PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET Ivan Dražić SFERNO SIMETRIČNO TRODIMENZIO- NALNO NESTACIONARNO GIBANJE MIKROPOLARNOG KOMPRESIBILNOG VISKOZNOG FLUID

PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET Ivan Dražić SFERNO SIMETRIČNO TRODIMENZIO- NALNO NESTACIONARNO GIBANJE MIKROPOLARNOG KOMPRESIBILNOG VISKOZNOG FLUIDA DOKTORSKI RAD Zagreb, 4.

FACULTY OF SCIENCE Ivan Dražić SPHERICALLY SYMMETRIC THREE- DIMENSIONAL NON-STATIONARY FLOW OF A MICROPOLAR COMPRESSIBLE VISCOUS FLUID DOCTORAL THESIS Zagreb, 4

PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET Ivan Dražić SFERNO SIMETRIČNO TRODIMENZIO- NALNO NESTACIONARNO GIBANJE MIKROPOLARNOG KOMPRESIBILNOG VISKOZNOG FLUIDA DOKTORSKI RAD Mentori: Prof. dr. sc. Nermina Mujaković Prof. dr. sc. Zvonimir Tutek Zagreb, 4.

FACULTY OF SCIENCE Ivan Dražić SPHERICALLY SYMMETRIC THREE- DIMENSIONAL NON-STATIONARY FLOW OF A MICROPOLAR COMPRESSIBLE VISCOUS FLUID DOCTORAL THESIS Supervisors: Professor Nermina Mujaković, PhD Professor Zvonimir Tutek, PhD Zagreb, 4

Temelj ove disertacije dugogodišnja je suradnja s prof. dr. sc. Nerminom Mujaković, započeta još na prvoj godini studija matematike kada me je svojim izvrsnim predavanjima usmjerila ka području matematičke analize. Neizmjerno sam joj zahvalan na tome što me je uočila i poticala, a kasnije i nesebično vodila kroz proces istraživanja vezan uz ovu disertaciju. Veliko hvala i mojem drugom mentoru, prof. dr. sc. Zvonimiru Tuteku na pomoći, korisnim savjetima i sugestijama. Zahvaljujem se kolegama i prijateljima na bezgraničnoj podršci i razumjevanju u trenucima kada je istraživanje na listi prioriteta bilo ispred njih. Posebno sam zahvalan mojim roditeljima matematičarima koji su me od ranog djetinjstva poticali na bavljenje matematikom i podržavali me u mojim idejama tijekom čitavog školovanja.

Sadržaj Uvod u problematiku istraživanja Pomoćni rezultati 4. Prostori funkcija.................................. 4. Slabe i jake konvergencije............................. 9.3 Pregled korištenih nejednakosti...........................4 Normalni sustav običnih diferencijalnih jednadžbi................ 3 3 Izvod modela 5 3. Zakoni očuvanja.................................. 5 3. Konstitutivne jednadžbe mikropolarnog fluida.................. 9 3.3 Postavka modela. Početni i rubni uvjeti...................... 3.4 Sferno simetrični model.............................. 3.5 Lagrangeova deskripcija............................. 4 4 Glavni rezultati 8 5 Dokaz egzistencije lokalnog rješenja 3 5. Aproksimativna rješenja.............................. 3 5. Svojstva aproksimativnih rješenja......................... 36 5.3 Apriorne ocjene.................................. 45 5.4 Dokaz Teorema 4................................. 5 6 Dokaz jedinstvenosti rješenja 6 6. Formiranje pomoćnog sustava jednadžbi..................... 6 6. Dokaz Teorema 4................................. 63 i

Sadržaj 7 Dokaz egzistencije globalnog rješenja 75 7. Neka svojstva rješenja............................... 76 7. Globalne apriorne ocjene i dokaz Teorema 4.3.................. 83 Bibliografija Sažetak 6 Summary 7 Životopis autora s popisom objavljenih znanstvenih radova 8 ii

Uvod u problematiku istraživanja Svaki materijal kruto tijelo, tekućina ili plin) koji se susreće u prirodi i tehnici sastoji se od malih čestica npr. molekula) odvojenih prazninama. Precizno matematičko modeliranje materijala, uzimajući u obzir praznine izme du čestica prilično je složeno. Zbog toga se promatra idealizirani model tzv. kontinuum) koji pretpostavlja da su čestice unutar materijala neprekidno distribuirane i ispunjavaju čitavo područje u kojem se nalaze, što omogućava da se materijal može rastaviti na infinitezimalno male dijelove koji zadržavaju svojstva materijala. Klasična mehanika kontinuuma promatra deformiranje i gibanje materijalnog tijela samo na makrorazini, dok zanemaruje mikrogibanja i mikrodeformacije svake pojedine čestice. U današnjoj znanosti proučavaju se tvari ili pak smjese tvari koje klasična mehanika kontinuuma ne može opisati na zadovoljavajući način, kao što su primjerice tekući kristali, krv, oblaci dima, i sl. Ono što je zajedničko navedenim materijalima je mikrostruktura koja se ne može zanemariti. Kontinuum sa mikrostrukturom, tj. kontinuum kod kojeg se promatraju gibanja i deformacije kako na makro, tako i na mikro razini zovemo mikrokontinuum. Teoriju mikrokontinuma razvio je sredinom šezdesetih godina prošlog stoljeća Ahmed Cemal Eringen [Eri64], [Eri66], [Eri99]). Kod klasičnog kontinuuma infinitezimalnoj materijalnoj čestici pridružena je njena prostorna pozicija u odre denom vremenskom trenutku. Kako bi opisao mikrodeformacije i mikrogibanja Eringen materijalnoj točki, čiji je položaj u euklidskom prostoru R 3 odre den nekim vektorom pridružuje novi vektor koji sadrži informacije o orijentaciji i deformaciji točke na mikrorazini, što za posljedicu ima uvo denje pojma mikrodeformacijskog tenzora koji se često naziva direktor. Eringenov direktor u najopćenitijem slučaju sadrži devet nezavisnih komponenti, tri za mikrorotaciju i šest za mikrodeformaciju. Ako u konstitutivne jednadžbe uvedemo svih devet komponenti bez ograničenja govorimo o mikromorfnom kontinuumu. Mikromorfni kontinuum je tako praktički univerzalan u opisivanju materijala, me dutim, zbog svoje složenosti, nema

praktičnu primjenu pa se proučavaju njegovi specijalni slučajevi. Jedan od najpoznatijih specijalnih slučajeva mikromorfnog kontinuuma je upravo mikropolaran kontinuum koji je i predmet razmatranja ovog rada. Kod mikropolarnog kontinuuma su direktori ortonormalni i kruti, odnosno ne dozvoljavaju se mikrodeformacije vec samo mikrorotacije čestica kontinuuma. U ovom se radu mikropolarni kontinuum promatra u vidu izotropnog kompresibilnog mikropolarnog fluida. Mikropolarni fluid ima široku primjenu primjerice kod modeliranja tekucih kristala, fluida sa magnetnim svojstvima, oblaka prašine, smoga ili pak nekih bioloških fluida. Matematička analiza modela mikropolarnih fluida počela se istraživati sedamdesetih godina prošlog stoljeća [GR77], [RRI83], [Sav73], [För7], [Sav76]). Teorija mikropolarnog fluida u inkompresibilnom slučaju relativno je dobro istražena i većina rezultata sistematizirana je u monografiji [Luk99]. Me dutim u kompresibilnom slučaju teorija mikropolarnog fluida tek se počela razvijati, posebice u slučaju modela koji uključuju temperaturu fluida. Do sada najviše rezultata ima u istraživanjima izentropnih, odnosno barotropnih modela [Zha3], [AH9], [DC9], [CP6] ). Konstitutivne jednadžbe izentropnog fluida ne sadrže temperaturu fluida već samo gustoću što jednadžbu koja opisuje temperaturu fluida čini nezavisnom od preostalih jednadžbi modela. U ovom radu promatra se politropni idealni fluid kod kojeg je temperatura sadržana u jednoj od konstitutivnih jednadžbi fluida, što dovodi do toga da se temperatura osim u jednadžbi koja opisuje zakon očuvanja energije, pojavljuje i u jednadžbi koja opisuje zakon očuvanja momenta te model postaje složeniji. Preciznije, predmet istraživanja ovog rada je model kompresibilnog, viskoznog i toplinski provodljivog mikropolarnog fluida koji je u termodinamičkom smislu idealan i politropan, a razvila ga je Nermina Mujaković [Muj98b]). U [Muj98b] je dokazana egzistencija generaliziranog rješenja modela s homogenim rubnim uvjetima za brzinu, mikrorotaciju i toplinski fluks lokalno u vremenu kao i jedinstvenost generaliziranog rješenja u jedodimenzionalnom slučaju. U [Muj98a] dokazana je egzistencija generaliziranog rješenja i globalno po vremenu. Za isti model razmatran je problem regularnosti rješenja [Muj]), stabilizacije [Muj5a]) kao i Cauchyijev problem [Muj5b],[Muj6], [Muj]). Tako der je razmatran i problem s nehomogenim rubnim uvjetima [Muj7], [Muj8]). S numeričkog stanovišta model je tretiran u radovima [MD7b] i [MD7a]. Različite probleme za opisani model fluida razmatraju i Chen, Qin, Wang i Hu [Min], [Che], [QWH]). Qin u [QWH] dokazima egzistencije pristupa metodom polugrupa te egzistenciju dokazuje za proizvoljne početne podatke. Svi spomenuti autori istražuju samo jednodimenzionalni slučaj. U trodimenzionalnom slučaju razmatra se samo kompresibilan izentropni fluid primjerice u [CP6] i [JZZD3]). Ovaj rad bavi se istim modelom koji je razmatran u [Muj98b], ali se ovdje istražuje trodimenzionalni model u sferno simetričnom slučaju. Sferno simetričan model klasičnog fluida razmatran je primjerice u [Hof9], [Jia96], [FYB95] i [Yan]. Navedeni radovi poslužili su kao temelj za razmatranje ovog nešto kompliciranijeg modela, koji kao razmatranu veličinu

