Univerzitet u Nixu Prirodno-matematiqki fakultet Departman za matematiku Tenzorska analiza u teoriji relativnosti Master rad Mentor: Prof. Dr Ljubica V

Univerzitet u Nixu Prirodno-matematiqki fakultet Departman za matematiku Tenzorska analiza u teoriji relativnosti Master rad Mentor: Prof. Dr Ljubica Velimirovi Student: Vladislava Stankovi Nix, 2015.

PREDGOVOR Diferencijalna geometrija ima veliku primenu u fizici, naroqito u teoriji relativnosti. Tvorac moderne teorije relativnosti je Albert Ajnxtajn. Ajnxtajn je rođen 1978. godine u Ulmu, bio je teorijski fiziqar, jedan od najve ih umova i najznaqajnijih liqnosti u svetskoj istoriji. Predmet njegovih istraжivanja su bile kapilarne sile, Specijalna i Opxta teorija relativnosti, kosmologija, Braunovo kretanje, termodinamika svetlosti pri maloj gustini zraqenja, fotoelektriqni efekat, Voltin efekat itd. Iako je bio najpoznatiji po teoriji relativnosti, 1921. godine je dobio Nobelovu nagradu za objaxnjenje fotoelektriqnog efekta kao i za doprinos razvoju teorijske fizike. Umro je 1955. godine u Prinstonu. Ovaj master rad je nastao iz жelje da se znanja iz diferencijalne geometrije sagledaju i iz ugla matematici srodne nauke - fizike. Sam rad ima tri dela, sa velikim brojem definicija i teorema koje su bile neophodne za bolje razumevanje osnovnih pojmova diferencijalne geometrije na kojima je izgrađena teorija relativnosti. U prvom delu se nalaze osnovne definicije i teoreme tenzorske algebre. Istaknimo pojam pseudoeuklidskog prostora, qiji je specijalan sluqaj prostor Minkovskog, i algebarske operacije sa tenzorima. Drugi deo rada je posve en tenzorskoj analizi i Rimanovim prostorima. Uvodimo pojam kovarijantnog i kontravarijantnog metriqkog tenzora, definixemo Kristofelove simbole, kovarijantni izvod tenzora, geodezijske linije, kao i Riqijev i Ajnxtajnov tenzor. Tre i deo je centralni deo ovog rada i obuhvata osnovne pojmove teorije relativnosti. Posebnu paжnju posve ujemo izvođenju Ajnxtajnovih jednaqina polja. Zahvaljujem se svom mentoru, prof. dr Ljubici Velimirovi na podrxci i pomo i pri izradi master rada.

SADRЖAJ 1 Uvod u tenzorsku algebru 7 1.1 Sistemi veliqina i operacije sa njima................ 7 1.2 Pseudoeuklidski i euklidski prostor................. 10 1.2.1 Pseudoeuklidski prostor................... 10 1.2.2 Euklidski prostor....................... 13 1.3 Transformacija promenljivih. Invarijante i tenzori I reda..... 16 1.3.1 Skalarne invarijante..................... 16 1.3.2 Kontravarijantni tenzori I reda............... 17 1.3.3 Kovarijantni tenzori I reda................. 18 1.4 Tenzori vixeg reda.......................... 18 1.5 Algebarske operacije sa tenzorima.................. 21 2 Tenzorska analiza. Rimanovi prostori 25 2.1 Definicija Rimanovog prostora.................... 25 2.2 Kovarijantni i kontravarijantni metriqki tenzor.......... 28 2.3 Dizanje i spuxtanje indeksa...................... 30 2.3.1 Pridruжeni vektori u Rimanovom prostoru. Fiziqke koordinate vektora........................ 30 2.3.2 Pridruжeni vektori u euklidskom prostoru......... 31 2.3.3 Dizanje i spuxtanje indeksa kod sistema proizvoljnog reda.. 34 2.4 Skalarni proizvod vektora u Rimanovom prostoru.......... 35 2.5 Kristofelovi simboli u Rimanovom prostoru............ 37 2.5.1 Definicija i osnovne osobine Kristofelovih simbola.... 37 2.5.2 Transformacija Kristofelovih simbola........... 40 2.6 Kovarijantni izvod tenzora...................... 44 2.6.1 Definicija i tenzorski karakter kovarijantnog izvoda.... 44 2.6.2 Kovarijantni izvodi metriqkih tenzora............ 47 2.6.3 Osobine kovarijantnog izvoda................. 48 2.6.4 Gradijent. Diferencijalni operatori I reda......... 49 2.6.5 Divergencija vektora i tenzora................ 49 2.6.6 Rotor............................. 50 2.6.7 Diferencijalni operatori II reda. Laplasijan........ 51 5

6 SADRЖAJ 2.7 Izvod u pravcu, apsolutni izvod i apsolutni diferencijal..... 55 2.8 Paralelno pomeranje i geodezijske linije............... 57 2.8.1 Paralelno pomeranje vektora u E N.............. 57 2.8.2 Paralelno pomeranje tenzora u R N.............. 58 2.8.3 Geodezijske linije u R N.................... 59 2.8.4 Geodezijske linije na povrxi u E 3.............. 60 2.9 Riqijev identitet i tenzor krivine u R N............... 66 2.9.1 Riqijev identitet i mexoviti tenzor krivine........ 66 2.9.2 Kovarijantni tenzor krivine................. 68 2.9.3 Riqijev tenzor......................... 71 2.10 Specijalni koordinatni sistemi u R N i njihova primena...... 72 2.10.1 Geodezijske koordinate u R N................. 72 2.10.2 Rimanove koordinate u R N.................. 73 2.10.3 Drugi Bjankijev identitet, invarijanta krivine i Ajnxtajnov tenzor........................... 74 3 Uvod u Ajnxtajnovu teoriju relativnosti 79 3.1 Ajnxtajnovi postulati......................... 79 3.2 Dilatacija vremena.......................... 83 3.3 Grafici u prostor-vremenu...................... 86 3.4 Prostor-vreme i Ajnxtajnove jednaqine polja............. 87

Deo 1 Uvod u tenzorsku algebru 1.1 Sistemi veliqina i operacije sa njima U Dekartovom koordinatnom sistemu taqka i vektor su određeni svojim koordinatama, pa se, na primer u trodimenzionom euklidskom prostoru E 3 taqka izraжava sa tri koordinate x, y, z i pixe se M(x, y, z). Drugi primer su elementi determinante tre eg reda, koje obiqno obeleжavamo sa dva indeksa, a ij, gde prvi indeks oznaqava redni broj vrste, a drugi redni broj kolone. Qesto se, takođe, redni broj vrste oznaqava gornjim indeksom, a redni broj kolone donjim, pa pixemo a i j (i, j = 1, 2, 3). Matrice sa navedenim elementima emo oznaqavati, npr. (a ij ) odnosno (a i j), a determinante det(a ij ), det(a i j). Takođe je poznat primer beskonaqnih nizova a 1, a 2,..., odnosno a i (i = 1, 2,...). Ovakav, uređen skup brojeva ili funkcija zva emo sistem. Indeksi se, u zavisnosti od potrebe, mogu pisati kao donji ili kao gornji i uzimati vrednosti 1, 2,..., N, gde je N neki konaqan ili beskonaqan broj. Mi emo, ako nije drugaqije naglaxeno, smatrati da je N konaqan prirodan broj. Pri upotrebi gornjih indeksa stepenovanje emo oznaqavati zagradom, npr. (a) 3 = a a a, dok je a 3 tre i element sistema a i. Neki određeni, npr. M-ti element sistema a i oznaqavamo velikim slovom M, tj. a M. Indeks koji moжe uzimati razne vrednosti zovemo promenljivi (teku i), a neki određeni je fiksirani indeks. Na primer, u a i j indeksi i, j su teku i, a u a 1 j indeks 1 je fiksiran. Kod sistema razlikujemo red i tip sistema. Na primer: a i je sistem I reda, tipa (1, 0); a i je sistem I reda, tipa (0, 1); a ij je sistem II reda, tipa (2, 0); a ij k je sistem III reda, tipa (2, 1). Sistemi I i II reda mogu da se napixu u vidu matrice. Za veliqinu bez indeksa, npr. a, kaжemo da je sistem reda 0. Ako se pri razmeni mesta neka dva indeksa, vrednost elemenata sistema ne menja, npr. a ijk = a kji, kaжemo da je simetriqan po tom paru indeksa, 7

