Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Srdjan Vukmirović, Tijana Šukilovic, Marijana Babić januar 5. Teorijska pitanja definicija vektora, kolinearni i komplanarni vektori, definicija sabiranja vektora, definicija mnozenja vektora brojem, dokaz da su svaka tri vektora ravni linearno zavisna, definicija koordinata vektora, definicija koordinata tačaka, definisati težište trougla i nacrtati sliku, navesti f-lu za težište n-tačaka P,... P n, definicija skalarnog proizvoda, skalarni proizvod u ON bazi, računanje uglova i dužina pomoću skalarnog proizvoda definicija vektorskog proizvoda, tablica vektorskog proizvoda u ON bazi, računanje vektorskog proizvoda, računanje površine trougla, definicija i odredjivanje orjentacije trougla, uslov da tačka M pripada trouglu ABC, uslov kolinearnosti tri tačke definicija mešovitog proizvoda, dokaz da je apsolutna vrednost mešovitog proizvoda jednaka zapremini paralelepipeda, računanje mešovitog proizvoda, uslov komplanarnosti tri vektora, uslov komplanarnosti četiri tačke, odredjivanje zapremina paralelopipeda (tetraedra) napisati opšte f-le za transformacija koordinata tačaka i objasniti šta je šta, napisati matricu rotacije za ugao φ u ravni, dva oblika f-la za transformaciju koordinata ON repera i koji oblik šta predstavlja, napisati opšte f-le za afino preslikavanje ravni i objasniti šta je šta, matrično predstavljanje afinog preslikavanja ravni matricom, navesti osobine afinih preslikavanja, šta je slika trougla (kvadrata, paralelograma, kruga) pri afinom preslikavanju, da li afinim preslikavanje možemo preslikati kvadrat u paralelogram (trougao u četvorougao, trougao u proizvoljan trougao, paralelogram u trapez), definicija rotacije oko prave u prostoru, napisati matrice rotacija oko koordinatnih osa u prostoru, dve Ojlerove teoreme: svako kretanje prostora koje fiksira koordinatni početak ) je rotacija oko prave kroz O; ) može da se predstavi kao kompozicija tri rotacije oko koordinatnih osa (Ojlerovi uglovi), matrica rotacije u odnosu na proizvoljnu pravu, matrica refleksije u odnosu na proizvoljnu pravu u ravni (ravan u prostoru), koji uslov mora da zadovoljava matrica kretanja (izometrije) jednačina prave ako znamo tačku i normalni vektor, napisati parametarsku jednačinu prave p, napisati parametarsku jednačinu duži AB, napisati dve f-le za rastojanje tačke od prave definicija poligonske linije i poligona, definicija proste poligonske linije (nacrtati primer proste i ne-proste), uslov da tačka pripada unutrasnjosti (nacrtati primer), definisati triangulaciju poligona, dokaz da svaki prost poligon sa više od temena ima unutrašnju dijagonalu, formulacija i dokaz teoreme da se svaki prost poligon p moze triangulisati sa n trougla (n je broj temena poligona p), definicija konveksnog skupa (nacrtati primer konveksnog i nekonveksnog), šta je konveksni omotač
