MATEMATIČKA ANALIZA I primjeri i zadaci Ante Mimica 8. siječnja 2010.

MATEMATIČKA ANALIZA I primjeri i zadaci Ante Mimica 8 siječnja 00

Sadržaj Funkcije 5 Nizovi 7 3 Infimum i supremum 9 4 Neprekidnost i es 39 3

4 SADRZ AJ

Funkcije 5

6 FUNKCIJE

Nizovi Definicija Niz je funkcija Oznake: (a n ) ili {a n } a: N R Zadatak Napišite prvih nekoliko članova nizova zadanih općim članom: a n = n (b) a n = ( ) n (c) a n = n Zadatak Odredite opće članove nizova:, 3, 5, 7, 9, ; (b), 3, 7, 5, 3, ; (c), 5 4, 5 4, 7 6, 3 6, 37 64, Rješenje (b) a n = n ; (c) Niz je zapravo, 5 4, 0 8, 7 6, 6 3, pa je a n = n + n Primjer (Gaussova dosjetka) Sumu S n = + + + n možemo izračunati na sljedeći način Zbrajanjem sljedeća dva retka dobijemo odakle je S n = n(n+) S n = + + + (n ) + n S n = n + (n ) + + + S n = (n + ) + (n + ) + + (n + ) + (n + ) = n(n + ), }{{} n sumanada 7

8 NIZOVI Primjer Aritmetički niz s prvim članom a i razlikom d je niz (a n ) zadan općim članom: a n = a + (n )d, n N Svojstva: a n+ a n = d a n = a n +a n+, n (zbog čega se i zove aritmetički niz) S n := a + a + + a n = n i= a i = n (a + a n ), jer je S n = a + (a + d) + + (a n + (n )d) = n a + ( + + + (n )) = n a + = n (a + a n ) (n )n = n (a + a + (n )d) (b) Geometrijski niz s prvim članom a i kvocijentom q je niz (a n ) zadan općim članom: a n = a q n, n N Svojstva: a n+ a n = q a n = a n a n+, n (zbog čega se i zove geometrijski niz) S n := a + a + + a n = n i= a i = a q n q slijedi iz formule a n b n = (a b)(a n + a n b + + ab n + b n ) (koja se lako provjeri) za a = i b = q Zadatak 3 Izračunajte: + 4 + 7 + + (3n + ) (b) 5 + 4 5 + ( 5 ) n Rješenje (c) + 4 + 9 + + n (c) Primijetimo da je (k + ) 3 k 3 = 3k + 3k + pa sumiranjem po k =,,, n dobijemo odakle je (n + ) 3 = 3( + + 3 + + n ) + 3( + + + n) + n, + + 3 + + n = 3 ((n + n(n + ) )3 3 n) = n(n + )(n + ) 6

NIZOVI 9 Napomena Sume možete računati i koristeći WolframMathematica TM (pogledajte takoder i WolframAlpha TM ) In[]:= Sum[k^, {k,, n}] Out[]= /6 n ( + n) ( + n) Definicija Niz (a n ) je rastući ako vrijedi Niz (a n ) je strogo rastući ako vrijedi a n a n+, n N a n < a n+, n N Analogno definiramo padajući i strogo padajući niz Zadatak 4 Ispitajte monotonost sljedećih nizova: a n = n n (b) a n = n (c) a n = n (d) a n = n + n (e) a n = n n +9 (g) a n = n + 3n +n (f) a n = arctg n +n Napomena Nacrtajmo prvih 0 članova niza a n = n + 3n + n u WolframMathematicaTM : In[]:= niz = Table[(n^ + )/(3 n^ + n), {n,, 0}] Out[]= {/, 5/4, /3, 7/5, 3/40, 37/4, 5/77, 3/40, 4/6, 0/30, 6/87, 45/444, 7/5, 97/60, 3/345, 57/784, 45/44, 65/98, 8/55, 40/0} In[]:= ListPlot[niz] Out[]= 0334 033 0330 038 5 0 5 0

0 NIZOVI Definicija Niz (a n ) je odozgo omeden ako postoji M R takav da je a n M, n N Niz (a n ) je odozdo omeden ako postoji m R takav da je a n m, n N Zadatak 5 Ispitajte omedenost nizova a n = n n (b) a n = n Rješenje (b) Niz (a n ) nije odozgo omeden Matematičkom indukcijom se može pokazati da je n > n, n N (Drugi način da se pokaže gornja nejednakost je koristeći binomni teorem: n ( ) n (a + b) n = a k b n k, k gdje je Za a = b = dobijemo ( ) n = k n! k!(n k)! n = ( + ) n = k=0 i n! = n (n ) 3 n k=0 ( ) n > k ( ) n = n) Iz Arhimedovog aksioma slijedi da za svaki M > 0 možemo pronaći n 0 N takav da je n 0 > M pa je a n0 = n 0 > n 0 > M, odakle vidimo da je niz neomeden Definicija Niz (a n ) konvergira k L R ako ( ε > 0)( n 0 N) takav da je a n L < ε, n n 0 Može se pokazati da je broj L R jedinstven i zovemo ga es niza (a n ) ze označavamo s a n ili a n U tom slučaju kažemo da niz (a n ) konvergentan Zadatak 6 Neka je (a n ) niz Dokažite da je a n = 0 a n = 0

NIZOVI Rješenje Neka je ε > 0 Tada postoji n 0 N zakav da je a n 0 < ε, za n n 0 Drugačije zapisano, a n 0 = a n = a n 0 < ε, za n n 0 Dakle, a n = 0 Analogno Zadatak 7 Neka je (a n ) niz takav da je a n = 0 i neka je c R Po definiciji dokažite da je i (c a n ) konvergentan niz i da je (c a n) = 0 Rješenje Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je c 0 Neka je ε > 0 Tada postoji n 0 N takav da je pa je odakle slijedi tvrdnja Zadatak 8 Dokažite po definiciji da je a n < ε c, za n n 0 c a n = c a n < c ε c = ε, za n n 0, n = 0 Rješenje Neka je ε > 0 Tada po Arhimedovom aksiomu postoji n 0 N takav da je n 0 ε > (alternativno, uzmemo n 0 := ε + > ε ) Za n n 0 je n 0 = n n 0 < ( ε ) = ε Napomena Slično kao u prethodnom zadatku se može pokazati da je za p > 0 n p = 0 (Primijetite da je po definiciji npr n = e lnn ) Napomena Na predavanju je pokazano da za konvergentne nizove (a n ) i (b n ) i λ, µ R vrijedi:

NIZOVI (λa n + µb n ) je konvergentan i (a n b n ) je konvergentan i (λa n + µb n ) = λ a n + µ b n (a n b n ) = a n b n ako je b n 0, onda je i ( an b n ) konvergentan i Zadatak 9 Izračunajte ese: a n = a n b n b n (d) (g) 5n 3n + (n + ) 3 (n + n + ) n 7 50n + 5 + 4 + 9 + + n n 3 (b) (e) 3n n + n 3 n + + 4 + + n + 3 + + n + (c) (f) (n ) 3 n 3 n + (n (n )5 (n + ) 4 ) Napomena U WolframMathematica TM : In[]:= Limit[n - (n - )^5/(n + )^4, n -> Infinity] Out[]= 9 Na predavanju je dokazan sljedeći Teorem (Teorem o sendviču) Neka su (a n ), (b n ) i (c n ) nizovi takvi da postoji m N takav da je a n b n c n, n m Ako (a n ) i (c n ) konvergiraju prema istom realnom broju L R, onda je i (b n ) konvergentan s istim esom L: b n = L Zadatak 0 Izračunajte sin n n (b) ( ) n arctg n (c) n 3 5n cos n + 8n n 3 +

NIZOVI 3 Rješenje (b) Dovoljno je dokazati da je ( ) n arctg n n 3 = 0, što slijedi po teoremu o sendviču Zadatak Neka je q, Dokažite da je qn = 0 Rješenje Ako je q = 0, onda je q n = 0 pa tvrdnja vrijedi Zbog Zad 6 je dovoljno dokazati da je q n = q n = 0 pa možemo pretpostaviti da je q 0, Tada je > pa je po binomnom teoremu q odakle dobijemo Po teoremu o sendviču je ( ) n = ( + ( q ) n q ) n ( ) ( ) k n = k q k=0 }{{} >0 0 q n q n ( ) n q, 0, kada n + qn = 0 Zadatak Izračunajte: n n (b) n + 3 n 3 n + 6 n (c) + 3 n n + ( 7) n Zadatak 3 Izračunajte: (c) ( 3 + 4 9 8 ) 7 + + ( )nn 3 n }{{} n korijena (b) + 5 n 5 + 5 + 5 + + 5 n

4 NIZOVI Zadatak 4 Dokažite da je n n = (b) n a =, a > 0 Rješenje Zbog monotonosti funkcije x n x na [0, + vrijedi n n n =, n N S druge strane, po binomnom teoremu dobijemo za n dobijemo n = ( n n) n = [ + ( n n )] n = + ( ) n ( n n ) = + n k=0 ( ) n ( n n ) k k }{{} 0 n(n ) ( n n ) pa je odakle je Dakle, n n + ( n n ) n, n n + n n, kada n + pa je po teoremu o sendviču n n = (b) Pretpostavimo prvo da je a Neka je m N takav da je m a (koji postoji po Arhimedovom aksiomu; jedan takav m je sigurno a + ) Tada je n a n n, n m pa tvrdnja u ovom slučaju slijedi iz teorema o sendviču i Ako pretpostavimo da je a 0,, onda je b = > pa je po prvom slučaju primijenjenom na b > a n a = n b = = Dakle, n a =, a > 0, n n =

NIZOVI 5 Zadatak 5 Izračunajte Rješenje Za n vrijedi n (0 + 3 cosn) n + 6 n n + 3 n + 4 n (b) (0 + 3 cosn) n + 3 n 4 n n + 3 n + 4 n n 3 4 n = 4 n 3 4, kada n + pa je po teoremu o sendviču traženi es jednak 4 (b) Primijetite da za n vrijedi (0 + 3 cosn)n + 6 n (0 + 3 cosn) n + 3 + 6 n n (0 + 3 cosn) + 6n, kada n + n 7n pa je po teoremu o sendviču traženi es jednak 0 Zadatak 6 Izračunajte [ ] n + + n + + + n + n Definicija Niz (a n ) teži k + ako ( M > 0)( n 0 N) takav da je a n > M, n n 0 i pišemo a n = + Niz (a n ) teži k ako i pišemo a n = ( M > 0)( n 0 N) takav da je a n < M, n n 0 Definicija Definiramo R = R {, + } Niz (a n ) konvergira u R ako konvergira u R ili teži k ili + Zadatak 7 Dokažite da je za q > k=0 qn = + Rješenje Za n po binomnom teoremu dobijemo n ( ) n q n = [(q ) + ] n = (q ) k + n(q ) > n(q ) k Neka je M > 0 proizvoljan Odaberimo n 0 takav da je n 0 (q ) > M Takav n 0 postoji po Arhimedovom aksiomu (ili konkretno možemo uzeti n 0 = M q + > M) Tada je za n n 0 pa je qn = + q n > n(q ) n 0 (q ) > M

6 NIZOVI Limesi se ponekad računaju koristeći rekurzivno zadane nizove Primjer 3 (Fibonaccijev niz) Fibonaccijev niz je niz (a n ) zadan na sljedeći način: a = a = a n = a n + a n, za n 3 Matematičkom indukcijom se može pokazati tzv Binetova formula za n-ti član Fibonaccijevog niza: [( a n = 5 Iz Binetove formule slijedi + ) n ( 5 a n+ = + 5, a n ) n ] 5 pri čemu je + 5 68 poznat kao omjer zlatnog reza Na predavanju je dokazan sljedeći Teorem Ako je niz (a n ) rastući (padajući) i odozgo (odozdo) omeden, onda je konvergentan i a n = sup{a n : n N} ( a n = inf{a n : n N}) Primjer 4 Dokažimo na još jedan način da je za q 0, Definirajmo a n = q n, n N Tada je Primijetimo da je niz (a n ) padajući: i odozdo omeden: a n+ = q a n a n+ = q a n a n, n N a n = q n 0, n N qn = 0 pa je i konvergentan po prethodnom teoremu Označimo L = a n Tada iz u esu dobijemo L = ql, odnosno pa je L = 0 a n+ = q a n L ( q) = 0 }{{} >0