8 1. Uvod u tenzorsku algebru a ako se menja samo znak, npr. a ijk = a kji, kaжemo da je antisimetriqan (kososimetriqan) po tom paru. Moжe se govoriti samo o simetriji ili antisimetriji po paru indeksa istog tipa, tj. ako su oba indeksa gornji ili oba donji. Upotreba donjih i gornjih indeksa je naroqito korisna ako se primenjuje Ajnxtajnova konvencija za sabiranje, koja glasi: Ako se jedan indeks u nekom qlanu (sabirku) javlja istovremeno kao donji i kao gornji, po tom indeksu se podrazumeva sabiranje i bez znaka Σ. Takav indeks se zove nemi indeks i on se moжe zameniti i drugim slovom. Na primer, a i i = N a i i = a 1 1 +... + a N N = a s s. i=1 Ako koordinate taqke u E 3 obeleжimo sa x 1, x 2, x 3, jednaqina ravni se moжe napisati u obliku a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + d = 0 tj. a i x i + d = 0 (i = 1, 2, 3), a bilinearna forma a 11 x 1 y 1 +a 12 x 1 y 2 +a 21 x 2 y 1 +a 22 x 2 y 2 u obliku a ij x i y j (i, j = 1, 2). Promenljivi indeks, koji nije nemi, zove se slobodan indeks. Broj elemenata nekog sistema se određuje na osnovu slobodnih indeksa. Na primer, pretpostavimo da indeksi uzimaju vrednosti 1, 2, 3. Tada je u sistemu a ij jk broj elemenata 3 2, jer su 2 indeksa slobodna. To su elementi b i k = a i1 1k + a i2 2k + a i3 3k (i, k = 1, 2, 3), koji se dobijaju za (i, k) {(1, 1), (1, 2), (1, 3); (2, 1), (2, 2), (2, 3); (3, 1), (3, 2), (3, 3)}. Dva sistema istoga tipa su jednaka, ako su im odgovaraju i elementi jednaki (to su elementi koji imaju iste i sa istim rasporedom i poloжajem indekse). Na primer, za i, j = 1, 2 vaжi a i j = b i j (a 1 1 = b 1 1 a 1 2 = b 1 2 a 2 1 = b 2 1 a 2 2 = b 2 2). Zbir dva sistema istog tipa je sistem tog istog tipa, sa elementima koji su zbirovi odgovaraju ih elemenata sistema sabiraka. Na primer, c ij k = aij k + bij k. Sistem pomnoжen brojem (funkcijom) je sistem, qiji su svi elementi pomnoжeni tim brojem (funkcijom). Odavde, na osnovu definicije zbira, za razliku vaжi: a ij k bij k = aij k + ( 1)bij k = dij k. (Spoljni) proizvod dva sistema je sistem qiji su elementi dobijeni tako xto se svaki element jednog sistema pomnoжi svim elementima drugog sistema. Na primer, c ijl k = aij b l k.

1.1. Sistemi veliqina i operacije sa njima 9 Vidimo da je u ovom sluqaju proizvod sistema a ij tipa (2, 0) i sistema b l k tipa (1, 1) sistem c ijl k tipa (3, 1). Uopxte, lako se zakljuquje da je proizvod sistema tipa (a, b) i sistema tipa (c, d) sistem tipa (a + c, b + d). Kontrakcija (saжimanje) je operacija koja se sastoji u tome da se u sistemu dva indeksa, od kojih je jedan gornji, a drugi donji, obeleжe istim slovom i po njima se podrazumeva sabiranje, jer se time dobija nemi indeks. Ako se izvrxi kontrakcija po jednom paru slobodnih indeksa, tj. dobija se nemi indeks, time se red sistema smanjuje za dva, a od sistema tipa (p, q) dobija se sistem tipa (p 1, q 1). Na primer, sistem a ijk lm je tipa (3, 2), dok je aijk im tipa (2, 1), a sistem a ijk ik je tipa (1, 0), tj. tip sistema određuje broj i raspored slobodnih indeksa. Pri kontrakciji se ponovljeni indeks moжe oznaqiti bilo kojim slovom, ali ako imamo dva para ponovljenih indeksa, slovo upotrebljeno za jedan par, mora se razlikovati od slova za drugi par. Na primer, a ijk ijl = a jik jil = a pjk pjl itd. Da bismo oznaqili neki opxti qlan u kome su jednaki jedan gornji i jedan donji indeks, npr. a 1j 1, a 2j 2, a 3j 3 ne moжemo pisati aiji, jer je aiji = a 1j 1 + a 2j 2 + a 3j 3, ve se tu obiqno upotrebljava veliko slovo, tj. u naxem primeru pixemo a P j P za P = 1, 2, 3. Kompozicija (unutraxnje mnoжenje) dva sistema je operacija koja se sastoji iz mnoжenja i kontrakcije po paru indeksa, od kojih se donji nalazi u jednom qiniocu, a gornji u drugom. Na primer, a ip b j p = a i1 b j 1 +... + a in b j N = cij, tj. dobija se sistem tipa (2, 0). Kronekerovi simboli su δ i j, δ ij, δ ij, i imaju vrednost 1 kada je i = j = K, gde je K prirodan broj, a vrednost 0 za i j tj. δ i j = δ ij = δ ij = { 1, za i = j = K 0, za i j. (1.1) Naglasimo da je vrednost 1 kada je K fiksirano, jer za nefiksirano i = j imamo, kada se indeksi menjaju od 1 do N imamo δ i i = δ 1 1 +... + δ N N = 1 +... + 1 = N, (1.2) dok je δ K K = 1. Kronekerovi simboli imaju primenu u mnogim sluqajevima. Na primer, ako imamo N nezavisno promenljivih x i (i = 1,..., N), onda je jer je xp x = 1, x P = 0 P za P Q. xq x i x j = δi j, (1.3)

10 1. Uvod u tenzorsku algebru x i Ako nezavisno promenljive x i zavise od drugih promenljivih (i = 1,..., N ), tj. x i = x i (x 1,..., x N ), imamo pri qemu je i nemi indeks. x i x i x i x j = xi x j = δi j, (1.4) Primetimo da se u xi x i gornji indeks i ispod razlomaqke crte posmatra kao donji indeks. Umesto x i za druge promenljive moжemo pisati, npr. x i ili y i, pa bismo umesto (1.4) imali tj. Kronekerov simbol δ i j x i x p x p x j = δi j, odnosno xi y p y p x j = δi j. se zove i supstitucioni faktor, jer je: δ i pa p = δ i 1a 1 + δ i 2a 2 + + δ i N = a i, δ i pa p = a i. (1.5) Na ovaj naqin iz a p dobijamo a i, odn. izvrxena je supstitucija indeksa. 1.2 Pseudoeuklidski i euklidski prostor 1.2.1 Pseudoeuklidski prostor Definicija 1.2.1. Afini N-dimenzioni prostor A N nad poljem K je skup elemenata dveju vrsta, taqaka i vektora, koji zadovoljavaju slede e aksiome: 1. Skup svih vektora iz A N je N -dimenzioni vektorski prostor nad poljem K. 2. Svaki uređeni par taqaka (A, B) određuje jedinstveni vektor v = AB. 3. Za proizvoljnu taqku A i proizvoljan vektor v postoji jedinstvena taqka B takva da je v = AB. 4. Ako je u = AB, v = CD, tada je u + v = AC. Na osnovu aksioma afinog prostora, dolazimo do direktnih posledica. Navedimo neke od njih. 1. Ako je AB = CD = v, onda je B C. 2. Za svaku taqku A afinog prostora je AA = 0. 3. BA = AB 4. Proizvoljno zadati vektor v indukuje potpuno određenu translaciju taqaka afinog prostora. Slede om definicijom uvodimo pojam koordinatnog sistema i koordinata u afinom prostoru A N.