uključuje i mikrorotaciju. Dokazu egzistencije u ovom radu pristupamo kao u [Muj98b] Faedo- Galerkinovom metodom. Glavni rezultati disertacije su sljedeći:. Izvod trodimenzionalnog sferno simetričnog modela viskoznog kompresibilnog termoprovodljivog mikropolarnog fluida koji je u termodinamičkom smislu idealan i politropan.. Dokaz Teorema egzistencije generaliziranog rješenja lokalno po vremenu za inicijalnorubni problem definiran s homogenim rubnim uvjetima za brzinu, mikrorotaciju i toplinski fluks, a koji opisuje nestacionarno gibanje razmatranog fluida izmedu dvije termički izolirane sferne stjenke. 3. Dokaz Teorema jedinstvenosti generaliziranog rješenja za opisani inicijalno-rubni problem. 4. Dokaz Teorema egzistencije generaliziranog rješenja globalno po vremenu, odnosno egzistencije rješenja na vremenskoj domeni [, T ], gdje je T > konačno i proizvoljno. Disertacija je struktuirana na sljedeći način: U drugom poglavlju opisuju se prostori funkcija koji će biti korišteni u radu te se daje pregled neophodnog matematičkog aparata. U trećem poglavlju izvodi se opisani model te se isti zapisuje u Lagrangeovoj deskripciji. U četvrtom poglavlju sistematiziraju se glavni rezultati: Teorem egzistencije lokalnog rješenja, Teorem jedinstvenost rješenja te Teorem egzistencije globalnog rješenja. Dokazi spomenutih teorema nalaze se u u petom, šestom i sedmom poglavlju. Prvi dio rezultata, odnosno izvod modela i Teorem egzistencije lokalnog rješenja, već je objavljen u [DM]. U trenutku predaje disertacije rad u kojem se dokazuje Teorem jedinstvenosti rješenja je prihvaćen za objavu u časopisu Boundary value problems, a rad u kojem se opisuje egzistencija globalnog rješenja nalazi se na recenziji u istom časopisu. 3

Pomoćni rezultati U ovom poglavlju navodimo neke rezultate iz realne i funkcionalne analize. Spominjemo one prostore funkcija i njihova svojstva koji se u radu koriste te znanja o egzistenciji rješenja iz teorije običnih diferencijalnih jednadžbi. Tako der navodimo više važnih nejednakosti koje koristimo u dokazima.. Prostori funkcija U daljnjem tekstu sa U ćemo označavati dovoljno regularan, otvoren i ograničen skup u euklidskom prostoru R n, pri čemu treba imati na umu da u našem radu koristimo specijalan slučaj skupa U kada je on zapravo interval ], [. Definicije prostora i njihova svojstva uglavnom preuzimamo iz [Eva98], [RR4], [CM] i [AF3]. Prostor realnih neprekidnih funkcija na skupu U označavat ćemo sa CU), a prostor realnih funkcija s neprekidnom k-tom derivacijom k [, ]) sa C k U). Prostori CU) i C k U) su Banachovi prostori sa normama i u CU) = max ux).) x U u C k U) = k i= max u i) x),.) x U gdje je U zatvarač skupa U. Prostor C k cu) sastoji se od svih funkcija iz C k U) sa kompaktnim nosačem u U. Prostor C c U) često se označava sa DU) i zove prostorom test funkcija. 4

.. Prostori funkcija Definicija.. Neka je u : U R Lebesque izmjeriva funkcija. Za funkciju u kažemo da pripada prostoru L p U), p [, [ ako je u L p U) = U p u p dx <,.3) a prostoru L U) ako je u L U) = ess sup U u <..4) Napomenimo da su prostori L p U) separabilni i refleksivni Banachovi prostori ako je p {, }. Prostor L U) je separabilan ali nije refleksivan, dok prostor L U) nije ni separabilan ni refleksivan. Prostor L U) kojeg u radu najćešće koristimo Hilbertov je prostor sa skalarnim umnoškom u, v := ux)vx)dx, u, v L U)..5) U U nastavku podrazumijevao da je norma bez oznake prostora, norma u prostoru L U). Vrijedi: Teorem.. Prostor C c U) = DU) je gust u L U). U cilju uvo denja prostora Soboljeva nužno nam je prvo navesti definiciju slabe derivacije. Definicija.. Neka su u, v L loc U) i α multiindeks. Kažemo da je v slaba derivacija od u reda α, pišemo D α u = v, ako je ud α ϕ = ) α vϕdx.6) U U za sve test funkcije ϕ DU). Definicija.3. Neka je funkcija u L p U) takva da za svaki multiindeks α, α m, m N postoji slaba derivacija D α u. Za funkciju u kažemo da pripada prostoru W m,p U), p [, [ ako je u W m,p U) = D α u p L p U) α m p <..7) Prostor W m, U) označava se s H m U). Prostore W m,p U) zovemo prostorima Soboljeva. Prostori Soboljeva su Banachovi. Za p su separabilni, a za p {, } refleksivni. Prostori H k U) su Hilbertovi. Potrebna su nam svojstva prostora H m U) navedena u sljedećem teoremu [AF3]). Teorem.. Za U R n vrijede ulaganja 5

.. Prostori funkcija i) H m U) H m U) za m m, ii) H m U) CU) za m > n, iii) H m U) C k U) za m k > n, iv) H m U) L U) za m n. Ulaganja ii)-iv) su i kompaktna. Koristimo i tzv. evolucijske prostore na koje se odnose sljedeće definicije. Definicija.4. Neka je X realni Banachov prostor sa normom te neka je u : [, T ] X jako izmjeriva funkcija. Za funkciju u kažemo da pripada prostoru L p, T ; X), p [, [ ako je u L p,t ;X) = T p ut) p dx <,.8) a prostoru L, T ; X) ako je u L,T ;X) = ess sup ut) <..9) t [,T ] Definicija.5. Neka je X realni Banachov prostor sa normom. Za funkciju u : [, T ] X kažemo da pripada prostoru C, T ; X) ako je u C,T ;X) = max ut) <..) t [,T ] Dakle, prostor C, T ; X) je prostor neprekidnih funkcija na [, T ]. Navedeni evolucijski prostori su Banachovi prostori s obzirom na navedene norme. Budući ćemo tražiti da naš razmatrani sustav diferencijalnih jednadžbi bude zadovoljen u smislu distribucija nužno je navesti neke osnovne pojmove iz teorije distribucija. Definicija.6. Dualni prostor prostora test funkcija zovemo prostorom distribucija i označavamo sa D U). Svaka realna lokalno integrabilna funkcija u L loc U) identificira se sa distribucijom T u na sljedeći način T u ϕ) := u, ϕ = U uϕdx..) Distribucije nastale identifikacijom s klasičnim funkcijama zovu se regularne distribucije. Kako bi mogli uvesti pojam vremenske derivacije funkcija iz prostora L p, T ; X) kojem će pripadati rješenje našeg problema, nužno je uvesti pojam vektorske distribucije. Definiciju i svojstva vektorskih distribucija preuzimamo iz [Trö] i [LM7]. ili izmjeriva u Bochnerovu smislu 6

