СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за вектор a (коjи може бити и дужине нула) и неке изометриjе ω, коjа може бити и (идентичко пресликавање афиног простора коjе jе уjедно и изометриjа), и коjа уз то и ма и бар jедн у фиксн у тачку: σ = τ a ω. Такође, свака изометриjа σ зависи од свог линеарног дела, σ, коjи има исту матрицу пресликавања mat σ = [σ] e = A у односу на базу e директрисе V афиног простора A као и сама та изометриjа σ. Пресликавање jе изометриjа уколико за његову матрицу пресликавања A у бази e важи A T A = E 3. У зависности од тога да ли jе детерминанта det A већа или мања од нуле изометриjа σ ће бити директна (за det A > 0) или индиректна (за det A < 0). Одговараjући фиксни елементи, као на пример, права коjа jе оса осне ротациjе, или раван коjа jе основа раванске рефлексиjе, се могу добити преко одговараjућих сопствених потпростора коjи су генерисани сопственим векторима матрице [σ] e. Важно jе знати да увек постоjи ортонормирана база f чиjа jе основа бар jедан од сопствених вектора те матрице, у коjоj jе матрица [σ] f облика: 1 0 0 0 cos θ sin θ за директне изометриjе, или 0 sin θ cos θ 1 0 0 0 cos θ sin θ за индиректне изометриjе. 0 sin θ cos θ Свака сличност се може представити као композициjа jедне хомотетиjе η и jедне изометриjе ω: σ = η ω. Пресликавање jе сличност уколико за његову матрицу пресликавања A у бази e важи A T A = α 2 E 3, где jе α коефициjент те сличности. Уколико хомотетиjа η ниjе (α 1), њена матрица у бази e jе [η] e = α E 3, што значи да важи [ω] e = 1 α [σ] e. [верзиjа 0.2 од 18.09.2008.] Погледаjмо сада како се могу класификовати изометриjе равни (jер су изометриjе праве тривиjалне и њихову класификациjу остављам за вежбу читаоцу). 1
Напомена. У следеће две таблице израз фиксне тачке означава фиксне тачке изоме т риjе ω (елементе простора фиксних тачака ω ), а не из ометри jе σ. Ако изометриjа σ = τ a ω има фиксне тачке, то значи да jе вектор a коjи jе основа транслациjе τ a jеднак нула-вектору, па jе τ a и σ = ω. У супротном, изометриjа σ нема фиксних тачака, што не важи за изометриjу ω, коjа мора да има бар jедну фиксну тачку. КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА РАВНИ Броj фиксних тачака и њихов узаjамни положаj Назив изометриjе ω Назив изометриjе σ директне (кретања) det A > 0 3 или више неколинеарних ω = E 2 тачно 1 ω = S, (S jе тачка) ротациjа (око тачке S) (као и ω), ако jе τ a, транслациjа (иста као и τ a) ротациjа (иста као и ω, jер jе a ω = {S}, па jе τ a ) индиректне det A < 0 2 или више кол инеарн их ω = ( jе права) [осна] ) (са осом ) [осна] ако jе τ a, тj. a = 0, клизаjућа ) Рефлексиjе су симетриjе чиjе су основе хиперравни ([1], стр. 139.). Дакле, све рефлексиjе су симетриjе, али обрнуто не мора да важи. 2