1.2. Pseudoeuklidski i euklidski prostor 11 Definicija 1.2.2. Koordinatni sistem u afinom prostoru A N se sastoji iz: 1. neke taqke O A N tj. koordinatnog poqetka, 2. baze e 1,..., e N pridruжenog vektorskog prostora X N. Koordinate vektora v u tom koordinatnom sistemu su koordinate tog vektora u bazi e 1,..., e N. One ne zavise od izbora koordinatnog poqetka O. Koordinate taqke M afinog prostora su koordinate vektora OM. U oba sluqaja je req o afinim koordinatama vektora, odn. taqke u afinom koordinatnom sistemu, a baza e 1,..., e N je afina baza. Da bi afini prostor bio metriqki prostor, definixe se pojam skalarnog proizvoda u pridruжenom vektorskom prostoru. Definicija 1.2.3. Skalarni proizvod u vektorskom prostoru X N je proizvoljna realna funkcija, koja elementima x i y skupa X N pridruжuje broj x y skupa R pri qemu za proizvoljne elemente x, y, z iz X N i λ iz R vaжe aksiome skalarnog proizvoda: 1. x (y + z) = x y + y z, 2. λ(x y) = (λx) y = x (λy), 3. x y = y x, 4. Ako je x y = 0 za svako y iz X N, tada je x = 0. Definicija 1.2.4. Vektorski (linearni) prostor u kome je definisan skalarni proizvod zove se pseudoeuklidski vektorski (linearni) prostor. Definicija 1.2.5. Afini prostor A N pseudoeuklidski prostor. snabdeven skalarnim proizvodom zove se Definicija 1.2.6. U pseudoeuklidskom prostoru duжina (intenzitet, norma) vektora x, u oznaci x ili x, je a ugao φ između nenula vektora x i y je dat sa x = x x, (1.6) cos φ = x y x y. (1.7) Za vektore x i y kaжemo da su uzajamno normalni (ortogonalni), ako je x y = 0. Skalarni proizvod je skalarna funkcija dva vektorska argumenta, pa moжemo pisati g(x, y) = x y R. (1.8)

12 1. Uvod u tenzorsku algebru Iz osobina skalarnog proizvoda sledi da je funkcija g: 1. simetriqna, jer je g(x, y) = g(y, x), 2. bilinearna (linearna po oba argumenta) g(x, λy 1 + µy 2 ) = λg(x, y 1 ) + µg(x, y 2 ), g(λx 1 + µx 2, y) = λg(x 1, y) + µg(x 2, y). Pretpostavimo da vektori e 1,..., e N qine afinu bazu prostora X N i neka je Tada za vektore x = x i e i, y = y j e j imamo e i e j = g(e i, e j ) = g ij. (1.9) x y = g(x i e i, y j e j ) = x i y j g(e i, e j ) = g ij x i y j, (1.10) tj. bilinearnu formu u koordinatama. Prema (1.6) i (1.10), za x = y, kvadratna forma posmatranog prostora je x 2 = x x = g ij x i x j. (1.11) Sada emo uvesti standardni koordinatni sistem u pseudoeuklidski prostor. Definicija 1.2.7. Vektori e 1,..., e N qine ortonormiranu bazu u pseudoeuklidskom prostoru, ako je e i e j = g ij = 0, za i j, 1, za i = j {1,..., K}, K < N, 1, za i = j {K + 1,..., N}, (1.12) a koordinatni sistem sa takvom bazom je Dekartov pravougli koordinatni sistem. U sluqaju ovakve baze imamo x y = x 1 y 1 x K y K + x K+1 y K+1 + + x N y N, (1.13) x 2 = (x 1 ) 2 (x K ) 2 + (x K+1 ) 2 + + (x N ) 2. (1.14) Uzimaju i ispred korena znak +, prema (1.6) i (1.12), imamo { 1 = i, za j = 1,, K, e j = (1.15) 1 = 1, za j = K + 1,..., N. Kao xto je poznato broj qlanova sa znakom ili + u (1.14), tj. broj imaginarnih ili realnih jediniqnih vektora u (1.15) ne zavisi od izbora ortonormirane baze.

1.2. Pseudoeuklidski i euklidski prostor 13 Definicija 1.2.8. Broj K negativnih qlanova u (1.14) zove se negativni indeks, a broj pozitivnih qlanova N K je pozitivni indeks. Takav pseudoeuklidski prostor emo obeleжavati EK N, a pridruжeni vektorski prostor EK N. Posebno vaжan sluqaj je E4 1, tj. sluqaj kada se kvadratna forma (1.14) svodi na x 2 = (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 + (x 3 ) 2 + (x 4 ) 2, a prostor E1 4 se zove prostor Minkovskog (H. Minkovski, 1864 1909, nemaqki matematiqar i fiziqar jevrejskog porekla). U prostoru EK N su, na osnovu (1.14), mogu i vektori qija je norma: a) realna, b) imaginarna, v) nula, iako to nisu nula-vektori. Definicija 1.2.9. Vektor prostora EK N vektor. qija je norma 0, zove se izotropni Definicija 1.2.10. Rastojanje između dveju taqaka A(x 1,..., x N ) i B(y 1,..., y N ) u prostoru EK N dato je sa AB = [ (y 1 x 1 ) 2... (y K x K ) 2 +(y K+1 x K+1 ) 2 +...+(y N x N ) 2 ] 1/2. (1.16) 1.2.2 Euklidski prostor Dodavanjem aksiome nenegativnosti definiciji pseudoeuklidskog prostora EK N dobijamo Euklidski prostor, koji emo oznaqavati sa EN, a njemu pridruжeni vektorski prostor sa E N. Aksioma nenegativnosti: Za svaki element x vektorskog prostora vaжi x 2 0. Prema aksiomi nenegativnosti, iz (1.14) sledi da je K = 0, tj. E N = E0 N. Kako je E N specijalni sluqaj prostora EK N, to sve dokazano za EN K vaжi i u E N. Tako iz (1.12), (1.13), (1.14), (1.15), (1.16) dobijamo redom: e i e j = δ ij = { 0, za i j, 1, za i = j. (1.17) x y = x 1 y 1 + + x N y N = N x i y i. (1.18) i=1

14 1. Uvod u tenzorsku algebru x 2 = (x 1 ) 2 + + (x N ) 2 = N (x i ) 2 (1.19) e j = 1 za j = 1,..., N. (1.20) AB = (y 1 x 1 ) 2 + + (y N x N ) 2. (1.21) Iz aksiome nenegativnosti sledi i da u pridruжenom vektorskom prostoru E N nema izotropnih vektora. Teorema 1.2.1. (Koxi-Xvarc-Bunjakovski) Za sve x, y iz E N vaжi nejednakost (x y) 2 (x) 2 (y) 2, (1.22) ili u koordinatama (x 1 y 1 + + x N y N ) 2 [(x 1 ) 2 + + (x N ) 2 ] [(y 1 ) 2 + + (y N ) 2 ]. (1.23) Posledica 1.2.1 Za sve elemente x, y pridruжenog vektorskog prostora E N vaжi x y x y. (1.24) Teorema 1.2.2. Za proizvoljne x, y iz prostora E N vaжi i=1 x + y x + y. (1.25) Posledica 1.2.2 Taqke A, B, C prostora E N zadovoljavaju nejednakost trougla: AC AB + BC. (1.26) Definicija 1.2.11. Neka je S = {A, B, C,...} neprazan podskup prostora X N i d : S 2 R + {0} funkcija, takva da vaжi: 1. d(a, B) > 0 za A B i d(a, B) = 0 za A = B, 2. d(a, B) = d(b, A), 3. d(a, C) d(a, B) + d(b, C), tada je par (S, d) metriqki prostor, a funkcija d je metrika. Ako u euklidskom prostoru E N definixemo rastojanje između taqaka A i B na slede i naqin: d(a, B) = AB, (1.27) onda je, na osnovu prethodno izloжenog, E N metriqki prostor.

