Univerzitet u Nixu Prirodno-matematiqki fakultet Departman za matematiku Tenzorska analiza u teoriji relativnosti Master rad Mentor: Prof. Dr ǈubica V

Univerzitet u Nixu Prirodno-matematiqki fakultet Departman za matematiku Tenzorska analiza u teoriji relativnosti Master rad Mentor: Prof. Dr ǈubica Velimirovi Student: Vladislava Stankovi Nix, 2015.

PREDGOVOR Diferencijalna geometrija ima veliku primenu u fizici, naroqito u teoriji relativnosti. Tvorac moderne teorije relativnosti je Albert Ajnxtajn. Ajnxtajn je rođen 1978. godine u Ulmu, bio je teorijski fiziqar, jedan od najve ih umova i najznaqajnijih liqnosti u svetskoj istoriji. Predmet ǌegovih istraжivaǌa su bile kapilarne sile, Specijalna i Opxta teorija relativnosti, kosmologija, Braunovo kretaǌe, termodinamika svetlosti pri maloj gustini zraqeǌa, fotoelektriqni efekat, Voltin efekat itd. Iako je bio najpoznatiji po teoriji relativnosti, 1921. godine je dobio Nobelovu nagradu za objaxǌeǌe fotoelektriqnog efekta kao i za doprinos razvoju teorijske fizike. Umro je 1955. godine u Prinstonu. Ovaj master rad je nastao iz жeǉe da se znaǌa iz diferencijalne geometrije sagledaju i iz ugla matematici srodne nauke - fizike. Sam rad ima tri dela, sa velikim brojem definicija i teorema koje su bile neophodne za boǉe razumevaǌe osnovnih pojmova diferencijalne geometrije na kojima je izgrađena teorija relativnosti. U prvom delu se nalaze osnovne definicije i teoreme tenzorske algebre. Istaknimo pojam pseudoeuklidskog prostora, qiji je specijalan sluqaj prostor Minkovskog, i algebarske operacije sa tenzorima. Drugi deo rada je posve en tenzorskoj analizi i Rimanovim prostorima. Uvodimo pojam kovarijantnog i kontravarijantnog metriqkog tenzora, definixemo Kristofelove simbole, kovarijantni izvod tenzora, geodezijske linije, kao i Riqijev i Ajnxtajnov tenzor. Tre i deo je centralni deo ovog rada i obuhvata osnovne pojmove teorije relativnosti. Posebnu paжǌu posve ujemo izvođeǌu Ajnxtajnovih jednaqina poǉa. Zahvaǉujem se svom mentoru, prof. dr ǈubici Velimirovi na podrxci i pomo i pri izradi master rada.

SADRЖAJ 1 Uvod u tenzorsku algebru 7 1.1 Sistemi veliqina i operacije sa ǌima................ 7 1.2 Pseudoeuklidski i euklidski prostor................. 10 1.2.1 Pseudoeuklidski prostor................... 10 1.2.2 Euklidski prostor....................... 13 1.3 Transformacija promenǉivih. Invarijante i tenzori I reda..... 16 1.3.1 Skalarne invarijante..................... 16 1.3.2 Kontravarijantni tenzori I reda............... 17 1.3.3 Kovarijantni tenzori I reda................. 18 1.4 Tenzori vixeg reda.......................... 18 1.5 Algebarske operacije sa tenzorima.................. 21 2 Tenzorska analiza. Rimanovi prostori 25 2.1 Definicija Rimanovog prostora.................... 25 2.2 Kovarijantni i kontravarijantni metriqki tenzor.......... 28 2.3 Dizaǌe i spuxtaǌe indeksa...................... 30 2.3.1 Pridruжeni vektori u Rimanovom prostoru. Fiziqke koordinate vektora........................ 30 2.3.2 Pridruжeni vektori u euklidskom prostoru......... 31 2.3.3 Dizaǌe i spuxtaǌe indeksa kod sistema proizvoǉnog reda.. 34 2.4 Skalarni proizvod vektora u Rimanovom prostoru.......... 35 2.5 Kristofelovi simboli u Rimanovom prostoru............ 37 2.5.1 Definicija i osnovne osobine Kristofelovih simbola.... 37 2.5.2 Transformacija Kristofelovih simbola........... 40 2.6 Kovarijantni izvod tenzora...................... 44 2.6.1 Definicija i tenzorski karakter kovarijantnog izvoda.... 44 2.6.2 Kovarijantni izvodi metriqkih tenzora............ 47 2.6.3 Osobine kovarijantnog izvoda................. 48 2.6.4 Gradijent. Diferencijalni operatori I reda......... 49 2.6.5 Divergencija vektora i tenzora................ 49 2.6.6 Rotor............................. 50 2.6.7 Diferencijalni operatori II reda. Laplasijan........ 51 5

6 SADRЖAJ 2.7 Izvod u pravcu, apsolutni izvod i apsolutni diferencijal..... 55 2.8 Paralelno pomeraǌe i geodezijske linije............... 57 2.8.1 Paralelno pomeraǌe vektora u E N.............. 57 2.8.2 Paralelno pomeraǌe tenzora u R N.............. 58 2.8.3 Geodezijske linije u R N.................... 59 2.8.4 Geodezijske linije na povrxi u E 3.............. 60 2.9 Riqijev identitet i tenzor krivine u R N............... 66 2.9.1 Riqijev identitet i mexoviti tenzor krivine........ 66 2.9.2 Kovarijantni tenzor krivine................. 68 2.9.3 Riqijev tenzor......................... 71 2.10 Specijalni koordinatni sistemi u R N i ǌihova primena...... 72 2.10.1 Geodezijske koordinate u R N................. 72 2.10.2 Rimanove koordinate u R N.................. 73 2.10.3 Drugi Bjankijev identitet, invarijanta krivine i Ajnxtajnov tenzor........................... 74 3 Uvod u Ajnxtajnovu teoriju relativnosti 79 3.1 Ajnxtajnovi postulati......................... 79 3.2 Dilatacija vremena.......................... 83 3.3 Grafici u prostor-vremenu...................... 86 3.4 Prostor-vreme i Ajnxtajnove jednaqine poǉa............. 87

Deo 1 Uvod u tenzorsku algebru 1.1 Sistemi veliqina i operacije sa ǌima U Dekartovom koordinatnom sistemu taqka i vektor su određeni svojim koordinatama, pa se, na primer u trodimenzionom euklidskom prostoru E 3 taqka izraжava sa tri koordinate x, y, z i pixe se M(x, y, z). Drugi primer su elementi determinante tre eg reda, koje obiqno obeleжavamo sa dva indeksa, a ij, gde prvi indeks oznaqava redni broj vrste, a drugi redni broj kolone. Qesto se, takođe, redni broj vrste oznaqava gorǌim indeksom, a redni broj kolone doǌim, pa pixemo a i j (i, j = 1, 2, 3). Matrice sa navedenim elementima emo oznaqavati, npr. (a ij ) odnosno (a i j), a determinante det(a ij ), det(a i j). Takođe je poznat primer beskonaqnih nizova a 1, a 2,..., odnosno a i (i = 1, 2,...). Ovakav, uređen skup brojeva ili funkcija zva emo sistem. Indeksi se, u zavisnosti od potrebe, mogu pisati kao doǌi ili kao gorǌi i uzimati vrednosti 1, 2,..., N, gde je N neki konaqan ili beskonaqan broj. Mi emo, ako nije drugaqije naglaxeno, smatrati da je N konaqan prirodan broj. Pri upotrebi gorǌih indeksa stepenovaǌe emo oznaqavati zagradom, npr. (a) 3 = a a a, dok je a 3 tre i element sistema a i. Neki određeni, npr. M-ti element sistema a i oznaqavamo velikim slovom M, tj. a M. Indeks koji moжe uzimati razne vrednosti zovemo promenǉivi (teku i), a neki određeni je fiksirani indeks. Na primer, u a i j indeksi i, j su teku i, a u a 1 j indeks 1 je fiksiran. Kod sistema razlikujemo red i tip sistema. Na primer: a i je sistem I reda, tipa (1, 0); a i je sistem I reda, tipa (0, 1); a ij je sistem II reda, tipa (2, 0); a ij k je sistem III reda, tipa (2, 1). Sistemi I i II reda mogu da se napixu u vidu matrice. Za veliqinu bez indeksa, npr. a, kaжemo da je sistem reda 0. Ako se pri razmeni mesta neka dva indeksa, vrednost elemenata sistema ne meǌa, npr. a ijk = a kji, kaжemo da je simetriqan po tom paru indeksa, 7

8 1. Uvod u tenzorsku algebru a ako se meǌa samo znak, npr. a ijk = a kji, kaжemo da je antisimetriqan (kososimetriqan) po tom paru. Moжe se govoriti samo o simetriji ili antisimetriji po paru indeksa istog tipa, tj. ako su oba indeksa gorǌi ili oba doǌi. Upotreba doǌih i gorǌih indeksa je naroqito korisna ako se primeǌuje Ajnxtajnova konvencija za sabiraǌe, koja glasi: Ako se jedan indeks u nekom qlanu (sabirku) javǉa istovremeno kao doǌi i kao gorǌi, po tom indeksu se podrazumeva sabiraǌe i bez znaka Σ. Takav indeks se zove nemi indeks i on se moжe zameniti i drugim slovom. Na primer, a i i = N a i i = a 1 1 +... + a N N = a s s. i=1 Ako koordinate taqke u E 3 obeleжimo sa x 1, x 2, x 3, jednaqina ravni se moжe napisati u obliku a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + d = 0 tj. a i x i + d = 0 (i = 1, 2, 3), a bilinearna forma a 11 x 1 y 1 +a 12 x 1 y 2 +a 21 x 2 y 1 +a 22 x 2 y 2 u obliku a ij x i y j (i, j = 1, 2). Promenǉivi indeks, koji nije nemi, zove se slobodan indeks. Broj elemenata nekog sistema se određuje na osnovu slobodnih indeksa. Na primer, pretpostavimo da indeksi uzimaju vrednosti 1, 2, 3. Tada je u sistemu a ij jk broj elemenata 3 2, jer su 2 indeksa slobodna. To su elementi b i k = a i1 1k + a i2 2k + a i3 3k (i, k = 1, 2, 3), koji se dobijaju za (i, k) {(1, 1), (1, 2), (1, 3); (2, 1), (2, 2), (2, 3); (3, 1), (3, 2), (3, 3)}. Dva sistema istoga tipa su jednaka, ako su im odgovaraju i elementi jednaki (to su elementi koji imaju iste i sa istim rasporedom i poloжajem indekse). Na primer, za i, j = 1, 2 vaжi a i j = b i j (a 1 1 = b 1 1 a 1 2 = b 1 2 a 2 1 = b 2 1 a 2 2 = b 2 2). Zbir dva sistema istog tipa je sistem tog istog tipa, sa elementima koji su zbirovi odgovaraju ih elemenata sistema sabiraka. Na primer, c ij k = aij k + bij k. Sistem pomnoжen brojem (funkcijom) je sistem, qiji su svi elementi pomnoжeni tim brojem (funkcijom). Odavde, na osnovu definicije zbira, za razliku vaжi: a ij k bij k = aij k + ( 1)bij k = dij k. (Spoǉni) proizvod dva sistema je sistem qiji su elementi dobijeni tako xto se svaki element jednog sistema pomnoжi svim elementima drugog sistema. Na primer, c ijl k = aij b l k.

1.1. Sistemi veliqina i operacije sa ǌima 9 Vidimo da je u ovom sluqaju proizvod sistema a ij tipa (2, 0) i sistema b l k tipa (1, 1) sistem c ijl k tipa (3, 1). Uopxte, lako se zakǉuquje da je proizvod sistema tipa (a, b) i sistema tipa (c, d) sistem tipa (a + c, b + d). Kontrakcija (saжimaǌe) je operacija koja se sastoji u tome da se u sistemu dva indeksa, od kojih je jedan gorǌi, a drugi doǌi, obeleжe istim slovom i po ǌima se podrazumeva sabiraǌe, jer se time dobija nemi indeks. Ako se izvrxi kontrakcija po jednom paru slobodnih indeksa, tj. dobija se nemi indeks, time se red sistema smaǌuje za dva, a od sistema tipa (p, q) dobija se sistem tipa (p 1, q 1). Na primer, sistem a ijk lm je tipa (3, 2), dok je aijk im tipa (2, 1), a sistem a ijk ik je tipa (1, 0), tj. tip sistema određuje broj i raspored slobodnih indeksa. Pri kontrakciji se ponovǉeni indeks moжe oznaqiti bilo kojim slovom, ali ako imamo dva para ponovǉenih indeksa, slovo upotrebǉeno za jedan par, mora se razlikovati od slova za drugi par. Na primer, a ijk ijl = a jik jil = a pjk pjl itd. Da bismo oznaqili neki opxti qlan u kome su jednaki jedan gorǌi i jedan doǌi indeks, npr. a 1j 1, a 2j 2, a 3j 3 ne moжemo pisati aiji, jer je aiji = a 1j 1 + a 2j 2 + a 3j 3, ve se tu obiqno upotrebǉava veliko slovo, tj. u naxem primeru pixemo a P j P za P = 1, 2, 3. Kompozicija (unutraxǌe mnoжeǌe) dva sistema je operacija koja se sastoji iz mnoжeǌa i kontrakcije po paru indeksa, od kojih se doǌi nalazi u jednom qiniocu, a gorǌi u drugom. Na primer, a ip b j p = a i1 b j 1 +... + a in b j N = cij, tj. dobija se sistem tipa (2, 0). Kronekerovi simboli su δ i j, δ ij, δ ij, i imaju vrednost 1 kada je i = j = K, gde je K prirodan broj, a vrednost 0 za i j tj. δ i j = δ ij = δ ij = { 1, za i = j = K 0, za i j. (1.1) Naglasimo da je vrednost 1 kada je K fiksirano, jer za nefiksirano i = j imamo, kada se indeksi meǌaju od 1 do N imamo δ i i = δ 1 1 +... + δ N N = 1 +... + 1 = N, (1.2) dok je δ K K = 1. Kronekerovi simboli imaju primenu u mnogim sluqajevima. Na primer, ako imamo N nezavisno promenǉivih x i (i = 1,..., N), onda je jer je xp x = 1, x P = 0 P za P Q. xq x i x j = δi j, (1.3)

10 1. Uvod u tenzorsku algebru x i Ako nezavisno promenǉive x i zavise od drugih promenǉivih (i = 1,..., N ), tj. x i = x i (x 1,..., x N ), imamo pri qemu je i nemi indeks. x i x i x i x j = xi x j = δi j, (1.4) Primetimo da se u xi x i gorǌi indeks i ispod razlomaqke crte posmatra kao doǌi indeks. Umesto x i za druge promenǉive moжemo pisati, npr. x i ili y i, pa bismo umesto (1.4) imali tj. Kronekerov simbol δ i j x i x p x p x j = δi j, odnosno xi y p y p x j = δi j. se zove i supstitucioni faktor, jer je: δ i pa p = δ i 1a 1 + δ i 2a 2 + + δ i N = a i, δ i pa p = a i. (1.5) Na ovaj naqin iz a p dobijamo a i, odn. izvrxena je supstitucija indeksa. 1.2 Pseudoeuklidski i euklidski prostor 1.2.1 Pseudoeuklidski prostor Definicija 1.2.1. Afini N-dimenzioni prostor A N nad poǉem K je skup elemenata dveju vrsta, taqaka i vektora, koji zadovoǉavaju slede e aksiome: 1. Skup svih vektora iz A N je N -dimenzioni vektorski prostor nad poǉem K. 2. Svaki uređeni par taqaka (A, B) određuje jedinstveni vektor v = AB. 3. Za proizvoǉnu taqku A i proizvoǉan vektor v postoji jedinstvena taqka B takva da je v = AB. 4. Ako je u = AB, v = CD, tada je u + v = AC. Na osnovu aksioma afinog prostora, dolazimo do direktnih posledica. Navedimo neke od ǌih. 1. Ako je AB = CD = v, onda je B C. 2. Za svaku taqku A afinog prostora je AA = 0. 3. BA = AB 4. Proizvoǉno zadati vektor v indukuje potpuno određenu translaciju taqaka afinog prostora. Slede om definicijom uvodimo pojam koordinatnog sistema i koordinata u afinom prostoru A N.

1.2. Pseudoeuklidski i euklidski prostor 11 Definicija 1.2.2. Koordinatni sistem u afinom prostoru A N se sastoji iz: 1. neke taqke O A N tj. koordinatnog poqetka, 2. baze e 1,..., e N pridruжenog vektorskog prostora X N. Koordinate vektora v u tom koordinatnom sistemu su koordinate tog vektora u bazi e 1,..., e N. One ne zavise od izbora koordinatnog poqetka O. Koordinate taqke M afinog prostora su koordinate vektora OM. U oba sluqaja je req o afinim koordinatama vektora, odn. taqke u afinom koordinatnom sistemu, a baza e 1,..., e N je afina baza. Da bi afini prostor bio metriqki prostor, definixe se pojam skalarnog proizvoda u pridruжenom vektorskom prostoru. Definicija 1.2.3. Skalarni proizvod u vektorskom prostoru X N je proizvoǉna realna funkcija, koja elementima x i y skupa X N pridruжuje broj x y skupa R pri qemu za proizvoǉne elemente x, y, z iz X N i λ iz R vaжe aksiome skalarnog proizvoda: 1. x (y + z) = x y + y z, 2. λ(x y) = (λx) y = x (λy), 3. x y = y x, 4. Ako je x y = 0 za svako y iz X N, tada je x = 0. Definicija 1.2.4. Vektorski (linearni) prostor u kome je definisan skalarni proizvod zove se pseudoeuklidski vektorski (linearni) prostor. Definicija 1.2.5. Afini prostor A N pseudoeuklidski prostor. snabdeven skalarnim proizvodom zove se Definicija 1.2.6. U pseudoeuklidskom prostoru duжina (intenzitet, norma) vektora x, u oznaci x ili x, je a ugao φ između nenula vektora x i y je dat sa x = x x, (1.6) cos φ = x y x y. (1.7) Za vektore x i y kaжemo da su uzajamno normalni (ortogonalni), ako je x y = 0. Skalarni proizvod je skalarna funkcija dva vektorska argumenta, pa moжemo pisati g(x, y) = x y R. (1.8)

12 1. Uvod u tenzorsku algebru Iz osobina skalarnog proizvoda sledi da je funkcija g: 1. simetriqna, jer je g(x, y) = g(y, x), 2. bilinearna (linearna po oba argumenta) g(x, λy 1 + µy 2 ) = λg(x, y 1 ) + µg(x, y 2 ), g(λx 1 + µx 2, y) = λg(x 1, y) + µg(x 2, y). Pretpostavimo da vektori e 1,..., e N qine afinu bazu prostora X N i neka je Tada za vektore x = x i e i, y = y j e j imamo e i e j = g(e i, e j ) = g ij. (1.9) x y = g(x i e i, y j e j ) = x i y j g(e i, e j ) = g ij x i y j, (1.10) tj. bilinearnu formu u koordinatama. Prema (1.6) i (1.10), za x = y, kvadratna forma posmatranog prostora je x 2 = x x = g ij x i x j. (1.11) Sada emo uvesti standardni koordinatni sistem u pseudoeuklidski prostor. Definicija 1.2.7. Vektori e 1,..., e N qine ortonormiranu bazu u pseudoeuklidskom prostoru, ako je e i e j = g ij = 0, za i j, 1, za i = j {1,..., K}, K < N, 1, za i = j {K + 1,..., N}, (1.12) a koordinatni sistem sa takvom bazom je Dekartov pravougli koordinatni sistem. U sluqaju ovakve baze imamo x y = x 1 y 1 x K y K + x K+1 y K+1 + + x N y N, (1.13) x 2 = (x 1 ) 2 (x K ) 2 + (x K+1 ) 2 + + (x N ) 2. (1.14) Uzimaju i ispred korena znak +, prema (1.6) i (1.12), imamo { 1 = i, za j = 1,, K, e j = (1.15) 1 = 1, za j = K + 1,..., N. Kao xto je poznato broj qlanova sa znakom ili + u (1.14), tj. broj imaginarnih ili realnih jediniqnih vektora u (1.15) ne zavisi od izbora ortonormirane baze.