.. Prostori funkcija Definicija.7. Neka je X Banachov prostor. Svako neprekidno linearno preslikavanje T : D ], T [) X zovemo vektorskom distribucijom na ], T [. Prostor vektorskih distribucija na ], T [ označavamo s D, T ; X). Način identificiranja funkcija iz prostora L p, T ; X) i vektorskih distribucija dan je u sljedećoj propoziciji. Propozicija.. Neka je u L loc, T ; X). Preslikavanje T u : D ], T [) X definirano sa je vektorska distribucija na ], T [. T u ϕ) := Definirajmo sada derivaciju vektorske distribucije. T ut)ϕt)dt.) Definicija.8. Neka je f D ], T [; X) i neka je m nenegativan cijeli broj. Preslikavanje ) d ϕ ) m m ϕ f, ϕ D ], T [).3) dt m zovemo distribucijskom derivacijom vektorske distribucije m-tog reda i označavamo sa dm f dt m. Primjetimo da je distribucijska derivacija vektorske distribucije tako der distribucija. Ako je X prostor funkcija varijable x, npr. X = L U) tada se vektorska distribucija u L loc, T ; X) identificira s funkcijom ux, t). Često se sa ut) označava funkcija x ux, t) za s.s. t. U tom se slučaju distribucijska derivacija du u identificira s parcijalnom derivacijom funkcije u iz dt t prostora D U ], T [). Sada možemo uvesti generalizaciju gornjih prostora. Definicija.9. Neka su X i Y realni Banachovi prostor sa normama X i Y te neka je u : [, T ] X jako izmjeriva funkcija. Za funkciju u kažemo da pripada Banachovu prostoru W m,p, T ; X, Y ) ako je u W m,p,t ;X,Y ) = T ut) p X + um) t) p Y p ) dt <..4) Prostor W m,p, T ; X, Y ) sastoji se od funkcija iz prostora L p, T ; X) čije su derivacije do uključujući reda m) u distribucijskom smislu u prostoru L p, T ; Y ). Često se koriste i sljedeće oznake: W m,p, T ; X, X) = W m,p, T ; X),.5) W m,, T ; X, Y ) = H m, T ; X, Y ),.6) W m,, T ; X) = H m, T ; X)..7) 7

.. Prostori funkcija Ako je X Hilbertov prostor, prostor H m, T ; X) je tako der Hilbertov sa skalarnim produktom definiranim s T u, v H m,t ;X) := Imamo sljedeći važan rezultat ut), vt) X + u m) t), v m) t) X Teorem.3. Vrijedi ulaganje ) H, T ; X, Y ) C, T ; [X, Y ] gdje je [X, Y ] interpolacijski prostor prostora X i Y indeksa. ) dt..8) U radu se susrećemo sa funkcijama iz prostora H, T ; H ], [), L ], [)) koje prema navedenom teoremu pripadaju i prostoru C, T ; [ H ], [), L ], [) ] ) = C, T ; H ], [) )..9) Navedimo sada nekoliko svojstava funkcionalnih prostora [Rek8]) koja će nam omogućiti razmatranje svojstava tragova funkcija. Teorem.4 Gelfandova trojka). Neka je V Banachov, a H Hilbertov prostor. Neka su V i H njihovi duali te neka je H identificiran sa svojim dualom H. Ako je V H vrijedi struktura tzv. Gelfandove trojke, tj. V H V.) pri čemu označava kanonsko ulaganje, odnosno preslikavanje v V v H. Nadalje, ako je ulaganje V H gusto, gusto je i ulaganje H V. Hilbertov prostor iz Gelfandove trojke često se naziva pivotni prostor. U radu koristimo sljedeće važno svojstvo Gelfandove trojke. Teorem.5. Vrijedi ulaganje gdje su V, H i V iz Teorema.4. H, T ; V, V ) C, T ; H).) Ovaj teorem opravdava uvo denje tragova u H. Napomenimo da je u radu važna primjena Greenove formule koju iskazujemo sljedećim teoremom. Teorem.6 Greenova formula). Neka su u, v H, T ; V, V ). Vrijedi T u t), vt) dt + T v t), ut) dt = ut ), vt ) u), v)..) 8

.. Slabe i jake konvergencije. Slabe i jake konvergencije Dokaz egzistencije generaliziranog rješenja problema kojeg ćemo razmatrati lokalno po vremenu temelji se na analizi niza aproksimativnih rješenja. Iz dobivenih uniformnih ocjena toga niza zaključujemo njegovu konvergenciju u nekom slabom ili jakom smislu u različitim prostorima funkcija. Stoga ovdje navodimo definicije slabe i jake konvergencije [Dob], [RR4]). Definicija.. Neka je X Banachov prostor. Prostor svih ome denih linearnih funkcionala na X zovemo dualnim prostorom prostora X i označavamo s X. Neka je X Banachov prostor, a X njegov dual. Promatramo dvije topologije na X: i) jaku topologiju generiranu normom i ii) slabu topologiju generiranu polunormama p f x) = fx), f X..3) Na prostoru X promatramo tzv. slabu* topologiju generiranu polunormama p x f) = fx), x X..4) Konvergencije u smislu slabe i slabe* topologije karakterizirane su sljedećim lemema: Lema.. Niz x n ) X konvergira u slaboj topologiji odnosno konvergira slabo) ka x X što označavamo s x n x) ako i samo ako vrijedi fx n ) fx), f X..5) Lema.. Niz f n ) X konvergira u slaboj* topologiji odnosno konvergira *slabo) ka f X što označavamo s f n f) ako i samo ako vrijedi f n x) fx), x X..6) Iz definicija slabe i slabe* topologije slijede sljedeća važna svojstva:. Svaki jako konvergentan niz je i slabo konvergentan.. Slabo konvergentan niz u X je i slabo* konvergentan u X. Obrat vrijedi ako je X refleksivan prostor. 3. Slabi* limes je jedinstven prema svojoj definiciji. Prema Hahn-Banachovu teoremu jedinstven je i slabi limes. Uniformne ocjene niza aproksimativnih rješenja našeg problema dovode do rezultata koji su posljedica sljedećih teorema. 9

.3. Pregled korištenih nejednakosti Teorem.7 Alaoglu). Neka je X separabilan Banachov prostor i neka je f n ) ome den niz u X. Tada f n ) ima slabo* konvergentan podniz u X. Teorem.8. Neka je X refleksivan Banachov prostor i neka je x n ) ome den niz u X. Tada x n ) ima slabo konvergentan podniz u X. Za dokaz egzistencije rješenja našeg lokalnog problema od velikog je značaja i Arzela- Ascolijev teorem za koji nam je potreban pojam ekvineprekidnosti niza funkcija. Definicija.. Neka je f m ) niz realnih funkcija definiranih na U R n te neka je x U. Niz f m ) zovemo ekvineprekidnim u x ako za svako ε > postoji δ >, neovisan o m, tako da za y U vrijedi y x R n < δ = f m y) f m x) < ε..7) Teorem.9 Arzela-Ascoli). Neka je f m ) niz realnih funkcija definiranih na kompaktnom podskupu S R n te neka je f m ) ekvineprekidan za sve x S. Ako postoji konstanta M takva da je f m x) M, za sve m N i za sve x S onda postoji podniz niza f m ) koji konvergira uniformno na S. Napomenimo da je uniformna konvergencija iz Arzela-Ascolijeva teorema ekvivalentna jakoj konvergenciji u prostoru CS)..3 Pregled korištenih nejednakosti Teorem. Jensenova nejednakost - diskretni oblik, [MPF93]). Neka je ϕ realna konveksna funkcija i neka su x i, i =,..., n iz domene funkcije ϕ, a a i, i =,...n pozitivne konstante težine). Tada vrijedi nejednakost n i= ϕ a ) ix i n i= a i n i= a iϕx i ) n i= a..8) i U ovom će radu od posebnog značaja biti slučaj diskretnog oblika Jensenove nejednakosti kada je ϕx) = x te a i =, i =,..., n, odnosno nejednakost n ) x i n i= n x i..9) Teorem. Jensenova nejednakost - integralni oblik, [MPF93]). Neka je ϕ realna konveksna funkcija te neka je ϕ : [a, b] R integrabilna funkcija. Tada vrijedi nejednakost ϕ b a fx)dx b a b a i= ϕ b a)fx)) dx..3)