1.2. Pseudoeuklidski i euklidski prostor 15 Definicija 1.2.12. Skup taqaka prostora E N, određen jednaqinom ili u skalarnom obliku, y = y(t), t (a, b) R (1.28) y i = y i (t), t (a, b) R, i = 1,..., N, (1.29) pod uslovom dy/dt 0, je kriva prostora E N. Tada je dy = dy i e i, pa za diferencijal luka ds imamo odakle zbog (1.17) vaжi (ds) 2 = (dy) 2 = (dy i e i )(dy j e j ) = (e i e j )dy i dy j, (ds) 2 = δ ij dy i dy j = (dy 1 ) 2 + + (dy N ) 2. (1.30) Definicija 1.2.13. Izraz na desnoj strani u (1.30) se zove I osnovna (diferencijalna) kvadratna forma prostora E N u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu, a veliqine δ ij = e i e j su koeficijenti ove kvadratne forme u navedenom sistemu. Ako difeomorfizmom y i = y i (x 1,..., x N ), i = 1,..., N (1.31) pređemo na nove nedekartove koordinate, gde su x i Dekartove koordinate prostora E N, imamo dy i = yi x p dxp, xto zamenom u (1.30) daje tj. pri qemu je (ds) 2 = δ ij y i yj dxp xp x q dxq, (ds) 2 = g pq dx p dx q, (1.32) y i y j g pq = δ ij x p x = N y k y k q x p x = g qp. (1.33) q Jednaqina (1.32) izraжava I kvadratnu formu Euklidskog prostora E N u krivolinijskim koordinatama x i, a g pq su koeficijenti ove forme, izraжeni preko veze (1.31) između Dekartovih i nedekartovih koordinata. Definicija 1.2.14. Determinanta J = (y1,..., y N ) (x 1,..., x N ) = k=1 y 1 x y1 1 x N y N x yn 1 x N se zove Jakobijan transformacije koordinata (1.31).

16 1. Uvod u tenzorsku algebru 1.3 Transformacija promenljivih. Invarijante i tenzori I reda 1.3.1 Skalarne invarijante Kako postoje veliqine koje se pri transformaciji koordinata ne menjaju, dok se druge menjaju, to kao osnovu za razlikovanje prirode sistema uzimamo njihovo ponaxanje pri transformaciji koordinata. Posmatrajmo, najpre, sistem reda 0, tj. skalare. Ako je, na primer, temperatura t u nekom delu prostora E 3 funkcija taqke, bi e u Dekartovim koordinatama y i data sa t = t(y 1, y 2, y 3 ). (1.34) Ako pređemo na druge koordinate, pri qemu su veze između Dekartovih y i i novih x i potpuno određene transformacijom y i = y i (x 1, x 2, x 3 ) = y i (x j ), i, j = 1, 2, 3, (1.35) vrednost temperature se ne menja, pa je t(y 1, y 2, y 3 ) = t[y 1 (x j ), y 2 (x j ), y 3 (x j )] = t(x 1, x 2, x 3 ), (1.36) gde oblik funkcija t i t moжe biti razliqit. Sada emo navesti definiciju veliqina sa ovom osobinom. Definicija 1.3.1. Ako se vrednost funkcije φ(x 1,..., x N ) ne menja pri transformaciji koordinata i pri inverznoj transformaciji x i = x i (x 1,..., x N ), i = 1,..., N, (1.37) x i = x i (x 1,..., x N ), i = 1,..., N, (1.38) tj. ako je φ(x 1,..., x N ) = φ(x 1,..., x N ), (1.39) za funkciju φ kaжemo da je skalarna invarijanta ili tenzor reda 0.

1.3. Transformacija promenljivih. Invarijante i tenzori I reda 17 1.3.2 Kontravarijantni tenzori I reda Linearna transformacija promenljivih x i u promenljive x i je oblika x i = a i i x i + b i = a i 1 x 1 + + a i Nx N + b i, (1.40) gde su a i i, bi konstante, i = 1,..., N. Specijalan sluqaj linearne transformacije je homogena linearna transformacija, dobijena za b i = 0, Ova jednaqina se moжe napisati u obliku x i = a i i x i, a i i = const. (1.41) x i = xi x i xi, x i x i = a i i. (1.42) Opxta transformacija koordinata (1.37) se ne moжe napisati u obliku (1.42), ali uvek je, bez obzira da li se radi o (1.41) ili (1.37), dx i = xi x i dxi, (1.43) s tim xto su za (1.41) xi x i konstante, a za (1.37) su funkcije od x i. Definicija 1.3.2. Sistem I reda u i (x 1,..., x N ), qije se komponente u i pri prelasku na druge koordinate x i pri opxtoj transformaciji (1.37) transformixu po zakonu (1.43), tj. u i = xi x i ui (1.44) zove se kontravarijantni tenzor I reda ili kontravarijantni vektor. Dakle, primer kontravarijantnog vektora u odnosu na opxtu transformaciju koordinata (1.37) je sistem diferencijala tih koordinata, a sistem afinih koordinata je kontravarijantni vektor samo u odnosu na homogene linearne transformacije. Primer kontravarijantnog vektora je, takođe, vektor brzine pri kretanju materijalne taqke u prostoru E 3. U tom sluqaju, ako je jednaqina kretanja r = r(t) = (x i (t)), vektor brzine e biti v = dr dt = ( dx 1 dt, dx2 dt, dx3 dt ) = (v i (t)), gde su x i (t) Dekartove koordinate. Ako sa koordinata x i pređemo na koordinate x i, smenom x i = x i (x i ), bi e x i (t) = x i (x i (t)), pa v i (t) = dxi dt = xi dx i x i dt tj. v i (t) = xi x i v i (t).

18 1. Uvod u tenzorsku algebru 1.3.3 Kovarijantni tenzori I reda Ako je φ(x 1,..., x N ) skalarna invarijanta, tada je Ako oznaqimo φ(x 1,..., x N ) = φ(x 1 (x 1,..., x N ),..., x N (x 1,..., x N )). (1.45) φ x i = φ i, (1.46) bi e φ i = φ = φ x i = xi φ x i x i i. Dakle, pri opxtoj transformaciji x i x i promenljivih, sistem parcijalnih izvoda skalarne invarijante φ(x 1,..., x N ) (gradijent) se transformixe po zakonu φ i = xi x i φ i, (1.47) gde je φ i dato u (1.46). Motivisani ovim primerom, koji se razlikuje od transformacije za kontravarijantni vektor, dajemo opxtu definiciju: Definicija 1.3.3. Sistem I reda v i (x 1,..., x N ) qije se komponente v i pri prelasku na nove koordinate x i pri opxtoj transformaciji (1.37), transformixu po zakonu v i = xi x i v i, (1.48) zove se kovarijantni tenzor I reda ili kovarijantni vektor. Dakle, gradijent je primer kovarijantnog vektora. 1.4 Tenzori vixeg reda Neka je dat sistem w ij = u i v j, (1.49) koji se dobija kao proizvod odgovaraju ih komponenata dva kontravarijantna vektora. Tada je w i j = xi xj ui xi x j vj = xi x j x i x j wij. Koriste i ovaj primer kao model, moжemo dati definiciju kontravarijantnog tenzora II reda.

1.4. Tenzori vixeg reda 19 Definicija 1.4.1. Ako se neki sistem II reda w ij, koji u opxtem sluqaju ne mora biti proizvod dva sistema I reda, transformixe po zakonu onda je to kontravarijantni tenzor II reda. w i j = xi x i x j x j wij, (1.50) Neka je sada dat sistem w ij = u i v j, (1.51) pri qemu su u i i v j komponente kovarijantnih vektora. Tada se posmatrani sistem transformixe na slede i naqin: w i j = u i v j = xi x j u i v j = xi x j w ij. x i x j x i x j Slede om definicijom uvodimo pojam kovarijantnog tenzora II reda. Definicija 1.4.2. Sistem II reda w ij, koji se transformixe po zakonu zove se kovarijantni tenzor II reda. w i j = xi x j w ij, (1.52) x i x j Posmatrajmo sada sistem II reda w i j = u i v j. Pri promeni koordinata on se transformixe na slede i naqin: w i j = ui v j = xi x i x j x j u i v j = xi x i x j x j w i j. Analogno prethodnim razmatranjima uvodimo definiciju mexovitog tenzora II reda. Definicija 1.4.3. Sistem II reda wj i, koji se transformixe po zakonu zove se mexoviti tenzor II reda. w i j = xi x i x j x j w i j (1.53)