1.2. Pseudoeuklidski i euklidski prostor 13 Definicija 1.2.8. Broj K negativnih qlanova u (1.14) zove se negativni indeks, a broj pozitivnih qlanova N K je pozitivni indeks. Takav pseudoeuklidski prostor emo obeleжavati EK N, a pridruжeni vektorski prostor EK N. Posebno vaжan sluqaj je E4 1, tj. sluqaj kada se kvadratna forma (1.14) svodi na x 2 = (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 + (x 3 ) 2 + (x 4 ) 2, a prostor E1 4 se zove prostor Minkovskog (H. Minkovski, 1864 1909, nemaqki matematiqar i fiziqar jevrejskog porekla). U prostoru EK N su, na osnovu (1.14), mogu i vektori qija je norma: a) realna, b) imaginarna, v) nula, iako to nisu nula-vektori. Definicija 1.2.9. Vektor prostora EK N vektor. qija je norma 0, zove se izotropni Definicija 1.2.10. Rastojaǌe između dveju taqaka A(x 1,..., x N ) i B(y 1,..., y N ) u prostoru EK N dato je sa AB = [ (y 1 x 1 ) 2... (y K x K ) 2 +(y K+1 x K+1 ) 2 +...+(y N x N ) 2 ] 1/2. (1.16) 1.2.2 Euklidski prostor Dodavaǌem aksiome nenegativnosti definiciji pseudoeuklidskog prostora EK N dobijamo Euklidski prostor, koji emo oznaqavati sa EN, a ǌemu pridruжeni vektorski prostor sa E N. Aksioma nenegativnosti: Za svaki element x vektorskog prostora vaжi x 2 0. Prema aksiomi nenegativnosti, iz (1.14) sledi da je K = 0, tj. E N = E0 N. Kako je E N specijalni sluqaj prostora EK N, to sve dokazano za EN K vaжi i u E N. Tako iz (1.12), (1.13), (1.14), (1.15), (1.16) dobijamo redom: e i e j = δ ij = { 0, za i j, 1, za i = j. (1.17) x y = x 1 y 1 + + x N y N = N x i y i. (1.18) i=1

14 1. Uvod u tenzorsku algebru x 2 = (x 1 ) 2 + + (x N ) 2 = N (x i ) 2 (1.19) e j = 1 za j = 1,..., N. (1.20) AB = (y 1 x 1 ) 2 + + (y N x N ) 2. (1.21) Iz aksiome nenegativnosti sledi i da u pridruжenom vektorskom prostoru E N nema izotropnih vektora. Teorema 1.2.1. (Koxi-Xvarc-Buǌakovski) Za sve x, y iz E N vaжi nejednakost (x y) 2 (x) 2 (y) 2, (1.22) ili u koordinatama (x 1 y 1 + + x N y N ) 2 [(x 1 ) 2 + + (x N ) 2 ] [(y 1 ) 2 + + (y N ) 2 ]. (1.23) Posledica 1.2.1 Za sve elemente x, y pridruжenog vektorskog prostora E N vaжi x y x y. (1.24) Teorema 1.2.2. Za proizvoǉne x, y iz prostora E N vaжi i=1 x + y x + y. (1.25) Posledica 1.2.2 Taqke A, B, C prostora E N zadovoǉavaju nejednakost trougla: AC AB + BC. (1.26) Definicija 1.2.11. Neka je S = {A, B, C,...} neprazan podskup prostora X N i d : S 2 R + {0} funkcija, takva da vaжi: 1. d(a, B) > 0 za A B i d(a, B) = 0 za A = B, 2. d(a, B) = d(b, A), 3. d(a, C) d(a, B) + d(b, C), tada je par (S, d) metriqki prostor, a funkcija d je metrika. Ako u euklidskom prostoru E N definixemo rastojaǌe između taqaka A i B na slede i naqin: d(a, B) = AB, (1.27) onda je, na osnovu prethodno izloжenog, E N metriqki prostor.

1.2. Pseudoeuklidski i euklidski prostor 15 Definicija 1.2.12. Skup taqaka prostora E N, određen jednaqinom ili u skalarnom obliku, y = y(t), t (a, b) R (1.28) y i = y i (t), t (a, b) R, i = 1,..., N, (1.29) pod uslovom dy/dt 0, je kriva prostora E N. Tada je dy = dy i e i, pa za diferencijal luka ds imamo odakle zbog (1.17) vaжi (ds) 2 = (dy) 2 = (dy i e i )(dy j e j ) = (e i e j )dy i dy j, (ds) 2 = δ ij dy i dy j = (dy 1 ) 2 + + (dy N ) 2. (1.30) Definicija 1.2.13. Izraz na desnoj strani u (1.30) se zove I osnovna (diferencijalna) kvadratna forma prostora E N u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu, a veliqine δ ij = e i e j su koeficijenti ove kvadratne forme u navedenom sistemu. Ako difeomorfizmom y i = y i (x 1,..., x N ), i = 1,..., N (1.31) pređemo na nove nedekartove koordinate, gde su x i Dekartove koordinate prostora E N, imamo dy i = yi x p dxp, xto zamenom u (1.30) daje tj. pri qemu je (ds) 2 = δ ij y i yj dxp xp x q dxq, (ds) 2 = g pq dx p dx q, (1.32) y i y j g pq = δ ij x p x = N y k y k q x p x = g qp. (1.33) q Jednaqina (1.32) izraжava I kvadratnu formu Euklidskog prostora E N u krivolinijskim koordinatama x i, a g pq su koeficijenti ove forme, izraжeni preko veze (1.31) između Dekartovih i nedekartovih koordinata. Definicija 1.2.14. Determinanta J = (y1,..., y N ) (x 1,..., x N ) = k=1 y 1 x y1 1 x N y N x yn 1 x N se zove Jakobijan transformacije koordinata (1.31).

16 1. Uvod u tenzorsku algebru 1.3 Transformacija promenǉivih. Invarijante i tenzori I reda 1.3.1 Skalarne invarijante Kako postoje veliqine koje se pri transformaciji koordinata ne meǌaju, dok se druge meǌaju, to kao osnovu za razlikovaǌe prirode sistema uzimamo ǌihovo ponaxaǌe pri transformaciji koordinata. Posmatrajmo, najpre, sistem reda 0, tj. skalare. Ako je, na primer, temperatura t u nekom delu prostora E 3 funkcija taqke, bi e u Dekartovim koordinatama y i data sa t = t(y 1, y 2, y 3 ). (1.34) Ako pređemo na druge koordinate, pri qemu su veze između Dekartovih y i i novih x i potpuno određene transformacijom y i = y i (x 1, x 2, x 3 ) = y i (x j ), i, j = 1, 2, 3, (1.35) vrednost temperature se ne meǌa, pa je t(y 1, y 2, y 3 ) = t[y 1 (x j ), y 2 (x j ), y 3 (x j )] = t(x 1, x 2, x 3 ), (1.36) gde oblik funkcija t i t moжe biti razliqit. Sada emo navesti definiciju veliqina sa ovom osobinom. Definicija 1.3.1. Ako se vrednost funkcije φ(x 1,..., x N ) ne meǌa pri transformaciji koordinata i pri inverznoj transformaciji x i = x i (x 1,..., x N ), i = 1,..., N, (1.37) x i = x i (x 1,..., x N ), i = 1,..., N, (1.38) tj. ako je φ(x 1,..., x N ) = φ(x 1,..., x N ), (1.39) za funkciju φ kaжemo da je skalarna invarijanta ili tenzor reda 0.

1.3. Transformacija promenǉivih. Invarijante i tenzori I reda 17 1.3.2 Kontravarijantni tenzori I reda Linearna transformacija promenǉivih x i u promenǉive x i je oblika x i = a i i x i + b i = a i 1 x 1 + + a i Nx N + b i, (1.40) gde su a i i, bi konstante, i = 1,..., N. Specijalan sluqaj linearne transformacije je homogena linearna transformacija, dobijena za b i = 0, Ova jednaqina se moжe napisati u obliku x i = a i i x i, a i i = const. (1.41) x i = xi x i xi, x i x i = a i i. (1.42) Opxta transformacija koordinata (1.37) se ne moжe napisati u obliku (1.42), ali uvek je, bez obzira da li se radi o (1.41) ili (1.37), dx i = xi x i dxi, (1.43) s tim xto su za (1.41) xi x i konstante, a za (1.37) su funkcije od x i. Definicija 1.3.2. Sistem I reda u i (x 1,..., x N ), qije se komponente u i pri prelasku na druge koordinate x i pri opxtoj transformaciji (1.37) transformixu po zakonu (1.43), tj. u i = xi x i ui (1.44) zove se kontravarijantni tenzor I reda ili kontravarijantni vektor. Dakle, primer kontravarijantnog vektora u odnosu na opxtu transformaciju koordinata (1.37) je sistem diferencijala tih koordinata, a sistem afinih koordinata je kontravarijantni vektor samo u odnosu na homogene linearne transformacije. Primer kontravarijantnog vektora je, takođe, vektor brzine pri kretaǌu materijalne taqke u prostoru E 3. U tom sluqaju, ako je jednaqina kretaǌa r = r(t) = (x i (t)), vektor brzine e biti v = dr dt = ( dx 1 dt, dx2 dt, dx3 dt ) = (v i (t)), gde su x i (t) Dekartove koordinate. Ako sa koordinata x i pređemo na koordinate x i, smenom x i = x i (x i ), bi e x i (t) = x i (x i (t)), pa v i (t) = dxi dt = xi dx i x i dt tj. v i (t) = xi x i v i (t).

18 1. Uvod u tenzorsku algebru 1.3.3 Kovarijantni tenzori I reda Ako je φ(x 1,..., x N ) skalarna invarijanta, tada je Ako oznaqimo φ(x 1,..., x N ) = φ(x 1 (x 1,..., x N ),..., x N (x 1,..., x N )). (1.45) φ x i = φ i, (1.46) bi e φ i = φ = φ x i = xi φ x i x i i. Dakle, pri opxtoj transformaciji x i x i promenǉivih, sistem parcijalnih izvoda skalarne invarijante φ(x 1,..., x N ) (gradijent) se transformixe po zakonu φ i = xi x i φ i, (1.47) gde je φ i dato u (1.46). Motivisani ovim primerom, koji se razlikuje od transformacije za kontravarijantni vektor, dajemo opxtu definiciju: Definicija 1.3.3. Sistem I reda v i (x 1,..., x N ) qije se komponente v i pri prelasku na nove koordinate x i pri opxtoj transformaciji (1.37), transformixu po zakonu v i = xi x i v i, (1.48) zove se kovarijantni tenzor I reda ili kovarijantni vektor. Dakle, gradijent je primer kovarijantnog vektora. 1.4 Tenzori vixeg reda Neka je dat sistem w ij = u i v j, (1.49) koji se dobija kao proizvod odgovaraju ih komponenata dva kontravarijantna vektora. Tada je w i j = xi xj ui xi x j vj = xi x j x i x j wij. Koriste i ovaj primer kao model, moжemo dati definiciju kontravarijantnog tenzora II reda.

1.4. Tenzori vixeg reda 19 Definicija 1.4.1. Ako se neki sistem II reda w ij, koji u opxtem sluqaju ne mora biti proizvod dva sistema I reda, transformixe po zakonu onda je to kontravarijantni tenzor II reda. w i j = xi x i x j x j wij, (1.50) Neka je sada dat sistem w ij = u i v j, (1.51) pri qemu su u i i v j komponente kovarijantnih vektora. Tada se posmatrani sistem transformixe na slede i naqin: w i j = u i v j = xi x j u i v j = xi x j w ij. x i x j x i x j Slede om definicijom uvodimo pojam kovarijantnog tenzora II reda. Definicija 1.4.2. Sistem II reda w ij, koji se transformixe po zakonu zove se kovarijantni tenzor II reda. w i j = xi x j w ij, (1.52) x i x j Posmatrajmo sada sistem II reda w i j = u i v j. Pri promeni koordinata on se transformixe na slede i naqin: w i j = ui v j = xi x i x j x j u i v j = xi x i x j x j w i j. Analogno prethodnim razmatraǌima uvodimo definiciju mexovitog tenzora II reda. Definicija 1.4.3. Sistem II reda wj i, koji se transformixe po zakonu zove se mexoviti tenzor II reda. w i j = xi x i x j x j w i j (1.53)

20 1. Uvod u tenzorsku algebru Kronekerov simbol δ i j je primer mexovitog tenzora II reda, jer je δ i j = xi x j = xi x i x i x j = xi x i x j x j δ i j. Jednaqina (1.53), koja daje komponente tenzora u koordinatama x i pomo u komponenata toga tenzora u koordinatama x i, moжe se napisati i u inverznom obliku. Zaista, ako u (1.53) izvrximo kompoziciju sa xp x j x i x q, dobijamo x p x j wj i x i x q = xp x i x i x i x j x j x j x q wi j = δ p i δj qw i j = w p q. Odavde, preoznaqavaǌem odgovaraju ih indeksa, dobijamo w i j = x i i xj j wi j xto je traжeni inverzni zakon transformacije. Analogno, za vektore dobijamo, (1.54) u i = xi u i, v i = xi x i x v i i. (1.55) Nije sluqajno da li emo neke indekse pisati kao gorǌe ili doǌe, ve, osim xto nam to omogu uje primenu Ajnxtajnove konvencije o sabiraǌu, takođe izraжava prirodu sistema u vezi sa tim indeksom pri transformaciji koordinata. Radi konciznijeg izraжavaǌa, naroqito u vezi sa zakonom transformacije komponenata tenzora, ako su x i i x i koordinate, koje se transformixu jedne u druge, uvodimo oznake x i x i = x i i, x i = x i x i i, xi j = xi x = j δi j, 2 x i x j x k = xi jk, 2 x i x j x k = x i j k. x i x j = δ i j, (1.56) U tom sluqaju, zakone transformacije za kontravarijantni i kovarijantni tenzor I reda i tenzore II reda pixemo u obliku u i = x i i u i, v i = x i i v i, w i j = x i i x j j wij, w i j = xi i xj j w ij, w i j = xi i x j j w i j. Ovakav naqin je posebno koristan kada imamo ve i broj indeksa, xto emo primeniti u definiciji tenzora vixeg reda.

1.5. Algebarske operacije sa tenzorima 21 Definicija 1.4.4. Sistem T i 1...i A j 1...j B je tenzor reda A + B, A puta kontravarijantan, B puta kovarijantan, ako pri prelasku sa koordinata x i na koordinate x i vaжi zakon transformacije T i 1...i A j 1...j B = x i 1 i1...x i A ia x j 1 j 1 Za posmatrani tenzor takođe kaжemo da je tenzor tipa (A, B)....x j B j T i 1...i A B j 1...j B. (1.57) Dakle, invarijanta je tenzor reda 0 tipa (0, 0), kontravarijantni vektor je tenzor I reda i tipa (1, 0), a kovarijantni vektor je tenzor I reda tipa (0, 1). Navedimo sada neke osobine tenzora. Simetrija u odnosu na indekse tenzora istog tipa se odrжava pri opxtoj transformaciji koordinata. Na primer, iz u ij = u ji sledi u i j = x i i x j j uij = x i i x j j uji = u j i. Antisimetrija u odnosu na indekse istog tipa se takođe odrжava pri opxtoj transformaciji koordinata. Na primer, u ij = u ji ako i samo ako je u i j = u j i. Simetrija ili antisimetrija po paru indeksa razliqitog tipa se u opxtem sluqaju ne odrжava pri transformaciji koordinata. Svaki tenzor moжemo da rastavimo na simetriqan i antisimetriqan tenzor istog tipa. Na primer, za tenzor A ij k bismo imali A ij k = 1 2 (Aij k + Aji k ) + 1 2 (Aij k Aji k ). Ako su komponente nekog tenzora jednake nuli u jednom koordinatnom sistemu, one su jednake nuli u svakom koordinatnom sistemu. Takav tenzor se zove nula - tenzor. Tenzori koji su jednaki nekom koordinatnom sistemu, jednaki su u svim koordinatnim sistemima. 1.5 Algebarske operacije sa tenzorima Sve xto smo dosad rekli za operacije sa sistemima uopxte vaжi i za tenzore. Teorema 1.5.1. Zbir tenzora istog tipa je tenzor tog istog tipa.

22 1. Uvod u tenzorsku algebru Dokaz: Da ne bismo izlagaǌe komplikovali ispisivaǌem mnogih indeksa, dokaza emo teoremu u konkretnom sluqaju, jer se i opxti sluqaj dokazuje na isti naqin. Neka su u ij k, vij k komponente tenzora. Tada su w ij k = uij k + vij k (1.58) takođe komponente tenzora, jer w i j k = u i j k + v i j k = x i i x j j xk k uij k + xi i x j j xk k vij k = xi i x j j xk k wij k. Teorema 1.5.2. Ako je α skalar (relan broj ili funkcija) i u ij k i αu ij k tenzor istog tipa. tenzor, tada je Dokaz: Ako obeleжimo w ij k = αuij k, tada, zbog invarijantnosti skalara pri transformaciji koordinata, vaжi Posledica 1.5.1 Ako je u ij k Definicija 1.5.1. Tenzor u ij k w i j k = αu i j k = x i i x j j xk k (αuij k ) = xi i x j j xk k wij k. tenzor, tada je i uij k = ( 1)uij k tenzor. je suprotan tenzor za tenzor uij k. Teorema 1.5.3. Skup tenzora istog tipa je linearnan (vektorski) prostor nad poǉem realnih brojeva, pri qemu je unutraxǌa operacija sabiraǌa tenzora, a spoǉaxǌa operacija mnoжeǌa tenzora skalarom. Teorema 1.5.4. Proizvod tenzora tipa (A, B) i tenzora tipa (C, D) je tenzor tipa (A + C, B + D). Dokaz: Dokaz izvodimo u konkretnom sluqaju, dok se opxti sluqaj pokazuje analogno. Neka je, na primer, w ij k = ui v j k, tada imamo w i j k = u i v j k = x i i u i x j j xk k vj k = xi i x j j xk k wij k. Teorema 1.5.5. Kontrakcijom tenzora po nekim indeksima dobija se tenzor po slobodnim indeksima.

1.5. Algebarske operacije sa tenzorima 23 Dokaz: Tvrđeǌe emo dokazati u konkretnom sluqaju, jer se dokaz u opxtem sluqaju izvodi analogno. Neka je, na primer, u ij kl tenzor. Dokaza emo da je tenzor tipa (1, 1). Kako je u ij ki to za l = i dobijamo u i j k l = x i i x j j xk k xl l uij kl, gde smo koristili x i i x l i = δl i. u i j k i = x i i x j j xk k xl i uij kl = δl ix j j xk k uij kl = xj j xk k uij ki, Kontrakcijom tenzora po jednom paru indeksa se red tenzora sniжava za 2, pa se, kada je isti broj gorǌih i doǌih indeksa, ako imamo kontrakciju po parovima indeksa, moжe dobiti skalarna invarijanta. Kompozicijom dva tenzora po nekim indeksima, dobija se tenzor po slobodnim indeksima, a kompozicijom po svim indeksima, u sluqaju kada je to mogu e, dobija se skalarna invarijanta. Slede a teorema odgovara na pitaǌe: Kako izvesti zakǉuqak o tenzorskom karakteru jednog qinioca u kompoziciji, kada se zna tip i tenzorski karakter drugog qinioca i proizvoda? Teorema 1.5.6. (Zakon koliqnika) Ako je u...... neki sistem, v... proizvoǉan tenzor poznatog tipa, pa se kompozicijom u...... i v... dobije tenzor w... poznatog tipa, onda je u...... tenzor, qiji su indeksi oni koji se pojavǉuju samo kod jednog od tenzora v...... i w......, pri qemu je kod u... karakter odgovaraju ih indeksa isti kao kod, a suprotan nego kod v... w.......... Dokaz. Posmatra emo primer, koji je dovoǉno opxt, da bi se izveo zakǉuqak o taqnosti teoreme. U opxtem sluqaju se dokaz izvodi analogno. Neka su vil k(xp ), w j l (xp ) tenzori i u......vil k(xp ) = w j l (xp ). Najpre treba utvrditi indekse sistema u...... Poxto i postoji na levoj strani prethodne jednaqine kao doǌi indeks, a ne postoji na desnoj strani, to znaqi da na levoj strani postoji kao gorǌi indeks tenzora u...... Istim rasuđivaǌem je k doǌi indeks tenzora u...... Indeks j postoji na desnoj strani, pa se pojavǉuje i kod tenzora u..., dok indeks l ve postoji na obe strane, pa se ne e javiti kod u...... Dakle, u sistemu po x i vaжi jednaqina u ij k vk il = wj l, a u sistemu po xi je u i j k v i k l = wj l. Kako su, tenzori, na osnovu zakona transformacije sledi v......, w... a odavde je u i j k x k k x i i xl l vk il = x j j xl l wj l = x j j xl l uij k vk il, x l l vk il(u i j k x k k x i i xj j uij k ) = 0.