NIZOVI 7 Zadatak 8 Izračunajte: a n, a > (b) n! n an, a > (c) n p an, a >, p > 0 (d) n p n! Rješenje Primijetimo da a n = an n! zadovoljava a n+ = Tada je za n n 0 := a + > a ispunjeno a n + < a n + a n a a + <, odakle zaključujemo da je niz (a n ) padajući počevši od n 0 -og člana Očito je i odozdo omedjen s 0 pa je konvergentan Neka je L = a n Tada iz a n+ = a n + a n u esu dobijemo L = 0 L = 0, odakle je L = 0 (b) Niz a n = n a n zadovoljava rekurzivnu relaciju Tada je a n+ = n + a n a n a n+ < a n n + a n < n > a pa je niz (a n ) padajući počevši od člana s indeksom n 0 = a + Pošto je a n = n a n > 0, n N, zaključujemo da je niz odozdo omeden pa je i konvergentan Označimo L = a n Tada iz rekurzivne relacije u esu dobijemo L = L a, odakle je L (a ) = 0 }{{} >0

8 NIZOVI pa je L = 0 (c) Neka je n 0 = p + > p Tada je za n n 0 0 < np a n nn0 a n = ( n b n ) n0, gdje je b = n 0 a > n 0 = pa je po dijelu (b) ovog zadatka ( n ) ( n0 = b n Po teoremu o sendviču zaključujemo da je n p a = 0 n ) n0 n = 0 n 0 = 0 b n (d) Primijetimo da opći član niza čiji es tražimo možemo zapisati kao n p n! = np n n n! produkt dva konvergentna niza s esima 0 (po i (c)) pa je i promatrani niz konvergentan s esom 0 0 = 0 Napomena Prethodni zadatak kaže da faktorijel raste brže od eksponencijalne funkcije (lako se provjeri tvrdnja i za a (vidite Zadatak 58)) : a n n! = 0, a R; eksponencijalna funkcija raste brže od potencije: faktorijel raste brže od potencije: n p n! Zadatak 9 Izračunajte ese: n p = 0, a >, p > 0; an = 0, a >, p > 0 (c) n 4 + 3 n n 3 + 4 n (b) n+4 + n ( 4) n+ n + n ( 4) n (d) n + n! (n )! + n! 4 n (n + ) 4 + 5 n n (3n + ) 5 n (n + ) 4

NIZOVI 9 Zadatak 0 Niz (a n ) je zadan rekurzivno s a = 0, a n+ = a n +, n N Ispitajte konvergenciju niza (a n ) i odredite mu es (ako postoji) Zadatak Niz (a n ) je zadan rekurzivno s a = 3, a n+ = (a n + 3 a n ), n N Ispitajte konvergenciju niza (a n ) i odredite mu es (ako postoji) Napomena U WolframMathematica TM : In[]:=a[]:= 3 a[n_]:= (a[n - ] + 3/a[n - ])/ In[]:=Table[N[a[n], 0], {n,, 0}] Out[]= {3000000000, 000000000, 750000000, 734857, 7305080, 73050808, 73050808, 73050808, 73050808, 73050808} Primijetite da je In[3]:= N[Sqrt[3], 0] Out[3]= 73050808 Zadatak Ispitajte konvergenciju niza a n = + + +, n N }{{} n korijena i odredite mu es (ako postoji) Zadatak 3 Niz (a n ) je zadan rekurzivno s a =, a n+ = 9 a n 7 a n, n N Dokažite da je (a n ) konvergentan i odredite mu es Zadatak 4 Izračunajte ese: (c) ( n + n n) (b) ( 4 n 4 + n 3 + n + n + n) n + n + n + n +

0 NIZOVI Na predavanju ste pokazali da je niz a n = ( + ) n n rastući i odozgo omeden pa je i konvergentan Označimo njegov es s e Dakle, Zadatak 5 Izračunajte ese: ( + n = e n) (c) ( ) n n (b) ( n + ) n+ n + n + ( ) n n + n Rješenje (b) n ( ) n n = n n + ( ) n n + = n + n ) n ( n+ n ( + n + [ ( = + n n + ) n = ( + n ] ) n+ ( + n + ) n = e ) = e = e Definicija Niz (b n ) je podniz niza (a n ) ako postoji strogo rastuća funkcija takva da je p: N N b n = a pn, n N Na predavanjima ste dokazali sljedeće teoreme Teorem Ako je niz (a n ) konvergentan s esom L, onda je svaki njegov podniz takoder konvergentan s istim esom L Teorem Svaki niz ima monoton podniz

NIZOVI Korolar Svaki omedeni niz ima konvergentni podniz Definicija Gomilište niza (a n ) je element L R takav da postoji podniz (a nk ) niza (a n ) takav da je k + a n k = L Primjer 5 a n = ( ) n ima gomilišta: i, jer je Primijetite da (a n ) nije konvergentan a k = ( ) k = a k = ( ) k = Primjer 6 Promotrimo niz a n = q n, gdje je q < Pokazat ćemo da niz (a n ) nije konvergentan tako da pronademo dva različita gomilišta (primijetite da je q > pa je q n = + ): Dakle, a k = q k = ( q ) k +, kada k + a k = q k = ( q ) k q }{{}, kada k + <0 qn = ne postoji, q 0, < q <, q = +, q > Napomena Niz koji ima više od jednog gomilišta ne može biti konvergentan Označimo skup svih gomilišta niza (a n ) s A Primijetite da (a n ) ima barem jedan konvergentan podniz u R(!) pa je A i tada ima smisla Definicija Neka je (a n ) niz i neka je A skup njegovih gomilišta u R Definiramo es superior i es inferior niza (a n ) s sup a n = sup A i inf a n = inf A Zadatak 6 Izračunajte sup + n cos ( nπ n + ) (b) inf ( + ( ) n ) n + n cos (nπ) n +