20 1. Uvod u tenzorsku algebru Kronekerov simbol δ i j je primer mexovitog tenzora II reda, jer je δ i j = xi x j = xi x i x i x j = xi x i x j x j δ i j. Jednaqina (1.53), koja daje komponente tenzora u koordinatama x i pomo u komponenata toga tenzora u koordinatama x i, moжe se napisati i u inverznom obliku. Zaista, ako u (1.53) izvrximo kompoziciju sa xp x j x i x q, dobijamo x p x j wj i x i x q = xp x i x i x i x j x j x j x q wi j = δ p i δj qw i j = w p q. Odavde, preoznaqavanjem odgovaraju ih indeksa, dobijamo w i j = x i i xj j wi j xto je traжeni inverzni zakon transformacije. Analogno, za vektore dobijamo, (1.54) u i = xi u i, v i = xi x i x v i i. (1.55) Nije sluqajno da li emo neke indekse pisati kao gornje ili donje, ve, osim xto nam to omogu uje primenu Ajnxtajnove konvencije o sabiranju, takođe izraжava prirodu sistema u vezi sa tim indeksom pri transformaciji koordinata. Radi konciznijeg izraжavanja, naroqito u vezi sa zakonom transformacije komponenata tenzora, ako su x i i x i koordinate, koje se transformixu jedne u druge, uvodimo oznake x i x i = x i i, x i = x i x i i, xi j = xi x = j δi j, 2 x i x j x k = xi jk, 2 x i x j x k = x i j k. x i x j = δ i j, (1.56) U tom sluqaju, zakone transformacije za kontravarijantni i kovarijantni tenzor I reda i tenzore II reda pixemo u obliku u i = x i i u i, v i = x i i v i, w i j = x i i x j j wij, w i j = xi i xj j w ij, w i j = xi i x j j w i j. Ovakav naqin je posebno koristan kada imamo ve i broj indeksa, xto emo primeniti u definiciji tenzora vixeg reda.

1.5. Algebarske operacije sa tenzorima 21 Definicija 1.4.4. Sistem T i 1...i A j 1...j B je tenzor reda A + B, A puta kontravarijantan, B puta kovarijantan, ako pri prelasku sa koordinata x i na koordinate x i vaжi zakon transformacije T i 1...i A j 1...j B = x i 1 i1...x i A ia x j 1 j 1 Za posmatrani tenzor takođe kaжemo da je tenzor tipa (A, B)....x j B j T i 1...i A B j 1...j B. (1.57) Dakle, invarijanta je tenzor reda 0 tipa (0, 0), kontravarijantni vektor je tenzor I reda i tipa (1, 0), a kovarijantni vektor je tenzor I reda tipa (0, 1). Navedimo sada neke osobine tenzora. Simetrija u odnosu na indekse tenzora istog tipa se odrжava pri opxtoj transformaciji koordinata. Na primer, iz u ij = u ji sledi u i j = x i i x j j uij = x i i x j j uji = u j i. Antisimetrija u odnosu na indekse istog tipa se takođe odrжava pri opxtoj transformaciji koordinata. Na primer, u ij = u ji ako i samo ako je u i j = u j i. Simetrija ili antisimetrija po paru indeksa razliqitog tipa se u opxtem sluqaju ne odrжava pri transformaciji koordinata. Svaki tenzor moжemo da rastavimo na simetriqan i antisimetriqan tenzor istog tipa. Na primer, za tenzor A ij k bismo imali A ij k = 1 2 (Aij k + Aji k ) + 1 2 (Aij k Aji k ). Ako su komponente nekog tenzora jednake nuli u jednom koordinatnom sistemu, one su jednake nuli u svakom koordinatnom sistemu. Takav tenzor se zove nula - tenzor. Tenzori koji su jednaki nekom koordinatnom sistemu, jednaki su u svim koordinatnim sistemima. 1.5 Algebarske operacije sa tenzorima Sve xto smo dosad rekli za operacije sa sistemima uopxte vaжi i za tenzore. Teorema 1.5.1. Zbir tenzora istog tipa je tenzor tog istog tipa.

22 1. Uvod u tenzorsku algebru Dokaz: Da ne bismo izlaganje komplikovali ispisivanjem mnogih indeksa, dokaza emo teoremu u konkretnom sluqaju, jer se i opxti sluqaj dokazuje na isti naqin. Neka su u ij k, vij k komponente tenzora. Tada su w ij k = uij k + vij k (1.58) takođe komponente tenzora, jer w i j k = u i j k + v i j k = x i i x j j xk k uij k + xi i x j j xk k vij k = xi i x j j xk k wij k. Teorema 1.5.2. Ako je α skalar (relan broj ili funkcija) i u ij k i αu ij k tenzor istog tipa. tenzor, tada je Dokaz: Ako obeleжimo w ij k = αuij k, tada, zbog invarijantnosti skalara pri transformaciji koordinata, vaжi Posledica 1.5.1 Ako je u ij k Definicija 1.5.1. Tenzor u ij k w i j k = αu i j k = x i i x j j xk k (αuij k ) = xi i x j j xk k wij k. tenzor, tada je i uij k = ( 1)uij k tenzor. je suprotan tenzor za tenzor uij k. Teorema 1.5.3. Skup tenzora istog tipa je linearnan (vektorski) prostor nad poljem realnih brojeva, pri qemu je unutraxnja operacija sabiranja tenzora, a spoljaxnja operacija mnoжenja tenzora skalarom. Teorema 1.5.4. Proizvod tenzora tipa (A, B) i tenzora tipa (C, D) je tenzor tipa (A + C, B + D). Dokaz: Dokaz izvodimo u konkretnom sluqaju, dok se opxti sluqaj pokazuje analogno. Neka je, na primer, w ij k = ui v j k, tada imamo w i j k = u i v j k = x i i u i x j j xk k vj k = xi i x j j xk k wij k. Teorema 1.5.5. Kontrakcijom tenzora po nekim indeksima dobija se tenzor po slobodnim indeksima.

1.5. Algebarske operacije sa tenzorima 23 Dokaz: Tvrđenje emo dokazati u konkretnom sluqaju, jer se dokaz u opxtem sluqaju izvodi analogno. Neka je, na primer, u ij kl tenzor. Dokaza emo da je tenzor tipa (1, 1). Kako je u ij ki to za l = i dobijamo u i j k l = x i i x j j xk k xl l uij kl, gde smo koristili x i i x l i = δl i. u i j k i = x i i x j j xk k xl i uij kl = δl ix j j xk k uij kl = xj j xk k uij ki, Kontrakcijom tenzora po jednom paru indeksa se red tenzora sniжava za 2, pa se, kada je isti broj gornjih i donjih indeksa, ako imamo kontrakciju po parovima indeksa, moжe dobiti skalarna invarijanta. Kompozicijom dva tenzora po nekim indeksima, dobija se tenzor po slobodnim indeksima, a kompozicijom po svim indeksima, u sluqaju kada je to mogu e, dobija se skalarna invarijanta. Slede a teorema odgovara na pitanje: Kako izvesti zakljuqak o tenzorskom karakteru jednog qinioca u kompoziciji, kada se zna tip i tenzorski karakter drugog qinioca i proizvoda? Teorema 1.5.6. (Zakon koliqnika) Ako je u...... neki sistem, v... proizvoljan tenzor poznatog tipa, pa se kompozicijom u...... i v... dobije tenzor w... poznatog tipa, onda je u...... tenzor, qiji su indeksi oni koji se pojavljuju samo kod jednog od tenzora v...... i w......, pri qemu je kod u... karakter odgovaraju ih indeksa isti kao kod, a suprotan nego kod v... w.......... Dokaz. Posmatra emo primer, koji je dovoljno opxt, da bi se izveo zakljuqak o taqnosti teoreme. U opxtem sluqaju se dokaz izvodi analogno. Neka su vil k(xp ), w j l (xp ) tenzori i u......vil k(xp ) = w j l (xp ). Najpre treba utvrditi indekse sistema u...... Poxto i postoji na levoj strani prethodne jednaqine kao donji indeks, a ne postoji na desnoj strani, to znaqi da na levoj strani postoji kao gornji indeks tenzora u...... Istim rasuđivanjem je k donji indeks tenzora u...... Indeks j postoji na desnoj strani, pa se pojavljuje i kod tenzora u..., dok indeks l ve postoji na obe strane, pa se ne e javiti kod u...... Dakle, u sistemu po x i vaжi jednaqina u ij k vk il = wj l, a u sistemu po xi je u i j k v i k l = wj l. Kako su, tenzori, na osnovu zakona transformacije sledi v......, w... a odavde je u i j k x k k x i i xl l vk il = x j j xl l wj l = x j j xl l uij k vk il, x l l vk il(u i j k x k k x i i xj j uij k ) = 0.

