Univerzitet u Nixu Prirodno-matematiqki fakultet Departman za matematiku Potprostori Rimanovih prostora Master rad Mentor: Prof. Dr Mi a Stankovi Student: Mladen Milenkovi Nix, 2015.
PREDGOVOR Nakon Gausovih rezultata vezanih za teoriju povrxi, kao i otkri a neeuklidske geometrije Lobaqevskog i Boljaia, veliki korak u razvoju geometrije predstavlja Rimanova geometrija. Postojanje Rimanove metrike definixe metriqki prostor i omogu ava da se mnogi pojmovi euklidske geometrije uopxte na mnogostrukosti. Sam master rad je okrenut izuqavanju potprostora Rimanovih prostora i sastoji se iz dva dela. Prvi deo rada je posve en Rimanovim prostorima. U njemu su izloжeni rezultati vezani za Rimanove prostore koje emo koristiti pri izuqavanju potprostora Rimanovih prostora. Ovde uvodimo pojam kovarijantnog i kontravarijantnog metriqkog tenzora, definixemo Kristofelove simbole, kovarijantni izvod tenzora, geodezijske linije, kao i Riqijeve identitete. U drugom delu ovog rada uvodimo pojam potprostora Rimanovih prostora. Korix enjem rezultata vezanih za prostore, dolazimo do odgovaraju ih rezultata za potprostore. Kristofelove simbole potprostora izraжavamo pomo u Kristofelovih simbola prostora, uvodimo kovarijantni izvod tenzora u potprostoru. Posebna paжnja je posve ena Riqijevim identitetima i derivacionim formulama u potprostoru, kao i uslovima integrabilnosti derivacionih formula. Zahvaljujem se svom mentoru prof. dr Mi i Stankovi u. Takođe se zahvaljujem svima koji su omogu ili da se master rad pojavi u ovom obliku. Posebno se zahvaljujem koleginici Vladislavi Stankovi na pomo i pri izradi master rada.
SADRЖAJ 1 Rimanovi prostori 7 1.1 Uvodni pojmovi............................ 7 1.2 Pojam Rimanovog prostora....................... 12 1.3 Kovarijantni i kontravarijantni metriqki tenzor.......... 14 1.4 Dizanje i spuxtanje indeksa...................... 15 1.5 Kristofelovi simboli u Rimanovom prostoru............ 17 1.6 Kovarijantni izvod tenzora...................... 21 1.6.1 Definicija i tenzorski karakter kovarijantnog izvoda.... 21 1.6.2 Kovarijantni izvodi metriqkih tenzora............ 24 1.7 Paralelno pomeranje.......................... 26 1.8 Geodezijske linije u R N........................ 28 1.9 Riqijev identitet i tenzor krivine u R N............... 29 1.9.1 Riqijev identitet i mexoviti tenzor krivine........ 29 1.9.2 Kovarijantni tenzor krivine................. 32 1.9.3 Riqijev tenzor......................... 34 2 Potprostori Rimanovih prostora 35 2.1 Definicija potprostora........................ 35 2.2 Izraжavanje Kristofelovih simbola pomo u Kristofelovih simbola prostora................................ 37 2.3 Kovarijantni izvod tenzora u potprostoru.............. 38 2.4 Riqijevi identiteti za tenzore u potprostoru............ 43 2.5 Derivacione formule potprostora Rimanovog prostora....... 46 2.6 Uslovi integrabilnosti derivacionih formula........... 52 2.7 Gaus-Kodacijeve jednaqine....................... 54 2.8 Izraqunavanje Gausove krivine sfere................. 57 5
6 SADRЖAJ
Deo 1 Rimanovi prostori 1.1 Uvodni pojmovi Uređen skup brojeva ili funkcija zva emo sistem. Primeri sistema su matrice, determinante, nizovi itd. U zavisnosti od potrebe, indeksi se mogu pisati kao donji ili kao gornji i uzimati vrednosti 1, 2,..., N, gde je N neki konaqan ili beskonaqan broj. Ako nije drugaqije naglaxeno, smatra emo da je N konaqan prirodan broj. Pri upotrebi gornjih indeksa stepenovanje emo oznaqavati zagradom, npr. (a) 2 = a a, dok je a 2 drugi element sistema a i. Neki određeni, npr. L-ti element sistema a i oznaqavamo velikim slovom L, tj. a L. Indeks koji moжe uzimati razne vrednosti zovemo promenljivi (teku i), a neki određeni je fiksirani indeks. Na primer, u a i j indeksi i, j su teku i, a u a 1 j indeks 1 je fiksiran. Kod sistema razlikujemo red i tip sistema. Na primer, a i je sistem I reda, tipa (1, 0); a i je sistem I reda, tipa (0, 1); a ij je sistem II reda, tipa (2, 0); a ij k je sistem III reda, tipa (2, 1). Za veliqinu bez indeksa kaжemo da je sistem reda 0. Ako se pri razmeni mesta neka dva indeksa, vrednost elemenata sistema ne menja, npr. a ij = a ji, kaжemo da je simetriqan po tom paru indeksa, a ako se menja samo znak, npr. a ij = a ji, kaжemo da je antisimetriqan (kososimetriqan) po tom paru. Napomenimo da moжemo govoriti samo o simetriji ili antisimetriji po paru indeksa istog tipa, tj. ako su oba indeksa gornji ili oba donji. Upotreba donjih i gornjih indeksa je naroqito korisna ukoliko primenjujemo Ajnxtajnovu konvenciju za sabiranje, koja glasi: Ako se jedan indeks u nekom qlanu (sabirku) javlja istovremeno kao donji i kao gornji, po tom indeksu se podrazumeva sabiranje i bez znaka Σ. Takav indeks se zove nemi indeks i on se moжe zameniti drugim slovom. 7
8 1. Rimanovi prostori Na primer, bilinearna forma a 11 x 1 y 1 + a 12 x 1 y 2 + a 21 x 2 y 1 + a 22 x 2 y 2 se moжe zapisati u obliku a ij x i y j (i, j = 1, 2). Promenljivi indeks, koji nije nemi, zove se slobodan indeks. Broj elemenata nekog sistema se određuje na osnovu slobodnih indeksa. Dva sistema istoga tipa su jednaka, ako su im odgovaraju i elementi jednaki (to su elementi koji imaju iste i sa istim rasporedom i poloжajem indekse). Zbir dva sistema istog tipa je sistem tog istog tipa, sa elementima koji su zbirovi odgovaraju ih elemenata sistema sabiraka. Sistem pomnoжen brojem (funkcijom) je sistem, qiji su svi elementi pomnoжeni tim brojem (funkcijom). (Spoljni) proizvod dva sistema je sistem qiji su elementi dobijeni tako xto se svaki element jednog sistema pomnoжi svim elementima drugog sistema. Na primer, c ijl k = aij b l k. Kontrakcija (saжimanje) je operacija koja se sastoji u tome da se u sistemu dva indeksa, od kojih je jedan gornji, a drugi donji, obeleжe istim slovom i po njima se podrazumeva sabiranje, jer se time dobija nemi indeks. Ako se izvrxi kontrakcija po jednom paru slobodnih indeksa, tj. dobija se nemi indeks, time se red sistema smanjuje za dva, a od sistema tipa (p, q) dobija se sistem tipa (p 1, q 1). Na primer, sistem a ijk lm je tipa (3, 2), dok je aijk im tipa (2, 1), a sistem a ijk ik je tipa (1, 0). Dakle, tip sistema određuje broj i raspored slobodnih indeksa. Kompozicija (unutraxnje mnoжenje) dva sistema je operacija koja se sastoji iz mnoжenja i kontrakcije po paru indeksa, od kojih se donji nalazi u jednom qiniocu, a gornji u drugom. Na primer, a ip b j p = a i1 b j 1 +... + a in b j N = cij, tj. dobija se sistem tipa (2, 0). Ako nezavisno promenljive x i zavise od drugih promenljivih x i (i = 1,..., N ), tj. x i = x i (x 1,..., x N ), imamo pri qemu je i nemi indeks. x i x i x i x j = xi x j = δi j, (1.1) Primetimo da se u xi x i gornji indeks i ispod razlomaqke crte posmatra kao donji indeks. Umesto x i za druge promenljive moжemo pisati, npr. x i ili y i, pa bismo umesto (1.1) imali x i x p x p x j = δi j,
1.1. Uvodni pojmovi 9 tj. x i y p y p x j = δi j. Kako se neke veliqine pri transformaciji koordinata ne menjaju, dok se druge menjaju, to kao osnovu za razlikovanje prirode sistema uzimamo njihovo ponaxanje pri transformaciji koordinata. Definicija 1.1.1. Ako se vrednost funkcije φ(x 1,..., x N ) ne menja pri transformaciji koordinata x i = x i (x 1,..., x N ), i = 1,..., N, (1.2) i pri inverznoj transformaciji x i = x i (x 1,..., x N ), i = 1,..., N, (1.3) tj. ako je φ(x 1,..., x N ) = φ(x 1,..., x N ), (1.4) za funkciju φ kaжemo da je skalarna invarijanta ili tenzor reda 0. Linearna transformacija promenljivih x i u promenljive x i je oblika x i = a i i x i + b i = a i 1 x 1 + + a i Nx N + b i, (1.5) gde su a i i, bi konstante, i = 1,..., N. Specijalan sluqaj linearne transformacije je homogena linearna transformacija, koja je određena sa Ova jednaqina se moжe napisati u obliku x i = a i i x i, a i i = const. (1.6) x i = xi x i xi, x i x i = a i i. (1.7) Opxta transformacija koordinata (1.2) se ne moжe napisati u obliku (1.7), ali uvek je dx i = xi x i dxi. (1.8) Definicija 1.1.2. Sistem I reda u i (x 1,..., x N ), qije se komponente u i pri prelasku na druge koordinate x i pri opxtoj transformaciji (1.2) transformixu po zakonu (1.8), tj. u i = xi x i ui (1.9) zove se kontravarijantni tenzor I reda ili kontravarijantni vektor.
