KRIVOLINIJSKI INTEGRALI zadai (III deo) Nezavisnos krivolinijskog inegrala od puanje inegraije Sledeća vrñenja su ekvivalenna: ) P (, y, z) d+ Q(, y, z) dy+ R(, y, z) dz ne zavisi od puanje inegraije ) Posoji funkija uu(, ako da je du P(,y,z)d + Q(,y,z)dy + R(,y,z)dz i ada važi : B A P(,y,z)d + Q(,y,z)dy + R(,y,z)dz u(b) - u(a) ) Q, z R, Q z R 4) P(,y,z)d + Q(,y,z)dy + R(,y,z)dz ako je kriva zavorena.. Odredii funkiju u u (, ako je pozna njen oalni diferenijal : ( os sin ) ( os sin ) du y y d+ y y dy Znamo da formula za oalni diferenijal glasi: u u du d+ dy pa zaključujemo da je: u os sin y y i u os sin y y u y y os sin ( ) u(, osy y sin d+ ϕ( sami dodajemo neku funkiju "po y", reimo ϕ( u(, osy d+ y sin d+ ϕ( u(, osy + y os + ϕ( u u y y+ y + ϕ y y+ y (, ) os os ( ) sin os+ϕ`( Sad ovo uporedimo sa u os sin y y Ideja je da nadjemo ϕ (. siny + y os + ϕ`( y os siny ϕ`( ϕ( ( neka konsana) I našli smo raženu funkiju: + + u(, osy y os
. Odredii funkiju u u (, y, z ) ako je pozna njen oalni diferenijal : y y u(, y, z) ( + ) d+ ( + ) dy dz y z z y z Ovde formula za oalni diferenijal glasi: u u u du d+ dy+ dz z pa zaključujemo da je: u y + y z Krećemo od: u + z y u y z z u y + y z y u(, y, z) + d+ ϕ( y, z) sad moramo dodai funkiju " po y i po z" y z y u(, y, z) + d ( y, z) y z + ϕ y u ϕ( y, z) u(, y, z) + + ϕ( y, z) + + y z y z u Sad ovo izjednačavamo sa + z y akle: ϕ( y, z) ϕ( y, z) + + + ϕ( y, z) δ ( z) samofunkija " poz" y z y y z y y y Pa je sada u(, y, z) + + ϕ( y, z) u(, y, z) + + δ ( z) y z y z Sad je izvod ove funkije po z jednak y u y u(, y, z) + + δ ( z) + δ `( z) y z z z u y Ovo izjednačavamo sa z z y y pa je + δ `( z) δ `( z) δ ( z) ( neka konsana) z z Tražena funkija je onda: y u(, y, z) + + y z
. okazai da je vrednos krivolinijskog inegrala f ( + y )( d+ yd uzeog po zavorenoj konuri jednaka, nezavisno od oblika funkije u podinegralnom izrazu. Iz f ( + y )( d+ yd f ( + y ) d+ y f ( + y ) dy uočimo da je : P y f y (, ) ( + ) f `( + y ) y y f `( + y ) i Q y y f y Q (, ) ( + ) y f `( + y ) y f `( + y ) To znači da je Q pa je po eoremi koju smo dali na počeku fajla f ( + y )( d+ yd Grinova formula: Ako kriva ograničava oblas ( o jes ona je rub oblasi ) pri čemu osaje sa leve srane prilikom obilaska krive, i važi da su funkije P,Q,R neprekidne zajedno sa svojim parijalnim izvodima prvog reda u oblasi i na njenom rubu, onda važi formula: Q P (, d+ Q(, dy ddy y Iz Grinove formule se lako dokazuje da je površina oblasi P() koja je ograničena krivom daa formulom: P() dy yd