24 1. Uvod u tenzorsku algebru Kako je, po pretpostavci, v k il proizvoljan tenzor, sledi odakle kompozicijom sa x k p, xq i odaakle je u i j k x k k x i i = xj j uij k, dobijamo u i j k δ k p δq i = x j j xk p xq i uij k, u q j p = x j j xk p xq i uij k. Smenom indeksa q i, p k dobija se u i j k = x i i x j j xk k uij k, tj. tenzorski zakon transformacije. Posledica 1.5.2 Ako je rezultat kompozicije tenzora v...... i sistema u... skalarna invarijanta, onda je v...... tenzor suprotne varijantnosti u odnosu na u.......

Deo 2 Tenzorska analiza. Rimanovi prostori 2.1 Definicija Rimanovog prostora Na poqetku definiximo pojam diferencijabilne mnogostrukosti. Posmatrajmo neki proizvoljan skup M N, qije elemente zovemo taqkama i neka za svaku taqku P M N postoji podskup U P, P U P M N, koji se po zakonu φ preslikava uzajamno jednoznaqno i neprekidno na otvoren podskup Euklidskog prostora E N. Tada je φ(p ) = x = (x 1..., x N ) E N. (2.1) U ovom sluqaju x i su koordinate taqke P M N i oznaqavamo P (x 1,..., x N ) = P (x). Podskup U P je okolina taqke P, a par (U P, φ) nazivamo lokalnim koordinatnim sistemom ili lokalnom kartom. Pod određenim uslovima, za koje smatramo da su ispunjeni, M N se na ovaj naqin moжe prekriti okolinama i ako je (U P, φ ) drugi lokalni koordinatni sistem za istu taqku P, tj. P U P U P, bi e xi druge lokalne koordinate za taqku P, pri qemu pretpostavljamo da u E N postoji preslikavanje takvo da je λ : φ(u P U P ) φ (U P U P ), (2.2) λ : φ(p ) φ (P ), tj. λ : (x 1,..., x N ) (x 1,..., x N ). (2.3) Ovom preslikavanju odgovara transformacija lokalnih koordinata 25

26 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori x i = x i (x 1,..., x N ), i = 1,..., N. (2.4) Ako pretpostavimo da je preslikavanje λ uzajamno jednoznaqno i neprekidno, tada postoji inverzno preslikavanje λ 1, pa iz (2.4) sledi x i = x i (x 1,..., x N ), i = 1,..., N. (2.5) Sada moжemo dati definiciju diferencijabilne mnogostrukosti. Definicija 2.1.1. Skup M N, zajedno sa skupom {(U P, φ)} lokalnih koordinatnih sistema, pri qemu funkcije (2.4), (2.5) za transformaciju lokalnih koordinata imaju neprekidne parcijalne izvode svakoga reda i J = (x1,..., x N ) (x 1,..., x N ) 0, (2.6) zove se diferencijabilna mnogostrukost. Broj N je dimenzija diferencijabilne mnogostrukosti M N. Povrxi u E 3 su primeri diferencijabilne mnogostrukosti. Na primer, kod kruжnog paraboloida S = {(x, y, z) (x, y) E 2, z = (x) 2 + (y) 2 } kao lokalni koordinatni sistem moжemo uzeti par (U P, φ), gde je P S proizvoljna taqka, U P S, a φ normalno projektovanje na ravan xoy, tj. na E 2. Kako je φ preslikavanje na E 2, to je u ovom sluqaju S = M 2. Poxto je u ovom sluqaju okolina U P cela povrx, lokalni koordinatni sistem se odnosi na celu povrx, pa kaжemo da je globalni, ali takav sistem nije uvek mogu. Uproxteno reqeno, u definiciji diferencijabilne mnogostrukosti M N je bitno preslikavanje φ : M N E N i preslikavanje λ : E N E N, iz koga proistiqe transformacija koordinata (2.4), odnosno (2.5). I sam Euklidski prostor E N je diferencijabilna mnogostrukost, pri qemu se za preslikavanje φ moжe uzeti identiqno preslikavanje i : P P za svako P E N, a koordinatni sistem je globalni. Naravno, moжe se posmatrati transformacija koordinata i u odnosu na dva globalna koordinatna sistema. Analogno definiciji u E N definixe se kriva u M N : Definicija 2.1.2. Kriva na diferencijabilnoj mnogostrukosti M N je skup taqaka u M N, qije su koordinate funkcije jednog realnog parametra t: x i = x i (t), t (a, b) R, (2.7) pod uslovom da nisu svi dx i /dt istovremeno jednaki nuli.

2.1. Definicija Rimanovog prostora 27 Da bismo prexli na definiciju Rimanovog prostora, podsetimo se da je u Euklidskom prostoru E N I osnovna kvadratna forma, u krivolinijskim koordinatama x i, data sa (ds) 2 = g ij dx i dx j. Definicija 2.1.3. Diferencijabilna mnogostrukost R N u qijim taqkama su zadate funkcije g ij (x 1,..., x N ) = g ji (x 1,..., x N ) (2.8) tako da je duж krive u R N (ds) 2 = g ijdx i dx j, (2.9) gde je det(g ij ) g ij 0, (2.10) zove se Rimanova mnogostrukost ili Rimanov prostor. Rimanov prostor je svojstven ako je g ij dx i dx j > 0 u svim taqkama prostora. Za metriku svojstvenog Rimanovog prostora se kaжe da je pozitivno definitna. Sluqaj g ij dx i dx j < 0 se ne razmatra posebno, jer se mnoжenjem sa 1 svodi na prethodni (tada je (ds) 2 = g ij dx i dx j ). Ako moжe biti (ds) 2 = g ij dx i dx j 0, (ds) 2 = g ij dx i dx j 0, prostor se zove pseudorimanov prostor, a za njegovu metriku se kaжe da je nedefinitna. Pseudoeuklidski prostor je specijalan sluqaj pseudorimanovog prostora, xto je u vezi sa Teorijom relativnosti (na ovu problematiku emo se osvrnuti u daljem izlaganju). Ako nije naglaxeno drugaqije, pod Rimanovim prostorom emo u daljem izlaganju podrazumevati svojstven Rimanov prostor. Teorija Rimanovog prostora je Rimanova geometrija (u xirem smislu, jer se ponekad i takozvana eliptiqna geometrija u ravni zove Rimanova geometrija). Osnove Rimanove geometrije je postavio jox nemaqki matematiqar B. Riman u svom radu O pretpostavkama, koje leжe u osnovama geometrije, gde su izloжene samo ideje (skoro samo tekst, bez obrazaca). Dalje su Rimanovu geometriju razvili drugi matematiqari, posebno Riqi koji je krajem XIX veka prvi uveo dva zakona transformacije i oznake sa gornjim i donjim indeksima, zbog qega se tenzorski raqun qesto zove i Ricci-calculus. Ovu teoriju dalje razvija Ajnxtajn u vezi sa teorijom relativnosti. Naime, Ajnxtajn je 1905. godine izloжio svoju specijalnu teoriju relativnosti, u kojoj se prostor i vreme posmatraju kao jedinstven prostorno-vremenski kontinuum, tj. kao 4-dimenzioni pseudoeuklidski prostor u kome je I kvadratna forma (ds) 2 = (dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 + (dx 3 ) 2 (cdt) 2, (2.11)

28 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori gde su x i prostorne koordinate, c-brzina svetlosti, t-vreme. Pseudoeuklidski prostor sa I kvadratnom formom (2.11) zove se prostor Minkovskog. Ajnxtajn je 1916. godine objavio svoju Opxtu teoriju relativnosti, u kojoj se kao prostor u kome se odvijaju fiziqke pojave uzima opet jedinstveni prostorno-vremenski kontinuum, u kome je metrika određena sa (ds) 2 = g ij dx i dx j, g ij (x) = g ji (x), i, j = 1, 2, 3, 4, (2.12) pri qemu sada g ij nisu konstante kao u (2.11), ve zavise od rasporeda masa u prostoru. Dakle, sa matematiqke taqke gledixta, prostor Opxte teorije relativnosti je Rimanov prostor R 4. Taqka (x 1, x 2, x 3, x 4 ) u Opxtoj teoriji relativnosti se zove događaj, jer je sa prve tri koordinate određeno mesto, a qetvrtom vreme. Napomenimo jox i da je Ajnxtajn prvi 1916. godine uveo termin tenzor. Matematiqki aparat Opxte teorije relativnosti je tenzorski raqun. Osim toga, danas se u diferencijalnoj geometriji, mehanici i tehnici koristi tenzorski raqun, pa se mnoge teoreme ovih disciplina izraжavaju u tenzorskom obliku, odnosno pojedine veliqine su tenzori. 2.2 Kovarijantni i kontravarijantni metriqki tenzor Kako je u jednaqini (2.9) (ds) 2 invarijanta, a dx i, dx j kontravarijantni vektori, prema zakonu koliqnika sledi da je g ij (x) kovarijantni tenzor drugog reda, tj. tenzor tipa (0, 2), pa zadovoljava zakon transformacije g i j = xi i xj j g ij. (2.13) Tenzor g ij (x) se zove kovarijantni metriqki tenzor Rimanovog prostora. Njemu odgovara determinanta g 11 g 12... g 1N g = g ij = g 21 g 22... g 2N............. (2.14) g N1 g N2... g NN Ako sa G ji obeleжimo kofaktor elementa g ij, razvijanjem g po elementima L-te vrste dobijamo g = g L1 G 1L + g L2 G 2L + + g LN G NL = g Lp G pl, dok je za M L (kada mnoжimo elemente L-te vrste sa kofaktorima M-te vrste):