nekog skupa (nacrtati primer), šta je konveksni omotač skupa od n tačaka ravni (nacrtati primer), opisati algoritam reda O(n ) za odredjivanje konveksnog omotača, opisati Grahamov algoritam za konveksni omotač (primer) napisati implicitnu i parametarsku jednačinu kruga poluprečnika r sa centrom u C(, y ), šta je konusni presek i šta on može biti, šta je ekscentricitet i koliki je ekscentricitet elipse (hiperbole, parabole), napisati kanonsku jednačinu i parametrizaciju elipse ( hiperbole), navesti i nacrtati optičku osobinu elipse (parabole, hiperbole), napisati opšti oblik krive drugog reda, napisati sve kanonske oblike krivih drugog reda (i imena tih krivih), svesti krivu drugog reda na kanonski oblik translacijom (primer), svesti na kanonski oblik krivu y = rotacijom, napisati definiciju Beizijerove krive stepena i stepena, skicirati Bezijerove krive stepena i i njihove kontrolne tačke, objasniti rečima šta znači afina invarijantnost B. krive, nacrtati De Casteljau algoritam za krivu stepena ili 4 i neko t [, ] (recimo t =., t=.5... ), kako se Bezijerova kriva stepena (ili ) deli na dve krive istog stepena u tački t =. (nacrtati i reći koji su poligoni), kako se povećava stepen Bezijerove krive bez promene oblika, šta predstavlja jednačina + y = u ravni, a šta u prostoru, šta predstavlja jednačina + y =, z = 4 u prostoru, napisati jednačinu ravni u prostoru, šta je i kako se odredjuje koordinatni sistem prilagodjen datoj ravni α, napisati parametarsku (kanonsku) jednačinu prave u prostoru, napisati formulu za rastojanje tačke od ravni, navesti i nacrtati medjusobne položaje dve ravni u prostoru, navesti, P Q za medjusobne položaje dve prave p i q u prostoru, nacrtati i napisati uslove u terminima p, q, navesti teoremu o pramenu ravni, navesti i nacrtati medjusobne položaje prave i ravni u prostoru, sta su mimoilazne prave, navesti teoremu o normali mimoilaznih pravih (primer kocke i tetraedra), formula za ugao izmedju dve prave (dve ravni, prave i ravni), kako se odredjuje presek prave i trougla, kako se odredjuje presek ravni i trougla i šta može biti, definicija proste poliedarske površi, definicija ruba poliedarske površi, napisati tabelu povezanosti za kocku, definisati orjentabilnost poliedarske površi, dokazati da je tetraedar (piramida, kocka, po izboru) orjentabilan, skicirati glatku Mebijusovu traku i njen poliedarski model, napisati tabelu povezanosti Mebijusove trake, dokazati da Mebijusova traka nije orjentabilna, nacrtati torus i njegov poliedarski model, definicija Ojlerove karakteristike, skicirati glatke površi roda, i, definisati Platonovo telo, nabrojati Platonova tela, dokazati da postoji tačno 5 Platonovih tela, tabela sa brojem pljosni, ivica i temena Platonovih tela, dualna Platonova tela (skicirati). Vektori. (*) Dokazati da je AB= CD ako i samo ako se duži AD i BC polove.. (*) U odnosu na tačku O dati su vektori položaja OA, OB tačaka A i B (A B). Izraziti vektor položaja tačke C takve da: a) AC= λ CB, λ R; b) tačka C deli duž AB u odnosu p : q, p, q N. (*) Neka je ABC trougao i T tačka takva da važi a) Dokazati da tačka T ne zavisi od izbora tačke O. OT = ( OA + OB + OC).