Слично претходноj класификациjи изометриjа равни, можемо класификовати и изометриjе простора E 3 : КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА ПРОСТОРА Броj фиксних тачака и њихов узаjамни положаj Назив изометриjе ω Назив изометриjе σ директне (кретања) det A > 0 3 или више некопла нарних ω = E 3 2 или више колинеарних ω =, ( jе права) ротациjа простора (са осом и углом Θ) (као и ω), ако jе τ a, транслациjа (иста као и τ a) ротациjа простора (иста као и ω), ако jе τ a, завоjно кретање индиректне det A < 0 3 или више копла нарн их ω = Π (Π jе раван) тачно 1 ω = {S} (S jе тачка) [раванска] (са основом Π) ротациона (композициjа ротациjе ρ,θ и симетриjе σ Π, Π ) [раванска] ако jе τ a, клизаjућа ротациона (иста као и ω), jер jе транслациjа τ a овде обавезно 3
Пример. У афином простору E 3 дата jе трансформациjа Φ своjим формулама у односу на ортонормирани репер Oe: x = 4 + 1 ( 5x 40y 20z), y = 2 + 1 (8x +19y 40z), z = 4 + 1 ( 44x +8y 5z). Доказати да jе Φ изометриjа, одредити основне компоненте и скицирати путањ у тачке. [6. задатак, jануар 2003.] Решењ е. Матрица линеарног дела пресликавања Φ у бази e jе: [Φ] e = A = 1 5 40 20 8 19 40. 44 8 5 Важи: A T A = 1 5 8 44 5 40 20 40 19 8 2 8 19 40 = 1 20 40 5 44 8 5 2 2 E 3 = E 3, па jе пресликавање Φ изометриjа, што значи да важи Φ = τ a ω, где jе ω изометриjа са бар jедном фиксном тачком, а τ a транслациjа за вектор a. Нека jе Â матрица изометриjе Φ у односу на репер Oe, Â = [Φ] Oe, и нека jе X вектор (x, y, z,1) T. Решимо систем ÂX = X. Биће: 50x 40y 20z +180 = 0, z = 5 x 2y +9, 8x 26y 40z +90 = 0, 2 44x +8y 50z +180 = 0. 0 = 108x +54y 270, y = 2x +5, x = 2, z = 3 2 x 1, y = 1, z = 2. Дакле, Φ има тачно jедну фиксну тачку S = (2,1,2), па jе транслациjа τ a (у супротном, Φ не би уопште имала фиксних тачака). То, према таблици класификациjе изометриjа простора са стране 3, значи да jе Φ ротациона р ефлексиjа. Међутим, ми треба да пронађемо и њене компоненте, ρ,θ и σ Π, односно одговараjуће фиксне афине потпросторе и Π, као и угао Θ. Нађимо зато сопствене вредности и сопствене векторе матрице линеарног дела изометриjе Φ. Имамо: 4
5 k A (λ) = det(a λ E 3 ) = λ 40 20 8 19 λ 40 44 8 5 λ = ( = 5 )( (19 )( λ λ 5 ) λ + 8 40 ) 8 ( 40 ( 5 ) + λ + 8 20 ) 44 ( 40 40 + 20 ( 19 )) λ = = λ 3 + 1 5 λ2 + 1 5 λ 1 = = 1 5 λ (λ +1) (λ3 +1) = (λ +1) (λ 2 6 ) 5 λ +1, па пошто jе λ = 1 jедина реална нула полинома k A (λ), матрица A има само jедан сопствени вектор, коjи се добиjа из jедначине (A λ E 3 ) X = 0 3, за λ = 1 и 0 3 = (0,0,0) T. Ако ставимо λ = 0 у jедначину k A (λ) = det(a λ E 3 ), добиjамо детерминанту матрице A, det A = 1 < 0, што значи да jе Φ индиректна изометриjа, што додатно потврђуjе да jе Φ ротациона : Φ = ω = σ Π ρ,θ. Сада само остаjе да се одреде раван Π (одређена фиксном тачком S и сопственим вектором f 1 ), права (одређена фиксном тачком S и векторима f 2 и f 3 коjи са f 1 чине ортонормирану базу) и угао Θ. Одредимо сопствени вектор f 1 : 1 (40x 40y 20z) = 0, 1 (A + E 3 ) X = 0 3 (8x +64y 40z) = 0, 1 а из услова f 1 = 1 имамо: ( 44x +8y +40z) = 0. { z = 2(x y), x = 2y. { z = 2y, x = 2y., x 2 + y 2 + z 2 = 1 4y 2 + y 2 +4y 2 = 1 y = 1 3, па jе x = z = 2 3 и f 1 = ( 2 3, 1 3, 2 T 3) jе сопствени вектор матрице A. 5