24 1. Uvod u tenzorsku algebru Kako je, po pretpostavci, v k il proizvoǉan tenzor, sledi odakle kompozicijom sa x k p, xq i odaakle je u i j k x k k x i i = xj j uij k, dobijamo u i j k δ k p δq i = x j j xk p xq i uij k, u q j p = x j j xk p xq i uij k. Smenom indeksa q i, p k dobija se u i j k = x i i x j j xk k uij k, tj. tenzorski zakon transformacije. Posledica 1.5.2 Ako je rezultat kompozicije tenzora v...... i sistema u... skalarna invarijanta, onda je v...... tenzor suprotne varijantnosti u odnosu na u.......

Deo 2 Tenzorska analiza. Rimanovi prostori 2.1 Definicija Rimanovog prostora Na poqetku definiximo pojam diferencijabilne mnogostrukosti. Posmatrajmo neki proizvoǉan skup M N, qije elemente zovemo taqkama i neka za svaku taqku P M N postoji podskup U P, P U P M N, koji se po zakonu φ preslikava uzajamno jednoznaqno i neprekidno na otvoren podskup Euklidskog prostora E N. Tada je φ(p ) = x = (x 1..., x N ) E N. (2.1) U ovom sluqaju x i su koordinate taqke P M N i oznaqavamo P (x 1,..., x N ) = P (x). Podskup U P je okolina taqke P, a par (U P, φ) nazivamo lokalnim koordinatnim sistemom ili lokalnom kartom. Pod određenim uslovima, za koje smatramo da su ispuǌeni, M N se na ovaj naqin moжe prekriti okolinama i ako je (U P, φ ) drugi lokalni koordinatni sistem za istu taqku P, tj. P U P U P, bi e xi druge lokalne koordinate za taqku P, pri qemu pretpostavǉamo da u E N postoji preslikavaǌe takvo da je λ : φ(u P U P ) φ (U P U P ), (2.2) λ : φ(p ) φ (P ), tj. λ : (x 1,..., x N ) (x 1,..., x N ). (2.3) Ovom preslikavaǌu odgovara transformacija lokalnih koordinata 25

26 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori x i = x i (x 1,..., x N ), i = 1,..., N. (2.4) Ako pretpostavimo da je preslikavaǌe λ uzajamno jednoznaqno i neprekidno, tada postoji inverzno preslikavaǌe λ 1, pa iz (2.4) sledi x i = x i (x 1,..., x N ), i = 1,..., N. (2.5) Sada moжemo dati definiciju diferencijabilne mnogostrukosti. Definicija 2.1.1. Skup M N, zajedno sa skupom {(U P, φ)} lokalnih koordinatnih sistema, pri qemu funkcije (2.4), (2.5) za transformaciju lokalnih koordinata imaju neprekidne parcijalne izvode svakoga reda i J = (x1,..., x N ) (x 1,..., x N ) 0, (2.6) zove se diferencijabilna mnogostrukost. Broj N je dimenzija diferencijabilne mnogostrukosti M N. Povrxi u E 3 su primeri diferencijabilne mnogostrukosti. Na primer, kod kruжnog paraboloida S = {(x, y, z) (x, y) E 2, z = (x) 2 + (y) 2 } kao lokalni koordinatni sistem moжemo uzeti par (U P, φ), gde je P S proizvoǉna taqka, U P S, a φ normalno projektovaǌe na ravan xoy, tj. na E 2. Kako je φ preslikavaǌe na E 2, to je u ovom sluqaju S = M 2. Poxto je u ovom sluqaju okolina U P cela povrx, lokalni koordinatni sistem se odnosi na celu povrx, pa kaжemo da je globalni, ali takav sistem nije uvek mogu. Uproxteno reqeno, u definiciji diferencijabilne mnogostrukosti M N je bitno preslikavaǌe φ : M N E N i preslikavaǌe λ : E N E N, iz koga proistiqe transformacija koordinata (2.4), odnosno (2.5). I sam Euklidski prostor E N je diferencijabilna mnogostrukost, pri qemu se za preslikavaǌe φ moжe uzeti identiqno preslikavaǌe i : P P za svako P E N, a koordinatni sistem je globalni. Naravno, moжe se posmatrati transformacija koordinata i u odnosu na dva globalna koordinatna sistema. Analogno definiciji u E N definixe se kriva u M N : Definicija 2.1.2. Kriva na diferencijabilnoj mnogostrukosti M N je skup taqaka u M N, qije su koordinate funkcije jednog realnog parametra t: x i = x i (t), t (a, b) R, (2.7) pod uslovom da nisu svi dx i /dt istovremeno jednaki nuli.

2.1. Definicija Rimanovog prostora 27 Da bismo prexli na definiciju Rimanovog prostora, podsetimo se da je u Euklidskom prostoru E N I osnovna kvadratna forma, u krivolinijskim koordinatama x i, data sa (ds) 2 = g ij dx i dx j. Definicija 2.1.3. Diferencijabilna mnogostrukost R N u qijim taqkama su zadate funkcije g ij (x 1,..., x N ) = g ji (x 1,..., x N ) (2.8) tako da je duж krive u R N (ds) 2 = g ijdx i dx j, (2.9) gde je det(g ij ) g ij 0, (2.10) zove se Rimanova mnogostrukost ili Rimanov prostor. Rimanov prostor je svojstven ako je g ij dx i dx j > 0 u svim taqkama prostora. Za metriku svojstvenog Rimanovog prostora se kaжe da je pozitivno definitna. Sluqaj g ij dx i dx j < 0 se ne razmatra posebno, jer se mnoжeǌem sa 1 svodi na prethodni (tada je (ds) 2 = g ij dx i dx j ). Ako moжe biti (ds) 2 = g ij dx i dx j 0, (ds) 2 = g ij dx i dx j 0, prostor se zove pseudorimanov prostor, a za ǌegovu metriku se kaжe da je nedefinitna. Pseudoeuklidski prostor je specijalan sluqaj pseudorimanovog prostora, xto je u vezi sa Teorijom relativnosti (na ovu problematiku emo se osvrnuti u daǉem izlagaǌu). Ako nije naglaxeno drugaqije, pod Rimanovim prostorom emo u daǉem izlagaǌu podrazumevati svojstven Rimanov prostor. Teorija Rimanovog prostora je Rimanova geometrija (u xirem smislu, jer se ponekad i takozvana eliptiqna geometrija u ravni zove Rimanova geometrija). Osnove Rimanove geometrije je postavio jox nemaqki matematiqar B. Riman u svom radu O pretpostavkama, koje leжe u osnovama geometrije, gde su izloжene samo ideje (skoro samo tekst, bez obrazaca). Daǉe su Rimanovu geometriju razvili drugi matematiqari, posebno Riqi koji je krajem XIX veka prvi uveo dva zakona transformacije i oznake sa gorǌim i doǌim indeksima, zbog qega se tenzorski raqun qesto zove i Ricci-calculus. Ovu teoriju daǉe razvija Ajnxtajn u vezi sa teorijom relativnosti. Naime, Ajnxtajn je 1905. godine izloжio svoju specijalnu teoriju relativnosti, u kojoj se prostor i vreme posmatraju kao jedinstven prostorno-vremenski kontinuum, tj. kao 4-dimenzioni pseudoeuklidski prostor u kome je I kvadratna forma (ds) 2 = (dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 + (dx 3 ) 2 (cdt) 2, (2.11)

28 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori gde su x i prostorne koordinate, c-brzina svetlosti, t-vreme. Pseudoeuklidski prostor sa I kvadratnom formom (2.11) zove se prostor Minkovskog. Ajnxtajn je 1916. godine objavio svoju Opxtu teoriju relativnosti, u kojoj se kao prostor u kome se odvijaju fiziqke pojave uzima opet jedinstveni prostorno-vremenski kontinuum, u kome je metrika određena sa (ds) 2 = g ij dx i dx j, g ij (x) = g ji (x), i, j = 1, 2, 3, 4, (2.12) pri qemu sada g ij nisu konstante kao u (2.11), ve zavise od rasporeda masa u prostoru. Dakle, sa matematiqke taqke gledixta, prostor Opxte teorije relativnosti je Rimanov prostor R 4. Taqka (x 1, x 2, x 3, x 4 ) u Opxtoj teoriji relativnosti se zove događaj, jer je sa prve tri koordinate određeno mesto, a qetvrtom vreme. Napomenimo jox i da je Ajnxtajn prvi 1916. godine uveo termin tenzor. Matematiqki aparat Opxte teorije relativnosti je tenzorski raqun. Osim toga, danas se u diferencijalnoj geometriji, mehanici i tehnici koristi tenzorski raqun, pa se mnoge teoreme ovih disciplina izraжavaju u tenzorskom obliku, odnosno pojedine veliqine su tenzori. 2.2 Kovarijantni i kontravarijantni metriqki tenzor Kako je u jednaqini (2.9) (ds) 2 invarijanta, a dx i, dx j kontravarijantni vektori, prema zakonu koliqnika sledi da je g ij (x) kovarijantni tenzor drugog reda, tj. tenzor tipa (0, 2), pa zadovoǉava zakon transformacije g i j = xi i xj j g ij. (2.13) Tenzor g ij (x) se zove kovarijantni metriqki tenzor Rimanovog prostora. ǋemu odgovara determinanta g 11 g 12... g 1N g = g ij = g 21 g 22... g 2N............. (2.14) g N1 g N2... g NN Ako sa G ji obeleжimo kofaktor elementa g ij, razvijaǌem g po elementima L-te vrste dobijamo g = g L1 G 1L + g L2 G 2L + + g LN G NL = g Lp G pl, dok je za M L (kada mnoжimo elemente L-te vrste sa kofaktorima M-te vrste):

2.2. Kovarijantni i kontravarijantni metriqki tenzor 29 pa iz posledǌe dve jednaqine imamo g Lp G pm = 0, Kako ovo vaжi za sve L, M {1,..., N}, to je g Lp G pm = gδ M L. (2.15) g ip G pj = gδ j i. (2.16) Ako obeleжimo jednaqina (2.16) postaje g ij = G ij /g, (2.17) g ip g pj = δ j i. (2.18) Kako su g ij, δ j i tenzori, sledi da je i g ij tenzor i zove se kontravarijantni metriqki tenzor Rimanovog prostora. Iz (2.18) sledi da su matrice (g ij ) i (g ij ) inverzne jedna drugoj. Naime, (g ij )(g ij ) = = = g 11 g 12... g 1N g 21 g 22... g 2N............ g N1 g N2... g NN g 1p g p1 g 1p g p2...... g 1p g pn g 2p g p1 g 2p g p2...... g 2p g pn........................ g Np g p1 g Np g p2...... g Np g pn 1 0... 0 0 0 1... 0 0............ 0 0... 0 1 = E, g 11 g 12... g 1N g 21 g 22... g 2N............ g N1 g N2... g NN = δ 1 1 δ 2 1... δ N 1 δ 1 2 δ 2 2... δ N 2............ δ 1 N δ2 N... δn N tj. (g ij ) = (g ij ) 1 g ij = g ji. (2.19) Primetimo da je, na osnovu (2.18), g ip g pi = δ i i = δ 1 1 + δ 2 2 + + δ N N = N. (2.20)

30 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori 2.3 Dizaǌe i spuxtaǌe indeksa 2.3.1 Pridruжeni vektori u Rimanovom prostoru. Fiziqke koordinate vektora U Rimanovom prostoru R N se svakom kontravarijantnom vektoru u i moжe pomo u metriqkog tenzora g ij pridruжiti kovarijantni vektor, koji emo obeleжiti sa u i : g ip u p = u i, (2.21) jer je na osnovu Zakona koliqnika jasno da, ako je u i kontravarijantni vektor, bi e u i kovarijantni vektor. Analogno se pomo u g ij kovarijantnom vektoru v i moжe pridruжiti kontravarijantni vektor: g ip v p = v i. (2.22) Definicija 2.3.1. Pridruжivaǌe vektora u i vektoru u i na osnovu (2.21) se zove spuxtaǌe indeksa, a pridruжivaǌe vektora v i vektoru v i na osnovu (2.22) je podizaǌe indeksa. Teorema 2.3.1. Pridruжivaǌe je uzajamno, tj. pridruжenom vektoru, bio bi prvobitni vektor. vektor koji bi se pridruжio Dokaz. Neka je u i dobijen iz u i prema (2.21). Tada, prema (2.22), sledi g iq u q = g iq (g qp u p ) = δ i pu p = u i. U Rimanovom prostoru R N ne postoje vektori u uobiqajenom smislu, tj. kao u Euklidskom prostoru. Na primer, kontravarijantni vektor je samo sistem I reda qije se komponente transformixu po kontravarijantnom zakonu. Međutim, ako, na primer, imamo kontravarijantni vektor u i u nekoj taqki M Rimanovog prostora R N, moжemo u 1,..., u N uzeti za koordinate vektora u = (u 1,..., u N ) u E N. Za takav Euklidski prostor E N kaжemo da je tangentni prostor prostora R N u taqki M. Na primer, ako je u taqki M na povrxi S R 2 iz E 3 definisan sistem u i (M), i = 1, 2, koji se pri promeni krivolinijskih koordinata na povrxi transformixe po tenzorskom zakonu, tj. ako je u i (M) kontravarijantni vektor, moжemo u tangentnoj ravni E 2 te povrxi posmatrati vektor u = (u 1, u 2 ) u odnosu na neki afini koordinatni sistem u toj ravni. Ako je zadat kovarijantni vektor v i, moжemo mu pridruжiti v i na osnovu (2.22), pa odrediti v = (v i ).

2.3. Dizaǌe i spuxtaǌe indeksa 31 Kako kontravarijantnom vektoru u i odgovara pridruжeni kovarijantni vektor u i, kaжemo da je to isti vektor u sa kontravarijantnim, odnosno kovarijantnim komponentama i pixemo u = (u i ) = (u i ). (2.23) Ako su λ i (k) neki jediniqni vektori, komponente vektora u u pravcima tih jediniqnih vektora su projekcije na pravce tih vektora, tj. u (k) = g ij u i λ j (k) = u jλ j (k), (2.24) kada je k = 1,..., N. Za λ j (k) koordinatnih linija. se obiqno koriste jediniqni tangentni vektori 2.3.2 Pridruжeni vektori u euklidskom prostoru U Euklidskom prostoru, pri predstavǉaǌu vektora u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu, ne pravimo razliku između kontravarijantnih i kovarijantnih vektora, tj. vaжi slede a teorema Teorema 2.3.2. U Euklidskom prostoru E N u odnosu na Dekartov pravougli koordinatni sistem ne postoji razlika između kontravarijantnih i kovarijantnih koordinata vektora. Dokaz: U datom sistemu vaжi g ij = δ ij = δ i j = δ ij = g ij, (2.25) pa, ako komponente vektora obeleжimo velikim slovima, dobijamo jer je δ ip = δ p i. Dakle, U i = g ip U p = δ ip U p = δ p i U p = U i, U i = U i. (2.26) Međutim, u Eulkidskom prostoru E N, u odnosu na pravolinijski kosougli koordinatni sistem ili u odnosu na krivolinijski koordinatni sistem, razlikuju se dve vrste koordinata za isti vektor, xto emo ilustrovati slede im primerima. Primer 2.3.1. Neka je a = a 1 e 1 + a 2 e 2 vektor pomeraǌa u E 2, gde su e 1, e 2 jediniqni vektori kosouglog Dekartovog koordinatnog sistema. Ako su a i kontravarijantne koordinate, na i kovarijantne koordinate istog vektora, pod uslovom da jediniqni vektori zaklapaju ugao (e 1, e 2 ) = ω.

32 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori Rexeǌe: Za proizvoǉan vektor r = x 1 e 1 + x 2 e 2 (2.27) vaжi dr = dx 1 e 1 + dx 2 e 2, (ds) 2 = dr dr = (dx 1 ) 2 + 2dx 1 dx 2 (e 1 e 2 ) + (dx 2 ) 2, odakle je (ds) 2 = (dx 1 ) 2 + 2 cos ωdx 1 dx 2 + (dx 2 ) 2, (2.28) xto predstavǉa I kvadratnu formu za E 2 u posmatranom koordinatnom sistemu. Za matricu kovarijantnog odnosno kontravarijantnog metriqkog tenzora imamo ( ) 1 cos ω (g ij ) = (2.29) cos ω 1 odnosno (g ij ) = (g ij ) 1 = 1 ( sin 2 ω 1 cos ω cos ω 1 ). (2.30) Da bismo naxli kovarijantne koordinate vektora a = a i e i, vrximo spuxtaǌe indeksa: a i = g ip a p, pa odavde i na osnovu (2.29) vaжi a 1 = a 1 + a 2 cos ω, a 2 = a 1 cos ω + a 2. (2.31) Slika 2.1.

2.3. Dizaǌe i spuxtaǌe indeksa 33 Na Slici 2.1. je: OA = a, AA 1 e 2, AA e 1, AA 2 e 1, AA e 2, OA 1 = a 1, OA 2 = a 2, A 1 A = A 1 A cos ω = a 2 cos ω, A 2 A = a 1 cos ω OA = OA 1 + A 1 A = a 1 + a 2 cos ω, OA = OA 2 + A 2 A = a 2 + a 1 cos ω, pa odavde i na osnovu (2.31): OA = a 1, OA = a 2, (2.32) tj. kovarijantne koordinate se poklapaju sa normalnim projekcijama na ose koordinatnog sistema. Oqigledno, iz (2.31) i sa slike za ω = π/2, tj. u sluqaju Dekartovog pravouglog koordinatnog sistema, dobijamo a 1 = a 1, a 2 = a 2, tj. nema razlike između kovarijantnih i kontravarijantnih koordinata vektora. Prema Teoremi 2.3.1., ako smo kovarijantni vektor dobili spuxtaǌem indeksa kontravarijantnog vektora, pa zatim izvrximo dizaǌe indeksa-vra amo se na prvobitni kontravarijantni vektor. Proverimo to na posmatranom primeru, koriste i (2.30) i (2.31): b 1 = g 1p a p = g 11 a 1 + g 12 a 2 = 1 sin 2 ω (a1 + a 2 cos ω) cos ω sin 2 ω (a1 cos ω + a 2 ) = a 1, b 2 = g 2p a p = g 21 a 1 + g 22 a 2 = a 2. Primer 2.3.2. Za vektor u = i + 2j = (1, 2) u taqki M(0, 2) E 2 odrediti kovarijantne koordinate u polarnom koordinatnom sistemu. Rexeǌe: Kako je vektor u = i + 2j = (1, 2) zadat u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu, to se ǌegove kovarijantne koordinate, na osnovu Teoreme 2.3.2., ne razlikuju, tj. u 1 = u 1 = 1, u 2 = u 2 = 2, pa kovarijantne koordinate u polarnom koordinatnom sistemu moжemo na i transformacijom koordinata u i = x i i u i, tj. u 1 = x 1 1 u 1 + x 2 1 u 2 = x ρ u 1 + y ρ u 2 = cos θ u 1 + sin θ u 2, u 2 = x 1 2 u 1 + x 2 2 u 2 = x θ u 1 + y θ u 2 = ( ρ sin θ) u 1 + ρ cos θ u 2. Kako je M(ρ = 2, θ = π/2) i u 1 = 1, u 2 = 2, to je u 1 = 2, u 2 = 2.