10 1. Rimanovi prostori Ako je φ(x 1,..., x N ) skalarna invarijanta, tada je Ako uvedemo oznaku φ(x 1,..., x N ) = φ(x 1 (x 1,..., x N ),..., x N (x 1,..., x N )). (1.10) φ x i = φ i, (1.11) bi e φ i = φ = φ x i = xi φ x i x i i. Dakle, pri opxtoj transformaciji x i x i promenljivih, sistem parcijalnih izvoda skalarne invarijante φ(x 1,..., x N ) (gradijent) se transformixe po zakonu φ i = xi x i φ i, (1.12) gde je φ i dato u (1.11). Motivisani ovim primerom, dajemo opxtu definiciju: Definicija 1.1.3. Sistem I reda v i (x 1,..., x N ) qije se komponente v i pri prelasku na nove koordinate x i pri opxtoj transformaciji (1.2), transformixu po zakonu v i = xi x i v i, (1.13) zove se kovarijantni tenzor I reda ili kovarijantni vektor. Definicija 1.1.4. Ako se neki sistem II reda w ij, koji u opxtem sluqaju ne mora biti proizvod dva sistema I reda, transformixe po zakonu onda je to kontravarijantni tenzor II reda. w i j = xi x i x j x j wij, (1.14) Definicija 1.1.5. Sistem II reda w ij, koji se transformixe po zakonu zove se kovarijantni tenzor II reda. w i j = xi x j w ij, (1.15) x i x j Definicija 1.1.6. Sistem II reda wj i, koji se transformixe po zakonu zove se mexoviti tenzor II reda. w i j = xi x i x j x j w i j (1.16)
1.1. Uvodni pojmovi 11 Ako su x i i x i koordinate, koje se transformixu jedne u druge, uvodimo oznake x i x i = x i x i i, = x i x i i, xi j = xi x = x i j δi j, = δ i x j j, (1.17) 2 x i x j x = 2 x i k xi jk, = x i x j x k j k. U tom sluqaju, zakone transformacije za kontravarijantni i kovarijantni tenzor I reda i tenzore II reda pixemo u obliku u i = x i i u i, v i = x i i v i, w i j = x i i x j j wij, w i j = xi i xj j w ij, w i j = xi i x j j w i j. Ovakav naqin je posebno koristan kada imamo ve i broj indeksa, xto emo primeniti u definiciji tenzora vixeg reda. Definicija 1.1.7. Sistem T i 1...i A j 1...j B je tenzor reda A + B, A puta kontravarijantan, B puta kovarijantan, ako pri prelasku sa koordinata x i na koordinate x i vaжi zakon transformacije T i 1...i A j 1...j B = x i 1 i1...x i A ia x j 1 j 1 Za posmatrani tenzor takođe kaжemo da je tenzor tipa (A, B)....x j B j T i 1...i A B j 1...j B. (1.18) Dakle, invarijanta je tenzor reda 0 tipa (0, 0), kontravarijantni vektor je tenzor I reda i tipa (1, 0), a kovarijantni vektor je tenzor I reda tipa (0, 1). Navex emo sada neke osobine tenzora. Simetrija i antisimetrija u odnosu na indekse tenzora istog tipa se odrжavaju pri opxtoj transformaciji koordinata. Simetrija ili antisimetrija po paru indeksa razliqitog tipa se u opxtem sluqaju ne odrжava pri transformaciji koordinata. Svaki tenzor moжemo da rastavimo na simetriqan i antisimetriqan tenzor istog tipa. Na primer, za tenzor A ij k je A ij k = 1 2 (Aij k + Aji k ) + 1 2 (Aij k Aji k ). Ako su komponente nekog tenzora jednake nuli u jednom koordinatnom sistemu, one su jednake nuli u svakom koordinatnom sistemu. Takav tenzor se zove nula - tenzor. Tenzori koji su jednaki nekom koordinatnom sistemu, jednaki su u svim koordinatnim sistemima. Navedimo sada bitne teoreme koje se odnose na algebarske operacije sa tenzorima.
12 1. Rimanovi prostori Teorema 1.1.1. Zbir tenzora istog tipa je tenzor tog istog tipa. Teorema 1.1.2. Ako je α skalar (relan broj ili funkcija) i u ij k i αu ij k tenzor istog tipa. Posledica 1.1.1 Ako je u ij k Tenzor u ij k tenzor, tada je i uij k = ( 1)uij k nazivamo suprotnim tenzorom tenzora uij k. tenzor, tada je tenzor. Teorema 1.1.3. Proizvod tenzora tipa (A, B) i tenzora tipa (C, D) je tenzor tipa (A + C, B + D). Teorema 1.1.4. Kontrakcijom tenzora po nekim indeksima dobija se tenzor po slobodnim indeksima. Teorema 1.1.5. (Zakon koliqnika) Ako je u...... neki sistem, v... proizvoljan tenzor poznatog tipa, pa se kompozicijom u...... i v... dobije tenzor w... poznatog tipa, onda je u...... tenzor, qiji su indeksi oni koji se pojavljuju samo kod jednog od tenzora v...... i w......, pri qemu je kod u... karakter odgovaraju ih indeksa isti kao kod, a suprotan nego kod v... w.......... 1.2 Pojam Rimanovog prostora Definisa emo najpre pojam diferencijabilne mnogostrukosti. Posmatrajmo neki proizvoljan skup M N, qije elemente emo zvati taqkama i neka za svaku taqku P M N postoji podskup U P, P U P M N, koji se po zakonu φ preslikava uzajamno jednoznaqno i neprekidno na otvoren podskup Euklidskog prostora E N. Tada je φ(p ) = x = (x 1..., x N ) E N. (1.19) U ovom sluqaju x i su koordinate taqke P M N i oznaqavamo P (x 1,..., x N ) = P (x). Podskup U P je okolina taqke P, a par (U P, φ) nazivamo lokalnim koordinatnim sistemom tj. lokalnom kartom. Pod određenim uslovima, za koje smatramo da su ispunjeni, M N se na ovaj naqin moжe prekriti okolinama i ako je (U P, φ ) drugi lokalni koordinatni sistem za istu taqku P, tj. P U P U P, bi e xi druge lokalne koordinate za taqku P, pri qemu pretpostavljamo da u E N postoji preslikavanje λ : φ(u P U P ) φ (U P U P ), (1.20)
1.2. Pojam Rimanovog prostora 13 takvo da je λ : φ(p ) φ (P ), tj. λ : (x 1,..., x N ) (x 1,..., x N ). (1.21) Ovom preslikavanju odgovara transformacija lokalnih koordinata x i = x i (x 1,..., x N ), i = 1,..., N. (1.22) Ako pretpostavimo da je preslikavanje λ bijektivno i neprekidno, onda postoji njemu inverzno preslikavanje λ 1, pa iz (1.22) sledi x i = x i (x 1,..., x N ), i = 1,..., N. (1.23) Skup M N, zajedno sa skupom {(U P, φ)} lokalnih koordinatnih sistema, pri qemu funkcije (1.22), (1.23) za transformaciju lokalnih koordinata imaju neprekidne parcijalne izvode svakoga reda i zadovoljeno je J = (x1,..., x N ) (x 1,..., x N ) 0, (1.24) zove se diferencijabilna mnogostrukost. Broj N je dimenzija diferencijabilne mnogostrukosti M N. Povrxi u E 3 su primeri diferencijabilne mnogostrukosti. Kod kruжnog paraboloida S = {(x, y, z) (x, y) E 2, z = (x) 2 + (y) 2 } kao lokalni koordinatni sistem moжemo uzeti par (U P, φ), gde je P S proizvoljna taqka, U P S, a φ normalno projektovanje na ravan xoy, tj. na E 2. Kako je φ preslikavanje na E 2, to je u ovom sluqaju S = M 2. Kako je u ovom sluqaju okolina U P cela povrx, lokalni koordinatni sistem se odnosi na celu povrx, pa kaжemo da je globalni. Međutim, takav sistem nije uvek mogu. Uproxteno reqeno, u definiciji diferencijabilne mnogostrukosti M N je bitno preslikavanje φ : M N E N i preslikavanje λ : E N E N, iz koga proistiqe transformacija koordinata (1.22), odnosno (1.23). I sam Euklidski prostor E N je diferencijabilna mnogostrukost, pri qemu se za preslikavanje φ moжe uzeti identiqno preslikavanje i : P P za svako P E N, a koordinatni sistem je globalni. Naravno, moжe se posmatrati transformacija koordinata i u odnosu na dva globalna koordinatna sistema. Analogno definiciji u E N definixe se kriva u M N. Naime, kriva na diferencijabilnoj mnogostrukosti M N je skup taqaka u M N, qije su koordinate funkcije jednog realnog parametra t: x i = x i (t), t (a, b) R, (1.25)