.3. Pregled korištenih nejednakosti Teorem. Cauchy Schwarz, [MPF93]). Neka su x i y dva vektora u nekom unitarnom prostoru. Tada vrijedi nejednakost x y x y..3) Ovdje je od značaja sljedeći oblik Cauchy-Schwarzove nejednakosti b b b fx)gx)dx fx) dx gx) dx,.3) a a gdje su f i g kvadratno-integrabilne funkcije. Ako u ovu nejednakost uvrstimo da je gx) = dobijamo sljedeću nejednakost b a fx)dx b b a) a a fx) dx..33) Teorem.3 Hölder, [Eva98]). Neka su u L p U) i v L q U), pri čemu je p, q i p + q =. Tada vrijedi nejednakost uv dx u L p U) v L q U)..34) U Teorem.4 Gagliardo-Ladyzhenskaya, [LSU88]). Neka je dana funkcija u : U R koja zadovoljava jedno od sljedeća dva svojstva:. ux) W,p U),. ux) W,p U), ux)dx =, U za p. Neka je nadalje r, q [r, ]. Tada postoji pozitivna konstanta C neovisna o funkciji u) takva da vrijedi nejednakost pri čemu je u L q U) C u α α = L r U) u α L p U).35) r ) q p + )..36) r U radu smo koristili tvrdnju teorema za funkciju u iz prostora H ], [) uzimajući za p =, r = i q =, pa.35) postaje u C u u..37) Kada funkcija u zadovoljava neki od navedenih uvjeta dobivamo i nejednakost u C u u..38)

.3. Pregled korištenih nejednakosti Teorem.5 Friedrichs-Poincaré, [Rek8]). Neka funkcija u zadavoljava uvjete Teorema.4 za p =. Tada postoji pozitivna konstanta C takva da vrijedi nejednakost u C u..39) Ako i derivacija u funkcije u zadovoljava spomenute uvjete vrijedi u C u..4) Uvrštavanjem nejednakosti.39) u.37) odmah dobivamo i nejednakost u C u.4) koja tako der vrijedi za funkciju u koja zadovoljava uvjete Teorema.4. U radu koristimo sljedeću nejednakost Gronwall-Bellmanova tipa. Teorem.6 Gronwall-Čandirov, [Sev3], [AKM9]). Neka je y nenegativna funkcija definirana na intevalu [, T ] i neka vrijedi nejednakost yt) C + t [Aτ)yτ) + Bτ)] dτ,.4) gdje je C pozitivna konstanta, a A i B funkcije koje pripadaju prostoru L ], T [). Tada s.s. na [, T ] vrijedi nejednakost yt) exp t Aτ)dτ C + t Bτ) exp τ As)ds dτ..43) Teorem.7 Youngova nejednakost, [MPF93]). Neka je f neprekidna i rastuća funkcija na segmentu [, c], gdje je c >. Ako je f) =, a [, c] te b [, fc)] tada vrijedi nejednakost a fx)dx + Jednakost vrijedi ako i samo ako je b = fa). b f x)dx ab..44) Uzmemo li da je fx) = x p, p > dobivamo sljedeću posljedicu Youngove nejednakosti koja se u ovom radu vrlo često koristi. Korolar.. Neka su a, b, p >, p + q =. Tada vrijedi nejednakost p ap + q bq ab..45)

.4. Normalni sustav običnih diferencijalnih jednadžbi Posebno za p = q = imamo dok za a = εx i b = ε y dobivamo a + b ab,.46) p εp x p + q ε q y q ab..47) Koristit ćemo i sljedeću posljedicu nejednakosti.45) koju dobivamo ako uzmemo da je b = i koja glasi { gdje je C = max p, }, p >. p a C + a p ),.48).4 Normalni sustav običnih diferencijalnih jednadžbi Dokaz egzistencije rješenja našeg problema temelji se na činjenici da postoji rješenje normalnog sustava običnih diferencijalnih jednadžbi na nekom dovoljno malenom vremenskom intervalu. oblika Prema [AO8], [Arn9] i [Pet54] normalni sustav diferencijalnih jednadžbi prvog reda je u = g x, u,..., u n ) u = g x, u,..., u n )... u n = g n x, u,..., u n ).49) sa početnim uvjetima u x ) = u, u x ) = u,..., u n x ) = u n,.5) gdje su u,...u n : I R nepoznate funkcije, g,..., g n zadane funkcije na I E, E R n, te x I. Teorem egzistencije i jedinstvenosti rješenja opisanog sustava običnih diferencijalnih jednadžbi možemo formulirati na sljedeći način. Teorem.8 Cauchy-Picard). Neka je = { x, u,..., u n ) I E : x x a, u i u i b, i =,..., n } i neka su i) g,..., g n neprekidne funkcije na skupu, ii) g i x, u,..., u n ) M, i =,..., n, 3

.4. Normalni sustav običnih diferencijalnih jednadžbi iii) g i x, u,..., u n ) g i x, u,..., u n ) L u u + u n u n ), i =,..., n Lipschitzovo svojstvo) Tada na intervalu ]x h, x + h[, h = min{a, bm } postoji rješenje u x),..., u n x)), x ]x h, x + h[.5) problema.49)-.5) i ono je jedinstveno. Može se pokazati da je rješenje iz Cauchy-Picardova teorema klase C na području egzistencije. Tako der koristimo svojstvo maksimalnog rješenja diferencijalne jednadžbe preuzetog iz [AO8]. Promatramo početni problem y = fx, y), yx ) = y.5) pri čemu se pretpostavlja da je funkcija fx, y) neprekidna na domeni D R koja sadržava točku x, y ). Sa J ćemo označiti interval egzistencije ne nužno jedinstvenog) rješenja problema.5). Definicija.. Rješenje rx) problema.5) zove se maksimalno rješenje ako za proizvoljno rješenje yx) problema.5) vrijedi yx) rx) za svaki x J. Teorem.9. Neka je fx, y) neprekidna na domeni D tako da problem.5) ima rješenje na intervalu J te neka je rx) maksimalno rješenje problema.5). Tako der, neka je yx) rješenje diferencijalne nejednadžbe y x) fx, yx)).53) na intevalu J. Tada nejednakost yx ) y povlači nejednakost yx) rx) za sve x J. 4

3 Izvod modela 3. Zakoni očuvanja U mehanici kontinuuma fluid se poistovjećuje sa područjem Ω R 3, pri čemu je Ω proizvoljan otvoren i povezan skup. Predmet proučavanja mehanike kontinuuma su mjerljiva svojstva fluida, odnosno gustoća, brzina i temperatura te u slučaju mikropolarnog fluida dodatno i mikrorotacija. Sva navedena svojstva ispravno je promatrati kao srednje vrijednosti po infinitezimalno malim volumenima i ona su povezana skupom dinamičkih jednadžbi koje opisuju gibanje fluida, a koje nazivamo zakonima očuvanja [Chi9], [Gra7], [Luk99]). Zakoni očuvanja su:. zakon očuvanja mase,. zakon očuvanja momenta, 3. zakon očuvanja angularnog momenta te 4. zakon očuvanja energije. Zakon očuvanja mase Osnovna veličina koja se veže uz opisivanje stanja fluida je gustoća koja predstavlja masu po jedinici volumena. Sa stanovišta mehanike kontinuuma gustoća je skalarna nenegativna funkcija x, t) ρx, t), x Ω, t. Zakon očuvanja mase unutar područja Ω može se iskazati na sljedeći način d dt Ω ρdv = Ω ρv nds 3.) 5