34 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori 2.3.3 Dizaǌe i spuxtaǌe indeksa kod sistema proizvoǉnog reda Kao xto smo vrxili dizaǌe i spuxtaǌe indeksa kod tenzora, moжemo vrxiti i dizaǌe i spuxtaǌe indeksa kod sistema proizvoǉnog tipa. Međutim, u ovom sluqaju je uglavnom potrebno naznaqiti koji je indeks podignut ili spuxten. Na primer, a pj g pi = a i j, a jp g pi = a i j, (2.33) pri qemu je taqka stavǉena na mesto na kome je indeks bio pre premextaǌa. Oqigledno, ako je a pj = a jp, tada na osnovu (2.33) vaжi a i j = aj, i xto oznaqavamo sa a pj g pi = a i j. U sluqaju sistema sa vixe indeksa mogu se istovremeno neki od ǌih podi i, a drugi spustiti. U tom sluqaju, ako je sistem mexovit, pogodno je indekse ne pisati jedan iznad drugog, da bi ostala rezervisana mesta za spuxtaǌe, odnosno podizaǌe indeksa. U protivnom, moramo da napixemo kompoziciju pomo u koje su indeksi premextani. Na primer, polaze i od a j i k imamo a k ij = a p i q g pjg qk, (2.34) pri qemu moжemo pisati samo a ij k, pa je jasno da je taj sistem nastao od a j i k na naqin (2.34). Međutim, ako napixemo a k ij, da bi bilo jasno da je to dobijeno iz a j i k moramo da napixemo vezu (2.34). Napomenimo da moжemo istovremeno podi i ili spustiti vixe indeksa. Na primer, iz a ij dobijamo a pq g pi g qj = a ij. (2.35) I kod metriqkih tenzora moжemo podizati i spuxtati indekse, pa polaze i od g ij ili g ij i korix eǌem veze (2.18) dobijamo gde smo zbog g ij = g ji pisali g i j g ip g pj = g i j = δ i j, (2.36) umesto gi j. Definicija 2.3.2. Tenzor gj i = δj i prostora. je mexoviti metriqki tenzor Rimanovog Koriste i vezu (2.36), dolazimo do slede ih rezultata: g pq g ip g jq = δ i qg jq = g ji = g ij, (2.37) g pq g ip g jq = δ q i g jq = g ji = g ij. (2.38) Ako se u nekom qlanu neki indeks jednom javǉa kao doǌi, a drugi put kao gorǌi (nemi indeks), on se moжe, bez promene vrednosti qlana, na jednom mestu podi i, a na drugom spustiti. Na primer,

2.4. Skalarni proizvod vektora u Rimanovom prostoru 35 u ip v p =u i qg pq v p = u i qv q = u i pv p, a ijk k =a ij k p gpk = a pij p = a kij k. Ako se u nekoj jednaqini određeni slobodan indeks nalazi na obema stranama te jednaqine, onda se podizaǌem ili spuxtaǌem tog indeksa svuda gde se on pojavǉuje dobija ekvivalentna jednaqina. Na primer, ako u jednaqini a ijk = b ij c k izvrximo kompoziciju sa g km, dobijamo a ijk g km = b ij c k g km a m ij = b ij c m, pa zamenom m sa k dobijamo a k ij = b ij c k. 2.4 Skalarni proizvod vektora u Rimanovom prostoru Uvođeǌem metriqkog tenzora u Rimanov prostor R N, dobijamo mogu nost da definixemo skalarni proizvod dva vektora, intenzitet vektora, duжinu luka krive i uopxte da rexavamo metriqke probleme. Definicija 2.4.1. Skalarni proizvod vektora u i v je skalarna invarijanta u v = u i v i. (2.39) Kako je v i = g ij v j, u i = g ij u j to sledi u v = g ij u i v j = g ij u j v i = g ij u i v j. (2.40) Ako Dekartove koordinate vektora Euklidskog prostora E N velikim slovima U i = U i, V i = V i, tada prema (2.39) dobijamo obeleжimo u v = U i V i = U 1 V 1 + + U N V N = U 1 V 1 + + U N V N. (2.41) Definicija 2.4.2. Intenzitet (norma) vektora u je u = u u = g ij u i u j = u i u i. (2.42) Ako je u = 1, tada je vektor u jediniqni vektor.

36 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori Ako uoqimo infinitezimalni vektor dx = (dx i ), prema (2.40) sledi dx dx = g ij dx i dx j = (ds) 2, (2.43) xto predstavǉa vezu između skalarnog proizvoda i I kvadratne forme u Rimanovom prostoru R N. Ugao između vektora (u i ) i (v i ) definisan je obrascem cos φ = u v u v = g ij u i v j gij u i u j g ij v i v j. (2.44) Odavde vidimo da je uslov normalnosti datih vektora određen sa u i v i = g ij u i v j = 0. (2.45) Neka je u Rimanovom prostoru R N data kriva x i = x i (t), i = 1,..., N; t (a, b). (2.46) Tada je (ds) 2 = g ij dx i dx j, odakle je ds dt = dx g i dx j ij dt dt, (2.47) pa za duжinu luka između taqaka x i (t 0 ) i x i (t 1 ) dobijamo t1 dx s = g i dx j ij dt dt. (2.48) Odavde za promenǉivu gorǌu granicu vaжi t dx s = g i dx j ij dt dt Iz jednakosti (2.49) je t = t(s), pa jednaqine (2.46) daju t 0 t 0 = s(t). (2.49) x i = x i (t(s)) = x i (s), (2.50) tj. luk krive s se moжe uzeti za parametar. Iz (2.47) je g ij dx i ds dx j ds = 1, (2.51) xto znaqi da je vektor (t i ) = ( dxi ) jediniqni, a to je jediniqni vektor tangente krive ds (2.50).

2.5. Kristofelovi simboli u Rimanovom prostoru 37 2.5 Kristofelovi simboli u Rimanovom prostoru 2.5.1 Definicija i osnovne osobine Kristofelovih simbola U opxtem sluqaju, metriqki tenzor g ij je funkcija taqke u prostoru R N, tj. funkcija koordinata x i. Oznaqimo Definicija 2.5.1. Izrazi g ij,k = g ij x k. (2.52) se zovu Kristofelovi simboli I vrste, a izrazi Γ i.jk = 1 2 (g ij,k g jk,i + g ki,j ) (2.53) Γ i jk = g ip Γ p.jk = 1 2 gip (g pj,k g jk,p + g kp,j ) (2.54) Kristofelovi simboli II vrste Rimanovog prostora R N (E.Christoffel, 1829-1900, nemaqki matematiqar). Kako je g ij = g ji, to iz (2.53) sledi Γ i.jk = Γ i.kj, (2.55) a odavde i zbog (2.54) je Γ i jk = Γ i kj. (2.56) Napomenimo da se u literaturi Kristofelovi simboli qesto pixu tako xto se u odnosu na (2.53) vratimo cikliqno unazad za jedno mesto u uređenom skupu (i, j, k) tj. i k j i, pa dobijamo Γ k.ij = 1 2 (g ki,j g ij,k + g jk,i ). U tom sluqaju [ se ] obiqno umesto Γ k.ij pixe Γ ij,k za xta se koristi i oznaka ij [ij, k], a ređe i, pa bismo umesto (2.53) imali k Γ ij,k = [ij, k] = 1 2 (g ki,j g ij,k + g jk,i ), (2.57) a odgovaraju e oznake za Kristofelove simbole II vrste su { } k g kp [ij, p] = = Γ k ij ij,

38 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori a ređe i {ij, k}. Iz (2.57) se nax obrazac dobija ako se u uređenom skupu (i, j, k) izvrxi pomeraǌe i j k i. Napomenimo da je za konkretne { } 1 indekse uvek na primer : Γ 1.23 = [23, 1], Γ 2.31 = [31, 2] itd. i da je Γ 1 23 =, { } 23 2 Γ 2 31 = itd. Mi emo koristiti samo oznake prema (2.53) i (2.54). 31 U (2.54) je Kristofelov simbol II vrste izraжen pomo u Kristofelovog simbola I vrste. Da je mogu e obrnuto, pokazuje slede a teorema. Teorema 2.5.1. Vaжi relacija, koja je inverzna definicionoj relaciji (2.54) : Dokaz: Koriste i vezu (2.54), dobijamo Γ i.jk = g ip Γ p jk. (2.58) g ip Γ p jk =g ipg qp Γ q.jk = δ q i Γ q.jk = Γ i.jk. U nastavku dokazujemo neke osobine Kristofelovih simbola. Teorema 2.5.2. Ako se saberu dva Kristofelova simbola sa razliqitim indeksima na prvom mestu, dobija se izvod metriqkog tenzora, qiji su indeksi pomenuti razliqiti indeksi, po promenǉivoj, koja odgovara preostalom indeksu, tj. Γ i.jk + Γ j.ik = Γ i.jk + Γ j.ki = g ij,k (2.59) Γ i.jk + Γ k.ji = Γ i.jk + Γ k.ij = g ik,j. (2.60) Dokaz: Prema definiciji Kristofelovih simbola I vrste, uzimaju i u obzir g ij = g ji, dobijamo da vaжi Γ i.jk + Γ j.ik = 1 2 (g ij,k g jk,i + g ki,j ) + 1 2 (g ji,k g ik,j + g kj,i ) = g ij,k. Na isti naqin se dokazuje da vaжi (2.60). Teorema 2.5.3. Za Kristofelove simbole II vrste vaжi g ip Γ j pk + gjp Γ i pk = g ij,k. (2.61) Dokaz: Diferenciraǌem relacije g ip g pj = δj i po xk, dobijamo g ip,k g pj + g ip g pj,k = 0,

2.5. Kristofelovi simboli u Rimanovom prostoru 39 odakle je g ip g pj,k = g ip,k g pj. Ako izvrximo kompoziciju sa g jm i na levoj strani primenimo (2.59), dobija se g ip g jm (Γ p.jk + Γ j.pk ) = g ip,k δm p = g im,k, a primenom (2.54): g jm Γ i jk + g ip Γ m pk = g im,k. Ako svuda slobodan indeks m zamenimo sa j, a nemi indeks j sa p, dobija se (2.61). Teorema 2.5.4. Ako je g = det(g ij ), tada je g g ij = G ji (x), g x = i 2gΓp pi, odnosno (ln g) = Γ p x i pi, (2.62) gde je G ji kofaktor elemenata g ij. Dokaz: Razvijaǌem determinante g 11 g 12... g 1N............ g = g L1 g L1... g LN............ g N1 g N2... g NN po elementima L te vrste dobijamo (2.63) odakle za fiksirano M imamo g = g L1 G 1L + g L2 G 2L + + g LN G NL = g Lp G pl, (2.64) g g LM = g Lp g LM G pl + g Lp G pl g LM. (2.65) Kako g Lp i g LM nisu međusobno zavisni za p M, to je g Lp g LM = δp M, a kako se svaki kofaktor G pl dobija izostavǉaǌem cele L-te vrste, to G pl ne sadrжi g LM, pa je GpL g LM = 0. Dakle, g g LM = δ M p G pl = G ML. Kako posledǌa jednakost vaжi za sve M, L iz skupa {1,..., N}, to vaжi prva jednakost ovog tvrđeǌa.

40 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori Kada uporedimo poloжaj indeksa na levoj i desnoj strani u prvoj jednakosti relacije (2.62), vidimo da su doǌi u imeniocu leve strane prexli u gorǌe indekse na desnoj strani. Determinanta g = det(g pq ) je preko g pq funkcija od x i, pa koriste i dokazanu prvu jednakost, imamo g x = g g pq i g pq x i =Gqp g pq,i =gg qp (Γ p.qi + Γ q.pi )=g(γ q qi + Γp pi ) = 2gΓp pi, pa vaжi druga jednakost, koju moжemo da zapixemo u obliku tre e jednakosti, pa je ovim teorema dokazana. 2.5.2 Transformacija Kristofelovih simbola Teorema 2.5.5. Kristofelovi simboli I vrste se transformixu po zakonu Γ i.j k = xi i xj j x k k Γ i.jk + x i i xj j k g ij (2.66) Dokaz: Diferenciraju i po x k zakon transformacije g i j = xi i xj j g ij, (2.67) dobijamo i cikliqno po i, j, k g i j,k = xi i k xj j g ij + x i i xj j k g ij + x i i xj j g ij,k x k k g j k,i = xj j i x k k g jk + x j j x k k i g jk + x j j x k k g jk,ix i i g k i,j = xk k j xi i g ki + x k k xi i j g ki + x k k xi i g ki,jx j j. Iz ove tri jednaqine, odgovaraju om izmenom nemih indeksa, dobijamo 1 2 (g i j,k g j k,i + g k i,j ) = xi i xj j k g ij + 1 2 xi i xj j x k k (g ij,k g jk,i + g ki,j ), tj. vaжi (2.66). Napomenimo da se zakon transformacije (2.66) moжe pisati i u inverznom obliku Γ i.jk = x i i x j j xk k Γ i.j k + xi i xj jk g i j, (2.68) xto dobijamo polaze i od g ij = x i i x j j g i j. Teorema 2.5.6. Kristofelovi simboli II vrste se transformixu po zakonu Γ i j k = xi i x j j x k k Γi jk + x i i x i j k. (2.69)

2.5. Kristofelovi simboli u Rimanovom prostoru 41 Dokaz: Polaze i od veze Γ i j k = gi p Γ p.j k, korix eǌem zakona transformacije za g ip i Γ p.jk, dobijamo Γ i j k =xi i x p p g ip (x q p x j j x k k Γ q.jk + x q p x j j k g qj ) =x i i x p p g ip x q p x j j x k k Γ q.jk + x i i x p p g ip x q p x j j k g qj =x i i δ q pg ip x j j x k k Γ q.jk + x i i δ q pg ip x j j k g qj =x i i x j j x k k gip Γ q.jk + x i i x j j k g iq g qj =x i i x j j x k k Γi jk + x i i x j j k δ i j = x i i x j j x k k Γi jk + x i i x i j k. Zakon transformacije za Kristofelove simbole II vrste se moжe napisati i u inverznom obliku Γ i jk = x i i xj j xk k Γ i j k + xi i jk. (2.70) xi Zakoni transformacije Kristofelovih simbola II vrste omogu avaju da se izraze drugi izvodi jednih koordinata pomo u prvih izvoda i Kristofelovih simbola. Ako u (2.69) izvrximo kopmpoziciju sa x p i dobijamo odnosno Smeǌuju i p sa i dobijamo Iz (2.70), analogano vaжi δ p i xi j k = xp i Γ i j k xp i x i i x j j x k k Γi jk, x p j k = x p i Γ i j k xj j x k k Γp jk. x i j k = xi i Γi j k xj j x k k Γi jk. (2.71) x i jk = x i i Γ i jk x j j xk k Γ i j k. (2.72) Iz zakona transformacije (2.66) i (2.69) prime ujemo da se Kristofelovi simboli u odnosu na opxtu transformaciju koordinata ne transformixu po tenzorskom zakonu. Tenzorski zakon vaжi samo u odnosu na (linearnu) afinu transformaciju x j = a j j xj + b j, (2.73) jer tada x j j = a j j = const. povlaqi x j jk = 0, pa (2.68) postaje tenzorski zakon. Na isti naqin postupamo i u ostalim sluqajevima.

42 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori Definicija 2.5.2. Kristofelovi simboli II vrste se zovu i koeficijenti povezanosti (koneksije) Rimanovog prostora R N. Ako se na diferencijabilnoj mnogostrukosti ne definixu koeficijenti g ij, ve Γ i jk (x1,..., x N ) kao sistem koji zadovoǉava zakon transformacije (2.69), onda imamo prostor afine koneksije (koji ne mora da bude metriqki). Svaki Rimanov prostor je prostor afine koneksije, obrnuto ne vaжi. Primer 2.5.1. Na i Kristofelove simbole za polarne koordinate u E 2. Rexeǌe: Kako je (ds) 2 = (dρ) 2 + (ρdθ) 2, to je ( 1 0 (g ij ) = 0 (ρ) 2 ), (g ij ) = (g ij ) 1 = ( 1 0 0 (1/ρ) 2 ). Kako je Γ i.jk = 1 2 (g ij,k g jk,i + g ki,j ), g ij,k = g ij / x k, to sledi Γ 1.11 = 1 2 g 11,1 = 1 g 11 2 x = 0, 1 Γ 1.12 = 1 2 (g 11,2 g 12,1 + g 21,1 ) = 1 2 g 11,2 = 0 = Γ 1.21, Γ 1.22 = ρ, Γ 2.11 = 0, Γ 2.12 = Γ 2.21 = ρ, Γ 2.22 = 0. Prema obrascu Γ i jk = gip Γ p.jk, nalazimo da je Γ 1 22 = g 1p Γ p.22 = g 11 Γ 1.22 + g 12 Γ 2.22 = Γ 1.22 = ρ, Γ 2 12 = g 2p Γ p.12 = ( 1 ρ )2 ρ = 1 ρ = Γ2 21, dok su ostali Γ i jk jednaki 0. Primer 2.5.2. Na i Kristofelove simbole za polarne koordinate u E 2 polaze i od Kristofelovih simbola u Dekartovim koordinatama i zakona transformacije. Rexeǌe: Kako je u Dekartovim koordinatama (ds) 2 = (dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2, to je ( ) 1 0 (g ij ) = Γ 0 1 i.jk = 0, i, j, k {1, 2}, (2.74) pa prema (2.66) Γ i.j k = xi i xj j k g ij. Ako su x i Dekartove koordinate, a x i polarne, koriste i (2.74), dobijamo Γ 1.2 2 = xi 1 xj 2 2 g ij =x 1 1 x1 2 2 + x2 1 x2 2 2, (2.75)

2.5. Kristofelovi simboli u Rimanovom prostoru 43 gde je x 1 = x = ρ cos θ, x 2 = y = ρ sin θ, x 1 1 = x ρ = cos θ, x 1 2 = x θ = ρ sin θ, x 1 2 2 = x θθ = ρ cos θ, x 2 1 = y ρ = sin θ, x 2 2 = y θρ cos θ, x 2 2 2 = y θθ = ρ sin θ, pa se prema (2.75) dobija Γ 1.2 2 = cos θ( ρ cos θ) + sin θ( ρ sin θ) = ρ, a to je u prethodnom primeru dobijena vrednost Γ 1.22. Na isti naqin se dobijaju i ostale vrednosti Γ i.j k (to su Γ i.jk iz prethodnog primera). Prema (2.74) je u Dekartovim koordinatama Γ i jk = 0, i, j, k {1, 2}, a na osnovu zakona transformacije (2.69): Γ 1 2 2 = x1 i x j 2 x k 2 Γi jk + x 1 i x i 2 2 = 0 + x1 1 x 1 2 2 + x1 2 x 2 2 2, jer je Γ i jk = 0. Kako je x 1 1 = ρ x = x (x)2 + (y) = ρ cos θ 2 ρ x 1 2 = ρ y = = cos θ, x 1 2 2 = ρ cos θ, y (x)2 + (y) = sin θ, 2 x2 2 2 = ρ sin θ, to dobijamo Γ 1 2 2 = cos θ( ρ cos θ) + sin θ( ρ sin θ) = ρ, a to je u prethodnom primeru nađena vrednost Γ 1 22. Na isti naqin dobijamo i ostale vrednosti Γ i j k (to su Γi jk iz prethodnog primera). Primer 2.5.3. Na i Kristofelove simbole za E 3 u a) cilindriqnim koordinatama, b) sfernim koordinatama. Rexeǌe: a) U cilindriqnim koordinatama vaжi pa sledi (g ij ) = 1 0 0 0 (ρ) 2 0 0 0 1 (ds) 2 = (dρ) 2 + (ρ) 2 (dθ) 2 + (dz) 2, (2.76), (g ij ) = (g ij ) 1 = 1 0 0 0 1/(ρ) 2 0 0 0 1 Ako je x 1 = ρ, x 2 = θ, x 3 = z, g ij,k = g ij / x k, tada je. (2.77) Γ 1.22 = 1 2 g 22,1 = ρ, Γ 2.12 = Γ 2.21 = ρ (2.78)

44 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori a ostali Γ i.jk su jednaki 0. Daǉe je Γ i jk = gip Γ p.jk, pa dobijamo Γ 1 22 = ρ, Γ 2 12 = Γ 2 21 = 1 ρ, (2.79) dok su ostali Γ i jk jednaki 0. b) Kako je u sfernim koordinatama (ds) 2 = (dr) 2 + (r cos φ) 2 (dθ) 2 + (r) 2 (dφ) 2, (2.80) to se dobija (g ij ) = 1 0 0 0 (r cos φ) 2 0 0 0 (r) 2 1 0 0, (g ij 1 ) = 0 0 (r cos φ) 2 1 0 0 (r) 2, (2.81) g = det(g ij ) = (r) 4 cos 2 φ. (2.82) Ako je r = x 1, θ = x 2, φ = x 3, g ij,k = g ij / x k, tada dobijamo Γ 1.22 = 1 2 (g 12,2 g 22,1 + g 21,2 ) = 1 2 g 22,1 = 1 2 (2r cos2 φ) = r cos 2 φ, Γ 1.33 = r, Γ 3.22 = 1 2 g 22,3 = (r) 2 cos φ sin φ, (2.83) a ostali Γ i.jk su jednaki 0. Daǉe je Γ 1 22 = g 1p Γ p.22 = g 11 Γ 1.22 = r cos 2 φ, Γ 1 33 = r, Γ 3 22 = cos φ sin φ. (2.84) 2.6 Kovarijantni izvod tenzora 2.6.1 Definicija i tenzorski karakter kovarijantnog izvoda Podsetimo se da, ako je φ(x 1,..., x N ) skalarna invarijanta, tada je sistem parcijalnih izvoda φ,i = φ/ x i tenzor tipa (0, 1), tj. kovarijantni vektor. To je jedini sluqaj da je parcijalni izvod tenzora ponovo tenzor u odnosu na opxtu transformaciju koordinata. Na primer, za vektor u i (x 1,..., x N ) transformacijom koordinata dobijamo u i = x i i u i, pa ako je u i,j = u i / x j, imamo u i,j = ui = (x i x j i u i ),j = x i ij ui + x i i u i,j. (2.85)

2.6. Kovarijantni izvod tenzora 45 Kako je x i = x i (x 1,..., x N ), u i = u i (x 1,..., x N ), x i = x i (x 1,..., x N ), to je x i i = x i i (x 1,..., x N ), x i ij = (x i x j i ) = x i ijx j j, u i,j = ui,jx j j, pa iz (2.85) vaжi u i,j = xi ijx j j u i + x i i x j j u i,j (2.86) ij = 2 x i tj. imamo tenzor samo u sluqaju da je x i = 0, tj. kada je x i x j x i = x i (x 1,..., x N ) afina transformacija. Zbog toga se uvodi pojam kovarijantnog izvoda tenzora, koji je takođe tenzor. Definicija 2.6.1. Ako je u i (x 1,..., x N ) vektor, sistem u i ;j = u i,j + Γ i pju p (2.87) se zove kovarijantni izvod kontravarijantnog vektora u i. Napomena: U literaturi se za kovarijantni izvod kovarijantnog vektora koriste oznake: u i ;j = j u i = Dui. Takođe se koristi i oznaka u i Dx j,j za kovarijantni izvod, a za parcijalni izvod se pixe u i / x j. Teorema 2.6.1. Kovarijantni izvod vektora u i (x 1,..., x N ) je tenzor tipa (1, 1). Dokaz: Diferenciramo relaciju u i = x i i u i po x j i primenimo (2.72) za x i ij, dobijamo u i,j = xi ijx j j u i + x i i u i,jx j j = (x i p Γ p ij xk i x l j Γ i k l )xj j u i + x i i x j j u i,j, u i,j + δl j xk i Γ i k l ui = x i p x j j Γ p ij ui + x i i x j j u i,j. Ako u prvom sabirku na desnoj strani smenimo p i, sledi da je u i,j + Γi k j xk i u i = x i i x j j (u i,j + Γ i pju p ). Kako je u i tenzor, to je x k i u i = x k k uk = u k, pa sledi a prema (2.87) u i ;j = xi i x j j u i ;j, tj. ui ;j u i,j + Γi k j uk = x i i x j j (u i,j + Γ i pju p ), se transformixe kao tenzor tipa (1, 1). Definicija 2.6.2. Ako je v i (x 1,..., x N ) kovarijantni vektor, sistem se zove kovarijantni izvod vektora v i. v i;j = v i,j Γ p ij v p (2.88) Teorema 2.6.2. Kovarijantni izvod vektora v i (x 1,..., x N ) je tenzor tipa (0, 2).