14 1. Rimanovi prostori pod uslovom da nisu svi dxi dt istovremeno jednaki nuli. Da bismo prexli na definiciju Rimanovog prostora, podsetimo se da je u Euklidskom prostoru E N I osnovna kvadratna forma, u krivolinijskim koordinatama x i, data sa (ds) 2 = g ij dx i dx j. Definicija 1.2.1. Diferencijabilna mnogostrukost R N u qijim taqkama su zadate funkcije g ij (x 1,..., x N ) = g ji (x 1,..., x N ) (1.26) tako da je duж krive u R N vaжi pri qemu je (ds) 2 = g ij dx i dx j, (1.27) det(g ij ) g ij 0, (1.28) zove se Rimanova mnogostrukost ili Rimanov prostor. Rimanov prostor je svojstven ako je g ij dx i dx j > 0 u svim taqkama prostora. Za metriku svojstvenog Rimanovog prostora se kaжe da je pozitivno definitna. Sluqaj g ij dx i dx j < 0 se ne razmatra posebno, jer se mnoжenjem sa 1 svodi na prethodni (tada je (ds) 2 = g ij dx i dx j ). Ako moжe biti ili (ds) 2 = g ij dx i dx j 0, (ds) 2 = g ij dx i dx j 0, prostor se zove pseudorimanov prostor, a za njegovu metriku se kaжe da je nedefinitna. Ukoliko nije naglaxeno drugaqije, pod Rimanovim prostorom emo podrazumevati svojstven Rimanov prostor. 1.3 Kovarijantni i kontravarijantni metriqki tenzor Kako je u jednaqini (1.27) kvadratna forma (ds) 2 invarijanta, dok su dx i i dx j kontravarijantni vektori, na osnovu zakona koliqnika sledi da je g ij (x) kovarijantni tenzor drugog reda, odnosno tenzor tipa (0, 2), pa zadovoljava zakon transformacije g i j = xi i xj j g ij. (1.29)
1.4. Dizanje i spuxtanje indeksa 15 Tenzor g ij (x) je kovarijantni metriqki tenzor Rimanovog prostora. Ovom tenzoru odgovara determinanta g = g ij. (1.30) Ako sa G ji obeleжimo kofaktor elementa g ij, razvijanjem g po elementima L-te vrste dobijamo g = g L1 G 1L + g L2 G 2L + + g LN G NL = g Lp G pl, dok za M L vaжi g Lp G pm = 0, pa iz poslednje dve jednaqine imamo Kako ovo vaжi za sve L, M {1,..., N}, to je g Lp G pm = gδ M L. (1.31) g ip G pj = gδ j i. (1.32) Ako obeleжimo jednaqina (1.32) postaje g ij = G ij /g, (1.33) g ip g pj = δ j i. (1.34) Kako su g ij, δ j i tenzori, to je i gij tenzor i zove se kontravarijantni metriqki tenzor Rimanovog prostora. 1.4 Dizanje i spuxtanje indeksa U Rimanovom prostoru se svakom kontravarijantnom vektoru u i pomo u metriqkog tenzora g ij moжe pridruжiti kovarijantni vektor u i : g ip u p = u i, (1.35) jer je na osnovu Zakona koliqnika jasno da, ukoliko je u i kontravarijantni vektor, bi e u i kovarijantni vektor. Analogno se pomo u g ij kovarijantnom vektoru v i moжe pridruжiti kontravarijantni vektor: g ip v p = v i. (1.36) Definicija 1.4.1. Pridruжivanje vektora u i vektoru u i na osnovu (1.35) se zove spuxtanje indeksa, dok je pridruжivanje vektora v i vektoru v i na osnovu (1.36) podizanje indeksa.
16 1. Rimanovi prostori Primetimo da je pridruжivanje uzajamno, tj. vektor koji bi se pridruжio pridruжenom vektoru, bio bi prvobitni vektor. Ako je zadat kovarijantni vektor v i, moжemo mu pridruжiti v i na osnovu (1.36), pa odrediti v = (v i ). Kako kontravarijantnom vektoru u i odgovara pridruжeni kovarijantni vektor u i, kaжemo da je to isti vektor u sa kontravarijantnim, odnosno kovarijantnim komponentama i pixemo u = (u i ) = (u i ). (1.37) Kao xto smo vrxili dizanje i spuxtanje indeksa kod tenzora, moжemo vrxiti i dizanje i spuxtanje indeksa kod sistema proizvoljnog tipa. Međutim, u ovom sluqaju je uglavnom potrebno naznaqiti koji je indeks podignut ili spuxten. Na primer, a pj g pi = a i j, a jp g pi = a i j, (1.38) pri qemu je taqka stavljena na mesto na kome je indeks bio pre premextanja. Oqigledno, ako je a pj = a jp, tada na osnovu (1.38) vaжi a i j = aj, i xto oznaqavamo sa a pj g pi = a i j. U sluqaju sistema sa vixe indeksa mogu se istovremeno neki od njih podi i, a drugi spustiti. U tom sluqaju, ako je sistem mexovit, pogodno je indekse ne pisati jedan iznad drugog, da bi ostala saquvana mesta za spuxtanje, odnosno podizanje indeksa. U protivnom, moramo da napixemo kompoziciju pomo u koje su indeksi premextani. Na primer, polaze i od a j i k imamo a k ij = a p i q g pjg qk, (1.39) pri qemu moжemo pisati samo a ij k, pa je jasno da je taj sistem nastao od a j i k na naqin (1.39). Međutim, ako napixemo a k ij, da bi bilo jasno da je to dobijeno iz a j i k moramo da napixemo vezu (1.39). Napomenimo da moжemo istovremeno podi i ili spustiti vixe indeksa. Na primer, iz a ij dobijamo a pq g pi g qj = a ij. (1.40) Kod metriqkih tenzora takođe moжemo podizati i spuxtati indekse, pa polaze i od g ij ili g ij i korix enjem veze (1.34) dobijamo g ip g pj = g i j = δ i j, (1.41) gde smo zbog g ij = g ji pisali g i j umesto gi j. Definicija 1.4.2. Tenzor gj i = δj i prostora. je mexoviti metriqki tenzor Rimanovog
1.5. Kristofelovi simboli u Rimanovom prostoru 17 Koriste i vezu (1.41), dolazimo do slede ih rezultata: g pq g ip g jq = δ i qg jq = g ji = g ij, (1.42) g pq g ip g jq = δ q i g jq = g ji = g ij. (1.43) Navedimo dve osobine vezane za dizanje i spuxtanje indeksa koje emo ilustrovati primerima. 1. Ako se u nekom qlanu neki indeks jednom javlja kao donji, a drugi put kao gornji (nemi indeks), on se moжe, bez promene vrednosti qlana, na jednom mestu podi i, a na drugom spustiti. Na primer, u ip v p =u i qg pq v p = u i qv q = u i pv p, a ijk k =a ij k p gpk = a pij p = a kij k. 2. Ako se u nekoj jednaqini određeni slobodan indeks nalazi na obema stranama te jednaqine, onda se podizanjem ili spuxtanjem tog indeksa svuda gde se on pojavljuje dobija ekvivalentna jednaqina. Na primer, ako u jednaqini a ijk = b ij c k izvrximo kompoziciju sa g km, dobijamo odakle je a ijk g km = b ij c k g km, a m ij = b ij c m, pa zamenom m sa k dobijamo a k ij = b ij c k. 1.5 Kristofelovi simboli u Rimanovom prostoru U opxtem sluqaju, metriqki tenzor g ij je funkcija taqke u prostoru R N, tj. funkcija koordinata x i. Oznaqimo Definicija 1.5.1. Izrazi g ij,k = g ij x k. (1.44) Γ i.jk = 1 2 (g ij,k g jk,i + g ki,j ) (1.45) se zovu Kristofelovi simboli I vrste, a izrazi Γ i jk = g ip Γ p.jk = 1 2 gip (g pj,k g jk,p + g kp,j ) (1.46) Kristofelovi simboli II vrste Rimanovog prostora R N.