b) Dokazati da je tačka T težište trougla, tj. presek težišnih duži i da ona težišne duži deli u odnosu :..4 (*) Neka je ABCD tetraedar i T tačka takva da važi OT = 4 ( OA + OB + OC + OD). Težišnom duži tetraedra se naziva duž koja spaja teme tetraedra sa težištem napsramne pljosni. Dokazati da se težišne duži tetraedra seku u tački T i da ih ona deli u odnosu :. Tačka T se naziva težište tetraedra..5 Dat je paralelogram ABCD. Ako je tačka F središte stranice BC, tačka G središte stranice CD, a tačka E presek duži AF i BG odrediti odnose AE EF i BE EG..6 U ravni je dat trougao ABC. Neka tačka D pripada stranici AB, a tačka E stranici BC, tako da je AD DB = 4 i BE EC = 5 7. Ako se duži AE i CD seku u tački F odrediti u kom odnosu tačka F deli duži AE i CD..7 Dati su vektori v = ( 6 6,, ) i u= (, 6 6, ) iz V svojim koordinatama u ortonormiranoj bazi. Odrediti: a) v ; b) ( v, u). preko vektora AB i odnosu susednih strana. AA.8 (*) a) Ako je A presek simetrale ugla BAC i ivice BC trougla ABC, odrediti vektor AC. b) Dokazati da simetrala ugla u trouglu ABC deli naspramnu stranu u.9 (*) Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački (ortocentar).. Odrediti površinu trougla ABC, ako je A(, ), B(, ), C(, 4). Da li je trougao ABC pozitivne orjentacije?. Ispitati da li tačka M(, ) pripada trouglu ABC, ako je A(, 7), B(, ), C(, )?. a) Odrediti mešoviti proizvod [ v, u, w], ako su njihove koordinate u ortonormiranoj bazi v = (,, 7), u= (,, ), w= (, 8, ). b) Da li su ti vektori linearno nezavisni?. a) Da li su tačke A(, ), B(, ), C(7, 6) kolinearne? b) Da li su tačke A(,, ), B(,, 4), C(7, 6, 5), D(5, 8, ) komplanarne?.4 Data je kocka ABCDA B C D ivice. a) Odrediti ugao izmedju dijagonala strana kocke BC i D B. b) Odrediti zapreminu tetraedra BC B D..5 Dat je pravilan šestougao ABCDEF. Ako je data baza e = ( e, e ), e = AB, e = AF, odrediti koordinate temena šestougla u reperu A e e..6 Neka je OABC paralelogram i e = ( OA, OC), f = ( BO, BC) dve baze. Odrediti formule transformacija koordinata iz repera Oe u reper Bf, kao i inverzne formule..7 Da li formule ( y ) = ( ) ( y ) ( + ). () prestavljaju transformaciju koordinata izmedju dva ortonormirana repera? Precizno nacrtati uzajamni položaj tih repera.
Afina preslikavanja. Date su tačke A(, ), B(, ), C(, ), D(, ); A (4, 5), B (8, 7), C (6, 9), D (, 7). a) Odrediti jednačine afinog preslikavanja koje kvadrat ABCD preslikava u paralelogram A B C D. b) Izračunati površinu paralelograma, koristeći determinantu matrice dobijenog preslikavanja i površinu kvadrata.. Dato je afino preslikavanje formulama ( ) ( y = ) ( y ) ( 5 + 7 ). Odrediti formule inverznog preslikavanja.. Odrediti formule afinog preslikavanja koje trougao OAB preslikava u trougao O A B, ako je O(, ), A(, ), B(, ) i O (5, 4), A (7, 8), B (4, ). a) Da li preslikavanje čuva orjentaciju? b) Kolika je površina trougla O A B (izračunati znajući da je površina trougla OAB = / i znajući determinantu preslikavanja)..4 Odrediti formule afinog preslikavanja koje trougao P QR preslikava u trougao P Q R, ako je P (, ), Q(, ), R(4, 4) i P (5, 4), Q (7, 8), R (4, ). Da li preslikavanje čuva orjentaciju? Uputstvo: Zadatak uraditi tako što se nadje preslikavanje f : (O, A, B) (P, Q, R) ondosno g : (O, A, B) (P, Q, R ) (prethodni zadatak). Traženo preslikavanje je g f..5 a) Da li su trouglovi P QR i P Q R podudarni ako je P (, ), Q(5, 5), R(, 5) i P (, 7), Q (, ) i R (9, 8). Uputstvo: Proveriti dužine stranica. b) Odrediti izometriju koja preslikava P QR u P Q R. O kojoj se izometriji radi? (Iz matrice izometrije vidi se da je reč o kompoziciji