46 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori Dokaz: Polaze i od relacije v i = x i i v i i koriste i (2.71), dobijamo v i j = xi i j v i + x i i v i,jx j j = (Γ k i j xi k Γi jkx j i x k j )v i + x i i xj j v i,j, a odavde je v i,j Γk i j xi k v i = Γ i jkx j i x k j v i + x i i xj j v i,j. U prvom sabirku na desnoj strani smenimo i p, j i, k j, pa prema (2.88) sledi v i ;j = xi i xj j v i;j. Definiximo sada kovarijantni izvod proizvoǉnog tenzora. Definicija 2.6.3. Ako je t i 1...i A j 1...j B t i 1...i A j 1...j B;k = t i 1...i A j 1...j B,k + A α=1 tenzor, sistem Γ iα pk ti 1...i α 1 pi α+1...i A j 1...j B B β=1 Γ p j β k ti 1...i A j 1...j β 1 pj β+1...j B (2.89) je kovarijantni izvod datog tenzora. Pod kovarijantnim izvodom skalarne funkcije podrazumevamo ǌen parcijalni izvod. Na primer, t ij kl;m = tij kl,m + Γi pmt pj kl + Γj pmt ip kl Γp km tij pl Γp lm tij kp. (2.90) Slede i primer je objaxǌeǌe za motivaciju da pod kovarijantnim izvodom skalarne invarijante podrazumevamo ǌen parcijalni izvod. Primer 2.6.1. Ako je u i j tenzor, tada je u i j;m = u i j,m + Γ i pmu p j Γp jm ui p, odakle, za i = j dobijamo skalarnu invarijantu φ = u i i i ǌen kovarijantni izvod φ ;m = u i i;m = u i i,m + Γ i pmu p i Γp im ui p. Ako u tre em sabirku na desnoj strani smenimo i p, vidimo da se on ponixtava sa drugim sabirkom, pa imamo φ ;m = u i i;m = u i i,m + Γ i pmu p i Γi pmu p i = ui i,m = φ,m. (2.91) Ve smo dokazali da je kovarijantni izvod kontravarijantnog i kovarijantnog vektora tenzor, pri qemu se kovarijantnost pove ava za jedan. Uopxte vaжi slede a teorema:

2.6. Kovarijantni izvod tenzora 47 Teorema 2.6.3. Kovarijantni izvod tenzora tipa (A, B) je tenzor tipa (A, B + 1). Dokaz: Dokaz emo izvesti za tenzor t i j, tj. dokaza emo da je t i j;k = t i j,k + Γ i pkt p j Γp jk ti p (2.92) tenzor. U ostalim sluqajevima se sliqno dokazuje. Posmatrajmo parcijalni izvod po x k zakona transformacije t i j = xi i x j j t i j i izrazimo parcijalne izvode drugog reda x i ik, xj j k preko (2.71) i (2.72), dobijamo tj i,k = (t i x k j ) = xi ikx k k xj j t i j + x i i x j j k t i j + x i i x j j t i j,kx k k = (x i p Γ p ik xp i xq k Γi p q )xk k xj j t i j + x i i t i j(x j q Γ q j k x q j x r k Γj qr) + x i i x j j x k k ti j,k, a prebacivaǌem na levu stranu qlanova sa Γ u sistemu x i obzir da je x q k xk k Γi p q = δq k Γ i p q = Γi p k, dobijamo i uzimaju i u t i j,k + xp i xj j Γ i p k ti j x i i x j q t i jγ q j k = x i i x j j x k k ti j,k + x i p x j j x k k Γp ik ti j x i i x q j x r k Γj qrt i j. Ako uzmemo da je, prema zakonu transformacije, na levoj strani x p i xj j t i j = t p j, x i i x j q t i j = t i q, a na desnoj strani izvrximo smenu nemih indeksa (u drugom sabirku p i, a u tre em q j, r k), bi e Prema (2.91) imamo tj. t i j;k t i j,k + Γi p k tp j t i q Γq j k = x i i x j j x k k (ti j,k + Γ i pkt p j Γq jk ti q). t i j ;k = xi i x j j x k k ti j;k, se transformixe po tenzorskom zakonu. 2.6.2 Kovarijantni izvodi metriqkih tenzora U Euklidskom prostoru E N u odnosu na Dekartov pravougli koordinatni sistem g ij su konstante, pa su Kristofelovi simboli jednaki 0. Zato je kovarijantni izvod ustvari obiqan parcijalni izvod, pa je g ij,k = g ij = 0. Jedna od x k glavnih karakteristika Euklidskih prostora je postojaǌe bar jednog koordinatnog sistema u kome su Kristofelovi simboli I i II vrste jednaki 0. To ove prostore izdvaja od opxtih Rimanovih prostora. U Rimanovom prostoru, ali i u Euklidskom u krivolinijskim koordinatama, nisu svi g ij konstante, pa parcijalni izvodi od g ij nisu jednaki nuli. Međutim, kovarijantni izvodi su 0, xto emo pokazati u narednoj teoremi.

48 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori Teorema 2.6.4. Kovarijantni izvodi metriqkih tenzora u R N su jednaki nuli, tj. g ij;k = g ij ;k = gi j;k = δ i j;k = 0. (2.93) Dokaz: Koriste i osobine Kristofelovih simbola (2.58), (2.59), (2.61) i (2.35) imamo: jer su δ i j konstante. g ij;k = g ij,k Γ p ik g pj Γ p jk g ip = g ij Γ j.ik Γ i.jk = 0, g ij ;k = gij,k + Γi pkg pj + Γ j pk gip = 0, g i j;k = δ i j;k = δ i j,k + Γ i pkδ p j Γp jk δi p = 0 + Γ i jk Γ i jk = 0, Definicija 2.6.4. Tenzor, qiji je kovarijantni izvod 0, zove se kovarijantno konstantan tenzor. Dakle, metriqki tenzori su kovarijantno konstantni u Rimanovom prostoru R N. 2.6.3 Osobine kovarijantnog izvoda Pojedine osobine kovarijantnog izvoda se poklapaju sa osobinama obiqnih izvoda. Posmatra emo tenzore kao funkcije koordinata, tj. tenzorska poǉa, ako nije drugaqije napomenuto. Sve osobine kovarijantnog izvoda se dokazuju na osnovu definicije, a mi emo ih posmatrati na određenim primerima. 1. Kovarijantni izvod zbira (razlike) jednak je zbiru (razlici) kovarijantnih izvoda. Na primer, (u i j ± v i j) ;k = (u i j ± v i j),k + Γ i pk(u p j ± vp j ) Γp jk (ui p ± v i p) = u i j;k ± v i j;k. 2. Ako je c konstanta, tada je (cu i j) ;k = cu i j;k. 3. Vaжi Lajbnicovo pravilo, za obiqan (spoǉaxǌi) proizvod: (u i jv k ) ;m = (u i jv k ),m + Γ i pm(u p j v k) Γ p jm (ui pv k ) Γ p km (ui jv p ) =u i j,mv k + u i jv k,m + (Γ i pmu p j Γp jm ui p)v k (Γ p km v p)u i j =(u i j,m + Γ i pmu p j Γp jm )v k + (v k,m Γ p km v p)u i j =u i j;mv k + u i jv k;m. 4. Za kompoziciju (unutraxǌi proizvod) tenzora vaжi Lajbnicovo pravilo. Na primer, ako u prethodnom primeru uzmemo k = i: (u i jv i ) ;m = u i j;mv i + u i jv i;m.

2.6. Kovarijantni izvod tenzora 49 5. Kontrakcija i kovarijantno diferenciraǌe su komutativni. Na primer: (u i ik) ;m = (δ p i ui pk) ;m = δ p i;m ui pk + δ p i ui pk;m = 0 + δ p i (ui pk;m). 6. Operacija dizaǌa i spuxtaǌa indeksa je komutativna sa kovarijantnim diferenciraǌem, na primer: (g ip u p ) ;m = g ip ;mu p + g ip u p;m = 0 + g ip u p;m. 2.6.4 Gradijent. Diferencijalni operatori I reda Definicija 2.6.5. Ako je φ(x 1,..., x n ) neka skalarna funkcija u R N, sistem parcijalnih izvoda φ/ x i = φ,i zove se gradijent skalarne funkcije φ, u oznaci φ gradφ. Kako se za u sluqaju skalarne funkcije poklapaju parcijalni i kovarijantni izvod, to imamo gradφ φ = φ x i φ,i = φ ;i (2.94) Kao xto se vidi iz (2.94), gradijent je kovarijantni vektor. Da bismo pokazali jedno geometrijsko tumaqeǌe gradijenta, posmatrajmo u R N hiperpovrx φ(x 1,..., x n ) = C (C = const). Bi e dφ = φ,i dx i = 0, pa kako je dx i tangentni vektor, to je φ,i = φ vektor normale navedene hiperpovrxi. Kvadrat intenziteta gradijenta φ zovemo diferencijalni parametar I reda i obeleжavamo 1 φ. Dakle, 1 φ = ( φ) 2 = g ij φ,i φ,j. (2.95) Ovaj operator zovemo jox i Beltramijev diferencijalni parametar (E.Beltrami, 1835-1900, italijanski matematiqar). U geometriji se koristi jox jedan diferencijalni operator I reda, tzv. skalarni proizvod gradijenata skalarnih funkcija φ, ψ određen sa 1 (φ, ψ) = φ ψ = g ij φ,i ψ,j. (2.96) 2.6.5 Divergencija vektora i tenzora Posmatrajmo kontravarijantni vektor u i i ǌegov kovarijantni izvod po x i : u i ;j = u i,j + Γ i pju p. (2.97)

50 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori Definicija 2.6.6. Skalarna invarijanta, koja se dobija kontrakcijom u kovarijantnom izvodu kontravarijantnog vektora zove se divergencija vektora tj. div u = u i ;i = u i,i + Γ i piu p. (2.98) tj. Kako je, prema (2.62), Γ i pi = g,p 2g to je div u = u i,i + g,p 2g up = 1 (u i g,i g,i g + 2 g ui ), div u = 1 g (u i g) i, 0 < g = det(g ij ). (2.99) U prostoru E 3 su, u odnosu na Dekartove kordinate, Kristofelovi simboli jednaki nuli, pa iz (2.98) dobijamo poznati obrazac div u = u i,i = u1 x + u2 1 x + u3 2 x. (2.100) 3 Određivaǌe devergencije se moжe definisati i za vektor v određen kovarijantnim kordinatama v i, kada se pomo u ǌih u R N prethodno odrede kontravarijantne kordinate. U tom sluqaju, po definiciji je div u = (g ij v i ) ;j = g ij v i;j = v j ;j = vi ;i, (2.101) gde smo uzeli u obzir da je g ij ;j = 0. Za tenzor proizvoǉnog tipa se takođe moжe definisati operacije divergencije. U opxtem sluqaju rezultat zavisi od toga po kome od gorǌih indeksa se vrxi kontrakcija, pa imamo, na primer, div (i) u ij k div (k) u ij k = uij k;i, div (j)u ij k = uij k;j = (gpk u ij k ) ;p = u ijp ;p = u ijk ;k. 2.6.6 Rotor Operaciju rotora vektorske funkcije emo u sluqaju Rimanovog prostora uopxtiti na slede i naqin. Neka je dat kovarijantni vektor v i. Tada je, r ij = v i,j v j,i = v i;j v j;i, (2.102) dvostruki antisimetriqni kovarijantni tenzor, a druga jednakost se lako proverava na osnovu izraza za kovarijantni izvod v i;j, uzimaju i u obzir simetriju Kristofelovih simbola.

2.6. Kovarijantni izvod tenzora 51 Definicija 2.6.7. Operacija (2.102), kojom se svakom kovarijantnom vektoru v i dodeǉuje dvostruki kovarijantni tenzor r ij, zove se operacija rotora. U Rimanovom prostoru R N se operacija rotora moжe indirektno primeniti i na kontravijantni vektor u i, tako xto se prvo odredi pridruжeni kovarijantni vektor u i = g ij u j. U R 3 se pomo u e-sistema tenzoru r ij moжe jednoznaqno pridruжiti kontravarijantni vektor. r i = 1 2 eijk r jk = 1 2 eijk (v j;k v k;j ) = e ijk v j;k, (2.103) Odakle je r 1 = e 1jk v j;k = e 123 v 2;3 + e 132 v 3;2 = v 2;3 v 3;2 = v 2,3 v 3,2. Analogno za r 2, r 3, pa imamo r 1 = v 2,3 v 3,2, r 2 = v 3,1 v 1,3, r 3 = v 1,2 v 2,1, (2.104) a takvi su poznati obrasci u E 3. Pomo u (2.104) se u E 3 dobija vektor r = (r 1, r 2, r 3 ), koji zovemo rotor vektora v i pixemo r = rot v. (2.105) Operatori gradijenta, divergencije i rotora su diferencijalni operatori I reda, jer se ǌihovom primenom pojavǉuju izvodi I reda. 2.6.7 Diferencijalni operatori II reda. Laplasijan Diferencijalni operatori II reda su oni operatori kod kojih se pojavǉuju izvodi II reda (kovarijantni ili obiqni). Najvaжniji diferencijalni operator II reda je Laplasov operator, tzv. Laplasijan. Definicija 2.6.8. Laplasov operator, u oznaci, se sastoji u određivaǌu divergencije gradijenta, tj. = div div grad. (2.106) Laplasijan se primeǌuje na skalarnu funkciju. φ(x 1,..., x n ) je, prema (2.106), Laplasijan funkcije φ = div φ = divφ ;i = div(g ij φ ;j ). (2.107) Ako oznaqimo g ij φ ;j = φ ;i, (2.108)

52 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori iz (2.107) sledi φ = div(φ ;i ) = 1 g (φ ;i g),i = 1 g (g ij φ,j g),i, (2.109) gde smo uzeli u obzir da je φ ;j = φ,j = φ/ x j. Obrascu za Laplasijan se moжe dati i drugi oblik, polaze i od definicije divergencije, tj. ako najpre nađemo kovarijantni izvod kontravarijantnih koordinata gradijenta i izvrximo kontrakciju. Dakle, prema (2.98), uzimaju i u obzir da je g ij kovarijantno konstantan, bi e φ (2.108) = div(φ ;i ) (2.98) = (φ ;i ) ;i (2.108) = (g ij φ ;i ); i = g ij (φ ji Γ p ji φ ;p), tj. φ = g ij ( 2 φ x i x j φ x p Γp ji ) gij (φ,ij + Γ p ij φ,p ). (2.110) Definicija 2.6.9. Jednaqina φ = 0 zove se Laplasova difererencijalna jednaqina, a skalarna funkcija φ je, u tom sluqaju, harmonijska funkcija. Pojam Laplasovog operatora se moжe proxiriti i na proizvoǉne tenzore, a analogno prethodnoj definiciji, moжemo da definixemo harmonijske vektore i tenzore. Primer 2.6.2. Na primeru u ij ik pokazati da na kovarijantni izvod utiqu samo slobodni indeksi j, k. Rexeǌe: pa za l = i: u ij lk;m = uij lk,m + Γi pmu pj lk + Γj pmu ip lk Γp lm uij pk Γp km uij lp, u ij ik;m = uij ik,m + Γi pmu pj ik + Γj pmu ip ik Γp im uij pk Γp km uij ip, Ako u 4. sabirku na desnoj strani smenimo neme indekse p i, vidimo da se on ponixtava sa 2. sabirkom, pa u rezultatu utiqu indeksi j, k. Primer 2.6.3. Dat je vektor (u i ) = (θ, ρ), u odnosu na polarne koordinate u E 2. a) Na i taj vektor u Dekartovim pravouglim koordinatama u E 2. b) Na i ǌegov kovarijantni izvod u Dekartovim koordinatama. v) Na i kovarijantni izvod toga vektora u polarnim koordinatama direktno. g) Na i kovarijantni izvod datog vektora u polarnim koordinatama, koriste i vrednost pod b). d) Na i kovarijantne koordinate u i datog vektora. đ) Na i fiziqke kooordinate istog vektora.