18 1. Rimanovi prostori Kako je g ij = g ji, to iz (1.45) sledi da je Γ i.jk = Γ i.kj, (1.47) a odavde i zbog (1.46) je Γ i jk = Γ i kj. (1.48) U (1.46) je Kristofelov simbol II vrste izraжen pomo u Kristofelovog simbola I vrste. Da je mogu e obrnuto, pokazuje nam slede a teorema. Teorema 1.5.1. Vaжi relacija, koja je inverzna definicionoj relaciji (1.46) : Dokaz: Koriste i vezu (1.46), dobijamo Γ i.jk = g ip Γ p jk. (1.49) g ip Γ p jk =g ipg qp Γ q.jk = δ q i Γ q.jk = Γ i.jk. U nastavku navodimo neke osobine Kristofelovih simbola. Teorema 1.5.2. Ako se saberu dva Kristofelova simbola sa razliqitim indeksima na prvom mestu, dobija se izvod metriqkog tenzora, qiji su indeksi pomenuti razliqiti indeksi, po promenljivoj, koja odgovara preostalom indeksu, tj. Γ i.jk + Γ j.ik = Γ i.jk + Γ j.ki = g ij,k (1.50) Γ i.jk + Γ k.ji = Γ i.jk + Γ k.ij = g ik,j. (1.51) Teorema 1.5.3. Za Kristofelove simbole II vrste vaжi g ip Γ j pk + gjp Γ i pk = g ij,k. (1.52) Teorema 1.5.4. Ako je g = det(g ij ), tada je g g ij = G ji (x), g x = i 2gΓp pi, odnosno (ln g) = Γ p x i pi, (1.53) gde je G ji kofaktor elemenata g ij. U nastavku emo dokazati teoreme koje se odnose na zakone transformacija Kristofelovih simbola I i II vrste.
1.5. Kristofelovi simboli u Rimanovom prostoru 19 Teorema 1.5.5. Kristofelovi simboli I vrste se transformixu po zakonu Γ i.j k = xi i xj j x k k Γ i.jk + x i i xj j k g ij (1.54) Dokaz: Diferenciraju i po x k zakon transformacije g i j = xi i xj j g ij, (1.55) dobijamo i cikliqno po i, j, k g i j,k = xi i k xj j g ij + x i i xj j k g ij + x i i xj j g ij,k x k k g j k,i = xj j i x k k g jk + x j j x k k i g jk + x j j x k k g jk,ix i i g k i,j = xk k j xi i g ki + x k k xi i j g ki + x k k xi i g ki,jx j j. Iz prethodne tri jednaqine, odgovaraju om izmenom nemih indeksa, dobijamo 1 2 (g i j,k g j k,i + g k i,j ) = xi i xj j k g ij + 1 2 xi i xj j x k k (g ij,k g jk,i + g ki,j ), tj. vaжi (1.54). Primetimo da se zakon transformacije (1.54) moжe pisati i u inverznom obliku Γ i.jk = x i i x j j xk k Γ i.j k + xi i xj jk g i j, (1.56) xto moжemo dobiti polaze i od g ij = x i i x j j g i j. Teorema 1.5.6. Kristofelovi simboli II vrste se transformixu po zakonu Dokaz: Polaze i od veze Γ i j k = xi i x j j x k k Γi jk + x i i x i j k. (1.57) Γ i j k = gi p Γ p.j k, koriste i zakon transformacije za g ip i Γ p.jk, dobijamo Γ i j k =xi i x p p g ip (x q p x j j x k k Γ q.jk + x q p x j j k g qj ) =x i i x p p g ip x q p x j j x k k Γ q.jk + x i i x p p g ip x q p x j j k g qj =x i i δ q pg ip x j j x k k Γ q.jk + x i i δ q pg ip x j j k g qj =x i i x j j x k k gip Γ q.jk + x i i x j j k g iq g qj =x i i x j j x k k Γi jk + x i i x j j k δ i j = x i i x j j x k k Γi jk + x i i x i j k.
20 1. Rimanovi prostori Zakon transformacije za Kristofelove simbole II vrste se moжe napisati i u inverznom obliku Γ i jk = x i i xj j xk k Γ i j k + xi i jk. (1.58) xi Zakoni transformacije Kristofelovih simbola II vrste omogu avaju da se izraze drugi izvodi jednih koordinata pomo u prvih izvoda i Kristofelovih simbola. Ako u (1.57) izvrximo kopmpoziciju sa x p i dobijamo δ p i xi j k = xp i Γ i j k xp i x i i x j j x k k Γi jk, odnosno x p j k = x p i Γ i j k xj j x k k Γp jk. Smenjuju i p sa i dobijamo Iz (1.58), analogano vaжi x i j k = xi i Γi j k xj j x k k Γi jk. (1.59) x i jk = x i i Γ i jk x j j xk k Γ i j k. (1.60) Iz zakona transformacije (1.54) i (1.57) prime ujemo da se Kristofelovi simboli u odnosu na opxtu transformaciju koordinata ne transformixu po tenzorskom zakonu. Tenzorski zakon vaжi samo u odnosu na (linearnu) afinu transformaciju x j = a j j xj + b j, (1.61) jer tada x j j = a j j = const. povlaqi x j jk = 0, pa (1.56) postaje tenzorski zakon. Na isti naqin postupamo i u ostalim sluqajevima. Kristofelovi simboli II vrste se jox zovu koeficijenti povezanosti Rimanovog prostora R N. Ako se na diferencijabilnoj mnogostrukosti ne definixu koeficijenti g ij, ve Γ i jk (x1,..., x N ) kao sistem koji zadovoljava zakon transformacije (1.57), onda imamo prostor afine koneksije (koji ne mora da bude metriqki). Primetimo da je svaki Rimanov prostor prostor afine koneksije, dok obrnuto ne vaжi.
1.6. Kovarijantni izvod tenzora 21 1.6 Kovarijantni izvod tenzora 1.6.1 Definicija i tenzorski karakter kovarijantnog izvoda Podsetimo se da, ako je φ(x 1,..., x N ) skalarna invarijanta, tada je sistem parcijalnih izvoda φ,i = φ/ x i tenzor tipa (0, 1), tj. kovarijantni vektor. To je jedini sluqaj da je parcijalni izvod tenzora ponovo tenzor u odnosu na opxtu transformaciju koordinata. Na primer, za vektor u i (x 1,..., x N ) transformacijom koordinata dobijamo u i = x i i u i, pa ako je u i,j = u i / x j, imamo Kako je u i,j = ui = (x i x j i u i ),j = x i ij ui + x i i u i,j. (1.62) x i = x i (x 1,..., x N ), u i = u i (x 1,..., x N ), x i = x i (x 1,..., x N ), to je pa iz (1.62) vaжi x i i = x i i (x 1,..., x N ), x i ij = x j (x i i ) = x i ijx j j, u i,j = ui,jx j j, u i,j = xi ijx j j u i + x i i x j j u i,j, (1.63) tj. imamo tenzor samo u sluqaju da je x i ij = 2 x i x i x j = 0, tj. kada je x i = x i (x 1,..., x N ) afina transformacija. Zbog toga se uvodi pojam kovarijantnog izvoda tenzora, koji je takođe tenzor. Definicija 1.6.1. Ako je u i (x 1,..., x N ) vektor, sistem u i ;j = u i,j + Γ i pju p (1.64) se zove kovarijantni izvod kontravarijantnog vektora u i. Teorema 1.6.1. Kovarijantni izvod vektora u i (x 1,..., x N ) je tenzor tipa (1, 1).