NIZOVI Dokazan je i sljedeći Teorem Niz (a n ) je konvergentan ako i samo ako je i tada je a n = inf a n = sup Zadatak 7 Neka je a n = inf a n = sup a n a n 3n + ( ) n 3 n+ + ( ) n+ + ( + a) sin ( nπ Odredite a R tako da niz (a n ) bude konvergentan Rješenje Odredimo gomilišta niza (a n ): [ ] 3 k a + ( ) k k = + ( + a) 0 = k + k + 3 k+ + ( ) k+ 3 [ ] 3 4k a + ( ) 4k 4k = + ( + a) ( ) = k + k + 3 4k + ( ) 4k 3 a [ ] 3 4k 3 a + ( ) 4k 3 4k 3 = + ( + a) () = 4 k + k + 3 4k + ( ) 4k 3 + a ) Da bi niz (a n ) bio konvergentan, mora vrijediti inf a n = sup pa skup gomilišta mora biti jednočlan Dakle, mora vrijediti odakle zaključujemo da je a = a n 3 = 3 a = 4 3 + a, Za računanje esa je koristan sljedeći Teorem (Stolzov teorem) Neka su (a n ) i (b n ) nizovi takvi da je (b n ) strogo rastući i neograničen Ako postoji a n+ a n, n b n+ b n a n tada postoji i i vrijedi n b n a n a n+ a n = n b n n b n+ b n

NIZOVI 3 Zadatak 8 Izračunajte: + + 3 3 + + n n n (b) n n n! Rješenje Stavimo a n = + + 3 3 + + n n i b n = n Vidimo da je (b n ) strogo rastući i neograničen pa je po Stolozovom teoremu traženi es jednak a n a n+ a n = = b n b n+ b n n+ n + = (b) Primijetimo da je ( ) n ln + ln + + ln n ln n = lnn n! n Po Stolzovom teoremu je ln n + ln n + + ln n n n = = = ln n + ln n + + ln n n n (ln n+ + ln n+ + + ln n+ n+ ) (ln n + ln n + + ln n n ) = n ln( + n ) = pa je traženi es jednak e = e Zadatak 9 Neka je (a n ) konvergentan niz takav da je a n > 0, n N Dokažite da je n a a a n = a n Rješenje Primijetite da je po Stolzovom teoremu ln n ln a + + ln a n a a a n = n pa je zbog neprekidnosti funkcije ln, odakle slijedi tvrdnja ln n a a a n = ln a n, = ln a n Zadatak 30 Izračunajte n n k= k

4 NIZOVI Zadaci za vježbu 3 Izračunajte: 3 + 8 + 3 + 8 + + (5n + 3) (b) 3 7 9 49 + (c) + 8 + 7 + + n 3 3 Dokažite da je niz s općim članom n + n a n = n + 3 + n strogo padajući 33 Ispitajte monotonost sljedećih nizova ( 3 ) n 7 ( ) n 8 a n =, n, (b) a n = n + n + n 3n + n (c) a n = arctg ( n) 3n (d) a n = 0, a n+ = + a n, n N + n + 0 a n 34 Ispitajte ograničenost sljedećih nizova a n = 35 Izračunajte ese: (c) 4n 3 + n n 4 + 36 Izračunajte ese: (b) n n + + + 3 + + n n + (n (b) a n = ( )n n n + 4 (b) (d) (c) a n = ( n n + n n + 5 n3 n + ) + 4 + 7 + + (3n ) n + ) (n a)3, u ovisnosti o parametru a R (n + ) + n (c) ( + 3 + + + + + 9 + + 3 ) n n 37 Izračunajte 38 Izračunajte ese: n sin n n + n +

NIZOVI 5 n4 + n 3 + n (c) n + ( n + n + 4 n 4 + n + ) (b) ( n + n 3 n 3 + n ) 39 Izračunajte ese: (c) n (n 3 + ) + 3 n n(n + ) 3 n (n 3 + ) 3 n + n 009 n! + 009 n 40 Izračunajte ese: (b) (n + )(3n + )(n + )! (4n + 3) 3 n! (c) ( n + n + n 3 + n + n + n n) (b) n + n + 4 n + 8 n + 3 n 4 Izračunajte ese: (c) ( n n + ( 5n 3 + 5n 3 ) n ) n 3 (b) ( ) n 3n 3n + 4 Izračunajte ese: (c) (e) nπ n n (b) n + n + 3 n 3 + 4 n 4 (d) n 3 + cosn (f) n nn + n n 3 n+ 3 n + 4 n+ 43 Izračunajte inf a n i sup a n za a n = cos n nπ (b) a n = + n n + cos nπ Koji nizovi su konvergentni? (c) a n = + ( )n n 44 Dokažite da za niz zadan rekurzivno s vrijedi a n = (n + )a n + n + ( n )a a n+ = 3a n 3 a n, n N

6 NIZOVI 45 Dokažite da niz Fibonaccijevih brojeva (a n ) zadovoljava 46 Niz (a n ) je zadan rekurzivno: a n a n a n+ = ( ) n a =, a n+ = 3a n a n, n, Dokažite da je (a n ) konvergentan i odredite mu es 47 Niz (a n ) je zadan rekurzivno: a =, a n+ =, n, a n + Dokažite da je (a n ) konvergentan i odredite mu es 48 Niz (a n ) je zadan rekurzivno: a = 05, a n+ = a n + 4, n, 5 Dokažite da je (a n ) konvergentan i odredite mu es 49 Nadite rekurzivno zadan niz (a n ) takav da mu je es jednak 7 50 Koristeći rekurzivno zadani niz dokažite da je 5 Izračunajte n n 5 n (n + )! = 0 5 + 5 + + 5 }{{} n korijena 5 Izračunajte 53 Je li niz konvergentan? 54 Izračunajte n 3 3 3 }{{} n korijena a n = n + ( 5) n 3 n + 4 n, n N } sin sin {{ sin} n puta

NIZOVI 7 55 Dokažite po definiciji da je za p > 0 56 Dokažite po definiciji da je n p = 0 n = + 57 Dokažite da je n = 0 n koristeći teorem o sendviču i binomni teorem 58 Dokažite da je za a R a n n! = 0 59 Neka je (a n ) rastući niz takav da je a > 0 Ako je S n = a + + a n, dokažite da je ( a + a ) 3 a n + + = a S S S 3 S n S n a 60 Neka je (a n ) konvergentan niz Dokažite 6 Izračunajte [ n a + + a n n = a n n + + n + + + n + n 6 Odredite sve a R takve da niz s općim članom konvergira 63 Dokažite da je za p > a n = n 5 + ( )n n p + p + + n p = n p+ p + 64 Dokažite da je ( n + ) ( + ) ( + 3 ( + 3) n) n = e 65 Dokažite da niz s općim članom a n = + + 3 + + ln n, n N n konvergira Njegov es c se zove Euler-Mascheronijeva konstanta i c 057756 ]