2.6. Kovarijantni izvod tenzora 53 Rexeǌe: Obeleжimo x 1 = ρ, x 2 = θ, x 1 = x, x 2 = y. Tada je u 1 = θ, u 2 = ρ, u i = x i i u i. a) u 1 = x 1 1 u 1 + x 1 2 u 2 = x ρ u 1 + x θ u 2 = cos θ θ + ( ρ sin θ)( ρ), u 2 = x 2 1 u 1 + x 2 2 u 2 = x ρ u 1 + x θ u 2 = sin θ θ + ρ cos θ)( ρ), tj. (u 1, u 2 ) = (θ cos θ + (ρ) 2 sin θ, θ sin θ (ρ) 2 cos θ). (2.111) Ako ρ, θ izrazimo preko x, y, ima emo ( (u 1, u 2 ) = arctg y x x (x)2 + (y) + 2 ((x)2 + (y) 2 y ) (x)2 + (y), 2 arctg y x y (x)2 + (y) 2 ((x)2 + (y) 2 x ) ). (x)2 + (y) 2 (2.112) b) Kako su x i Dekartove pravougle koordinate, Kristofelovi simboli su jednaki 0, pa je kovarijantni izvod obiqan parcijalni izvod: u 1 ;1 = u1 x i x i x 1 = u1 x 1 x 1 x 1 + u1 x 2 x 2 x 1 = u1 ρ ρ x + u1 θ θ x = (21) x 2ρ sin θ (x)2 + (y) + (cos θ θ sin θ + y 2 (ρ)2 cos θ) (x)2 + (y) 2 tj. u 1 ;1 = 1 ρ [sin θ cos θ((ρ)2 1) + θ sin 2 θ]. (2.113) Na isti naqin nalazimo ostale vrednosti u i ;j. v) U polarnim koordinatama je u 1 = θ, u 2 = ρ, Γ 1 22 = ρ, Γ 2 12 = 1, ρ a ostali Γ i jk su jednaki 0. Kovarijantni izvodi su u 1 ;1 =u 1,1 + Γ 1 p1u p = u1 x 1 + Γ1 11u 1 + Γ 1 21u 2 = θ ρ = 0, u 1 ;2 =u 1,2 + Γ 1 12u 1 + Γ 1 22u 2 = θ θ + 0 + ( ρ)( ρ) = 1 + (ρ)2, u 2 ;1 =u 2,1 + Γ 2 11u 1 + Γ 2 21u 2 = 2, u 2 ;2 = θ/ρ. Dakle, u polarnim koordinatama je ( 0 1 + (ρ) (u i ) = (θ, ρ) (u i 2 ;k) = 2 θ/ρ ). (2.114) g) Ako su x i Dekartove pravougle koordinate, a x i polarne u E 2, u i ;j emo na i koriste i u i ;j i zakon transformacije tenzora

54 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori u 1 1 =x1 i x j 1 u i ;j = x 1 1 x 1 1 u1 ;1 + x 1 2 x 2 1 u2 ;2 + x 1 2 x 1 1 u2 ;1 + x 1 1 x 2 1 u1 ;2 =x ρ ρ x u 1 ;1 + x θ θ x u 1 ;1 + x θ ρ x u 2 ;1 + x ρ θ x u 1 ;2. Koriste i (2.114) i veze između jednih i drugih koordinata, sledi u 1 ;1 = cos θ x y 0 + ( ρ sin θ) (x)2 + (y) 2 (x)2 + (y) θ 2 ρ 2x +( ρ sin θ) (x)2 + (y) + cos θ y 2 (x) 2 + (y) (1 + 2 (ρ)2 ) = 1 ρ [sin θ cos θ((ρ)2 1) + θ sin 2 θ], tj. dobija se (2.113). Na isti naqin moжemo na i i ostale vrednosti u i ;j. d) Primenom vrednosti (2.5.2) i operacije spuxtaǌa indeksa, ima-mo u i = g ip u p = g i1 u 1 + g i2 u 2, u 1 = g 11 u 1 + g 12 u 2 = θ, u 2 = (g 21 u 1 + g 22 u 2 ) = ((ρ) 2 ( ρ)) = (ρ) 3. (2.115) đ) Prema (2.24) imamo u (1) = u j λ j (1) = u 1λ 1 (1) + u 2 λ 2 (1), u (2) = u j λ j (2) = u 1λ 1 (2) + u 2 λ 2 (2). (2.116) Iz jednaqine koja daje vektor poloжaja proizvoǉne taqke r = (x, y) = (ρ cos θ, ρ sin θ) za tangentne vektore koordinatnih linija u polarnom sistemu u ravni imamo r1 = r ρ = r = (cos θ, sin θ), ρ r2 = r θ = ( ρ sin θ, ρ cos θ). Kako je r 1 = 1, r 2 = ρ, to za jediniqne tangentne vektore imamo (razlagaǌe po bazi r 1, r 2 ): λ (1) = r 1 = 1 r 1 + 0 r 2 = (1, 0) = (λ 1 (1), λ 2 (1)) λ (2) = 1 r2 = 0 r 1 + 1 r2 = (0, 1 ρ ρ ρ ) = (λ1 (2), λ 2 (2)) Ovde je λ 1 (1) = 1, λ2 (1) = 0; λ1 (2) = 0, λ2 (2) = 1. Zamenom ovih vrednosti, kao i ρ u 1, u 2 iz (2.115) u (2.116), sledi u (1) = θ, u (2) = (ρ) 2. Primer 2.6.4. Za hiperpovrxi u R N x i = c 1 = const., x j = c 2 = const., na i a) 1 (x i, x j ), b) (x i ) 2, v) cos θ ij, gde je θ ij ugao pod kojim se ove hiperpovrxi seku u nekoj taqki.

2.7. Izvod u pravcu, apsolutni izvod i apsolutni diferencijal 55 Rexeǌe: a) Prema (2.114) je 1 (x i, x j ) = x i x j = g pq x i,px i,q = g pq δ i pδ j q = g ij b) ( x i ) 2 = 1 x i = g ii v) Ugao između hiperpovrxi je ugao između ǌihovih normala, pa cos θ ij = x i x j ( xi ) 2 ( x j ) 2 = g ij g ii g jj. Dakle, uslov ortogonalnosti hiperpovrxi je g ij = 0. 2.7 Izvod u pravcu, apsolutni izvod i apsolutni diferencijal Na osnovu pojma kovarijantnog izvoda tenzora definixu se jox neki vaжni pojmovi tenzorske analize. Definicija 2.7.1. Kompozicijom kovarijantnog izvoda tenzora sa nekim vektorom a i po indeksu kovarijantnog diferenciraǌa, dobija se izvod tenzora u pravcu vektora a i. Na primer, izvod tenzora t ij k u pravcu vektora ai je t ij k;q aq = (t ij k,q + Γi pqt pj k + Γj pqt ip k Γp kq tij p )a q. Kao specijalan sluqaj izvoda tenzora u pravcu vektora imamo izvod u pravcu krive. Definicija 2.7.2. Ako je u R N data kriva x i = x i (t), (2.117) izvod tenzora u pravcu tangentnog vektora dxi dt, tj. izvod u pravcu krive u nekoj taqki, zove se apsolutni izvod po parametru t ili Bjankijev izvod, u oznaci D Dt. Na primer, ili detaǉnije tj. Dw i j Dt Dw i j Dt = wj;q i dx q dt, (2.118) = ( wi j x q + Γi pqw p j Γp jq wi p) dxq dt,

56 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori Dw i j = dwi j Dt dt + Γi pqw p dx q j dt dx q Γp jq wi p dt. (2.119) Specijalni sluqaj apsolutnog izvoda po parametru je apsolutni izvod po luku. Na primer, Dwj i Ds = dx q wi j;q ds. Definicija 2.7.3. Proizvod apsolutnog izvoda sa diferencijalom parametra zove se apsolutni diferencijal tenzora, u oznaci D. Na primer, Dwj i = Dwi j Dt dt = ( dwi j (2.119) dt + Γi pqw p dx q j dt dx q Γp jq wi p dt )dt, Dw i j = dw i j + Γ i pqw p j dxq Γ p jq wi pdx q. (2.120) Apsolutni diferencijal se dobija kompozicijom kovarijantnog izvoda sa dx q. Na primer, (2.120) se moжe napisati u obliku Dw i j = w i j;qdx q, (2.121) xto se lako proverava razvijaǌem desne strane. Deǉeǌem leve i desne strane ove jednaqine sa dt dobijamo Dw i j dt odakle upoređivaǌem sa (2.118) zakǉuqujemo: = wj;q i dx q dt, (2.122) Dt = dt. (2.123) Iz definicija izvoda po pravcu, apsolutnog izvoda i apsolutnog diferencijala uoqavamo da za ǌih vaжe osobine analogne osobinama za kovarijantni izvod, kao i da su istoga tipa kao i polazni tenzor. Kako je za invarijantu kovarijantni izvod jednak parcijalnom izvodu, to je apsolutni izvod invarijante zapravo izvod po parametru Dφ = dφ Dt dt. Kako su kovarijantni izvodi metriqkih tenzora jednaki 0 u R N, to su i apsolutni izvodi matriqkih tenzora jednaki 0 u R N. Primer 2.7.1. Dokazati da je: a) Za skalarnu invarijantu φ(x 1,..., x N ) zadovoǉeno Dφ Dt = dφ dt, b) D(g iju i v j ) Dt v) D( u )2 Dt = g ij Du i Dt vj + g ij u i Dvj Dt, = 2g ij u i Duj Dt.

2.8. Paralelno pomeraǌe i geodezijske linije 57 Rexeǌe. a) Prema (2.91) i Definiciji 2.7.2. je Dφ Dt = φ dx q x q dt = dφ dt. b) Kako je g ij u i v j = φ skalarna invarijanta, to je prema a) i qiǌenici da su apsolutni izvodi metriqkih tenora jednaki 0 u R N : d(g ij u i v j ) dt = D(g iju i v j ) Dt = D(ui v j ), Dt odakle vaжi b). v) Kako je u 2 = g ij u i u j, to za v j = u j iz b) sledi v). 2.8 Paralelno pomeraǌe i geodezijske linije 2.8.1 Paralelno pomeraǌe vektora u E N Ako duж krive C određene sa x i = x i (t) (2.124) u E N, gde su x i Dekartove koordinate, t parametar, imamo u svakoj taqki M vektor u = (u i ) istoga intenziteta, pravca i smera, tj. vektor u se paralelno pomera duж C, ǌegove koordinate u i se u takvom sistemu ne meǌaju duж C, pa je du i = 0. (2.125) dt Međutim, ako u svakoj taqki M vektor u posmatramo u odnosu na krivolinijske koordinate x i (na primer polarne u E 2 ili sferne u E 3 ), tada se ǌegove koordinate u i meǌaju od taqke do taqke, jer se meǌaju koordinatni vektori r i = r/ x i, (2.126) gde je r vektor poloжaja taqke M. Ako je veza između Dekartovih koordinata x i bi e a jednaqina posmatrane krive je sada i krivolinijskih x i data sa x i = x i (x 1,..., x N ), (2.127) u i = x i i u i, (2.128) x i = x i (t). (2.129)

58 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori Na osnovu (2.128) je du i dt = d dt (xi i )u i + x i i du i dt = x i iju i dxj (2.127) dt + xi i du i dt = 0. (2.125) Kako je Γ i j k = 0 i xi jk = Γi jk xi i Γ i j k xj pa prethodna jednaqina postaje j xk k, to imamo x i ij = Γ k ijx i k Γ i j k xj j xk i = Γ k ijx i k + 0, Kompozicijom sa x m i : Γ k ijx i k u i dxj dt + xi i du i dt = 0. δ m i du i dt + Γk ijδk m u i dxj dt = 0 dum + Γ m ij u i dxj dt dt = 0, tj. Du m /Dt = 0, odnosno Du i = 0, (2.130) Dt tj. du i dt + Γi pqu p dxq = 0. (2.131) dt Odavde vidimo da je pri prelasku na krivolinijske koordinate jednaqina (2.125) zameǌena sa (2.130). Pri prelasku iz taqke (x i ) u taqku (x i + dx i ) duж krive C, komponente vektora u dobijaju priraxtaje u i du i, koji se nalaze iz (2.131): du i = Γ i pqu p dx q. (2.132) Integracijom ovog sistema diferencijalnih jednaqina nalazimo u i (x 1,..., x N ), u proizvoǉnoj taqki M(x i ) sa krive C. 2.8.2 Paralelno pomeraǌe tenzora u R N Jednaqina (2.130), kojom se izraжava paralelno pomeraǌe vektora u E N u krivolinijskim koordinatama, sugerixe nam definiciju paralelnog pomeraǌa u R N. Definicija 2.8.1. Za vektor u i u R N kaжemo da se pomera paralelno duж krive C date jednaqinom x i = x i (t), (2.133)

2.8. Paralelno pomeraǌe i geodezijske linije 59 ako duж C vaжi Uopxte, za tenzor u...... Du i = 0. (2.134) Dt kaжemo da se paralelno pomera duж C, ako je duж C : Du...... Dt = 0. (2.135) Ovako definisan paralelizam je paralelizam u smislu Levi -Qivita. Teorema 2.8.1. Pri paralelnom pomeraǌu dva vektora u R N ne meǌa se ǌihov skalarni proizvod, kao ni intenzitet svakog od ǌih, ni ugao između ǌih. Dokaz: Poxto je u v = g ij u i v j skalarna invarijanta, to se apsolutni izvod svodi na obiqan izvod po parametru, a po pretpostavci je Du i Dt = 0, Dv i Dt = 0, (2.136) pa, koriste i qiǌenicu da je apsolutni izvod od g ij nula, u R N imamo d dt (u v) = d dt (g iju i v j ) = D Dt (g iju i v j ) = g ij ( Dui Dt vj + u i Dvj Dt ) = g ij (0 + 0) = 0, (2.136) a odavde je u v = const. Poxto se intenzitet vektora, kao i ugao između dva vektora izraжavaju pomo u skalarnog proizvoda, to se ni oni ne meǌaju pri paralelnom pomeraǌu. 2.8.3 Geodezijske linije u R N Posmatrajmo neku pravu u E N. Ako se ǌen jediniqni vektor pravca a = (a i ) zadat svojim Dekartovim koordinatama paralelno pomera, on ostaje i daǉe vektor pravca. Tada je da i = 0, (2.137) ds odnosno u krivolinijskim koordinatama Da i ds = 0. (2.138)

60 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori Za krivu liniju je ǌen vektor pravca u nekoj taqki ǌen tangentni vektor u toj taqki. Dakle, za vektor pravca prave u E N u krivolinijskim koordinatama x i vaжi (2.138). Kao uopxteǌe prave iz E N imamo geodezijsku liniju u R N (posebno na povrxi u E 3 ). Definicija 2.8.2. Kriva u R N je geodezijska linija, ako ǌeni jediniqni tangentni vektori (a i ) = (dx i /ds) qine poǉe paralelnih vektora u smislu Levi-Qivita, tj. kriva x i = x i (s) (2.139) je geodezijska linija, ako za ǌen tangentni vektor (a i ) = (dx i /ds) vaжi jednaqina d ds (dxi ds ) + dx i dx i Γi jk ds ds = 0, ili d 2 x i (ds) + dx j dx k 2 Γi jk = 0. (2.140) ds ds Ovo je sistem obiqnih diferencijalnih jednaqina II reda po nepoznatim funkcijama x i (s), qijom integracijom se dobijaju geodezijske linije (2.139). Prema teoriji ovih jednaqina, sistem (2.140) ima jedinstveno rexeǌe za date poqetne uslove x i (s 0 ) = x i 0, ( dxi ds ) s 0 = v i 0 (i = 1,..., N), tj. kroz datu taqku u datom pravcu u R N postoji jedna geodezijska linija. U sluqaju E N sa metricom (ds) 2 = N i=1 (dxi ) 2 je Γ i jk = 0, pa iz (2.140) dobijamo d 2 x i /(ds) 2 = 0, odakle x i = a i s + b i, (2.141) xto znaqi da su u ovom sluqaju geodezijske linije prave. 2.8.4 Geodezijske linije na povrxi u E 3 Povrx u E 3 je diferencijabilna mnogostrukost. Kako postoji i metriqki tenzor g ij, gde je g 11 = E, g 12 = g 21 = F, g 22 = G, to povrx moжemo posmatrati kao dvodimenzionalni Rimanov prostor R 2. Na povrxi su unutraxǌe koordinate u 1, u 2, pa iz (2.140) za i, j, k = 1, 2, x 1 = u 1, x 2 = u 2, dobijamo sistem diferencijalnih jednaqina geodezijskih linija d 2 u 1 (ds) + 2 Γ1 11( du1 ds )2 + 2Γ 1 du 1 du 2 12 ds ds + Γ1 22( du2 ds )2 = 0, d 2 u 2 (ds) + 2 Γ2 11( du1 ds )2 + 2Γ 2 du 1 12 ds du 2 ds + Γ2 22( du2 ds )2 = 0. (2.142)

2.8. Paralelno pomeraǌe i geodezijske linije 61 Pokaza emo narednom teoremom kako se ovaj sistem moжe svesti na jednu jednaqinu, xto je praktiqnije za nalaжeǌe geodezijskih linija u primerima. Teorema 2.8.2. Sistem (2.142) se moжe svesti samo na jednu jednaqinu ili d 2 u 2 (du 1 ) 2 = Γ1 22( du2 du 1 )3 + (2Γ 1 12 Γ 2 22)( du2 du 1 )2 (2Γ 2 12 Γ 1 11) du2 du 1 Γ2 11, (2.143) d 2 u 1 (du 2 ) 2 = Γ2 11( du2 du 2 )3 + (2Γ 2 12 Γ 1 11)( du1 du 2 )2 (2Γ 1 12 Γ 2 22) du1 du 2 Γ1 22. (2.144) Dokaz: Najpre, napomenimo da se (2.144) dobija iz (2.143) kada indeksi 1 i 2 uzajamno zamene mesta. Osim toga, Kristofelovi simboli u prvom i posledǌem sabirku se dobijaju jedan iz drugog na prethodni naqin, a isto vaжi za sredǌa dva sabirka. Dokaжimo da vaжi (2.143). Umesto unutraxǌim jednaqinama u 1 = u 1 (s), u 2 = u 2 (s), kriva na povrxi, pa i geodezijska linija, moжe se zadati tako xto se jedan parametar izrazi preko drugog. Neka je, na primer, u 2 = u 2 (u 1 ). Tada imamo pa smenom d2 u i (ds) 2, du 2 du2 du = ds, 1 du 1 ds d 2 u 2 d2u2 du 1 (du 1 ) = d2 u 1 du 2 (ds) 2 ds (ds) 2 ds, (2.145) 2 ( du1 ds )3 (i = 1, 2) u drugu od ovih jednaqina prema (2.142), sledi d 2 u 2 (du 1 ) 2 (du1 ds )3 = du1 ds [Γ2 11( du1 ds )2 + 2Γ 2 du 1 du 2 12 ds ds + Γ2 22( du2 ds )2 ] + du2 ds [Γ1 11( du1 ds )2 + 2Γ 1 du 1 du 2 12 ds ds + Γ1 22( du2 ds )2 ], odakle deǉeǌem sa (du 1 /ds) 3 dobijamo (2.143). Na sliqan naqin se dobija i (2.144). Napomenimo da se unutraxǌe jednaqine u i = u i (s), i = 1, 2, mogu odrediti i bez poznavaǌa jednaqine povrxi r = r(u 1, u 2 ). Dovoǉno je znati metriqku formu g ij du i du j, odnosno metriqki tenzor g ij. Vektor pravca prave je konstantan, a tangentni vektor geodezijske linije je kovarijantno konstantan. S druge strane, znamo da je odseqak prave najmaǌe duжine od odseqaka svake krive xto spaja dve taqke. Na povrxi tu ulogu u određenom smislu ima odseqak geodezijske linije. Naime, vaжi slede a teorema: Teorema 2.8.3. Odseqak geodezijske linije, koja spaja taqku A na povrxi S sa dovoǉno bliskom taqkom B S, ima najmaǌu duжinu u odnosu na sve druge krive AB na povrxi. Obrnuto, ako je odstojaǌe između dveju taqaka na povrxi, mereno duж neke krive na toj povrxi, minimalno, ta kriva je geodezijska linija.

62 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori Primer 2.8.1. Vektor u = ı + 2ȷ = (1, 2) je dat u taqki A(a, 0) u E 2 u Dekartovom pravouglom sistemu. Odrediti kontravarijantne koordinate toga vektora u proizvoǉnoj taqki u polarnom sistemu pri paralelnom pomeraǌu duж kruжnice ρ = a. Specijalno, odrediti ove koordinate u taqki B(0, a). Rexeǌe: U ovom sluqaju se zadatak moжe rexiti na dva naqina. I naqin: Neka je x 1 = x, x 2 = y, x 1 = ρ, x 2 = θ. U Dekartovim koordinatama vektor ima iste koordinate u svakoj taqki, a odgovaraju e polarne koordinate vektora se dobijaju preko obrazaca za transformaciju: a za taqke na krugu ρ = a je u 1 = xu1 + yu 2 (x)2 + (y) 2, u2 = xu2 yu 1 (x) 2 + (y) 2, (2.146) u 1 = 1 a (xu1 + yu 2 ), u 2 = 1 (a) 2 (xu2 yu 1 ). (2.147) Za taqku B(0, a) je u 1 = 1, u 2 = 2, pa sledi II naqin: Prema (2.132), u polarnim koordinatama je u 1 (B) = 2, u 2 (B) = 1 a. (2.148) du i = Γ i p q up dx q, gde je Γ 1 2 2 = ρ, Γ2 1 2 = 1/ρ, dok su ostali Γi p q nula, pa sledi du 1 = Γ 1 2 2 u2 dx 2 = ρu 2 dθ, du 2 = 1 ρ (u1 dθ + u 2 dρ). (2.149) Integracijom ovog sistema nalazimo nepoznate funkcije u i (ρ, θ) u proizvoǉnoj taqki na posmatranoj krivoj. Specijalno, pri paralelnom pomeraǌu po posmatranom krugu je ρ = a, dρ = 0 pa (2.149) postaje Eliminacijom dθ dobijamo du 1 = au 2 dθ, du 2 = u1 dθ a. (2.150) u 1 du 1 = au 2 du 2, odakle je (u 1 ) 2 = (au 2 ) 2 + (c 1 ) 2,

2.8. Paralelno pomeraǌe i geodezijske linije 63 odnosno u 1 = ± (c 1 ) 2 (au 2 ) 2. (2.151) Poxto znak ne daje u krajǌem rezultatu nixta bitno novo, koristimo samo +. Zamenom u(2.150) dolazimo do du 2 ( c 1a ) 2 (u 2 ) 2 = dθ, pa integraǉeǌem dobijamo arcsin au2 c 1 = c 2 θ, tj. a zamenom u (2.151): u 2 = c 1 a sin(c 2 θ), (2.152) u 1 = c 1 cos(c 2 θ). (2.153) Integracione konstante c 1 i c 2 moжemo odrediti iz poqetnih uslova u 1 (A), u 2 (A), koje nalazimo iz (2.138): u 1 (A) = 1, u 2 (A) = 2/a. Kako je θ = 0 u taqki A, zamenom u (2.142), dobijamo c 1 = 5, c 2 = arcsin 2 5, pa jednaqine (2.152), (2.153) postaju u 1 = 5 cos(arcsin 2 5 θ), u 2 = 5 a sin(arcsin 2 5 θ) (2.154) i daju komponente posmatranog vektora u lokalnom reperu u proizvoǉnoj taqki pri paralelnom pomeraǌu po datom krugu. Za taqku B(θ = π/2) iz (2.154) je u 1 (B) = 5 cos(arcsin 2 π 5 2 ) = 5 sin(arcsin 2 ) = 2, 5 u 2 (B) = 5 a sin(arcsin 2 5 π 5 2 ) = a cos(arcsin 2 5) = 1 a, tj. dobijamo vrednosti kao u (2.148). Primer 2.8.2. Ako se vektori u i, v j paralelno pomeraju duж neke krive, tj. duж te krive određuju paralelna vektorska poǉa, izvesti obrazac za apsolutni izvod tenzora w i j.