22 1. Rimanovi prostori Dokaz: Diferenciramo relaciju u i = x i i u i po x j i primenimo (1.60) za x i ij, dobijamo u i,j = xi ijx j j u i + x i i u i,jx j j = (x i p Γ p ij xk i x l j Γ i k l )xj j u i + x i i x j j u i,j, u i,j + δl j xk i Γ i k l ui = x i p x j j Γ p ij ui + x i i x j j u i,j. Ako u prvom sabirku na desnoj strani smenimo indekse p i i, sledi da je u i,j + Γi k j xk i u i = x i i x j j (u i,j + Γ i pju p ). Kako je u i tenzor, to je x k i u i = x k k uk = u k, pa sledi u i,j + Γi k j uk = x i i x j j (u i,j + Γ i pju p ), a prema (1.64) u i ;j = xi i x j j u i ;j, odnosno ui ;j se transformixe kao tenzor tipa (1, 1), xto je i trebalo pokazati. Definicija 1.6.2. Ako je v i (x 1,..., x N ) kovarijantni vektor, sistem se zove kovarijantni izvod vektora v i. v i;j = v i,j Γ p ij v p (1.65) Teorema 1.6.2. Kovarijantni izvod vektora v i (x 1,..., x N ) je tenzor tipa (0, 2). Dokaz: Polaze i od relacije v i = x i i v i, i korix enjem (1.59), dobijamo pa je v i j = xi i j v i + x i i v i,jx j j = (Γ k i j xi k Γi jkx j i x k j )v i + x i i xj j v i,j, v i,j Γk i j xi k v i = Γ i jkx j i x k j v i + x i i xj j v i,j. U prvom sabirku na desnoj strani smenimo i sa p, j sa i, k sa j, pa prema (1.65) sledi v i ;j = xi i xj j v i;j. Definisa emo sada kovarijantni izvod proizvoljnog tenzora. Definicija 1.6.3. Ako je t i 1...i A j 1...j B t i 1...i A j 1...j B;k = t i 1...i A j 1...j B,k + A α=1 tenzor, sistem Γ i α pk t i 1...i α 1 pi α+1...i A j 1...j B B β=1 Γ p j β k ti 1...i A j 1...j β 1 pj β+1...j B (1.66) je kovarijantni izvod datog tenzora. Pod kovarijantnim izvodom skalarne funkcije podrazumevamo njen parcijalni izvod.
1.6. Kovarijantni izvod tenzora 23 Kao primer navodimo: t ij kl;m = tij kl,m + Γi pmt pj kl + Γj pmt ip kl Γp km tij pl Γp lm tij kp. (1.67) Slede i primer predstavlja objaxnjenje za motivaciju da pod kovarijantnim izvodom skalarne invarijante podrazumevamo njen parcijalni izvod. Primer 1.6.1. Ako je u i j tenzor, tada je u i j;m = u i j,m + Γ i pmu p j Γp jm ui p, odakle, za i = j dobijamo skalarnu invarijantu φ = u i i i njen kovarijantni izvod φ ;m = u i i;m = u i i,m + Γ i pmu p i Γp im ui p. Ako u tre em sabirku na desnoj strani smenimo indekse i i p, vidimo da se on ponixtava sa drugim sabirkom, pa imamo φ ;m = u i i;m = u i i,m + Γ i pmu p i Γi pmu p i = ui i,m = φ,m. (1.68) Dokazali smo da je kovarijantni izvod kontravarijantnog i kovarijantnog vektora tenzor, pri qemu se kovarijantnost pove ava za jedan. Uopxte, vaжi naredna teorema. Teorema 1.6.3. Kovarijantni izvod tenzora tipa (A, B) je tenzor tipa (A, B + 1). Dokaz: Dokaza emo teoremu u sluqaju tenzora t i j, odnosno dokaza emo da je t i j;k = t i j,k + Γ i pkt p j Γp jk ti p (1.69) tenzor. U ostalim sluqajevima se dokazuje analogno. Posmatrajmo parcijalni izvod po x k zakona transformacije t i j = xi i x j j t i j i izrazimo parcijalne izvode drugog reda x i ik, xj j k preko (1.59) i (1.60), dobijamo t i j,k = (t i x k j ) = xi ikx k k xj j t i j + x i i x j j k t i j + x i i x j j t i j,kx k k = (x i p Γ p ik xp i xq k Γi p q )xk k xj j t i j + x i i t i j(x j q Γ q j k x q j x r k Γj qr) + x i i x j j x k k ti j,k, a prebacivanjem na levu stranu qlanova sa Γ u sistemu x i obzir da je x q k xk k Γi p q = δq k Γ i p q = Γi p k, dobijamo i uzimaju i u t i j,k + xp i xj j Γ i p k ti j x i i x j q t i jγ q j k = x i i x j j x k k ti j,k + x i p x j j x k k Γp ik ti j x i i x q j x r k Γj qrt i j.
24 1. Rimanovi prostori Ako uzmemo da je na levoj strani x p i xj j t i j = t p j, x i i x j q t i j = t i q, a na desnoj strani izvrximo smenu nemih indeksa (u drugom sabirku p i i, a u tre em q i j, r i k), ima emo t i j,k + Γi p k tp j t i q Γq j k = x i i x j j x k k (ti j,k + Γ i pkt p j Γq jk ti q). Prema (1.68) imamo tj. t i j;k t i j ;k = xi i x j j x k k ti j;k, se transformixe po tenzorskom zakonu. 1.6.2 Kovarijantni izvodi metriqkih tenzora U odnosu na Dekartov pravougli koordinatni sistem, u Euklidskom prostoru E N, g ij su konstante, pa su Kristofelovi simboli jednaki nuli. Zato je kovarijantni izvod ustvari obiqan parcijalni izvod, pa je g ij,k = g ij x k = 0. Jedna od glavnih karakteristika Euklidskih prostora je postojanje bar jednog koordinatnog sistema u kome su Kristofelovi simboli I i II vrste jednaki nuli. To ove prostore izdvaja od opxtih Rimanovih prostora. U Rimanovom prostoru nisu svi g ij konstante, pa parcijalni izvodi od g ij nisu jednaki nuli. Međutim, kovarijantni izvodi su jednaki nuli, xto emo dokazati u narednoj teoremi. Teorema 1.6.4. Kovarijantni izvodi metriqkih tenzora u R N su jednaki nuli, odnosno g ij;k = g ij ;k = gi j;k = δ i j;k = 0. (1.70) Dokaz: Na osnovu osobina Kristofelovih simbola (1.49), (1.50), (1.52) i (1.40) vaжi g ij;k = g ij,k Γ p ik g pj Γ p jk g ip = g ij Γ j.ik Γ i.jk = 0, jer su δ i j konstante. g ij ;k = gij,k + Γi pkg pj + Γ j pk gip = 0, g i j;k = δ i j;k = δ i j,k + Γ i pkδ p j Γp jk δi p = 0 + Γ i jk Γ i jk = 0,
1.6. Kovarijantni izvod tenzora 25 Definicija 1.6.4. Za tenzor qiji je kovarijantni izvod jednak nuli kaжemo da je kovarijantno konstantan tenzor. Na osnovu prethodno izloжenog, zakljuqujemo da su metriqki tenzori kovarijantno konstantni u Rimanovom prostoru R N. Navedimo sada osobine kovarijantog izvoda, od kojih se pojedine poklapaju sa osobinama obiqnih izvoda. Teorema 1.6.5. Kovarijantni izvod zbira (razlike) jednak je zbiru (razlici) kovarijantnih izvoda. Teorema 1.6.6. Ako je c konstanta, tada je (cu i j) ;k = cu i j;k. Teorema 1.6.7. Vaжi Lajbnicovo pravilo, za obiqan (spoljaxnji) proizvod. Na primer, vaжi (u i jv k ) ;m = (u i jv k ),m + Γ i pm(u p j v k) Γ p jm (ui pv k ) Γ p km (ui jv p ) =u i j,mv k + u i jv k,m + (Γ i pmu p j Γp jm ui p)v k (Γ p km v p)u i j =(u i j,m + Γ i pmu p j Γp jm )v k + (v k,m Γ p km v p)u i j =u i j;mv k + u i jv k;m. Teorema 1.6.8. Za kompoziciju (unutraxnji proizvod) tenzora vaжi Lajbnicovo pravilo. Na primer, ako u prethodnom primeru uzmemo k = i, tada je (u i jv i ) ;m = u i j;mv i + u i jv i;m. Teorema 1.6.9. Kontrakcija i kovarijantno diferenciranje su komutativni. Na primer: (u i ik) ;m = (δ p i ui pk) ;m = δ p i;m ui pk + δ p i ui pk;m = 0 + δ p i (ui pk;m). Teorema 1.6.10. Operacija dizanja i spuxtanja indeksa je komutativna sa kovarijantnim diferenciranjem. Na primer, imamo (g ip u p ) ;m = g ip ;mu p + g ip u p;m = 0 + g ip u p;m.