8 NIZOVI

3 Infimum i supremum Definicija Neka je A R Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj a M, a A (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj ( ε > 0)( a A) takav da je a > M ε Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A Ako je još M A, onda kažemo da je M maksimum skupa A i M označavamo s maxa Definicija Neka je A R Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) m donja meda skupa A, tj a m, a A (ii) m najveća donja meda skupa A, tj ( ε > 0)( a A) takav da je a < m + ε Može se pokazati da je infimum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku inf A Ako je još m A, onda kažemo da je m minimum skupa A i m označavamo s mina Realni brojevi se zadaju aksiomatski Izdvajamo dva aksioma: (A5) Svaki neprazan i odozgo ograničen skup u R ima supremum u R (aksiom potpunosti) 9

30 3 INFIMUM I SUPREMUM (A6) Ako su a, b > 0, onda postoji n N takav da je b < n a Primjer 3 Skup racionalnih brojeva nije potpun Npr skup nema supremum u Q A = {r Q: r < 3} (Arhimedov aksiom) Neka je r A Tada je r < 3 pa je r < 3 Dakle, 3 je gornja meda skupa A Dokažimo da je 3 najmanja gornja meda skupa A Neka je ε > 0 Iz činjenice da izmedu svaka dva različita realna broja postoji neki racionalni broj(sjetite se da svaki realni broj možemo aproksimirati nizom racionalnih brojeva), zaključujemo da postoji r Q takav da je 3 ε < r < 3 Primijetite da je r A, odakle slijedi tvrdnja Dakle sup A = 3 Q Zadatak 3 Odredite infimum i supremum skupa { } n A = n + 3 : n N Zadatak 3 Neka je A R neprazan podskup takav da postoji sup A Definirajmo Dokažite da postoji inf( A) i da je Rješenje Trebamo pokazati da je: (i) sup A donja meda skupa A: Iz vidimo da je A = { a: a A} inf( A) = sup A (ii) sup A najveća donja meda skupa A: a sup A, a A a sup A, a A Neka je ε > 0 Tada postoji a A takav da je a > sup A ε pa je a < sup A + ε

3 INFIMUM I SUPREMUM 3 Dakle, sup A je najveća donja meda skupa A pa zbog jedinstvenosti infimuma slijedi inf( A) = sup A Zadatak 33 Dokažite da svaki neprazan i odozdo omeden podskup od R ima infimum u R Rješenje Neka je A R odozdo omeden Tada je A neprazan i odozgo omeden pa po aksiomu potpunosti postoji sup( A) R Po prethodnom zadatku postoji inf( ( A)) = inf A Zadatak 34 Neka je A 0, + takav da je inf A > 0 Definirajmo { } A = a : a A Dokažite da je ( ) sup = A inf A Rješenje Za a A vrijedi pa je odakle zaključujemo da je da je a inf A > 0 a inf A, gornja meda skupa Neka je ε > 0 i neka je inf A A ε > 0 takav ε inf A(inf A + ε ) = ε Tada postoji a A takav da je a < inf A + ε, odakle je a > inf A + ε = inf A ε inf A(inf A + ε) = inf A ε, odakle zaključujemo da je supremuma inf A najmanja gornja meda skupa A pa je zbog jedinstvenosti ( ) sup = A inf A Zadatak 35 Odredite infimum i supremum skupova: A = { ( x 3 cos 3 π } : x [0, 3π 3) (c) A = (b) A = {x + 4x : x > 0 } { } x x + 4 : x R

3 3 INFIMUM I SUPREMUM Zadatak 36 Odredite infimum i supremum skupova: { } { n + 4m m 5mn + 6m A = : m, n N (b) A = mn n Zadatak 37 Odredite infimum i supremum skupa { } n A = m + m + 5n : m, n N } : m, n N, m < 4n Rješenje Očito je Primijetimo da je za n = n > 0, m, n N m + m + 5n m + pa je inf A = 0 S druge strane je n m + m + 5n = m + m + m + 5 = 0 Za m = slijedi pa je sup A = 5 n m + m + 5n n 5n, m, n N 5 n m + m + 5n = n + 5n = 5 Zadatak 38 Odredite infimum i supremum skupa { A = n + 4 } n + 3 : n N Rješenje Neka je x n = n + 4 n + 3 = (n + 3)(n + 4) Lako se provjeri da je (x n ) rastući niz Takoder je pa je (x n ) konvergentan Tada je x n 0, n N inf A = x = = min A, 0 sup A = x n = 0

3 INFIMUM I SUPREMUM 33 Zadatak 39 Neka su A, B R odozgo omedeni i neprazni Definiramo A + B = {a + b: a A, b B} Dokažite da je sup(a + B) = sup A + sup B Rješenje Vrijedi a + b sup A + sup B, a A, b B pa je sup A + sup B gornja meda skupa A + B Dokažimo da je to i najmanja gornja meda Neka je ε > 0 Tada postoje a A i b B takvi da je a > sup A ε i b > sup B ε pa je a + b > sup A + sup B ε Napomena Analogno se dokaže da za odozdo omedene i neprazne podskupove A, B R vrijedi inf(a + B) = inf A + inf B Zadatak 30 Odredite infimum i supremum skupa { } m n A = mn + 4m + 3n + : m, n N Zadatak 3 Neka su A, B [0, + odozgo omedeni i neprazni Definiramo A B = {a b: a A, b B} Dokažite da je sup(a B) = sup A sup B Rješenje Ako je sup A = 0, onda je A = {0} pa je A B = {0} i tvrdnja vrijedi Pretpostavimo da je sup A > 0 i sup B > 0 Tada je za a A, b B a b sup A sup B pa je sup A sup B gornja meda skupa A B Dokažimo da je i najmanja gornja meda Neka je 0 < ε < sup A sup B Tada za ε = postoje a A i B B takvi da je ε sup A > 0 i ε = ε sup B > 0 a > sup A ε i b > sup B ε,