64 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori Rexeǌe: Iz datog uslova za u i, v j je Kako je w i ju j v i invarijanta, to je Du i Dt = Dv i Dt = 0. (2.155) Kako je prema (2.155) D(w i ju j v i ) Dt = d(wi ju j v i ) dt = 0. (2.156) prema (2.156) i (2.157) sledi du j dt = Γj pqu p dxq dt, dv i dt = Γp iq v dx q p dt, (2.157) Dwj i Dt ui v j + 0 + 0 = dwi j dt uj v i + wj i du j dt v i + wju i j dv i dt = (2.157) dwj i dt uj v i + wj( Γ i j pqu p dxq dt )v i + wju i j (Γ p iq v dx q p dt ). Smeǌuju i na desnoj strani u prvom sabirku p j, a u drugom p i, dobijamo ( Dw i ) j Dt dwi j dt Γi pqw p dx q j dt + dx q Γp jq wi p u j v i = 0. dt Kako su u i, v i proizvoǉni vektori sa navedenom osobinom, za Dwi j Dt vrednost (2.119). dobijamo Primer 2.8.3. Na i geodezijske linije povrxi r = (u cos v, u sin v, u). (2.158) Rexeǌe: Ovde je u 1 = u, u 2 = v, pa iz jednaqine (2.154) dobijamo (oznaqavamo bez indeksa) d 2 v du = 2 Γ1 22( dv du )3 + (2Γ 1 12 Γ 2 22)( dv du )2 (2Γ 2 12 Γ 1 11) dv du Γ2 11. (2.159) Iz (2.151) nalazimo da je Daǉe je r u = (cos v, sin v, 1), r v = ( u sin v, u cos v, 0). g 11 = r 1 r 1 = r u r u = 2, g 12 = r 1 r 2 = r u r v = 0, g 22 = r 2 r 2 = r v r v = u 2,

2.8. Paralelno pomeraǌe i geodezijske linije 65 (g ij ) = (g ij ) 1 = ( 1/2 0 0 1/u 2 ), Γ 1.22 = u, Γ 2.12 = u, Γ 1 22 = u/2, Γ 2 12 = 1/u, a ostali Kristofelovi simboli su jednaki 0. Jednaqina (2.159) daje d 2 v du = u 2 2 (dv du )3 2 u dv du. (2.160) Ova jednaqina je zadovoǉena za dv = 0, odn. za v = c = const., a zajedno sa jednaqinom povrxi određuje prvu familiju geodezijskih linija. To su prave, jer smenom v = c u (2.158) dobijamo x = u cos c, y = u sin c, z = u, tj. x cos c = y sin c = z(= u). (2.161) Napomenimo da iz (2.158) dobijamo x 2 + y 2 = u 2, tj. skalarna jednaqina povrxi (2.158) je x 2 + y 2 = z 2, (2.162) odakle vidimo da se radi o konusnoj povrxi, a (2.161) su ǌene izvodnice. Potraжimo sada drugu familiju geodezijskih linija na povrxi (2.158). Smenom dv = p u (2.160) dobijamo Bernulijevu jednaqinu du qije je rexeǌe određeno sa dp du = 2 u p u 2 p3, (2.163) p = (c 1 u 4 1 2 u2 ) 1/2. Kako je p = dv, to je du v = du c 1 u 4 12 u2 = 2 arcsin(c /u) + c 2, (2.164) gde su c = 1/ 2c 1 i c 2 proizvoǉne konstante. Jednaqine (2.158) i (2.164) definixu drugu familiju geodezijskih linija.

66 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori 2.9 Riqijev identitet i tenzor krivine u R N 2.9.1 Riqijev identitet i mexoviti tenzor krivine Ako je u i neki tenzor I reda, ǌegov kovarijantni izvod u i ;m je tenzor, pa se moжe na i ǌegov kovarijantni izvod, qime se dobija kovarijantni izvod II reda. Postavǉa se pitaǌe: da li rezultat zavisi od reda kovarijantnog diferenciraǌa, tj. xta je npr., sa razlikom u i ;mn u i ;nm? Za kovarijantni izvod imamo: u i ;m = u i,m + Γ i pmu p, (2.165) u i ;mn =(u i ;m) ;n = (u i ;m),n + Γ i snu s ;m Γ s mnu i ;s = u i,mn + Γ i pm,nu p + Γ i pmu p,n + Γ i sn(u ș m + Γ s pmu p ) Γ s mn(u i,s + Γ i psu p ), (2.165) a razmenom m n dolazimo do u i ;mn =u i,mn + Γ i pm,nu p + Γ i pmu p,n +Γ i snu ș m + Γ i snγ s pmu p Γ s mnu i,s Γ s mnγ i psu p, u i ;nm =u i,nm + Γ i pn,mu p + Γ i pnu p,m +Γ i smu ș n + Γ i smγ s pnu p Γ s nmu i,s Γ s nmγ i psu p. (2.166) (2.167) Oduzimaǌem (2.167) od (2.166) dobijamo u i ;mn u i ;nm = (Γ i pm,n Γ i pn,m + Γ s pmγ i sn Γ s pnγ i sm)u p, tj. pri qemu smo oznaqili u i ;mn u i ;nm = R i pmnu p, (2.168) R i jmn = Γ i jm,n Γ i jn,m + Γ p jm Γi pn Γ p jn Γi pm. (2.169) Na osnovu Zakona koliqnika zakǉuqujemo da je sistem (2.169) tenzor tipa (1, 3). Definicija 2.9.1. Jednakost (2.168) je Riqijev identitet za vektor u i, a tenzor Rjmn i, određen pomo u (2.169), je Riman-Kristofelov tenzor ili mexoviti tenzor krivine Rimanovog prostora R N. Analogno dolazimo do Riqijevog identiteta za kovarijantni vektor v j : gde je R p jmn određeno sa (2.169). v j;mn v j;nm = R p jmn v p, (2.170)

2.9. Riqijev identitet i tenzor krivine u R N 67 Analogni postupak određivaǌa Riqijevog identiteta se moжe koristiti i za tenzore vixeg reda. Međutim, moжe se koristiti i kompozicija, tako da se dobije skalarna invarijanta. Na taj naqin emo izvesti Riqijev identitet za, na primer, tenzor t i j. Ako su ui, v i vektori, onda je skalarna invarijanta, a prema Definiciji 2.6.3. je gde je φ,m kovarijantni vektor. Daǉe je φ = t i ju j v i (2.171) φ ;m = φ,m = φ x m, (2.172) φ ;mn = (φ,m ) ;n = (φ,m ),n Γ p mnφ,p, (2.172) φ ;mn φ ;nm = 0. (2.173) Prema (2.171), koriste i Lajbnicovo pravilo, dobijamo φ ;m = t i j;mu j v i + t i ju j ;mv i + t i ju j v i;m, φ ;mn = t i j;mnu j v i + t i j;mu j ;nv i + t i j;mu j v i;n + t i j;nu j ;mv i + t i ju j ;mnv i + t i ju j ;mv i;n + t i j;nu j v i;m + t i ju j ;nv i;m + t i ju j v i;mn, (2.174) φ ;nm = t i j;nmu j v i + t i j;nu j ;mv i + t i j;nu j v i;m + t i j;mu j ;nv i + t i ju j ;nmv i + t i ju j ;nv i;m + t i j;mu j v i;n + t i ju j ;mv i;n + t i ju j v i;nm. (2.175) Oduzimaǌem jednaqina (2.174) i (2.175) dobijamo (t i j;mn t i j;nm)u j v i + t i jv i (u j ;mn u j ;nm) + t i ju j (v i;mn v i;nm ) = 0, pa nakon xto primenimo (2.168) i (2.170), dolazimo do (t i j;mn t i j;nm)u j v i + t i jv i R j pmnu p t i ju j R p imn v p = 0. Ako u drugom sabirku smenimo j p, a u tre em i p i uzmemo u obzir da su u j, v i proizvoǉni vektori, sledi da je Riqijev identitet za tenzor t i j određen sa t i j;mn t i j;nm = R i pmnt p j Rp jmn ti p. (2.176) Ovaj postupak moжemo primeniti i u drugim sluqajevima. Na primer, moжemo na i Riqijeve identitete tenzora t ij, t ij, t ij k, koriste i skalarne invarijante φ =t ij u i v j, ψ = t ij u i v j, λ = t ij k u iv j w k, µ =t ij k uk i v j, ν = t ij k u ijv k,

68 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori znaju i Riqijeve identitete, na primer u sluqaju µ za u k i, v j. Na taj naqin imamo, na primer t ij k;mn tij k;nm = Ri pmnt pj k + Rj pmnt ip k Rp kmn tij p. Na osnovu izloжenog, zakǉuqujemo da vaжi slede a teorema. Teorema 2.9.1. Riqijev identitet za tenzor t i 1,...,i A j 1,...,j B glasi = A R i α pmn t i 1...i α 1 pi α+1...i A j 1...j B α=1 t i 1...i A j 1...j B ;mn ti 1...i A j 1...j B ;nm B R p j β mn ti 1...i A j 1...j β 1 pj β+1...j B. β=1 (2.177) Prema (2.169) vidimo da je u euklidskom prostoru E N u Dekartovim koordinatama R i jmn = 0. Na osnovu zakona transformacije sledi da u E N u svakom koordinatnom sistemu vaжi R i jmn = 0. (2.178) Teorema 2.9.2. Mexoviti tenzor krivine R i jmn ima slede e osobine: R i jmn = R i jnm (antisimetrija), (2.179) R i jmn + R i mnj + R i njm = 0 (cikliqna simetrija). (2.180) Dokaz: Osobina (2.179) je oqigledna iz (2.169). Da bismo dokazali (2.180), imamo R i jmn = Γ i jm,n Γ i jn,m + Γ p jm Γi pn Γ p jn Γi pm, R i mnj = Γ i mn,j Γ i mj,n + Γ p mnγ i pj Γ p mj Γi pn, R i njm = Γ i nj,m Γ i nm,j + Γ p nj Γi pm Γ p nmγ i pj. Sabiraǌem ovih jednaqina, uzimaju i u obzir simetriju Kristofelovih simbola po doǌim indeksima i vrxe i potrebne izmene nemih indeksa, dobijamo jednaqinu (2.180). Jednaqina (2.180) se zove I Bjankijev identitet. 2.9.2 Kovarijantni tenzor krivine Definicija 2.9.2. Tenzor tipa (0, 4) određen sa R ijmn = g ip R p jmn = g ip(γ p jm,n Γp jn,m + Γs jmγ p sn Γ s jnγ p sm) (2.181) zove se kovarijantni tenzor krivine u R N.

2.9. Riqijev identitet i tenzor krivine u R N 69 Teorema 2.9.3. Kovarijantni tenzor krivine se moжe napisati u obliku R ijmn = Γ i.jm,n Γ i.jn,m + Γ p.im Γ p jn Γ p.inγ p jm. (2.182) Dokaz: Ako iz jednaqine nađemo Γ i.jm,n = (g ip Γ p jm ),n = g ip,n Γ p jm + g ipγ p jm,n g ip Γ p jm,n = Γ i.jm,n g ip,n Γ p jm = Γ i.jm,n (Γ i.pn + Γ p.in )Γ p jm (2.59) i to smenimo u (2.181), dobijamo R ijmn = Γ i.jm,n (Γ i.pn +Γ p.in )Γ p jm Γ i.jn,m+(γ i.pm +Γ p.im )Γ p jn +Γs jmγ i.sn Γ s jnγ i.sm, odakle sledi (2.182), jer se posledǌa dva sabirka potiru sa odgovaraju im sabircima suprotnog znaka. Da bismo ispitali osobine tenzora R ijmn, napisa emo ga u jox jednom obliku. Teorema 2.9.4. Kovarijantni tenzor krivine se moжe napisati u obliku R ijmn = 1 2 (g im,jn g in,jm + g jn,im g jm,in ) + g ps (Γ p.im Γ s.jn Γ p.jm Γ s.in ), (2.183) gde je, na primer, g im,jn = 2 g im / x j x n. Dokaz: Za prva dva sabirka u (2.182) imamo Γ i.jm,n Γ i.jn,m = 1 2 (g ij,m g jm,i + g mi,j ),n 1 2 (g ij,n g jn,i + g ni,j ),m, a za posledǌa dva Γ i.jm,n Γ i.jn,m = 1 2 (g im,jn g in,jm + g jn,im g jm,in ), (2.184) Γ p.im Γ p jn Γ p.inγ p jm = Γ p.img ps Γ s.jn Γ p.in g ps Γ s.jn =g ps (Γ p.im Γ s.jn Γ p.jm Γ s.in ), (2.185) gde smo primenili Γ p.in g ps Γ s.jm = Γ s.in g sp Γ p.jm = g ps Γ p.jm Γ s.in. Kada zamenimo (2.184), (2.185) u (2.182) dobija se (2.183).

70 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori Teorema 2.9.5. Kovarijantni tenzor krivine prostora R N ima slede e osobine: R ijmn = R ijnm, (2.186) R ijmn = R jimn, (2.187) R ijmn = R mnij, (2.188) Cikl αβγ R ijmn = 0, (2.189) gde je α, β, γ neka od qetiri kombinacije indeksa i, j, m, n, xto znaqi da se cikliqnom permutacijom bilo koja tri indeksa (a fiksiraǌem qetvrtog) i sabiraǌem dobijene tri komponente tenzora R ijmn, dobija 0. Dokaz: Relacija (2.186) sledi iz (2.179) i (2.181), a relacija (2.187) iz (2.183). Relacija (2.188) se proverava preko(2.183) kada se istovremeno izvrxe smene i m, j n. Relacija (2.189) se dokazuje korix eǌem (2.180) i (2.181). Na primer, Cikl R ijmn = Cikl (g ipr p jmn ) = g ip(r p jmn + jmn (2.181) jmn Rp mnj + Rp njm ) = 0 (2.180) Cikl ijm R ijmn = (2.186) Cikl ijm R ijnm = (2.188) Cikl ijm R nmij = Cikl mij R nmij = 0. Na osnovu Teoreme 2.9.5. vidimo da komponente tenzora R ijmn nisu nezavisne. Ako za nezavisne komponente smatramo one koje su razliqite od 0 i one koje se ne mogu izraziti kao linearne kombinacije drugih, postavǉa se pitaǌe koliko ima nezavisnih komponenata u R N, tj. koliko komponenata treba zadati proizvoǉno da bi se mogle izraqunati ostale komponente. Odgovor na postavǉeno pitaǌe daje slede a teorema. Teorema 2.9.6. Broj nezavisnih komponenata, u oznaci K(N), tenzora krivine R ijmn u prostoru R N je K(N) = 1 12 N 2 (N 2 1). (2.190) Dokaz: Razlikova emo sluqajeve u zavisnosti od jednakosti indeksa. 1. Ako su svi indeksi međusobno jednaki, na primer R 1111, takve komponente su jednake nuli zbog osobine antisimetrije. 2. Posmatrajmo komponente kod kojih su samo dva indeksa razliqita. Neka su to, na primer, indeksi 1 i 2. U tom sluqaju je samo jedna komponenta bitna, na primer R 1212, jer se ostale izraжavaju preko ove komponente ili su jednake 0 (R 2112 = R 1212 = R 2121 = R 1221, R 1122 = R 2211 = 0). Kako umesto 1, 2

2.9. Riqijev identitet i tenzor krivine u R N 71 moжemo uzeti bilo koja dva razliqita indeksa iz skupa {1,..., N}, to je broj nezavisnih komponenata sa dva razliqita indeksa jednak broju kombinacija bez ponavǉaǌa druge klase od N elemenata, tj. K 2 = ( ) N 2. 3. Neka su u svakoj komponenti tri indeksa razliqita. Neka su to, na primer, indeksi 1, 2, 3. Tada se u R ijmn jedan indeks mora pojaviti dva puta, pri tome ponovǉeni indeks mora biti u razliqitim parovima indeksa, da bi odgovaraju a komponenta bila razliqita od 0. Na taj naqin sa ponovǉenim indeksom 1 imamo jednu bitnu komponentu, R 1213, jer je na primer R 1312 = (2.188) R 2113 itd. Na isti naqin dobijamo jednu bitnu komponentu sa R 1213 = (2.186) ponovǉenim indeksom 2 i jednu sa ponovǉenim indeksom 3. Dakle, sa indeksima 1, 2, 3 moжemo dobiti tri bitne komponente. To vaжi za svaka tri razliqita indeksa. Kako tri razliqita indeksa moжemo izabrati na ( ) N 3 naqina, to je broj ovakvih komponenata K 3 = 3 ( ) N 3. 4. Posmatrajmo jox komponente kod kojih su svi indeksi razliqiti, na primer 1, 2, 3, 4. Sve komponente sa ovim indeksima mogu se izraziti pomo u R 1234, R 1342, R 1423, ali ni ove komponente nisu nezavisne, jer je R 1234 + R 1342 + R 1423 = 0 na osnovu (2.189). Dakle, sa indeksima 1, 2, 3, 4 su dve komponente nezavisne. Zato je K 4 = 2 ( ) N 4. Dakle ukupan broj nezavisnih komponenata je ( ) ( ) ( ) N N N K(N) =K 1 + K 2 + K 3 + K 4 = 0 + + 3 + 2 2 3 4 N(N 1) = + 3 2 = N 2 (N 2 1) 12 N(n 1)(n 2) 3 2 + 2 N(N 1)(N 2)(N 3) 4 3 2 Na primer, za povrx u E 3 je N = 2, pa je K(2) = 1 12 22 (2 2 1) = 1, tj. jedna komponenta je nezavisna.. 2.9.3 Riqijev tenzor Ako pođemo od mexovitog tenzora krivine R i jmn = Γ i jm,n Γ i jn,m + Γ p jm Γi pn Γ p jn Γi pm (2.191) moжemo izvrxiti kontrakciju indeksa i na dva naqina: 1. sa indeksom j, 2. sa nekim od indeksa m, n. Prvi naqin daje tenzor koji je identiqki jednak nuli, tj. vaжi R p pmn = 0, (2.192)

72 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori jer iz relacije (2.191) imamo Rpmn p = Γ p pm,n Γ p pn.m + Γ s pmγ p sn Γ s pnγ p sm = ( ln g (2.62) x ) m,n ( ln g x ) n,m = (ln g),mn (ln g),nm = 0. Drugi naqin kontrakcije daje kovarijantni tenzor II reda koji se zove Riqijev tenzor, u oznaci R ij, i koji igra osnovnu ulogu u teoriji relativnosti. Dakle, vaжi a na osnovu (2.62) imamo tj. odakle zakǉuqujemo da je R p jmp = R jm = Γ p jm,p Γp jp,m + Γs jmγ p sp Γ s jpγ p sm, (2.193) R jm = Γ p jm,p (ln g),jm + Γ s jm(ln g),s Γ s jpγ p sm, R ij = R p ijp = Γp ij,p (ln g),ij + Γ p ij (ln g),p Γ s ipγ p sj, (2.194) Dakle, Riqijev tenzor je simetriqan. R ij = R ji. (2.195) 2.10 Specijalni koordinatni sistemi u R N i ǌihova primena 2.10.1 Geodezijske koordinate u R N U prostoru E N, u odnosu na afini koordinatni sistem, su g ij konstante, tj., g ij,k = g ij / x k = 0, odakle sledi da je Γ i jk = 0 u svakoj taqki takvog sistema. U Rimanovom prostoru (R N ) takav koordinatni sistem u opxtem sluqaju ne postoji. Definicija 2.10.1. Ako su u nekoj taqki P prostora R N svi Kristofelovi simboli jednaki nuli u nekom koordinatnom sistemu x i, tj. ako je Γ i j k (P ) = 0, (2.196) takav sistem se zove geodezijski koordinatni sistem sa polom u taqki P. Teorema 2.10.1. Uslov (2.196) je ekvivalentan sa uslovom g i j,k (P ) = 0. (2.197)

2.10. Specijalni koordinatni sistemi u R N i ǌihova primena 73 Dokaz: Kako je Γ i.j k = 1(g 2 i j,k g j k,i + g k i,j ), to iz uslova (2.197) sledi odakle je Γ i.j k (P ) = 0, Γ i j k (P ) = p gi (P )Γ p.j k (P ) = 0, pa vaжi (2.196). Obrnuto, poxto je g i j,k = Γ i.j k + Γ j.i k, to polaze i od (2.196) dobijamo odakle je Γ i.j k (P ) = g i p (P )Γp j k (P ) = 0, g i j,k (P ) = 0, pa vaжi (2.197) Napomenimo da se qesto koordinate x i x i (P ) = 0. uzimaju tako da je zadovoǉeno 2.10.2 Rimanove koordinate u R N Rimanove koordinate, koje emo sada definisati, su specijalan sluqaj geodezijskih koordinata. Definicija 2.10.2. Neka je G proiyvoǉna geodezijska linija kroz taqku P prostora R N, s duжina luka te geodezijske linije, merena od taqke P, x i proizvoǉne koordinate i y i = t i s, t i = dxi (P ). (2.198) ds Tada su y i Rimanove koordinate u okolini taqke P R N. Kako u okolini svake taqke u svakom pravcu postoji određena geodezijska linija, to se u okolini taqke P taqka M moжe odrediti pomo u y i, jer kroz P i M postoji određena geodezijska linija, qime je određen s i t i = dxi (P ). ds Pri tome, ako se s meri od P, na osnovu (2.198), bi e y i (P ) = y i (s = 0) = 0. Kako su u (2.198) t i konstante, to u Rimanovim koordinatama jednaqine geodezijskih linija imaju isti oblik kao jednaqine pravih kroz koordinatni poqetak u Dekartovim pravouglim koordinatama. Teorema 2.10.2. Rimanove koordinate su geodezijske.

