq. 0, x y Tvrdimo da je d metrika na X. Lako se provjere svojstva 1. i 2. iz definicije metrike. Provjerimo svojstvo 3. Neka su x, y, z P X. Ako je x y, tada je dpx, yq 0, pa nejednakost dpx, yq ď dpx, zq ` dpz, yq očito vrijedi. Ako je x y onda je dpx, yq 1, no u tom slučaju vrijedi x z ili y z, pa je desna strana nejednakosti sigurno veća ili jednaka od 1. Za d kažemo da je diskretna metrika na skupu X. Pretpostavimo da je A gust skup u metričkom prostoru px, dq. Tvrdimo da je tada A X. Naime, neka je x P X. Tada za svaki ε ą 0 postoji a P A takav da je dpx, aq ă ε, posebno i za ε 1 ă 1 postoji takav a, ali zbog definicije metrike d to je istina samo ako 2 je a x. Neka je X neprebrojiv skup te neka je d diskretna metrika na X. Tada, prema prethodnom primjeru, metrički prostor px, dq nije separabilan. Posebno, px, dq nema separabilnu strukturu izračunljivosti. Dakle, metrički prostor općenito ne mora imati separabilnu strukturu izračunljivosti, iako prema primjeru svaki metrički prostor ima strukturu izračunljivosti. 4.1 Kardinalnost skupa rekurzivnih brojeva Za k P Nzt0u označimo sa RpN k, Nq skup svih rekurzivnih funkcija N k Ñ N. Analogno definiramo oznake RpN k, Qq, RpN k, Rq. Znamo da je skup svih rekurzivnih funkcija prebrojiv, dakle RpN k, Nq je prebrojiv skup. Za svaki f P RpN k, Qq postoje a f, b f, c f P RpN k, Nq takvi da je f pxq p 1q a f pxq b f pxq c f P Nk. Funkcija RpN k, Qq Ñ RpN looooooooooooooooooomooooooooooooooooooon k, Nq ˆ RpN k, Nq ˆ RpN k, Nq, f ÞÑ pa f, b f, c f q je očito injekcija. Skup p q je prebrojiv, pa je i RpN k, Qq prebrojiv. p q

37 34 POGLAVLJE 4. STRUKTURE IZRAČUNLJIVOSTI Za svaku f P RpN k, Rq odaberemo neku rekurzivnu aproksimaciju od f i označimo je s F f. Jasno je da je F f P RpN k`1, Qq. Pokažimo da je funkcija RpN k, Rq ÞÑ RpN k`1, Qq, f ÞÑ F f (4.4) injekcija. Naime, neka je f P RpN k, Rq i x P N k. Tada za svaki i P N vrijedi f pxq F f px, iq ă 2 i. Neka je ε ą 0. Tada postoji i 0 P N takav da je 2 i 0 ă ε. Tada za svaki i ě i 0 vrijedi f pxq F f px, iq ă 2 i ď 2 i 0 ă ε. Prema tome zaključujemo lim iñ8 F f px, iq f pxq. Uzmimo f, g P RpN k, Rq takve da vrijedi F f F g. Tada za svaki x P N k imamo f pxq lim i F f px, iq lim i F g px, iq gpxq, dakle f pxq gpxq. Prema tome f g. Time smo dokazali da je funkcija (4.4) injekcija. Iz toga slijedi da je skup RpN k, Rq prebrojiv. Neka je R skup svih rekurzivnih brojeva. Ako je x P R, onda je funkcija N Ñ R, i ÞÑ x (tj. niz px, x,...q) rekurzivna prema napomeni Funkcija R Ñ RpN, Rq, x ÞÑ px, x,...q je očito injekcija, pa slijedi da je R prebrojiv skup. 4.2 Separabilne strukture izračunljivost Definicija Neka je n P Nzt0u, neka je d euklidska metrika na R n te neka je X Ď R n, X H. Tada je d XˆX očito metrika na X. Za d XˆX kažemo da je euklidska metrika na X. Primjer Skup R je neprebrojiv, a R prebrojiv. Stoga postoji γ P R takav da γ R. Znamo da je x P R ako i samo ako je x P R, pa slijedi γ R. Stoga možemo pretpostaviti γ ą 0. Neka je X t0, γu te neka je d euklidska metrika na X. Metrički prostor px, dq je očito separabilan, no ne postoji separabilna struktura izračunljivosti na px, dq. Dokažimo to. Pretpostavimo suprotno. Tada postoji efektivan separirajući niz α u px, dq. Slijedi Imα t0, γu (4.5) Funkcija N 2 Ñ R, pi, jq ÞÑ dpα i, α j q je rekurzivna, pa je prema primjeru dpα i, α j q rekurzivan broj za sve i, j P N. Specijalno, to vrijedi i za i, j takve da je α i 0, α j γ (oni postoje zbog (4.5)). Slijedi, dp0, γq 0 γ γ,