2.2. Kovarijantni i kontravarijantni metriqki tenzor 29 pa iz poslednje dve jednaqine imamo g Lp G pm = 0, Kako ovo vaжi za sve L, M {1,..., N}, to je g Lp G pm = gδ M L. (2.15) g ip G pj = gδ j i. (2.16) Ako obeleжimo jednaqina (2.16) postaje g ij = G ij /g, (2.17) g ip g pj = δ j i. (2.18) Kako su g ij, δ j i tenzori, sledi da je i g ij tenzor i zove se kontravarijantni metriqki tenzor Rimanovog prostora. Iz (2.18) sledi da su matrice (g ij ) i (g ij ) inverzne jedna drugoj. Naime, (g ij )(g ij ) = = = g 11 g 12... g 1N g 21 g 22... g 2N............ g N1 g N2... g NN g 1p g p1 g 1p g p2...... g 1p g pn g 2p g p1 g 2p g p2...... g 2p g pn........................ g Np g p1 g Np g p2...... g Np g pn 1 0... 0 0 0 1... 0 0............ 0 0... 0 1 = E, g 11 g 12... g 1N g 21 g 22... g 2N............ g N1 g N2... g NN = δ 1 1 δ 2 1... δ N 1 δ 1 2 δ 2 2... δ N 2............ δ 1 N δ2 N... δn N tj. (g ij ) = (g ij ) 1 g ij = g ji. (2.19) Primetimo da je, na osnovu (2.18), g ip g pi = δ i i = δ 1 1 + δ 2 2 + + δ N N = N. (2.20)

30 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori 2.3 Dizanje i spuxtanje indeksa 2.3.1 Pridruжeni vektori u Rimanovom prostoru. Fiziqke koordinate vektora U Rimanovom prostoru R N se svakom kontravarijantnom vektoru u i moжe pomo u metriqkog tenzora g ij pridruжiti kovarijantni vektor, koji emo obeleжiti sa u i : g ip u p = u i, (2.21) jer je na osnovu Zakona koliqnika jasno da, ako je u i kontravarijantni vektor, bi e u i kovarijantni vektor. Analogno se pomo u g ij kovarijantnom vektoru v i moжe pridruжiti kontravarijantni vektor: g ip v p = v i. (2.22) Definicija 2.3.1. Pridruжivanje vektora u i vektoru u i na osnovu (2.21) se zove spuxtanje indeksa, a pridruжivanje vektora v i vektoru v i na osnovu (2.22) je podizanje indeksa. Teorema 2.3.1. Pridruжivanje je uzajamno, tj. pridruжenom vektoru, bio bi prvobitni vektor. vektor koji bi se pridruжio Dokaz. Neka je u i dobijen iz u i prema (2.21). Tada, prema (2.22), sledi g iq u q = g iq (g qp u p ) = δ i pu p = u i. U Rimanovom prostoru R N ne postoje vektori u uobiqajenom smislu, tj. kao u Euklidskom prostoru. Na primer, kontravarijantni vektor je samo sistem I reda qije se komponente transformixu po kontravarijantnom zakonu. Međutim, ako, na primer, imamo kontravarijantni vektor u i u nekoj taqki M Rimanovog prostora R N, moжemo u 1,..., u N uzeti za koordinate vektora u = (u 1,..., u N ) u E N. Za takav Euklidski prostor E N kaжemo da je tangentni prostor prostora R N u taqki M. Na primer, ako je u taqki M na povrxi S R 2 iz E 3 definisan sistem u i (M), i = 1, 2, koji se pri promeni krivolinijskih koordinata na povrxi transformixe po tenzorskom zakonu, tj. ako je u i (M) kontravarijantni vektor, moжemo u tangentnoj ravni E 2 te povrxi posmatrati vektor u = (u 1, u 2 ) u odnosu na neki afini koordinatni sistem u toj ravni. Ako je zadat kovarijantni vektor v i, moжemo mu pridruжiti v i na osnovu (2.22), pa odrediti v = (v i ).

2.3. Dizanje i spuxtanje indeksa 31 Kako kontravarijantnom vektoru u i odgovara pridruжeni kovarijantni vektor u i, kaжemo da je to isti vektor u sa kontravarijantnim, odnosno kovarijantnim komponentama i pixemo u = (u i ) = (u i ). (2.23) Ako su λ i (k) neki jediniqni vektori, komponente vektora u u pravcima tih jediniqnih vektora su projekcije na pravce tih vektora, tj. u (k) = g ij u i λ j (k) = u jλ j (k), (2.24) kada je k = 1,..., N. Za λ j (k) koordinatnih linija. se obiqno koriste jediniqni tangentni vektori 2.3.2 Pridruжeni vektori u euklidskom prostoru U Euklidskom prostoru, pri predstavljanju vektora u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu, ne pravimo razliku između kontravarijantnih i kovarijantnih vektora, tj. vaжi slede a teorema Teorema 2.3.2. U Euklidskom prostoru E N u odnosu na Dekartov pravougli koordinatni sistem ne postoji razlika između kontravarijantnih i kovarijantnih koordinata vektora. Dokaz: U datom sistemu vaжi g ij = δ ij = δ i j = δ ij = g ij, (2.25) pa, ako komponente vektora obeleжimo velikim slovima, dobijamo jer je δ ip = δ p i. Dakle, U i = g ip U p = δ ip U p = δ p i U p = U i, U i = U i. (2.26) Međutim, u Eulkidskom prostoru E N, u odnosu na pravolinijski kosougli koordinatni sistem ili u odnosu na krivolinijski koordinatni sistem, razlikuju se dve vrste koordinata za isti vektor, xto emo ilustrovati slede im primerima. Primer 2.3.1. Neka je a = a 1 e 1 + a 2 e 2 vektor pomeranja u E 2, gde su e 1, e 2 jediniqni vektori kosouglog Dekartovog koordinatnog sistema. Ako su a i kontravarijantne koordinate, na i kovarijantne koordinate istog vektora, pod uslovom da jediniqni vektori zaklapaju ugao (e 1, e 2 ) = ω.

32 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori Rexenje: Za proizvoljan vektor r = x 1 e 1 + x 2 e 2 (2.27) vaжi dr = dx 1 e 1 + dx 2 e 2, (ds) 2 = dr dr = (dx 1 ) 2 + 2dx 1 dx 2 (e 1 e 2 ) + (dx 2 ) 2, odakle je (ds) 2 = (dx 1 ) 2 + 2 cos ωdx 1 dx 2 + (dx 2 ) 2, (2.28) xto predstavlja I kvadratnu formu za E 2 u posmatranom koordinatnom sistemu. Za matricu kovarijantnog odnosno kontravarijantnog metriqkog tenzora imamo ( ) 1 cos ω (g ij ) = (2.29) cos ω 1 odnosno (g ij ) = (g ij ) 1 = 1 ( sin 2 ω 1 cos ω cos ω 1 ). (2.30) Da bismo naxli kovarijantne koordinate vektora a = a i e i, vrximo spuxtanje indeksa: a i = g ip a p, pa odavde i na osnovu (2.29) vaжi a 1 = a 1 + a 2 cos ω, a 2 = a 1 cos ω + a 2. (2.31) Slika 2.1.