3.. Zakoni očuvanja Vektorsko polje v u izrazu 3.) označava fluks polja ρ kroz rub područja Ω, odnosno polje brzina. Prema tome, jednadžba 3.) govori da je brzina promjene mase područja Ω jednaka protoku mase kroz rub područja Ω. Koristeći se teoremom o divergenciji, izraz 3.) može se napisati u obliku d ρdv = divρv)dv 3.) dt odakle slijedi tzv. lokalna forma zakona o očuvanju mase Ω dρ dt Jednakost 3.3) možemo zapisati i na sljedeći način gdje je Ω + divvρ) =. 3.3) ρ + ρ div v =, 3.4) ρ = dρ + v ρ 3.5) dt materijalna derivacija gustoće po vremenu. Jednadžbu 3.4) zovemo i jednadžbom kontinuiteta. Zakon očuvanja momenta Mehanika kontinuuma razlikuje dvije vrste sila - volumne i kontaktne. Djelovanje volumnih sila distribuira se na sve točke područja Ω, dok se djelovanje kontaktnih sila distribuira samo po rubu područja Ω. Kontaktne sile često se opisuju normalnim naprezanjem. Sa f ćemo označiti ukupnu volumnu silu koja djeluje na jedinicu mase, a s t n normalno naprezanje. Zakon očuvanja momenta dan je izrazom FdV = ρfdv + t n ds. 3.6) Ω Ω Ω gdje je F ukupna sila koja djeluje na fluid po jedinici volumena. Jednakost 3.6) govori da su sve sile koje djeluju na fluid u me dusobnoj ravnoteži, što se naziva i D Alambertov princip. U skladu s Cauchyjevim načelom, normalno naprezanje može se iskazati na sljedeći način t n x, t) = nx, t) Tx, t), 3.7) gdje je Tx, t) tenzor naprezanja, a nx, t) vanjska normala. Kako je F = ρ v uz primjenu teorema o divergenciji iz 3.6) i 3.7) dobivamo ρ vdv = ρfdv + div TdV. 3.8) Ω Ω Ω 6

3.. Zakoni očuvanja odakle slijedi lokalna forma zakona o očuvanju momenta ρ v = div T + ρf. 3.9) U radu pretpostavljamo da na fluid ne djeluju volumne sile, odnosno da je f =, pa u našem slučaju zakon očuvanja momenta postaje ρ v = div T. 3.) Zakon očuvanja angularnog momenta Zakon očuvanja momenta motivira i zakon očuvanja angularnog kinetičkog) momenta, znajući da se angularni moment definira kao djelovanje polja ρx v). Iz 3.6) tako dobivamo jednakost d dt Ω ρx v)dv = Ω ρx f)dv + Ω x t n ds. 3.) Me dutim, zakon 3.) vrijedi samo u slučaju klasičnog fluida, odnosno ako pretpostavimo da svi obrtni momenti dolaze zbog makroskopskih sila. U slučaju mikropolarnog fluida, uz volumnu silu f moramo uzeti u obzir i obrtni moment g, a uz normalno naprezanje i naprezanje sprega couple stress) c n. Ukupni angularni moment će se sada sastojati od ranije spomenutog angularnog momenta ρx v) i unutarnjeg angularnog momenta koji ćemo označiti s ρl, gdje je l unutarnji angularni moment. Zakon očuvanja 3.) sada možemo pisati u formi d ρl + x v)dv = ρg + x f)dv + c n + x t n )ds. 3.) dt Ω Analogno 3.7) za naprezanje sprega c n stavimo da vrijedi Ω Ω c n x, t) = nx, t) Cx, t), 3.3) gdje je Cx, t) tenzor naprezanja sprega, a nx, t) vanjska normala. Kako bi došli do lokalne forme zakona očuvanja angularnog momenta koristimo jednakost pri čemu je T x vektor s komponentama divx T) = x div T + T x, 3.4) T x ) i = ε ijk T jk, 3.5) gdje je ε ijk Levi-Civitin alternirajući simbol uz pretpostavku Einsteinove notacije sumiranja. Koristeći 3.5) te teorem o divergenciji, kao i kod 3.3) i 3.9) iz 3.) dobivamo lokalni oblik zakona očuvanja angularnog momenta ρ D Dt l + x v) = ρg + ρx f + div C + x div T + T x. 3.6) 7

3.. Zakoni očuvanja gdje diferencijalni operator D označava materijalnu derivaciju. Uvrštavanjem 3.9) u 3.6) Dt dolazimo do konačne forme zakona očuvanja angularnog momenta ρ l = div C + ρg + T x. 3.7) Kao i kod 3.7) te 3.3) unutarnji angularni moment l zapisati ćemo u obliku lx, t) = ωx, t) Ix, t), 3.8) gdje je Ix, t) mikroinercijski tenzor, a vektor ωx, t) predstavlja mikrorotaciju. U ovom radu pretpostavljamo da je fluid izotropan, odnosno da njegova svojstva ne ovise o smjeru zbog čega je mikroinercijski tenzor definiran izrazom I ik = j I δ ik, 3.9) gdje δ ik označava Kroneckerovu deltu, a j I > je konstanta koju zovemo mikrorotacijski koeficijent. Prema tome za izotropan mikropolaran fluid 3.8) postaje lx, t) = j I ωx, t). 3.) Kao što smo pretpostavili da na fluid ne djeluju volumne sile, pretpostavit ćemo da nema djelovanja ni vanjskog obrtnog momenta, tj. da je g =, pa iz 3.) i 3.7) dobivamo konačnu formu zakona očuvanja angularnog momenta ρj I ω = div C + T x. 3.) Zakon očuvanja energije Prema prvom zakonu termodinamike porast ukupne energije promatramo samo kinetičku i unutarnju energiju) unutar tijela jednak je sumi prenesene topline i rada koje tijelo učini. Prema tome vrijedi d dt Ω ) v ρ + j ω I + E dv = ρ ρv f + ρω g) dv Ω + t n vds + c n ωds q nds, 3.) Ω Ω Ω gdje q označava toplinski fluks, a E specifičnu unutarnju energiju. Prema prethodno navedenim zakonima očuvanja momenta i angularnog momenta iz 3.) zaključujemo da vrijedi ρė = div q + T : v + C : ω T x ω. 3.3) U 3.3) sa A : B označen je tzv. skalarni produkt tenzora A i B, odnosno A : B = tr A T B. 3.4) 8

3.. Konstitutivne jednadžbe mikropolarnog fluida 3. Konstitutivne jednadžbe mikropolarnog fluida Prema [Luk99] tenzori T i C, odnosno konstitutivne jednadžbe mikropolarnog fluida definirane su formulama: T = p + λ div v)i + µ sym v µ r skw v µ r ω skw, 3.5) C = c div ωi + c d sym ω c a skw ω, 3.6) gdje sym A označava simetrični dio tenzora A, odnosno a skw A antisimetrični dio tenzora A, tj. sym A = A + A T ), 3.7) skw A = ) A A T. 3.8) Tensor ω skw je antisimetrični tenzor vektora ω definiran sa ω skw ) ij = ε mij ω m. 3.9) uz iste oznake kao u 3.5). U 3.5) skalarno polje p označava tlak, I je jedinična matrica, a λ i µ su koeficijenti viskoznosti za koje vrijede nejednakosti µ, 3λ + µ. 3.3) Konstante µ r, c, c d i c a u izrazima 3.5) i 3.6) su koeficijenti mikroviskoznosti i za njih vrijede sljedeća svojstva µ r, c d, 3c + c d, c d c a c d + c a. 3.3) Tako der ćemo pretpostaviti da je fluid idealan i politropan, tj. da vrijedi p = Rρθ, 3.3) E = c v θ, 3.33) gdje je skalarno polje θ apsolutna temperatura, a R i c v su pozitivne konstante pri čemu konstantu c v nazivamo specifičnom toplinom. Uvažava se i Fourierov zakon q = k θ 3.34) pri čemu je k pozitivna konstanta koju zovemo toplinski konduktivitet. 9