34 3 INFIMUM I SUPREMUM odakle je a b > (sup A ε )(sup B ε ) = sup A sup B ε + > sup A sup B ε ε 4 sup A sup B Napomena Analogno se dokaže da je za neprazne A, B [0, + inf(a B) = inf A inf B Općenito, ako su A, B R neprazni i omedeni, onda je sup(a B) = max{sup A sup B, sup A inf B, inf A sup B, inf A inf B} inf(a B) = min{sup A sup B, sup A inf B, inf A sup B, inf A inf B} Zadatak 3 Odredite infimum i supremum skupa { } n n S = n + m + 3m + m : m, n N Rješenje Primijetimo da je S = A B, gdje su i A = { } { } n n m n + : n N +, B = 3m + m : m N A, B [0, + Odredimo prvo infimum i supremum skupa A: Zbog n n vrijedi n n n + 0, foralln N pa je 0 donja meda skupa A Ako uzmemo n =, onda vidimo da je 0 A pa je inf A = min A = 0 S druge strane je n n n + n <, n N n +

3 INFIMUM I SUPREMUM 35 pa je gornja meda skupa A Zbog slijedi da je Odredimo infimumu i supremum skupa B: Neka je x m = m + Tada je 3m +m pa je Dakle, i n n n + = sup A = x m x m+ m 6 x > x > x 3 > x 4 > x 5 > x 6 x 7 x 8 x 9 inf B = min B = x 6 = 37 4 sup B = max{x, m + x m} = max{, 3 } = = maxb Konačno, zbog A, B [0, + je sup S = sup A sup B = =, inf S = inf A inf B = 0 37 = 0 = min S 4 Zadatak 33 Odredite infimum i supremum skupa { } 4n 3 5m S = n + m + 3 : m, n N Zadatak 34 Neka su A, B R odozdo omedeni neprazni skupovi Dokažite da je inf(a B) = min{inf A, inf B} Rješenje Pretpostavimo da je inf A inf B (inače zamijenimo uloge skupova A i B) Tada je min{inf A, inf B} = inf A Ako je x A B, onda je x A ili x B pa je x inf A ili x inf B inf A Dakle, inf A je donja meda skupa A B Dokažimo da je to najveća donja meda Neka je ε > 0 Tada postoji a A A B takav da je a < inf A + ε pa je inf A i najveća donja meda skupa A B Tvrdnja sada slijedi iz jedinstvenosti infimuma Napomena Analogno se dokaže da je za odozgo omedene i neprazne podskupove A, B R sup(a B) = max{sup A, sup B} Općenitije, vrijedi:

36 3 INFIMUM I SUPREMUM (i) ako su A,,A n R odozgo omedeni i neprazni, onda je sup(a A n ) = max{sup A,,sup A n }; (ii) ako su A,,A n R odozdo omedeni i neprazni, onda je inf(a A n ) = min{inf A,, inf A n }; Zadatak 35 Odredite infimum i supremum skupa ( S = {( ) n + 3 ) } : n N n Zadatak 36 Odredite infimum i supremum skupa { ( ) n S = ( ) n n + ( )n + : n N} n + 3 Zadatak 37 Odredite infimum i supremum skupa S = { + n n + cos ( nπ ) } : n N Zadatak 38 Odredite infimum i supremum skupa S = { n + } ( )n : n N { + th x: x > 0} n Napomena Ako je f : R R strogo rastuća i neprekidna funkcija onda je za omedeni skup A R inf f(a) = f(inf A), sup f(a) = f(sup A) U slučaju padajuće funkcije vrijedi inf f(a) = f(sup A), sup f(a) = f(inf A) Zadatak 39 Odredite infimum i supremum skupa { ( S = arctg (( ) n + cos )) } : n N 4n Zadatak 30 Odredite infimum i supremum skupa S = { n n : n N }

3 INFIMUM I SUPREMUM 37 Zadaci za vježbu 3 Odredite infimum i supremum skupa { } 7n 4 S = n + : n N 3 Neka je A R odozdo i odozgo ograničen Dokažite da je 33 Neka su a, b R, a < b Dokažite: sup[a, b = b; (b) inf a, b = a 34 Odredite infimum i supremum skupa A = A [inf A, sup A] { sin(3x + π): x [ π, π } 6 35 Neka je A R neprazan podskup takav da postoji inf A Dokažite da postoji sup( A) i da je sup( A) = inf A 36 Odredite infimum i supremum skupa (koristeći nizove) { } 0 3n A = n + 3 : n N 37 Neka je A, B R neprazni podskupovi takvi da je A odozgo omeden i B odozdo omeden Definiramo A B = {a b: a A, b B} Dokažite da je sup(a B) = sup A inf B 38 Odredite infimum i supremum skupa { } n + m + mn + A = n + 8m 4mn 9 : m, n N 39 Odredite infimum i supremum skupova: { } m { m } A = m + n : m, n N (b) A = n : m, n N, m < 3n

38 3 INFIMUM I SUPREMUM 330 Odredite infimum i supremum skupa { m A = n + 4n } : m, n N, m < 0n m 33 Odredite infimum i supremum skupa { } n + n A = log /e n + 4 : n N 33 Odredite infimum i supremum skupa { n + S = n 3m } m + : m, n N 333 Odredite infimum i supremum skupa { } n + n S = n + 5m + + ( ) m 9m : m, n N 334 Odredite infimum i supremum skupa { } S = cos(nπ) n + 3n + n : n N 335 Odredite infimum i supremum skupa { } S = sin 4n + n + : n N 336 Odredite infimum i supremum skupa { } (m + n) S = : m, n N mn 337 Odredite infimum i supremum skupa { ( nπ ) } n 9 S = sin 5n + 3n + : n N 338 Odredite infimum i supremum skupa { a S = a + b + b b + c + c } : a, b, c > 0 c + a 339 Odredite infimum i supremum skupa { } S = 3n 3n : n N