rotacije za ugao arccos(/5) i translacije za vektor (, 7))..6 Odrediti formule homotetije sa centrom u tački C(, ) i koeficijentom. U koju tačku se preslikava koordinatni početak pri ovoj homotetiji? (Napomena: rezultat, tj. formule zapisati u obliku: =..., y =...).7 Odrediti formule rotacije za ugao φ = 7π 6 oko tačke A(, ). U koju tačku se preslikava tačka M(, ) pri ovoj rotaciji? (Napomena: rezultat, tj. formule zapisati u obliku: =..., y =...).8 Korisnik je obeležio pravougaonik (recimo sliku) sa naspramnim temenima P (6, 4) i Q(5, 5). Odrediti formule afine transformacije koja taj pravougaonik preslikava na ceo ekran dimenzija 8 6 bez distrozije, tj. homotetijom..9 Odrediti formule refleksije u odnosu na ravan α : y + z =.. Odrediti formule rotacije za ugao φ = π oko prave p : P (,, ), p (,, ). 4
4 Analitička geometrija u ravni 4. Data je prava q : = t+4, y = t 7, t R. a) Odrediti implicitni oblik prave q. b) Odrediti implicitni oblik prave r koja sadrži tačku R(, 7) i paralelna je q. 4. Odrediti jednačinu normale n iz tačke A(, 7) na pravu p ako je a) p : = t + 4, y = t 5, t R b) p : 4 y + 7 =. 4. Neka je A(, ), B(, 4). a) Odrediti parametarsku jednačinu prave AB. b) Ispitati da li tačka C(4, ) polupravoj [AB). c) Ispitati da li tačka D(, ) i u kom odnosu ona deli duž AB. 4.4 Ispitati da li tačke C(, ) i D( 7, ) pripadaju istoj poluravni odredjenoj pravom AB, A(, ), B(, ). 4.5 Ako je A(, ), B(, 7), odrediti koordinate tačaka koje dele duž AB na pet jednakih delova. 4.6 Izračunati rastojanje tačke M(, ) od prave a) y + =, b) prave p čiji je vektor pravca p = (, ), a tačka P (, ). 4.7 Odrediti centar i poluprečnik opisanog kruga u trougao ABC, ako je A(, ), B(4, ), C(6, ) kao i koordinate težišta trougla. 4.8 Odrediti težište T, ortocentar H i centre opisanog O i upisanog kruga S u ABC, A(, 4), B(, ), C(, ). 4.9 Odrediti presek pravih p i q koje su zadate tačkom i vektorom pravca: a) P (, ), p = (, ), Q(, ), q = (, ); b) P (, ), p = (, ), Q(, ), q = (, ); c) P (, ), p = (, ), Q(, ), q = (, 4). 4. Odrediti centar i poluprečnik kruga k : + y + 4y =. 4. Odrediti presek kruga k iz prethodnog zadatka i prave: a) p : p = (, ), P (, ) b) q : y 4 =. 5 Krive u ravni 5. Svesti na kanonski oblik translacijom: a) y 4 8y = ; b) y + 6y = ; c) + 5y 4 y + 8 = ; d) + 5y 6 + 5y + 9 = ; e) 9 + 4y + 6y + 6 = ; f) 4 y 4 + 4y + = ; g) 5 4y + 5 + 4y + 5 = ; h) y 6 y 5 =. 5. Rotacijom pokazati da je kriva y = hiperbola. 5. Odrediti Bezijerovu krivu čije su kontrolne tačke P (, ), P (, ), P (4, ). 5.4 Odrediti Bezijerovu krivu čije su kontrolne tačke P (, ), P (, ), P (4, ), P (, ). 5
5.5 Date su tačke P = (, ), P = (, 4), P = (, ), P = (, ). a) Odrediti Bezijerovu krivu α (t), t [, ] čije su to kontrolne tačke. b) Odrediti tangentne vektore u tačkama P i P. c) Da li je tangenta te krive u tački α( ) paralelna pravoj P P? d) Odrediti krivu dobijenu pomeranjem kontrolne tačke P za vektor v = ( 7, ). Da li je tangenta te nove krive u tački α ( ) paralelna pravoj P P? 5.6 U ravni su date tačke P = (, ), P = (6, ), P = (4, 7) i prave p : y = 5, q : = 7 i r : = + s, y = s, s R. a) Napisati Bezijerovu krivu α (t), t [, ] čiji je kontrolni poligon P P P. b) Odrediti presek kontrolnog poligona sa pravama p, q, r. c) Odrediti presek krive α (t), t [, ] sa pravama p, q, r. Uporediti broj presečnih tačaka sa slučajem kontrolnog poligona (svojstvo najmanje varijacije). d) Pokazati da je kriva α (t), t [, ] deo parabole y = 4 (svojstvo afine invarijantnosti). 