3.3 Postavka modela. Početni i rubni uvjeti 3.3. Postavka modela. Početni i rubni uvjeti Uzimajući u obzir navedene zakone očuvanja 3.4), 3.), 3.) i 3.3) dobivamo sljedeći sustav jednadžbi ρ + ρ div v =, 3.35) ρ v = div T, 3.36) ρj I ω = div C + T x, 3.37) ρė = div q + T : v + C : ω T x ω, 3.38) sa svojstvima T = p + λ div v)i + µ sym v µ r skw v µ r ω skw, 3.39) C = c div ωi + c d sym ω c a skw ω, 3.4) p = Rρθ, 3.4) E = c v θ, 3.4) q = k θ. 3.43) Sustav 3.35)-3.43) ćemo razmatrati na području Q T = Ω ], T [ 3.44) gdje je T > proizvoljno, a Ω = {x R 3, a < x < b}, a >, 3.45) predstavlja domenu ome denu sa dvije koncentrične sfere radijusa a i b te rubom Ω = {x R 3, x = a ili x = b}. 3.46) Pretpostavljamo da vrijede sljedeći početni uvjeti ρx, ) = ρ x), 3.47) vx, ) = v x), 3.48) ωx, ) = ω x), 3.49) θx, ) = θ x), 3.5) za x Ω, te rubni uvjeti v Ω =, 3.5) ω Ω =, 3.5) θ n =, 3.53) Ω

3.4. Sferno simetrični model za < t < T, gdje je n vektor vanjske normale. Rubni uvjeti 3.5)-3.53) fizikalno definiraju tok fluida izme du dvije čvrste toplinski izolirane stijenke. Opisani model do sada je razmatran isključivo u jednodimenzionalnom slučaju, npr. u [Muj98b]. U ovom radu isti model se razmatra u trodimenzionalnom slučaju, ali uz pretpostavku da problem zadovoljava svojstvo sferne simetrije tj. da početne funkcije i traženo rješenje ovise samo o vremenskoj varijabli t i prostornoj varijabli r = x, x = x, x, x 3 ) R 3. 3.4 Sferno simetrični model U ovom poglavlju model 3.35)-3.43), 3.47)-3.53) prevodimo u sferno simetrični oblik. U skladu s time pretpostavimo najprije da su početni uvjeti 3.47) sferno simetrični, tj. da vrijedi ρ x) = ρ r), 3.54) v x) = x r v r), 3.55) ω x) = x r ω r), 3.56) θ x) = θ r). 3.57) Rješenje ρ, v, ω, θ) problema 3.35)-3.43), 3.47)-3.5) tražimo u obliku ρx, t) = ρr, t), 3.58) vx, t) = vr, t) x r, 3.59) ωx, t) = ωr, t) x r, 3.6) θx, t) = θr, t). 3.6) Uzimajući u obzir 3.58)-3.6), sustav 3.35)-3.43) očito će poprimiti jednostavniji oblik. Prvo ćemo transformirati jednakosti 3.39) i 3.4). Kako je lako se dokaže da vrijedi div x r = r 3.6) div v = r + v. 3.63) r Uzimajući u obzir da je vr, t) v i x, t) = x i, i =,, 3 3.64) r gdje su v i komponente vektorskog polja v, a x i komponente vektora x, dobivamo da je gradijent polja v oblika v = v r I + r r v ) x x, 3.65) r 3

3.4. Sferno simetrični model gdje je I jedinična matrica, a oznaka za tenzorski produkt vektora. Iz 3.65) lako se vidi da je v simetričan tenzor, odnosno da vrijedi Iz 3.9) zaključujemo da vrijedi v = v) T. 3.66) ω skw = ω r x skw. 3.67) Analogno formulama 3.63)-3.66) za vektorsko polje ω dobivamo da vrijedi div ω = ω r + ω, 3.68) r ω = ω r I + ω r r ω r 3 ) x x, 3.69) ω = ω) T. 3.7) Uvrštavanjem 3.63), 3.65), 3.66) i 3.67) u 3.39), te sre divanjem, tenzor T postaje ) T = p + λ r + v + µ v ) I + µ r r r r v ) ω x x µ r 3 r r x skw, 3.7) dok uvrštavanjem 3.68)-3.7) u 3.4) dobivamo ω C = c r + c ω r + c ω d r ) I + c d ω r r ω ) x x. 3.7) r 3 Sada ćemo u sferno simetričnom obliku zapisati i preostale jednadžbe sustava 3.35)-3.43). Za odre divanje divergencija tenzora T i C koristimo sljedeća svojstva: div I =, 3.73) divx x) = 4x, 3.74) div x skw =, 3.75) divϕu) = ϕ div U + U ϕ 3.76) gdje je ϕ proizvoljno skalarno, a U proizvoljno tenzorsko polje. Za divergenciju tenzora T dobivamo div T = p r + λ v r + r r v ) v + µ r r + r r v )) x r r. 3.77) Analogno, za divergenciju tenzora C slijedi ωr div C = c ω rr + c r ω ) + c r d ω rr + ω r r ω )) x r r. 3.78) Kako vektor T x, prema 3.5), ima oblik T x = T 3 T 3, T 3 T 3, T T ) 3.79)

3.4. Sferno simetrični model vidimo da on ne sadrži dijagonalne elemente tenzora T. Uzimajući u obzir da su prva dva sumanda u izrazu 3.7) simetrični tenzori, te uvrštavajući 3.7) u 3.79), zaključujemo da je ω T x = 4µ r x. 3.8) r Iz 3.65) i 3.7), kao i iz 3.69) i 3.7) za skalarne umnoške tenzora T i C respektivno sa gradijentima v i ω, dobivamo T : v = p + λ C : ω = dok iz 3.8) i 3.6) slijedi v r + v r c ω r + c ω ) + µ v r r + c d ) v r + v ) + µv r v r v ), 3.8) r r ω ) ω r + ω ) + c d ω r ω r ω ), 3.8) r r r T x ω = 4µ r ω. 3.83) Za materijalne derivacije funkcija ρ, v, ω i θ u sferno simetričnom obliku sada imamo ρ = ρ t + vρ r, 3.84) v = v t + vv r ) x r, 3.85) ω = ω t + vω r ) x r, 3.86) θ = θ t + vθ r. 3.87) Uvrštavanjem 3.63), 3.77), 3.78), 3.8)-3.87), u sustav 3.35)-3.43) i sre divanjem dobivenih jednadžbi, dolazimo do sljedećeg sustava jednadžbi ρ t + r vρ) + ρ r ρ t + v ) = R r r ρθ) + λ + µ) r ) ρj I ω t + v ω θ ρc v t + v θ r v =, 3.88) ), 3.89) r + v r = 4µ r ω + c + c d ) ω r r r + ω r ) θ = k r + ) ) θ Rρθ r r r + v r ) +λ + µ) r + v 4µ v r r r + v ) + r ) ω 4c d ω r r + ω ) + 4µ r ω. r ω c + c d ) r + ω r Početni uvjeti 3.47)-3.5) sada postaju ), 3.9) 3.9) ρr, ) = ρ r), 3.9) vr, ) = v r), 3.93) ωr, ) = ω r), 3.94) 3

3.5. Lagrangeova deskripcija za r ]a, b[, dok rubni uvjeti 3.5)-3.53) poprimaju oblik θr, ) = θ r), 3.95) va, t) = vb, t) =, 3.96) ωa, t) = ωb, t) =, 3.97) θ θ a, t) = r r b, t) =, 3.98) za t ], T [. Primjetimo da smo trodimenzionalni problem zadan na prostornoj domeni 3.45) preveli u jednodimenzionalni problem na domeni ]a, b[, gdje su a i b radijusi rubnih sfera iz 3.46). 3.5 Lagrangeova deskripcija U prethodnom poglavlju sve su veličine gustoća, brzina, mikrorotacija i temperatura) dane u tzv. Eulerovoj deskripciji, tj. one su opisane kao funkcije vremenske koordinate t i prostorne koordinate r [a, b], pri čemu r predstavlja poziciju materijalne točke u trenutku t. Prateći ideje iz [AKM9], [Jia96] i [CK], u cilju dobivanja jednostavnijih jednadžbi, problem 3.88)-3.98) prevodimo iz Eulerove deskripcije u tzv. Lagrangeovu deskripciju. U Lagrageovoj deskripciji sve su veličine opisane kao funkcije vremenske koordinate t i prostorne koordinate ξ [a, b], gdje je ξ početna pozicija razmatrane materijalne točke. Eulerove koordinate r, t) i Lagrangeove koordinate ξ, t) povezane su relacijom t rξ, t) = r ξ) + ṽξ, t)dτ 3.99) gdje je ṽξ, t) := vrξ, t), t) i r ξ) = rξ, ). Neka je funkcija η definirana sa ηξ) = ξ a ρ s)s ds. 3.) Primjetimo da će inverz η postojati ako je ρ s) > za sve s [a, b]. Navedeno svojstvo funkcije ρ bit će kasnije navedeno kao pretpostavka teorema egzistencije. Korištenjem jednadžbe 3.88) i relacije 3.99) dobivamo da vrijedi pa integriranjem preko [, t] slijedi rξ,t) t rξ,t) a ρs)s ds = ρs)s ds = 3.) ξ ρ s)s ds = ηξ). 3.) a a 4