4 Neprekidnost i es Definicija Neka je I R otvoreni interval i c I Funkcija f : I \ {c} R ima es u točki c jednak L R ako za svaki niz (x n ) u I \ {c} vrijedi x n = c = f(x n) = L Može se pokazati da je, u slučaju da postoji, es funkcije jedinstven pa pišemo Vrijedi: Teorem (Cauchyeva definicija esa) f(x) = L x c Neka je I R otvoreni interval Funkcija f : I \ {c} R ima es L R u točki c I ako i samo ako vrijedi ( ε > 0)( δ > 0) td x I, 0 < x c < δ = f(x) L < ε Primjer 4 Dokažimo po Cauchyevoj definiciji esa da je x x = 4 Neka je ε > 0 Tada za δ = min{ ε, } i x R takav da je x < δ vrijedi 5 x + x + 4 < δ + 4 + 4 = 5 pa je x 4 = x x + < 5δ ε 39

40 4 NEPREKIDNOST I LIMES (b) x 4 6 x x 4 = (x 4)(x + 4) x x 4 = x (x + 4) = 4 + 4 = 8 Napomena Ako funkcije f : I \ {c} R i g \ {c}: I R imaju ese u točki c I i ako su λ, µ R, onda funkcija λf + µg ima es u točki c i vrijedi x c (λf(x) + µg(x)) = λ funkcija f g ima es u točki c i vrijedi x c x c f(x) + µ x c g(x); f(x)g(x) = f(x) g(x); x c x c u slučaju da je x c g(x) 0 i funkcija f g ima es u točki c i vrijedi f(x) x c g(x) = x c f(x) x c g(x) Definicija Neka je I R otvoreni interval Funkcija f : I R je neprekidna u c I ako za svaki niz (x n ) u I vrijedi x n = c = Teorem (Cauchyeva definicija neprekidnosti) = f(c) f(xn) Neka je I R otvoreni interval Funkcija f : I R je neprekidna u točki c I ako i samo ako vrijedi ( ε > 0)( δ > 0) td x I, x c < δ = f(x) f(c) < ε Napomena Na predavanjima ste pokazali da su sve elementarne funkcije neprekidne na njihovim prirodnim domenama Zadatak 4 Izračunajte ese funkcija: x 4 x x 3x + + x (d) 3 + x 3 5 + x (g) x 4 5 x x n (b) x x, n N x 3 (e) x 9 x 9 (c) h 0 (f) x (a + h) 3 a 3, a R h m x n, m, n N x

4 NEPREKIDNOST I LIMES 4 Definicija Kažemo da f : I \ {c} R ima es u točki c I jednak + ako ( M > 0)( δ > 0) td x I, 0 < x c < δ = f(x) > M Pišemo f(x) = + x c Analogno definiramo es jednak Primjer 4 Dokažimo po definiciji da je x = + Neka je M > 0 proizvoljan Za δ = M vrijedi 0 < x < δ = M = x > M = M Definicija Kažemo da f :, a R ima es u jednak L R ako ( ε > 0)( M > 0) td x < M = f(x) L < ε Pišemo Analogno definiramo es u + f(x) = L x Primjer 43 x + arctg x = π i x arctg x = π (b) Dokažimo po definiciji da je x + x = 0 Neka je ε > 0 Tada za M = vrijedi ε x > M = 0 x = < = ε x M Zadatak 4 Izračunajte ese funkcija: (d) (g) (x 3)(3x + 5)(4x 5) x ± 3x 3 + x x + x x + x x + x + x x + x (b) (e) (h) (x + ) x ± x + x + 3x x 4 x4 + ( x 5 + 6 + x) x (c) (f) x ± x ± 00x x x 8x + 3x +

4 4 NEPREKIDNOST I LIMES Napomena Vrijedi analogon teorema o sendviču: ako je f(x) g(x) h(x), x I \ {c}, i ako je onda i g ima es u c i vrijedi f(x) = h(x), x c x c x c f(x) = g(x) = h(x) x c x c B C x 0 D A Primjer 44 Vrijedi Izračunajmo x arctg x π x x arctg x π x pa je po teoremu o sendviču x arctg x = 0 (b) Dokažimo da je sin x x = Neka je 0 < x < π Tada iz slike vidimo da se za O = (0, 0), A = (, 0), B = (cos x, sin x), C = (0, tg x), D = (cos x, 0)

4 NEPREKIDNOST I LIMES 43 površina kružnog isječka OAB nalazi izmedu površina trokuta OAB i OAC: sin x x tg x, odakle je x sin x cosx, 0 < x < π Tada tvrdnja slijedi po teoremu o sendviču (c) cosx x (cos x = sin x) x sin x = x = ( sin x ) x = Dakle, sin x x Zadatak 43 Izračunajte ese funkcija: cosx =, = x sin(3x) sin(x) arcsin x (d) x cos( cos x) (g) sin x Zadatak 44 Izračunajte (b) x sin π x + x sin x 3 cosx (e) x π 3 cosx sin x (h) x + x 3 sin(πx) (c) x sin(3πx) sin(π x) (f) x sin(πx) Napomena Sljedeći oblici su neodredeni: cosx cos x cos nx x (± ) 0, ± ±, 0 0, (± ) (± ), (± ) + ( ), ± Napomena Odredeni i neodredeni oblici:

44 4 NEPREKIDNOST I LIMES DEFINIRANO NIJE DEFINIRANO x + (± ) = ±, x R (± ) + (± ) = ± (± ) + ( ) (+ ) = ( ) = + x (+ ) = x ( ) = { + x > 0 x < 0 { x > 0 + x < 0 0 (+ ) 0 ( ) x ± = 0, x R ± ±, ±, 0 0 x + = x = { 0 0 < x < + x > { + 0 < x < 0 x > + Na predavanju je dokazano ( + x = e x + x) Napomena Vrijedi ( + x ( = x x) x ( x = x + x) x + Stoga je i = x + ( + x x ) x ( + x ) x ( = + x + ) = e = e x ) x ( + x) x = e Napomena Ako su f i g funkcije takve da je x c f(x) = i g(x) = +, x c