4. Izračunai ( + y ) d+ ( + dy ako je konura rougla sa emenima A(,), B(,) i (,). Narajmo najpre sliku... Sa slike uočimo da je : AB : y B : y 4 A : alje iz daog inegrala ( + y ) d+ ( + dy je : P y y (, ) ( + ) 4 Q y y Q (, ) ( + ) ( + y Pa je onda Q (+-4y (- Još da odredimo granie inegraije i možemo uporebii Grinovu formulu! : y 4 ( pogledaje sliku još jednom) Q ddy y 4 d ( dy y y 4 d ( ( (4 ) ) ((4 ) )) ( 8 6 8 ) d + + d ( ) 4 ( 4 + 6 6) d 4( 4+ 4) d 4( ) d 4
I e y myd e y m dy ako je gornji deo kruga 5.Izračunai ( sin ) + ( os ) Spakujmo najpre kružniu i narajmo sliku: + y a. + y a a+ y a a a+ + y a a + y ( ) Posmarajmo krivu ako da je Šo ovo radimo? +. AB Zao šo Grin zaheva da oblas bude zavorena! Sad formulu možemo primenii na krivu. P(, e siny my e osy m Q Q(, e osy m e osy Odavde je : Q ( os ) e osy e y m m Q ddy mddy m ddy m P( ) Površina oblasi P() je usvari polovina površine kruga poluprečnika a pa je: a a π P( ) r ( ) 8 π π odnosno, raženo rešenje je: Q ddy ma π mddy m ddy m P( ) 8
6. Izračunai površinu oblasi ograničenu krivama a os i y asin ako je π. Iz : Iskorisićemo formulu P() dy yd o jes π ` ` ( ) [ ( ( ), ( ), ( )) ( ( ), ( ), ( )) ] + P P y z Q y z y d a os ` a os sin y asin y` a sin os pa imamo: π ` ` ( ) [ ( ( ), ( ), ( )) ( ( ), ( ), ( )) ] + P P y z Q y z y d a a a a d π ( ) [ os sin os sin ( os sin )] P π [ os 4 sin sin 4 os ] a + a d π [ os sin sin os ] a π [os sin ] ( ) a + d d ovoje Sad malo uporebimo formule iz rigonomerije: os 4 os sin sin os 4 sin 4 4 8 a π os 4 a π a a a [ ] [ os 4 ] sin 4 d d π π π 8 6 6 4 6 8 7. Izračunai krivolinijski inegral ( + y ) d+ ( y ) dy gde je kriva zadaa sa y +. Ako se sećae ovaj inegral smo rešavali u prehodnom fajlu o krivolinijskim inegralima. Ovde ćemo zadaak rešii primenom Grinove formule.
( y ) d ( y ) dy odavde je : P y + y (, ) Q Q(, y pa je: Q y ( akle : I ( ddy ( ddy + + Podseimo se slike iz prehodnog fajla: y y (,) > > y+ (,) > > y- B(,) A(,) y- y-+ Ovde ćemo morai da uzimamo smene: u y+ v y u+ v u u+ v y y y v u v u u v v Jakobijan je: u v J + 4 4 u v
Pogledajmo sliku : Vraimo se sada na rešavanje inegrala: v I ( ddy ( vdudv ) duvdv du y 8. Izračunai krivolinijski inegral y[( + dy ( + ) d] gde je kružnia + y r. Vama za rening osavljamo da ovaj inegral rešie IREKTNO, a mi ćemo ga rešii uporebom Grinove formule. Primeimo najpre da zadai inegral nije u obliku gde možemo pročiai P(, i Q(, pa ćemo najpre malo da ga prisredimo: y y[( + dy ( + ) d] y y ( + y ) dy ( y+ ) d y y ( y ) d+ ( + y ) dy Odavde je: y y P(, y y y Q y Q(, + y + y y y Q y y ( y ) y y + + y + y akle, posao nam je da rešimo: ( + ) I y ddy Naravno, u ovoj siuaiji prelazimo na polarne koordinae: G
R osϕ y R sinϕ J R + y r R r R r gde ϕ π Pogledajmo sliku. Sad rešavamo: π r 4 4 R r r π I ( + y ) ddy R J drdϕ dϕ R RdR π 4 G G