Фиксна тачка S = (2,1,2) и сопствени вектор f 1 формираjу праву = S, f 1, : x 2 2/3 = y 1 1/3 = z 2 2/3, коjа jе оса ротациjе ρ,θ. Пошто jе раван Π, управна на осу, основа раванске рефлексиjе σ Π, формираjмо базу {f 2, f 3 } равни Π на следећи начин: f 2 f 1 f 2 f 1 = 0 2 3 f 21 + 1 3 f 22 + 2 3 f 23 = 0 = f 23 = f 21 1 2 f 22; Из ове формуле и услова f 2 = 1 имамо f21 2 + f2 22 + f2 23 = 1 f2 21 + f2 22 (f + 21 2 + f 21f 22 + 1 ) 4 f2 22 = 1 5 4 f2 22 + f 21f 22 +(2f21 2 1) = 0 f 211;2 = f 21 ± f21 2 5 (2f2 21 1). 5/2 Да би последња jеднакост имала реалних решења, неопходно jе да буде 5 9f 2 21 0 f 21 5 3. Нека jе f 21 = 1 3. Имамо: f 221;2 = 2 15 ± 4 5 = f 22 1 = 2 3 f 22 2 = 14 15. Узмимо f 22 = 2 3. Сада jе f 23 = 2 3, па jе ( 1 f 2 = 3, 2 ) T. 3, 2 3 Вектор f 3 се може добити као векторски производ f 1 f 2 : ı j k ( f 3 = f 1 f 2 = 2/3 1/3 2/3 1/3 2/3 2/3 = 2 3, 2 3, 1 )T, 3 па jе f = 2/3 1/3, 1/2 2/3, 2/3 2/3. 2/3 2/3 1/3 6
Одатле jе матрица пресликавања са базе e на f jеднака: 10 P T AP = P T 40 40 5 80 + 40 10 80 20 16 + 19 80 8 + 38 + 80 16 + 38 40 = 88 + 8 10 44 + 16 + 10 88 + 16 5 2/3 1/3 2/3 2/3 1/3 2/3 = 1/3 2/3 2/3 1/3 14/15 2/15 = 2/3 2/3 1/3 2/3 2/15 11/15 4 9 1 9 4 2 9 9 + 14 4 4 9 2 + 22 = 2 9 2 9 + 4 9 1 9 + 28 + 4 2 9 4 28 = 1 0 0 0 3/5 4/5, 4 9 2 9 2 2 9 9 + 28 2 4 9 4 + 11 0 4/5 3/5 па jе Θ = arccos 3 5. Раван Π jе, као што jе већ речено, одређена фиксном тачком S и базом {f 2, f 3 }. Нека jе X = (x, y, z) T тачка равни Π различита од S. Тада jе SX Π, и SX = (x 2, y 1, z 2) T, па jе мешовити производ вектора SX и f 2, f 3 jеднак нули: [ SX, f2, f 3 ] = 0 x 2 y 1 z 2 1/3 2/3 2/3 2/3 2/3 1/3 = 0 2 3 x + 1 3 y + 2 z 3 = 0. 3 Ова последња jедначина представља jедначину равни Π. где jе Дакле, Φ jе ротациона, : Π : Φ = ρ,θ σ Π, x 2 2/3 = y 1 1/3 = z 2 2/3, 2 3 x + 1 3 y + 2 z 3 = 0, и 3 Θ = arccos 3 5. 7
Класификациjа сличности Као што jе већ речено, свака сличност σ се може представити као композициjа σ = η ω, где jе η хомотетиjа, а ω изометриjа. Сличности се разликуjу од изометриjа по томе што им jе jедна од компонената хомотетиjа, уместо транслациjе. Хомотетиjа увек има бар jедну фиксну тачку, центар хомотетиjе, па стога и сличности мораjу да имаjу бар jедну фиксну тачку. Ако изузмемо ту посебност, као и чињеницу да изометриjа ω коjа jе саставни део сличности σ = η ω не мора да има фиксних тачака, њу проучавамо потпуно исто као у случаjу изометриjе σ = τ a ω. ИЗВОРИ [1] Gojko Kalajdˇzić, Mirjana Dorić: Geometrija (materijal za studente), Beograd, 2003. 8