4 NEPREKIDNOST I LIMES 45 onda je x c f(x)g(x) = ( + (f(x) )) g(x) x c [ (f(x) )g(x) = ( + (f(x) )) f(x) ] = e x c(f(x) )g(x) x c Zadatak 45 Izračunajte ese funkcija: (d) x + ( sin x ) +x ( ) x x + (b) x ± x + ( x + x) a x, a R (e) (cosx) x (c) x ± ( x x + (f) (cos x) x ) x Primjer 45 (b) ln( + x) x = ln( + x) x = ln ( + x) x = ln e = ; [ e x t = e = x x = ln(t + ) x x 0 t 0 ] t = t 0 ln(t + ) = Dakle, e x ln( + x) =, x x Zadatak 46 Izračunajte ese funkcija: = a x x (d) sh x, a > 0 (b) x 8 x 7 x (e) 6 x 5 x x Zadatak 47 Izračunajte ese funkcija: ln( + 5 x ) ln( + 3 x ) ch x (c) x cos(x)e 3x (f) x th(4x) sin x sin a tg x sin x, a R (b) x a x a x 3 (d) x π arccos x (e) (ln(x + ) ln(x + )) x + x + Zadatak 48 Izračunajte ese funkcija: cos π (πx) x (d) (b) x x x x ln x cosx 3 cosx x (e) x + (sin x + sin x) (c) ( x) tg πx x + x (f) x ln x (c) e cos3 x x 3 ctg x

46 4 NEPREKIDNOST I LIMES Zadaci za vježbu 49 Izračunajte ese: x + 4x x + (b) x + ( x + x) (c) x x + 5 3 x x 40 Izračunajte ese: x 3x + 4 x x4 + (b) (x + ) 3 (x + x + ) x + x 7 50x + 5 (c) x + 3 x3 + x 4 Izračunajte ese: x (x ) 3 x 3 x + (b) x 5x + x 3x + 7 (c) x 3 x 6 x + x + x 4 Izračunajte ese: x x x x 43 Izračunajte ese: (b) x 3 x 5x + 6 x 8x + 5 (c) x x m x n, m, n N + 5 x x + 3 x (b) 4 + x 3 + x (c) x 3 x 4 x 44 Izračunajte ese: x π sin ax sin bx, a, b R 45 Izračunajte ese: cos 3 x (b) x (c) x sin(x ) x 3 sin(x + ) x x + 46 Izračunajte ese: sin 4x sin x (b) x + x + x tg x tg a (b), a R (c) x a x a x sin π x + x 47 Odredite parametar a takav da funkcija x, x < 0 f(x) = a, x = 0 + x, x > 0 bude neprekidna (c) ( tg x ) x π cosx

4 NEPREKIDNOST I LIMES 47 48 Izračunajte ese: ( ) sin x + x 49 Izračunajte ese: sin x sin ( ) x π 3 (b) (c) + x sin x cosx x π 3 cosx m cosαx n cos βx x, m N, α, β R (b) (cos x) +ctg x 40 Izračunajte ese: (c) (cosx) x+sin x (cosx) x sin x 4 Izračunajte ese: log( + πx) x 4 Izračunajte ese: (b) ( + sin x) tg x (b) ln(x + ) ln x (c) ln( sin x) x 6 x 5 x (c) 4 x 3 x x π 3 sin(x + π 3 ) cos(x + π 6 ) 43 Je li moguće proširiti funkciju do neprekidne funkcije na R? 44 Izračunajte ese: (b) x 3 3 x + 5 x + f(x) = arctg x (c) x x + x + 3x x 3 x 3 + x x cos x 3 x ch x 45 Izračunajte ese: (b) (tg x sin x) x tg(x ) sin(x ) cos x e x (c) ln( + x) ln( + arcsin x) e arctg x e arcsin x cos 3 x (b) + e x cosx sin x ( ( (c) x π tg π sin x)) ctg(π sin x) 4 46 Izračunajte ese: ( ) ln(x xln x + 3x + 4) tg(a + x) tg(a x) tg a { π } (b), a R\ x + ln(x + x + 3) x + kπ : k Z 47 Izračunajte ese: ( ) + tg x sin x + sin x ( ) + tg x sin (b) 3 x + sin x (c) ln(a + x) + ln(a x) lna x

48 4 NEPREKIDNOST I LIMES 48 Izračunajte ese: ) + x cos x (b) x (e x x ln( + 5 x ) ln( + 3 x ) 49 Može li se funkcija f(x) = x + 3 x + proširiti do neprekidne funkcije na [, +? 430 Neka je f : a, a \ {0} R Koje su od sljedećih tvrdnji istinite: f(x) = l f(sin x) = l; (b) f(x) = l f( x ) = l? Dokažite 43 Dokažite da za f : a, a \ {0} 0, + takvu da je ( f(x) + ) = f(x) vrijedi f(x) = 43 Izračunajte ese: sin x cos x 433 Dokažite da je 3e x + x + e x + = 3 x + sin x (b) x sin(πx) (c) x x + x + cosx (b) x 3 [ ( = 0 (c) sin x + ) ] sin x = 0 x x + x

4 NEPREKIDNOST I LIMES 49 434 Neka je f : [0, ] [0, ] neprekidna funkcija Dokažite da f ima fiksnu točku, tj da postoji x 0 [0, ] takav da je f(x 0 ) = x 0 (Uputa: Bolzano-Weierstrassov teorem) 435 Dokažite da svaki polinom neparnog stupnja ima barem jednu realnu nultočku 436 Dokažite da jednadžba x 5 3x = 0 ima barem jedno realno rješenje na segmentu [, ] 437 Neka su f, g: [0, ] [0, ] funkcije takve da je f g = g f Dokažite da postoji x 0 [0, ] takav da je f(x 0 ) = g(x 0 ) 438 Neka je f : R R neprekidna i periodična s periodom τ > 0 Dokažite da postoji x 0 R takav da je f(x 0 + τ ) = f(x 0) 439 Neka je f : [0, ] R neprekidna funkcija Dokažite da postoje x, y [0, ] takvi da je f() f(0) y x =, f(y) f(x) = 440 Nadite sve neprekidne funkcije f : R R koje zadovoljavaju Cauchyevu funkcionalnu jednadžbu: f(x + y) = f(x) + f(y), za sve x, y R 44 Nadite sve neprekidne funkcije f : R R takve da je f() > 0 i f(x + y) = f(x) f(y), za sve x, y R