5.7 Upotrebom de Casteljau algoritma odrediti tačku Bezijerove krive α 4 (t) za t =, ako su kontrolne tačke krive P (7, 8), P (, ), P (7, 46), P (4, 7), P 4 (6, ). 5.8 Data je Bezijerova kriva kontrolnim tačkama P = (, ), P = (, ), P = (, 9), P = (8, 7). a) Podeliti krivu na dva dela praveći rez u tački α ( ). b) Povećati stepen leve krive za. 6 Konveksni omotač i triangulacija poligona 6. Odrediti konveksni omotač tačaka P = (, ), P = (, ), P = (, 5), P = (4, ), P 4 = (, ), P 5 = (6, 4), P 6 = (, ), P 7 = (5, 5), P 8 = (5, ). 6. U ravni su date tačke P = (, ), P = (, ), P = (, ), P = (4, ), P 4 = (, ). Ispitati da li je poligon P P P P P 4 prost. Ako nije, sortirati tačke P,... P 4 tako da poligon bude prost. 6. Od datih tačaka u ravni formirati prost poligon, a zatim ga triangulisati. a) P = (, ), P = (5, ), P = (, ), P = (6, 4), P 4 = (, ) b) P = (, ), P = (, ), P = (, ), P = (4, ), P 4 = (5, ), P 5 = (, 4). 6
7 Prava i ravan u prostoru 7. Ravni y + z = odrediti parametarski jednačinu. 7. Odrediti jednačinu ravni koja sadrži tačke A(,, ), B(,, ) i C(,, ). 7. Pravu p : = t + 4, y = t +, z = t, t R zapisati kao presek dve ravni. 7.4 Odrediti jednačinu ravni α koja sadrži pravu p : ravan β : y =. 7.5 Pravu p : y =, z = zapisati parametarski. = y 5 = z 7.6 Odrediti rastojanje tačke M(,, ) od prave p : y =, z =. 7.7 Odrediti rastojanje tačke M(,, ) od ravni α : y 4z =. 7.8 Data je ravan α : y + 5z =. Odrediti presek te ravni sa pravama: a) p : = y 4 7 = z ; b) q : = y = z ; c) r : = y = z ; d) s : y =, + y z + 5 = ; e) t : z + =, y + z + =. 7.9 Odrediti tačku prodora prave p : + = y+ = z 5 4 i koja je normalna na kroz ravan α : + y + 5z 7 =. 7. Odrediti jednačinu familije svih ravni koje sadrže tačku P (5,, ) i a) normalne b) paralelne su na pravu q : + = y+ = z 4. 7. Odrediti jednačinu ravni koja sadrži pravu p : + y + z =, z + = i sa ravni α : 4y 8z + = gradi ugao od π 4. 7. Odrediti medjusobni položaj pravih (i presečnu tačku ako postoji): a) p : = y = z q : = y, = z b) p : = y = z q : = y = z c) p : = y = z q : + = y = z+7 7. Odrediti zajedničku normalu i rastojanje izmedju mimoilaznih pravih p : 4 = y+ = z i q : 7 = y = z. 7.4 Odrediti rastojanje izmedju mimoilaznih pravih p : 6 = y 5 4 = z q : + 4 = y 4 = z 5 5. 7.5 Izračunati (koristeći digitron za arccos) ugao izmedju ravni α : + y z = i β : y + 4z + =. 7.6 Izračunati (koristeći digitron za arccos) ugao izmedju prave p : +y z =, z+ = i ravni α : 4y + z + =. 7