26 1. Rimanovi prostori 1.7 Paralelno pomeranje Ako duж krive C određene sa x i = x i (t) (1.71) u prostoru E N, gde su x i Dekartove koordinate, t parametar, imamo u svakoj taqki M vektor u = (u i ) istoga intenziteta, pravca i smera, tj. vektor u se paralelno pomera duж C, njegove koordinate u i se u takvom sistemu ne menjaju duж C, pa je du i = 0. (1.72) dt Međutim, ako u svakoj taqki M vektor u posmatramo u odnosu na krivolinijske koordinate x i, tada se njegove koordinate u i menjaju od taqke do taqke, jer se menjaju koordinatni vektori pri qemu je r vektor poloжaja taqke M. Ako je veza između Dekartovih koordinata x i bi e a jednaqina posmatrane krive je sada Na osnovu (1.75) je r i = r x i, (1.73) i krivolinijskih x i data sa x i = x i (x 1,..., x N ), (1.74) u i = x i i u i, (1.75) x i = x i (t). (1.76) du i dt = d dt (xi i )u i + x i i du i dt =xi iju i dxj dt + xi i du i dt =0. Kako je Γ i j k = 0 i xi jk = Γi jk xi i Γ i j k xj pa prethodna jednaqina postaje j xk k, to vaжi x i ij = Γ k ijx i k Γ i j k xj j xk i = Γ k ijx i k + 0, Kompozicijom sa x m i dobijamo Γ k ijx i k u i dxj dt + xi i du i dt = 0. δ m i du i dt + Γk ijδ m k u i dxj dt = 0,
1.7. Paralelno pomeranje 27 odakle je tj. Dum Dt = 0, odnosno du m dt + Γ m ij u i dxj dt = 0, Du i Dt = 0, (1.77) tj. du i dt + Γi pqu p dxq = 0. (1.78) dt Odavde vidimo da je pri prelasku na krivolinijske koordinate jednaqina (1.72) zamenjena vezom (1.77). Pri prelasku iz taqke (x i ) u taqku (x i + dx i ) duж krive C, komponente vektora u dobijaju priraxtaje u i du i, koji se nalaze iz (1.78): du i = Γ i pqu p dx q. (1.79) Integracijom ovog sistema diferencijalnih jednaqina nalazimo u i (x 1,..., x N ), u proizvoljnoj taqki M(x i ) sa krive C. Jednaqina (1.77), kojom se izraжava paralelno pomeranje vektora u E N u krivolinijskim koordinatama, sugerixe nam definiciju paralelnog pomeranja u Rimanovom prostoru R N. Definicija 1.7.1. Vektor u i u R N se pomera paralelno duж krive C date jednaqinom x i = x i (t), (1.80) ako duж C vaжi Uopxte, tenzor u...... Du i = 0. (1.81) Dt se paralelno pomera duж C, ako je duж C : Du...... Dt = 0. (1.82) Prethodno definisan paralelizam je paralelizam u smislu Levi -Qivita. Teorema 1.7.1. Pri paralelnom pomeranju dva vektora u R N ne menja se njihov skalarni proizvod, kao ni intenzitet svakog od njih, ni ugao između njih. Dokaz: Kako je u v = g ij u i v j skalarna invarijanta, to se apsolutni izvod svodi na obiqan izvod po parametru, a prema pretpostavci je Du i Dt = 0, Dv i Dt = 0, (1.83)
28 1. Rimanovi prostori pa, koriste i qinjenicu da je apsolutni izvod od g ij nula, u R N imamo d dt (u v) = d dt (g iju i v j ) = D ( ) Du Dt (g iju i v j i ) = g ij Dt vj + u i Dvj =g ij (0 + 0) = 0, Dt odakle dolazimo do u v = const. Poxto se intenzitet vektora, kao i ugao između dva vektora izraжavaju pomo u skalarnog proizvoda, to se ni oni ne menjaju pri paralelnom pomeranju. 1.8 Geodezijske linije u R N Posmatrajmo neku pravu u prostoru E N. Ako se njen jediniqni vektor pravca a = (a i ) zadat svojim Dekartovim koordinatama paralelno pomera, on ostaje i dalje vektor pravca. Tada vaжi da i ds = 0, (1.84) odnosno u krivolinijskim koordinatama je Da i = 0. (1.85) ds Za krivu liniju je njen vektor pravca u nekoj taqki njen tangentni vektor u toj taqki. Dakle, za vektor pravca prave u E N u krivolinijskim koordinatama x i vaжi (1.85). Kao uopxtenje prave iz E N imamo geodezijsku liniju u R N. Definicija 1.8.1. Kriva ( u R) N je geodezijska linija, ako njeni jediniqni dx i tangentni vektori (a i ) = qine polje paralelnih vektora u smislu Levids Qivita, tj. kriva x i = x i (s) (1.86) je geodezijska linija, ako za njen tangentni vektor (a i ) = (dx i /ds) vaжi jednaqina d ( ) dx i + Γ i dx i dx i jk = 0, ili ds ds ds ds d 2 x i (ds) + dx j dx k 2 Γi jk ds ds = 0. (1.87) Ovo je sistem obiqnih diferencijalnih jednaqina II reda po nepoznatim funkcijama x i (s), qijom integracijom se dobijaju geodezijske linije (1.86).
1.9. Riqijev identitet i tenzor krivine u R N 29 Prema teoriji ovih jednaqina, sistem (1.87) ima jedinstveno rexenje za date poqetne uslove ( ) dx x i (s 0 ) = x i i 0, = v ds 0, i (i = 1,..., N), s 0 tj. kroz datu taqku u datom pravcu u R N postoji jedna geodezijska linija. U sluqaju prostora E N qija je metrika određena kvadratnom formom (ds) 2 = N (dx i ) 2 i=1 vaжi Γ i jk = 0, pa iz (1.87) dobijamo d2 x i = 0, odakle (ds) 2 x i = a i s + b i, (1.88) xto znaqi da su u ovom sluqaju geodezijske linije prave. 1.9 Riqijev identitet i tenzor krivine u R N 1.9.1 Riqijev identitet i mexoviti tenzor krivine Ako je u i proizvoljan tenzor I reda, njegov kovarijantni izvod u i ;m je tenzor, pa se moжe na i njegov kovarijantni izvod, qime dobijamo kovarijantni izvod II reda. Za kovarijantni izvod imamo: u i ;m = u i,m + Γ i pmu p, (1.89) u i ;mn = (u i ;m) ;n = (u i ;m),n + Γ i snu s ;m Γ s mnu i ;s =u i,mn + Γ i pm,nu p + Γ i pmu p,n + Γ i sn(u ș m + Γ s pmu p ) Γ s mn(u i,s + Γ i psu p ), u i ;mn = u i,mn + Γ i pm,nu p + Γ i pmu p,n + Γ i snu ș m + Γ i snγ s pmu p Γ s mnu i,s Γ s mnγ i psu p, (1.90) a razmenom indeksa m i n dolazimo do u i ;nm =u i,nm + Γ i pn,mu p + Γ i pnu p,m +Γ i smu ș n + Γ i smγ s pnu p Γ s nmu i,s Γ s nmγ i psu p. (1.91) Oduzimanjem (1.91) od (1.90) dobijamo u i ;mn u i ;nm = (Γ i pm,n Γ i pn,m + Γ s pmγ i sn Γ s pnγ i sm)u p,