74 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori Dokaz: Diferencijalna jednaqina geodezijskih linija kroz taqku P u koordinatama y i je d 2 y i ds + dy i dy k 2 (Γi jk) y = 0. (2.199) ds ds No, iz (2.198) sledi da je dyi = t i = dxi (P ) = const, ds ds odakle je d2 y i = 0, pa ds 2 (2.199) daje (Γ i jk (P )) y = 0, xto predstavǉa jednaqinu (2.196) u koordinatama y i. 2.10.3 Drugi Bjankijev identitet, invarijanta krivine i Ajnxtajnov tenzor U geodezijskim koordinatama x i sa polom P je Γ i jk = 0, pa se tada kovarijantni izvod svodi na obiqan parcijalni izvod. Polaze i od jednaqine Rjmn i = Γ i jm,n Γ i jn,m + Γ p jn Γi pn Γ p jn Γi pm, (2.200) dobijamo da je u geodezijskim koordinatama u taqki P Rjmn i = Γ i jm,n Γ i jn,m, (2.201) odakle je Rjmn;u i = Rjmn,u i = Γ i jm,nu Γ i jn,mu. Vrxe i cikliqnu permutaciju indeksa m, n, u dobijamo R i jmn;u + R i jnu;m + R i jum;n = Γ i jm,nu Γ i jn,mu + Γ i jn,um Γ i ju,nm + Γ i ju,mn Γ i jm,un 0. Kako se geodezijske koordinate mogu uvesti u svakoj taqki, to prethodna jednaqina vaжi u svakoj taqki Rimanovog prostora R N. Ona vaжi u svim koordinatnim sistemima, jer za tenzor u geodezijskim koordinatama vaжi B i jmnu = R i jmn;u + R i jnu;m + R i jum;n B i jmnu = 0. U nekim drugim koordinatama x i je Dakle, vaжi slede a teorema. B i j m n u = xi i x j j x m m xn n xu u Bi jmnu = 0.

2.10. Specijalni koordinatni sistemi u R N i ǌihova primena 75 Teorema 2.10.3. Za tenzor krivine R i jmn u svakoj taqki prostora R N i u svakom koordinatnom sistemu vaжi II Bjankijev identitet odn. R i jmn;u + R i jnu;m + R i jum;n = 0, (2.202) Cikl mnu Ri jmn;u = 0. (2.203) Kako je g ip;u = 0, kompozicijom sa g ip iz (2.202) sledi R ijmn;u + R ijnu;m + R ijum;n = 0, odnosno Cikl mnu R ijmn;u = 0, (2.204) xto je II Bjankijev identitet za kovarijantni tenzor krivine. Iz identiteta (2.204) dobijamo R hijk;m + R hikm;j + R himj;k = 0, odakle kompozicijom sa g hk g ij i koriste i osobine antisimetrije dolazimo do g hk g ij R hijk;m g hk g ij R himk;j g hk g ij R ihmj;k = 0, g ij R k ijk;m g ij R k imk;j g hk R j hmj;k = 0, odakle, uvode i Riqijev tenzor prema (2.193) imamo Ako oznaqimo g ij R ij;m g ij R im;j g hk R hm;k = 0. R = g ij R ij, R i j = g ip R pj, (2.205) gde je R invarijanta krivine a R i j mexoviti Riqijev tenzor prostora R N, prethodna jednaqina postaje R ;m R j m;j Rk m;k = 0 R ;m 2R j m;j = 0 ili odnosno Mexoviti tenzor R j m;j 1 2 R ;m = 0 R j m;j 1 2 δj mr ;j = 0, (R j m 1 2 δj mr) ;j = 0. (2.206) E i j = R i j 1 2 δi jr (2.207) zove se Ajnxtajnov tenzor i on igra veliku ulogu u teoriji relativnosti. Jednaqina (2.206) se moжe napisati u obliku E j m;j = 0, tj. E i j;i = 0. (2.208) Odavde zakǉuqujemo da je divergencija Ajnxtajnovog tenzora jednaka nuli.

76 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori Primer 2.10.1. Pomo u geografske duжine θ i xirine φ na sferi polupreqnika a izraziti a) tenzor krivine, b) Riqijev tenzor, v) invarijantu krivine, g) Ajnxtajnov tenzor. Rexeǌe: Obeleжimo θ = x 1, φ = x 2, (2.209) pa imamo g 11 = (a) 2 cos 2 φ, g 12 = g 21 = 0, g 22 = (a) 2, g = g ij = (a) 4 cos 2 φ, (2.210) Γ 2.11 = (a) 2 cos φ sin φ, Γ 1.12 = Γ 1.21 = (a) 2 cos φ sin φ, (2.211) Γ 1 12 = Γ 1 21 = tgφ, Γ 2 11 = cos φ sin φ, (2.212) dok su ostali Kristofelovi simboli jednaki 0. a) Uzimaju i u obzir osobine tenzora Rjmn i, poxto u ovom sluqaju indeksi uzimaju vrednosti 1, 2, treba na i R112, 1 R212, 1 R112, 2 R212, 2 jer se ostale komponente izraжavaju preko ovih ili su jenake 0. Na osnovu obrasca (2.169), koriste i (2.209) i (2.212) imamo Dakle, vaжi R 1 112 =Γ 1 11,2 Γ 1 12,1 + Γ p 11Γ 1 p2 Γ p 12Γ 1 p1 =Γ 1 11,2 Γ 1 12,1 + Γ 1 11Γ 1 12 + Γ 2 11Γ 1 22 Γ 1 12Γ 1 11 Γ 2 12Γ 1 21 = 0, R 1 212 =Γ 1 21,2 Γ 1 22,1 + Γ p 21Γ 1 p2 Γ p 22Γ 1 p1 =Γ 1 21,2 Γ 1 22,1 + Γ 1 21Γ 1 12 + Γ 2 21Γ 1 22 Γ 1 22Γ 1 11 Γ 2 22Γ 1 21 =Γ 1 21,2 (Γ 1 12) 2 = φ ( tgφ) + tg2 φ = 1, R 2 112 =Γ 2 11,2 Γ 2 12,1 + Γ 1 11Γ 2 12 + Γ 2 11Γ 2 22 Γ 1 12Γ 2 11 Γ 2 12Γ 2 21 =Γ 2 11,2 Γ 1 12Γ 2 11 = φ (cos φ sin φ) + tgφ cos φ sin φ = cos 2φ + sin2 φ = cos 2 φ, R 2 212 =Γ 2 21,2 Γ 2 22,1 + Γ 1 21Γ 2 12 + Γ 2 21Γ 2 22 Γ 1 22Γ 2 11 Γ 2 22Γ 2 21 = 0. R 1 112 = R 2 212 = 0, R 1 212 = 1, R 2 112 = cos 2 φ. (2.213) b) Kako je, prema (2.194), Riqijev tenzor R ij = Γ p ij,p (ln g),ij + Γ p ij (ln g),p Γ s ipγ p sj (2.214)

2.10. Specijalni koordinatni sistemi u R N i ǌihova primena 77 i (ln g),ij = 2 x i x (ln g) = (2lna + ln cos φ) j,ij, (2.215) (2.210) to (2.214) daje Dakle, Γ s ipγ p sj = Γ1 ipγ p 1j + Γ2 ipγ p 2j = Γ1 i1γ 1 1j + Γ 1 i2γ 2 1j + Γ 2 i1γ 1 2j + Γ 2 i2γ 2 2j, R 11 = Γ 1 11,1 + Γ 2 11,2 (2lna + ln cos φ),11 + Γ 1 11(2lna + ln cos φ),1 + Γ 2 11(2lna + ln cos φ),2 Γ 1 11Γ 1 11 Γ 1 12Γ 2 11 Γ 2 11Γ 1 21 Γ 2 12Γ 2 21 = (cos φ sin φ) φ (ln cos φ) θθ + cos φ sin φ(ln cos φ),φ (2.212) + 2tgφ cos φ sin φ = cos 2φ sin 2 φ + 2 sin 2 φ = cos 2 φ. R 11 = cos 2 φ. (2.216) Na isti naqin moжemo dobiti i ostale vrednosti R ij. Vrednosti R ij se mogu na i i na osnovu (2.193), xto je u ovom sluqaju, kada znamo vrednosti (2.213), jednostavnije. R 11 = R p 11p = R 1 111 + R 2 122 = (2.213) cos 2 φ, tj. dobija se vrednost (2.216). Na isti naqin dobijamo ostale vrednosti, pa imamo R 11 = cos 2 φ, R 12 = R 21 = 0, R 22 = 1. (2.217) v) Prema (2.205) je R = g ij R ij = g 11 R 11 + g 12 R 12 + g 21 R 21 + g 22 R 22. (2.218) Kako prema (2.210) vaжi ( (a cos φ) 2 0 (g ij ) = 0 (a) 2 ( (g ij ) = (g ij ) 1 = ), 1 0 (a cos φ) 2 1 0 (a) 2 ), (2.219) to iz (2.217) i (2.218) sledi vrednost invarijante krivine sfere R = 2 (a) 2. (2.220) g) Na osnovu (2.207), za određivaǌe Ajnxtajnovog tenzora Ej i najpre nalazimo Rj i = g ip R pj = g i1 R 1j + g i2 R 2j,

78 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori a prema (2.219) i (2.217) je R 1 1 = g 11 R 11 = 1 (a) 2, R1 2 = 0, R 2 1 = 0, R 2 2 = g 22 R 22 = 1 (a) 2. (2.221) Kako je E i j = R i j + δ i jr, prema (2.221), (2.220) dobijamo E 1 1 = E 2 2 = 3 (a) 2, E1 2 = E 2 1 = 0.

Deo 3 Uvod u Ajnxtajnovu teoriju relativnosti Prve uspexne teorije relativnosti razvili su jox Galilej i ǋutn. U fizici se pod relativnox u podrazumeva prouqavaǌe toga kako razliqiti posmatraqi, u relativnom kretaǌu, vide isti događaj. Relativnost koju je Ajnxtajn razvio se preciznije zove moderna teorija relativnosti i deli se na specijalnu i opxtu. Specijalna relativnost se odnosi na opisivaǌe mereǌa koja se vrxe u razliqitim inercijalnim (neubrzanim) sistemima reference, dok se u okviru opxte teorije relativnosti prouqavaju i ubrzano relativistiqko kretaǌe i gravitacija. Ajnxtajnove teorije relativnosti su napravile radikalne rezove u predstavama o prostoru i vremenu i dale revolucionarna predviđaǌa, pa stoga nisu odmah po formulisaǌu prihva ene. Danas su ove teorije potvrđene sa velikom preciznox u u velikom broju eksperimenata. 3.1 Ajnxtajnovi postulati Razmixǉaju i o tome da se svetlost u vakumu kre e uvek brzinom c, Ajnxtajn je zakǉuqio da postoji kontradikcija između tog predviđaǌa i ǋutnove mehanike u kojoj se brzine sabiraju kao vektori. Ako bi ovo bilo primenǉivo i na elektromagnetne talase, onda bi dva posmatraqa koja se kre u razliqitim brzinama registrovali razliqite brzine kretaǌa svetlosti. Zapravo, Ajnxtajn je pokuxavao da shvati kako bi svetlosni talas izgledao nekome ko se kre e istom brzinom kao i sam talas. Sve brzine se mere u odnosu na neki sistem reference. Najjednostavniji su oni koji se ne kre u ubrzano i koji ne rotiraju i u takvim sistemima vaжi ǋutnov prvi zakon (zakon inercije). Takve sisteme nazivamo inercijalnim sistemima reference. Posmatrano iz ovakvih sistema, tela koja miruju ostaju u staǌu mirovaǌa, a ona koja se kre u konstantnom brzinom 79

80 3. Uvod u Ajnxtajnovu teoriju relativnosti pravolinijski nastaǉaju da se kre u tako sve dok na ǌih ne deluju spoǉaxǌe sile. Zakoni fizike imaju najjednostavniju formu u inercijalnim sistemima reference. Na primer, sistem reference koji je vezan za Zemǉu je samo pribliжno inercijalan. Kako se Zemǉa ne kre e uniformno i pravolinijski, to se moжe primetiti da postoji dodatna sila koja komplikuje opisivaǌe kretaǌa tela u odnosu na Zemǉu. Ono xto je najvaжnije je da zakoni fizike imaju isti oblik u svim inercijalnim sistemima reference. Ajnxtajnova Specijalna teorija relativnosti poqiva na dva postulata: 1. Princip relativnosti: Zakoni fizike imaju isti oblik u svim inercijalnim sistemima reference. 2. Princip konstantnosti brzine svetlosti: Brzina svetlosti u vakuumu iznosi c = 3 10 8 m/s i ima, nezavisno od relativne brzine izvora svetllosti i posmatraqa, istu vrednost u svim inercijalnim sistemima reference. Princip relativnosti je generalizacija Galilejevog principa relativnosti koji se odnosi samo na mehaniqke pojave. Sa ekserimentalne taqke gledixta, Ajnxtajnov princip relativnosti kaжe da svi eksperimenti, izvrxeni u laboratoriji koja je u staǌu mirovaǌa, moraju da daju iste rezultate i kada se izvrxe u laboratoriji koja se kre e konstantnom brzinom u odnosu na ǌu. Dakle, nema privilegovanih sistema, pa nije mogu e definisati apsolutno kretaǌe. Princip konstantnosti je povezan sa principom relativnosti. Naime, ako brzina svetlosti ne bi bila konstantna, ǌeno mereǌe bi moglo da se iskoristi za pravǉeǌe razlika između sistema, tj. ne bi svi sistemi bili ravnopravni, xto je u kontradikciji sa principom relativnosti. Neka je S dati referentni sistem. Svaki događaj sistema S je određen trima prostornim koortinatama x, y, z i jednom vremenskom koordinatom t. Naime, za svaki događaj moramo da znamo gde se desio i kada je bio. Razliqiti posmatraqi iz svojih sistema reference opisuju iste događaje razliqitim koordinatama. Sistem reference iz koga opisujemo događaje se sastoji od koordinatne mreжe i skupa qasovnika koji se nalaze u taqkama preseka mreжe. Kako u datom sistemu ima vixe qasovnika, oni moraju da budu sinhronizovani. Sinhronizacija se moжe izvrxiti pomo u svetlosnih signala. Neka se u koordinatnom poqetku datog sistema nalazi posmatraq sa glavnim satom i neka je u trenutku t = 0s poslao svetlosni puls. Da bi stigao do sata koji je na rastojaǌu r od koordinatnog poqetka, pulsu je potrebno vreme r/c. Ovakva sinhronizacija podrazumeva qiǌenicu da se svetlost kre e jednakom brzinom u svim pravcima i svim sistemima reference. Razliqiti posmatraqi e isti događaj okarakterisati razliqitim skupovima prostorno vremenskih koordinata. Ako vaжe Ajnxtajnovi postulati, dva događaja koja su istovremena u jednom sistemu reference ne mogu biti istovremena u drugom koji se u odnosu

3.1. Ajnxtajnovi postulati 81 Slika 3.1. Albert Ajnxtajn na prvi kre e nekom uniformnom brzinom. Ukoliko se dva posmatraqa nalaze u relativnom kretaǌu, oni se, u opxtem sluqaju, ne e sloжiti oko toga da li su dva posmatrana događaja istovremena ili ne. Mi qak ne moжemo re i da je jedan od ǌih u pravu, a da drugi grexi. Bitna osobina Specijalne teorije relativnosti je upravo u tome da su obojica u pravu i da ne postoji opravdaǌe za tvrdǌu da je bilo koji od ǌih ravnopravniji od onog drugog. Dakle, istovremenost nije apsolutni ve relativni pojam i kao takav zavisi od relativnog kretaǌa posmatraqa. U ǋutnovoj mehanici, pri odsustvu gravitacije se tela kre u po inerciji, odn. ravnomerno i pravolinijski. Kada se telo nađe u gravitacionom poǉu, pod dejstvom sile se naruxava inercijalno kretaǌe, telo dobija ubrzaǌe i kre e se neravnomerno i nepravolinijski. U skladu sa Ajnxtajnovom idejom, tela se uvek kre u po inerciji nezavisno od toga da li gravitaciona poǉa postoje ili ne. Kretaǌe po inerciji je kretaǌe po geodezijskoj liniji (po linijama najkra eg rastojaǌa između datih taqaka), a na kretaǌe se troxi minimalno sopstveno vreme (vreme mereno po satu koji se nalazi na telu koje se kre e). Ukoliko je telo van gravitacionog poǉa, prostor je homogen i izotropan, a vreme homogeno, pa e se telo kretati po pravolinijskoj trajektoriji, a brzina kretaǌa e biti konstantna veliqina.

82 3. Uvod u Ajnxtajnovu teoriju relativnosti Ukoliko se telo nalazi u gravitacionom poǉu, gde je vreme nehomogeno, a prostor nehomogen i neizotropan, geodezijska linija e biti kriva qiji oblik zavisi od strukture gravitacionog poǉa, odn. od raspodele masa koje ga izazivaju. Dakle, u ovom sluqaju je brzina kretaǌa tela promenǉiva veliqina. Polaze i od ovakvih razmatraǌa, Ajnxtajn je uspeo da formulixe Opxtu teoriju relativnosti u kojoj se kao graniqni sluqaj slabih poǉa i malih brzina kretaǌa tela, javǉa upravo ǋutnova teorija gravitacije. U osnovi Opxte teorije relativnosti se nalaze dva postulata: 1. Opxti princip relativnosti: Svi zakoni prirode imaju isti oblik za sve posmatraqe u bilo kom sistemu reference, bez obzira na to da li je on ubrzan ili ne. 2. Princip ekvivalentnosti: U bliskoj okolini bilo koje taqke, gravitaciono poǉe je ekvivalentno ubrzanom sistemu reference koji se nalazi van gravitacionog poǉa. Prema prvom postulatu su svi sistemi reference ravnopravni xto znaqi da su fiziqki zakoni kovarijantni u odnosu na proizvoǉne transformacije koordinata. Prema drugom postulatu, pojave u inercijalnom sistemu koji se nalazi u homogenom gravitacionom poǉu, i pojave u neinercijalnom sistemu koji se kre e sa konstantnim ubrzaǌem, odvijaju se na potpuno isti naqin. Slika 3.2. Prema Ajnxtajnu, gravitacija nije sila ve samo posledica zakrivǉenosti prostor-vremena. Takva definicija naqelno uvodi jednu potpunu novinu, a to je da prostor i vreme nisu nezavisni i da se ta nova qetvorodimenzionalna tvorevina sastoji od neqega. Kada u to nexto stavimo masu ona deformixe prostor-vreme daju i mu novi geometrijski izgled. Pod tim promeǌenim