3.5. Lagrangeova deskripcija Označimo nadalje ηb) = L. 3.3) Budući je ηa) = problem je sada definiran na prostornoj domeni [, L]. Kako bi dodatno pojednostavili problem uvest ćemo koordinatu x, x sa x = L ηξ) 3.4) i definirati nove funkcije ρx, t), vx, t), ωx, t) i θx, t) preko funkcija ρξ, t), ṽξ, t), ωξ, t) i θξ, t) zadanim u Lagrangeovim koordinatama na sljedeći način: ρx, t) = ρ η xl), t ), 3.5) vx, t) = ṽ η xl), t ), 3.6) ωx, t) = ω η xl), t ), 3.7) θx, t) = θ η xl), t ), 3.8) Pomoću funkcije r zadane sa 3.99) dobivamo funkciju rx, t) = r η xl), t ). 3.9) Početne funkcije sada postaju ρ x) = ρ η xl) ), 3.) v x) = v η xl) ), 3.) ω x) = ω η xl) ), 3.) θ x) = θ η xl) ), 3.3) r x) = r η xl) ) = η xl). 3.4) Sada ćemo sustav 3.88)-3.9) iskazati u novom koordinatnom sustavu. Primijetimo da vrijede jednakosti rx, t) = L ρx, t)r x, t), 3.5) fx, t) fx, t) fr, t) fr, t) = + vr, t), t t r 3.6) fr, t) rx, t) L fr, t) = = r ρx, t)r x, t) r 3.7) iz kojih odmah dobivamo ρ t = L ρ r v ) 3.8) što predstavlja jednadžbu 3.88) u novim koordinatama x i t. u nastavu s f označavamo proizvoljnu funkciju, u našem slučaju ρ, v, ω ili θ. 5

3.5. Lagrangeova deskripcija Kako bi jednadžbe 3.89) i 3.9) iskazali u novoj koordinati koristimo sljedeće jednakosti pa dobivamo i r + v r = L ρ r v ), 3.9) ω r + ω r = L ρ r ω ). 3.) t = r R λ + µ ρθ + ρ r v )) 3.) L L ω t = 4µ r ω j I ρ + c + c d r ρ r ω )). 3.) L Jednadžbu 3.9) transformiramo korištenjem jedakosti v r r + v ) = r L ρ ) rv, 3.3) ω ω r r + ω ) = r L ρ ) rω, 3.4) θ r + θ r r = L ρ r 4 ρ θ ) 3.5) te dobivamo model u Lagrangeovoj deskripciji: ρ θ t = k c v L ρ t = R L r ρ ω t = 4µ r j I r 4 ρ θ ) 4µ c v L ρ ) rv + c + c d c v L ρ t = L ρ r v ), 3.6) λ + µ ρθ) + r L ω + c + c d r ρ j I L ρ r v )), 3.7) ρ r ω )), 3.8) R c v L ρ θ r v ) + λ + µ [ ρ r v )] c v L [ ρ r ω )] 4c d c v L ρ ) rω + 4µ r ω, c v 3.9) ρx, ) = ρ x), 3.3) vx, ) = v x), 3.3) ωx, ) = ω x), 3.3) θx, ) = θ x), 3.33) v, t) = v, t) =, 3.34) ω, t) = ω, t) =, 3.35) θ θ, t) =, t) =, 3.36) 6

3.5. Lagrangeova deskripcija za x ], [, t ], T [, T >. Primjetimo još da vrijedi rx, t) = r x) + t vx, τ)dτ, x, t) ], [ [, T [ 3.37) te je rx, t) = vx, t), 3.38) t pa uzevši da je t = i integrirajući preko ], x[ dobivamo r x) = a 3 + 3L gdje je a > polumjer manje rubne sfere iz 3.46). x ρ y) dy 3, x ], [, 3.39) 7

4 Glavni rezultati Glavni cilj ovog rada je istražiti egzistenciju i jedinstvenost generaliziranog rješenja problema 3.6)-3.36), pri čemu se egzistencija promatra lokalno i globalno po vremenu. Generalizirano rješenje uvodimo sljedećom definicijom. Definicija 4.. Generalizirano rješenje problema 3.6)-3.36) na području Q T =], [ ], T [, T > je funkcija x, t) ρ, v, ω, θ)x, t), x, t) Q T, 4.) gdje je ρ L, T ; H ], [)) H Q T ), inf Q T ρ >, 4.) v, ω, θ L, T ; H ], [)) H Q T ) L, T ; H ], [)), 4.3) koja zadovoljava jednadžbe 3.6)-3.9) skoro svuda na Q T smislu tragova. te uvjete 3.3)-3.36) u Prema teoremima ulaganja i interpolacije funkcijskih prostora iz 4.) i 4.3) zaključujemo da će za funkcije ρ, v, ω i θ vrijediti sljedeća svojstva: ρ L, T ; C[, ])) C, T ; L ], [)), 4.4) v, ω, θ L, T ; C ) [, ])) C, T ; H ], [)), 4.5) v, ω, θ CQ T ). 4.6) Temeljem navedenih svojstava zaključujemo da je rješenje iz Definicije 4. ujedno i jako rješenje opisanog problema. 8

Pretpostavljamo da su početna gustoća i početna temperatura iz prostora H ], [). Za početnu gustuću i početnu temperaturu pretpostavljamo i da su ograničene odozdo, odnosno da vrijedi ρ x) m, θ x) m for x ], [, 4.7) gdje je m R +. Za funkcije v i ω zahtjevamo pripadnost prostoru H ], [). Kako je prostor H ], [) uložen u prostor C[, ]) zaključujemo da postoji konstanta M R + tako da vrijedi ρ x), v x), ω x), θ x) M, x [, ]. 4.8) Primijetimo sada da funkcija r definirana s 3.39) pripada prostoru H ], [), a kako je prostor H ], [) uložen u prostor C ) [, ]) imamo da je r C ) [, ]), 4.9) i zaključujemo da vrijedi < a r x) M, 4.) < a r x) M, x [, ], 4.) gdje su a = LM 3 i M = Lma ), dok je konstanta a polumjer manje sfere u postavljenoj domeni na početku rada. Kao što smo u uvodu naveli, glavni rezultati ovog rada iskazani su kroz tri teorema pri, čemu prvi teorem govori o egzistenciji generaliziranog rješenja lokalno po vremenu, drugi teorem odnosi se na jedinstvenost tog rješenja, dok u u trećem teoremu dokazujemo egzistenciju generaliziranog rješenja globalno po vremenu. Teorem 4.. Neka funkcije ρ, θ H ], [) 4.) zadovoljavaju uvjete 4.7) te neka je v, ω H ], [). 4.3) Tada postoji T, < T T, takav da problem 3.6)-3.36) ima generalizirano rješenje na području Q = Q T, sa svojstvom Tako der, za funkciju r vrijedi θ > na Q. 4.4) r L, T ; H ], [)) H Q ) CQ ), 4.5) a r M na Q. 4.6) Teorem 4.. Neka početne funkcije ρ, v, ω θ zadovoljavaju uvjete iz prethodnog teorema. Tada problem 3.6)-3.36) na području Q T ima najviše jedno generalizirano rješenje ρ, v, ω, θ) sa svojstvom θ > in Q T. 4.7) 9

Bitno je napomenuti da dokaz Teorema 4. ne ovisi o veličini intervala vremenske varijable zbog čega se u iskazu ovog teorema uzima da je T = T. Teorem 4.3. Neka početne funkcije ρ, v, ω i θ zadovoljavaju uvjete iz Teorema 4.. Tada za svako T R + postoji generalizirano rješenje problema 3.6)-3.36) na području Q T sa svojstvom θ > na Q T. 4.8) 3