30 1. Rimanovi prostori odnosno pri qemu smo oznaqili u i ;mn u i ;nm = R i pmnu p, (1.92) R i jmn = Γ i jm,n Γ i jn,m + Γ p jm Γi pn Γ p jn Γi pm. (1.93) Na osnovu Zakona koliqnika zakljuqujemo da je sistem (1.93) tenzor tipa (1, 3). Jednakost (1.92) je Riqijev identitet za vektor u i, a tenzor R i jmn, određen pomo u (1.93), je Riman-Kristofelov tenzor ili mexoviti tenzor krivine Rimanovog prostora R N. Analogno dolazimo do Riqijevog identiteta za kovarijantni vektor v j : v j;mn v j;nm = R p jmn v p, (1.94) gde je R p jmn određeno sa (1.93). Analogni postupak određivanja Riqijevog identiteta se moжe koristiti i za tenzore vixeg reda. Međutim, moжe se koristiti i kompozicija, tako da se dobije skalarna invarijanta. Na taj naqin emo izvesti Riqijev identitet za, na primer, tenzor t i j. Ako su ui, v i vektori, onda je skalarna invarijanta, a prema Definiciji 1.6.3. je gde je φ,m kovarijantni vektor. Dalje je φ = t i ju j v i (1.95) φ ;m = φ,m = φ x m, (1.96) φ ;mn =(φ,m ) ;n = (φ,m ),n Γ p mnφ,p, φ ;mn φ ;nm = 0. (1.97) Prema (1.95), koriste i Lajbnicovo pravilo, dobijamo φ ;m = t i j;mu j v i + t i ju j ;mv i + t i ju j v i;m, φ ;mn = t i j;mnu j v i + t i j;mu j ;nv i + t i j;mu j v i;n + t i j;nu j ;mv i + t i ju j ;mnv i + t i ju j ;mv i;n + t i j;nu j v i;m + t i ju j ;nv i;m + t i ju j v i;mn, (1.98) φ ;nm = t i j;nmu j v i + t i j;nu j ;mv i + t i j;nu j v i;m + t i j;mu j ;nv i + t i ju j ;nmv i + t i ju j ;nv i;m + t i j;mu j v i;n + t i ju j ;mv i;n + t i ju j v i;nm. (1.99)
1.9. Riqijev identitet i tenzor krivine u R N 31 Kada od jednaqine (1.98) oduzmemo (1.99), dobijamo (t i j;mn t i j;nm)u j v i + t i jv i (u j ;mn u j ;nm) + t i ju j (v i;mn v i;nm ) = 0, pa nakon xto primenimo (1.92) i (1.94), dolazimo do (t i j;mn t i j;nm)u j v i + t i jv i R j pmnu p t i ju j R p imn v p = 0. Ako u drugom sabirku smenimo j i p, a u tre em i i p i uzmemo u obzir da su u j, v i proizvoljni vektori, sledi da je Riqijev identitet za tenzor t i j određen sa t i j;mn t i j;nm = R i pmnt p j Rp jmn ti p. (1.100) Ovaj postupak moжemo primeniti i u drugim sluqajevima. Na primer, moжemo na i Riqijeve identitete tenzora t ij, t ij, t ij k, koriste i skalarne invarijante φ = t ij u i v j, ψ = t ij u i v j, λ = t ij k u iv j w k, µ = t ij k uk i v j, ν = t ij k u ijv k, znaju i Riqijeve identitete, na primer u sluqaju µ za u k i, v j. Na taj naqin imamo, na primer t ij k;mn tij k;nm = Ri pmnt pj k + Rj pmnt ip k Rp kmn tij p. Na osnovu izloжenog, moжemo da zakljuqimo da vaжi slede a teorema. Teorema 1.9.1. Riqijev identitet za tenzor t i 1,...,i A j 1,...,j B glasi = A Rpmnt iα i 1...i α 1 pi α+1...i A j 1...j B α=1 t i 1...i A j 1...j B ;mn ti 1...i A j 1...j B ;nm B R p j β mn ti 1...i A j 1...j β 1 pj β+1...j B. β=1 (1.101) Prema (1.93) vidimo da je u euklidskom prostoru E N u Dekartovim koordinatama R i jmn = 0. Na osnovu zakona transformacije sledi da u E N u svakom koordinatnom sistemu vaжi R i jmn = 0. (1.102) Teorema 1.9.2. Mexoviti tenzor krivine R i jmn ima slede e osobine: R i jmn = R i jnm (antisimetrija), (1.103) R i jmn + R i mnj + R i njm = 0 (cikliqna simetrija). (1.104)
32 1. Rimanovi prostori Dokaz: Osobina (1.103) je oqigledna iz (1.93). Da bismo dokazali (1.104), imamo R i jmn = Γ i jm,n Γ i jn,m + Γ p jm Γi pn Γ p jn Γi pm, R i mnj = Γ i mn,j Γ i mj,n + Γ p mnγ i pj Γ p mj Γi pn, R i njm = Γ i nj,m Γ i nm,j + Γ p nj Γi pm Γ p nmγ i pj. Sabiranjem ovih jednaqina, uzimaju i u obzir simetriju Kristofelovih simbola po donjim indeksima i vrxe i potrebne izmene nemih indeksa, dobijamo jednaqinu (1.104). Jednaqina (1.104) se zove I Bjankijev identitet. 1.9.2 Kovarijantni tenzor krivine Definicija 1.9.1. Tenzor tipa (0, 4) određen relacijom R ijmn = g ip R p jmn = g ip(γ p jm,n Γp jn,m + Γs jmγ p sn Γ s jnγ p sm) (1.105) zove se kovarijantni tenzor krivine u R N. Teorema 1.9.3. Kovarijantni tenzor krivine se moжe napisati u obliku R ijmn = Γ i.jm,n Γ i.jn,m + Γ p.im Γ p jn Γ p.inγ p jm. (1.106) Dokaz: Ako iz jednaqine nađemo Γ i.jm,n = (g ip Γ p jm ),n = g ip,n Γ p jm + g ipγ p jm,n g ip Γ p jm,n = Γ i.jm,n g ip,n Γ p jm =Γ i.jm,n (Γ i.pn + Γ p.in )Γ p jm i to smenimo u (1.105), dobijamo R ijmn = Γ i.jm,n (Γ i.pn +Γ p.in )Γ p jm Γ i.jn,m+(γ i.pm +Γ p.im )Γ p jn +Γs jmγ i.sn Γ s jnγ i.sm, odakle sledi da vaжi (1.106). Da bismo ispitali osobine tenzora R ijmn, napisa emo ga u jox jednom obliku. Teorema 1.9.4. Kovarijantni tenzor krivine se moжe napisati u obliku R ijmn = 1 2 (g im,jn g in,jm + g jn,im g jm,in ) + g ps (Γ p.im Γ s.jn Γ p.jm Γ s.in ), (1.107) gde je, na primer, g im,jn = 2 g im x j x n.
1.9. Riqijev identitet i tenzor krivine u R N 33 Dokaz: Za prva dva sabirka u (1.106) imamo Γ i.jm,n Γ i.jn,m = 1 2 (g ij,m g jm,i + g mi,j ),n 1 2 (g ij,n g jn,i + g ni,j ),m, a za poslednja dva Γ i.jm,n Γ i.jn,m = 1 2 (g im,jn g in,jm + g jn,im g jm,in ), (1.108) gde smo primenili Γ p.im Γ p jn Γ p.inγ p jm = Γ p.img ps Γ s.jn Γ p.in g ps Γ s.jn = g ps (Γ p.im Γ s.jn Γ p.jm Γ s.in ), (1.109) Γ p.in g ps Γ s.jm = Γ s.in g sp Γ p.jm = g ps Γ p.jm Γ s.in. Kada zamenimo (1.108), (1.109) u (1.106) dobija se (1.107). Teorema 1.9.5. Za kovarijantni tenzor krivine prostora R N vaжi: R ijmn = R ijnm, (1.110) R ijmn = R jimn, (1.111) R ijmn = R mnij, (1.112) Cikl αβγ R ijmn = 0, (1.113) gde je α, β, γ neka od qetiri kombinacije indeksa i, j, m, n, xto znaqi da se cikliqnom permutacijom bilo koja tri indeksa (a fiksiranjem qetvrtog) i sabiranjem dobijene tri komponente tenzora R ijmn, dobija 0. Dokaz: Relacija (1.110) sledi iz (1.103) i (1.105), a relacija (1.111) iz (1.107). Relacija (1.112) se proverava preko(1.107) kada se istovremeno izvrxe smene indeksa i i m, j i n. Relacija (1.113) se dokazuje korix enjem (1.104) i (1.105). Na primer, Cikl jmn R ijmn=cikl jmn (g ipr p jmn ) = g ip(r p jmn + Rp mnj + Rp njm )=0 Cikl ijm R ijmn= Cikl ijm R ijnm= Cikl ijm R nmij = Cikl mij R nmij = 0. Prema Teoremi 1.9.5. vidimo da komponente tenzora R ijmn nisu nezavisne. Ako za nezavisne komponente smatramo one koje su razliqite od nula i one koje se ne mogu izraziti kao linearne kombinacije drugih, postavlja se pitanje koliko ima nezavisnih komponenata u R N, tj. koliko komponenata treba zadati proizvoljno da bi se mogle izraqunati ostale komponente. Odgovor na postavljeno pitanje daje slede a teorema.