7.7 Odrediti jednačinu normale iz tačke A(,, ) na ravan α : + y 4z + 5 =. 7.8 Odrediti tačku Q koja je simetrična tački P (,, 4) u odnosu na ravan α : 6 + y z 75 = kao i projekciju P tačke P na ravan α. 7.9 Odrediti tačku Q koja je simetrična tački P (,, ) u odnosu na pravu l : kao i projekciju P tačke P na pravu l. = y 4 = z 4 7. Odrediti centralnu projekciju tačke P (,, ) na ravan z =, ako je centar projektovanja tačka O(,, ). 7. Odrediti λ tako da se prave p : koordinate presečne tačke? = y+4 5 = z i q : λ = y = z+5 seku. Koje su 7. Odrediti jednačinu prave koja sadrži tačku L(,, 7) i seče prave p : = y 4 q : z = y = z+. = z i 7. Ispitati da li prava p : = y 6 = z+ 4 seče trougao ABC, ako je A(, 4, 6), B( 4,, ), C(6, 4, ). U slučaju da seče odrediti koordinate presečne tačke. 7.4 Odrediti presek ravni α : y + z + 5 = i trougla ABC, ako je A(,, ), B(,, ), C(,, 5). 7.5 Odrediti presek ravni α : y + z = i trougla ABC, ako je A(,, ), B(,, ), C(,, ). 8 Poliedarske površi 8. a) Iz tabele povezanosti odrediti skup ivica. b) Nacrtati sliku. c) Proveriti da li ta tabela povezanosti zadaje apstraktnu poliedarsku površ. d) U slučaju potvrdnog odgovora pod c) proveriti da li je ta poliedarska površ povezana. e) Odrediti rub te površi i broj komponenata ruba. za sledeće tabele povezanosti: i) T = {T, T, T, T, T 4, T 5 }, P = {p, p, p, p }, p =,,, p =,, 4, 5, p =,,, p =,,. ii) T = {T, T, T, T, T 4, T 5, T 6, T 7, T 8, T 9, T }, P = {p, p, p, p, p 4 }, p =,, 7, 4, p =,, 6, 7, p =,, 5, 6, p =,, 4, 5, p 4 = 8, 9,. 8. a) Nacrtati poliedarski model Mebijusove trake i napisati mu tabelu povezanosti. b) Dokazati da je Mebijusova traka neorjentabilna. 8. Izvršiti uskladjivanje orjentacija pljosni kocke ABCDA B C D, ako je izabrana orjentacija pljosni p = A, B, C, D. 8.4 Data je poliedarska površ p =,, 4,, p =,, 5, 4, p =,,, 5, p = 6, 8, 5,, p 4 = 6,, 4, 7, p 5 = 4, 5, 8, 7, p 6 = 8, 7,,, p 7 =,, 7, 6, p 8 =, 6, 8,. a) Dokazati da je ona poliedar, tj. da nema rub. b) Izračunati njenu Ojlerovu karakterisku i broj rupa. 8.5 Odrediti Ojlerovu karakteristiku Mebijusove trake. 8
9 Zadaci za vežbu 9. Dat je kvadrat ABCD, čije je središte S. Ako je data baza e = ( e, e ), e = AS, e = AD, odrediti koordinate tačaka A, B, C, D, S u reperu Ae. 9. Odrediti zapreminu tetraedra čija su temena A(,, ), B(, 4, 6), C(,, ), D(,, ). (Rešenje: V = 6 [ AB, AC, AD] =.) 9. Odrediti formule homotetije sa centrom C(, ) i koeficijentom 5. U koju tačku se preslikava tačka X(, ) pri ovoj homotetiji. (Rešenje: Pošto je X = C, tačka X se slika u sebe, tj. X (, ). Proveriti.) 9.4 Odrediti podnožje normale iz tačke A(, ) na pravoj p : y 4 =. (Rešenje: tačka (, ).) 9.5 Odrediti presek pravih AB i CD, gde je A(, ), B(, 5), C(5, 7), D(, ). (Rešenje: tačka (, ).) 9.6 Dat je trougao ABC, A(, 5), B(5, ), C(9, ). Odrediti centar i poluprečnik kruga opisanog oko tog trougla, kao i jednačinu opisanog kruga. (Rešenje: r = 4, C(7, 7).) 9.7 Odrediti presek prave p : + y 8 = i kruga k : + y 6 6y + 4 =. (Rešenje: tačke (, 5) i (5, ).) 9.8 Date su tačke A (, 7), A (, ), A (, ). a) Odrediti Bezijerovu krivu stepena čije su to kontrolne tačke. b) Odrediti tačku M koja se dobija za t =. (Rešenje: M (, 5 ) ) 9.9 Svesti krive na kanonski oblik translacijom i odrediti o kojoj se krivoj radi: a) y 6y 6 =, b) + y 4 + 4y + 6 =. (Rešenje: parabola, tačka) 9. Odrediti jedančinu ravni koja sadrži pravu l : α : 4y + z + 5 =. = y+ = z i normalna je na ravan 9. Data je poliedarska površ p =,,, p = 5,,, p =,, 4, p =,,, p 4 =,, 4, p 5 =, 4, 5. a) Odrediti rub te poliedarske površi. Koliko on ima komponenata? b) Uraditi uskladjivanje orjentacija pljosni. Da li je površ orjentabilna? 9