2.3. Dizanje i spuxtanje indeksa 33 Na Slici 2.1. je: OA = a, AA 1 e 2, AA e 1, AA 2 e 1, AA e 2, OA 1 = a 1, OA 2 = a 2, A 1 A = A 1 A cos ω = a 2 cos ω, A 2 A = a 1 cos ω OA = OA 1 + A 1 A = a 1 + a 2 cos ω, OA = OA 2 + A 2 A = a 2 + a 1 cos ω, pa odavde i na osnovu (2.31): OA = a 1, OA = a 2, (2.32) tj. kovarijantne koordinate se poklapaju sa normalnim projekcijama na ose koordinatnog sistema. Oqigledno, iz (2.31) i sa slike za ω = π/2, tj. u sluqaju Dekartovog pravouglog koordinatnog sistema, dobijamo a 1 = a 1, a 2 = a 2, tj. nema razlike između kovarijantnih i kontravarijantnih koordinata vektora. Prema Teoremi 2.3.1., ako smo kovarijantni vektor dobili spuxtanjem indeksa kontravarijantnog vektora, pa zatim izvrximo dizanje indeksa-vra amo se na prvobitni kontravarijantni vektor. Proverimo to na posmatranom primeru, koriste i (2.30) i (2.31): b 1 = g 1p a p = g 11 a 1 + g 12 a 2 = 1 sin 2 ω (a1 + a 2 cos ω) cos ω sin 2 ω (a1 cos ω + a 2 ) = a 1, b 2 = g 2p a p = g 21 a 1 + g 22 a 2 = a 2. Primer 2.3.2. Za vektor u = i + 2j = (1, 2) u taqki M(0, 2) E 2 odrediti kovarijantne koordinate u polarnom koordinatnom sistemu. Rexenje: Kako je vektor u = i + 2j = (1, 2) zadat u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu, to se njegove kovarijantne koordinate, na osnovu Teoreme 2.3.2., ne razlikuju, tj. u 1 = u 1 = 1, u 2 = u 2 = 2, pa kovarijantne koordinate u polarnom koordinatnom sistemu moжemo na i transformacijom koordinata u i = x i i u i, tj. u 1 = x 1 1 u 1 + x 2 1 u 2 = x ρ u 1 + y ρ u 2 = cos θ u 1 + sin θ u 2, u 2 = x 1 2 u 1 + x 2 2 u 2 = x θ u 1 + y θ u 2 = ( ρ sin θ) u 1 + ρ cos θ u 2. Kako je M(ρ = 2, θ = π/2) i u 1 = 1, u 2 = 2, to je u 1 = 2, u 2 = 2.

34 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori 2.3.3 Dizanje i spuxtanje indeksa kod sistema proizvoljnog reda Kao xto smo vrxili dizanje i spuxtanje indeksa kod tenzora, moжemo vrxiti i dizanje i spuxtanje indeksa kod sistema proizvoljnog tipa. Međutim, u ovom sluqaju je uglavnom potrebno naznaqiti koji je indeks podignut ili spuxten. Na primer, a pj g pi = a i j, a jp g pi = a i j, (2.33) pri qemu je taqka stavljena na mesto na kome je indeks bio pre premextanja. Oqigledno, ako je a pj = a jp, tada na osnovu (2.33) vaжi a i j = aj, i xto oznaqavamo sa a pj g pi = a i j. U sluqaju sistema sa vixe indeksa mogu se istovremeno neki od njih podi i, a drugi spustiti. U tom sluqaju, ako je sistem mexovit, pogodno je indekse ne pisati jedan iznad drugog, da bi ostala rezervisana mesta za spuxtanje, odnosno podizanje indeksa. U protivnom, moramo da napixemo kompoziciju pomo u koje su indeksi premextani. Na primer, polaze i od a j i k imamo a k ij = a p i q g pjg qk, (2.34) pri qemu moжemo pisati samo a ij k, pa je jasno da je taj sistem nastao od a j i k na naqin (2.34). Međutim, ako napixemo a k ij, da bi bilo jasno da je to dobijeno iz a j i k moramo da napixemo vezu (2.34). Napomenimo da moжemo istovremeno podi i ili spustiti vixe indeksa. Na primer, iz a ij dobijamo a pq g pi g qj = a ij. (2.35) I kod metriqkih tenzora moжemo podizati i spuxtati indekse, pa polaze i od g ij ili g ij i korix enjem veze (2.18) dobijamo gde smo zbog g ij = g ji pisali g i j g ip g pj = g i j = δ i j, (2.36) umesto gi j. Definicija 2.3.2. Tenzor gj i = δj i prostora. je mexoviti metriqki tenzor Rimanovog Koriste i vezu (2.36), dolazimo do slede ih rezultata: g pq g ip g jq = δ i qg jq = g ji = g ij, (2.37) g pq g ip g jq = δ q i g jq = g ji = g ij. (2.38) Ako se u nekom qlanu neki indeks jednom javlja kao donji, a drugi put kao gornji (nemi indeks), on se moжe, bez promene vrednosti qlana, na jednom mestu podi i, a na drugom spustiti. Na primer,

2.4. Skalarni proizvod vektora u Rimanovom prostoru 35 u ip v p =u i qg pq v p = u i qv q = u i pv p, a ijk k =a ij k p gpk = a pij p = a kij k. Ako se u nekoj jednaqini određeni slobodan indeks nalazi na obema stranama te jednaqine, onda se podizanjem ili spuxtanjem tog indeksa svuda gde se on pojavljuje dobija ekvivalentna jednaqina. Na primer, ako u jednaqini a ijk = b ij c k izvrximo kompoziciju sa g km, dobijamo a ijk g km = b ij c k g km a m ij = b ij c m, pa zamenom m sa k dobijamo a k ij = b ij c k. 2.4 Skalarni proizvod vektora u Rimanovom prostoru Uvođenjem metriqkog tenzora u Rimanov prostor R N, dobijamo mogu nost da definixemo skalarni proizvod dva vektora, intenzitet vektora, duжinu luka krive i uopxte da rexavamo metriqke probleme. Definicija 2.4.1. Skalarni proizvod vektora u i v je skalarna invarijanta u v = u i v i. (2.39) Kako je v i = g ij v j, u i = g ij u j to sledi u v = g ij u i v j = g ij u j v i = g ij u i v j. (2.40) Ako Dekartove koordinate vektora Euklidskog prostora E N velikim slovima U i = U i, V i = V i, tada prema (2.39) dobijamo obeleжimo u v = U i V i = U 1 V 1 + + U N V N = U 1 V 1 + + U N V N. (2.41) Definicija 2.4.2. Intenzitet (norma) vektora u je u = u u = g ij u i u j = u i u i. (2.42) Ako je u = 1, tada je vektor u jediniqni vektor.

36 2. Tenzorska analiza. Rimanovi prostori Ako uoqimo infinitezimalni vektor dx = (dx i ), prema (2.40) sledi dx dx = g ij dx i dx j = (ds) 2, (2.43) xto predstavlja vezu između skalarnog proizvoda i I kvadratne forme u Rimanovom prostoru R N. Ugao između vektora (u i ) i (v i ) definisan je obrascem cos φ = u v u v = g ij u i v j gij u i u j g ij v i v j. (2.44) Odavde vidimo da je uslov normalnosti datih vektora određen sa u i v i = g ij u i v j = 0. (2.45) Neka je u Rimanovom prostoru R N data kriva x i = x i (t), i = 1,..., N; t (a, b). (2.46) Tada je (ds) 2 = g ij dx i dx j, odakle je ds dt = dx g i dx j ij dt dt, (2.47) pa za duжinu luka između taqaka x i (t 0 ) i x i (t 1 ) dobijamo t1 dx s = g i dx j ij dt dt. (2.48) Odavde za promenljivu gornju granicu vaжi t dx s = g i dx j ij dt dt Iz jednakosti (2.49) je t = t(s), pa jednaqine (2.46) daju t 0 t 0 = s(t). (2.49) x i = x i (t(s)) = x i (s), (2.50) tj. luk krive s se moжe uzeti za parametar. Iz (2.47) je g ij dx i ds dx j ds = 1, (2.51) xto znaqi da je vektor (t i ) = ( dxi ) jediniqni, a to je jediniqni vektor tangente krive ds (2.50).