5 Dokaz egzistencije lokalnog rješenja U ovom poglavlju dokazujemo lokalnu egzistenciju generaliziranog rješenja problema 3.6)- 3.36), odnosno dokazujemo Teorem 4.. Dokaz teorema baziran je na Faedo-Galerkinovoj metodi. Najprije za svako n N definiramo aproksimativni problem, a potom konstruiramo niz aproksimativnih rješenjate za koji izvodimo apriorne ocjene uniformne po n. Do tih apriornih ocjena dolazimo koristeći se tehnikom Kazhikova [AKM9] koju je za problem mikropolarnog fluida prilagodila Mujaković u [Muj98b]. Pomoću dobivenih ocjena i teorije slabo kompaktnih nizova formiramo slabo konvergentan podniz aproksimativnih rješenja u različitim prostorima funkcija i dokazujemo da je limes tog podniza rješenje problema 3.6)-3.36) na ], [ ], T [ za dovoljno maleno T, < T T. Na kraju provjeravamo zadovoljava li dobiveni limes sve tvrdnje Teorema 4.. 5. Aproksimativna rješenja Namjera nam je naći lokalno generalizirano rješenje problema 3.6)-3.36) kao limes aproksimativnih rješenja čija će konstrukcija biti objašnjena u nastavku. Najprije uvodimo aproksimacije v n i r n funkcija v i r sa ρ n, v n, ω n, θ n ), n N, 5.) v n x, t) = n vi n t) sinπix), 5.) i= t r n x, t) = r x) + v n x, τ)dτ, 5.3) 3

5.. Aproksimativna rješenja gdje je r x) definiran sa 3.39) a v n i, i =,,..., n su nepoznate dovoljno glatke funkcije definirane na nekom intervalu [, T n ], T n T. Funkcija ρ n definirana je kao rješenje problema Slično kao u [Muj98b] funkcija ρ n može se pisati u obliku ρ n t + L ρ n ) r n ) v n) =, 5.4) ρ n x, t) = ρ n x, ) = ρ x). 5.5) Lρ x) L + ρ x) t r n ) v n dτ. 5.6) Zbog glatkoće funkcija r n i v n dobivamo da je funkcija ρ n neprekidna na pravokutniku [, ] [, T n ] te vrijedi ρ n x, ) = ρ x) m >. 5.7) Sada možemo zaključiti da postoji takav T n, < T n T tako da je za x, t) [, ] [, T n ]. ρ n x, t) >, 5.8) Na sličan način uvesti ćemo aproksimacije funkcija ω i θ koje označavamo sa ω n i θ n, respektivno ω n x, t) = θ n x, t) = n ωj n t) sinπjx), 5.9) j= n θk n t) cosπkx), 5.) k= gdje su ω n j i θ n k ponovno nepoznate dovoljno glatke funkcije definirane na intervalu [, T n], T n T. Iz konstrukcije aproksimativnih funkcija jasno je da vrijede rubni uvjeti za t ], T n [. v n, t) = v n, t) =, 5.) ω n, t) = ω n, t) =, 5.) θ n θn, t) =, t) =, 5.3) U skladu sa Faedo-Galerkinovom metodom promatramo sljedeće aproksimativne uvjete: λ + µ r n ) ρ n L [ n t + R L rn ) ρn θ n ) r n ) v n))] sinπix)dx =, 5.4) 3

5.. Aproksimativna rješenja c + c d r n ) ρ n j I L [ ω n t + 4µ r j I ω n ρ n r n ) ω n))] sinπjx)dx =, 5.5) [ θ n t k c v L λ + µ [ c v L ρn c + c d ρ n c v L ) r n ) 4 ρ n θn + R c v L ρn θ n r n ) v n) r n ) v n)] + 4µ r n v n ) ) c v L r n ω n ) ) c v L ] cosπkx)dx = [ r n ) ω n)] + 4c d 4µ r ω n ) c v ρ n 5.6) za i, j =,..., n, k =,,..., n. Nadalje definiramo v n, ω n i θ n sa v n x) = n v i sinπix), 5.7) i= ω n x) = θ n x) = n ω j sinπjx), 5.8) j= n θ k cosπkx), 5.9) k= pri čemu su v i, ω j i θ k Fourierovi koeficijenti u razvoju funkcija v, ω i θ, pa vrijedi θ = v i = ω j = θ x)dx, θ k = Početne uvjete za v n, ω n i θ n uzimamo u obliku v x) sinπix)dx, i =,..., n, 5.) ω x) sinπjx)dx, j =,..., n, 5.) θ x) cosπkx)dx, k =,..., n. 5.) v n x, ) = v n x), 5.3) ω n x, ) = ω n x), 5.4) 33

5.. Aproksimativna rješenja θ n x, ) = θ n x). 5.5) Definirajmo funkcije zm, n λ n pq µ n slg sa t zmt) n = vmτ)dτ, n m =,..., n, 5.6) t λ n pqt) = zp n τ)vq n τ)dτ, p, q =,..., n, 5.7) t µ n slgt) = zl n τ)zs n τ)vg n τ)dτ, s, l, g =,..., n. 5.8) Imamo n r n x, t) = r x) + zmt) n sinπmx), 5.9) m= [ [ ρ n n x, t) = Lρ x) L + ρ r x) zi n t) sinπix) i= n +r o x) λ n ijt) sinπix) sinπjx) i,j= n + µ n ijkt) sinπix) sinπjx) sinπkx)]], i,j,k= 5.3) gdje su r x) i ρ x) poznate funkcije. Uzevši u obzir 5.), 5.9), 5.), 5.6)-5.3), iz 5.4)-5.6) proizlazi za {vi n, ωj n, θk n, zm, n λ n pq, µ n slg) : i, j, m, p, q, s, l, g =,..., n, k =,,..., n} 5.3) sljedeći Cauchyjev problem: v i n t) = φ n i v n,...vn, n ω n,..., ωn, n θ n, θ n,..., θn, n z n,..., zn, n λ n,..., λ n nn, µ n,..., µ n nnn), 5.3) ω j n t) = Ψ n j v n,...vn, n ω n,..., ωn, n θ n, θ n,..., θn, n z n,..., zn, n λ n,..., λ n nn, µ n,..., µ n nnn), 5.33) θ k n t) = λ k Π n kv n,...vn, n ω n,..., ωn, n θ n, θ n,..., θn, n z n,..., zn, n λ n,..., λ n nn, µ n,..., µ n nnn), 5.34) żmt) n = vm, n 5.35) λ n pqt) = zp n vq n, 5.36) µ n slgt) = zs n zl n vg n, 5.37) vi n ) = v i, ωj n ) = ω j, θk n ) = θ k, 5.38) zm) n =, λ n pq) =, µ n slg) =. 5.39) 34

5.. Aproksimativna rješenja Ovdje je λ =, λ k = za k =,,..., n i Φ n i = [ λ + µ L r n ) ρ n r n ) v n)) R L rn ) ] ρn θ n ) sinπix)dx, 5.4) Ψ n j = [ c + c d j I L r n ) ρ n r n ) ω n)) 4µ ] r ω n sinπjx)dx, 5.4) j I ρ n Π n k = [ k c v L + c [ + c d ρ n r n ) ω n)] 4c d c v L c v L ) r n ) 4 ρ n θn R c v L ρn θ n r n ) v n) + λ + µ [ c v L ρn r n ) v n)] 4µ c v L r n ω n ) ) + 4µ r ω n ) c v ρ n r n v n ) ) ] cosπkx)dx. 5.4) Primijetimo da funkcije sa desnih strana diferencijalnih jednadžbi 5.3)-5.37) zadovoljavaju uvjete Cauchy-Picardova teorema, pa lako možemo zaključiti da vrijedi sljedeća lema. Lema 5.. Za svako n N postoji takav T n, < T n T, tako da Cauchyjev problem 5.3)-5.39) ima jedinstveno rješenje definirano na [, T n ]. Funkcije v n, ω n i θ n definirane izrazima 5.), 5.9) i 5.) pripadaju prostoru C Q n ), Q n =], [ ], T n [ i zadovoljavaju uvjete 5.3)-5.5). Iz izraza 5.9) i 5.3) lako se može zaključiti da je ρ n C Q n ), 5.43) i r n C ) Q n ). 5.44) Tako der, za te funkcije dobivamo i sljedeće ocjene. Lema 5.. Postoji takav T n, < T n T tako da na domeni Q n funkcije ρ n, r n i rn zadovoljavaju uvjete m ρn x, t) M, 5.45) a rn x, t) M, 5.46) a rn x, t) M. 5.47) Konstante m, a, a, M i M uvedene su izrazima 3.39), 4.7), 4.8), 4.) i 4.). 35