34 1. Rimanovi prostori Teorema 1.9.6. Broj nezavisnih komponenata, u oznaci K(N), tenzora krivine R ijmn u prostoru R N je K(N) = 1 12 N 2 (N 2 1). (1.114) 1.9.3 Riqijev tenzor Ako pođemo od mexovitog tenzora krivine R i jmn = Γ i jm,n Γ i jn,m + Γ p jm Γi pn Γ p jn Γi pm (1.115) moжemo izvrxiti kontrakciju indeksa i na dva naqina: a) sa indeksom j, b) sa nekim od indeksa m, n. Prvi naqin daje tenzor koji je identiqki jednak nuli, odnosno vaжi jer iz relacije (1.115) imamo R p pmn = 0, (1.116) Rpmn p = Γ p pm,n Γ p pn.m + Γ s pmγ p sn Γ s pnγ p sm ( ) ( ) ln g ln g = = (ln g) x m x n,mn (ln g),nm = 0.,n,m Drugi naqin kontrakcije daje kovarijantni tenzor II reda koji se zove Riqijev tenzor, u oznaci R ij. Dakle, vaжi a na osnovu (1.53) imamo tj. odakle zakljuqujemo da je R p jmp = R jm = Γ p jm,p Γp jp,m + Γs jmγ p sp Γ s jpγ p sm, (1.117) R jm = Γ p jm,p (ln g),jm + Γ s jm(ln g),s Γ s jpγ p sm, R ij = R p ijp = Γp ij,p (ln g),ij + Γ p ij (ln g),p Γ s ipγ p sj, (1.118) Dakle, Riqijev tenzor je simetriqan. R ij = R ji. (1.119)
Deo 2 Potprostori Rimanovih prostora 2.1 Definicija potprostora Definisa emo potprostor proizvoljnog broja dimenzija M u Rimanovom prostoru R N (M < N) i prouqiti neke vaжnije osobine takvih potprostora. Povrx u E 3 e se razmatrati kao specijalan sluqaj. Definicija 2.1.1. Neka su u R N koordinate x i, (i = 1,..., N). Jednaqine x i = x i (u 1,..., u M ), (M < N), (2.1) pod uslovom ( ) x i rang = M, (i = 1,..., N; α = 1,..., M) (2.2) u α određuju potprostor R M R N. Prostor R N se u tom sluqaju zove smextajni prostor. Za tenzor u R M, na primer a α β (u1,..., u M ), zakon transformacije pri prelasku na nove koordinate u α = u α (u 1,..., u M ) je a α β = uα u α u β u β a α β = u α α u β β a α β. (2.3) Pokaza emo da u sluqaju kada je R M R N postoje veliqine (sistemi), qiji se neki indeksi odnose na potprostor R M, a drugi na smextajni prostor R N. Teorema 2.1.1. Sistem veliqina x i α = x i / u α je kontravarijantni vektor u odnosu na i, a kovarijantni vektor u odnosu na α. 35
36 2. Potprostori Rimanovih prostora Dokaz: Ako u R N izvrximo transformaciju x i = x i (x 1,..., x N ) dobijamo x i α = xi u α = xi x i x i u α = xi i x i α, (2.4) a ako izvrximo transformaciju u α = u α (u 1,..., u M ) imamo x i α = xi u α = xi u α u α u α = u α α xi α. (2.5) Teorema 2.1.2. U potprostoru R M R N se indukuje metriqki tenzor ḡ αβ, pri qemu je njegova veza sa metriqkim tenzorom g ij u R N određena relacijom Dokaz: Za krivu u R M R N je ḡ αβ = x i αx j β g ij = ḡ βα. (2.6) (ds) 2 = g ij dx i dx j =g ij x i αdu α x j β duβ = ḡ αβ du α du β, (2.7) a odavde je (ḡ αβ g ij x i αx j β )duα du β = 0. Kako je du α, du β proizvoljno, to vaжi (2.6). Kako je u (2.7) (ds) 2 invarijanta, du α, du β su vektori, to je oqigledno ḡ αβ tenzor u R M. Definicija 2.1.2. Tenzor ḡ αβ (u 1,..., u M ) definisan u taqkama potprostora R M R N, određen relacijom (2.6) zove se (indukovani) metriqki tenzor potprostora. Ukoliko iz uslova odnosno uslova ḡ απ ḡ πβ = δ β α, (2.8) (ḡ αβ ) = (ḡ αβ ) 1, (2.9) odredimo ḡ αβ, onda moжemo da odredimo Kristofelove simbole potprostora: Γ α.βγ = 1 2 (ḡ αβ,γ ḡ βγ,α + ḡ γα,β ), (2.10) Γ α βγ = ḡ απ Γπ.βγ. (2.11)
2.2. Izraжavanje Kristofelovih simbola pomo u Kristofelovih simbola prostora37 Definicija 2.1.3. Sistem veliqina definisanih u R M R N, qiji se neki indeksi odnose na R N, a drugi na R M zove se mexoviti tenzor, ako se transformixe po tenzorskim zakonima, posebno pri transformaciji koordinata u R N, odnosno u R M. U specijalnom sluqaju, tenzor definisan u potprostoru moжe imati indekse koji se odnose samo na prostor ili samo na potprostor. Primer mexovitog tenzora je sistem x i α = xi. Posmatrajmo neki takav uα mexoviti tenzor a iα βj. Kako su ove veliqine definisane u taqkama potprostora R M koje pripadaju prostoru R N, to je a iα βj = aiα βj (x1,..., x N ) pri qemu su, prema (2.1), x i funkcije od u α, pa imamo a iα βj(x 1 (u 1,..., u M ),..., x N (u 1,..., u M )) = a iα βj(u 1,..., u M ), a i α βj = xi i x j j a iα βj, (2.12) a iα β j = u α α u β β a iα βj. (2.13) Osobine Kristofelovih simbola prostora se prenose i na Kristofelove simbole potprostora. Na primer, vaжi Γ α.βγ = Γ α.γβ, (2.14) Γ α βγ = Γ α γβ, (2.15) Γ α.βγ + Γ β.αγ = ḡ αβ,γ. (2.16) 2.2 Izraжavanje Kristofelovih simbola pomo u Kristofelovih simbola prostora Jednaqinom (2.6) je metriqki tenzor potprostora izraжen pomo u metriqkog tenzora smextajnog prostora. Naredna teorema se odnosi na analogno izraжavanje Kristofelovih simbola. Teorema 2.2.1. Ako su Γ α.βγ Kristofelovi simboli I vrste potprostora R M R N određenog jednaqinama x i = x i (u 1,..., u M ), a Γ i.jk (Γ i jk ) Kristofelovi simboli prostora R N, tada je Γ α.βγ = Γ i.jk x i αx j β xk γ + g ij x i αx j βγ, (2.17)
38 2. Potprostori Rimanovih prostora odnosno Γ α.βγ = g ip Γ p jk xi αx j β xk γ + g ij x i αx j βγ, (2.18) Γ α βγ = ḡ πα Γπ.βγ. (2.19) Dokaz: Polazimo od definicije Kristofelovih simbola prve vrste: Γ α.βγ = 1 2 (ḡ αβ,γ ḡ βγ,α + ḡ γα,β ). Na osnovu (2.6) je pri qemu smo koristili ḡ αβ,γ = (x i αx j β g ij),γ = x i αγx j β g ij + x i αx j βγ g ij + x i αx j β g ij,kx k γ, (2.20) g ij,γ = g ij (x 1 (u 1,..., u M ),..., x N (u 1,..., u M )),γ = g ij,k x k γ, jer pri diferenciritanju g ij po u γ posmatramo g ij u taqkama R M R N. Zamenom u (2.10), primenjuju i odgovaraju e zamene nemih indeksa, sledi Γ α.βγ = 1 2 (xi αγx j β g ij + x i αx j βγ g ij + x i αx j β g ij,kx k γ x i βαx j γg ij x i βx j γαg ij x i βx j γg ij,k x k α + x i γβx j αg ij + x i γx j αβ g ij + x i γx j αg ij,k x k β) = 1 2 (g ij,k g jk,i + g ki,j )x i αx j β xk γ + g ij x i αx j βγ. Qime smo dokazali teoremu. 2.3 Kovarijantni izvod tenzora u potprostoru Da bismo definisali kovarijantni izvod tenzora definisanih u taqkama potprostora, posmatra emo najpre sluqaj vektora b i = b i (x j (u α )), i, j = 1,..., N; α = 1,..., M, (2.21) qiji se indeks odnosi na prostor R N, ali je definisan u taqkama (x j ) = x j (u β ), kao i vektor c α = c α (u β ), α, β = 1,..., M, (2.22) koji je definisan u taqkama (u β ) potprostora R M.